Exemplu

1,6 / 2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 etc. Factorul de proporționalitate Se numește o relație constantă de mărimi proporționale

factor de proporționalitate

factor de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate sunt pe unitatea alteia. Proporționalitate directă- dependenta functionala, in care o anumita cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul acestora sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă

proporţional

, în părți egale, adică dacă argumentul se schimbă de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.(Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:) = fMatematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:,f = XAcon

s

t Proporționalitate inversă

Proporționalitate inversă

- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

• Surse
• Fundația Wikimedia.

2010.

A doua lege a lui Newton Bariera Coulomb Vedeți ce înseamnă „Proporționalitate directă” în alte dicționare:

A doua lege a lui Newton proporționalitate directă

- - [A.S. Goldberg. Dicționar energetic englez-rus. 2006] Subiecte energetice în general raport direct EN ... Ghidul tehnic al traducătorului - tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. proporţionalitate directă vok. direkte Proportionalität, f rus. proporţionalitate directă, f pranc. proportionnalité direct, f … Fizikos terminų žodynas

- - [A.S. Goldberg. Dicționar energetic englez-rus. 2006] Subiecte energetice în general raport direct EN ... PROPORȚIONALITATE - (din latină proportionalis proporțional, proporțional). Proporționalitate. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. PROPORȚIONALITATE lat. proportionalis, proportional. Proporționalitate. Explicație 25000... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

- PROPORȚIONALITATE, proporționalitate, plural. nu, femeie (carte). 1. abstract substantiv la proporţional. Proporționalitatea pieselor. Proporționalitatea corpului. 2. O astfel de relație între cantități atunci când acestea sunt proporționale (vezi proporțional ...- Două mărimi dependente reciproc se numesc proporționale dacă raportul dintre valorile lor rămâne neschimbat Cuprins 1 Exemplu 2 Coeficient de proporționalitate ... Wikipedia

- - [A.S. Goldberg. Dicționar energetic englez-rus. 2006] Subiecte energetice în general raport direct EN ...- PROPORȚIONALITATE și, feminin. 1. vezi proporțional. 2. La matematică: o astfel de relație între mărimi în care o creștere a uneia dintre ele atrage după sine modificarea celeilalte în aceeași valoare. Linie dreaptă (cu o tăietură cu o creștere cu o valoare... ... Dicționarul explicativ al lui Ozhegov

proporționalitatea- Și; și. 1. la Proporțional (1 cifră); proporționalitatea. P. piese. P. fizic. P. reprezentare în parlament. 2. Matematică. Dependența dintre cantitățile care se schimbă proporțional. Factorul de proporționalitate. Linie directă (în care cu... ... Dicţionar enciclopedic

Proporționalitate directă și inversă

Dacă t este timpul de deplasare al pietonului (în ore), s este distanța parcursă (în kilometri), iar el se deplasează uniform cu o viteză de 4 km/h, atunci relația dintre aceste mărimi poate fi exprimată prin formula s = 4t. Deoarece fiecare valoare t corespunde unei singure valori s, putem spune că o funcție este definită folosind formula s = 4t. Se numește proporționalitate directă și este definită după cum urmează.

Definiție. Proporționalitatea directă este o funcție care poate fi specificată folosind formula y=kx, unde k este un număr real diferit de zero.

Denumirea funcției y = k x se datorează faptului că în formula y = k x există variabile x și y, care pot fi valori ale cantităților. Și dacă raportul a două cantități este egal cu un număr diferit de zero, ele se numesc direct proportional . În cazul nostru = k (k≠0). Acest număr este numit coeficient de proporționalitate.

Funcția y = k x este un model matematic al multor situații reale considerate deja în cursul inițial de matematică. Una dintre ele este descrisă mai sus. Un alt exemplu: dacă un sac de făină conține 2 kg și s-au achiziționat x astfel de pungi, atunci întreaga masă de făină achiziționată (notată cu y) poate fi reprezentată ca formula y = 2x, adică. relația dintre numărul de pungi și întreaga masă de făină achiziționată este direct proporțională cu coeficientul k=2.

Să ne amintim câteva proprietăți ale proporționalității directe care sunt studiate într-un curs de matematică școlar.

1. Domeniul de definire al funcției y = k x și domeniul valorilor sale este mulțimea numerelor reale.

2. Graficul proporționalității directe este o dreaptă care trece prin originea coordonatelor. Prin urmare, pentru a construi un grafic de proporționalitate directă, este suficient să găsiți un singur punct care îi aparține și care nu coincide cu originea coordonatelor și apoi să trasați o linie dreaptă prin acest punct și originea coordonatelor.

De exemplu, pentru a construi un grafic al funcției y = 2x, este suficient să aveți un punct cu coordonatele (1, 2), apoi să trasați o dreaptă prin el și originea coordonatelor (Fig. 7).

3. Pentru k > 0, funcția y = khx crește pe întregul domeniu de definiție; la k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Dacă funcția f este proporționalitate directă și (x 1, y 1), (x 2, y 2) sunt perechi de valori corespunzătoare ale variabilelor x și y, și x 2 ≠0 atunci.

Într-adevăr, dacă funcția f este proporționalitate directă, atunci poate fi dată prin formula y = khx, și atunci y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Deoarece la x 2 ≠0 și k≠0, atunci y 2 ≠0. De aceea si asta inseamnă .

Dacă valorile variabilelor x și y sunt numere reale pozitive, atunci proprietatea dovedită a proporționalității directe poate fi formulată după cum urmează: cu o creștere (scădere) a valorii variabilei x de mai multe ori, valoarea corespunzătoare a variabilei y crește (descrește) cu aceeași valoare.

Această proprietate este inerentă numai proporționalității directe și poate fi utilizată atunci când se rezolvă probleme de cuvinte în care sunt luate în considerare cantități direct proporționale.

Problema 1. În 8 ore, un strunjitor a produs 16 piese. Câte ore îi vor dura unui strung pentru a produce 48 de piese dacă lucrează la aceeași productivitate?

Soluţie. Problema are în vedere următoarele cantități: timpul de lucru al strunjitorului, numărul de piese pe care acesta le face și productivitatea (adică numărul de piese produse de strungăritor într-o oră), ultima valoare fiind constantă, iar celelalte două preiau-se. valori diferite. În plus, numărul de piese realizate și timpul de lucru sunt cantități direct proporționale, deoarece raportul lor este egal cu un anumit număr care nu este egal cu zero, și anume, numărul de piese realizate de un strungar în 1 oră a pieselor realizate se notează cu litera y, timpul de lucru este x, iar productivitatea este k, atunci obținem că = k sau y = khx, adică. Modelul matematic al situației prezentate în problemă este proporționalitatea directă.

