În această lecție ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs încrucișat al vectorilorȘi produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). Este în regulă, uneori se întâmplă că pentru fericire deplină, în plus produsul scalar al vectorilor, sunt necesare din ce în ce mai multe. Aceasta este dependența de vectori. Poate părea că intrăm în jungla geometriei analitice. Este gresit. În această secțiune a matematicii superioare există în general puțin lemn, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai complicat decât același produs scalar, vor fi chiar mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor fi convinși sau s-au lăsat deja convinși, este A NU FACE GREȘELI LA CALCULE. Repetă ca o vrajă și vei fi fericit =)

Dacă vectorii strălucesc undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restabili sau redobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv. Am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea; munca practica

Ce te va face fericit imediat? Când eram mică, puteam jongla cu două și chiar trei mingi. A mers bine. Acum nu va trebui să jonglați deloc, pentru că vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja este mai ușor!

Această operație, la fel ca și produsul scalar, implică doi vectori. Să fie acestea litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notat cuîn felul următor: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să notez produsul vectorial al vectorilor în acest fel, între paranteze pătrate cu o cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produsul scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci Care este diferența? Diferența evidentă este, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici provine numele operațiunii. În diferite literaturi educaționale, desemnările pot varia, de asemenea, voi folosi litera.

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiție: produs vectorial necoliniare vectori, luat înăuntru in aceasta ordine , numit VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Să descompunem definiția, sunt o mulțime de lucruri interesante aici!

Astfel, se pot evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectorii originali, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Se iau vectori într-o ordine strict definită: – „a” se înmulțește cu „fi”, și nu „fi” cu „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR, care este indicat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți cu ordine inversă, atunci obținem un vector egal în lungime și opus în direcție (culoarea zmeură). Adică, egalitatea este adevărată .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectori. În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Notă : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului vectorial nu este egală cu aria paralelogramului.

Să ne amintim una dintre formulele geometrice: Aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula de calcul a LUNGIMEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că formula este despre LUNGIMEA vectorului și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este că în problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Să obținem a doua formulă importantă. Diagonala unui paralelogram (linie punctată roșie) îl împarte în două triunghiuri egale. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită folosind formula:

4) Nu mai puțin fapt important este că vectorul este ortogonal cu vectorii, adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata zmeură) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază Are dreapta orientare. În lecția despre trecerea la o nouă bază Am vorbit suficient de detaliat despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama ce este orientarea în spațiu. Îți voi explica pe degete mana dreapta . Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector. Degetul inelarși degetul mic apăsați-l în palmă. Ca urmare deget mare– produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este o bază orientată spre dreapta (este cea din figură). Acum schimbați vectorii ( index și degetele mijlocii ) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. S-ar putea să aveți o întrebare: ce bază a lăsat orientarea? „Atribuiți” acelorași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea la stânga a spațiului (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, orientarea spațiului se schimbă cel mai mult oglindă obișnuită, iar dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci în cazul general nu va fi posibil să îl combinați cu „originalul”. Apropo, ține trei degete de oglindă și analizează reflexia ;-)

...ce bine e despre care știi acum orientat spre dreapta si stanga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre o schimbare de orientare sunt înfricoșătoare =)

Produsul încrucișat al vectorilor coliniari

Definiția a fost discutată în detaliu, rămâne de văzut ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei pot fi plasați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „pliază” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenerat paralelogramul este egal cu zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero

Astfel, dacă , atunci . Strict vorbind, produsul vectorial în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și se scrie că este pur și simplu egal cu zero.

Un caz special este produsul vectorial al unui vector cu el însuși:

Folosind produsul vectorial, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.

Pentru solutii exemple practice poate fi cerut tabel trigonometric pentru a găsi valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să aprindem focul:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod deliberat datele inițiale din clauze la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) În funcție de condiție, trebuie să găsiți lungime vector (produs încrucișat). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Dacă ați fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) În funcție de condiție, trebuie să găsiți pătrat paralelogram construit pe vectori. Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului vectorial:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că răspunsul nu vorbește deloc despre produsul vectorial despre care am fost întrebați zona figurii, în consecință, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie să găsim în funcție de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar Răspuns. Poate părea literal, dar există o mulțime de profesori literali printre ei, iar misiunea are șanse mari să fie returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o dispută deosebit de exagerată - dacă răspunsul este incorect, atunci se are impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a înțeles esența sarcinii. Acest punct trebuie ținut întotdeauna sub control atunci când rezolvăm orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.

Unde a ajuns litera mare „en”? În principiu, ar fi putut fi atașat suplimentar la soluție, dar pentru a scurta intrarea, nu am făcut asta. Sper că toată lumea înțelege asta și este o desemnare pentru același lucru.

Un exemplu popular pentru o soluție de bricolaj:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, în general, triunghiurile te pot chinui.

Pentru a rezolva alte probleme vom avea nevoie de:

Proprietăți ale produsului vectorial al vectorilor

Am luat deja în considerare unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei evidențiat în proprietăți, dar este foarte important din punct de vedere practic. Asa ca lasa sa fie.

2) – mai sus se discută și proprietatea, uneori se numește anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) – asociativ sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele pot fi mutate cu ușurință în afara produsului vectorial. Serios, ce ar trebui să facă acolo?

4) – distribuție sau distributiv legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Pentru a demonstra, să ne uităm la un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Soluţie: Condiția necesită din nou găsirea lungimii produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, luăm constantele în afara domeniului produsului vectorial.

(2) Luăm constanta în afara modulului, iar modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Restul este clar.

Răspuns:

Este timpul să adăugați mai multă lemne la foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Soluţie: Găsiți aria triunghiului folosind formula . Problema este că vectorii „tse” și „de” sunt ei înșiși prezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției Produsul punctual al vectorilor. Pentru claritate, vom împărți soluția în trei etape:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, să exprimăm un vector în termeni de vector. Încă nu se vorbește despre lungimi!

(1) Înlocuiți expresiile vectorilor.

(2) Folosind legi distributive, deschidem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, mutăm toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, pașii 2 și 3 pot fi executați simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății frumoase. În al doilea termen folosim proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca urmare, vectorul s-a dovedit a fi exprimat printr-un vector, care este ceea ce trebuia să fie realizat:

2) În a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune este similară cu Exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului necesar:

Etapele 2-3 ale soluției ar fi putut fi scrise într-un singur rând.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în teste, iată un exemplu pentru a o rezolva singur:

Exemplul 5

Găsiți dacă

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

, specificat pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:

Formula este foarte simplă: în linia de sus a determinantului scriem vectorii de coordonate, în a doua și a treia linie „punem” coordonatele vectorilor și punem în ordine strictă– mai întâi coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci rândurile trebuie schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
A)
b)

Soluţie: Verificarea se bazează pe una dintre afirmații această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor vectorial este egal cu zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Astfel, vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Iată, probabil, toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Această secțiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul va depinde de definiție, semnificația geometrică și câteva formule de lucru.

Munca mixta vectori este produsul a trei vectori:

Așa că s-au aliniat ca un tren și abia așteaptă să fie identificați.

Mai întâi, din nou, o definiție și o imagine:

Definiție: Lucru mixt necoplanare vectori, luate în această ordine, numit volum paralelipiped, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „–” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt desenate cu linii punctate:

Să ne aprofundăm în definiție:

2) Se iau vectori într-o anumită ordine, adică rearanjarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu are loc fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi observa un fapt evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi ușor diferit. Sunt obișnuit să desemnez un produs mixt prin , iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

A-prioriu produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul unui paralelipiped dat.

Notă : Desenul este schematic.

4) Să nu ne îngrijorăm din nou cu privire la conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. Cu cuvinte simple, produsul amestecat poate fi negativ: .

Direct din definiție urmează formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori.

Produs mixt (sau vector-scalar). trei vectori a, b, c (luați în ordinea indicată) se numesc produsul scalar al vectorului a și produsul vectorial b x c, adică numărul a(b x c), sau, ceea ce este același, (b x c)a.
Denumire: abc.

Scop. Calculatorul online este conceput pentru a calcula produsul mixt al vectorilor. Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word. În plus, un șablon de soluție este creat în Excel.

A ( ; ; )
b( ; ; )
c ( ; ; )
Când calculați determinantul, utilizați regula triunghiului

Semne de coplanaritate ale vectorilor

Trei vectori (sau un număr mai mare) se numesc coplanari dacă ei, reducându-se la o origine comună, se află în același plan.
Dacă cel puțin unul dintre cei trei vectori este zero, atunci cei trei vectori sunt de asemenea considerați coplanari.

Semn de coplanaritate. Dacă sistemul a, b, c este dreptaci, atunci abc>0 ; dacă rămâne, atunci abc Semnificația geometrică a produsului mixt. Produsul mixt abc a trei vectori necoplanari a, b, c este egal cu volumul paralelipipedului construit pe vectorii a, b, c, luat cu semnul plus dacă sistemul a, b, c este dreptaci. , și cu semnul minus dacă acest sistem este stângaci.

Proprietățile unui produs mixt

1. Când factorii sunt rearanjați circular, produsul mixt nu se modifică atunci când doi factori sunt rearanjați, semnul este inversat: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Rezultă din sensul geometric.
2. (a+b)cd=acd+bcd (proprietate distributivă). Se extinde la orice număr de termeni.
   Rezultă din definiția unui produs mixt.
3. (ma)bc=m(abc) (proprietate combinativă în raport cu un factor scalar).
   Rezultă din definiția unui produs mixt. Aceste proprietăți fac posibilă aplicarea transformărilor produselor mixte care diferă de cele algebrice obișnuite doar prin aceea că ordinea factorilor poate fi modificată doar ținând cont de semnul produsului.
4. Un produs mixt care are cel puțin doi factori egali este egal cu zero: aab=0.

Exemplul nr. 1. Găsiți un produs mixt.

ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Exemplul nr. 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. Toți termenii, cu excepția celor doi extremi, sunt egali cu zero. De asemenea, bca=abc . Prin urmare (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .
Soluţie Exemplul nr. 3. Calculați produsul mixt a trei vectori a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.

. Pentru a calcula produsul mixt al vectorilor, este necesar să se găsească determinantul unui sistem compus din coordonate vectoriale. Să scriem sistemul în formă. The calculator online

×

calculează produsul mixt al vectorilor. Se oferă o soluție detaliată. Pentru a calcula produsul mixt al vectorilor, selectați metoda de reprezentare a vectorilor (prin coordonate sau prin două puncte), introduceți datele în celule și faceți clic pe butonul „Calculați”.

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623, etc.), zecimale (ex. 67., 102.54, etc.) sau fracții. Fracția trebuie introdusă sub forma a/b, unde a și b (b>0) sunt numere întregi sau numere zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

Produsul mixt al vectorilor (teorie)

Munca mixta trei vectori este numărul care se obţine atunci când produs punctual rezultat produs vectorial primii doi vectori la al treilea vector. Cu alte cuvinte, dacă sunt dați trei vectori a, bȘi c, apoi pentru a obține produsul mixt al acestor vectori, mai întâi primii doi vectori și vectorul rezultat [ ab] este înmulțită scalar cu vectorul c.

Produs mixt a trei vectori a, bȘi c notată după cum urmează: abc sau așa ( a,b,c). Apoi putem scrie:

abc=([ab],c)

Înainte de a formula o teoremă care să reprezinte semnificația geometrică a unui produs mixt, familiarizați-vă cu conceptele de triplă dreaptă, triplă stângă, sistem de coordonate dreapta, sistem de coordonate stânga (definițiile 2, 2" și 3 de la pagina). produs vectorial al vectorilor online).

Pentru certitudine, în cele ce urmează vom lua în considerare numai sistemele de coordonate drepte.

Teorema 1. Produs mixt al vectorilor ([ab],c) este egal cu volumul unui paraleliped construit pe vectori reduși la o origine comună a, b, c, luat cu semnul plus, dacă trei a, b, c dreapta și cu semnul minus dacă trei a, b, c stânga Dacă vectorii a, b, c sunt coplanare, atunci ([ ab],c) este egal cu zero.

Corolarul 1. Următoarea egalitate este valabilă:

Prin urmare, este suficient să dovedim asta

([ab],c)=([bc],A)

(3)

Din expresia (3) este clar că părțile din stânga și din dreapta sunt egale cu volumul paralelipedului. Dar semnele părților drepte și stângi coincid, deoarece triplele vectorilor abcȘi bca au aceeasi orientare.

Egalitatea dovedită (1) ne permite să scriem produsul mixt a trei vectori a, b, c doar în formă abc, fără a specifica care doi vectori sunt înmulțiți vectorial cu primii doi sau cu ultimii doi.

Corolarul 2. O condiție necesară și suficientă pentru coplanaritatea a trei vectori este ca produsul lor mixt să fie egal cu zero.

Dovada rezultă din teorema 1. Într-adevăr, dacă vectorii sunt coplanari, atunci produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero. În schimb, dacă produsul mixt este egal cu zero, atunci coplanaritatea acestor vectori rezultă din teorema 1 (deoarece volumul unui paraleliped construit pe vectori reduși la o origine comună este egal cu zero).

Corolarul 3. Produsul mixt a trei vectori, dintre care doi coincid, este egal cu zero.

Într-adevăr. Dacă doi dintre cei trei vectori coincid, atunci ei sunt coplanari. Prin urmare, produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero.

Produs mixt al vectorilor în coordonate carteziene

Teorema 2. Fie trei vectori a, bȘi c definite de coordonatele lor dreptunghiulare carteziene

Dovada. Munca mixta abc egal cu produsul scalar al vectorilor [ ab] Și c. Produsul încrucișat al vectorilor [ ab] în coordonate carteziene se calculează prin formula ():

Ultima expresie poate fi scrisă folosind determinanți de ordinul doi:

este necesar și suficient ca determinantul să fie egal cu zero, ale cărui rânduri sunt umplute cu coordonatele acestor vectori, adică:

.

(7)

Pentru a demonstra corolarul, este suficient să luăm în considerare formula (4) și Corolarul 2.

Produs mixt de vectori cu exemple

Exemplul 1. Găsiți un produs mixt de vectori abс, Unde

Produs mixt al vectorilor a, b, c egal cu determinantul matricei L. Să calculăm determinantul matricei L, extinzând determinantul de-a lungul liniei 1:

Punctul final al vectorului A.