Nivel de intrare

Relație inversă.

Nivel de intrare. Acum vom vorbi despre dependența inversă, sau cu alte cuvinte - proporționalitate inversă

, ce zici de funcție. Vă amintiți că o funcție este un anumit tip de dependență? Dacă nu ați citit încă subiectul, vă recomand cu tărie să lăsați totul și să îl citiți, pentru că nu puteți studia nicio funcție anume fără să înțelegeți ce este - o funcție.

De asemenea, este foarte util să stăpânești două funcții mai simple înainte de a începe acest subiect: și . Acolo vei consolida conceptul de funcție și vei învăța să lucrezi cu coeficienți și grafice.
Deci, vă amintiți ce este o funcție? Să repetăm: o funcție este o regulă conform căreia fiecare element dintr-o mulțime (argument) este asociat cu un anumit ( singurul! ) element al altui set (mult de valori ale funcției). Adică, dacă aveți o funcție, aceasta înseamnă că pentru fiecare valoare validă a unei variabile (numită „argument”) există o valoare corespunzătoare a unei variabile (numită „funcție”). Ce înseamnă „acceptabil”? Dacă nu puteți răspunde la această întrebare, reveniți la subiectul „” din nou! Totul este în concept„domeniul definiției”

: Pentru unele funcții, nu toate argumentele sunt la fel de utile și pot fi înlocuite în dependențe. De exemplu, pentru o funcție, valorile argumentelor negative nu sunt permise.

Funcție care descrie dependența inversă

Aceasta este o funcție a formei unde.
În alt mod se numește proporționalitate inversă: o creștere a argumentului determină o scădere proporțională a funcției.

Să definim domeniul definiției. Cu ce ​​poate fi egal? Sau, cu alte cuvinte, cu ce nu poate fi egal?

Prin urmare, singurul număr care nu poate fi împărțit este:

sau, ce este la fel,

(această notație înseamnă că poate fi orice număr, cu excepția: semnul „ ” indică mulțimea de numere reale, adică toate numerele posibile; semnul „ ” indică excluderea a ceva din această mulțime (analog cu „minus” semn), iar un număr între paranteze înseamnă doar un număr, se dovedește că din toate numerele posibile excludem).

Se dovedește că setul de valori ale funcției este exact același: la urma urmei, dacă, atunci indiferent prin ce îl împărțim, nu va funcționa: Sunt posibile și unele variații ale formulei. De exemplu, aceasta este și o funcție care descrie.
Determinați singur domeniul de definiție și intervalul de valori ale acestei funcții. Ar trebui să arate așa:

Să ne uităm la această funcție: . Este invers legat?

La prima vedere, este greu de spus: la urma urmei, cu o creștere, atât numitorul fracției, cât și numărătorul crește, deci nu este clar dacă funcția va scădea și, dacă da, va scădea proporțional? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să transformăm expresia astfel încât să nu existe nicio variabilă în numărător:

Într-adevăr, am primit o relație inversă, dar cu o avertizare: .

Iată un alt exemplu: .

Este mai complicat aici: la urma urmei, numărătorul și numitorul acum cu siguranță nu se anulează. Dar încă putem încerca:

Înțelegi ce am făcut? La numărător am adăugat și scăzut același număr (), așa că nu mi s-a părut că am schimbat nimic, dar acum există o parte în numărător care este egală cu numitorul. Acum voi împărți termen cu termen, adică voi împărți această fracție în suma a două fracții:

(într-adevăr, dacă aducem ceea ce am primit la un numitor comun, vom obține fracția noastră inițială):

Wow! Funcționează din nou relație inversă, abia acum i se adaugă un număr.
Această metodă ne va fi foarte utilă mai târziu când construim grafice.

