Dintre toate triunghiurile, există două tipuri speciale: triunghiuri dreptunghiulare și triunghiuri isoscele. De ce sunt aceste tipuri de triunghiuri atât de speciale? Ei bine, în primul rând, astfel de triunghiuri se dovedesc extrem de des a fi personajele principale în problemele Examenului de stat unificat din prima parte. Și în al doilea rând, problemele despre triunghiuri drepte și isoscele sunt mult mai ușor de rezolvat decât alte probleme de geometrie. Trebuie doar să cunoașteți câteva reguli și proprietăți. Toate cele mai interesante lucruri sunt discutate în subiectul corespunzător, dar acum să ne uităm la triunghiuri isoscele. Și, în primul rând, ce este un triunghi isoscel? Sau, după cum spun matematicienii, care este definiția unui triunghi isoscel?
Vezi cum arată:
La fel ca un triunghi dreptunghic, un triunghi isoscel are nume speciale pentru laturile sale. Se numesc două laturi egale laturi, iar tertul - bază.
Și din nou atenție la imagine:
Desigur, ar putea fi așa:
Deci fii atent: partea laterală - una din două laturi egaleîntr-un triunghi isoscel și baza este un terț.
De ce este un triunghi isoscel atât de bun? Pentru a înțelege acest lucru, să desenăm înălțimea la bază. Îți amintești ce înălțime are?
Ce s-a întâmplat? Dintr-un triunghi isoscel obținem două dreptunghiulare.
Acest lucru este deja bun, dar acest lucru se va întâmpla în orice, chiar și în cel mai „oblic” triunghi.
Cum este imaginea diferită pentru un triunghi isoscel? Uită-te din nou:
Ei bine, în primul rând, desigur, nu este suficient ca acești matematicieni ciudați doar să vadă - cu siguranță trebuie să demonstreze. În caz contrar, brusc aceste triunghiuri sunt ușor diferite, dar le vom considera la fel.
Dar nu vă faceți griji: în acest caz, dovedirea este aproape la fel de ușor ca să vedeți.
Să începem? Privește atent, avem:
Și asta înseamnă! De ce? Da, vom găsi pur și simplu și, și din teorema lui Pitagora (amintindu-ne în același timp că)
esti sigur? Ei bine, acum avem
Și pe trei părți - cel mai ușor (al treilea) semn al egalității triunghiurilor.
Ei bine, triunghiul nostru isoscel s-a împărțit în două dreptunghiulare identice.
Vezi cât de interesant este? S-a dovedit că:
Cum vorbesc de obicei matematicienii despre asta? Să mergem în ordine:
(Rețineți că mediana este o linie trasă dintr-un vârf care împarte latura în jumătate, iar bisectoarea este unghiul.)
Ei bine, aici am discutat ce lucruri bune pot fi văzute dacă este dat un triunghi isoscel. Am dedus că într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt egale, iar înălțimea, bisectoarea și mediana trasate la bază coincid.
Și acum apare o altă întrebare: cum să recunoaștem un triunghi isoscel? Adică, după cum spun matematicienii, ce sunt semnele unui triunghi isoscel?
Și se dovedește că trebuie doar să „întoarceți” toate afirmațiile invers. Acest lucru, desigur, nu se întâmplă întotdeauna, dar un triunghi isoscel este încă un lucru grozav! Ce se întâmplă după „cifra de afaceri”?
Ei bine, uite:
Dacă înălțimea și mediana coincid, atunci:
Dacă înălțimea și bisectoarea coincid, atunci: 
Dacă bisectoarea și mediana coincid, atunci:
Ei bine, nu uitați și folosiți:
- Dacă vi se oferă un triunghi triunghi isoscel, nu ezitați să desenați înălțimea, să obțineți două triunghiuri dreptunghiulare și să rezolvați problema despre un triunghi dreptunghic.
- Dacă i se dă asta două unghiuri sunt egale, apoi un triunghi exact isoscel și poți desena înălțimea și... (Casa pe care Jack a construit-o...).
- Dacă se dovedește că înălțimea este împărțită la jumătate, atunci triunghiul este isoscel cu toate bonusurile care decurg.
- Dacă se dovedește că înălțimea împarte unghiul dintre etaje - este și isoscel!
- Dacă o bisectoare împarte o latură în jumătate sau o mediană împarte un unghi, atunci se întâmplă și acest lucru numaiîntr-un triunghi isoscel
Să vedem cum arată în sarcini.
Problema 1(cel mai simplu)
Într-un triunghi, laturile și sunt egale, a. Găsi.
Noi decidem:
Mai întâi desenul.
Care este baza aici? Cu siguranță, .
Să ne amintim ce dacă, atunci și.
Desen actualizat:
Să notăm prin. Care este suma unghiurilor unui triunghi? ?
Folosim:
Începem răspuns: .
Nu e greu, nu? Nici nu a trebuit să reglez înălțimea.
Problema 2(De asemenea, nu foarte complicat, dar trebuie să repetăm subiectul)
Într-un triunghi, . Găsi.
Noi decidem:
Triunghiul este isoscel! Desenăm înălțimea (acesta este trucul cu care totul se va decide acum).
Acum haideți să „tașăm din viață”, să ne uităm la ea.
Deci, avem:
Să ne amintim valorile tabelului cosinusului (bine, sau uită-te la foaia de cheat...)
Rămâne doar să găsim: .
Răspuns: .
Rețineți că suntem aici Foarte cunoștințe necesare privind triunghiurile dreptunghiulare și sinusurile și cosinusurile „tabulare”. Foarte des se întâmplă acest lucru: subiectele , „Triunghiul isoscel” și în probleme merg împreună, dar nu sunt foarte prietenoase cu alte subiecte.
Triunghi isoscel. Nivel mediu.
Aceste două laturi egale sunt numite laturi, A a treia latură este baza unui triunghi isoscel.
Priviți imaginea: și - laturile, - baza triunghiului isoscel.
Să folosim o imagine pentru a înțelege de ce se întâmplă acest lucru. Să desenăm o înălțime dintr-un punct.
Aceasta înseamnă că toate elementele corespunzătoare sunt egale.
Toate! Într-o singură lovitură (înălțimea) au dovedit toate afirmațiile deodată.
Și amintiți-vă: pentru a rezolva o problemă despre un triunghi isoscel, este adesea foarte util să coborâți înălțimea până la baza triunghiului isoscel și să o împărțiți în două triunghiuri dreptunghiulare egale.
Semne ale unui triunghi isoscel
Afirmațiile inverse sunt de asemenea adevărate:
Aproape toate aceste afirmații pot fi dovedite din nou „dintr-o singură lovitură”.
1. Deci, lăsați să intre s-a dovedit a fi egal și.
Să verificăm înălțimea. Apoi
2. a) Acum lăsați un triunghi înălțimea și bisectoarea coincid.
2. b) Și dacă înălțimea și mediana coincid? Totul este aproape la fel, nu mai complicat!
 |
- pe două laturi |
2. c) Dar dacă nu există înălțime, care este coborât la baza unui triunghi isoscel, atunci nu există triunghiuri dreptunghiulare inițial. Prost!
Dar există o cale de ieșire - citiți-o în următorul nivel al teoriei, deoarece dovezile de aici sunt mai complicate, dar deocamdată amintiți-vă că, dacă mediana și bisectoarea coincid, triunghiul se va dovedi, de asemenea, isoscel și înălțimea va coincide în continuare cu această bisectoare și mediană.
Să rezumăm:
- Dacă triunghiul este isoscel, atunci unghiurile de la bază sunt egale, iar altitudinea, bisectoarea și mediana trasate la bază coincid.
- Dacă într-un triunghi există două unghiuri egale, sau vreo două dintre cele trei linii (bisectoare, mediană, altitudine) coincid, atunci un astfel de triunghi este isoscel.
Triunghi isoscel. Scurtă descriere și formule de bază
Un triunghi isoscel este un triunghi care are două laturi egale.
Semne ale unui triunghi isoscel:
- Dacă într-un anumit triunghi două unghiuri sunt egale, atunci acesta este isoscel.
- Dacă într-un triunghi ele coincid:
O) înălțime și bisectoare sau
b) înălțimea și mediana sau
V) mediană și bisectoare,
tras într-o parte, atunci un astfel de triunghi este isoscel.
RĂMĂSUL 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!
Deveniți student YouClever,
Pregătiți-vă pentru examenul de stat unificat sau examenul de stat unificat la matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,
Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, Programul de pregătire (registrul de lucru) „100gia”, nelimitat proces Examenul de stat unificatși OGE, 6000 de probleme cu analiza soluțiilor și a altor servicii YouClever și 100gia.
Proprietățile unui triunghi isoscel sunt exprimate prin următoarele teoreme.
Teorema 1. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.
Teorema 2. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și altitudinea.
Teorema 3. Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este bisectoarea și altitudinea.
Teorema 4. Într-un triunghi isoscel, altitudinea trasată la bază este bisectoarea și mediana.
Să demonstrăm una dintre ele, de exemplu Teorema 2.5.
Dovada. Să considerăm un triunghi isoscel ABC cu baza BC și să demonstrăm că ∠ B = ∠ C. Fie AD bisectoarea triunghiului ABC (Fig. 1). Triunghiurile ABD și ACD sunt egale conform primului semn de egalitate al triunghiurilor (AB = AC prin condiție, AD este o latură comună, ∠ 1 = ∠ 2, deoarece AD este o bisectoare). Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că ∠ B = ∠ C. Se demonstrează teorema.
Folosind teorema 1, se stabilește următoarea teoremă.
Teorema 5. Al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente (Fig. 2).
Comentariu. Propozițiile stabilite în exemplele 1 și 2 exprimă proprietățile bisectoarei perpendiculare a unui segment. Din aceste propuneri rezultă că bisectoarele perpendiculare pe laturile unui triunghi se intersectează într-un punct.
Exemplul 1. Demonstrați că un punct din plan echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.
Soluţie. Fie punctul M să fie echidistant de capetele segmentului AB (Fig. 3), adică AM = BM.
Atunci Δ AMV este isoscel. Să trasăm o dreaptă p prin punctul M și mijlocul O al segmentului AB. Prin construcție, segmentul MO este mediana triunghiului isoscel AMB și, prin urmare (Teorema 3), iar înălțimea, adică dreapta MO, este bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB.
Exemplul 2. Demonstrați că fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este echidistant de capetele acestuia.
Soluţie. Fie p bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB și punctul O punctul de mijloc al segmentului AB (vezi Fig. 3).
Să considerăm un punct arbitrar M situat pe dreapta p. Să desenăm segmentele AM și BM. Triunghiurile AOM și BOM sunt egale, deoarece unghiurile lor la vârful O sunt drepte, cateta OM este comună, iar cateta OA este egală cu cateta OB prin condiție. Din egalitatea triunghiurilor AOM și BOM rezultă că AM = BM.
Exemplul 3.În triunghiul ABC (vezi fig. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; în triunghi DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Comparați triunghiurile ABC și DEF. Găsiți unghiurile egale corespunzătoare.
Soluţie. Aceste triunghiuri sunt egale conform celui de-al treilea criteriu. În mod corespunzător, unghiuri egale: A și E (se află opuse laturi egale BC și FD), B și F (se află opuse laturi egale AC și DE), C și D (se află opuse laturi egale AB și EF).
Exemplul 4.În figura 5, AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Găsiți unghiul D.
Soluţie. Luați în considerare triunghiurile ABC și ADC. Ele sunt egale conform celui de-al treilea criteriu (AB = DC, BC = AD prin condiție și latura AC este comună). Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că ∠ B = ∠ D, dar unghiul B este egal cu 100°, ceea ce înseamnă că unghiul D este egal cu 100°.
Exemplul 5.Într-un triunghi isoscel ABC cu baza AC colț exterior la vârful C este 123°. Aflați dimensiunea unghiului ABC. Dați răspunsul în grade.
Soluție video.
Primii istorici ai civilizației noastre - grecii antici - menționează Egiptul ca fiind locul de naștere al geometriei. Este greu să fii de acord cu ei, știind cu ce precizie uimitoare au fost ridicate mormintele uriașe ale faraonilor. Poziție reciprocă planurile piramidelor, proporțiile lor, orientarea către punctele cardinale - pentru a obține o astfel de perfecțiune ar fi de neconceput fără cunoașterea elementelor de bază ale geometriei.
Cuvântul „geometrie” în sine poate fi tradus ca „măsurarea pământului”. Mai mult, cuvântul „pământ” nu apare ca o planetă - parte sistem solar, ci ca un avion. Marcarea zonelor pentru întreținere agricultură, cel mai probabil, este baza foarte originală a științei figurilor geometrice, a tipurilor și proprietăților acestora.
Un triunghi este cea mai simplă figură spațială a planimetriei, care conține doar trei puncte - vârfuri (nu sunt mai puține). Baza fundațiilor, poate de aceea ceva misterios și străvechi pare să fie în el. Ochiul atotvăzător din interiorul unui triunghi este unul dintre cele mai vechi semne oculte cunoscute, iar geografia distribuției sale și intervalul de timp sunt pur și simplu uimitoare. De la vechii civilizații egiptene, sumeriene, aztece și alte civilizații până la comunități mai moderne de iubitori de ocultism împrăștiate pe tot globul.
Ce sunt triunghiurile?
Un triunghi scalen obișnuit este un închis figură geometrică, formată din trei segmente de lungimi diferite și trei colțuri, dintre care niciuna nu este directă. În plus, există mai multe tipuri speciale.
Un triunghi ascuțit are toate unghiurile mai mici de 90 de grade. Cu alte cuvinte, toate unghiurile unui astfel de triunghi sunt acute.
Un triunghi dreptunghic, peste care școlarii au plâns mereu din cauza abundenței teoremelor, are un unghi de 90 de grade sau, cum se mai spune, o linie dreaptă.
Un triunghi obtuz se distinge prin faptul că unul dintre unghiurile sale este obtuz, adică dimensiunea lui este mai mare de 90 de grade.
Un triunghi echilateral are trei laturi de lungime egală. Într-o astfel de figură, toate unghiurile sunt, de asemenea, egale.
Și, în sfârșit, un triunghi isoscel are trei laturi, două egale una cu cealaltă.
Caracteristici distinctive
Proprietățile unui triunghi isoscel determină, de asemenea, diferența principală, principală a acestuia - egalitatea celor două laturi. Aceste laturi egale sunt de obicei numite șolduri (sau, mai des, părțile laterale), iar a treia latură se numește „bază”.
În figura luată în considerare, a = b.
Al doilea criteriu pentru un triunghi isoscel rezultă din teorema sinusurilor. Deoarece laturile a și b sunt egale, sinusurile unghiurilor lor opuse sunt egale:
a/sin γ = b/sin α, de unde avem: sin γ = sin α.
Din egalitatea sinusurilor rezultă egalitatea unghiurilor: γ = α.
Deci, al doilea semn al unui triunghi isoscel este egalitatea a două unghiuri adiacente bazei.
Al treilea semn. Într-un triunghi, există elemente precum altitudinea, bisectoarea și mediana.
Dacă, în procesul de rezolvare a problemei, se dovedește că în triunghiul în cauză oricare două dintre aceste elemente coincid: înălțimea cu bisectoarea; bisectoare cu mediană; mediană cu înălțimea - putem concluziona cu siguranță că triunghiul este isoscel.
Proprietățile geometrice ale unei figuri
1. Proprietățile unui triunghi isoscel. Una dintre calitățile distinctive ale figurii este egalitatea unghiurilor adiacente bazei:
<ВАС = <ВСА.
2. O altă proprietate a fost discutată mai sus: mediana, bisectoarea și altitudinea într-un triunghi isoscel coincid dacă sunt construite de la vârful său până la baza lui.
3. Egalitatea bisectoarelor trase din vârfurile de la bază:
Dacă AE este bisectoarea unghiului BAC și CD este bisectoarea unghiului BCA, atunci: AE = DC.
4. Proprietățile unui triunghi isoscel asigură și egalitatea înălțimilor care sunt trasate din vârfurile de la bază.
Dacă construim altitudinile triunghiului ABC (unde AB = BC) de la vârfurile A și C, atunci segmentele rezultate CD și AE vor fi egale.
5. Medianele trase din colțurile de la bază vor fi și ele egale.
Deci, dacă AE și DC sunt mediane, adică AD = DB și BE = EC, atunci AE = DC.
Înălțimea unui triunghi isoscel
Egalitatea laturilor și unghiurilor cu acestea introduce unele caracteristici în calculul lungimilor elementelor figurii în cauză.
Înălțimea într-un triunghi isoscel împarte figura în 2 triunghiuri dreptunghice simetrice, ale căror ipotenuze sunt pe laturi. Înălțimea în acest caz este determinată conform teoremei lui Pitagora ca picior.
Un triunghi poate avea toate cele trei laturi egale, atunci se va numi echilateral. Înălțimea într-un triunghi echilateral este determinată într-un mod similar, doar pentru calcule este suficient să cunoaștem o singură valoare - lungimea laturii acestui triunghi.
Puteți determina înălțimea într-un alt mod, de exemplu, cunoscând baza și unghiul adiacent acesteia.
Mediana unui triunghi isoscel
Tipul de triunghi luat în considerare, datorită caracteristicilor sale geometrice, poate fi rezolvat destul de simplu folosind un set minim de date inițiale. Deoarece mediana dintr-un triunghi isoscel este egală atât cu înălțimea, cât și cu bisectoarea sa, algoritmul de determinare a acesteia nu este diferit de procedura de calcul a acestor elemente.
De exemplu, puteți determina lungimea mediei după latura cunoscută și valoarea unghiului de vârf.
Cum se determină perimetrul
Deoarece cele două laturi ale figurii planimetrice luate în considerare sunt întotdeauna egale, pentru a determina perimetrul este suficient să cunoaștem lungimea bazei și lungimea uneia dintre laturi.
Să luăm în considerare un exemplu când trebuie să determinați perimetrul unui triunghi folosind o bază și o înălțime cunoscute.
Perimetrul este egal cu suma bazei și de două ori lungimea laturii. Latura laterală, la rândul ei, este definită folosind teorema lui Pitagora ca ipotenuză a unui triunghi dreptunghic. Lungimea sa este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratului înălțimii și pătratul jumătății bazei.
Aria unui triunghi isoscel
De regulă, calcularea ariei unui triunghi isoscel nu provoacă dificultăți. Regula universală pentru determinarea ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțimea acestuia este aplicabilă, desigur, în cazul nostru. Cu toate acestea, proprietățile unui triunghi isoscel fac din nou sarcina mai ușoară.
Să presupunem că înălțimea și unghiul adiacente bazei sunt cunoscute. Este necesar să se determine aria figurii. Acest lucru se poate face astfel.
Deoarece suma unghiurilor oricărui triunghi este de 180°, nu este dificil să se determine dimensiunea unghiului. În continuare, folosind proporția compilată conform teoremei sinusurilor, se determină lungimea bazei triunghiului. Totul, baza și înălțimea - date suficiente pentru a determina zona - sunt disponibile.
Alte proprietăți ale unui triunghi isoscel
Poziția centrului unui cerc circumscris în jurul unui triunghi isoscel depinde de mărimea unghiului de vârf. Deci, dacă un triunghi isoscel este acut, centrul cercului este situat în interiorul figurii.
Centrul unui cerc circumscris în jurul unui triunghi isoscel obtuz se află în afara acestuia. Și în cele din urmă, dacă unghiul la vârf este de 90°, centrul se află exact în mijlocul bazei, iar diametrul cercului trece prin baza însăși.
Pentru a determina raza unui cerc circumscris unui triunghi isoscel, este suficient să împărțiți lungimea laturii cu de două ori cosinusul jumătății unghiului vârfului.