Proporționalitate directă și inversă

Dacă t este timpul de deplasare al pietonului (în ore), s este distanța parcursă (în kilometri), iar el se deplasează uniform cu o viteză de 4 km/h, atunci relația dintre aceste mărimi poate fi exprimată prin formula s = 4t. Deoarece fiecare valoare t corespunde unei singure valori s, putem spune că o funcție este definită folosind formula s = 4t. Se numește proporționalitate directă și este definită după cum urmează.

Definiţie. Proporționalitatea directă este o funcție care poate fi specificată folosind formula y=kx, unde k este un număr real diferit de zero.

Denumirea funcției y = k x se datorează faptului că în formula y = k x există variabile x și y, care pot fi valori ale cantităților. Și dacă raportul a două cantități este egal cu un număr diferit de zero, ele se numesc direct proporțională . În cazul nostru = k (k≠0). Acest număr este numit coeficient de proporționalitate.

Funcția y = k x este un model matematic al multor situații reale considerate deja în cursul inițial de matematică. Una dintre ele este descrisă mai sus. Un alt exemplu: dacă un sac de făină conține 2 kg și s-au achiziționat x astfel de pungi, atunci întreaga masă de făină achiziționată (notată cu y) poate fi reprezentată ca formula y = 2x, adică. relația dintre numărul de pungi și întreaga masă de făină achiziționată este direct proporțională cu coeficientul k=2.

Să ne amintim câteva proprietăți ale proporționalității directe care sunt studiate într-un curs de matematică școlar.

1. Domeniul de definire al funcției y = k x și domeniul valorilor sale este mulțimea numerelor reale.

2. Graficul proporționalității directe este o dreaptă care trece prin origine. Prin urmare, pentru a construi un grafic de proporționalitate directă, este suficient să găsiți un singur punct care îi aparține și care nu coincide cu originea coordonatelor și apoi să trasați o linie dreaptă prin acest punct și originea coordonatelor.

De exemplu, pentru a construi un grafic al funcției y = 2x, este suficient să aveți un punct cu coordonatele (1, 2), apoi să trasați o dreaptă prin el și originea coordonatelor (Fig. 7).

3. Pentru k > 0, funcția y = khx crește pe întregul domeniu de definiție; la k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Dacă funcția f este proporționalitate directă și (x 1, y 1), (x 2, y 2) sunt perechi de valori corespunzătoare ale variabilelor x și y, și x 2 ≠0 atunci.

Într-adevăr, dacă funcția f este proporționalitate directă, atunci poate fi dată prin formula y = khx, și atunci y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Deoarece la x 2 ≠0 și k≠0, atunci y 2 ≠0. De aceea si asta inseamna .

Dacă valorile variabilelor x și y sunt numere reale pozitive, atunci proprietatea dovedită a proporționalității directe poate fi formulată după cum urmează: cu o creștere (scădere) a valorii variabilei x de mai multe ori, valoarea corespunzătoare a variabilei y crește (descrește) cu aceeași valoare.

Această proprietate este inerentă numai proporționalității directe și poate fi utilizată atunci când se rezolvă probleme de cuvinte în care sunt luate în considerare cantități direct proporționale.

Problema 1. În 8 ore, un strunjitor a produs 16 piese. Câte ore îi vor dura unui strung pentru a produce 48 de piese dacă lucrează la aceeași productivitate?

Soluţie. Problema ia in considerare cantitatile - timpul de lucru al strungarului, numarul de piese realizate de acesta si productivitatea (adica numarul de piese realizate de strungar in 1 ora), iar ultima valoare este constanta, iar celelalte doua iau sensuri diferite. În plus, numărul de piese realizate și timpul de lucru sunt valori direct proporționale, deoarece raportul lor este egal cu un anumit număr care nu este egal cu zero, și anume, numărul de piese realizate de un strungar în 1 oră a pieselor realizate se notează cu litera y, timpul de lucru este x, iar productivitatea este k, atunci obținem că = k sau y = khx, adică. Modelul matematic al situației prezentate în problemă este proporționalitatea directă.

Problema poate fi rezolvată în două moduri aritmetice:

prima cale: a doua cale:

1) 16:8 = 2 (copii) 1) 48:16 = 3 (ori)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

Rezolvând problema în primul mod, am găsit mai întâi coeficientul de proporționalitate k, acesta este egal cu 2, iar apoi, știind că y = 2x, am găsit valoarea lui x cu condiția ca y = 48.

Când am rezolvat problema în al doilea mod, am folosit proprietatea proporționalității directe: de câte ori crește numărul de piese realizate de un strunjitor, timpul pentru producția lor crește cu aceeași cantitate.

Să trecem acum la o funcție numită proporționalitate inversă.

Dacă t este timpul în care pietonul s-a deplasat (în ore), v este viteza lui (în km/h) și a mers 12 km, atunci relația dintre aceste mărimi poate fi exprimată prin formula v∙t = 20 sau v = .

Deoarece fiecărei valori t (t ≠ 0) îi corespunde o singură valoare a vitezei v, putem spune că o funcție este specificată folosind formula v =. Se numește proporționalitate inversă și este definită după cum urmează.

Definiţie. Proporționalitatea inversă este o funcție care poate fi specificată folosind formula y =, unde k este un număr real care nu este egal cu zero.

Denumirea acestei funcții se datorează faptului că y = există variabile x și y, care pot fi valori ale cantităților. Și dacă produsul a două cantități este egal cu un număr diferit de zero, atunci ele se numesc invers proporționale. În cazul nostru xy = k(k ≠0). Acest număr k se numește coeficient de proporționalitate.

Funcţie y = este un model matematic al multor situații reale luate în considerare deja în cursul inițial de matematică. Una dintre ele este descrisă înainte de definiția proporționalității inverse. Un alt exemplu: dacă ați cumpărat 12 kg de făină și ați pus-o în cutii de l: y kg fiecare, atunci relația dintre aceste cantități poate fi reprezentată în sub forma x-y= 12, adică este invers proporţional cu coeficientul k=12.

Să ne amintim câteva proprietăți de proporționalitate inversă, cunoscute din cursul de matematică școlar.

1. Domeniul de definire a funcției y = iar intervalul valorilor sale x este mulțimea de numere reale, altele decât zero.

2. Graficul proporționalității inverse este o hiperbolă.

3. Pentru k > 0, ramurile hiperbolei sunt situate în sferturile 1 și 3 și funcția y = este în scădere pe întregul domeniu de definire a lui x (Fig. 8).

Orez. 8 Fig.9

La k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = este în creștere pe întregul domeniu de definire a lui x (Fig. 9).

4. Dacă funcţia f este proporționalitate inversăși (x 1, y 1), (x 2, y 2) - perechi de valori corespunzătoare ale variabilelor x și y, atunci.

Într-adevăr, dacă funcția f este proporționalitate inversă, atunci poate fi dată prin formula y = , și apoi . Deoarece x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, atunci

Dacă valorile variabilelor x și y sunt numere reale pozitive, atunci această proprietate de proporționalitate inversă poate fi formulată astfel: cu o creștere (scădere) a valorii variabilei x de mai multe ori, valoarea corespunzătoare a variabilei y scade (crește) cu aceeași cantitate.

Această proprietate este inerentă numai proporționalității inverse și poate fi utilizată atunci când se rezolvă probleme de cuvinte în care sunt luate în considerare cantități invers proporționale.

Problema 2. Un biciclist, care se deplasează cu o viteză de 10 km/h, a parcurs distanța de la A la B în 6 ore Cât timp va petrece biciclistul la întoarcere dacă se deplasează cu o viteză de 20 km/h?

Soluţie. Problema are în vedere următoarele mărimi: viteza biciclistului, timpul de mișcare și distanța de la A la B, ultima mărime fiind constantă, în timp ce celelalte două iau valori diferite. În plus, viteza și timpul de mișcare sunt mărimi invers proporționale, deoarece produsul lor este egal cu un anumit număr, și anume distanța parcursă. Dacă timpul de mișcare al biciclistului este notat cu litera y, viteza cu x și distanța AB cu k, atunci obținem că xy = k sau y =, adică. Modelul matematic al situației prezentate în problemă este proporționalitatea inversă.

Există două moduri de a rezolva problema:

prima cale: a doua cale:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (ori)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Rezolvând problema în primul mod, am găsit mai întâi coeficientul de proporționalitate k, acesta este egal cu 60, iar apoi, știind că y =, am găsit valoarea lui y cu condiția ca x = 20.

Când am rezolvat problema în al doilea mod, am folosit proprietatea proporționalității inverse: de câte ori crește viteza de mișcare, timpul de parcurgere a aceleiași distanțe scade cu același număr.

Rețineți că atunci când se rezolvă probleme specifice cu mărimi invers proporționale sau direct proporționale, unele restricții sunt impuse în special asupra x și y, ele pot fi luate în considerare nu asupra întregului set de numere reale, ci asupra submulțimii sale;

Problema 3. Lena a cumpărat x creioane, iar Katya a cumpărat de 2 ori mai multe. Notați numărul de creioane cumpărate de Katya cu y, exprimați y cu x și desenați un grafic conformitatea stabilită cu condiția ca x≤5. Este această corespondență o funcție? Care este domeniul său de definiție și intervalul de valori?

Soluţie. Katya a cumpărat = 2 creioane. Când se construiește un grafic al funcției y=2x, este necesar să se țină cont de faptul că variabila x denotă numărul de creioane și x≤5, ceea ce înseamnă că poate lua doar valorile 0, 1, 2, 3 , 4, 5. Acesta va fi domeniul de definire al acestei funcții. Pentru a obține intervalul de valori ale acestei funcții, trebuie să înmulțiți fiecare valoare x din intervalul de definiție cu 2, adică. acesta va fi setul (0, 2, 4, 6, 8, 10). Prin urmare, graficul funcției y = 2x cu domeniul de definiție (0, 1, 2, 3, 4, 5) va fi mulțimea de puncte prezentată în Figura 10. Toate aceste puncte aparțin dreptei y = 2x .

Cele două mărimi sunt numite direct proporțională, dacă atunci când unul dintre ele crește de mai multe ori, celălalt crește cu aceeași cantitate. În consecință, atunci când unul dintre ele scade de mai multe ori, celălalt scade cu aceeași cantitate.

Relația dintre astfel de cantități este o relație direct proporțională. Exemple de dependență direct proporțională:

1) la viteza constanta, distanta parcursa este direct proportionala cu timpul;

2) perimetrul unui pătrat și latura acestuia sunt mărimi direct proporționale;

3) costul unui produs achiziționat la un preț este direct proporțional cu cantitatea acestuia.

Pentru a distinge o relație direct proporțională de una inversă, puteți folosi proverbul: „Cu cât mai departe în pădure, cu atât mai mult lemn de foc”.

Este convenabil să rezolvi probleme care implică mărimi direct proporționale folosind proporții.

1) Pentru a face 10 piese ai nevoie de 3,5 kg de metal. Cât metal va intra în fabricarea a 12 dintre aceste piese?

(Raționăm astfel:

1. În coloana completată, plasați o săgeată în direcția de la cel mai mare număr la cel mai mic.

2. Cu cât sunt mai multe piese, cu atât este nevoie de mai mult metal pentru a le face. Aceasta înseamnă că aceasta este o relație direct proporțională.

Fie nevoie de x kg de metal pentru a face 12 părți. Alcătuim proporția (în direcția de la începutul săgeții până la sfârșitul acesteia):

12:10=x:3,5

Pentru a găsi , trebuie să împărțiți produsul termenilor extremi la termenul mediu cunoscut:

Aceasta înseamnă că vor fi necesare 4,2 kg de metal.

Răspuns: 4,2 kg.

2) Pentru 15 metri de țesătură au plătit 1680 de ruble. Cât costă 12 metri dintr-o astfel de țesătură?

(1. În coloana completată, plasați o săgeată în direcția de la cel mai mare număr la cel mai mic.

2. Cu cât cumperi mai puțină țesătură, cu atât mai puțin trebuie să plătești pentru ea. Aceasta înseamnă că aceasta este o relație direct proporțională.

3. Prin urmare, a doua săgeată este în aceeași direcție cu prima).

Fie că x ruble costă 12 metri de țesătură. Facem o proporție (de la începutul săgeții până la sfârșitul ei):

15:12=1680:x

Pentru a găsi termenul extrem necunoscut al proporției, împărțiți produsul termenilor de mijloc la termenul extrem cunoscut al proporției:

Aceasta înseamnă că 12 metri costă 1344 de ruble.

Răspuns: 1344 de ruble.

Exemplu

1,6 / 2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 etc. Factorul de proporționalitate Atitudine neclintită cantități proporționale numit

factor de proporționalitate

factor de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate sunt pe unitatea alteia. Proporționalitate directă, în părți egale, adică dacă argumentul se schimbă de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.

Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:

f(x) = ox,o = const

Proporționalitate inversă

Proporționalitate inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

Surse

Fundația Wikimedia.

2010.

Obiective principale:
introducerea conceptului de dependență directă și invers proporțională a cantităților;
învață cum să rezolvi problemele folosind aceste dependențe;
promovează dezvoltarea abilităților de rezolvare a problemelor;
consolidarea abilității de a rezolva ecuații folosind proporții; repetă pașii cu obișnuit și;
zecimale dezvolta gândire logică

elevii.

PROGRESUL LECȚIEI eu. Autodeterminare pentru activitate

(moment organizatoric)

- Băieți! Astăzi în lecție ne vom familiariza cu problemele rezolvate folosind proporții.

II. Actualizarea cunoștințelor și înregistrarea dificultăților în activități 2.1. Lucrări orale

(3 min)

– Găsiți sensul expresiilor și aflați cuvântul criptat în răspunsuri.

14 – s; 0,1 – și; 7 – l; 0,2 – a; 17 – în; 25 – la
– Cuvântul rezultat este putere. Bine făcut!
– Motto-ul lecției noastre de astăzi: Puterea este în cunoaștere! Caut - asta înseamnă că învăț!