Acum transformați singur expresiile într-o relație inversă:

Raspunsuri:

2. Aici trebuie să vă amintiți cum este factorizat un trinom pătrat (acest lucru este descris în detaliu în subiectul „”). Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru aceasta trebuie să găsiți rădăcinile corespunzătoare ecuație pătratică: . Le voi găsi verbal folosind teorema lui Vieta: , . Cum se face asta? Puteți învăța acest lucru citind subiectul.
Deci, obținem: , prin urmare:

3. Ai încercat deja să o rezolvi singur? Care este captura? Cu siguranță faptul este că avem în numărător și în numitor - este simplu. Nu e nicio problemă. Va trebui să reducem cu, așa că la numărător ar trebui să-l scoatem din paranteze (astfel încât în ​​paranteze să-l obținem fără coeficient):

Graficul relației inverse

Ca întotdeauna, să începem cu cel mai simplu caz: .
Să facem un tabel:

Să tragem puncte plan de coordonate:

Acum trebuie să fie conectate fără probleme, dar cum? Se poate observa că punctele din partea dreaptă și stângă formează linii curbe aparent neconectate. Așa este. Graficul va arăta astfel:

Acest grafic este numit "hiperbolă"(există ceva de genul „parabolă” în acest nume, nu?). La fel ca o parabolă, o hiperbola are două ramuri, doar că nu sunt legate între ele. Fiecare dintre ei se străduiește cu capetele să se apropie de axe și, dar nu ajunge niciodată la ele. Dacă priviți aceeași hiperbolă de departe, obțineți următoarea imagine:

Acest lucru este de înțeles: deoarece graficul nu poate traversa axa. Dar, de asemenea, astfel încât graficul nu va atinge niciodată axa.

Ei bine, acum să vedem ce influențează coeficienții. Luați în considerare aceste funcții:
:

Wow, ce frumusețe!
Toate graficele sunt reprezentate în culori diferite pentru a le distinge mai ușor unul de celălalt.

Deci, la ce ar trebui să fim atenți mai întâi? De exemplu, dacă o funcție are un minus înaintea fracției, atunci graficul este răsturnat, adică afișat simetric față de axă.

În al doilea rând: cu cât numărul din numitor este mai mare, cu atât graficul „fuge” mai departe de origine.

Ce se întâmplă dacă funcția pare mai complexă, de exemplu,?

În acest caz, hiperbola va fi exact aceeași cu cea obișnuită, doar că se va deplasa puțin. Să ne gândim, unde?

Cu ce ​​nu poate fi egal acum? Corect,. Aceasta înseamnă că graficul nu va ajunge niciodată la o linie dreaptă. Cu ce ​​nu poate fi egal? Acum. Aceasta înseamnă că acum graficul va tinde spre linia dreaptă, dar nu o va traversa niciodată. Deci, acum liniile drepte joacă același rol ca axele de coordonate pentru funcție. Astfel de linii sunt numite asimptote(linii la care graficul tinde, dar nu le atinge):

Vom afla mai multe despre cum sunt construite astfel de grafice în acest subiect.

Acum încercați să rezolvați câteva exemple pentru a consolida:

1. Figura prezintă un grafic al unei funcții. Defini.

2. Figura prezintă graficul funcției. Defini

3. Figura prezintă graficul funcției. Defini.

4. Figura prezintă graficul funcției. Defini.

5. Figura prezintă grafice ale funcţiilor şi.

Alegeți raportul corect:

Raspunsuri:

Dependență inversă în viață

Unde găsim o astfel de funcție în practică? Sunt multe exemple. Cea mai obișnuită este mișcarea: cu cât viteza cu care ne mișcăm este mai mare, cu atât ne va dura mai puțin timp pentru a parcurge aceeași distanță. Într-adevăr, să ne amintim formula vitezei: , unde este viteza, este timpul de călătorie, este distanța (calea).

De aici putem exprima timpul:

Exemplu:

O persoană merge la muncă cu o viteză medie de km/h și ajunge acolo într-o oră. Câte minute va petrece pe același drum dacă va conduce cu o viteză de km/h?

Soluţie:

În general, ați rezolvat deja astfel de probleme în clasa a V-a și a VI-a. Ai inventat proporția:

Adică, conceptul de proporționalitate inversă vă este deja familiar. Așa că ne-am amintit. Și acum același lucru, doar într-un mod adult: printr-o funcție.

Funcția (adică dependența) a timpului în minute de viteză:

Se știe că, atunci:

Trebuie să găsiți:

Acum veniți cu câteva exemple din viață în care este prezentă proporționalitatea inversă.
Ai venit cu ea? Bravo dacă o faci. Noroc!

DEPENDENTA INVERSA. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

1. Definiție

Funcție care descrie dependența inversă este o funcţie a formei unde.

Într-un alt mod, această funcție se numește proporționalitate inversă, deoarece o creștere a argumentului determină o scădere proporțională a funcției.

