Conceptul de proporționalitate directă
Imaginați-vă că plănuiți să cumpărați bomboanele preferate (sau orice vă place cu adevărat). Dulciurile din magazin au propriul preț. Să spunem 300 de ruble pe kilogram. Cum mai multe bomboane cumperi atunci mai multi bani plată. Adică dacă vrei 2 kilograme, plătești 600 de ruble, iar dacă vrei 3 kilograme, plătești 900 de ruble. Se pare că totul este clar, nu?
Dacă da, atunci îți este clar acum ce este proporționalitatea directă - acesta este un concept care descrie relația dintre două cantități dependente una de cealaltă. Iar raportul acestor mărimi rămâne neschimbat și constant: cu câte părți crește sau scade una dintre ele, cu același număr de părți a doua crește sau scade proporțional.
Proporționalitatea directă poate fi descrisă cu următoarea formulă: f(x) = a*x, iar a în această formulă este o valoare constantă (a = const). În exemplul nostru despre bomboane, prețul este o valoare constantă, o constantă. Nu crește și nici nu scade, indiferent câte bomboane ați decide să cumpărați. Variabila independentă (argumentul) x este câte kilograme de bomboane vei cumpăra. Iar variabila dependentă f(x) (funcția) este câți bani veți ajunge să plătiți pentru achiziție. Deci, putem înlocui numerele în formulă și obținem: 600 de ruble. = 300 de ruble. * 2 kg.
Concluzia intermediară este aceasta: dacă argumentul crește, crește și funcția, dacă argumentul scade, și funcția scade
Funcția și proprietățile sale
Funcția direct proporțională este un caz special al unei funcții liniare. Dacă funcția liniară este y = k*x + b, atunci pentru proporționalitate directă arată astfel: y = k*x, unde k se numește coeficient de proporționalitate și este întotdeauna un număr diferit de zero. Este ușor de calculat k - se găsește ca un coeficient al unei funcții și al unui argument: k = y/x.
Pentru a fi mai clar, să luăm un alt exemplu. Imaginează-ți că o mașină se deplasează din punctul A în punctul B. Viteza sa este de 60 km/h. Dacă presupunem că viteza de mișcare rămâne constantă, atunci poate fi luată ca o constantă. Și apoi scriem condițiile sub forma: S = 60*t, iar această formulă este similară cu funcția de proporționalitate directă y = k *x. Să facem o paralelă mai departe: dacă k = y/x, atunci viteza mașinii poate fi calculată cunoscând distanța dintre A și B și timpul petrecut pe drum: V = S /t.
Și acum, de la aplicarea aplicată a cunoștințelor despre proporționalitate directă, să revenim la funcția acesteia. ale căror proprietăți includ:
domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale (precum și submulțimile sale);
funcția este impară;
modificarea variabilelor este direct proporțională pe toată lungimea dreptei numerice.
Proporționalitatea directă și graficul acesteia
Graficul unei funcții de proporționalitate directă este o dreaptă care intersectează originea. Pentru a-l construi, este suficient să mai marchezi un singur punct. Și conectați-l și originea coordonatelor cu o linie dreaptă.
În cazul unui grafic, k este panta. Dacă panta este mai mică decât zero (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graficul și forma axei x unghi ascuțit, iar funcția este în creștere.
Și încă o proprietate a graficului funcției de proporționalitate directă este direct legată de panta k. Să presupunem că avem două funcții neidentice și, în consecință, două grafice. Deci, dacă coeficienții k ai acestor funcții sunt egali, graficele lor sunt situate paralel cu axa de coordonate. Și dacă coeficienții k nu sunt egali între ei, graficele se intersectează.
Exemple de probleme
Acum să rezolvăm câteva probleme de proporționalitate directă
Să începem cu ceva simplu.
Problema 1: Imaginează-ți că 5 găini au depus 5 ouă în 5 zile. Și dacă sunt 20 de găini, câte ouă vor depune în 20 de zile?
Rezolvare: Să notăm necunoscutul cu kx. Și vom raționa astfel: de câte ori au devenit mai mulți găini? Împărțiți 20 la 5 și aflați că este de 4 ori. De câte ori mai multe ouă vor depune 20 de găini în aceleași 5 zile? De asemenea, de 4 ori mai mult. Așadar, pe ale noastre le găsim așa: 5*4*4 = 80 de ouă vor fi depuse de 20 de găini în 20 de zile.