Problema poate fi rezolvată în două moduri aritmetice:

prima cale: a doua cale:

1) 16:8 = 2 (copii) 1) 48:16 = 3 (ori)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

Rezolvând problema în primul mod, am găsit mai întâi coeficientul de proporționalitate k, acesta este egal cu 2, iar apoi, știind că y = 2x, am găsit valoarea lui x cu condiția ca y = 48.

Când am rezolvat problema în al doilea mod, am folosit proprietatea proporționalității directe: de câte ori crește numărul de piese realizate de un strunjitor, timpul pentru producția lor crește cu aceeași cantitate.

Să trecem acum la o funcție numită proporționalitate inversă.

Dacă t este timpul de deplasare al pietonului (în ore), v este viteza acestuia (în km/h) și a mers 12 km, atunci relația dintre aceste mărimi poate fi exprimată prin formula v∙t = 20 sau v = .

Deoarece fiecărei valori t (t ≠ 0) îi corespunde o singură valoare a vitezei v, putem spune că o funcție este specificată folosind formula v =. Se numește proporționalitate inversă și este definită după cum urmează.

Definiție. Proporționalitatea inversă este o funcție care poate fi specificată folosind formula y =, unde k este un număr real care nu este egal cu zero.

Denumirea acestei funcții se datorează faptului că y = există variabile x și y, care pot fi valori ale cantităților. Și dacă produsul a două cantități este egal cu un număr diferit de zero, atunci ele se numesc invers proporționale. În cazul nostru xy = k(k ≠0). Acest număr k se numește coeficient de proporționalitate.

Funcţie y = este un model matematic al multor situații reale luate în considerare deja în cursul inițial de matematică. Una dintre ele este descrisă înainte de definiție proporționalitate inversă. Un alt exemplu: dacă ați cumpărat 12 kg de făină și ați pus-o în cutii de l: y kg fiecare, atunci relația dintre aceste cantități poate fi reprezentată în sub forma x-y= 12, adică este invers proporţional cu coeficientul k=12.

Să ne amintim câteva proprietăți de proporționalitate inversă, cunoscute din cursul de matematică școlar.

1. Domeniul de definire a funcției y = iar intervalul valorilor sale x este mulțimea de numere reale, altele decât zero.

2. Graficul proporționalității inverse este o hiperbolă.

3. Pentru k > 0, ramurile hiperbolei sunt situate în sferturile 1 și 3 și funcția y = este în scădere pe întregul domeniu de definire a lui x (Fig. 8).

Orez. 8 Fig.9

La k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = este în creștere pe întregul domeniu de definire a lui x (Fig. 9).

4. Dacă funcția f este proporționalitate inversă și (x 1, y 1), (x 2, y 2) sunt perechi de valori corespunzătoare ale variabilelor x și y, atunci.

Într-adevăr, dacă funcția f este proporționalitate inversă, atunci poate fi dată prin formula y = ,și apoi . Deoarece x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, atunci

Dacă valorile variabilelor x și y sunt numere reale pozitive, atunci această proprietate de proporționalitate inversă poate fi formulată astfel: cu o creștere (scădere) a valorii variabilei x de mai multe ori, valoarea corespunzătoare a variabilei y scade (crește) cu aceeași cantitate.

Această proprietate este inerentă numai proporționalității inverse și poate fi utilizată atunci când se rezolvă probleme de cuvinte în care sunt luate în considerare cantități invers proporționale.

Problema 2. Un biciclist, care se deplasează cu o viteză de 10 km/h, a parcurs distanța de la A la B în 6 ore Cât timp va petrece biciclistul la întoarcere dacă se deplasează cu o viteză de 20 km/h?

Soluţie. Problema are în vedere următoarele mărimi: viteza biciclistului, timpul de mișcare și distanța de la A la B, ultima mărime fiind constantă, în timp ce celelalte două iau valori diferite. În plus, viteza și timpul de mișcare sunt mărimi invers proporționale, deoarece produsul lor este egal cu un anumit număr, și anume distanța parcursă. Dacă timpul de mișcare al biciclistului este notat cu litera y, viteza cu x și distanța AB cu k, atunci obținem că xy = k sau y =, adică. Modelul matematic al situației prezentate în problemă este proporționalitatea inversă.

Există două moduri de a rezolva problema:

prima cale: a doua cale:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (ori)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Rezolvând problema în primul mod, am găsit mai întâi coeficientul de proporționalitate k, acesta este egal cu 60, iar apoi, știind că y =, am găsit valoarea lui y cu condiția ca x = 20.

Când am rezolvat problema în al doilea mod, am folosit proprietatea proporționalității inverse: de câte ori crește viteza de mișcare, timpul de parcurgere a aceleiași distanțe scade cu aceeași cantitate.

Rețineți că atunci când rezolvați probleme specifice cu invers proporțional sau direct proporțional cantități proporționale Unele restricții sunt impuse în special asupra x și y, ele pot fi luate în considerare nu asupra întregului set de numere reale, ci asupra submulțimii sale.

Problema 3. Lena a cumpărat x creioane, iar Katya a cumpărat de 2 ori mai multe. Notați numărul de creioane cumpărate de Katya cu y, exprimați y cu x și desenați un grafic conformitatea stabilită cu condiția ca x≤5. Este această corespondență o funcție? Care este domeniul său de definiție și intervalul de valori?

Soluţie. Katya a cumpărat = 2 creioane. Când se construiește un grafic al funcției y=2x, este necesar să se țină cont de faptul că variabila x denotă numărul de creioane și x≤5, ceea ce înseamnă că poate lua doar valorile 0, 1, 2, 3 , 4, 5. Acesta va fi domeniul de definire al acestei funcții. Pentru a obține intervalul de valori ale acestei funcții, trebuie să înmulțiți fiecare valoare x din intervalul de definiție cu 2, adică. acesta va fi setul (0, 2, 4, 6, 8, 10). Prin urmare, graficul funcției y = 2x cu domeniul de definiție (0, 1, 2, 3, 4, 5) va fi mulțimea de puncte prezentată în Figura 10. Toate aceste puncte aparțin dreptei y = 2x .

I. Mărimi direct proporţionale.

Lasă valoarea y depinde de marime X. Dacă la creşterea X de mai multe ori mai mare la crește cu aceeași cantitate, apoi astfel de valori XȘi la sunt numite direct proporționale.

Exemple.

1 . Cantitatea de bunuri achiziționate și prețul de achiziție (cu un preț fix pentru o unitate de mărfuri - 1 bucată sau 1 kg etc.) De câte ori s-au cumpărat mai multe bunuri, cu atât au plătit mai mult.

2 . Distanța parcursă și timpul petrecut pe ea (la viteză constantă). De câte ori este calea mai lungă, de câte ori mai mult timp va dura pentru a o finaliza.

3 . Volumul unui corp și masa acestuia. ( Dacă un pepene verde este de 2 ori mai mare decât altul, atunci masa lui va fi de 2 ori mai mare)

II. Proprietatea proporționalității directe a cantităților.

Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale primei cantități este egal cu raportul dintre două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități.