– Alcătuiți o proporție din numerele rezultate. (14:7 = 0,2:0,1 etc.) 2.2. Să luăm în considerare relația dintre cantitățile pe care le cunoaștem

(7 min) – distanța parcursă de mașină cu viteză constantă, și timpul deplasării acestuia: S = v t (
cu creșterea vitezei (timpului), distanța crește); – viteza vehiculului și timpul petrecut în călătorie: v=S:t
– (cu cât timpul de parcurgere a traseului crește, viteza scade); costul bunurilor achiziționate la un preț și cantitatea acestuia:
C = a · n (cu o creștere (scădere) preț, costul de achiziție crește (descrește));
– prețul produsului și cantitatea acestuia: a = C: n (cu creșterea cantității, prețul scade)
– aria dreptunghiului și lungimea acestuia (lățimea): S = a · b (cu creșterea lungimii (lățimii), aria crește;
– lungime și lățime dreptunghi: a = S: b (cu cât lungimea crește, lățimea scade;

Am obținut dependențe în care, cu creșterea de mai multe ori a unei cantități, alta crește imediat cu aceeași cantitate (exemplele sunt prezentate cu săgeți) și dependențe în care, odată cu creșterea unei cantități de mai multe ori, a doua cantitate scade cu același număr de ori.
Astfel de dependențe se numesc proporționalitate directă și inversă.
Dependență direct proporțională– o relație în care pe măsură ce o valoare crește (descrește) de mai multe ori, a doua valoare crește (descrește) cu aceeași cantitate.
Relație invers proporțională– o relație în care pe măsură ce o valoare crește (descrește) de mai multe ori, a doua valoare scade (crește) cu aceeași cantitate.

III. Stabilirea unei sarcini de învățare

– Ce problemă ne confruntăm? (Învățați să distingeți între linii drepte și dependențe inverse)
- Asta - ţintă lecția noastră. Acum formulează subiect lecţie. (Relație directă și invers proporțională).
- Bine făcut! Notați subiectul lecției în caiete. (Profesorul scrie subiectul pe tablă.)

IV. „Descoperirea” de noi cunoștințe(10 min)

Să ne uităm la problemele nr. 199.

1. Imprimanta imprimă 27 de pagini în 4,5 minute. Cât timp va dura imprimarea a 300 de pagini?

27 pagini – 4,5 min.
300 de pagini - x?

2. Cutia contine 48 de pachete de ceai a cate 250 g fiecare. Câte pachete de 150 g din acest ceai vei primi?

48 pachete – 250 g.
X? – 150 g.

3. Mașina a parcurs 310 km, folosind 25 de litri de benzină. Cât de departe poate călători o mașină cu un rezervor plin de 40 de litri?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Unul dintre angrenajele ambreiajului are 32 de dinți, iar celălalt are 40. Câte rotații va face a doua treaptă în timp ce prima face 215 rotații?

32 dinți – 315 r.
40 de dinți – x?

Pentru a compila o proporție, este necesară o direcție a săgeților, pentru aceasta, în proporționalitate inversă, un raport este înlocuit cu inversul.

La tablă, elevii găsesc pe loc sensul cantităților, elevii rezolvă o problemă la alegere.

– Formulați o regulă pentru rezolvarea problemelor cu dependență directă și invers proporțională.

Pe tablă apare un tabel:

V. Consolidarea primară în vorbirea externă(10 min)

Sarcini pe foi:

Din 21 kg de semințe de bumbac s-au obținut 5,1 kg de ulei.
Cât ulei se va obține din 7 kg de semințe de bumbac?

Pentru a construi stadionul, 5 buldozere au curățat șantierul în 210 minute. Cât timp ar dura 7 buldozere pentru a curăța acest site? VI. Munca independentăcu autotest față de standard

Doi elevi completează sarcina nr. 225 în mod independent pe plăci ascunse, iar restul - în caiete. Apoi verifică funcționarea algoritmului și o compară cu soluția de pe placă. Erorile sunt corectate și cauzele lor sunt determinate. Dacă sarcina este finalizată corect, atunci elevii pun un semn „+” lângă ei.
Elevii care greșesc în munca independentă pot apela la consultanți.

VII. Includerea în sistemul de cunoștințe și repetarea№ 271, № 270.

La consiliu lucrează șase persoane. După 3-4 minute, elevii care lucrează la tablă își prezintă soluțiile, iar restul verifică temele și participă la discuția lor.

VIII. Reflecție asupra activității (rezumatul lecției)

– Ce nou ai învățat la lecție?
-Ce au repetat?
– Care este algoritmul pentru rezolvarea problemelor de proporție?
– Ne-am atins scopul?
– Cum îți evaluezi munca?