Acum, exemplul este puțin mai complicat, să parafrazăm problema din „Aritmetica generală” a lui Newton. Problema 2: Un scriitor poate compune 14 pagini dintr-o carte nouă în 8 zile. Dacă ar avea asistenți, de câți oameni ar fi nevoie pentru a scrie 420 de pagini în 12 zile?
Soluție: Raționăm că numărul de persoane (scriitor + asistenți) crește odată cu volumul de muncă dacă ar trebui făcută în același timp. Dar de câte ori? Împărțind 420 la 14, aflăm că crește de 30 de ori. Dar, deoarece, conform condițiilor sarcinii, se acordă mai mult timp pentru muncă, numărul asistenților crește nu de 30 de ori, ci în acest fel: x = 1 (scriitor) * 30 (ori): 12/8 ( zile). Să ne transformăm și să aflăm că x = 20 de persoane vor scrie 420 de pagini în 12 zile.
Să rezolvăm o altă problemă similară cu cele din exemplele noastre.
Problema 3: Două mașini au pornit în aceeași călătorie. Unul se deplasa cu o viteză de 70 km/h și a parcurs aceeași distanță în 2 ore, pe care celălalt a durat 7 ore. Găsiți viteza celei de-a doua mașini.
Soluție: După cum vă amintiți, traseul este determinat prin viteză și timp - S = V *t. Deoarece ambele mașini au parcurs aceeași distanță, putem echivala cele două expresii: 70*2 = V*7. Cum aflăm că viteza celei de-a doua mașini este V = 70*2/7 = 20 km/h.
Și încă câteva exemple de sarcini cu funcții de proporționalitate directă. Uneori problemele necesită găsirea coeficientului k.
Sarcina 4: Având în vedere funcțiile y = - x/16 și y = 5x/2, determinați coeficienții lor de proporționalitate.
Rezolvare: După cum vă amintiți, k = y/x. Aceasta înseamnă că pentru prima funcție coeficientul este egal cu -1/16, iar pentru a doua k = 5/2.
De asemenea, puteți întâlni o sarcină precum Sarcina 5: scrieți proporționalitatea directă cu o formulă. Graficul său și graficul funcției y = -5x + 3 sunt situate în paralel.
Rezolvare: Funcția care ne este dată în condiție este liniară. Știm că proporționalitatea directă este un caz special al unei funcții liniare. Și mai știm că dacă coeficienții k funcțiilor sunt egali, graficele lor sunt paralele. Aceasta înseamnă că tot ceea ce este necesar este să calculăm coeficientul unei funcții cunoscute și să stabilim proporționalitatea directă folosind formula cunoscută nouă: y = k *x. Coeficient k = -5, proporționalitate directă: y = -5*x.
Concluzie
Acum ați învățat (sau v-ați amintit, dacă ați tratat deja acest subiect înainte) cum se numește proporționalitate directă, și s-a uitat la el exemple. Am vorbit și despre funcția de proporționalitate directă și graficul acesteia și am rezolvat câteva exemple de probleme.
Dacă acest articol a fost util și v-a ajutat să înțelegeți subiectul, spuneți-ne despre el în comentarii. Ca să știm dacă vă putem beneficia.
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
I. Mărimi direct proporţionale.
Lasă valoarea y depinde de dimensiune X. Dacă la creşterea X de mai multe ori mai mare la crește cu aceeași cantitate, apoi astfel de valori XŞi la se numesc direct proportionale.
Exemple.
1 . Cantitatea de bunuri achiziționate și prețul de achiziție (cu un preț fix pentru o unitate de mărfuri - 1 bucată sau 1 kg etc.) De câte ori s-au cumpărat mai multe bunuri, cu atât au plătit mai mult.
2 . Distanța parcursă și timpul petrecut pe ea (la viteză constantă). De câte ori este calea mai lungă, de câte ori mai mult timp va dura pentru a o finaliza.
3 . Volumul unui corp și masa acestuia. ( Dacă un pepene verde este de 2 ori mai mare decât altul, atunci masa lui va fi de 2 ori mai mare)
II. Proprietatea proporționalității directe a cantităților.
Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale primei cantități este egal cu raportul dintre două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități.
Sarcina 1. Pentru dulceata de zmeura am luat 12 kg zmeura si 8 kg Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? 9 kg zmeura?
Soluţie.
