Diferite căi demonstrarea teoremei lui Pitagora

elev din clasa a IX-a „A”.

Instituție de învățământ municipal școala Gimnazială Nr.8

Consilier stiintific:

profesor de matematică,

Instituție de învățământ municipal școala Gimnazială Nr.8

Artă. Novorozhdestvenskaya

Regiunea Krasnodar.

Artă. Novorozhdestvenskaya

ADNOTARE.

Teorema lui Pitagora este considerată pe bună dreptate cea mai importantă în cursul geometriei și merită o atenție deosebită. Este baza pentru rezolvarea multor probleme geometrice, baza pentru studierea cursurilor de geometrie teoretică și practică în viitor. Teorema este înconjurată de o bogăție de material istoric legat de aspectul său și metodele de demonstrare. Studierea istoriei dezvoltării geometriei insuflă dragostea pentru acest subiect, promovează dezvoltarea interesului cognitiv, a culturii generale și a creativității și, de asemenea, dezvoltă abilitățile de cercetare.

În urma activității de căutare a fost atins scopul lucrării, care a fost completarea și generalizarea cunoștințelor privind demonstrarea teoremei lui Pitagora. Au fost posibile găsirea și luarea în considerare a diverselor metode de probă și aprofundarea cunoștințelor pe tema, depășind paginile manualului școlar.

Materialul adunat ne convinge în continuare că teorema lui Pitagora este o mare teoremă de geometrie și are o semnificație teoretică și practică enormă.

Introducere. Context istoric 5 Partea principală 8

3. Concluzie 19

4. Literatura utilizată 20
1. INTRODUCERE. REFERINȚĂ ISTORICĂ.

Esența adevărului este că este pentru noi pentru totdeauna,

Când măcar o dată în percepția ei vedem lumina,

Și teorema lui Pitagora după atâția ani

Pentru noi, ca și pentru el, este de netăgăduit, impecabil.

Pentru a se bucura, Pitagora a făcut un jurământ zeilor:

Pentru atingerea înțelepciunii infinite,

A înjunghiat o sută de tauri, datorită celor veșnici;

El a oferit rugăciuni și laude după victimă.

De atunci, când taurii îl miros, împing,

Că drumul îi conduce din nou pe oameni la un nou adevăr,

Ei răcnesc furios, așa că nu are rost să asculți,

Un astfel de Pitagora le-a insuflat teroare pentru totdeauna.

Taurii, neputincioși să reziste noului adevăr,

Ce ramane? - Doar închizând ochii, răcnind, tremurând.

Nu se știe cum și-a demonstrat Pitagora teorema. Cert este că a descoperit-o sub influența puternică a științei egiptene. Un caz special al teoremei lui Pitagora - proprietățile unui triunghi cu laturile 3, 4 și 5 - era cunoscut de constructorii piramidelor cu mult înainte de nașterea lui Pitagora, iar el însuși a studiat cu preoții egipteni mai bine de 20 de ani. S-a păstrat o legendă care spune că, după ce a dovedit celebra sa teoremă, Pitagora a sacrificat zeilor un taur și, conform altor surse, chiar și 100 de tauri. Acest lucru, însă, contrazice informațiile despre părerile morale și religioase ale lui Pitagora. În sursele literare puteți citi că „a interzis chiar uciderea animalelor, cu atât mai puțin să se hrănească cu ele, pentru că animalele au suflet, la fel ca noi”. Pitagora a mâncat doar miere, pâine, legume și ocazional pește. În legătură cu toate acestea, poate fi considerată mai plauzibilă următoarea intrare: „... și chiar și când a descoperit că într-un triunghi dreptunghic ipotenuza corespunde picioarelor, a sacrificat un taur din aluat de grâu”.

Popularitatea teoremei lui Pitagora este atât de mare încât dovezile ei se găsesc chiar și în ficțiune, de exemplu, în povestea „Tânărul Arhimede” a celebrului scriitor englez Huxley. Aceeași Dovadă, dar pentru cazul special al unui triunghi dreptunghic isoscel, este dată în dialogul lui Platon „Meno”.

Basm „Acasă”.

„Departe, departe, unde nici măcar avioanele nu zboară, este țara Geometriei. În această țară neobișnuită a existat un oraș uimitor - orașul Teorem. Într-o zi am venit în acest oraș fată frumoasă numită ipotenuză. A încercat să închirieze o cameră, dar indiferent unde a aplicat, a fost refuzată. În cele din urmă, ea s-a apropiat de casa şubredă şi a bătut. Un bărbat care se numea Right Angle i-a deschis ușa și a invitat-o ​​pe Hypotenuse să locuiască cu el. Ipotenuza a rămas în casa în care locuiau Unghiul Drept și cei doi fii ai săi tineri pe nume Katetes. De atunci, viața în casa cu unghiul drept s-a schimbat într-un mod nou. Ipotenuza a plantat flori pe fereastră și a plantat trandafiri roșii în grădina din față. Casa a luat forma unui triunghi dreptunghic. Ambelor picioare le plăcea foarte mult Hipotenuza și i-au cerut să rămână pentru totdeauna în casa lor. Seara, această familie prietenoasă se adună la masa familiei. Uneori, Right Angle se joacă de-a v-ați ascunselea cu copiii săi. Cel mai adesea trebuie să caute, iar Hipotenuza se ascunde atât de priceput încât poate fi foarte greu de găsit. Într-o zi, în timp ce juca, Right Angle a observat o proprietate interesantă: dacă reușește să găsească picioarele, atunci găsirea ipotenuzei nu este dificilă. Deci, Unghiul drept folosește acest model, trebuie să spun, cu foarte mult succes. Teorema lui Pitagora se bazează pe proprietatea acestui triunghi dreptunghic.”

(Din cartea lui A. Okunev „Vă mulțumesc pentru lecție, copii”).

O formulare plină de umor a teoremei:

Dacă ni se dă un triunghi

Și cu unghi drept,

Acesta este pătratul ipotenuzei

Întotdeauna putem găsi cu ușurință:

Îndreptăm picioarele,

Găsim suma puterilor -

Și într-un mod atât de simplu

Vom ajunge la rezultat.

În timp ce studiam algebra și începuturile analizei și geometriei în clasa a X-a, m-am convins că pe lângă metoda de demonstrare a teoremei lui Pitagora discutată în clasa a VIII-a, există și alte metode de demonstrare. Le prezint spre considerație.
2. PARTEA PRINCIPALA.

Teorema. Într-un triunghi dreptunghic există un pătrat

Ipotenuza este egală cu suma pătratelor catetelor.

1 METODA.

Folosind proprietățile ariilor poligoanelor, vom stabili o relație remarcabilă între ipotenuză și catetele unui triunghi dreptunghic.

Dovada.

a, c si ipotenuza Cu(Fig. 1, a).

Să demonstrăm asta c²=a²+b².

Dovada.

Să completăm triunghiul până la un pătrat cu latura a + b așa cum se arată în fig. 1, b. Aria S a acestui pătrat este (a + b)². Pe de altă parte, acest pătrat este format din patru triunghiuri dreptunghiulare egale, fiecare dintre ele având o zonă de ½ aw  , și un pătrat cu latura Cu, prin urmare S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².

Prin urmare,

(a + b)² = 2 aw + c²,

c²=a²+b².

Teorema este demonstrată.
2 METODA.

După ce am studiat subiectul „Triunghiuri similare”, am aflat că puteți aplica asemănarea triunghiurilor la demonstrarea teoremei lui Pitagora. Și anume, am folosit afirmația că catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională cu ipotenuza și segmentul ipotenuzei cuprins între catetul și altitudinea trasă din vârful unghiului drept.

Considerăm un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, CD – înălțime (Fig. 2). Să demonstrăm asta AC² +NE² = AB² .

Dovada.

Pe baza afirmației despre catetul unui triunghi dreptunghic:

AC = , SV = .

Să pătram și să adunăm egalitățile rezultate:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), unde AD+DB=AB, atunci

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Dovada este completă.
3 METODA.

Pentru a demonstra teorema lui Pitagora, puteți aplica definiția cosinusului unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic. Să ne uităm la Fig. 3.

Dovada:

Fie ABC un triunghi dreptunghic dat cu unghi drept C. Să desenăm altitudinea CD de la vârful unghiului drept C.

Prin definiția cosinusului unghiului:

cos A = AD/AC = AC/AB. Prin urmare, AB * AD = AC²

De asemenea,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

Prin urmare, AB * BD = BC².

Adunând egalitățile rezultate termen cu termen și notând că AD + DB = AB, obținem:

AC² + soare² = AB (AD + DB) = AB²

Dovada este completă.
4 METODA.

După ce am studiat subiectul „Relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic”, cred că teorema lui Pitagora poate fi demonstrată într-un alt mod.

Luați în considerare un triunghi dreptunghic cu catete a, c si ipotenuza Cu. (Fig. 4).

Să demonstrăm asta c²=a²+b².

Dovada.

păcat B= calitate superioară ; cos B= a/c , apoi, punând la pătrat egalitățile rezultate, obținem:

păcat² B=în²/s²; cos² ÎN= a²/c².

Adunându-le, obținem:

păcat² ÎN+cos² B=в²/с²+ а²/с², unde sin² ÎN+cos² B=1,

1= (в²+ а²) / с², prin urmare,

c²= a² + b².

Dovada este completă.

5 METODA.

Această demonstrație se bazează pe tăierea pătratelor construite pe picioare (Fig. 5) și așezarea părților rezultate pe un pătrat construit pe ipotenuză.

6 METODA.

Pentru dovada pe lateral Soare construim BCD ABC(Fig. 6). Știm că ariile figurilor similare sunt legate ca pătratele dimensiunilor lor liniare similare:

Scăzând a doua din prima egalitate, obținem

c2 = a2 + b2.

Dovada este completă.

7 METODA.

Dat(Fig. 7):

ABC,= 90° , soare= a, AC=b, AB = c.

Dovedi:c2 = a2 +b2.

Dovada.

Lasă piciorul b A. Să continuăm segmentul NE pe punct ÎNși construiește un triunghi BMD astfel încât punctele MȘi A așezați pe o parte a liniei drepte CD si pe langa, BD =b, BDM= 90°, DM= a, atunci BMD= ABC pe două laturi și unghiul dintre ele. Punctele A și M conectați cu segmente A.M. Avem M.D. CDȘi A.C. CD, asta inseamna ca e drept AC paralel cu linia M.D. Deoarece M.D.< АС, apoi drept CDȘi A.M. nu paralel. Prin urmare, AMDC- trapez dreptunghiular.

În triunghiuri dreptunghiulare ABC și BMD 1 + 2 = 90° și 3 + 4 = 90°, dar deoarece = =, atunci 3 + 2 = 90°; Apoi AVM=180° - 90° = 90°. S-a dovedit că trapezul AMDC este împărțit în trei triunghiuri dreptunghiulare care nu se suprapun, apoi după axiomele ariei

(a+b)(a+b)

Împărțind toți termenii inegalității la , obținem

Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Dovada este completă.

8 METODA.

Această metodă se bazează pe ipotenuza și catetele unui triunghi dreptunghic ABC. El construiește pătratele corespunzătoare și demonstrează că pătratul construit pe ipotenuză este egal cu suma pătratelor construite pe catete (Fig. 8).

Dovada.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ ABC, Mijloace, FBC = DBA.

Prin urmare, FBC=ABD(pe două laturi și unghiul dintre ele).

2) , unde AL DE, deoarece BD este o bază comună, DL- inaltimea totala.

3) , deoarece FB este o fundație, AB- inaltimea totala.

4)

5) În mod similar, se poate dovedi că

6) Adăugând termen cu termen, obținem:

, BC2 = AB2 + AC2 . Dovada este completă.

9 METODA.

Dovada.

1) Lasă ABDE- un pătrat (Fig. 9), a cărui latură este egală cu ipotenuza unui triunghi dreptunghic ABC= s, BC = a, AC =b).

2) Lasă DK B.C.Și DK = soare, deoarece 1 + 2 = 90° (ca colțuri ascuțite triunghi dreptunghic), 3 + 2 = 90° (ca unghiul unui pătrat), AB= BD(laturile pătratului).

Mijloace, ABC= BDK(prin ipotenuză și unghi ascuțit).

3) Lasă EL D.K., A.M. E.L. Se poate dovedi cu ușurință că ABC = BDK = DEL = EAM (cu picioare AȘi b). Apoi KS= CM= M.L.= L.K.= A -b.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),Cu2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Dovada este completă.

10 METODA.

Dovada poate fi efectuată pe o figură numită în glumă „pantaloni pitagoreici” (Fig. 10). Ideea sa este de a transforma pătratele construite pe laturi în triunghiuri egale care alcătuiesc împreună pătratul ipotenuzei.

ABC mutați-l așa cum este indicat de săgeată și ia poziție KDN. Restul figurii AKDCB aria egală a pătratului AKDC acesta este un paralelogram AKNB.

S-a realizat un model de paralelogram AKNB. Rearanjam paralelogramul așa cum este schițat în conținutul lucrării. Pentru a arăta transformarea unui paralelogram într-un triunghi cu suprafață egală, în fața elevilor, tăiem un triunghi pe model și îl deplasăm în jos. Astfel, aria pătratului AKDC s-a dovedit a fi egal cu aria dreptunghiului. În mod similar, convertim aria unui pătrat în aria unui dreptunghi.

Introducere

Este dificil să găsești o persoană care să nu asocieze numele lui Pitagora cu teorema sa. Poate că chiar și cei care și-au luat rămas bun de la matematică pentru totdeauna în viața lor păstrează amintiri despre „pantaloni pitagoreici” - un pătrat pe ipotenuză, egal ca dimensiune cu două pătrate pe laturi.

Motivul pentru popularitatea teoremei lui Pitagora este triun: ea

simplitate - frumusețe - semnificație. Într-adevăr, teorema lui Pitagora este simplă, dar nu evidentă. Aceasta este o combinație a două contradictorii

a început să-i dea o forță de atracție deosebită, o face frumoasă.

În plus, teorema lui Pitagora este de mare importanță: este folosită în geometrie literalmente la fiecare pas, iar faptul că există aproximativ 500 de dovezi diferite ale acestei teoreme (geometrice, algebrice, mecanice etc.) mărturisește numărul gigantic de implementările sale specifice .

În manualele moderne, teorema este formulată după cum urmează: „Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.”

Pe vremea lui Pitagora, suna așa: „Demonstrați că un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe picioarele sale” sau „Aria unui pătrat construit pe ipotenuză a unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe picioarele sale.”

Teluri si obiective

Scopul principal al lucrării a fost să arateimportanța teoremei lui Pitagora în dezvoltarea științei și tehnologiei multorațări și popoare ale lumii, precum și în cele mai simple și interesanteforma pentru a preda conținutul teoremei.

Metoda principală folosită în lucrare esteeste o metodă de organizare și prelucrare a datelor.

Atragerea tehnologia de informație, diversematerial zili cu diverse ilustrații colorate.

„VERSE DE AUR” ALE PITAGORUS

Fii corect atât în ​​cuvintele tale, cât și în acțiunile tale... Pitagora (c. 570-c. 500 î.Hr.)

Filosof și matematician grec anticdezvoltat cu învăţătura sa despre armonia cosmică şitransmigrarea sufletelor. Tradiția îl creditează pe Pitagora pentru că a demonstrat teorema care îi poartă numele. Mult înÎnvățăturile lui Platon se întorc la Pitagora și succesorii săi tel.

Nu au mai rămas documente scrise despre Pitagora din Samos, fiul lui Mnesarchus, iar din dovezile ulterioare este dificil de reconstruit imaginea adevărată a vieții și realizărilor sale.(Enciclopedia electronică:SteaLume) Se știe că Pitagora și-a părăsit insula natală, Samos, în Marea Egee, la malguvernatorul Asiei Mici în semn de protest împotriva tiraniei domnitorului și deja la maturitatevârsta (conform legendei la 40 de ani) a apărut în orașul grecesc Crotone din sudul Italiei. Pitagora și adepții săi - pitagoreicii - au format o alianță secretă care a jucat un rol semnificativ în viața coloniilor grecești din Ita.Lii. Pitagoreii s-au recunoscut unul pe altul după un pentagon în formă de stea - o pentagramă. Dar Pitagora a trebuit să se retragă la Metapontum, unde eldecedat. Mai târziu, în a doua jumătateVî.Hr e., ordinul lui a fost distrus.

Învățăturile lui Pitagora au fost foarte influențate de filozofie și religiegia a Estului. A călătorit mult în țările din Orient: a fost înEgipt și Babilon. Acolo Pitagora a întâlnit și matematica orientală tikoy.

Pitagorei credeau că secretele erau ascunse în modele numerice.în lume. Lumea numerelor a trăit o viață specială pentru Pitagorapropriul său sens special de viață. Numerele egale cu suma divizorilor lor erau percepute ca perfecte (6, 28, 496, 8128); prietenosperechi de numere numite, fiecare dintre acestea fiind egal cu suma divizorilor celuilaltgogo (de exemplu, 220 și 284). Pitagora a fost primul care a împărțit numerele în pare șiimpare, prime și compuse, a introdus conceptul de numere figurate. În a luiȘcoala a examinat în detaliu tripletele pitagoreene ale numerelor naturale, în care pătratul unuia era egal cu suma pătratelor celorlalte două (ultima teoremă a lui Fermat).

Lui Pitagora i se atribuie faptul că a spus: „Totul este un număr”. La numere(și a vrut doar să spună numere întregi) a vrut să aducă lumea întreagă împreună, șimatematica in special. Dar chiar în școala lui Pitagora s-a făcut o descoperire care a încălcat această armonie. S-a dovedit că rădăcina lui 2 nu esteeste un număr rațional, adică nu poate fi exprimat în termeni de numere naturale numere.

Desigur, geometria lui Pitagora a fost subordonată aritmeticii.Acest lucru s-a manifestat clar în teorema care îi poartă numele și a devenit mai târziubaza pentru aplicarea metodelor numerice de geometrie. (Mai târziu, Euclid a adus din nou geometria în prim-plan, subordonându-i algebra.) Aparent, pitagoreicii cunoșteau solidele corecte: tetraedrul, cubul și dodecaedrul.

Lui Pitagora i se atribuie introducerea sistematică a demonstrațiilor în geometrie, crearea planimetriei figurilor rectilinii, doctrina lui bii.

Numele lui Pitagora este asociat cu doctrina proporțiilor aritmetice, geometrice și armonice.

Trebuie remarcat faptul că Pitagora considera că Pământul este o minge în mișcareîn jurul soarelui. Când înXVIsecolul biserica a început să fie persecutată aprigDacă luăm învățătura lui Copernic, această învățătură a fost numită cu insistență pitagoreică.(Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician: E-68. A. P. Savin.- M.: Pedagogie, 1989, p. 28.)

Unele concepte fundamentale aparțin, fără îndoialălui Pitagora însuși. Primul- ideea de spațiu ca matematicăun întreg ordonat tic. Pitagora a venit la el după ce a descoperit că intervalele armonice fundamentale, adică octava, quinta perfectă și patra perfectă, apar atunci când lungimile corzilor care vibrează sunt legate ca 2:1, 3:2 și 4:3 (legenda spune că descoperirea a fost făcută cândPitagora a trecut pe lângă o forjă: nicovale cu mase diferitea generat rapoartele de sunet corespunzătoare la impact). UsmotDezvăluind o analogie între ordinea în muzică, exprimată prin relațiile descoperite de aceasta, și ordinea lumii materiale, Pitagoraa ajuns la concluzia că este pătruns de relații matematicetot spatiul. O încercare de a aplica descoperirile matematice ale lui Pitagora la construcții fizice speculative a dus la consecințe interesante.rezultate. Astfel, s-a presupus că fiecare planetă în timpul revoluției saleîn jurul Pământului emite pe măsură ce trece prin aerul limpede superior, sau „eter”,tonul unei anumite tonuri. Înălțimea sunetului se modifică în funcție de vitezăviteza de mișcare a planetei, viteza depinde de distanța până la Pământ. PrunăCând sunetele cerești se unesc, ele formează ceea ce se numește „armonia sferelor” sau „muzica sferelor”, referiri la care sunt frecvente în literatura europeană.

Primii pitagoreici credeau că Pământul este plat și în centruspaţiu. Mai târziu au început să creadă că Pământul are o formă sferică și, împreună cu alte planete (din care au inclus Soarele), are formăse învârte în jurul centrului spațiului, adică „vatră”.

În antichitate, Pitagora era cel mai bine cunoscut ca predicatorstil de viață retras. Esențial pentru învățătura lui a fost ideeavorbim despre reîncarnare (transmigrarea sufletelor), care, desigur, presupune capacitatea sufletului de a supraviețui morții trupului, și deci nemurirea lui. Întrucât într-o nouă încarnare sufletul se poate muta în corpul unui animal, Pitagora s-a opus uciderii animalelor, consumului de carne a acestora și chiar a afirmat că nu trebuie să avem de-a face cu cei care sacrifică animalele sau le măcelează cadavrele. Din câte se poate judeca din scrierile lui Empedocle, care împărtășea părerile religioase ale lui Pitagora, vărsarea sângelui a fost considerată aici ca un păcat originar, pentru care sufletul este izgonit în lumea muritorilor, unde rătăcește, fiind închis în un corp sau altul. Sufletul dorește cu pasiune eliberarea, dar din ignoranță repetă invariabil actul păcătos.

Poate salva sufletul dintr-o serie nesfârșită de reîncarnăricuratare Cea mai simplă curățare constă în observarea anumitorinterdicții (de exemplu, abținerea de la intoxicare sau de la băuturăconsumul de fasole) și reguli de comportament (de exemplu, onorarea bătrânilor, respectarea legii și a nu fi supărat).

Pitagoreii apreciau foarte mult prietenia și, conform conceptelor lor, toate proprietățile prietenilor ar trebui să fie comune. Câțiva aleși li s-a oferit cea mai înaltă formă de purificare - filozofia, adică dragostea de înțelepciune și, prin urmare, dorința pentru aceasta (acest cuvânt, potrivit lui Cicero, a fost folosit pentru prima dată de Pitagora, care s-a numit nu un înțelept, ci un iubitor. de înțelepciune). Prin intermediul acestor mijloace sufletul intră în contact cu principiile ordinii cosmice și devine în ton cu ele, se eliberează de atașamentul său față de corp, de dorințele sale fără de lege și dezordonate. Matematica este una dintre componente religiePitagorei, care au învățat că Dumnezeu a pus numărul la baza lumiiOrdin.

Influența Frăției Pitagoreice în prima reprizăVV. î.Hr e. Nucrescut continuu. Dar dorința lui de a da putere celor „cei mai buni” a intrat în conflict cu creșterea sentimentului democratic în orașele grecești din sudul Italiei și la scurt timp după 450 î.Hr. e. a fost un focar la Crotoneo rebeliune împotriva pitagoreenilor care a dus la uciderea și expulzarea multor, dacă nu a tuturor, membri ai frăției. Cu toate acestea, încă înIVV. î.Hr e. pythagoReich-ul s-a bucurat de influență în sudul Italiei, iar în Tarentum, unde a locuit prietenul lui Platon, Archytas, a rămas și mai mult. Cu toate acestea, mult mai importantă pentru istoria filozofiei a fost crearea centrelor pitagoreice chiar în Grecia,de exemplu la Teba, în a doua jumătateVV. î.Hr e. De aici Pitagoraideile au pătruns până la Atena, unde, după dialogul lui PlatonPhaedo,au fost adoptate de Socrate și transformate într-o mișcare ideologică largă,început de Platon și studentul său Aristotel.

În secolele următoare, figura lui Pitagora însuși a fost înconjurată
multe legende: a fost considerat zeul reîncarnat Apollo,
se credea că avea o coapsă de aur și era capabil să predea în
în același timp în două locuri. Părinții Bisericii Creștine timpurii răspund
dacă Pitagora are un loc de cinste între Moise şi Platon. De asemenea, înXVIV[
au existat frecvente referiri la autoritatea lui Pitagora în chestiuni nu numai de știință |.:
dar și magie.(Enciclopedia electronică:SteaLume.).

În spatele legendei se află adevărul

Descoperirea teoremei lui Pitagora este înconjurată de un halou de legende frumoaseProclus, comentând ultima propozițieeucărți „Elemente” de Euclid,scrie: „Dacă îi asculți pe cei cărora le place să repete legende străvechi, atuncitrebuie să spunem că această teoremă se întoarce la Pitagora; ei spuncă a sacrificat un taur în cinstea asta”. Această legendă a crescut ferm împreunăcu teorema lui Pitagora și după 2000 de ani a continuat să provoace fierbinte clicuri. Astfel, optimistul Mihailo Lomonosov a scris: „Pitagora pentru inventarea unui geometricConform domniei lui Zeus, el a sacrificat o sută de boi.Dar dacă pentru cele găsite în vremurile moderne dinmatematicienii duhovnici guvernează după superstițiosul săugelozie de a acționa, apoi abiadacă ar fi atât de mulţi în lumea întreagăau fost găsite vite”.

Dar ironicul Heinrich Heine a văzut evoluția aceleiași situații oarecum diferit : « Cine ştie ! Cine ştie ! Pot fi , sufletul lui Pythus muntele sa mutat în bietul candidat , care nu a putut demonstra teorema lui Pitagora şi a eşuat din - pentru asta la examene , în timp ce în examinatorii săi locuiesc sufletele acelor tauri , pe care Pitagora , încântat de descoperirea teoremei sale , sacrificat zeilor nemuritori ».

Istoria descoperirii teoremei

Descoperirea teoremei lui Pitagora este de obicei atribuită filozofului și matematicianului grec antic Pitagora (VIV. î.Hr e.). Dar un studiu al tabelelor cuneiforme babiloniene și al manuscriselor chinezești antice (copii ale manuscriselor și mai vechi) a arătat că această afirmație era cunoscută cu mult înaintea lui Pitagora, poate cu milenii înaintea lui. Meritul lui Pitagora a fost că a descoperit demonstrația acestei teoreme.

Prezentare istorică Să începem cu China antică. Există o notă specială aicimania este atrasă de cartea de matematică Chu-pei. Această lucrare vorbește despre triunghiul lui Pitagora cu laturile 3, 4 și 5:„Dacă un unghi drept este descompus în părțile sale componente, atunci linia care leagă capetele laturilor sale va fi 5, când baza este 3 și înălțimea este 4.”

În aceeași carte este propus un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Bashara.

De asemenea, teorema lui Pitagora a fost descoperită în vechiul tratat chinezesc „Zhou-bi suan jin” („Tratat de matematicădespre gnomon"), al cărui moment de creație este necunoscut cu exactitate, dar unde se precizează că înXVV. î.Hr e. chinezii cunoşteau proprietăţile triunghiului egiptean, iar înXVIV. î.Hr e. - și forma generală a teoremei.

Cantor (cel mai mare istoric german al matematicii) consideră că egalitatea 3 2 + 4 2 = 5 2 era deja cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e. pe vremea regelui Amenemheteu(conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin).

Potrivit lui Cantor, harpedonaptes, sau „trăgători de frânghii”, au construit unghiuri drepte când

folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturi 3, 4 și 5.

Este foarte ușor să reproduci metoda lorconstructie. Să luăm o frânghie de 12 m lungime și să legăm de ea o dungă colorată la distanță3 m de un capăt și 4 m de celălalt. Unghi dreptvor fi închise între laturile de 3 și 4 m lungime. S-ar putea obiecta la Harpedonaptes că metoda lor de construcție devine redundantă dacă se folosește, de exemplu, un pătrat de lemn, care este folosit de toți dulgherii. Într-adevăr, se cunosc desene egiptene în care se găsește un astfel de instrument, de exemplu, desene înfățișând atelierul unui tâmplar.Se știe ceva mai multe despreTeorema lui Pitagora la babilonieni.Într-un text datând din timpMeni Hammurabi, adică până în 2000î.Hr e., se dă direct un calcul aproximativ al ipotenuzeitriunghiul cărbunelui. De aiciputem concluziona că în Dvuracare știa să facă calculecu triunghiuri dreptunghiularemi, cel puțin în unelecazuri. Bazat pe unullaturi, la nivelul de azicunoștințe despre egiptean și babilonianmatematică, iar pe de altă parte - în criticăstudiu logic al surselor grecești, Van der Waerden (olandezămatematician rus) a făcut următoarea concluzie:

„Meritul primilor matematicieni greci, precum Thales, Pitagora și pitagoreenii, nu este descoperirea matematicii, ci ea sistematizare şi justificare. Rețeta de calcul este în mâinile lor tu, bazat pe idei vagi, te-ai transformat în precis nouă știință”.

Geometria hindușilor, ca și cea a egiptenilor și babilonienilor, era strânsăasociat cu un cult. Este foarte probabil ca teorema pătratului să fie hipotenuse era cunoscută în India de aproximativXVIIIsecolul î.Hr e., de asemeneaera cunoscut și în geometria indiană anticătratat teologicVII- Vsecole î.Hr e. „Sulva Sutra” („Regulifrânghii").

Dar, în ciuda tuturor acestor dovezi, numele lui Pitagora este așafuzionat ferm cu teorema lui Pitagora, care acum este pur și simplu imposibilse poate imagina că această frază se va destrama. La fel de lase referă și la legenda vrăjii taurilor lui Pitagora. Și este puțin probabiltrebuie disecat cu un bisturiu istorico-matematicprofunde legende antice.

Metode de demonstrare a teoremei

Dovada teoremei lui Pitagora de către studenții din Evul Mediuconsiderată foarte dificilă și a numit-oDons asinorum - podul măgarului, sauelefuga - fuga „săracilor”, întrucât au fugit niște elevi „săraci” care nu aveau o pregătire serioasă la matematicăfie din geometrie. Elevi slabi care au memorat teoremefără a înțelege și, prin urmare, supranumit „măgari”, nu au pututcapacitatea de a depăși teorema lui Pitagora, care părea să le serveascăpod depășibil. Datorită desenelor care însoțesc teoremaPitagora, studenții au mai numit-o „ moara de vant", cuau scris poezii precum „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile” și au desenat desene animate.

A). Cea mai simplă dovadă

Probabil faptul enunțat în teorema lui Pitagora a fost un vischala este setat pentru dreptunghiuri isoscele. Uită-te doar la mozaicul de triunghiuri negre și deschise,pentru a verifica validitatea teoremei pentru triunghiurika ABC : un patrat construit pe ipotenuza contine patru triunghiuri, iar pe fiecare latura este construit un patrat continanddouă triunghiuri (Fig. 1, 2).

Dovezi bazate pe utilizarea conceptului de dimensiune egală a figurilor.

În acest caz, putem lua în considerare dovezi în care quadRath construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghiular datpătrat, „alcătuit” din aceleași figuri ca și pătratele construite pe picioare. Pot fi luate în considerare și următoarele doveziva, în care permutarea cifrelor sumand șisunt luate în considerare o serie de idei noi.

În fig. 3 arată două pătrate egale. Lungimea laturilor fiecareegală cu pătratula + b. Fiecare dintre pătrate este împărțit în părți,format din pătrate și triunghiuri dreptunghiulare. Este clar că dacă scădeți de patru ori aria unui triunghi dreptunghic cu catete din aria unui pătrata, b, atunci vor rămâne egali ai milă, adică Cu 2 = a 2 + b 2 . Cu toate acestea, vechii hinduși, cărora le-a aparținutacest raționament minte, de obicei nu l-au notat, ci l-au însoțitdesen cu un singur cuvânt: „Uite!” Este foarte posibil ca eaPitagora a oferit și câteva dovezi.

b). Dovada prin metoda de completare.

Esența acestei metode este că la pătrate, construițipe picioare, iar la un pătrat construit pe ipotenuză, cuconectați cifre egale astfel încât să fie egalecifre noi.

În fig. 4 arată un Pythago obișnuitfigura de rând triunghi dreptunghicABCcu pătrate construite pe laturile sale. La această figură sunt atașate treipătratele 1 și 2, egale cu dreapta inițialătriunghiul cărbunelui.

Valabilitatea teoremei lui Pitagora rezultă din aria egală a hexagoanelorAEDFPBȘi ACBNMQ. Iată un EP direct dehexagon aprinsAEDFPBîn două patrulatere egale, linia CM împarte hexagonulACBNMQîn două patrulatere egale; rotind planul cu 90° în jurul centrului A mapează patrulaterul AERB pe un patrulaterACMQ.

(Această dovadă a fost dată pentru prima dată de Leonardînainte de da Vinci.)

Figura pitagoreică finalizatăla un dreptunghi ale cărui laturi sunt paralelealiniat cu laturile corespunzătoare ale quadracoms construite pe picioare. Să împărțim acest dreptunghi în triunghiuri și dreptepătrate. Din dreptunghiul rezultatMai întâi, scădem toate poligoanele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lăsând un pătrat construit pe ipotenuză. Apoi din același dreptunghi scădem dreptunghiuri 5, 6, 7 și umbrite dreptepătrate, obținem pătrate construite pe picioare.

Acum să demonstrăm că cifrele scăzute în primul caz suntsunt egale ca mărime cu cifrele scăzute în al doilea caz.

Aceasta ilustrează dovada,dat de Nassir-ed-Din (1594). Aici: P.L.- Drept;

KLOA = ACPF = ACED = A 2 ;

LGBO= SVMR = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO= c 2 ;

deci cu 2 = A 2 + b 2 .

Orez. 7 ilustrează dovada,dat de Hoffmann (1821). AiciFigura pitagoreică este construită în așa fel încâtpătratele se află pe o parte a unei liniiAB. Aici:

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML=CBNQ= A 2 ;

OVMR =ABMF= Cu 2 ;

OVMR = OCLP + CBML;

Prin urmare c 2 = a 2 + b.

Aceasta ilustrează un alt ori mai multdovezile finale oferiteHoffman. Aici: triunghiABC cu dreptate unghi de spalare C; segment de linieB.F.perpendicularNE și egal cu acesta, segmentFIperpendicularAB și egal cu acesta, segmentANUNȚ perpendicular ren AC și egal cu acesta; puncteF, CU, D aparține recolta într-o linie dreaptă; patrulatereADFBși ACVE sunt egale ca mărime, deoareceABF= ESV; triunghiuriADFȘi ACE-urile sunt egale ca mărime;

scade din ambele patrulatere egalenickurile au un triunghi comunABC, obținem ½ A* A + ½ b* b – ½ c* c

V). Metoda algebrică de demonstrare.

Figura ilustrează dovada marelui matematician indian Bhaskari (celemul autor al lui Li-lavati,XIIV.). Desenul a fost însoțit de un singur cuvânt: UITE! Printre dovezile teoremei lui Pitagora prin metoda algebrică, pe primul loc (poate cel mai vechi) pentrupreia probe folosind subtext albina.

Istoricii cred că Bhaskara s-a născut zona intepaturii cu 2 pătrat construit peipotenuză, ca suma ariilor a patru triunghiuri 4(ab/2) și aria unui pătrat cu latura egală cu diferența catetelor.

Să prezentăm într-o prezentare modernă una dintre aceste dovezi:corpuri aparținând lui Pitagora.

eu "

În fig. 10 ABC - dreptunghiular, C - unghi drept, ( CM.L AB) b - proiecția piciorului b la ipotenuză, A - proiectia picioruluiA pe ipotenuză, h - altitudinea triunghiului trasat ipotenuză. Din faptul că ABC este similar cu AFM, rezultăb 2 = cb; (1) din faptul că ABC este similar cu VSM, rezultă că 2 = CA (2) Adunând egalitățile (1) și (2) termen cu termen, obținem a 2 + b 2 = cb + ca = = c (b + A) = c 2 .

Dacă Pitagora a oferit de fapt o asemenea dovadă,apoi a fost familiarizat cu o serie de teoreme geometrice importante,pe care istoricii moderni ai matematicii o atribuie de obicei Euclid.

Dovada lui Möhl- mană. Zona dată triunghi dreptunghicnika, pe de o parte, este egală cu 0,5 A* b, pe de altă parte 0,5* p*g, unde p - semiperimetrul unui triunghir - raza înscrisă în el este de cca.circumferinta (r = 0,5 - (a + b - c)).Avem: 0,5*a*b - 0,5*p*g - 0,5 (a + b + c) * 0,5-(a + b - c), de unde rezultă că c 2 = a 2 + b 2 .

d) Dovada lui Garfield.

În figura 12 sunt trei dreptetriunghiurile formează un trapez. De aceea.zona acestei figuri este posibilă.\ găsiți folosind formula zoneidi trapez dreptunghiular,sau ca sumă de zonetrei triunghiuri. În bandăÎn acest caz, această zonă este egală cucu 0,5 (a + b) (a + b), în secundă rom - 0,5* A* b+ 0,5*a* b+ 0,5*s 2

Echivalând aceste expresii, obținem teorema lui Pitagora.

Există multe dovezi ale teoremei lui Pitagora, realizatefolosind atât fiecare dintre metodele descrise cât și folosind o combinațienia diverse metode. Încheierea revizuirii exemplelor de diverse docurideclarații, iată mai multe desene care ilustrează cele opt moduribov, la care există referințe în „Elementele” lui Euclid (Fig. 13 - 20).În aceste desene figura lui Pitagora este reprezentată ca o linie continuăea, și construcții suplimentare - punctate.

După cum am menționat mai sus, egiptenii antici de mai mult de 2000 de aniîn urmă, au folosit practic proprietățile unui triunghi cu laturile 3, 4, 5 pentru a construi un unghi drept, adică au folosit de fapt teorema inversă teoremei lui Pitagora. Să prezentăm o demonstrație a acestei teoreme bazată pe criteriul de egalitate a triunghiurilor (adică unul care poate fi introdus foarte devreme în școalăpractică nouă). Deci, lăsați laturile triunghiuluiABC (Fig. 21) în legătură cu 2 = a 2 + b 2 . (3)

Să demonstrăm că acest triunghi este dreptunghic.

Să construim un triunghi dreptunghicA B C pe doua laturi, ale căror lungimi sunt egale cu lungimileAȘi b catetele unui triunghi dat. Fie lungimea ipotenuzei triunghiului construit pe c . Deoarece triunghiul construit este dreptunghic, atunci prin teorieîn rema pitagoreică avemc = A + b (4)

Comparând relațiile (3) și (4), obținem căCu= cu sau c = c Astfel, triunghiurile - cel dat și cel construit - sunt egale, deoarece au trei laturi, respectiv egale. Unghiul Ceste drept, prin urmare unghiul C al acestui triunghi este de asemenea drept.

Dovezi aditive.

Aceste dovezi se bazează pe descompunerea pătratelor construite pe laturi în figuri din care se poate forma un quadRath construit pe ipotenuză.

dovada lui Einstein ( orez. 23) bazat pe descompunereun pătrat construit pe ipotenuză în 8 triunghiuri.

Aici: ABC- dreptunghiular triunghi cu unghi drept C;COMN; SK MN; P.O.|| MN; E.F.|| MN.

Demonstrează-l singuradevărata egalitate a triunghiurilor, jumătatecalculat prin împărțirea pătratelor dupăconstruit pe catete și ipotenuză.

b) Pe baza dovezii lui al-Nayriziyah, a fost efectuată o altă descompunere a pătratelor în cifre egale în perechi (aiciABC - triunghi dreptunghic cu unghi drept C).

Această dovadă se mai numește și „articulată” deoarececă aici doar două părți, egale cu triunghiul inițial, își schimbă poziția și sunt, parcă, atașate de restulfigura pe balamalele în jurul cărora se rotesc (Fig. 25).

c) O altă demonstrație prin metoda descompunerii pătratelor înpărți egale, numite „roată cu lame”, este prezentată în orez. 26. Aici: ABC - triunghi dreptunghic cu unghi drept resturi ASA DE - centrul unui pătrat construit pe o latură mare; linii punctate care trec printr-un punctDESPRE, perpendicular sauparalel cu ipotenuza.

Această descompunere a pătratelor este interesantă deoarece patrulaterele sale egale în perechi pot fi mapate unul pe celălalt prin translație paralelă.

„Pantaloni pitagoreici” (dovada lui Euclid).

De două mii de ania schimbat dovada inventatăEuclid, care este pus în al luicelebrele „Principii”. Euclid opus cal inaltime VN de la vârful unui triunghi dreptunghic la ipotenuză și a demonstrat că continuarea sa împarte pătratul construit pe ipotenuză în două dreptunghiuri ale căror arii sunt egale

zonele pătratelor corespunzătoare construite pe laturi. Dovada lui Euclid în comparație cu vechiul chinez sau vechiul indian arată caexcesiv de complicat. Din acest motivel a fost adesea numit „stilted” și „articol”. Dar această păreresuperficial. Desenul folosit pentru a demonstra teorema se numește în glumă „pantaloni pitagoreici”. Pe parcursulmultă vreme a fost considerat unul dintre simbolurile științei matematice.

Dovezi chineze antice.

Tratate de matematică China antică a ajuns la noi în redacțieIIV. î.Hr e. Cert este că în 213 î.Hr. e. împărat chinez

Shi Huangdi, încercând să elimine tradițiile anterioare, a ordonat ca toate cărțile antice să fie arse. ÎnIIV. î.Hr e. hârtia a fost inventată în China și în același timp a început și restaurareacărți antice. Așa a apărut „Matematica în nouă cărți” -cea mai importantă dintre lucrările de matematică și astronomie care au supraviețuit ny.

În cartea a 9-a din „Matematică” există un desencare demonstrează teorema lui Pitagora.Cheia acestei dovezi nu este greu de găsit (Fig. 27).

De fapt, în chineza vecheaceleași patru triunghiuri dreptunghiulare egalepătrat cu picioarea, c si ipotenuza Cu aşezate astfel încât conturul lor exterior să fieexistă un pătrat cu o laturăa + b,și intern - un pătrat cu latura c, construit pe ipotenuză (fig. 28).

Dacă un pătrat cu laturăCu tăiat și restul de 4 triunghiuri umbriteplasate în două dreptunghiuri, este clar că golul rezultat, pe de o parte,

egal cu Cu, iar pe de alta

a + b 2 , adică Cu 2 = a 2 + b

Teorema este demonstrată.

Rețineți că cu o astfel de dovadă

Construcții în interiorul pătratului pe ipotenv-om vedea
dim în desenul chinez antic nu sunt folosite (Fig. 30). Aparent, matematicienii chinezi antici au avut ceva diferit înaintedovada si anume: daca la patrat cu
laturăCu două triunghiuri umbritetăiați nick-ul și atașați ipotenusele laalte două ipotenuze, atunci este ușor de găsitconfirma că cifra rezultată, care numit uneori „scaunul miresei”, cueste format din două pătrate cu laturiA Șib, adică cu 2 = A 2 + b 2 .

Figura reproduce negrudin tratatul „Zhou-bi...”. AiciTeorema lui Pitagora luată în considerare pentruTriunghi egiptean cu picioare3, 4 și ipotenuza 5 unități de măsură.Pătratul de pe ipotenuză conține 25celule, iar pătratul înscris în el pe latura mai mare este 16. Este clar că partea rămasă conține 9 celule. Aceasta șiva fi un pătrat pe latura mai mică.

De jur imprejur

Istoria teoremei lui Pitagora datează de secole și milenii. În acest articol, nu ne vom opri în detaliu subiecte istorice. De dragul intrigii, să spunem doar că, se pare, această teoremă era cunoscută vechilor preoți egipteni care au trăit mai mult de 2000 de ani î.Hr. Pentru cei curioși, iată un link către articolul Wikipedia.

În primul rând, de dragul completității, aș dori să prezint aici demonstrația teoremei lui Pitagora, care, după părerea mea, este cea mai elegantă și evidentă. Imaginea de mai sus arată două pătrate identice: stânga și dreapta. Din figură se poate observa că în stânga și în dreapta zonele figurilor umbrite sunt egale, deoarece în fiecare dintre pătratele mari există 4 triunghiuri dreptunghiulare identice umbrite. Aceasta înseamnă că zonele neumbrite (albe) din stânga și din dreapta sunt, de asemenea, egale. Remarcăm că în primul caz aria figurii neumbrite este egală cu , iar în al doilea caz aria regiunii neumbrite este egală cu . Prin urmare, . Teorema este demonstrată!

Cum să sun la aceste numere? Nu le poți numi triunghiuri, pentru că patru numere nu pot forma un triunghi. Si aici! Ca un șurub din albastru

Deoarece există astfel de cvadruple de numere, înseamnă că trebuie să existe un obiect geometric cu aceleași proprietăți reflectate în aceste numere!

Acum tot ce rămâne este să selectați un obiect geometric pentru această proprietate și totul va cădea la loc! Desigur, ipoteza era pur ipotetică și nu avea nicio bază în susținere. Dar dacă este așa!

Alegerea obiectelor a început. Stele, poligoane, regulate, neregulate, unghi drept și așa mai departe și așa mai departe. Din nou nimic nu se potrivește. Ce să fac? Și în acest moment Sherlock primește a doua lui pistă.

Trebuie să mărim dimensiunea! Deoarece trei corespunde unui triunghi pe un plan, atunci patru corespunde unui lucru tridimensional!

Oh nu! Prea multe opțiuni din nou! Și în trei dimensiuni există corpuri geometrice mult, mult mai diferite. Încercați să le parcurgeți pe toate! Dar nu este chiar atât de rău. Există, de asemenea, un unghi drept și alte indicii! Ce avem? Patru egipteni de numere (să fie egiptene, trebuie să fie numite ceva), un unghi drept (sau unghiuri) și un obiect tridimensional. Deducerea a funcționat! Și... cred că cititorii iuteși și-au dat seama deja că vorbim de piramide în care, la unul dintre vârfuri, toate cele trei unghiuri sunt drepte. Poți chiar să-i suni piramide dreptunghiulare asemănător cu un triunghi dreptunghic.

Noua teorema

Deci, avem tot ce ne trebuie. Piramide dreptunghiulare (!), laterale fațete si secante fata-hipotenuza. Este timpul să desenăm o altă imagine.

Imaginea prezintă o piramidă cu vârful ei la originea coordonatelor dreptunghiulare (piramida pare să stea întinsă pe o parte). Piramida este formată din trei vectori reciproc perpendiculari trasați de la origine de-a lungul axelor de coordonate. Adică fiecare marginea laterală O piramidă este un triunghi dreptunghic cu un unghi drept la origine. Capetele vectorilor definesc planul de tăiere și formează fața de bază a piramidei.

Teorema

Să existe o piramidă dreptunghiulară formată din trei vectori reciproc perpendiculari, ale căror arii sunt egale cu - , iar aria feței ipotenuzei este - . Apoi

Formulare alternativă: Pentru o piramidă tetraedrică, în care la unul dintre vârfuri toate unghiurile plane sunt drepte, suma pătratelor ariilor fețelor laterale este egală cu pătratul ariei bazei.

Desigur, dacă teorema obișnuită a lui Pitagora este formulată pentru lungimile laturilor triunghiurilor, atunci teorema noastră este formulată pentru ariile laturilor piramidei. Demonstrarea acestei teoreme în trei dimensiuni este foarte ușoară dacă cunoașteți puțină algebră vectorială.

Dovada

Să exprimăm ariile în termeni de lungimi ale vectorilor.

Unde .

Să ne imaginăm aria ca jumătate din aria unui paralelogram construit pe vectori și

După cum se știe, produs vectorial doi vectori este un vector a cărui lungime este numeric egală cu aria paralelogramului construit pe acești vectori.
De aceea

Prin urmare,

Q.E.D!

Desigur, ca persoană angajată profesional în cercetare, acest lucru s-a întâmplat deja în viața mea, de mai multe ori. Dar acest moment a fost cel mai strălucitor și mai memorabil. Am experimentat întreaga gamă de sentimente, emoții și experiențe ale unui descoperitor. De la nașterea unui gând, cristalizarea unei idei, descoperirea dovezilor - până la neînțelegerea completă și chiar respingerea cu care ideile mele s-au întâlnit printre prietenii, cunoscuții și, așa cum mi se părea atunci, întreaga lume. A fost unic! M-am simțit ca și cum aș fi în pielea lui Galileo, Copernic, Newton, Schrödinger, Bohr, Einstein și a multor alți descoperitori.

Postfaţă

În viață, totul s-a dovedit a fi mult mai simplu și mai prozaic. Am întârziat... Dar cu cât! Doar 18 ani! Sub tortură prelungită și nu pentru prima dată, Google mi-a recunoscut că această teoremă a fost publicată în 1996!

Articol publicat de Texas Press universitate tehnica. Autorii, matematicieni profesioniști, au introdus terminologia (care, de altfel, a coincis în mare măsură cu a mea) și au demonstrat și o teoremă generalizată care este valabilă pentru un spațiu de orice dimensiune mai mare de unu. Ce se întâmplă în dimensiuni mai mari de 3? Totul este foarte simplu: în loc de fețe și zone vor fi hipersuprafețe și volume multidimensionale. Și afirmația, desigur, va rămâne aceeași: suma pătratelor volumelor fețelor laterale este egală cu pătratul volumului bazei - doar numărul de fețe va fi mai mare, iar volumul fiecăreia dintre ele vor fi egale cu jumătate din produsul vectorilor generatori. Este aproape imposibil de imaginat! Nu se poate decât, așa cum spun filozofii, să se gândească!

În mod surprinzător, când am aflat că o astfel de teoremă era deja cunoscută, nu m-am supărat deloc. Undeva în adâncul sufletului meu, am bănuit că era foarte posibil să nu fiu primul și am înțeles că trebuie să fiu mereu pregătit pentru asta. Dar acea experiență emoționantă pe care am primit-o a aprins în mine o scânteie de cercetător, care, sunt sigur, acum nu se va stinge niciodată!

P.S.

Un cititor erudit a trimis un link în comentarii
teorema lui De Gois

Extras din Wikipedia

În 1783, teorema a fost prezentată Academiei de Științe din Paris de către matematicianul francez J.-P. de Gois, dar a fost cunoscut anterior lui René Descartes și înaintea lui Johann Fulgaber, care a fost probabil primul care l-a descoperit în 1622. În mai mult vedere generala teorema a fost formulată de Charles Tinsault (francez) într-un raport adresat Academiei de Științe din Paris în 1774

Deci nu am întârziat 18 ani, ci cel puțin câteva secole!

Surse

Cititorii au oferit câteva link-uri utile în comentarii. Iată acestea și alte câteva link-uri:

Potrivit lui Van der Waerden, este foarte probabil ca raportul în formă generală să fi fost cunoscut în Babilon în jurul secolului al XVIII-lea î.Hr. e.

În jurul anului 400 î.Hr. î.Hr., conform lui Proclu, Platon a oferit o metodă pentru găsirea tripleților pitagoreici, combinând algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr. e. Cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora a apărut în Elementele lui Euclid.

Formulări

Formularea de bază conține operații algebrice - într-un triunghi dreptunghic, ale căror lungimi ale catetelor sunt egale a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b), iar lungimea ipotenuzei este c (\displaystyle c), este îndeplinită următoarea relație:

.

Este posibilă și o formulare geometrică echivalentă, recurgând la conceptul de aria unei figuri: într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe picioare. Teorema este formulată în această formă în Elementele lui Euclid.

Conversați teorema lui Pitagora- o afirmație despre dreptunghiularea oricărui triunghi, ale cărui lungimi ale laturilor sunt legate prin relație a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). În consecință, pentru orice triplu numere pozitive a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)Și c (\displaystyle c), astfel încât a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), există un triunghi dreptunghic cu catete a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c).

Dovada

Există cel puțin 400 de dovezi ale teoremei lui Pitagora înregistrate în literatura științifică, ceea ce se explică atât prin semnificația sa fundamentală pentru geometrie, cât și prin natura elementară a rezultatului. Principalele direcții de demonstrație: utilizarea algebrică a relațiilor dintre elementele unui triunghi (de exemplu, metoda similarității populare), metoda ariilor, există și diverse dovezi exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri asemănătoare

Dovada clasică a lui Euclid are ca scop stabilirea egalității ariilor dintre dreptunghiuri formate prin disecția pătratului de deasupra ipotenuzei după înălțimea unghiului drept cu pătratele de deasupra catetelor.

Construcția folosită pentru demonstrație este următoarea: pentru un triunghi dreptunghic cu unghi drept C (\displaystyle C), pătrate peste catete și și pătrate peste ipotenuză A B I K (\displaystyle ABIK) se construiește înălțimea CHși raza care o continuă s (\displaystyle s), împărțind pătratul de deasupra ipotenuzei în două dreptunghiuri și . Dovada are ca scop stabilirea egalității ariilor dreptunghiului A H J K (\displaystyle AHJK) cu un pătrat peste picior A C (\displaystyle AC); egalitatea ariilor celui de-al doilea dreptunghi, constituind patratul de deasupra ipotenuzei, si dreptunghiul de deasupra celuilalt catet se stabileste in mod similar.

Egalitatea ariilor unui dreptunghi A H J K (\displaystyle AHJK)Și A C E D (\displaystyle ACED) se stabilește prin congruența triunghiurilor △ A C K ​​​​(\displaystyle \triangle ACK)Și △ A B D (\displaystyle \triunghi ABD), a căror aria fiecăruia este egală cu jumătate din aria pătratelor A H J K (\displaystyle AHJK)Și A C E D (\displaystyle ACED)în consecință, în legătură cu următoarea proprietate: aria unui triunghi este egală cu jumătate din aria unui dreptunghi dacă figurile au o latură comună, iar înălțimea triunghiului față de latura comună este cealaltă parte a dreptunghiul. Congruența triunghiurilor rezultă din egalitatea a două laturi (laturile pătratelor) și unghiul dintre ele (compus dintr-un unghi drept și un unghi la A (\displaystyle A).

Astfel, dovada stabilește că aria unui pătrat deasupra ipotenuzei, compusă din dreptunghiuri A H J K (\displaystyle AHJK)Și B H J I (\displaystyle BHJI), este egală cu suma ariilor pătratelor peste catete.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Metoda zonei include și o dovadă găsită de Leonardo da Vinci. Să fie dat un triunghi dreptunghic △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC) cu unghi drept C (\displaystyle C)și pătrate A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)Și A B H J (\displaystyle ABHJ)(Vezi poza). În această dovadă în lateral HJ (\displaystyle HJ) ultima data in afara se construiește un triunghi, congruent △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC)în plus, reflectată atât în ​​raport cu ipotenuză, cât și în raport cu înălțimea acesteia (adică J I = B C (\displaystyle JI=BC)Și H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Drept C I (\displaystyle CI)împarte pătratul construit pe ipotenuză în două părți egale, deoarece triunghiuri △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC)Și △ J H I (\displaystyle \triunghi JHI) egale în construcție. Demonstrarea stabilește congruența patrulaterelor C A J I (\displaystyle CAJI)Și D A B G (\displaystyle DABG), a căror aria fiecăreia se dovedește a fi, pe de o parte, egală cu suma a jumătate din ariile pătratelor de pe picioare și aria triunghiului inițial, pe de altă parte, jumătate din aria pătratului de pe ipotenuză plus aria triunghiului inițial. În total, jumătate din suma ariilor pătratelor peste catete este egală cu jumătate din aria pătratului peste ipotenuză, ceea ce este echivalent cu formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.

Dovada prin metoda infinitezimală

Există mai multe dovezi folosind tehnica ecuațiilor diferențiale. În special, lui Hardy i se atribuie o dovadă folosind incremente infinitezimale ale picioarelor a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c), și păstrând asemănarea cu dreptunghiul inițial, adică asigurând îndeplinirea următoarelor relații diferențiale:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Folosind metoda separării variabilelor, din acestea se derivă o ecuație diferențială c d c = a re a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), a cărui integrare dă relația c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Aplicarea condițiilor inițiale a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definește constanta ca 0, ceea ce are ca rezultat enunțul teoremei.

Dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma este asociată cu contribuții independente din incrementul diferitelor catete.

Variații și generalizări

Forme geometrice similare pe trei laturi

O generalizare geometrică importantă a teoremei lui Pitagora a fost dată de Euclid în Elemente, trecând de la ariile pătratelor de pe laturi la ariile de similare arbitrare. forme geometrice: suma ariilor unor astfel de figuri construite pe picioare va fi egală cu aria unei figuri similare construite pe ipotenuză.

Ideea principală a acestei generalizări este că aria unei astfel de figuri geometrice este proporțională cu pătratul oricăreia dintre ele. dimensiune liniarăși în special pătratul lungimii oricărei laturi. Prin urmare, pentru cifre similare cu zone A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)Și C (\displaystyle C), construit pe picioare cu lungimi a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c)În consecință, este valabilă următoarea relație:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Deoarece conform teoremei lui Pitagora a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), apoi gata.

În plus, dacă este posibil să se demonstreze, fără a invoca teorema lui Pitagora, că pentru ariile a trei figuri geometrice asemănătoare de pe laturile unui triunghi dreptunghic, este valabilă următoarea relație: A + B = C (\displaystyle A+B=C), apoi folosind reversul demonstrației generalizării lui Euclid, se poate obține o demonstrație a teoremei lui Pitagora. De exemplu, dacă pe ipotenuză construim un triunghi dreptunghic congruent cu cel inițial cu o zonă C (\displaystyle C), iar pe laturi - două triunghiuri dreptunghiulare similare cu zone A (\displaystyle A)Și B (\displaystyle B), atunci se dovedește că triunghiurile de pe laturi se formează ca urmare a împărțirii triunghiului inițial la înălțimea sa, adică suma celor două zone mai mici ale triunghiurilor este egală cu aria celui de-al treilea, astfel A + B = C (\displaystyle A+B=C)și, aplicând relația pentru figuri similare, se derivă teorema lui Pitagora.

Teorema cosinusului

Teorema lui Pitagora este un caz special al teoremei cosinusului mai general, care raportează lungimile laturilor dintr-un triunghi arbitrar:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

unde este unghiul dintre laturi a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b). Dacă unghiul este de 90°, atunci cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), iar formula se simplifică la teorema obișnuită a lui Pitagora.

Triunghiul liber

Există o generalizare a teoremei lui Pitagora la un triunghi arbitrar, care operează numai pe raportul lungimilor laturilor, se crede că a fost stabilită pentru prima dată de astronomul sabian Thabit ibn Qurra. În el, pentru un triunghi arbitrar cu laturi, un triunghi isoscel cu o bază pe latură se potrivește în el c (\displaystyle c), vârful care coincide cu vârful triunghiului original, opus laturii c (\displaystyle c) iar unghiurile de la bază egale cu unghiul θ (\displaystyle \theta ), partea opusă c (\displaystyle c). Ca urmare, se formează două triunghiuri, similare cu cel original: primul - cu laturi a (\displaystyle a), latura cea mai îndepărtată de aceasta a triunghiului isoscel înscris și r (\displaystyle r)- părți laterale c (\displaystyle c); al doilea - simetric față de acesta din lateral b (\displaystyle b) cu laterala s (\displaystyle s)- partea corespunzătoare a laturii c (\displaystyle c). Ca urmare, următoarea relație este satisfăcută:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

degenerând în teorema lui Pitagora la θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Relația este o consecință a asemănării triunghiurilor formate:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Teorema lui Pappus asupra arii

Geometrie non-euclidiană

Teorema lui Pitagora este derivată din axiomele geometriei euclidiene și nu este valabilă pentru geometria non-euclidiană - îndeplinirea teoremei lui Pitagora este echivalentă cu postulatul paralelismului euclidian.

În geometria non-euclidiană, relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic va fi în mod necesar într-o formă diferită de teorema lui Pitagora. De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic, care delimitează octantul sferei unității, au o lungime π / 2 (\displaystyle \pi /2), care contrazice teorema lui Pitagora.

Mai mult, teorema lui Pitagora este valabilă în geometria hiperbolică și eliptică dacă cerința ca triunghiul să fie dreptunghiular este înlocuită cu condiția ca suma a două unghiuri ale triunghiului să fie egală cu al treilea.

Geometrie sferică

Pentru orice triunghi dreptunghic pe o sferă cu rază R (\displaystyle R)(de exemplu, dacă unghiul dintr-un triunghi este drept) cu laturile a , b , c (\displaystyle a,b,c) relația dintre părți este:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\dreapta)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\dreapta)).

Această egalitate poate fi derivată ca un caz special al teoremei cosinusului sferic, care este valabilă pentru toate triunghiurile sferice:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Unde ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- cosinus hiperbolic. Această formulă este un caz special al teoremei cosinusului hiperbolic, care este valabilă pentru toate triunghiurile:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Unde γ (\displaystyle \gamma )- un unghi al cărui vârf este opus laturii c (\displaystyle c).

Folosind seria Taylor pentru cosinusul hiperbolic ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\aprox 1+x^(2)/2)) se poate arăta că dacă un triunghi hiperbolic scade (adică când a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)Și c (\displaystyle c) tind spre zero), atunci relațiile hiperbolice dintr-un triunghi dreptunghic se apropie de relația teoremei lui Pitagora clasice.

Aplicație

Distanța în sisteme dreptunghiulare bidimensionale

Cea mai importantă aplicație a teoremei lui Pitagora este determinarea distanței dintre două puncte dintr-un sistem de coordonate dreptunghiulare: distanța s (\displaystyle s)între punctele cu coordonate (a, b) (\displaystyle (a,b))Și (c, d) (\displaystyle (c,d)) este egal cu:

s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Pentru numerele complexe, teorema lui Pitagora oferă o formulă naturală pentru găsirea modulului unui număr complex - pentru z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) este egal cu lungimea

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Postat pe http://www.allbest.ru/

Introducere

1. Din biografia lui Pitagora

2. Pitagora și pitagoreicii

3. Din istoria creării teoremei

4. Şase dovezi ale teoremei

4.1 Dovezi chineze antice

4.2 Dovada de J. Hardfield

4.3 Dovada este cea mai veche

4.4 Cea mai simplă dovadă

4.5 Dovada anticilor

4.6 Dovada lui Euclid

5. Aplicarea teoremei lui Pitagora

5.1 Probleme teoretice

5.2 Probleme practice (vechi)

Concluzie

Bibliografie

INTRODUCERE

In aceea an academic ne-am familiarizat cu o teoremă interesantă, cunoscută, după cum sa dovedit, din cele mai vechi timpuri:

« Pătrat,construitpeipotenuzădreptunghiulartriunghidimensiune egalăCantitatepătrateconstruitpepicioare»

Descoperirea acestei afirmații este de obicei atribuită filozofului și matematicianului grec antic Pitagora (secolul al VI-lea î.Hr.). Dar studiul manuscriselor antice a arătat că această afirmație era cunoscută cu mult înainte de nașterea lui Pitagora.

Ne-am întrebat de ce, în acest caz, este asociat cu numele lui Pitagora.

Scopul cercetării noastre a fost să aflăm cine a fost Pitagora și cum se raportează el la această teoremă. Studiind istoria teoremei, am decis să aflăm:

Există și alte dovezi ale acestei teoreme?

Care este semnificația acestei teoreme în viața oamenilor?

Ce rol a jucat Pitagora în dezvoltarea matematicii?

1. Din biografia lui Pitagora

Pitagora din Samos este un mare om de știință grec. Numele lui este familiar oricărui școlar. Dacă vi se cere să numiți un matematician antic, marea majoritate îl va numi pe Pitagora. Faima lui este asociată cu numele teoremei lui Pitagora. Deși știm acum că această teoremă era cunoscută în Babilonul antic cu 1200 de ani înainte de Pitagora, iar în Egipt, cu 2000 de ani înainte de el, era cunoscut un triunghi dreptunghic cu laturile 3, 4, 5, o numim încă cu numele acestui om de știință antic.

Aproape nimic nu se știe cu încredere despre viața lui Pitagora, dar numele lui este asociat un numar mare de legende.

Pitagora s-a născut în anul 570 î.Hr. e pe insula Samos. Tatăl lui Pitagora a fost Mnesarchus, un cioplitor pietre pretioase. Mnesarchus, potrivit lui Apuleius, „era faimos printre meșteri pentru arta sa de a tăia pietre prețioase”, dar a dobândit faimă mai degrabă decât bogăție. Nu s-a păstrat numele mamei lui Pitagora.

Pitagora avea un aspect frumos, purta o barbă lungă și o diademă de aur pe cap. Pitagora nu este un nume, ci o poreclă pe care a primit-o filosoful pentru că a vorbit întotdeauna corect și convingător, ca un oracol grec. (Pitagora - „persuasiv prin vorbire”).

Printre învățătorii tinerilor Pitagora s-au numărat Hermodamantus și Pherecydes mai în vârstă din Syros (deși nu există o certitudine fermă că Hermodamantus și Pherecydes au fost primii profesori ai lui Pitagora). Tânărul Pitagora a petrecut zile întregi la picioarele bătrânului Hermodama, ascultând melodia citrei și hexametrele lui Homer. Pitagora și-a păstrat pasiunea pentru muzica și poezia marelui Homer de-a lungul vieții. Și, fiind un înțelept recunoscut, înconjurat de o mulțime de discipoli, Pitagora și-a început ziua cântând unul dintre cântecele lui Homer.

Pherecydes a fost un filosof și a fost considerat fondatorul școlii italiene de filosofie. Astfel, dacă Hermodamant l-a introdus pe tânărul Pitagora în cercul muzelor, atunci Pherecydes și-a îndreptat mintea către logos. Pherecydes a îndreptat privirea lui Pitagora către natură și l-a sfătuit să-și vadă singur în ea primul și principalul său profesor.

Dar oricum ar fi, imaginația neliniștită a tânărului Pitagora s-a înghesuit foarte curând în micul Samos și s-a dus la Milet, unde a întâlnit un alt om de știință - Thales. Thales l-a sfătuit să meargă în Egipt pentru cunoaștere, ceea ce a făcut și Pitagora.

În anul 550 î.Hr., Pitagora ia o decizie și pleacă în Egipt. Așadar, înaintea lui Pitagora se deschide o țară necunoscută și o cultură necunoscută. Mult uimit și surprins pe Pitagora în această țară, iar după câteva observații asupra vieții egiptenilor, Pitagora și-a dat seama că calea către cunoaștere, protejată de casta preoțească, era prin religie.

Împreună cu băieții egipteni, el, o Ellin matură, cu o barbă neagră și ondulată, s-a așezat la plăcile de calcar. Dar, spre deosebire de tovarășii săi mai mici, urechile bărbosului Ellin nu erau pe spate, iar capul lui stătea nemișcat. Foarte curând Pitagora și-a depășit cu mult colegii de clasă. Dar școala cărturarilor a fost doar primul pas pe calea către cunoașterea secretă.

După unsprezece ani de studii în Egipt, Pitagora pleacă în patria sa, unde pe parcurs ajunge în captivitatea babiloniană. Acolo face cunoștință cu știința babiloniană, care era mai dezvoltată decât egipteana. Babilonienii au fost capabili să rezolve ecuații liniare, pătratice și unele tipuri de ecuații cubice. Ei au aplicat cu succes teorema lui Pitagora cu mai mult de 1000 de ani înainte de Pitagora. După ce a scăpat din captivitate, nu a putut rămâne mult timp în patria sa din cauza atmosferei de violență și tiranie care domnea acolo. A decis să se mute la Croton (o colonie greacă din nordul Italiei).

În Croton a început cea mai glorioasă perioadă din viața lui Pitagora. Acolo a înființat ceva de genul o frăție religios-etică sau un ordin monahal secret, ai cărui membri erau obligați să conducă așa-zisul mod de viață pitagoreic.

2. PitagoraȘipitagoreici

Pitagora organizat în colonie greacăîn sudul Peninsulei Apenini, o frăție religioasă și etică, precum un ordin monahal, care mai târziu avea să fie numită Unirea Pitagoreică. Membrii uniunii trebuiau să adere la anumite principii: în primul rând, să se străduiască pentru frumos și glorios, în al doilea rând, să fie folositori și, în al treilea rând, să se străduiască pentru o mare plăcere.

Sistemul de reguli morale și etice, lăsat moștenit de Pitagora studenților săi, a fost compilat într-un cod moral deosebit al pitagoreenilor „Versuri de aur”, care au fost foarte populare în epoca Antichității, Evul Mediu și Renaștere. Sistemul pitagoreic de clase consta din trei secțiuni:

predare despre numere - aritmetică,

învățături despre figuri - geometrie,

doctrine despre structura Universului – astronomie.

Sistemul de învățământ fondat de Pitagora a durat multe secole.

Pitagoreii au învățat că Dumnezeu a pus numerele la baza ordinii mondiale. Dumnezeu este unitate, iar lumea este pluralitate și constă din contrarii. Ceea ce aduce contrarii la unitate și leagă totul în cosmos este armonia. Armonia este divină și se află în expresii numerice. Cine studiază armonia până la capăt va deveni el însuși divin și nemuritor.

Muzica, armonia și numerele erau indisolubil legate în învățăturile pitagoreenilor. Matematica și misticismul numeric se amestecau fantastic în el. Pitagora credea că numărul este esența tuturor lucrurilor și că Universul este un sistem armonios de numere și relațiile lor.

Școala pitagoreică a făcut multe pentru a da geometriei caracterul unei științe. Principala caracteristică a metodei pitagoreice a fost combinarea geometriei cu aritmetica.

Pitagora s-a ocupat mult de proporții și progresii și, probabil, de asemănarea cifrelor, întrucât i se atribuie rezolvarea problemei: „Dând două cifre, construiește o a treia, egală ca mărime cu una dintre date și similară celei de-a doua. ”

Pitagora și studenții săi au introdus conceptul de numere poligonale, prietenoase, perfecte și le-au studiat proprietățile. Pitagora nu era interesat de aritmetică ca practică de calcul și a declarat cu mândrie că „pune aritmetica mai presus de interesele comerciantului”.

Pitagora a fost unul dintre primii care au crezut că Pământul este sferic și este centrul Universului, că Soarele, Luna și planetele au propria lor mișcare, diferită de mișcarea zilnică a stelelor fixe.

Nicolaus Copernic a perceput învățătura pitagoreenilor despre mișcarea Pământului ca preistoria învățăturii sale heliocentrice. Nu e de mirare că biserica a declarat sistemul copernican o „doctrină pitagoreică falsă”.

În școala lui Pitagora, descoperirile elevilor au fost atribuite profesorului, așa că este aproape imposibil să se determine ce a făcut Pitagora însuși și ce au făcut elevii săi.

În al treilea mileniu au loc dispute în jurul Uniunii Pitagore, dar încă nu există un consens general. Pitagorei aveau multe simboluri și semne care erau un fel de porunci: de exemplu, „nu trece prin cântar”, adică. nu încălcați justiția; „Nu aprindeți focul cu un cuțit”, adică nu răniți oamenii supărați cu cuvinte jignitoare.

Dar principalul simbol pitagoreic - un simbol al sănătății și o marcă de identificare - a fost pentagrama sau steaua pitagoreică - un pentagon în formă de stea format din diagonalele unui pentagon obișnuit.

Membrii Ligii Pitagoreice erau rezidenți ai multor orașe din Grecia.

Postat pe http://www.allbest.ru/

Postat pe http://www.allbest.ru/

Pitagoreii au acceptat și femeile în societatea lor. Uniunea a înflorit mai bine de douăzeci de ani, apoi a început persecuția membrilor săi, mulți dintre studenți au fost uciși.

S-a vorbit mult despre moartea lui Pitagora însuși. legende diferite. Dar învățăturile lui Pitagora și ale studenților săi au continuat să trăiască.

3. DinpovestiriteoremePitagora

Acum se știe că această teoremă nu a fost descoperită de Pitagora. Cu toate acestea, unii cred că Pitagora a fost primul care a dat dovada completă, în timp ce alții îi neagă acest merit. Unii îi atribuie lui Pitagora dovada pe care Euclid o dă în prima carte a lui Elementele. Pe de altă parte, Proclu susține că demonstrația din Elemente îi aparține lui Euclid însuși.

După cum vedem, istoria matematicii nu a păstrat aproape deloc date specifice de încredere despre viața lui Pitagora și activitățile sale matematice. Dar legenda ne spune chiar circumstanțele imediate care au însoțit descoperirea teoremei. Mulți oameni cunosc sonetul romancierului german Chamisso:

Adevărul va rămâne etern, de îndată ce

O persoană slabă va ști!

Și acum teorema lui Pitagora

Adevărat, ca în epoca lui îndepărtată.

Sacrificiul a fost abundent

Zeilor din Pitagora. O sută de tauri

A renunțat la el pentru a fi sacrificat și ars

În spatele luminii este o rază care a venit din nori.

Prin urmare, de atunci,

Adevărul este doar să te naști,

Taurii răcnesc, simțind-o, urmând-o,

Ei nu pot opri lumina,

Și nu pot decât să închidă ochii și să tremure

Din frica pe care Pitagora le-a insuflat-o.

Începem revizuirea istorică a teoremei lui Pitagora cu: vechiChina. Aici Atentie speciala Sunt atrasă de cartea de matematică a lui Chu-Pei. Această lucrare vorbește despre triunghiul lui Pitagora cu laturile 3, 4 și 5:

« DacăDreptcolţîmprăștiatpecompozitpărți,Acealinia,conectarease terminăa luilaturi,voi5, CândbazaExistă3, Aînălţime4 » .

Este foarte ușor să reproduci metoda lor de construcție. Să luăm o frânghie de 12 m lungime și să legăm de ea o bandă colorată la o distanță de 3 m. de la un capăt și la 4 metri de celălalt.

Unghiul drept va fi închis între laturile de 3 și 4 metri lungime. În aceeași carte este propus un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Bashara.

Cantor(cel mai mare istoric german de matematică) consideră că egalitatea 3І + 4І = 5І era deja cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr., pe vremea regelui Amenemhet I (conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin).

Potrivit lui Cantor, harpedonapții, sau „trăgători de frânghii”, construiau unghiuri drepte folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturile de 3, 4 și 5.

Babilonienii știau ceva mai multe despre teorema lui Pitagora. Într-un text datând din vremea lui Hammurabi, i.e. până în 2000 î.Hr. se dă un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic; de aici putem concluziona că în Mesopotamia au fost capabili să efectueze calcule cu triunghiuri dreptunghiulare, cel puțin în unele cazuri.

Geometrielahinduşi a fost strâns asociat cu cultul. Este foarte probabil ca pătratul teoremei ipotenuzei să fi fost deja cunoscut în India în jurul secolului al VIII-lea î.Hr. Alături de prescripțiile pur ritualice, există și lucrări de natură teologică geometrică, numite Sulvasutras. În aceste scrieri datând din secolul al IV-lea sau al V-lea î.Hr., întâlnim construcția unui unghi drept folosind un triunghi cu laturile 15, 36, 39.

ÎNin mediesecol Teorema lui Pitagora a definit limita, dacă nu cea mai mare posibilă, atunci cel puțin cunoștințe matematice bune. Desenul caracteristic al teoremei lui Pitagora, care astăzi este transformat uneori de școlari, de exemplu, într-un profesor îmbrăcat în halat sau într-un bărbat cu o pălărie de cilindru, a fost adesea folosit în acele vremuri ca simbol al matematicii.

În concluzie, prezentăm diverse formulări ale teoremei lui Pitagora traduse din greacă, latină și germană.

UEuclid Această teoremă spune (traducere literală):

ÎNdreptunghiulartriunghipătratlaturi,încordatde mai susdirectunghi,egalăpătratepelaturi,concluzionandDreptcolţ.

Traducere latină a textului arab Annaricia(circa 900 î.Hr.), realizat de Gerhard Cremona(secolul al XII-lea) spune (tradus):

"Înfiecaredreptunghiulartriunghipătrat,educatpelatură,încordatde mai susdirectunghi,egalăCantitateDouăpătrate,educatpeDouălaturi,concluzionandDreptcolţ"

În Geometry Culmonensis (circa 1400) teorema se citește astfel (în traducere): « Asa de,pătratpătrat,măsuratDelungimelatură,asa dela felGrozav,CumlaDouăpătrate,caremăsuratDeDouăpetreceria lui,adiacentLadirectcolţ»

În traducerea rusă a „Principiilor” euclidiene, teorema lui Pitagora este prezentată după cum urmează: "ÎNdreptunghiulartriunghipătratdinlaturi,opusdirectcolţ,egalăCantitatepătratedinlaturi,conținândDreptcolţ".

După cum vedem, în tari diferiteȘi limbi diferite Există diferite versiuni ale formulării teoremei familiare. Creat în timp diferitși în diferite limbi, ele reflectă esența unei singure legi matematice, a cărei demonstrație are și mai multe opțiuni.

demonstrarea teoremei matematicii lui Pitagora

4. ŞasemoduridovadateoremePitagora

4.1 Chineză anticădovada

Un desen chinez antic arată patru triunghiuri dreptunghiulare egale cu picioare A, b si ipotenuza Cu așezate astfel încât conturul lor exterior să formeze un pătrat cu latura A+ b, iar cel interior este un pătrat cu latura Cu, construit pe ipotenuză

a 2 + 2ab +b 2 = c 2 + 2ab

4.2 DovadaJ.Hardfield(1882 G.)

Să aranjam două triunghiuri dreptunghiulare egale, astfel încât piciorul unuia dintre ele să fie o continuare a celuilalt.

Aria trapezului luată în considerare se găsește ca produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea

Pe de altă parte, aria unui trapez este egală cu suma ariilor triunghiurilor rezultate:

Echivalând aceste expresii, obținem:

sau cu 2 = a 2 + b 2

4.3 Cel mai vechidovada(conțineVunudinlucrăriBhaskars).

Fie ABCD un pătrat a cărui latură este egală cu ipotenuza triunghiului dreptunghic ABE (AB = c, BE = a, AE = b);

Fie CK BE = a, DL CK, AM DL

DABE = ?BCK = ?CDL = ?AMD,

înseamnă KL = LM = ME = EK = a-b.

4.4 Dovadacel mai simplu

Această demonstrație se obține în cel mai simplu caz al unui triunghi dreptunghic isoscel.

Probabil de aici a început teorema.

De fapt, este suficient doar să privim mozaicul de triunghiuri dreptunghiulare isoscele pentru a fi convins de validitatea teoremei.

De exemplu, pentru triunghiul ABC: pătratul construit pe ipotenuza AC conține 4 triunghiuri originale, iar pătratele construite pe laturi conțin două. Teorema este demonstrată.

4.5 Dovadavechihinduşi[ 2]

Un pătrat cu latura (a+b) poate fi împărțit în părți fie ca în figura a), fie ca în figura b). Este clar că piese 1, 2, 3, 4 sunt aceleasi in ambele poze. Și dacă egali sunt scăzuți din egal (ariile), atunci egali vor rămâne, adică. Cu 2 = A 2 + b 2 .

A) b)

In orice caz,vechihinduși,careaparțineAcestraţionament,de obiceiNuînregistratea lui,Aînsoţitnumaiunuintr-un cuvant:Uite!

4.6 DovadaEuclid

Timp de două milenii, cea mai folosită demonstrație a teoremei lui Pitagora a fost cea a lui Euclid. Este plasat în celebra sa carte „Principii”.

Euclid a coborât înălțimea BN de la vârful unghiului drept la ipotenuză și a demonstrat că continuarea ei împarte pătratul terminat pe ipotenuză în două dreptunghiuri, ale căror arii sunt egale cu ariile pătratelor corespunzătoare construite pe laturi.

Desenul folosit pentru a demonstra această teoremă se numește în glumă „pantaloni pitagoreici”. Multă vreme a fost considerat unul dintre simbolurile științei matematice.

Studenții din Evul Mediu au considerat foarte dificilă demonstrarea teoremei lui Pitagora și au numit-o Dons asinorum - podul măgarului sau elefuga - zborul „săracilor”, deoarece unii elevi „săraci” care nu aveau o pregătire serioasă la matematică au fugit de geometrie. Studenții slabi care au memorat teoreme pe de rost, fără să înțeleagă și, prin urmare, au fost supranumiți „măgari”, nu au putut depăși teorema lui Pitagora, care a servit ca o punte de netrecut pentru ei. Datorită desenelor care însoțesc teorema lui Pitagora, studenții au numit-o și „moară de vânt”, au compus poezii precum „Pantalonii lui Pitagora sunt egali din toate părțile” și au desenat desene animate.

5. AplicațieteoremePitagora

5.1 Sarciniteoreticmodern

1. Perimetrul unui romb este de 68 cm, iar una dintre diagonalele sale este de 30 cm. Aflați lungimea celeilalte diagonale a rombului.

Ipotenuza KR a triunghiului dreptunghic KMR este egală cu cm, iar catetul MR este egal cu 4 cm. Aflați mediana RS.

Pătratele sunt construite pe laturile unui triunghi dreptunghic și

S1-S2 = 112 cm2 şi S3 = 400 cm2. Aflați perimetrul triunghiului.

Triunghiul dat ABC, unghiul C = 90 0, CD AB, AC = 15 cm, AD = 9 cm.

Găsiți AB.

5.2 Sarcinipracticepocă

Pentru a asigura catargul trebuie să instalați 4 cabluri. Un capăt al fiecărui cablu trebuie fixat la o înălțime de 12 m, celălalt pe sol la o distanță de 5 m de catarg. Este suficient 50 m de cablu pentru a asigura catargul?

SarcinăindianmatematicăXIIsecolBhaskars

Pe malul râului creștea un plop singuratic

Deodată o rafală de vânt i-a rupt trunchiul.

Bietul plop a căzut. Și unghiul este corect

Odată cu curgerea râului i s-a format trunchiul.

Amintește-ți acum că există un râu în acel loc

Avea doar patru picioare lățime.

Vârful se apleca pe marginea râului.

Mai sunt doar trei picioare din portbagaj,

Va rog sa-mi spuneti in curand:

Cât de înalt este plopul?”

Sarcinădinmanual"Aritmetic"LeontiaMagnitsky

„Dacă o anumită persoană se întâmplă să construiască o scară până la un perete, înălțimea peretelui este de 117 picioare și vei găsi o scară de 125 de picioare.

Și vrea să știe câte opriri a semănat scările pentru a apăra capătul inferior de zid”.

Sarcinădinchinez„MatematicieniVnouăcărți"

„Există un rezervor cu o latură de 1 zhang = 10 chi în centrul acestuia, care iese deasupra apei cu 1 chi, dacă trageți trestia spre țărm.

Întrebarea este: care este adâncimea apei și care este lungimea stufului?

Concluzie

Teorema lui Pitagora este atât de faimoasă încât este dificil să-ți imaginezi o persoană care nu a auzit de ea. Am studiat o serie de surse istorice și matematice, inclusiv informații de pe Internet, și am văzut că teorema lui Pitagora este interesantă nu numai pentru istoria sa, ci și pentru că ocupă un loc important în viață și știință. Acest lucru este dovedit de diferitele interpretări ale textului acestei teoreme și modalitățile de demonstrare a acesteia date în această lucrare.

Deci, teorema lui Pitagora este una dintre principalele și, s-ar putea spune, cea mai importantă teoremă de geometrie. Semnificația sa constă în faptul că majoritatea teoremelor de geometrie pot fi deduse din ea sau cu ajutorul ei. Teorema lui Pitagora este de asemenea remarcabilă pentru că în sine nu este deloc evidentă. De exemplu, proprietățile unui triunghi isoscel pot fi văzute direct în desen. Dar oricât de mult te uiți la un triunghi dreptunghic, nu vei vedea niciodată că există o relație simplă între laturile lui: c 2 =a 2 +b 2. Prin urmare, vizualizarea este adesea folosită pentru a dovedi acest lucru.

Meritul lui Pitagora a fost că a dat un complet dovada stiintifica această teoremă.

Personalitatea omului de știință însuși, a cărui memorie nu este păstrată întâmplător de această teoremă, este interesantă. Pitagora este un orator minunat, profesor și educator, organizator al școlii sale, concentrat pe armonia muzicii și a numerelor, bunătatea și dreptatea, cunoașterea și imagine sănătoasă viaţă. El poate servi drept exemplu pentru noi, descendenții îndepărtați.

LiteraturăȘiȘiResurse de internet:

G.I. Glazer Istoria matematicii în clasele școlare VII-VIII, manual pentru profesori, - M: Prosveshchenie 1982.

ȘI EU. Dempan, N.Ya. Vilenkin „În spatele paginilor unui manual de matematică” Un manual pentru elevii din clasele 5-6, Moscova, Educație 1989.

IG. Zenkevich „Estetica unei lecții de matematică”, M.: Educație 1981.

Voitikova N.V. "Teorema lui Pitagora" munca de curs, Anzhero-Sudzhensk, 1999

V. Litzman. Teorema lui Pitagora, M. 1960.

A.V. Voloșinov „Pythagoras” M. 1993.

L.F. Pichurin „În spatele paginilor unui manual de algebră” M. 1990.

UN. Zemlyakov „Geometrie în clasa a X-a” M. 1986.

V.V. Afanasyev „Formarea activității creative a elevilor în procesul de rezolvare a problemelor matematice” Yaroslavl 1996.

P.I. Altynov „Teste. Geometrie clasele 7-9." M. 1998.

Ziarul „Matematică” 17/1996.

Ziarul „Matematică” 3/1997.

N.P. Antonov, M.Ya. Vygodsky, V.V. Nikitin, A.I. Sankin „Colecție de probleme de matematică elementară”. M. 1963.

G.V. Dorofeev, M.K. Potapov, N.Kh. Rozov „Manual de matematică”. M. 1973

A.I. Shchetnikov „Doctrina pitagoreică a numărului și mărimii”. Novosibirsk 1997.

"Numere reale. Expresii iraționale” clasa a VIII-a. Editura Universității din Tomsk. Tomsk - 1997.

DOMNIȘOARĂ. Atanasyan „Geometrie” clase 7-9. M: Iluminismul, 1991

Postat pe Allbest.ru

Documente similare

Istoria creării teoremei. Scurt curriculum vitae din viața lui Pitagora din Samos. Formulări de bază ale teoremei. Dovada lui Euclid, Hawkins. Dovada prin: triunghiuri similare, echicomplementaritate. Uz practic teoreme.

prezentare, adaugat 21.10.2011


Popularitatea și biografia marelui matematician, secretele teoremei lui Pitagora „Despre egalitatea pătratului ipotenuzei unui triunghi dreptunghic cu suma pătratelor catetelor”, istoria teoremei. Diverse metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora, domenii de aplicare a acesteia.

prezentare, adaugat 28.02.2012


O scurtă schiță biografică a vieții lui Pitagora. Istoria apariției teoremei lui Pitagora, răspândirea ei în continuare în întreaga lume. Formularea și demonstrarea teoremei folosind diverse metode. Posibilități de aplicare a teoremei lui Pitagora la calcule.

prezentare, adaugat 17.11.2011


Pagini de biografie filosof grec anticși matematica lui Pitagora. Teorema lui Pitagora: formulări de bază și metode de demonstrare. Conversați teorema lui Pitagora. Exemple de probleme folosind teorema lui Pitagora. „Pantaloni pitagoreici” și „troika”, „arborele pitagoreic”.

lucrare stiintifica, adaugata 29.03.2011


Principalele descoperiri ale lui Pitagora în domeniile geometriei, geografiei, astronomiei, muzicii și numerologiei. Formulările originale și algebrice ale celebrei teoreme. Una dintre multele modalități de a demonstra teorema lui Pitagora, principalele sale consecințe și aplicații.

prezentare, adaugat 12.05.2010


Drumul vietii Pitagora, călătoriile sale și moartea misterioasă. Meritele lui Pitagora în aritmetică, geometrie, muzică și astronomie. Formulări antice și moderne ale teoremei lui Pitagora. Dovada trigonometrică și câteva aplicații ale acestei teoreme.

prezentare, adaugat 13.12.2011


Efectuarea demonstrarii teoremelor lui Pitagora, Fermat si ipoteza Beale folosind metoda ecuatiilor parametrice in combinatie cu metoda schimbarii variabilelor. Ecuația teoremei lui Fermat ca opțiune privată ecuația ipotezei Beale, iar ecuația teoremei lui Fermat este teorema lui Pitagora.

munca de creatie, adaugat 20.05.2009


Calea vieții filosofului și matematicianului Pitagora. Diverse moduri de a-și demonstra teorema stabilind relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic (metoda ariilor). Folosind teorema inversă ca test pentru un triunghi dreptunghic.

prezentare, adaugat 04.04.2019


Calea lui Pitagora către cunoaștere, izvoarele învățăturilor sale și activitate științifică. Formularea teoremei lui Pitagora, cea mai simplă demonstrație folosind exemplul unui triunghi dreptunghic isoscel. Aplicarea teoremei studiate pentru rezolvarea problemelor geometrice.

prezentare, adaugat 18.12.2012


Formularea geometrică și algebrică a teoremei lui Pitagora. Numerositatea demonstrațiilor sale: prin triunghiuri similare, prin metoda ariilor, prin echicomplementaritate, folosind ecuații diferențiale. Dovezi ale lui Euclid și Leonardo da Vinci.