Prin urmare, singurul număr care nu poate fi împărțit este:

Graficul invers este o hiperbolă.

2. Coeficienți, și.

Răspunzător de „planeitatea” și direcția graficului: cu cât acest coeficient este mai mare, cu atât hiperbola este mai departe de origine și, prin urmare, „se întoarce” mai puțin abrupt (vezi figura). Semnul coeficientului afectează în ce sferturi se află graficul:

• dacă, atunci ramurile hiperbolei sunt situate în și sferturi;
• dacă, atunci în și.

x=a este asimptotă verticală, adică verticala spre care tinde graficul.

Numărul este responsabil pentru deplasarea graficului funcției în sus cu o sumă dacă , și deplasarea lui în jos dacă .

Prin urmare, aceasta este asimptotă orizontală.

1 lectie pe tema

Finalizat:

Telegina L.B.

Obiectivul lecției:

1. repeta tot materialul studiat pe functii.
2. introduceți definiția proporționalității inverse și învățați cum să construiți graficul acesteia.
3. dezvolta gândirea logică.
4. cultivați atenția, acuratețea, acuratețea.

Planul lecției:

1. Repetiţie.
2. Explicarea noului material.
3. Minut de educație fizică.
4. Consolidare.

Echipament: postere.

Progresul lecției:

1. Lecția începe cu repetare. Elevii sunt rugați să rezolve un puzzle de cuvinte încrucișate (care este pregătit în prealabil pe o foaie mare de hârtie).

7 11

Întrebări cuvinte încrucișate:

1. Dependența între variabile, în care fiecărei valori a variabilei independente îi corespunde o singură valoare a variabilei dependente. [Funcţie].

2. Variabilă independentă. [Argument].

3. Mulțimea punctelor planului de coordonate abscisă, care sunt egale cu valorile argumentului, iar ordonatele sunt egale cu valorile funcției. [Programa].

4. Funcție dată de formula y=kx+b. [Liniar].

5. Ce coeficient se numește un număr? k în formula y=kx+b? [Colţ].

6. Care este graficul unei funcții liniare? [Drept].

7. Dacă k≠0, atunci graficul y=kx+b intersectează această axă, iar dacă k=0, atunci este paralel cu aceasta. Cu ce ​​literă este desemnată această axă? [X].

8. Cuvântul din numele funcției y=kx? [Proporționalitate].

9. Funcție dată de formula y=x 2. [Cadratic].

10. Titlul diagramei funcţie pătratică. [Parabolă].

11. O literă a alfabetului latin, care denotă adesea o funcție. [Igrec].

12. Una dintre modalitățile de a specifica o funcție. [Formula].

Profesor : Care sunt principalele modalități de a specifica o funcție pe care o cunoaștem?

(Un elev primește o sarcină la tablă: completați un tabel de valori ale funcției 12/x folosind valorile date ale argumentului său, apoi trasați punctele corespunzătoare pe planul de coordonate).

Restul răspund la întrebările profesorului: (care sunt scrise în prealabil pe tablă)

1. Care sunt denumirile următoarelor funcții date prin formule: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Precizați domeniul de definire al următoarelor funcții: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3, y=-10/x.

Apoi elevii lucrează conform tabelului, răspunzând la întrebările puse de profesor:

1. Care figură din tabel arată graficele:

a) funcţie liniară;

b) proporţionalitate directă;

c) funcţie pătratică;

d) funcţii de forma y=kx 3 ?

2. Ce semn are coeficientul k în formulele de forma y=kx+b, care corespund graficelor din figurile 1, 2, 4, 5 din tabel?

3. Găsiți în tabel grafice ale funcțiilor liniare ale căror pante sunt:

a) egal;

b) egală ca mărime și opusă ca semn.

(Apoi întreaga clasă verifică dacă elevul chemat la tablă a completat corect tabelul și a plasat punctele pe planul de coordonate).

2. Explicația începe cu motivația.

Profesor: După cum știți, fiecare funcție descrie unele procese care au loc în lumea din jurul nostru.

Luați în considerare, de exemplu, un dreptunghi cu laturi x și y și aria 12 cm 2 . Se știe că x*y=12, dar ce se întâmplă dacă începi să schimbi una dintre laturile dreptunghiului, să spunem o latură cu lungime x?

Lungimea laterală y poate fi găsită din formula y=12/x. Dacă x creste de 2 ori, va avea y=12/2x, i.e. lateral y va scadea de 2 ori. Dacă valoarea x crește de 3, 4, 5... ori, apoi valoarea y va scădea cu aceeași sumă. Dimpotrivă, dacă x scade de mai multe ori, atunci y va crește cu aceeași sumă. (Se lucrează conform tabelului).

Prin urmare, o funcție de forma y=12/x se numește proporționalitate inversă. ÎN vedere generală se scrie ca y=k/x, unde k este o constantă și k≠0.

Acesta este subiectul lecției de astăzi, am notat-o ​​în caiete. Dau o definitie stricta. Pentru funcția y=12/x, care este un tip special de proporționalitate inversă, am notat deja un număr de valori ale argumentului și funcției în tabel și vom reprezenta punctele corespunzătoare pe planul de coordonate. Cum arată graficul acestei funcții? Este dificil să judeci întregul grafic pe baza punctelor construite, deoarece punctele pot fi conectate în orice mod. Să încercăm împreună să tragem concluzii despre graficul unei funcții care rezultă din luarea în considerare a tabelului și formulei.

Întrebări pentru clasă:

1. Care este domeniul de definire al funcției y=12/x?
2. Sunt valorile y pozitive sau negative dacă

a) x

b) x>0?

3. Cum se modifică valoarea unei variabile y cu schimbarea valorii x?

Aşa,

1. punctul (0,0) nu aparține graficului, adică. nu intersectează nici axa OX, nici axa OY;
2. graficul este în sferturi de coordonate Ι și ΙΙΙ;
3. se apropie lin de axele de coordonate atât în ​​sfertul de coordonate Ι, cât și în ΙΙΙ și se apropie de axele cât se dorește.

Având aceste informații, putem conecta deja punctele din figură (profesorul face acest lucru singur pe tablă) și să vedem întregul grafic al funcției y=12/x. Curba rezultată se numește hiperbolă, care în greacă înseamnă „trecerea prin ceva”. Această curbă a fost descoperită de matematicieni scoala greaca vecheîn jurul secolului al IV-lea î.Hr Termenul, hiperbolă, a fost introdus de Apollonius din orașul Pergam (Asia Mică), care a trăit în secolele VI-VIII. î.Hr

Acum, lângă graficul funcției y=12/x, vom construi un grafic al funcției y=-12/x. (Elevii îndeplinesc această sarcină în caiete, iar un elev la tablă).

Comparând ambele grafice, elevii observă că al doilea ocupă 2 și 4 sferturi de coordonate. În plus, dacă graficul funcției y=12/x este afișat simetric față de axa op-amp, atunci se va obține graficul funcției y=-12/x.

Întrebare: Cum depinde locația graficului hiperbolei y=k/x de semnul și valoarea coeficientului k?

Elevii sunt convinși că dacă k>0, atunci graficul este situat în ΙŞi ΙΙΙ sferturi de coordonate, iar dacă k

1. Lecția de educație fizică este condusă de profesor.

1. Consolidarea a ceea ce se studiază are loc la completarea nr. 180, 185 din manual.

1. Lecția este rezumată, note, teme: p. 8 nr. 179, 184.

Lecția 2 pe această temă

„Funcția de proporționalitate inversă și graficul acesteia.”

Finalizat:

Telegina L.B.

Obiectivul lecției:

1. consolidarea deprinderii de a construi un grafic al unei funcții de proporționalitate inversă;
2. dezvoltarea interesului pentru subiect, gândirea logică;
3. cultivă independența și atenția.

Planul lecției:

1. Verificarea progresului teme pentru acasă.
2. Lucrări orale.
3. Rezolvarea problemelor.
4. Minut de educație fizică.
5. Muncă independentă pe mai multe niveluri.
6. Rezumat, aprecieri, teme.

Echipament: carduri.

Progresul lecției:

1. Profesorul anunță tema lecției, obiectivele și planul lecției.

Apoi doi elevi completează numerele de casă atribuite 179, 184 de pe tablă.

1. Restul elevilor lucrează frontal, răspunzând la întrebările profesorului.

Întrebări:

• Definiți funcția de proporționalitate inversă.
• Care este graficul unei funcții de proporționalitate inversă.
• Cum depinde locația graficului hiperbolei y=k/x de valoarea coeficientului k?

Misiuni:

1. Printre funcțiile specificate de formule se numără funcțiile de proporționalitate inversă:

a) y=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Pentru funcțiile de proporționalitate inversă, numiți coeficientul și indicați în ce sferturi se află graficul.

3. Aflați domeniul de definiție pentru funcțiile de proporționalitate inversă.

(Apoi elevii își verifică reciproc temele cu un creion pe baza soluțiilor verificate de profesor la numerele de pe tablă și acordă o notă).

Lucrare frontală conform manualului nr. 190, 191, 192, 193 (oral).

1. Executarea în caiete și la tablă din manualul nr. 186(b), 187(b), 182.

4. O lecție de educație fizică este condusă de profesor.

5. Munca independentă vine în trei versiuni de complexitate variată(distribuit pe carduri).

eu c. (ușoare).

Trasează un grafic al funcției de proporționalitate inversă y=-6/x folosind tabelul:

Folosind graficul, găsiți:

a) valoarea lui y dacă x = - 1,5; 2;

b) valoarea lui x la care y = - 1; 4.

Secolul I (dificultate medie)

Trasează un grafic al funcției de proporționalitate inversă y=16/x, completând mai întâi tabelul.

Folosind graficul, aflați la ce valori x y >0.

Secolul I.I (dificultate crescută)

Trasează un grafic al funcției de proporționalitate inversă y=10/x-2, completând mai întâi tabelul.

Găsiți domeniul de definiție al acestei funcții.

(Elevii predau foile cu grafice construite pentru testare).

6. Rezumă lecția, notele, temele: Nr. 186 (a), 187 (a).

Astăzi ne vom uita la ce cantități sunt numite invers proporționale, cum arată un grafic de proporționalitate inversă și cum toate acestea vă pot fi utile nu numai la lecțiile de matematică, ci și în afara școlii.

Proporții atât de diferite

Proporționalitate numiți două cantități care sunt reciproc dependente una de cealaltă.

Dependența poate fi directă și inversă. În consecință, relațiile dintre cantități sunt descrise prin proporționalitate directă și inversă.

Proporționalitate directă– aceasta este o astfel de relație între două cantități în care o creștere sau scădere a uneia duce la o creștere sau scădere a celeilalte. Aceste. atitudinea lor nu se schimbă.

De exemplu, cu cât depui mai mult efort pentru a studia pentru examene, cu atât ai notele mai mari. Sau cu cât iei mai multe lucruri cu tine în drumeție, cu atât rucsacul tău va fi mai greu de purtat. Aceste. Efortul depus pentru pregătirea examenelor este direct proporțional cu notele obținute. Iar numărul de lucruri ambalate într-un rucsac este direct proporțional cu greutatea acestuia.

Proporționalitate inversă– aceasta este o dependență funcțională în care o scădere sau o creștere de mai multe ori a unei valori independente (se numește argument) determină o creștere sau scădere proporțională (adică de același număr de ori) a unei valori dependente (se numește un funcţie).

Să ilustrăm exemplu simplu. Vrei să cumperi mere de la piață. Merele de pe blat și suma de bani din portofel sunt invers proporționale. Aceste. Cu cât cumpărați mai multe mere, cu atât veți avea mai puțini bani.

Funcția și graficul acesteia

Funcția de proporționalitate inversă poate fi descrisă ca y = k/x. În care x≠ 0 și k≠ 0.

Această funcție are următoarele proprietăți:

1. Domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Intervalul sunt toate numerele reale, cu excepția y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nu are valori maxime sau minime.
4. Este impar și graficul său este simetric față de origine.
5. Neperiodică.
6. Graficul său nu intersectează axele de coordonate.
7. Nu are zerouri.
8. Dacă k> 0 (adică argumentul crește), funcția scade proporțional pe fiecare dintre intervalele sale. Dacă k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Pe măsură ce argumentul crește ( k> 0) valorile negative ale funcției sunt în intervalul (-∞; 0), iar valorile pozitive sunt în intervalul (0; +∞). Când argumentul scade ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graficul unei funcții de proporționalitate inversă se numește hiperbolă. Se arată după cum urmează:

Probleme de proporționalitate inversă

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la mai multe sarcini. Nu sunt prea complicate, iar rezolvarea lor vă va ajuta să vizualizați ce este proporționalitatea inversă și cum aceste cunoștințe vă pot fi utile în viața de zi cu zi.

Sarcina nr. 1. O mașină se deplasează cu o viteză de 60 km/h. I-a luat 6 ore să ajungă la destinație. Cât timp îi va lua să parcurgă aceeași distanță dacă se mișcă cu o viteză de două ori mai mare?

Putem începe prin a scrie o formulă care descrie relația dintre timp, distanță și viteză: t = S/V. De acord, ne amintește foarte mult de funcția de proporționalitate inversă. Și indică faptul că timpul petrecut o mașină pe drum și viteza cu care se deplasează sunt invers proporționale.

Pentru a verifica acest lucru, să găsim V 2, care conform condiției este de 2 ori mai mare: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Apoi calculăm distanța folosind formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Acum nu este greu să aflăm timpul t 2 care ne este necesar în funcție de condițiile problemei: t 2 = 360/120 = 3 ore.

După cum puteți vedea, timpul de călătorie și viteza sunt într-adevăr invers proporționale: la o viteză de 2 ori mai mare decât viteza inițială, mașina va petrece de 2 ori mai puțin timp pe drum.

Soluția la această problemă poate fi scrisă și ca proporție. Deci, să creăm mai întâi această diagramă:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Săgețile indică o relație invers proporțională. De asemenea, ei sugerează că atunci când se întocmește o proporție, partea dreaptă a înregistrării trebuie răsturnată: 60/120 = x/6. De unde obținem x = 60 * 6/120 = 3 ore.

Sarcina nr. 2. Atelierul angajează 6 muncitori care pot finaliza o anumită cantitate de muncă în 4 ore. Dacă numărul de lucrători se reduce la jumătate, cât timp va dura muncitorii rămași pentru a finaliza aceeași cantitate de muncă?

Să notăm condițiile problemei sub forma unei diagrame vizuale:

↓ 6 muncitori – 4 ore

↓ 3 muncitori – x h

Să scriem asta ca proporție: 6/3 = x/4. Și obținem x = 6 * 4/3 = 8 ore Dacă sunt de 2 ori mai puțini lucrători, cei rămași vor petrece de 2 ori mai mult timp făcând toată munca.

Sarcina nr. 3. Există două țevi care duc în piscină. Printr-o țeavă, apa curge cu o viteză de 2 l/s și umple piscina în 45 de minute. Printr-o altă conductă, piscina se va umple în 75 de minute. Cu ce ​​viteză intră apa în piscină prin această conductă?

Pentru început, să reducem toate cantitățile care ni s-au dat în funcție de condițiile problemei la aceleași unități de măsură. Pentru a face acest lucru, exprimăm viteza de umplere a piscinei în litri pe minut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Deoarece rezultă din condiția ca piscina să se umple mai lent prin a doua conductă, aceasta înseamnă că debitul de apă este mai mic. Proporționalitatea este inversă. Să exprimăm viteza necunoscută prin x și să facem următoarea diagramă:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Și apoi alcătuim proporția: 120/x = 75/45, de unde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

În problemă, viteza de umplere a piscinei este exprimată în litri pe secundă să reducem răspunsul primit la aceeași formă: 72/60 = 1,2 l/s.

Sarcina nr. 4. O mică tipografie privată tipărește cărți de vizită. Un angajat al unei tipografii lucrează cu o viteză de 42 de cărți de vizită pe oră și lucrează o zi întreagă - 8 ore. Dacă ar lucra mai repede și ar tipări 48 de cărți de vizită într-o oră, cu cât mai devreme ar putea merge acasă?

Urmăm calea dovedită și întocmim o diagramă în funcție de condițiile problemei, desemnând valoarea dorită ca x:

↓ 42 cărți de vizită/oră – 8 ore

↓ 48 cărți de vizită/h – x h

Avem o relație invers proporțională: de câte ori mai multe cărți de vizită tipărește un angajat al unei tipografii pe oră, de aceeași număr de ori mai puțin timp va avea nevoie pentru a finaliza aceeași muncă. Știind acest lucru, să creăm o proporție:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ore.

Astfel, după ce a finalizat lucrarea în 7 ore, angajatul tipografiei putea pleca acasă cu o oră mai devreme.

Concluzie

Ni se pare că aceste probleme de proporționalitate inversă sunt cu adevărat simple. Sperăm că acum și tu te gândești la ei așa. Și principalul lucru este că cunoștințele despre invers dependență proporțională cantitățile s-ar putea dovedi într-adevăr utile pentru mai multe ori.

Nu numai la lecțiile și examenele de matematică. Dar chiar și atunci, când te pregătești să pleci într-o excursie, să mergi la cumpărături, să te hotărăști să câștigi niște bani în plus în vacanță etc.

Spune-ne în comentarii ce exemple de relații inverse și direct proporționale observi în jurul tău. Să fie un astfel de joc. Vei vedea cât de interesant este. Nu uitați să distribuiți acest articol pe rețelele sociale ca să se poată juca și prietenii și colegii tăi.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Să repetăm ​​teoria funcțiilor. O funcție este o regulă conform căreia fiecare element dintr-o mulțime (argument) este asociat cu un anumit ( Să repetăm: o funcție este o regulă conform căreia fiecare element dintr-o mulțime (argument) este asociat cu un anumit () element al altui set (mult de valori ale funcției). Adică dacă există o funcție \(y = f(x)\), aceasta înseamnă că pentru fiecare valoare validă a variabilei \(x\)(care se numește „argument”) corespunde unei valori a variabilei \(y\)(numită „funcție”).

Funcție care descrie dependența inversă

Aceasta este o funcție a formei \(y = \frac(k)(x)\), unde \(k\ne 0.\)

Aceasta este o funcție a formei unde.
Să definim domeniul definiției. Cu ce ​​poate fi egal cu \(x\)? Sau, cu alte cuvinte, cu ce nu poate fi egal?

Singurul număr care nu poate fi împărțit este 0, deci \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

sau, care este același:

\(D(y) = R\backslash \( 0\).\)

Această notație înseamnă că \(x\) poate fi orice număr cu excepția lui 0: semnul „R” denotă mulțimea numerelor reale, adică toate numerele posibile; semnul „\” indică excluderea a ceva din acest set (analog cu semnul „minus”), iar numărul 0 dintre paranteze înseamnă pur și simplu numărul 0; Se pare că din toate numerele posibile excludem 0.

Se pare că setul de valori ale funcției este exact același: la urma urmei, dacă \(k \ne 0.\) , atunci indiferent cu ce îl împărțim, 0 nu va funcționa:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

sau \(E(y) = R\backslash \( 0\).\)

Sunt posibile și unele variații ale formulei \(y = \frac(k)(x)\). De exemplu, \(y = \frac(k)((x + a))\)​​este, de asemenea, o funcție care descrie o relație inversă. Domeniul de aplicare și intervalul de valori ale acestei funcții sunt după cum urmează:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

Să luăm în considerare exemplu, să reducem expresia la forma unei relații inverse:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3) ) + 5))((x - 3)).\)

Am introdus artificial valoarea 3 în numărător, iar acum împărțim numărătorul la numitor termen cu termen, obținem:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Avem relația inversă plus numărul 1.

Graficul relației inverse

Să începem cu un caz simplu \(y = \frac(1)(x).\)

Să creăm un tabel de valori:

Să desenăm puncte pe planul de coordonate:

Conectați punctele, graficul va arăta astfel:

Acest grafic este numit "hiperbolă". La fel ca o parabolă, o hiperbola are două ramuri, doar că nu sunt legate între ele. Fiecare dintre ele tinde să-și miște capetele mai aproape de axe BouŞi Oi, dar nu ajunge niciodată la ei.

Să notăm câteva caracteristici ale funcției:

1. Dacă o funcție are un minus înaintea fracției, atunci graficul este răsturnat, adică este afișat simetric în raport cu axa Bou.
2. Cu cât numărul din numitor este mai mare, cu atât graficul „fuge” mai departe de origine.

Dependență inversă în viață

Unde găsim o astfel de funcție în practică? Sunt multe exemple. Cea mai obișnuită este mișcarea: cu cât viteza cu care ne mișcăm este mai mare, cu atât ne va dura mai puțin timp pentru a parcurge aceeași distanță. Să ne amintim formula vitezei:

\(v = \frac(S)(t),\)

unde v este viteza, t este timpul de călătorie, S este distanța (calea).

De aici putem exprima timpul: \(t = \frac(S)(v).\)