Raționăm astfel: să fie necesar x kg zahăr pentru 9 kg zmeura Masa de zmeură și masa de zahăr sunt cantități direct proporționale: de câte ori sunt mai puține zmeură, de același număr de ori mai puțin zahăr este nevoie. Prin urmare, raportul dintre zmeura luată (în greutate) ( 12:9 ) va fi egal cu raportul de zahăr luat ( 8:x). Obținem proporția:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. Răspuns: pe 9 kg trebuie luate zmeura 6 kg Sahara.
Rezolvarea problemei S-ar putea face astfel:
Lasă-te 9 kg trebuie luate zmeura x kg Sahara.
(Săgețile din figură sunt îndreptate într-o singură direcție, iar în sus sau în jos nu contează. Semnificație: de câte ori numărul 12 mai mult număr 9 , de același număr de ori 8 mai mult număr X, adică aici există o relație directă).
Răspuns: pe 9 kg Trebuie să iau niște zmeură 6 kg Sahara.
Sarcina 2. Masina pentru 3 ore parcurs distanta 264 km. Cât îi va lua să călătorească? 440 km, dacă conduce cu aceeași viteză?
Soluţie.
Lasă pt x ore mașina va acoperi distanța 440 km.
Răspuns: va trece mașina 440 km in 5 ore.
Obiective principale:
- introducerea conceptului de dependență directă și invers proporțională a cantităților;
- învață cum să rezolvi problemele folosind aceste dependențe;
- promovează dezvoltarea abilităților de rezolvare a problemelor;
- consolidarea abilității de a rezolva ecuații folosind proporții;
- repetă pașii cu obișnuit și zecimale;
- dezvolta gândire logică elevilor.
PROGRESUL LECȚIEI
eu. Autodeterminare pentru activitate(moment organizatoric)
- Băieți! Astăzi în lecție ne vom familiariza cu problemele rezolvate folosind proporții.
II. Actualizarea cunoștințelor și înregistrarea dificultăților în activități
2.1. Lucrări orale (3 min)
– Găsiți sensul expresiilor și aflați cuvântul criptat în răspunsuri.
14 – s; 0,1 – și; 7 – l; 0,2 – a; 17 – c; 25 – la
– Cuvântul rezultat este putere. Bine făcut!
– Motto-ul lecției noastre de astăzi: Puterea este în cunoaștere! Caut - asta înseamnă că învăț!
– Alcătuiți o proporție din numerele rezultate. (14:7 = 0,2:0,1 etc.)
2.2. Să luăm în considerare relația dintre cantitățile pe care le cunoaștem (7 min)
– distanța parcursă de mașină cu viteză constantă, și timpul deplasării acestuia: S = v t ( cu creșterea vitezei (timpului), distanța crește);
– viteza vehiculului și timpul petrecut în călătorie: v=S:t(cu cât timpul de parcurgere a traseului crește, viteza scade);
–
costul bunurilor achiziționate la un preț și cantitatea acestuia:
C = a · n (cu o creștere (scădere) preț, costul de achiziție crește (descrește));
– prețul produsului și cantitatea acestuia: a = C: n (cu creșterea cantității, prețul scade)
– aria dreptunghiului și lungimea (lățimea): S = a · b (cu creșterea lungimii (lățimea), aria crește;
– lungime și lățime dreptunghi: a = S: b (cu cât lungimea crește, lățimea scade;
– numărul de muncitori care efectuează o anumită muncă cu aceeași productivitate a muncii și timpul necesar pentru a finaliza această muncă: t = A: n (cu creșterea numărului de muncitori, timpul alocat pentru efectuarea muncii scade), etc. .
Am obținut dependențe în care, cu creșterea unei valori de mai multe ori, alta crește imediat cu aceeași valoare (exemplele sunt prezentate cu săgeți) și dependențe în care, cu creșterea unei valori de mai multe ori, a doua valoare scade cu același număr de ori.
Astfel de dependențe se numesc proporționalitate directă și inversă.
Direct- dependență proporțională
– o relație în care pe măsură ce o valoare crește (descrește) de mai multe ori, a doua valoare crește (descrește) cu aceeași cantitate.
Relație invers proporțională– o relație în care pe măsură ce o valoare crește (descrește) de mai multe ori, a doua valoare scade (crește) cu aceeași cantitate.
III. Stabilirea unei sarcini de învățare
– Ce problemă ne confruntăm? (Învățați să distingeți între linii drepte și dependențe inverse)
- Asta - ţintă lecția noastră. Acum formulează subiect lecţie. (Relație directă și invers proporțională).