Sarcina 1. Pentru dulceata de zmeura am luat 12 kg zmeura si 8 kg Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? 9 kg zmeura?

Soluţie.

Raționăm așa: să fie necesar x kg zahăr pentru 9 kg zmeura Masa de zmeură și masa de zahăr sunt cantități direct proporționale: de câte ori sunt mai puține zmeură, de același număr de ori mai puțin zahăr este nevoie. Prin urmare, raportul dintre zmeura luată (în greutate) ( 12:9 ) va fi egal cu raportul de zahăr luat ( 8:x). Obținem proporția:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Răspuns: pe 9 kg trebuie luate zmeura 6 kg Sahara.

Rezolvarea problemei S-ar putea face astfel:

Dai drumul 9 kg trebuie luate zmeura x kg Sahara.

(Săgețile din figură sunt îndreptate într-o singură direcție, iar în sus sau în jos nu contează. Semnificație: de câte ori numărul 12 mai mult număr 9 , de același număr de ori 8 mai mult număr X, adică aici există o relație directă).

Răspuns: pe 9 kg Trebuie să iau niște zmeură 6 kg Sahara.

Sarcina 2. Masina pentru 3 ore parcurs distanta 264 km. Cât îi va lua să călătorească? 440 km, dacă conduce cu aceeași viteză?

Soluţie.

Lasă pt x ore mașina va acoperi distanța 440 km.

Răspuns: va trece mașina 440 km in 5 ore.

§ 129. Precizări preliminare.

O persoană se ocupă în mod constant cu o mare varietate de cantități. Un angajat și un muncitor încearcă să ajungă la serviciu până la o anumită oră, un pieton se grăbește să ajungă într-un anumit loc pe calea cea mai scurtă, un furnizor de încălzire cu abur este îngrijorat că temperatura din cazan crește încet, o directorul de afaceri face planuri pentru a reduce costul de producție etc.

S-ar putea da orice număr de astfel de exemple. Timp, distanță, temperatură, cost - toate acestea sunt cantități variate. În prima și a doua parte a acestei cărți, ne-am familiarizat cu câteva cantități deosebit de comune: suprafață, volum, greutate. Întâlnim multe cantități atunci când studiem fizica și alte științe.

Imaginați-vă că călătoriți într-un tren. Din când în când te uiți la ceas și observi cât timp ai fost pe drum. Spui, de exemplu, că au trecut 2, 3, 5, 10, 15 ore de când a plecat trenul tău etc. Aceste numere reprezintă perioade diferite de timp; ele se numesc valorile acestei mărimi (timp). Sau te uiți pe fereastră și urmărești stâlpii de drum pentru a vedea distanța pe care o parcurge trenul tău. Numerele 110, 111, 112, 113, 114 km clipesc în fața ta. Aceste numere reprezintă distante diferite pe care a trecut trenul din punctul de plecare. Se mai numesc si valori, de data aceasta de o magnitudine diferita (cale sau distanta intre doua puncte). Astfel, o cantitate, de exemplu timpul, distanța, temperatura, poate lua tot atâtea sensuri diferite.

Vă rugăm să rețineți că o persoană aproape niciodată nu ia în considerare o singură cantitate, ci întotdeauna o conectează cu alte cantități. El trebuie să se ocupe simultan de două, trei sau mai multe cantități. Imaginează-ți că trebuie să ajungi la școală până la ora 9. Te uiți la ceas și vezi că ai 20 de minute. Apoi îți dai seama rapid dacă ar trebui să iei tramvaiul sau dacă poți merge la școală. După ce te gândești, te hotărăști să mergi pe jos. Observați că în timp ce vă gândiți, rezolvați o problemă. Această sarcină a devenit simplă și familiară, deoarece rezolvi astfel de probleme în fiecare zi. În ea ați comparat rapid mai multe cantități. Tu ai fost cel care te-ai uitat la ceas, ceea ce inseamna ca ai luat in calcul ora, apoi ti-ai imaginat mental distanta de la casa ta pana la scoala; În cele din urmă, ai comparat două valori: viteza pasului tău și viteza tramvaiului și ai concluzionat că într-un timp dat (20 de minute) vei avea timp să mergi. Din această exemplu simplu vezi că în practica noastră unele cantități sunt interconectate, adică depind una de alta

Capitolul doisprezece a vorbit despre relația cantităților omogene. De exemplu, dacă un segment are 12 m și celălalt are 4 m, atunci raportul acestor segmente va fi 12: 4.

Am spus că acesta este raportul a două mărimi omogene. Un alt mod de a spune acest lucru este că este raportul dintre două numere un singur nume.

Acum că suntem mai familiarizați cu cantitățile și am introdus conceptul de valoare a unei cantități, putem exprima definiția unui raport într-un mod nou. De fapt, când am luat în considerare două segmente de 12 m și 4 m, vorbeam despre o singură valoare - lungime, iar 12 m și 4 m erau doar două valori diferite ale acestei valori.

Prin urmare, în viitor, când vom începe să vorbim despre rapoarte, vom lua în considerare două valori ale unei cantități, iar raportul dintre o valoare a unei cantități și o altă valoare a aceleiași cantități va fi numit coeficient de împărțire a primei valori de a doua.

§ 130. Valorile sunt direct proporționale.

Să luăm în considerare o problemă a cărei condiție include două mărimi: distanța și timpul.

Sarcina 1. Un corp care se deplasează rectiliniu și uniform parcurge 12 cm în fiecare secundă Determinați distanța parcursă de corp în 2, 3, 4, ..., 10 secunde.

Să creăm un tabel care poate fi folosit pentru a urmări schimbările în timp și distanță.

Tabelul ne oferă posibilitatea de a compara aceste două serii de valori. Vedem din aceasta că atunci când valorile primei mărimi (timp) cresc treptat cu 2, 3,..., de 10 ori, atunci și valorile celei de-a doua mărimi (distanță) cresc și cu 2, 3, ..., 10 ori. Astfel, atunci când valorile unei cantități cresc de mai multe ori, valorile unei alte cantități cresc cu aceeași cantitate, iar când valorile unei cantități scad de mai multe ori, valorile unei alte cantități scad cu acelasi numar.

Să luăm acum în considerare o problemă care implică două astfel de cantități: cantitatea de materie și costul acesteia.

Sarcina 2. 15 m de țesătură costă 120 de ruble. Calculați costul acestei țesături pentru alte câteva cantități de metri indicate în tabel.

Folosind acest tabel, putem urmări modul în care costul unui produs crește treptat în funcție de creșterea cantității acestuia. În ciuda faptului că această problemă implică cantități complet diferite (în prima problemă - timp și distanță, iar aici - cantitatea de mărfuri și valoarea acesteia), totuși, mari asemănări pot fi găsite în comportamentul acestor cantități.

De fapt, în linia de sus a tabelului există numere care indică numărul de metri de țesătură sub fiecare dintre ele există un număr care exprimă costul cantității corespunzătoare de mărfuri; Chiar și o privire rapidă asupra acestui tabel arată că numerele din rândurile de sus și de jos sunt în creștere; la o examinare mai atentă a tabelului și la compararea coloanelor individuale, se descoperă că, în toate cazurile, valorile celei de-a doua cantități cresc de același număr de ori cu valorile primei creșteri, adică dacă valoarea prima cantitate crește, să zicem, de 10 ori, apoi valoarea celei de-a doua cantități a crescut și ea de 10 ori.

Dacă ne uităm prin tabel de la dreapta la stânga, vom constata că valorile indicate ale cantităților vor scădea de același număr de ori. În acest sens, există o similitudine necondiționată între prima sarcină și a doua.

Se numesc perechile de mărimi pe care le-am întâlnit în prima și a doua problemă direct proportional.

Astfel, dacă două mărimi sunt legate între ele în așa fel încât, pe măsură ce valoarea uneia dintre ele crește (scade) de mai multe ori, valoarea celeilalte crește (scade) cu aceeași cantitate, atunci astfel de mărimi se numesc direct proporționale. .

Se spune că asemenea cantități sunt legate între ele printr-o relație direct proporțională.

Există multe cantități similare găsite în natură și în viața din jurul nostru. Aici sunt cateva exemple:

1. Timp munca (zi, doua zile, trei zile etc.) si castigurile, primit în acest timp cu salariul zilnic.

2. Volum orice obiect realizat din material omogen, Și greutate Acest obiect.

§ 131. Proprietatea mărimilor direct proporţionale.

Să luăm o problemă care include următoarele două cantități: timpul de lucru și câștigul. Dacă câștigurile zilnice sunt de 20 de ruble, atunci câștigurile pentru 2 zile vor fi de 40 de ruble etc. Cel mai convenabil este să creați un tabel în care un anumit număr de zile să corespundă unui anumit câștig.

Privind acest tabel, vedem că ambele cantități au luat 10 valori diferite. Fiecare valoare a primei valori corespunde unei anumite valori a celei de-a doua valori, de exemplu, 2 zile corespund la 40 de ruble; 5 zile corespund la 100 de ruble. În tabel, aceste numere sunt scrise unul sub celălalt.

Știm deja că, dacă două mărimi sunt direct proporționale, atunci fiecare dintre ele, în procesul schimbării sale, crește de câte ori crește cealaltă. Rezultă imediat de aici: dacă luăm raportul dintre oricare două valori ale primei cantități, atunci va fi egal cu raportul dintre cele două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități. Într-adevăr:

De ce se întâmplă asta? Dar pentru că aceste valori sunt direct proporționale, adică atunci când una dintre ele (timpul) a crescut de 3 ori, atunci cealaltă (castigul) a crescut de 3 ori.

Prin urmare, am ajuns la următoarea concluzie: dacă luăm două valori ale primei mărimi și le împărțim una la alta, apoi împărțim la una valorile corespunzătoare ale celei de-a doua mărimi, atunci în ambele cazuri vom obține același număr, adică aceeași relație. Aceasta înseamnă că cele două relații pe care le-am scris mai sus pot fi conectate cu un semn egal, i.e.

Fără îndoială că dacă am lua nu aceste relații, ci altele, și nu în ordinea aceea, ci în ordine opusă, am obține și egalitatea relațiilor. De fapt, vom lua în considerare valorile cantităților noastre de la stânga la dreapta și vom lua a treia și a noua valoare:

60:180 = 1 / 3 .

Deci putem scrie:

Acest lucru duce la următoarea concluzie: dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale primei cantități este egal cu raportul dintre cele două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități.

§ 132. Formula de proporţionalitate directă.

Să facem un tabel cu costul diferitelor cantități de dulciuri, dacă 1 kg dintre ele costă 10,4 ruble.

Acum hai să o facem așa. Luați orice număr din a doua linie și împărțiți-l la numărul corespunzător din prima linie. De exemplu:

Vedeți că în coeficient se obține tot timpul același număr. În consecință, pentru o pereche dată de mărimi direct proporționale, câtul de împărțire a oricărei valori a unei mărimi la valoarea corespunzătoare a unei alte mărimi este un număr constant (adică, care nu se modifică). În exemplul nostru, acest coeficient este 10,4. Acest număr constant se numește factor de proporționalitate. În acest caz, exprimă prețul unei unități de măsură, adică un kilogram de mărfuri.

Cum se găsește sau se calculează coeficientul de proporționalitate? Pentru a face acest lucru, trebuie să luați orice valoare a unei cantități și să o împărțiți la valoarea corespunzătoare a celeilalte cantități.

Să notăm această valoare arbitrară a unei cantități cu literă la , și valoarea corespunzătoare a unei alte cantități - litera X , apoi coeficientul de proporționalitate (îl notăm LA) găsim prin împărțire:

În această egalitate la - divizibil, X - divizor și LA- cât, și întrucât, prin proprietatea împărțirii, dividendul este egal cu divizorul înmulțit cu cât, putem scrie:

y= K Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:

Egalitatea rezultată se numește formula de proporționalitate directă. Folosind această formulă, putem calcula orice număr de valori ale uneia dintre mărimile direct proporționale dacă cunoaștem valorile corespunzătoare ale celeilalte mărimi și coeficientul de proporționalitate.

Exemplu. Din fizică știm acea greutate R a oricărui corp este egală cu greutatea sa specifică d , înmulțit cu volumul acestui corp V, adică R = d V.

Să luăm cinci bare de fier de diferite volume; știind gravitație specifică fier (7.8), putem calcula greutățile acestor semifabricate folosind formula:

R = 7,8 V.

Comparând această formulă cu formula la = LA X , noi vedem asta y = R, x = V, și coeficientul de proporționalitate LA= 7,8. Formula este aceeași, doar literele sunt diferite.

Folosind această formulă, să facem un tabel: lasă volumul primului gol să fie egal cu 8 metri cubi. cm, atunci greutatea sa este de 7,8 8 = 62,4 (g). Volumul celui de-al doilea semifabricat este de 27 de metri cubi. cm Greutatea sa este de 7,8 27 = 210,6 (g). Tabelul va arăta astfel:

Calculați numerele care lipsesc în acest tabel folosind formula R= d V.

§ 133. Alte metode de rezolvare a problemelor cu mărimi direct proporţionale.

În paragraful anterior, am rezolvat o problemă a cărei condiție includea mărimi direct proporționale. În acest scop, am derivat mai întâi formula de proporționalitate directă și apoi am aplicat această formulă. Acum vom arăta alte două moduri de a rezolva probleme similare.

Să creăm o problemă folosind datele numerice date în tabelul din paragraful anterior.

Sarcină. Blank cu un volum de 8 metri cubi. cm cântărește 62,4 g Cât va cântări un semifabricat cu un volum de 64 de metri cubi? cm?

Soluţie. Greutatea fierului, după cum se știe, este proporțională cu volumul său. Dacă 8 cu. cm cântăresc 62,4 g, apoi 1 cu. cm vor cântări de 8 ori mai puțin, adică

62,4:8 = 7,8 (g).

Blank cu un volum de 64 de metri cubi. cm va cântări de 64 de ori mai mult decât un blank de 1 metru cub. cm, adică

7,8 64 = 499,2(g).

Ne-am rezolvat problema reducându-ne la unitate. Semnificația acestui nume este justificată de faptul că pentru a-l rezolva a trebuit să găsim greutatea unei unități de volum la prima întrebare.

2. Metoda proporției. Să rezolvăm aceeași problemă folosind metoda proporției.

Deoarece greutatea fierului și volumul său sunt cantități direct proporționale, raportul dintre două valori ale unei cantități (volum) este egal cu raportul a două valori corespunzătoare ale unei alte cantități (greutate), adică

(scrisoare R am desemnat greutatea necunoscută a semifabricatului). De aici:

(G).

Problema a fost rezolvată folosind metoda proporțiilor. Aceasta înseamnă că pentru a o rezolva, a fost compilată o proporție din numerele incluse în condiție.

§ 134. Valorile sunt invers proporționale.

Luați în considerare următoarea problemă: „Cinci zidari pot adăuga pereti de caramida acasă în 168 de zile. Stabiliți în câte zile 10, 8, 6, etc zidari ar putea finaliza aceeași lucrare.”

Dacă 5 zidari au pus pereții unei case în 168 de zile, atunci (cu aceeași productivitate a muncii) 10 zidari ar putea face acest lucru în jumătate din timp, deoarece în medie 10 persoane lucrează de două ori mai mult decât 5 persoane.

Să întocmim un tabel prin care să putem monitoriza modificările numărului de muncitori și a orelor de lucru.

De exemplu, pentru a afla câte zile durează 6 lucrători, trebuie mai întâi să calculați câte zile este nevoie de un lucrător (168 5 = 840), apoi de câte zile durează șase lucrători (840: 6 = 140). Privind acest tabel, vedem că ambele cantități au luat șase valori diferite. Fiecare valoare a primei marimi corespunde uneia anume; valoarea celei de-a doua cantități, de exemplu, 10 corespunde cu 84, numărul 8 corespunde numărului 105 etc.

Dacă luăm în considerare valorile ambelor cantități de la stânga la dreapta, vom vedea că valorile cantității superioare cresc, iar valorile cantității inferioare scad. Creșterea și scăderea sunt supuse următoarei legi: valorile numărului de lucrători cresc în același timp cu cât scad valorile timpului de lucru petrecut. Această idee poate fi exprimată și mai simplu după cum urmează: cu cât lucrătorii sunt mai mulți angajați în orice sarcină, cu atât mai puțin timp au nevoie pentru a finaliza un anumit loc de muncă. Cele două mărimi pe care le-am întâlnit în această problemă se numesc invers proporțională.

Astfel, dacă două mărimi sunt legate între ele în așa fel încât, pe măsură ce valoarea uneia dintre ele crește (scade) de mai multe ori, valoarea celeilalte scade (crește) cu aceeași cantitate, atunci astfel de mărimi se numesc invers proporționale. .

Există multe cantități similare în viață. Să dăm exemple.

1. Dacă pentru 150 de ruble. Dacă trebuie să cumpărați mai multe kilograme de dulciuri, numărul de dulciuri va depinde de prețul unui kilogram. Cu cât prețul este mai mare, cu atât poți cumpăra mai puține bunuri cu acești bani; asta se vede din tabel:

Pe măsură ce prețul bomboanelor crește de mai multe ori, numărul de kilograme de bomboane care pot fi cumpărate pentru 150 de ruble scade cu aceeași cantitate. În acest caz, două cantități (greutatea produsului și prețul acestuia) sunt invers proporționale.

2. Dacă distanța dintre două orașe este de 1.200 km, atunci aceasta poate fi parcursă în timpi diferiți în funcție de viteza de deplasare. Exista căi diferite transport: pe jos, călare, cu bicicleta, cu barca, cu mașina, cu trenul, cu avionul. Cu cât viteza este mai mică, cu atât este nevoie de mai mult timp pentru deplasare. Acest lucru se poate observa din tabel:

Cu o creștere a vitezei de mai multe ori, timpul de călătorie scade cu aceeași valoare. Aceasta înseamnă că în aceste condiții, viteza și timpul sunt mărimi invers proporționale.

§ 135. Proprietatea mărimilor invers proporționale.

Să luăm al doilea exemplu, la care ne-am uitat în paragraful anterior. Acolo ne-am ocupat de două cantități - viteza și timpul. Dacă ne uităm la tabelul de valori ale acestor mărimi de la stânga la dreapta, vom vedea că valorile primei mărimi (viteza) cresc, iar valorile celei de-a doua (timp) scad și viteza crește cu aceeași cantitate cu cât timpul scade. Nu este greu de înțeles că, dacă scrieți raportul dintre unele valori ale unei cantități, atunci acesta nu va fi egal cu raportul valorilor corespunzătoare unei alte cantități. De fapt, dacă luăm raportul dintre a patra valoare a valorii superioare și a șaptea valoare (40: 80), atunci nu va fi egal cu raportul dintre a patra și a șaptea valori ale valorii inferioare (30: 15). Se poate scrie asa:

40:80 nu este egal cu 30:15 sau 40:80 =/=30:15.

Dar dacă în loc de una dintre aceste relații luăm opusul, atunci obținem egalitate, adică din aceste relații va fi posibil să creăm o proporție. De exemplu:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Pe baza celor de mai sus, putem trage următoarea concluzie: dacă două cantități sunt invers proporționale, atunci raportul a două valori luate în mod arbitrar ale unei cantități este egal cu raportul invers al valorilor corespunzătoare unei alte cantități.

§ 136. Formula de proporţionalitate inversă.

Luați în considerare problema: „Există 6 bucăți de țesătură de mătase de diferite dimensiuni și soiuri diferite. Toate piesele costa la fel. O bucată conține 100 m de țesătură, la prețul de 20 de ruble. pe metru Câți metri sunt în fiecare dintre celelalte cinci bucăți, dacă un metru de material din aceste bucăți costă 25, 40, 50, 80, respectiv 100 de ruble?” Pentru a rezolva această problemă, să creăm un tabel:

Trebuie să completăm celulele goale din rândul de sus al acestui tabel. Să încercăm mai întâi să stabilim câți metri sunt în a doua piesă. Acest lucru se poate face după cum urmează. Din condițiile problemei se știe că costul tuturor pieselor este același. Costul primei piese este ușor de determinat: conține 100 de metri și fiecare metru costă 20 de ruble, ceea ce înseamnă că prima bucată de mătase valorează 2.000 de ruble. Deoarece a doua bucată de mătase conține aceeași cantitate de ruble, atunci, împărțind 2.000 de ruble. pentru prețul unui metru, adică 25, găsim dimensiunea celei de-a doua piese: 2.000: 25 = 80 (m). În același mod vom găsi dimensiunea tuturor celorlalte piese. Tabelul va arăta astfel:

Este ușor de observat că există o relație invers proporțională între numărul de metri și preț.

Dacă faci singur calculele necesare, vei observa că de fiecare dată trebuie să împărțiți numărul 2.000 la prețul de 1 m Dimpotrivă, dacă începi acum să înmulți dimensiunea piesei în metri cu prețul de 1 m , veți obține întotdeauna numărul 2.000 Acest lucru și a fost necesar să așteptați, deoarece fiecare piesă costă 2.000 de ruble.

De aici putem trage următoarea concluzie: pentru o pereche dată de mărimi invers proporționale, produsul oricărei valori a unei mărimi cu valoarea corespunzătoare a unei alte mărimi este un număr constant (adică, care nu se modifică).

În problema noastră, acest produs este egal cu 2.000 Verificați că în problema anterioară, care vorbea despre viteza de mișcare și timpul necesar pentru a trece dintr-un oraș în altul, a existat și un număr constant pentru acea problemă (1.200).

Ținând cont de totul, este ușor de derivat formula de proporționalitate inversă. Să notăm cu literă o anumită valoare a unei cantități X , iar valoarea corespunzătoare a unei alte cantități este reprezentată de litera la . Apoi, pe baza celor de mai sus, lucrarea X pe la trebuie să fie egală cu o valoare constantă, pe care o notăm prin literă LA, adică

X y = LA.

În această egalitate X - multiplicand la - multiplicator și K- muncă. Conform proprietății înmulțirii, un multiplicator este egal cu produsul împărțit la multiplicand. Mijloace,

Aceasta este formula de proporționalitate inversă. Folosind-o, putem calcula orice număr de valori ale uneia dintre mărimile invers proporționale, cunoscând valorile celeilalte și numărul constant LA.

Să luăm în considerare o altă problemă: „Autorul unui eseu a calculat că, dacă cartea lui este într-un format obișnuit, atunci va avea 96 de pagini, dar dacă este un format de buzunar, atunci va avea 300 de pagini. El a încercat diferite variante, a început cu 96 de pagini, iar apoi a avut 2.500 de litere pe pagină. Apoi a luat numerele paginilor afișate în tabelul de mai jos și a calculat din nou câte litere ar fi pe pagină.”

Să încercăm să calculăm câte litere vor fi pe o pagină dacă cartea are 100 de pagini.

Există 240.000 de litere în întreaga carte, deoarece 2.500 96 = 240.000.

Ținând cont de acest lucru, folosim formula de proporționalitate inversă ( la - numărul de litere de pe pagină, X - număr de pagini):

În exemplul nostru LA= 240.000 deci

Deci sunt 2.400 de litere pe pagină.

În mod similar, aflăm că dacă o carte are 120 de pagini, atunci numărul de litere de pe pagină va fi:

Tabelul nostru va arăta astfel:

Completați singuri celulele rămase.

§ 137. Alte metode de rezolvare a problemelor cu mărimi invers proporţionale.

În paragraful anterior, am rezolvat probleme ale căror condiții includeau mărimi invers proporționale. Am derivat mai întâi formula de proporționalitate inversă și apoi am aplicat această formulă. Vom arăta acum alte două soluții pentru astfel de probleme.

1. Metoda reducerii la unitate.

Sarcină. 5 strungari pot lucra în 16 zile. În câte zile pot finaliza această lucrare 8 strunjitori?

Soluţie. Există o relație inversă între numărul de strunjitori și orele de lucru. Dacă 5 strunjitori fac treaba în 16 zile, atunci o persoană va avea nevoie de 5 ori mai mult timp pentru aceasta, adică.

5 strunjitori termină lucrarea în 16 zile,

1 strungar îl va finaliza în 16 5 = 80 de zile.

Problema se întreabă câte zile vor dura 8 strunjitori pentru a finaliza lucrarea. Evident, vor face față muncii de 8 ori mai repede decât 1 strunjător, adică în

80: 8 = 10 (zile).

Aceasta este soluția problemei prin reducerea ei la unitate. Aici a fost necesar în primul rând să se determine timpul necesar pentru finalizarea lucrării de către un singur muncitor.

2. Metoda proporției. Să rezolvăm aceeași problemă în al doilea mod.

Întrucât există o relație invers proporțională între numărul de muncitori și timpul de lucru, putem scrie: durata de lucru a 5 strunchieri număr nou de strunjitori (8) durata de lucru a 8 strunjitori numărul anterior de strunjitori (5) Să notăm durata necesară de lucru prin scrisoare X și înlocuiți numerele necesare în proporția exprimată în cuvinte:

Aceeași problemă este rezolvată prin metoda proporțiilor. Pentru a o rezolva, a trebuit să creăm o proporție din numerele incluse în enunțul problemei.

Notă.În paragrafele precedente am examinat problema proporționalității directe și inverse. Natura și viața ne oferă multe exemple de dependență directă și invers proporțională a cantităților. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că aceste două tipuri de dependență sunt doar cele mai simple. Alături de acestea, există și alte dependențe, mai complexe, între cantități. În plus, nu ar trebui să ne gândim că, dacă oricare două cantități cresc simultan, atunci există neapărat o proporționalitate directă între ele. Acest lucru este departe de a fi adevărat. De exemplu, taxe pentru calea ferata crește în funcție de distanță: cu cât călătorim mai departe, cu atât plătim mai mult, dar asta nu înseamnă că plata este proporțională cu distanța.

Completat de: Cepkasov Rodion

elev de clasa a VI-a

MBOU "Școala Gimnazială Nr. 53"

Barnaul

Șef: Bulykina O.G.

profesor de matematică

MBOU "Școala Gimnazială Nr. 53"

Barnaul

Introducere. 1

Relații și proporții. 3

Direct și invers dependențe proporționale. 4

Aplicarea proporționalului direct și invers proporțional 6

dependențe la rezolvarea diferitelor probleme.

Concluzie. unsprezece

Literatură. 12

Introducere.

Cuvântul proporție provine din cuvântul latin proporție, care înseamnă în general proporționalitate, alinierea părților (un anumit raport de părți între ele). În cele mai vechi timpuri, doctrina proporțiilor era ținută la mare cinste de către pitagoreici. Cu proporții au asociat gânduri despre ordinea și frumusețea în natură, despre acordurile consoanelor din muzică și armonia în univers. Ei au numit unele tipuri de proporții muzicale sau armonice.

Chiar și în cele mai vechi timpuri, omul a descoperit că toate fenomenele din natură sunt conectate între ele, că totul este în continuă mișcare, se schimbă și, atunci când este exprimat în numere, dezvăluie modele uimitoare.

Pitagoreii și adepții lor au căutat o expresie numerică pentru tot ce se afla în lume. Ei au descoperit; că proporțiile matematice stau la baza muzicii (raportul dintre lungimea coardei și înălțimea, relația dintre intervale, raportul sunetelor din acordurile care dau un sunet armonic). Pitagoreicii au încercat să fundamenteze matematic ideea unității lumii și au susținut că baza universului au fost formele geometrice simetrice. Pitagoreii au căutat o bază matematică pentru frumusețe.

Urmând pitagoreenilor, omul de știință medieval Augustin a numit frumusețea „egalitatea numerică”. Filosoful scolastic Bonaventure a scris: „Nu există frumusețe și plăcere fără proporționalitate, iar proporționalitatea există în primul rând în numere. Este necesar ca totul să fie numărabil”. Leonardo da Vinci a scris despre utilizarea proporției în artă în tratatul său despre pictură: „Pictorul întruchipează sub formă de proporție aceleași modele ascunse în natură pe care omul de știință le cunoaște sub forma legii numerice”.

Proporțiile au fost folosite pentru a rezolva diverse probleme atât în ​​antichitate, cât și în Evul Mediu. Anumite tipuri de probleme sunt acum ușor și rapid rezolvate folosind proporții. Proporțiile și proporționalitatea au fost și sunt folosite nu numai în matematică, ci și în arhitectură și artă. Proporția în arhitectură și artă înseamnă menținerea anumitor relații între dimensiuni părți diferite clădire, figură, sculptură sau altă operă de artă. Proporționalitatea în astfel de cazuri este o condiție pentru construcția și reprezentarea corectă și frumoasă

În munca mea, am încercat să iau în considerare utilizarea relațiilor directe și invers proporționale în diverse domenii ale vieții, pentru a urmări legătura cu disciplinele academice prin sarcini.

Relații și proporții.

Se numește câtul dintre două numere atitudine aceste numere.

Atitudinea arată, de câte ori este primul număr mai mare decât al doilea sau ce parte este primul număr din al doilea.

Sarcină.

La magazin au fost aduse 2,4 tone de pere și 3,6 tone de mere. Ce proporție din fructele aduse sunt perele?

Soluţie . Să aflăm câte fructe au adus: 2,4+3,6=6(t). Pentru a afla ce parte din fructele aduse sunt pere, facem raportul 2,4:6=. Răspunsul poate fi scris și sub formă zecimal sau ca procent: = 0,4 = 40%.

reciproc invers numit numere, ale căror produse sunt egale cu 1. Prin urmare relația se numește inversul relației.

Luați în considerare două rapoarte egale: 4,5:3 și 6:4. Să punem un semn egal între ele și să obținem proporția: 4.5:3=6:4.

Proporţie este egalitatea a două relaţii: a : b =c :d sau = , unde a și d sunt termeni extremi de proporție, c și b - membri medii(toți termenii proporției sunt diferiți de zero).

Proprietatea de bază a proporției:

în proporția corectă, produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii.

Aplicând proprietatea comutativă a înmulțirii, constatăm că în proporție corectă termenii extremi sau termenii medii pot fi interschimbați. Proporțiile rezultate vor fi, de asemenea, corecte.

Folosind proprietatea de bază a proporției, puteți găsi termenul său necunoscut dacă toți ceilalți termeni sunt cunoscuți.

Pentru a găsi termenul extrem necunoscut al proporției, trebuie să înmulțiți termenii medii și să împărțiți la termenul extrem cunoscut. x : b = c : d , x =

Pentru a găsi termenul mediu necunoscut al unei proporții, trebuie să înmulțiți termenii extremi și să împărțiți la termenul mediu cunoscut. a : b =x : d , x = .

Relații proporționale directe și inverse.

Valorile a două cantități diferite pot fi dependente reciproc una de cealaltă. Deci, aria unui pătrat depinde de lungimea laturii sale și invers - lungimea laturii unui pătrat depinde de aria sa.

Se spune că două mărimi sunt proporționale dacă, cu creșterea

(descrește) una dintre ele de mai multe ori, cealaltă crește (descrește) de același număr de ori.

Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci rapoartele valorilor corespunzătoare acestor cantități sunt egale.

Exemplu dependență direct proporțională .

La o benzinărie 2 litri de benzină cântăresc 1,6 kg. Cât vor cântări 5 litri de benzina?

Soluţie:

Greutatea kerosenului este proporțională cu volumul său.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x=5*1,6 x=4

Raspuns: 4 kg.

Aici raportul greutate/volum rămâne neschimbat.

Două mărimi se numesc invers proporționale dacă, atunci când una dintre ele crește (descrește) de mai multe ori, cealaltă scade (crește) cu aceeași cantitate.

Dacă cantitățile sunt invers proporționale, atunci raportul dintre valorile unei cantități este egal cu raportul invers al valorilor corespunzătoare unei alte cantități.

P exemplurelație invers proporțională.

Două dreptunghiuri au aceeași zonă. Lungimea primului dreptunghi este de 3,6 m și lățimea este de 2,4 m Lungimea celui de-al doilea dreptunghi este de 4,8 m.

Soluţie:

1 dreptunghi 3,6 m 2,4 m

2 dreptunghi 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8 m 2,4 m

x = 3,6*2,4 = 1,8 m

Raspuns: 1,8 m.

După cum puteți vedea, problemele care implică cantități proporționale pot fi rezolvate folosind proporții.

Nu fiecare două mărimi sunt direct proporționale sau invers proporționale. De exemplu, înălțimea unui copil crește pe măsură ce vârsta lui crește, dar aceste valori nu sunt proporționale, deoarece atunci când vârsta se dublează, înălțimea copilului nu se dublează.

Uz practic dependență directă și invers proporțională.

Sarcina nr. 1

Biblioteca școlii are 210 manuale de matematică, ceea ce reprezintă 15% din întreaga colecție a bibliotecii. Câte cărți sunt în colecția bibliotecii?

Soluţie:

Total manuale - ? - 100%

Matematicieni - 210 -15%

15% 210 academic.

X = 100* 210 = 1400 manuale

100% x cont. 15

Răspuns: 1400 de manuale.

Problema nr. 2

Un biciclist parcurge 75 km in 3 ore. Cât timp îi va lua unui biciclist să parcurgă 125 km cu aceeași viteză?

Soluţie:

3 h – 75 km

H – 125 km

Prin urmare, timpul și distanța sunt mărimi direct proporționale

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Raspuns: in 5 ore.

Problema nr. 3

8 țevi identice umplu o piscină în 25 de minute. Câte minute vor dura pentru a umple o piscină cu 10 astfel de țevi?

Soluţie:

8 conducte – 25 minute

10 tevi - ? minute

Numărul de țevi este invers proporțional cu timpul, deci

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Răspuns: în 20 de minute.

Problema nr. 4

O echipă de 8 muncitori finalizează sarcina în 15 zile. Câți lucrători pot finaliza sarcina în 10 zile în timp ce lucrează la aceeași productivitate?

Soluţie:

8 zile lucrătoare – 15 zile

Muncitori - 10 zile

Numărul de muncitori este invers proporțional cu numărul de zile, deci

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Răspuns: 12 muncitori.

Problema nr. 5

Din 5,6 kg de roșii se obțin 2 litri de sos. Câți litri de sos se pot obține din 54 kg de roșii?

Soluţie:

5,6 kg – 2 l

54 kg - ? l

Numarul de kilograme de rosii este direct proportional cu cantitatea de sos obtinuta, asadar

5.6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

Raspuns: 19 l.

Problema nr. 6

Pentru a încălzi clădirea școlii, cărbunele a fost depozitat timp de 180 de zile la rata de consum

0,6 tone de cărbune pe zi. Câte zile va dura această aprovizionare dacă se consumă zilnic 0,5 tone?

Soluţie:

Număr de zile

Rata de consum

Prin urmare, numărul de zile este invers proporțional cu rata consumului de cărbune

180: x = 0,5: 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

x = 216.

Răspuns: 216 zile.

Problema nr. 7

În minereul de fier, pentru fiecare 7 părți de fier există 3 părți impurități. Câte tone de impurități sunt în minereul care conține 73,5 tone de fier?

Soluţie:

Numărul de piese

Greutate

Fier

73,5

Impurităţi

Prin urmare, numărul de piese este direct proporțional cu masa

7: 73,5 = 3: x.

x = 73,5 * 3:7,

x = 31,5.

Raspuns: 31,5 t

Problema nr. 8

Mașina a parcurs 500 km, folosind 35 de litri de benzină. Câți litri de benzină vor fi necesari pentru a parcurge 420 km?

Soluţie:

Distanța, km

Benzină, l

Distanța este direct proporțională cu consumul de benzină, deci

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29,4.

Raspuns: 29,4 l

Problema nr. 9

În 2 ore am prins 12 caras. Câți caras vor fi prinși în 3 ore?

Soluţie:

Numărul de caras nu depinde de timp. Aceste mărimi nu sunt nici direct proporționale, nici invers proporționale.

Răspuns: Nu există niciun răspuns.

Problema nr. 10

O întreprindere minieră trebuie să achiziționeze 5 mașini noi pentru o anumită sumă de bani la un preț de 12 mii de ruble. Câte dintre aceste mașini poate cumpăra o întreprindere dacă prețul pentru o mașină devine 15 mii de ruble?

Soluţie:

Număr de mașini, buc.

Preț, mii de ruble

Numărul de mașini este invers proporțional cu costul, deci

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

x=4.

Raspuns: 4 masini.

Problema nr. 11

In oras N pe pătratul P există un magazin al cărui proprietar este atât de strict încât, pentru întârziere, scade 70 de ruble din salariu pentru 1 întârziere pe zi. Două fete, Yulia și Natasha, lucrează într-un singur departament. Al lor salariu depinde de numărul de zile lucrătoare. Yulia a primit 4.100 de ruble în 20 de zile, iar Natasha ar fi trebuit să primească mai multe în 21 de zile, dar a întârziat 3 zile la rând. Câte ruble va primi Natasha?

Soluţie:

Zile de lucru

Salariu, freacă.

Julia

4100

Natasha

Prin urmare, salariul este direct proportional cu numarul de zile lucratoare

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 rub. Natasha ar fi trebuit să-l primească.

4305 – 3 * 70 = 4095 (frecare)

Răspuns: Natasha va primi 4095 de ruble.

Problema nr. 12

Distanța dintre două orașe de pe hartă este de 6 cm Găsiți distanța dintre aceste orașe la sol dacă scara hărții este 1: 250000.

Soluţie:

Să notăm cu x (în centimetri) distanța dintre orașe de la sol și să aflăm raportul dintre lungimea segmentului de pe hartă și distanța de la sol, care va fi egală cu scara hărții: 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Raspuns: 15 km.

Problema nr. 13

4000 g de soluție conțin 80 g de sare. Care este concentrația de sare în această soluție?

Soluţie:

Greutate, g

Concentrație, %

Soluţie

4000

Sare

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Răspuns: Concentrația de sare este de 2%.

Problema nr. 14

Banca acordă un împrumut la 10% pe an. Ai primit un împrumut de 50.000 de ruble. Cât de mult ar trebui să returnați la bancă într-un an?

Soluţie:

50.000 de ruble.

100%

x freca.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 de ruble. este de 10%.

50.000 + 5000=55.000 (frec.)

Răspuns: într-un an banca va primi înapoi 55.000 de ruble.

Concluzie.

După cum putem vedea din exemplele date, relațiile direct și invers proporționale sunt aplicabile în diferite domenii ale vieții:

Economie,

Comerț,

În producție și industrie,

Viata de scoala,

gătit,

Constructii si arhitectura.

Sport,

Creșterea animalelor,

Topografii,

Fizicieni,

Chimie, etc.

În limba rusă există și proverbe și zicători care stabilesc direct și relatie inversa:

Pe măsură ce se întoarce, la fel va răspunde.

Cu cât ciotul este mai înalt, cu atât umbra este mai mare.

Cu cât sunt mai mulți oameni, cu atât mai puțin oxigen.

Și este gata, dar stupid.

Matematica este una dintre cele mai vechi științe; a apărut pe baza nevoilor și dorințelor omenirii. Trecând prin istoria formării de atunci Grecia antică, rămâne încă relevant și necesar în Viata de zi cu zi orice persoana. Conceptul de proporționalitate directă și inversă este cunoscut încă din cele mai vechi timpuri, deoarece legile proporției au fost cele care i-au motivat pe arhitecți în timpul oricărei construcție sau creație a oricărei sculpturi.

Cunoștințele despre proporții sunt utilizate pe scară largă în toate sferele vieții și activității umane - nu se poate face fără ea atunci când pictați tablouri (peisaje, naturi moarte, portrete etc.), de asemenea, au utilizare largă printre arhitecți și ingineri - în general, este greu de imaginat să creăm ceva fără a folosi cunoștințele despre proporții și relațiile lor.

Literatură.

Matematică-6, N.Ya. Vilenkin și colab.

Algebră -7, G.V. Dorofeev și alții.

Matematică-9, GIA-9, editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhova

Matematică-6, materiale didactice, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov

Probleme de matematică pentru clasele 4-5, I.V Baranova et al., M. „Prosveshchenie” 1988

Culegere de probleme și exemple la matematică clasele 5-6, N.A. Tereshin,

T.N. Tereshina, M. „Acvariu” 1997