- Bine făcut! Notați subiectul lecției în caiete. (Profesorul scrie subiectul pe tablă.)
IV. „Descoperirea” de noi cunoștințe(10 min)
Să ne uităm la problema nr. 199.
1. Imprimanta imprimă 27 de pagini în 4,5 minute. Cât timp va dura imprimarea a 300 de pagini?
27 pagini – 4,5 min.
300 de pagini - x?
2. Cutia contine 48 de pachete de ceai, cate 250 g fiecare. Câte pachete de 150 g din acest ceai vei primi?
48 pachete – 250 g.
X? – 150 g.
3. Mașina a parcurs 310 km, folosind 25 de litri de benzină. Cât de departe poate călători o mașină cu un rezervor plin de 40 de litri?
310 km – 25 l
X? – 40 l
4. Unul dintre angrenajele ambreiajului are 32 de dinți, iar celălalt are 40. Câte rotații va face a doua treaptă în timp ce prima face 215 rotații?
32 dinți – 315 r.
40 de dinți – x?
Pentru a compila o proporție, este necesară o direcție a săgeților, pentru aceasta, în proporționalitate inversă, un raport este înlocuit cu inversul.
La tablă, elevii găsesc pe loc sensul cantităților, elevii rezolvă o problemă la alegere.
– Formulați o regulă pentru rezolvarea problemelor cu dependență directă și invers proporțională.
Pe tablă apare un tabel:
V. Consolidarea primară în vorbirea externă(10 min)
Atribuții pentru foile de lucru:
- Din 21 kg de semințe de bumbac s-au obținut 5,1 kg de ulei.
- Cât ulei se va obține din 7 kg de semințe de bumbac?
Pentru a construi stadionul, 5 buldozere au curățat șantierul în 210 minute. Cât timp ar dura 7 buldozere pentru a curăța acest site? VI. Munca independentăcu autotest față de standard
(5 min)
Doi elevi completează sarcina nr. 225 în mod independent pe plăci ascunse, iar restul - în caiete. Apoi verifică funcționarea algoritmului și o compară cu soluția de pe placă. Erorile sunt corectate și cauzele lor sunt determinate. Dacă sarcina este finalizată corect, atunci elevii pun un semn „+” lângă ei.
Elevii care greșesc în munca independentă pot apela la consultanți.№ 271, № 270.
VII. Includerea în sistemul de cunoștințe și repetarea
La consiliu lucrează șase persoane. După 3-4 minute, elevii care lucrează la tablă își prezintă soluțiile, iar restul verifică temele și participă la discuția lor.
VIII. Reflecție asupra activității (rezumatul lecției)
– Ce nou ai învățat la lecție?
-Ce au repetat?
– Care este algoritmul pentru rezolvarea problemelor de proporție?
– Ne-am atins scopul?
– Cum îți evaluezi munca?
Proporționalitatea este o relație între două mărimi, în care o modificare a uneia dintre ele atrage după sine o modificare a celeilalte cu aceeași valoare. Proporționalitatea poate fi directă sau inversă. ÎN această lecție
ne vom uita la fiecare dintre ele.Conținutul lecției
Proporționalitate directă
Să presupunem că mașina se deplasează cu o viteză de 50 km/h. Ne amintim că viteza este distanța parcursă pe unitatea de timp (1 oră, 1 minut sau 1 secundă). În exemplul nostru, mașina se deplasează cu o viteză de 50 km/h, adică într-o oră va parcurge o distanță de cincizeci de kilometri.
Să descriem în figură distanța parcursă de mașină în 1 oră.
Lasă mașina să conducă încă o oră cu aceeași viteză de cincizeci de kilometri pe oră. Apoi se dovedește că mașina va parcurge 100 km
După cum se poate observa din exemplu, dublarea timpului a dus la o creștere a distanței parcurse cu aceeași sumă, adică de două ori. proporționalitate directă.
Proporționalitatea directă este relația dintre două cantități în care o creștere a uneia dintre ele atrage după sine o creștere a celeilalte cu aceeași sumă.
și invers, dacă o cantitate scade de un anumit număr de ori, atunci cealaltă scade de același număr de ori.
Să presupunem că planul inițial era de a conduce o mașină 100 km în 2 ore, dar după ce a condus 50 de km, șoferul a decis să se odihnească. Apoi se dovedește că prin reducerea distanței la jumătate, timpul va scădea cu aceeași cantitate. Cu alte cuvinte, reducerea distanței parcurse va duce la o scădere a timpului cu aceeași valoare.
O caracteristică interesantă a mărimilor direct proporționale este că raportul lor este întotdeauna constant. Adică, atunci când se modifică valorile mărimilor direct proporționale, raportul lor rămâne neschimbat.
În exemplul luat în considerare, distanța a fost inițial de 50 km și timpul a fost de o oră. Raportul dintre distanță și timp este numărul 50.
Dar am dublat timpul de călătorie, făcându-l două ore. Ca urmare, distanța parcursă a crescut cu aceeași sumă, adică a devenit egală cu 100 km. Raportul dintre o sută de kilometri și două ore este din nou numărul 50
Se numește numărul 50 coeficient de proporţionalitate directă. Arată câtă distanță există pe oră de mișcare. În acest caz, coeficientul joacă rolul vitezei de mișcare, deoarece viteza este raportul dintre distanța parcursă și timpul.
Proporțiile pot fi făcute din cantități direct proporționale. De exemplu, rapoartele formează proporția:
Cincizeci de kilometri înseamnă o oră, precum o sută de kilometri înseamnă două ore.
Exemplul 2. Costul și cantitatea bunurilor achiziționate sunt direct proporționale. Dacă 1 kg de dulciuri costă 30 de ruble, atunci 2 kg din aceleași dulciuri vor costa 60 de ruble, 3 kg 90 de ruble. Pe măsură ce costul unui produs achiziționat crește, cantitatea acestuia crește cu aceeași sumă.
Deoarece costul unui produs și cantitatea acestuia sunt cantități direct proporționale, raportul lor este întotdeauna constant.
Să scriem care este raportul dintre treizeci de ruble la un kilogram
Acum să scriem care este raportul dintre șaizeci de ruble la două kilograme. Acest raport va fi din nou egal cu treizeci:
Aici coeficientul de proporționalitate directă este numărul 30. Acest coeficient arată câte ruble sunt pe kilogram de dulciuri. În acest exemplu, coeficientul joacă rolul prețului unui kilogram de mărfuri, deoarece prețul este raportul dintre costul mărfurilor și cantitatea acesteia.
Proporționalitate inversă
Luați în considerare următorul exemplu. Distanța dintre cele două orașe este de 80 km. Motociclistul a părăsit primul oraș și, cu o viteză de 20 km/h, a ajuns în al doilea oraș în 4 ore.
Dacă viteza unui motociclist era de 20 km/h, înseamnă că în fiecare oră a parcurs o distanță de douăzeci de kilometri. Să descriem în figură distanța parcursă de motociclist și timpul deplasării acestuia:
La întoarcere, viteza motociclistului era de 40 km/h, iar în aceeași călătorie a petrecut 2 ore.
Este ușor de observat că atunci când viteza se schimbă, timpul de mișcare se modifică în aceeași măsură. Mai mult, s-a schimbat în reversul- adică viteza a crescut, dar timpul, dimpotrivă, a scăzut.
Mărimi precum viteza și timpul sunt numite invers proporționale. Și relația dintre astfel de cantități se numește proporţionalitate inversă.
Proporționalitatea inversă este relația dintre două mărimi în care o creștere a uneia dintre ele atrage după sine o scădere a celeilalte cu aceeași valoare.
și invers, dacă o cantitate scade de un anumit număr de ori, atunci cealaltă crește de același număr de ori.
De exemplu, dacă la întoarcere viteza motociclistului era de 10 km/h, atunci ar parcurge aceiași 80 km în 8 ore:
După cum se poate observa din exemplu, o scădere a vitezei a dus la o creștere a timpului de mișcare cu aceeași valoare.
Particularitatea cantităților invers proporționale este că produsul lor este întotdeauna constant. Adică, atunci când se modifică valorile cantităților invers proporționale, produsul lor rămâne neschimbat.
În exemplul luat în considerare, distanța dintre orașe a fost de 80 km. Când viteza și timpul de mișcare a motociclistului s-au schimbat, această distanță a rămas mereu neschimbată
Un motociclist ar putea parcurge această distanță cu o viteză de 20 km/h în 4 ore, și cu o viteză de 40 km/h în 2 ore și cu o viteză de 10 km/h în 8 ore. În toate cazurile, produsul dintre viteză și timp a fost egal cu 80 km
Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții