विविध मार्गांनीपायथागोरियन प्रमेयाचा पुरावा

9 "अ" वर्गातील विद्यार्थी

एमओयू माध्यमिक शाळा क्रमांक 8

वैज्ञानिक सल्लागार:

गणित शिक्षक,

एमओयू माध्यमिक शाळा क्रमांक 8

कला. नवीन ख्रिसमस

क्रास्नोडार प्रदेश.

कला. नवीन ख्रिसमस

भाष्य.

पायथागोरियन प्रमेय भूमितीच्या अभ्यासक्रमात योग्यरित्या सर्वात महत्वाचे मानले जाते आणि लक्षपूर्वक लक्ष देण्यास पात्र आहे. अनेक भौमितिक समस्या सोडवण्याचा हा आधार आहे, भविष्यात भूमितीच्या सैद्धांतिक आणि व्यावहारिक अभ्यासक्रमाचा अभ्यास करण्याचा आधार आहे. प्रमेय त्याच्या स्वरूपाशी आणि पुराव्याच्या पद्धतींशी संबंधित सर्वात श्रीमंत ऐतिहासिक सामग्रीने वेढलेला आहे. भूमितीच्या विकासाच्या इतिहासाचा अभ्यास या विषयाबद्दल प्रेम निर्माण करतो, संज्ञानात्मक स्वारस्य, सामान्य संस्कृती आणि सर्जनशीलतेच्या विकासास हातभार लावतो आणि संशोधन कौशल्ये देखील विकसित करतो.

शोध क्रियाकलापांच्या परिणामी, कामाचे ध्येय साध्य केले गेले, जे पायथागोरियन प्रमेयच्या पुराव्यावर ज्ञानाची भरपाई आणि सामान्यीकरण आहे. शालेय पाठ्यपुस्तकांच्या पानांच्या पलीकडे जाऊन पुराव्याचे विविध मार्ग शोधून त्यावर विचार करणे आणि विषयावरील ज्ञान सखोल करणे शक्य झाले.

संकलित केलेली सामग्री आणखीनच खात्री पटवून देते की पायथागोरियन प्रमेय हे भूमितीचे महान प्रमेय आहे आणि ते खूप सैद्धांतिक आणि व्यावहारिक महत्त्व आहे.

परिचय. ऐतिहासिक पार्श्वभूमी 5 मुख्य भाग 8

3. निष्कर्ष 19

4. साहित्य वापरले 20
1. परिचय. इतिहास संदर्भ.

सत्याचे सार हे आहे की ते आपल्यासाठी कायमचे आहे,

जेव्हा किमान एकदा तिच्या अंतर्दृष्टीमध्ये आपण प्रकाश पाहतो,

आणि पायथागोरियन प्रमेय इतक्या वर्षांनी

आमच्यासाठी, त्याच्यासाठी, ते निर्विवाद, निर्दोष आहे.

साजरा करण्यासाठी, देवतांना पायथागोरसने एक नवस दिला होता:

अनंत शहाणपणाला स्पर्श करण्यासाठी,

त्याने शंभर बैलांची कत्तल केली, शाश्वत लोकांचे आभार;

त्यानंतर त्याने पीडितेची प्रार्थना आणि स्तुती केली.

तेव्हापासून, बैल, जेव्हा ते वास घेतात, ढकलतात,

कशामुळे लोकांना पुन्हा नव्या सत्याकडे नेले जाते,

ते प्रचंड गर्जना करतात, म्हणून ऐकण्यासाठी लघवी नाही,

अशा पायथागोरसने त्यांच्यात कायमची दहशत निर्माण केली.

बैल, नवीन सत्याचा प्रतिकार करण्यास शक्तीहीन,

काय उरले? - फक्त डोळे बंद करा, गर्जना करा, थरथरा.

पायथागोरसने त्याचे प्रमेय कसे सिद्ध केले हे माहित नाही. इजिप्शियन विज्ञानाच्या जोरदार प्रभावाखाली त्याने हे शोधले हे निश्चित आहे. पायथागोरसच्या प्रमेयाचा एक विशेष मामला - 3, 4 आणि 5 बाजू असलेल्या त्रिकोणाचे गुणधर्म - पायथागोरसच्या जन्माच्या खूप आधीपासून पिरॅमिडच्या बांधकामकर्त्यांना माहित होते, जेव्हा त्याने स्वतः 20 वर्षांहून अधिक काळ इजिप्शियन याजकांसोबत अभ्यास केला होता. एक आख्यायिका आहे की, त्याचे प्रसिद्ध प्रमेय सिद्ध केल्यावर, पायथागोरसने देवतांना एक बैल आणि इतर स्त्रोतांनुसार, अगदी 100 बैलांचा बळी दिला. तथापि, हे पायथागोरसच्या नैतिक आणि धार्मिक विचारांबद्दलच्या माहितीला विरोध करते. साहित्यिक स्त्रोतांमध्ये, कोणीही वाचू शकतो की त्याने "प्राण्यांना मारण्यास मनाई केली आहे आणि त्याहूनही अधिक त्यांना खायला देण्यास मनाई केली आहे, कारण प्राण्यांना आपल्यासारखा आत्मा असतो." पायथागोरस फक्त मध, ब्रेड, भाज्या आणि कधीकधी मासे खात. या सर्वांच्या संदर्भात, खालील नोंद अधिक प्रशंसनीय मानली जाऊ शकते: "... आणि जेव्हा त्याला आढळले की काटकोन त्रिकोणात कर्ण पायांशी संबंधित आहे, तेव्हा त्याने गव्हाच्या पिठाच्या बैलाचा बळी दिला."

पायथागोरियन प्रमेयची लोकप्रियता इतकी मोठी आहे की त्याचे पुरावे अगदी काल्पनिक कथांमध्ये देखील आढळतात, उदाहरणार्थ, प्रसिद्ध इंग्रजी लेखक हक्सले "यंग आर्किमिडीज" च्या कथेत. हाच पुरावा, परंतु समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाच्या विशिष्ट प्रकरणासाठी, प्लेटोच्या संवाद मेनोमध्ये दिलेला आहे.

परीकथा घर.

“दूर, दूर, जिथे विमाने देखील उडत नाहीत, तो भूमितीचा देश आहे. या असामान्य देशात एक आश्चर्यकारक शहर होते - तेओरेम शहर. एके दिवशी मी या शहरात आलो सुंदर मुलगीहायपोटेन्युज नावाचे. तिने खोली मिळवण्याचा प्रयत्न केला, पण जिथे जिथे अर्ज केला तिथे तिला सर्वत्र नकार देण्यात आला. शेवटी तिने रिकटीच्या घराजवळ जाऊन दार ठोठावले. तिला एका माणसाने उघडले ज्याने स्वतःला काटकोन म्हटले आणि त्याने हायपोटेनसला त्याच्याबरोबर राहण्यासाठी आमंत्रित केले. कर्ण ज्या घरात काटकोन आणि काटे नावाचे त्याचे दोन लहान मुले राहत होते तेथेच राहिले. तेव्हापासून, काटकोन घरातील जीवन एका नवीन मार्गाने बदलले आहे. कर्णाने खिडकीत फुले लावली आणि समोरच्या बागेत लाल गुलाब पसरवले. घराने काटकोन त्रिकोणाचे रूप घेतले. दोन्ही पायांना हायपोटेन्युज खूप आवडले आणि तिला त्यांच्या घरी कायमचे राहण्यास सांगितले. संध्याकाळी, हे मैत्रीपूर्ण कुटुंब कौटुंबिक टेबलवर जमते. कधी कधी काटकोन त्याच्या मुलांसोबत लपाछपी खेळतो. बर्‍याचदा त्याला पहावे लागते आणि हायपोटेन्युज इतके कुशलतेने लपवते की ते शोधणे खूप कठीण होऊ शकते. एकदा खेळादरम्यान, उजव्या कोनाला एक मनोरंजक गुणधर्म दिसला: जर त्याने पाय शोधले तर हायपोटेन्युज शोधणे कठीण नाही. तर काटकोन हा पॅटर्न वापरतो, मी म्हणायलाच पाहिजे, खूप यशस्वीपणे. पायथागोरियन प्रमेय या काटकोन त्रिकोणाच्या गुणधर्मावर आधारित आहे.

(ए. ओकुनेव्हच्या पुस्तकातून "धड्याबद्दल धन्यवाद, मुलांनो").

प्रमेयाचे खेळकर सूत्रीकरण:

जर आपल्याला त्रिकोण दिला असेल

आणि, शिवाय, काटकोनासह,

तो कर्णाचा वर्ग आहे

आम्ही नेहमी सहज शोधू शकतो:

आम्ही चौरसात पाय बांधतो,

आम्हाला अंशांची बेरीज सापडते -

आणि अशा सोप्या पद्धतीने

आम्ही निकालावर येऊ.

10 व्या वर्गात बीजगणित आणि विश्लेषण आणि भूमितीच्या सुरुवातीचा अभ्यास केल्यावर, मला खात्री पटली की 8 व्या इयत्तेत विचारात घेतलेल्या पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याच्या पद्धतीव्यतिरिक्त, ते सिद्ध करण्याचे इतर मार्ग आहेत. मी ते तुमच्या विचारार्थ सादर करतो.
2. मुख्य भाग.

प्रमेय. काटकोन त्रिकोणात चौरस

कर्ण हे पायांच्या चौरसांच्या बेरजेइतके असते.

1 मार्ग.

बहुभुजांच्या क्षेत्रांचे गुणधर्म वापरून, कर्ण आणि काटकोन त्रिकोणाचे पाय यांच्यात एक उल्लेखनीय संबंध प्रस्थापित करतो.

पुरावा.

a, मध्येआणि कर्ण सह(चित्र 1, अ).

ते सिद्ध करूया c²=a²+b².

पुरावा.

आम्ही त्रिकोण एका बाजूसह चौरस पूर्ण करतो a + bअंजीर मध्ये दाखवल्याप्रमाणे. 1 ब. या चौरसाचे क्षेत्रफळ S (a + b)² आहे. दुसरीकडे, हा चौरस चार समान काटकोन त्रिकोणांनी बनलेला आहे, त्यातील प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ ½ आहे av, आणि बाजू असलेला चौरस सह,त्यामुळे एस = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

अशा प्रकारे,

(a + b)² = २ av + s²,

c²=a²+b².

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.
2 मार्ग.

“समान त्रिकोण” या विषयाचा अभ्यास केल्यावर, मला आढळले की आपण पायथागोरियन प्रमेयाच्या पुराव्यासाठी त्रिकोणांची समानता लागू करू शकता. अर्थात, मी विधान वापरले आहे की काटकोन त्रिकोणाचा पाय कर्ण आणि कर्णाचा भाग आणि पाय आणि काटकोनाच्या शिरोबिंदूपासून काढलेल्या उंचीच्या दरम्यान बंदिस्त कर्णाचे सरासरी प्रमाण आहे.

काटकोन C असलेल्या काटकोन त्रिकोणाचा विचार करा, CD ही उंची आहे (चित्र 2). ते सिद्ध करूया एसी² + SW² = AB² .

पुरावा.

काटकोन त्रिकोणाच्या पायाबद्दलच्या विधानावर आधारित:

AC = , CB = .

आम्ही चौरस करतो आणि परिणामी समानता जोडतो:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), जेथे AD + DB = AB, नंतर

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

पुरावा पूर्ण आहे.
3 मार्ग.

पायथागोरियन प्रमेयाच्या पुराव्यासाठी काटकोन त्रिकोणाच्या तीव्र कोनाच्या कोसाइनची व्याख्या लागू केली जाऊ शकते. अंजीर विचारात घ्या. 3.

पुरावा:

ABC हा काटकोन C असलेला काटकोन त्रिकोण असू द्या. काटकोन C च्या शिरोबिंदूपासून उंचीची CD काढा.

कोनाच्या कोसाइनच्या व्याख्येनुसार:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. म्हणून AB * AD = AC²

त्याचप्रमाणे,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

म्हणून AB * BD \u003d BC².

परिणामी समानता टर्म टर्मनुसार जोडणे आणि AD + DВ = AB लक्षात घेतल्यास, आपल्याला मिळते:

एसी² + सूर्य² \u003d AB (AD + DB) \u003d एबी²

पुरावा पूर्ण आहे.
4 मार्ग.

"काटक त्रिकोणाच्या बाजू आणि कोनांमधील गुणोत्तर" या विषयाचा अभ्यास केल्यावर, मला वाटते की पायथागोरियन प्रमेय दुसर्या मार्गाने सिद्ध केला जाऊ शकतो.

पायांसह काटकोन त्रिकोणाचा विचार करा a, मध्येआणि कर्ण सह. (चित्र 4).

ते सिद्ध करूया c²=a²+b².

पुरावा.

पाप B=एसी ; कारण B= a/s , त्यानंतर, परिणामी समानतेचे वर्गीकरण केल्याने, आम्हाला मिळते:

sin² B=मध्ये²/s²; cos² एटी\u003d a² / s².

त्यांना जोडून, ​​आम्हाला मिळते:

sin² एटी+ cos² B= v² / s² + a² / s², जेथे sin² एटी+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², म्हणून,

c² = a² + b².

पुरावा पूर्ण आहे.

5 मार्ग.

हा पुरावा पायांवर बांधलेले चौरस कापून (चित्र 5) आणि कर्ण वर बांधलेल्या चौरसावर परिणामी भाग स्टॅक करण्यावर आधारित आहे.

6 मार्ग.

कॅथेटवर पुराव्यासाठी रविइमारत BCD ABC(चित्र 6). आम्हाला माहित आहे की समान आकृत्यांचे क्षेत्र त्यांच्या समान रेखीय परिमाणांचे वर्ग म्हणून संबंधित आहेत:

पहिल्या समानतेतून दुसरा वजा केल्याने आपल्याला मिळते

c2 = a2 + b2.

पुरावा पूर्ण आहे.

7 मार्ग.

दिले(चित्र 7):

ABS,= ९०° , सूर्य= a, AC =b, AB = c.

सिद्ध करा:c2 = a2 +b2.

पुरावा.

पाय द्या b aचला विभाग चालू ठेवूया SWप्रति बिंदू एटीआणि एक त्रिकोण तयार करा bmdजेणेकरून गुण एमआणि परंतुएका सरळ रेषेच्या एका बाजूला ठेवा सीडीआणि शिवाय, बी.डी. =ब, BDM= ९०°, डीएम= a, मग bmd= ABCदोन बाजूंना आणि त्यांच्यामधील कोन. गुण A आणि एमविभागांद्वारे कनेक्ट करा आहे.आमच्याकडे आहे एमडी सीडीआणि एसी सीडी,म्हणजे सरळ एसीसरळ रेषेच्या समांतर एमडी.कारण एमडी< АС, मग सरळ सीडीआणि आहेसमांतर नाहीत. त्यामुळे, AMDC-आयताकृती ट्रॅपेझॉइड.

काटकोन त्रिकोणांमध्ये ABC आणि bmd 1 + 2 = 90° आणि 3 + 4 = 90°, परंतु = = पासून, नंतर 3 + 2 = 90°; नंतर AVM=180° - 90° = 90°. हे ट्रॅपेझॉइड बाहेर वळले AMDCतीन आच्छादित न होणार्‍या काटकोन त्रिकोणात विभागलेले, नंतर क्षेत्र स्वयंसिद्धानुसार

(a+b)(a+b)

असमानतेच्या सर्व अटींना द्वारे विभाजित केल्यास, आपल्याला मिळते

ab + c2 + ab = (a +ब) , 2 ab+ c2 = a2+ 2अb+ b2,

c2 = a2 + b2.

पुरावा पूर्ण आहे.

8 मार्ग.

ही पद्धत काटकोन त्रिकोणाच्या कर्ण आणि पायांवर आधारित आहे ABC.तो संबंधित चौकोन तयार करतो आणि सिद्ध करतो की कर्णावर बांधलेला चौरस पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या बेरजेइतका आहे (चित्र 8).

पुरावा.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ abc,म्हणजे FBC = डीबीए.

अशा प्रकारे, FBC=ABD(दोन बाजूंनी आणि त्यांच्यामधील कोन).

2) , जेथे AL DE, BD हा सामान्य आधार असल्याने, DL-एकूण उंची.

3) , FB हा आधार असल्याने, एबी- एकूण उंची.

4)

5) त्याचप्रमाणे, कोणीही ते सिद्ध करू शकतो

6) टर्मनुसार टर्म जोडल्यास आम्हाला मिळते:

, BC2 = AB2 + AC2 . पुरावा पूर्ण आहे.

9 मार्ग.

पुरावा.

1) द्या ABDE- एक चौरस (चित्र 9), ज्याची बाजू काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाच्या समान आहे ABC (AB= c, BC = a, AC =b).

२) चला डीके इ.स.पूआणि डीके = सूर्य, 1 + 2 = 90° (काटक त्रिकोणाचे तीव्र कोन म्हणून), 3 + 2 = 90° (चौरसाचा कोन म्हणून), एबी= बी.डी(चौरसाच्या बाजू).

म्हणजे, ABC= BDK(कर्ण आणि तीव्र कोनाद्वारे).

3) द्या ईएल डीसी, एएम ईएल.हे सहजपणे सिद्ध केले जाऊ शकते की ABC = BDK = DEL = EAM (पायांसह aआणि b).मग के.एस= सेमी= एमएल= एलके= a -b

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),सह2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

पुरावा पूर्ण आहे.

10 मार्ग.

पुरावा एक आकृती वर चालते जाऊ शकते, विनोदाने "पायथागोरियन अर्धी चड्डी" (Fig. 10) म्हणतात. पायावर बांधलेल्या चौरसांचे समान त्रिकोणात रूपांतर करणे ही त्याची कल्पना आहे, जे एकत्रितपणे कर्णाचा वर्ग बनवतात.

ABCशिफ्ट, बाणाने दर्शविल्याप्रमाणे, आणि ते स्थान घेते KDN.बाकी आकृती AKDCBचौरसाच्या क्षेत्रफळाइतका AKDC-तो एक समांतरभुज चौकोन आहे AKNB.

समांतरभुज चौकोनाचे मॉडेल बनवले AKNB. आम्ही कामाच्या सामग्रीमध्ये रेखाटल्याप्रमाणे समांतरभुज चौकोन बदलतो. समांतरभुज चौकोनाचे समान त्रिकोणामध्ये रूपांतर दर्शविण्यासाठी, विद्यार्थ्यांच्या डोळ्यांसमोर, आम्ही मॉडेलवरील त्रिकोण कापला आणि तो खाली हलविला. तर चौरसाचे क्षेत्रफळ AKDCआयताच्या क्षेत्रफळाइतका आहे. त्याचप्रमाणे, आपण चौरसाचे क्षेत्रफळ आयताच्या क्षेत्रफळात रूपांतरित करतो.

परिचय

पायथागोरसचे नाव त्याच्या प्रमेयाशी जोडत नाही अशी व्यक्ती शोधणे कठीण आहे. कदाचित ज्यांनी त्यांच्या आयुष्यात गणिताचा निरोप घेतला त्यांनीही “पायथागोरियन पँट” च्या आठवणी कायमस्वरूपी ठेवल्या आहेत - कर्णावर एक चौरस, पायांवर दोन चौरसांच्या आकारात समान.

ट्रिनिटीच्या पायथागोरियन प्रमेयच्या लोकप्रियतेचे कारण: ते

साधेपणा - सौंदर्य - महत्व. खरंच, पायथागोरियन प्रमेय सोपे आहे, परंतु स्पष्ट नाही. हे दोन परस्परविरोधी संयोजन आहे

त्याला एक विशेष आकर्षक शक्ती देण्यास सुरुवात केली, ते सुंदर बनवते.

याव्यतिरिक्त, पायथागोरियन प्रमेय खूप महत्वाचा आहे: हे भूमितीमध्ये अक्षरशः प्रत्येक टप्प्यावर वापरले जाते आणि या प्रमेयाचे सुमारे 500 भिन्न पुरावे आहेत (भौमितिक, बीजगणितीय, यांत्रिक, इ.) ही वस्तुस्थिती दर्शवते की त्याची मोठी संख्या आहे. विशिष्ट अंमलबजावणी..

आधुनिक पाठ्यपुस्तकांमध्ये, प्रमेय खालीलप्रमाणे तयार केला जातो: "काटक त्रिकोणामध्ये, कर्णाचा वर्ग पायांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो."

पायथागोरसच्या काळात, हे असे वाटले: “काटक त्रिकोणाच्या कर्णावर बांधलेला चौरस पायांवर बांधलेल्या चौरसाच्या बेरजेइतका आहे हे सिद्ध करा” किंवा “कर्णावर बांधलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ. काटकोन त्रिकोणाचा आकार त्याच्या पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतका असतो.”

लक्ष्य आणि उद्दिष्टे

दाखवणे हा या कामाचा मुख्य उद्देश होताअनेकांच्या विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या विकासामध्ये पायथागोरियन प्रमेयचे महत्त्वजगातील देश आणि लोक, तसेच सर्वात सोप्या आणि मनोरंजक मध्येप्रमेयाची सामग्री शिकवण्यासाठी फॉर्म.

या कामात वापरलेली मुख्य पद्धत आहेडेटाचे आयोजन आणि प्रक्रिया करण्याची ही एक पद्धत आहे.

आकर्षित करत आहे माहिती तंत्रज्ञान, वैविध्यपूर्णzili साहित्य विविध रंगीत चित्रे.

"सुवर्ण श्लोक" पायथागोरस

तुमच्या शब्दात आणि कृतीत दोन्हीही निष्पक्ष राहा... पायथागोरस (सी. 570 - 500 बीसी)

प्राचीन ग्रीक तत्वज्ञानी आणि गणितज्ञत्याच्या वैश्विक समरसतेच्या सिद्धांताने आणिआत्म्यांचे स्थलांतर. परंपरेने पायथागोरसला त्याचे नाव असलेल्या प्रमेयाचा पुरावा दिला आहे. खूप मध्येप्लेटोची शिकवण पायथागोरस आणि त्याच्या अनुयायांना परत जातेवासरे

सामोसच्या पायथागोरसबद्दल कोणतेही लिखित दस्तऐवज नाहीत, मॅनेसर्चसचा मुलगा आणि नंतरच्या साक्षीनुसार त्याच्या जीवनाचे आणि कर्तृत्वाचे खरे चित्र पुनर्संचयित करणे कठीण आहे.(इलेक्ट्रॉनिक विश्वकोश:ताराजग) हे ज्ञात आहे की पायथागोरसने एजियन समुद्रातील त्याचे मूळ बेट सामोस सोडलेराज्यकर्त्याच्या जुलूमशाहीच्या निषेधार्थ आशिया मायनरचे gov आणि आधीच परिपक्ववय (40 वर्षांच्या आख्यायिकेनुसार) दक्षिण इटलीमधील ग्रीक शहरात क्रोटोनमध्ये दिसू लागले. पायथागोरस आणि त्याचे अनुयायी - पायथागोरियन्स - यांनी एक गुप्त युती तयार केली ज्याने इटामधील ग्रीक वसाहतींच्या जीवनात महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावली.lii पायथागोरियन्स तारा पंचकोन - पेंटाग्राम द्वारे एकमेकांना ओळखले. पण पायथागोरसला मेटापोंटला निवृत्त व्हावे लागले, जिथे तो आणिमरण पावला. नंतर, दुसऱ्या सहामाहीतव्हीइ.स.पू ई., त्याच्या आदेशाचा पराभव झाला.

पायथागोरसच्या शिकवणीवर तत्त्वज्ञान आणि धर्म यांचा खूप प्रभाव होता.पूर्वेकडील gia. त्याने पूर्वेकडील देशांमध्ये मोठ्या प्रमाणावर प्रवास केला: तो होताइजिप्त आणि बॅबिलोन. तेथे पायथागोरसला प्राच्य गणितज्ञही भेटले.सागवान

पायथागोरियन लोकांचा असा विश्वास होता की संख्यात्मक नमुन्यांमध्ये एक रहस्य लपलेले आहे.जगावर पायथागोरियन लोकांसाठी संख्यांचे जग एक विशेष जीवन जगले, संख्या होतीआयुष्यातील स्वतःचा खास उद्देश. त्यांच्या विभाजकांच्या बेरजेइतकी संख्या परिपूर्ण मानली गेली (6, 28, 496, 8128); मैत्रीपूर्णसंख्यांच्या जोड्या म्हणतात, त्यातील प्रत्येक दुसर्‍याच्या विभाजकांच्या बेरजेइतका होताgogo (उदाहरणार्थ, 220 आणि 284). पायथागोरस हा प्रथम क्रमांकांना सम आणि मध्ये विभाजित करणारा होताविषम, अविभाज्य आणि संमिश्र, अलंकारिक संख्येची संकल्पना सादर केली. त्याच्याशाळा, नैसर्गिक संख्यांच्या पायथागोरियन तिप्पटांचा तपशीलवार विचार केला गेला, ज्यामध्ये एकाचा वर्ग इतर दोनच्या वर्गांच्या बेरजेइतका होता (फर्मॅटचा शेवटचा प्रमेय).

पायथागोरसला असे म्हणण्याचे श्रेय दिले जाते: "प्रत्येक गोष्ट एक संख्या आहे." संख्यांना(आणि त्याचा अर्थ फक्त पूर्णांकत्याला संपूर्ण जग एकत्र आणायचे होते, आणिविशेषतः गणित. परंतु पायथागोरसच्या शाळेतच, या सुसंवादाचे उल्लंघन करणारा शोध लागला. 2 चे वर्गमूळ नाही हे सिद्ध झाले आहेपरिमेय संख्या आहे, म्हणजेच ती नैसर्गिक संख्यांच्या संदर्भात व्यक्त केलेली नाहीसंख्या

स्वाभाविकच, पायथागोरसची भूमिती अंकगणिताच्या अधीन होती.हे त्याचे नाव असलेल्या प्रमेयात स्पष्टपणे प्रकट झाले आणि नंतर झालेभूमितीच्या संख्यात्मक पद्धती वापरण्याचा आधार. (नंतर, युक्लिडने भूमितीला पुन्हा आघाडीवर आणले, बीजगणिताला अधीनस्थ केले.) वरवर पाहता, पायथागोरियन लोकांना योग्य घन पदार्थ माहित होते: टेट्राहेड्रॉन, घन आणि डोडेकाहेड्रॉन.

पायथागोरसला भूमितीमध्ये पुराव्याचा पद्धतशीर परिचय, रेक्टलाइनर आकृत्यांच्या प्लॅनिमेट्रीची निर्मिती, अंडरची शिकवण यांचे श्रेय दिले जाते. bii

पायथागोरसचे नाव अंकगणित, भूमितीय आणि हार्मोनिक प्रमाणांच्या सिद्धांताशी संबंधित आहे.

हे लक्षात घेतले पाहिजे की पायथागोरसने पृथ्वीला हलणारा चेंडू मानला होतासूर्याभोवती. मध्ये असतानाXVIशतकात, चर्चचा भयंकर छळ होऊ लागलाकोपर्निकसच्या सिद्धांतानुसार, या सिद्धांताला जिद्दीने पायथागोरियन म्हटले गेले.(एन्सायक्लोपेडिक डिक्शनरी ऑफ ए यंग मॅथेमॅटिशियन: ई-68. ए.पी. सविन.- एम.: अध्यापनशास्त्र, 1989, पी. २८.)

काही मूलभूत संकल्पना निःसंशयपणे संबंधित आहेतस्वतः पायथागोरसला. पहिला- गणित म्हणून जागेची संकल्पनाएक tically ऑर्डर संपूर्ण. पायथागोरसने शोधून काढले की मूलभूत हार्मोनिक अंतराल, म्हणजे अष्टक, परिपूर्ण पाचवा आणि परिपूर्ण चौथा, जेव्हा कंपन करणाऱ्या तारांच्या लांबीशी संबंधित असतात तेव्हा उद्भवतात. 2:1, 3:2 आणि 4:3 (आख्यायिका सांगते की हा शोध केव्हा लागलापायथागोरस फोर्जमधून उत्तीर्ण झाला: वेगवेगळ्या वजनांसह एनव्हिल्सप्रभावानंतर ध्वनीच्या संबंधित गुणोत्तरांना जन्म दिला). उस्मॉटसंगीतातील सुव्यवस्थितपणा, त्याने शोधलेल्या संबंधांद्वारे व्यक्त केलेले, आणि भौतिक जगाची सुव्यवस्थितता यांच्यातील साधर्म्य गाजवत, पायथागोरसगणितीय संबंध झिरपले आहेत असा निष्कर्ष काढलासंपूर्ण जागा. पायथागोरसचे गणितीय शोध सट्टा भौतिक बांधकामांवर लागू करण्याच्या प्रयत्नामुळे पुन्हा उत्सुकता निर्माण झाली.परिणाम तर, असे गृहीत धरले गेले की प्रत्येक ग्रह त्याच्या क्रांतीदरम्यानपृथ्वीभोवती शुद्ध वरच्या हवेतून किंवा "इथर" मधून उत्सर्जित होते.विशिष्ट खेळपट्टीचा टोन. वर अवलंबून ध्वनीची पिच बदलतेग्रहाची गती, गती पृथ्वीच्या अंतरावर अवलंबून असते. मनुकाअशाप्रकारे, खगोलीय ध्वनी तयार होतात ज्याला "गोलाकारांची सुसंवाद" किंवा "गोलाकारांचे संगीत" असे म्हटले जाते, ज्याचे संदर्भ युरोपियन साहित्यात असामान्य नाहीत.

सुरुवातीच्या पायथागोरियन लोकांचा असा विश्वास होता की पृथ्वी सपाट आणि केंद्रस्थानी आहेजागा नंतर, त्यांचा असा विश्वास वाटू लागला की पृथ्वीचा आकार गोलाकार आहे आणि इतर ग्रहांसह (ज्यामध्ये त्यांनी सूर्याचा समावेश केला आहे)ब्रह्मांडाच्या केंद्राभोवती फिरते, म्हणजे “हर्थ”.

पायथागोरस हे प्राचीन काळातील धर्मोपदेशक म्हणून प्रसिद्ध होतेविरळ जीवनशैली. त्यांच्या शिकवणीचा केंद्रबिंदू हा विचार होतापुनर्जन्म (आत्म्यांचे स्थलांतर) ही संकल्पना, जी अर्थातच, शरीराच्या मृत्यूनंतर जगण्याची आत्म्याची क्षमता सूचित करते आणि म्हणूनच त्याचे अमरत्व. नवीन अवतारात आत्मा एखाद्या प्राण्याच्या शरीरात जाऊ शकतो, पायथागोरसने प्राण्यांना मारण्यास, त्यांचे मांस खाण्यास विरोध केला होता आणि असेही घोषित केले होते की जे लोक प्राण्यांची कत्तल करतात किंवा त्यांच्या मृतदेहांची हत्या करतात त्यांच्याशी व्यवहार करू नये. पायथागोरसचे धार्मिक विचार मांडणाऱ्या एम्पेडॉकल्सच्या लिखाणावरून जोपर्यंत न्याय करता येतो, येथे रक्त सांडणे हे मूळ पाप मानले जात होते, ज्यासाठी आत्म्याला नश्वर जगात घालवले जाते, जिथे तो भटकत असतो, एका तुरुंगात टाकला जातो. किंवा दुसरे शरीर. आत्मा मुक्तीची आकांक्षा बाळगतो, परंतु अज्ञानामुळे तो सतत पापी कृत्ये करतो.

पुनर्जन्मांच्या अंतहीन मालिकेपासून आत्म्याला वाचवण्यासाठीसाफ करणे सर्वात सोपी शुद्धीकरण म्हणजे काही निरीक्षण करणेप्रतिबंध (उदाहरणार्थ, नशा किंवा मद्यपान करण्यापासून परावृत्त करणेसोयाबीनचे खाणे) आणि आचार नियम (उदाहरणार्थ, वडिलांचा सन्मान करणे, कायद्याचे पालन करणे आणि राग न करणे).

पायथागोरियन लोकांनी मैत्रीला खूप महत्त्व दिले आणि त्यांच्या संकल्पनेनुसार मित्रांची सर्व मालमत्ता समान असावी. काही निवडक लोकांना शुद्धीकरणाचे सर्वोच्च प्रकार ऑफर केले गेले - तत्वज्ञान, म्हणजेच शहाणपणावर प्रेम आणि म्हणूनच त्याची इच्छा (हा शब्द, सिसेरोच्या मते, पायथागोरसने प्रथम वापरला होता, ज्याने स्वतःला ऋषी नाही तर प्रेमी म्हटले होते. शहाणपणाचे). या माध्यमांद्वारे आत्मा वैश्विक व्यवस्थेच्या तत्त्वांशी संपर्कात येतो आणि त्यांच्याशी एकरूप होतो, तो शरीराच्या आसक्तीपासून, त्याच्या अधर्म आणि अव्यवस्थित इच्छांपासून मुक्त होतो. गणित हे एक आहे घटक भागधर्मपायथागोरियन, ज्यांनी शिकवले की देवाने जगाच्या आधारावर संख्या ठेवलीऑर्डर

पहिल्या सहामाहीत पायथागोरियन बंधुत्वाचा प्रभावव्हीमध्ये इ.स.पू e नाहीमधूनमधून वाढले. परंतु "सर्वोत्तम" ला सत्ता देण्याची त्याची इच्छा दक्षिण इटलीच्या ग्रीक शहरांमध्ये आणि 450 बीसी नंतर लगेचच लोकशाही भावनांच्या उदयाने संघर्षात आली. e क्रोटन मध्ये फुटलेपायथागोरियन्सच्या विरोधात उठाव, ज्यामुळे बंधुत्वाचे सदस्य नसले तरी अनेकांची हत्या आणि निर्वासन झाले. तथापि, मध्ये देखीलIVमध्ये इ.स.पू e पायथागोदक्षिण इटलीमध्ये राईयन्सचा प्रभाव होता आणि टॅरेन्टममध्ये, जेथे प्लेटोचा मित्र आर्किटास राहत होता, ते अधिक काळ टिकले. तथापि, तत्त्वज्ञानाच्या इतिहासासाठी ग्रीसमध्ये पायथागोरियन केंद्रांची निर्मिती हे त्याहूनही महत्त्वाचे आहे.उदाहरणार्थ थेबेस मध्ये, दुसऱ्या सहामाहीतव्हीमध्ये इ.स.पू e म्हणून पायथागोरियनकल्पना अथेन्समध्ये घुसल्या, जेथे प्लेटोनिक संवादानुसारफेडोसॉक्रेटिसने ते आत्मसात केले आणि ते एका व्यापक वैचारिक चळवळीत बदलले,प्लेटो आणि त्याचा विद्यार्थी अॅरिस्टॉटल यांनी सुरुवात केली.

त्यानंतरच्या शतकांमध्ये, पायथागोरसची आकृती स्वतःभोवती होती
अनेक दंतकथा: त्याला पुनर्जन्म देव अपोलो मानले जात होते,
असा विश्वास होता की त्याच्याकडे सोन्याची मांडी आहे आणि तो शिकवण्यास सक्षम आहे
एकाच वेळी दोन ठिकाणी. लवकर ख्रिश्चन चर्च फादर्स उत्तर
पायथागोरसला मोझेस आणि प्लेटोमध्ये सन्मानाचे स्थान आहे की नाही. मध्ये देखीलXVIमध्ये
केवळ विज्ञानच नव्हे तर पायथागोरसच्या अधिकाराचे वारंवार संदर्भ होते.:
पण जादू देखील.(इलेक्ट्रॉनिक विश्वकोश:ताराजग.).

दंतकथेच्या मागे सत्य आहे

पायथागोरियन प्रमेयाचा शोध सुंदर दंतकथांच्या प्रभामंडलाने वेढलेला आहेप्रोक्लस, शेवटच्या वाक्यावर टिप्पणी करत आहेआययुक्लिडचे "बिगिनिंग्स" पुस्तक,लिहितात: “ज्यांना प्राचीन दंतकथा पुन्हा सांगायला आवडतात त्यांचे तुम्ही ऐकले तरअसे म्हटले पाहिजे की हे प्रमेय पायथागोरसकडे परत जाते; सांगयाच्या सन्मानार्थ त्याने बैलाचा बळी दिला. ही आख्यायिका घट्ट रुजलेली आहेपायथागोरियन प्रमेयासह आणि 2000 वर्षांनंतर गरम होत राहिलेक्लिक तर, आशावादी मिखाइलो लोमोनोसोव्ह यांनी लिहिले: “पायथागोरस एका भौमितिक शोधासाठीझ्यूसच्या राजवटीत त्याने शंभर बैलांचा बळी दिला.परंतु जर आधुनिक काळात सापडलेल्यांसाठीत्याच्या अंधश्रद्धेने हुशार गणितज्ञांनी राज्य केलेकृती करण्याची ईर्ष्या, नंतर जेमतेमसंपूर्ण जगात असे बरेच असतीलगुरे सापडली.

परंतु उपरोधिक हेनरिक हेनने त्याच परिस्थितीचा विकास थोड्या वेगळ्या पद्धतीने पाहिला. : « कोणास ठाऊक ! कोणास ठाऊक ! कदाचित , पिफ गोरचा आत्मा गरीब उमेदवारात गेला , जे पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्यात अयशस्वी झाले आणि ते अयशस्वी झाले - यासाठी परीक्षेत , जेव्हा त्याचे परीक्षक त्या बैलांच्या आत्म्याने वसलेले असतात , जे पायथागोरस , त्याच्या प्रमेयाच्या शोधामुळे आनंद झाला , अमर देवतांना अर्पण केले ».

प्रमेयाच्या शोधाचा इतिहास

सहसा पायथागोरस प्रमेय शोध प्राचीन ग्रीक तत्वज्ञानी आणि गणितज्ञ पायथागोरस (सहावामध्ये इ.स.पू e.). परंतु बॅबिलोनियन क्यूनिफॉर्म टेबल्स आणि प्राचीन चिनी हस्तलिखिते (आणखी अधिक प्राचीन हस्तलिखितांच्या प्रती) च्या अभ्यासावरून असे दिसून आले की हे विधान पायथागोरसच्या खूप आधीपासून, कदाचित त्याच्या आधी हजारो वर्षांपूर्वी ज्ञात होते. पायथागोरसची योग्यता म्हणजे त्याने या प्रमेयाचा पुरावा शोधून काढला.

ऐतिहासिक विहंगावलोकनचला प्राचीन चीनपासून सुरुवात करूया. येथे एक विशेष आहेउन्माद हे गणितीय पुस्तक चु-पेई आकर्षित करते. हा निबंध 3, 4 आणि 5 बाजू असलेल्या पायथागोरियन त्रिकोणाबद्दल सांगतो:"जर काटकोन त्याच्या घटक भागांमध्ये विघटित झाला, तर त्याच्या बाजूंच्या टोकांना जोडणारी रेषा 5 असेल जेव्हा पाया 3 असेल आणि उंची 4 असेल."

त्याच पुस्तकात, एक रेखाचित्र प्रस्तावित आहे जे बशराच्या हिंदू भूमितीच्या रेखाचित्रांपैकी एकाशी जुळते.

तसेच, पायथागोरियन प्रमेय प्राचीन चीनी ग्रंथ "झोउ - बी सुआन जिन" ("गणितीय ग्रंथ) मध्ये शोधला गेला.gnomon बद्दल"), ज्याच्या निर्मितीची वेळ निश्चितपणे ज्ञात नाही, परंतु ते कोठे नमूद केले आहे की मध्येXVमध्ये इ.स.पू e चिनी लोकांना इजिप्शियन त्रिकोणाचे गुणधर्म माहित होते आणि मध्येXVIमध्ये इ.स.पू e - आणि प्रमेयाचे सामान्य रूप.

कांटोर (गणिताचा महान जर्मन इतिहासकार) मानतो की समानता 3 2 + 4 2 = 5 2 सुमारे 2300 ईसापूर्व इजिप्शियन लोकांना आधीच ज्ञात होते. e अमेनेमहतच्या कारकिर्दीतआय(बर्लिन संग्रहालयाच्या पॅपिरस 6619 नुसार).

कॅंटरच्या मते, हार्पेडोनॅप्ट्स किंवा "स्ट्रिंगर्स", येथे काटकोन बांधले

बाजू असलेल्या काटकोन त्रिकोणांची मदत 3, 4 आणि 5.

त्यांच्या पद्धतीचे पुनरुत्पादन करणे खूप सोपे आहेबांधकाम 12 मीटर लांब दोरी घ्या आणि त्यास रंगीत पट्टीने काही अंतरावर बांधाएका टोकापासून 3 मीटर आणि दुसऱ्या टोकापासून 4 मी. काटकोन3 आणि 4 मीटर लांबीच्या बाजूंच्या मध्ये बंदिस्त केले जाईल. हार्पेडोनॅप्ट्सवर आक्षेप घेतला जाऊ शकतो की त्यांची बांधकाम पद्धत अनावश्यक ठरते, उदाहरणार्थ, सर्व सुतारांनी वापरलेला लाकडी चौकोन वापरला. खरंच, इजिप्शियन रेखाचित्रे ओळखली जातात ज्यामध्ये असे साधन आढळते, उदाहरणार्थ, सुतारकाम कार्यशाळेचे चित्रण करणारी रेखाचित्रे.याबद्दल थोडी अधिक माहिती आहेबॅबिलोनियन लोकांमध्ये पायथागोरियन प्रमेय.काळाशी संबंधित एका मजकुरातमेनी हममुराबी, म्हणजे 2000 पर्यंतइ.स.पू e., कर्णाची अंदाजे गणना थेट दिली जातेकोन त्रिकोण. येथूनड्वुरामध्ये असा निष्कर्ष काढला जाऊ शकतोजो आकडेमोड करू शकतोकाटकोन त्रिकोणांसहआम्ही, किमान काही मध्येप्रकरणे एकावर आधारितपक्ष, वर्तमान स्तरावरइजिप्शियन आणि बॅबिलोनियनचे ज्ञानगणित, आणि दुसरीकडे - कृतीमध्येग्रीक स्त्रोतांचा बुद्धिबळ अभ्यास, व्हॅन डर वार्डन (डचगणितज्ञ) यांनी खालील निष्कर्ष काढले:

"थॅलेस सारख्या पहिल्या ग्रीक गणितज्ञांची योग्यता, पायथागोरस आणि पायथागोरियन्स हा गणिताचा शोध नाही तर त्याचा आहे पद्धतशीरीकरण आणि औचित्य. त्यांच्या हातात संगणकीय पाककृती आहेत तुम्ही, अस्पष्ट कल्पनांवर आधारित, अचूक बनला आहात विज्ञान."

इजिप्शियन आणि बॅबिलोनियन लोकांप्रमाणे हिंदूंची भूमिती जवळची होतीपंथाशी संबंधित. हे हायपो स्क्वेअर प्रमेय असण्याची शक्यता आहेtenuse भारतात सुमारे ओळखले जात होतेXVIIIशतकापूर्वी आणि e., देखीलहे प्राचीन भारतीय भूमितीय मध्ये देखील ओळखले जात असेधर्मशास्त्रीय ग्रंथVII- व्हीशतके इ.स.पू e "सुल्वा सूत्र" ("नियमदोरी").

पण एवढे सगळे पुरावे असूनही पायथागोरसचे नाव तसे आहेपायथागोरियन प्रमेयाशी घट्टपणे जुळले आहे, जे आता केवळ अशक्य आहेकोणीही कल्पना करू शकतो की हा वाक्यांश वेगळा पडेल. पासून समानपायथागोरसच्या बैलांच्या जादूच्या आख्यायिकेला देखील परिधान केले जाते. होय, आणि महत्प्रयासानेऐतिहासिक आणि गणितीय स्केलपेलसह विच्छेदन करणे आवश्यक आहेराखाडी प्राचीन दंतकथा.

प्रमेय सिद्ध करण्याचे मार्ग

मध्ययुगातील पायथागोरियन प्रमेय विद्यार्थ्यांचा पुरावाखूप कठीण मानले आणि म्हणतातडॉन्स asinorum - गाढव पूल, किंवाelefuga - गंभीर गणिताचे प्रशिक्षण न घेतलेले काही "दु:खी" विद्यार्थी पळत असताना "दु:खी" ची उड्डाणभूमितीतून असो. प्रमेय लक्षात ठेवणारे कमकुवत विद्यार्थीसमजून घेतल्याशिवाय आणि म्हणून टोपणनाव "गाढव", ते अक्षम झालेपायथागोरियन प्रमेयावर मात करण्यासाठी, जे त्यांना सेवा देत आहेजाण्यायोग्य पूल. प्रमेयाच्या सोबत असलेल्या रेखाचित्रांमुळेपायथागोरस, विद्यार्थी देखील तिला " पवनचक्की", सह"सर्व बाजूंनी पायथागोरियन पॅंट समान आहेत", व्यंगचित्रे काढा.

अ). सर्वात सोपा पुरावा

कदाचित पायथागोरियन प्रमेयात सांगितलेली वस्तुस्थिती हे स्वप्न होतेChala समद्विभुज आयतांसाठी सेट आहे. फक्त काळ्या आणि हलक्या त्रिकोणांचे मोज़ेक पहा,त्रिकोणासाठी प्रमेयाची वैधता सत्यापित करण्यासाठीka ABC : कर्णावर बांधलेल्या चौकोनात चार त्रिकोण असतात आणि प्रत्येक पायावर एक चौकोन तयार केलेला असतोदोन त्रिकोण (चित्र 1, 2).

आकृत्यांच्या समान क्षेत्राच्या संकल्पनेच्या वापरावर आधारित पुरावे.

त्याच वेळी, एक पुरावा विचारात घेऊ शकतो ज्यामध्ये चौपटदिलेल्या आयताकृती त्रिकोणाच्या कर्णावर बांधलेला उंदीरचौरस, पायावर बांधलेले चौरस समान आकृत्यांचे "बनलेले". अशा पुराव्यांचाही विचार करता येईलva, ज्यामध्ये आकृत्यांच्या अटींचे क्रमपरिवर्तन आणिअनेक नवीन कल्पना विचारात घेतल्या जातात.

अंजीर वर. 3 दोन समान चौकोन दाखवतो. प्रत्येक बाजूची लांबीलांब चौरस समान आहेa + b. प्रत्येक चौरस भागांमध्ये विभागलेला आहे,चौरस आणि काटकोन त्रिकोणांचा समावेश आहे. हे स्पष्ट आहे की जर आपण चौरसाच्या क्षेत्रफळातून पाय असलेल्या काटकोन त्रिकोणाचे चौपट क्षेत्रफळ वजा केले तरअ, ब, मग ते समान राहतीलदया करा, म्हणजे सह 2 = अ 2 + ब 2 . तथापि, प्राचीन भारतीय, ज्यांचे होतेहे तर्क खोटे आहे, सहसा त्यांनी ते लिहून ठेवले नाही, परंतु सोबत दिलेफक्त एका शब्दासह रेखाचित्र: "बघा!". हे अगदी शक्य आहे कीपायथागोरसनेही काही पुरावे दिले.

b). विस्तार पद्धतीद्वारे पुरावे.

या पद्धतीचा सार असा आहे की बांधलेल्या चौरसांनापाय वर, आणि कर्ण वर बांधले चौरस करण्यासाठी, सहसमान आकृत्या अशा प्रकारे जोडा जेणेकरून ते समान मिळतीलनवीन आकडे.

अंजीर वर. 4 एक सामान्य पायथागो दर्शवितोरोवा आकृती काटकोन त्रिकोणABCत्याच्या बाजूंनी बांधलेले चौरस. या आकृतीला तीन जोडलेले आहेतgons 1 आणि 2, मूळ सरळ समानकोन त्रिकोण.

पायथागोरियन प्रमेयाची वैधता षटकोनींच्या समान आकारावरून येतेAEDFPBआणि ACBNMQ. येथे सरळ ep डीप्रकाशित षटकोनAEDFPBदोन समान चतुर्भुजांमध्ये, CM ही रेषा षटकोनाला विभाजित करतेACBNMQदोन समान चतुर्भुजांमध्ये; केंद्राभोवती विमानाचे 90° फिरणे A चतुर्भुज AERB चा नकाशा चतुर्भुजावर बनवतेACMQ.

(हा पुरावा प्रथम लिओनार्डने दिला होतादा विंचीला.)

पायथागोरियन आकृती पूर्ण झालीज्या आयताच्या बाजू समांतर आहेतस्क्वेअरच्या संबंधित बाजूंना फिटकॉम्रेड, पायावर बांधले. चला या आयताला त्रिकोणात आणि थेट विभाजित करूचौरस परिणामी आयत पासूनप्रथम, कर्णावर बांधलेला चौरस सोडून आपण सर्व बहुभुज 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 वजा करतो. मग त्याच आयतामधून आपण आयत 5, 6, 7 वजा करतो आणि थेट छायांकित करतोचौरस, आपल्याला पायांवर बांधलेले चौरस मिळतात.

आता पहिल्या प्रकरणात वजा केलेल्या आकडे सिद्ध करूदुसऱ्या प्रकरणात वजा केलेल्या आकृत्यांच्या समान आहेत.

हा पुरावा स्पष्ट करतोनसीर-एद-दिन (1594) यांनी उद्धृत केले.येथे: पीएल- सरळ रेषा;

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO= SVMR = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO= २ सह;

येथून 2 = सह a 2 + b 2 .

तांदूळ. 7 पुरावा स्पष्ट करतो,हॉफमन (1821) यांनी उद्धृत केले. येथेपायथागोरियन आकृती अशा प्रकारे बांधलेली आहेचौरस सरळ रेषेच्या एकाच बाजूला असतातएबी. येथे:

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML=CBNQ= a 2 ;

OVMR =ABMF=सह 2 ;

OVMR = OCLP + CBML;

म्हणून c 2 = a 2 + b

हे आणखी एक स्पष्ट करतेजीनल पुरावा देऊ केलाहॉफमन. येथे: त्रिकोणABCसूत सह माझा कोपरा सी; रेषाखंडbfलंबSW आणि त्याच्या बरोबरीचा, विभागबी.ईलंबAB आणि त्याच्या बरोबरीचा, खंडइ.सलंब ren AC आणि त्याच्या समान; गुणएफ, पासून, डीमालकीचे एक सरळ रेष कापणी; चौकोनADFBआणि ACBE समान आहेत, पासूनएबीएफ= ERU; त्रिकोणADFआणि ACE समान आहेत;

दोन्ही समान चौकोनातून वजा करानिक त्यांच्यासाठी एक सामान्य त्रिकोण आहेABC, आम्हाला ½ मिळेल a* a + ½ b* b – ½ c* c

मध्ये). पुराव्याची बीजगणितीय पद्धत.

आकृती महान भारतीय गणितज्ञ भास्करी (प्रसिद्ध लेखक ली-लावती,बारावीमध्ये.) रेखाचित्रात फक्त एक शब्द होता: पहा! बीजगणितीय पद्धतीद्वारे पायथागोरियन प्रमेयच्या पुराव्यांपैकी, प्रथम स्थान (कदाचित सर्वात जुने)अंतर्गत वापरून पुरावा स्वीकारतोमधमाशी

भास्कर असे इतिहासकार मानतातस्टिंग स्क्वेअर 2 सह वर बांधलेला चौरसकर्ण चार त्रिकोण 4(ab/2) च्या क्षेत्रफळाची बेरीज आणि पायांच्या फरकाच्या समान बाजू असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ.

असाच एक पुरावा आम्ही आधुनिक सादरीकरणात सादर करतो.पायथागोरसचे पुरावे.

आय "

अंजीर वर. 10 ABC - आयताकृती, C -काटकोन ( सेमीएल AB) b - पाय प्रक्षेपण b कर्ण करण्यासाठी a - पाय प्रक्षेपणaकर्ण करण्यासाठी h काढलेल्या त्रिकोणाची उंची आहेकर्ण ABC हे ACM सारखे आहे या वस्तुस्थितीवरून, ते खालीलप्रमाणे आहेb 2 = cb; (1) ABC हे BCM सारखे आहे या वस्तुस्थितीवरून, ते त्याचे अनुसरण करते 2 = SA (2) समानता (1) आणि (2) टर्मनुसार टर्म जोडून, ​​आम्हाला a मिळते 2 + b 2 = cb + ca = = c (b + a) = c 2 .

जर पायथागोरसने खरोखरच असा पुरावा दिला असेल तरत्यानंतर तो अनेक महत्त्वाच्या भौमितिक प्रमेयांशीही परिचित होता,ज्याला गणिताचे आधुनिक इतिहासकार सहसा श्रेय देतातयुक्लिड.

मोहलचा पुरावा मन्ना. डॅन क्षेत्र काटकोन त्रिकोणnika, एकीकडे, समान आहे 0,5 a* b, इतर ०.५* p*आर, कुठे p - त्रिकोणाचा अर्धपरिमितीआर - त्यामध्ये कोरलेली त्रिज्या अंदाजे आहे.गोलाकारपणा (r \u003d 0.5- (a + b - c)).आमच्याकडे आहे: 0.5 * a * b - 0.5 * p * g - 0.5 (a + b + c) * 0.5- (a + b - c), कुठूनते c 2 = a 2 + चे अनुसरण करते b 2 .

ड) गारफिल्डचा पुरावा.

आकृती 12 तीन स्ट्रँड दर्शवितेमोंग्युलर त्रिकोण ट्रॅपेझॉइड बनवतात. म्हणून.या आकृतीचे क्षेत्रफळ शक्य आहे.\ क्षेत्र सूत्रानुसार शोधाआयताकृती ट्रॅपेझॉइड,किंवा क्षेत्रांची बेरीज म्हणूनतीन त्रिकोण. गल्लीबोळातया प्रकरणात, हे क्षेत्र आहे०.५ ने (a + c) (a + c), सेकंदातरम - ०.५* a* b+ 0.5*a* b+ ०.५*से २

या अभिव्यक्तींची बरोबरी करून, आपल्याला पायथागोरियन प्रमेय प्राप्त होतो.

पायथागोरियन प्रमेयाचे अनेक पुरावे आहेत,nyh वर्णन केलेल्या प्रत्येक पद्धतीप्रमाणे, आणि संयोजनाच्या मदतीनेnia विविध पद्धती. विविध डॉक्सच्या उदाहरणांच्या पुनरावलोकनाचा समारोपzation, आम्ही स्पष्ट करणारे अधिक आकडे सादर करतोbov, ज्याचे संदर्भ युक्लिडच्या "बिगिनिंग्ज" मध्ये आहेत (चित्र 13 - 20).या रेखांकनांमध्ये, पायथागोरियन आकृती एक घन रेखा म्हणून दर्शविली आहेते, आणि अतिरिक्त बांधकाम - ठिपके.

वर नमूद केल्याप्रमाणे, 2000 वर्षांहून अधिक काळ प्राचीन इजिप्शियनपूर्वी, त्यांनी काटकोन तयार करण्यासाठी 3, 4, 5 बाजू असलेल्या त्रिकोणाचे गुणधर्म व्यावहारिकपणे वापरले होते, म्हणजे, त्यांनी पायथागोरियन प्रमेयाशी संवाद साधण्यासाठी प्रमेय वापरला होता. त्रिकोणांच्या समानतेच्या चाचणीवर आधारित या प्रमेयाचा पुरावा देऊ यानवीन सराव). तर त्रिकोणाच्या बाजू द्याABC (चित्र 21) शी संबंधित 2 = a 2 + b 2 . (3)

हा त्रिकोण काटकोन त्रिकोण आहे हे सिद्ध करूया.

चला एक काटकोन त्रिकोण बनवूए बी सीदोन पायांवर, ज्याची लांबी लांबीच्या समान आहेaआणि b या त्रिकोणाचे पाय. बांधलेल्या त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी असू द्यावर c . बांधलेला त्रिकोण काटकोन असल्याने, नंतर theo नुसारआमच्याकडे पायथागोरसची आठवण आहेc = a + b (4)

संबंधांची तुलना (3) आणि (4), आम्हाला ते प्राप्त होतेसह= सह किंवा c = c अशा प्रकारे, त्रिकोण - दिलेले आणि बांधलेले - समान आहेत, कारण त्यांच्या अनुक्रमे तीन समान बाजू आहेत. कोन सीकाटकोन, त्यामुळे या त्रिकोणाचा C कोन देखील काटकोन आहे.

अतिरिक्त पुरावा.

हे पुरावे पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या आकृत्यांमध्ये विघटन करण्यावर आधारित आहेत ज्यातून चतुर्भुज तयार होऊ शकते.कर्ण वर बांधलेला उंदीर.

आईन्स्टाईनचा पुरावा ( तांदूळ 23) विघटनावर आधारितकर्णावर 8 त्रिकोणांमध्ये बांधलेला चौरस.

येथे: ABC- आयताकृती काटकोन C सह त्रिकोण;COMN; अनुसूचित जाती MN; PO|| MN; EF|| MN.

स्वतः सिद्ध कराnee त्रिकोणांची समानता, अर्धनुसार, चौरस विभाजित करताना निर्धारित केले जातेपाय आणि कर्ण वर बांधलेले.

ब) अल-नैरीझियाच्या पुराव्याच्या आधारे, चौरसांचे जोडीने समान आकृत्यांमध्ये आणखी एक विघटन देखील केले गेले (येथेABC - काटकोन C सह काटकोन त्रिकोण).

तसेच, या पुराव्याला "हिंगेड" म्हणतात, कारणकी येथे मूळ त्रिकोणाच्या बरोबरीचे दोन भाग त्यांचे स्थान बदलतात आणि ते जसे होते तसे उर्वरित भागांना जोडलेले असतात.बिजागरांवर एक आकृती ज्याभोवती ते वळतात (चित्र 25).

c) मध्ये चौरस विस्तृत करण्याच्या पद्धतीद्वारे आणखी एक पुरावासमान भाग, ज्याला "ब्लेडसह चाक" म्हणतात, मध्ये दर्शविले आहेतांदूळ 26. येथे: ABC - काटकोन त्रिकोणभंगार S, O - मोठ्या पायावर बांधलेल्या चौरसाचे केंद्र; बिंदूमधून जाणार्‍या ठिपकेदार रेषाओ, लंब किंवाकर्ण समांतर.

चौरसांचे हे विघटन मनोरंजक आहे कारण त्याचे जोडीने समान चतुर्भुज समांतर भाषांतराद्वारे एकमेकांवर मॅप केले जाऊ शकतात.

"पायथागोरियन पॅंट" (युक्लिडचा पुरावा).

दोन सहस्र वर्षांसाठी,शोध लावलेला पुरावा बदललायुक्लिड, जे त्याच्यामध्ये ठेवलेले आहेप्रसिद्ध "सुरुवात". युक्लिड ओपसकॅलरी उंची व्ही.एन काटकोन त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूपासून कर्णापर्यंत आणि हे सिद्ध केले की त्याचा विस्तार कर्णावर बांधलेल्या चौरसाला दोन आयतांमध्ये विभागतो, ज्याचे क्षेत्रफळ समान आहेत

पायांवर बांधलेल्या संबंधित चौरसांचे क्षेत्र. प्राचीन चिनी किंवा प्राचीन भारतीय यांच्या तुलनेत युक्लिडचा पुरावा असा दिसतोअती जटिल. या कारणास्तवत्याला बर्‍याचदा "स्टिल्टेड" आणि "कॉन्ट्रीव्ड" म्हटले जात असे. पण असे मतवरवरच्या प्रमेयाच्या पुराव्यासाठी वापरल्या जाणार्‍या रेखाचित्राला गंमतीने "पायथागोरियन पॅंट" म्हणतात. दरम्यानबर्याच काळापासून ते गणितीय विज्ञानाच्या प्रतीकांपैकी एक मानले जात असे.

प्राचीन चिनी पुरावे.

गणिती ग्रंथ प्राचीन चीनसंपादकीय आमच्याकडे आलेIIमध्ये इ.स.पू e वस्तुस्थिती अशी आहे की 213 इ.स.पू. e चीनी सम्राट

शी हुआंग-दी यांनी जुन्या परंपरा नष्ट करण्याचा प्रयत्न करत सर्व प्राचीन पुस्तके जाळण्याचे आदेश दिले. मध्येIIमध्ये इ.स.पू e कागदाचा शोध चीनमध्ये लागला आणि त्याच वेळी पुनर्बांधणी सुरू झालीप्राचीन पुस्तके. तर "नऊ पुस्तकांमध्ये गणित" होते -हयात असलेल्या गणितीय आणि खगोलशास्त्रीय रचनांपैकी सर्वात महत्वाची ny

9वी च्या "गणित" च्या पुस्तकात एक काळा आहेteg, पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करत आहे.या पुराव्याची गुरुकिल्ली शोधणे कठीण नाही (चित्र 27).

खरंच, प्राचीन चिनी भाषेतसमान चार समान आयताकृती त्रिकोणपायांसह चौरसa, मध्येआणि कर्ण सह स्टॅक केलेले जेणेकरून त्यांचे बाह्य समोच्चबाजू असलेला चौरस आहेa + b,आणि अंतर्गत कर्णावर बांधलेला c बाजू असलेला चौरस (चित्र 28).

जर बाजू असलेला चौरससहकट आणि उर्वरित 4 छायांकित त्रिकोणदोन आयतांमध्ये ठेवा, हे स्पष्ट आहे की परिणामी शून्यता, एकीकडे,

च्या समान आहे सह,आणि दुसरीकडे

a + b 2 , म्हणजे सह 2 = अ 2 + b

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

या पुराव्यासह लक्षात घ्या

हाइपोटेनसवर स्क्वेअरच्या आत इमारतीजे आपण पाहतो
प्राचीन चिनी रेखांकनात मंद सम वापरले जात नाही (चित्र 30). वरवर पाहता, प्राचीन चीनी गणितज्ञांच्या आधी काहीतरी वेगळे होतेपुरावा, म्हणजे: जर वर्ग केला असेल तर
बाजूसह दोन छायांकित त्रिकोणनिक कापून टाका आणि कर्ण जोडाइतर दोन कर्ण, ते शोधणे सोपे आहेrummage की परिणामी आकृती की कधीकधी "वधूची खुर्ची" असे म्हणतात.बाजू असलेल्या दोन चौरसांनी बनलेले आहेa आणिब, म्हणजे सह 2 = a 2 + ब 2 .

आकृती पुनरुत्पादित करते"झोउ-बी ..." या ग्रंथातील तेझ. येथेपायथागोरियन प्रमेय मानले जातेपायांसह इजिप्शियन त्रिकोण3, 4 आणि कर्ण 5 एकके.कर्णाच्या वर्गामध्ये 25 असतातपेशी, आणि त्यामध्ये मोठ्या पायावर कोरलेला चौरस 16 आहे. हे स्पष्ट आहे की उर्वरित भागामध्ये 9 पेशी आहेत. हे आणिलहान पायावर एक चौरस असेल.

आजूबाजूला आणि आजूबाजूला

पायथागोरियन प्रमेयचा इतिहास शतकानुशतके आणि सहस्राब्दी मागे जातो. या लेखात, आम्ही ऐतिहासिक विषयांवर तपशीलवार विचार करणार नाही. षड्यंत्रासाठी, फक्त असे म्हणूया की, वरवर पाहता, हे प्रमेय प्राचीन इजिप्शियन याजकांना देखील ज्ञात होते, जे 2000 वर्षांहून अधिक काळ जगले. ज्यांना उत्सुकता आहे त्यांच्यासाठी विकिपीडिया लेखाची लिंक येथे आहे.

सर्व प्रथम, पूर्णतेच्या फायद्यासाठी, मी येथे पायथागोरियन प्रमेयाचा पुरावा देऊ इच्छितो, जे माझ्या मते, सर्वात मोहक आणि स्पष्ट आहे. वरील आकृती दोन एकसारखे चौरस दाखवते: डावीकडे आणि उजवीकडे. आकृतीवरून हे पाहिले जाऊ शकते की डावीकडे आणि उजवीकडे छायांकित आकृत्यांचे क्षेत्रफळ समान आहेत, कारण प्रत्येक मोठ्या चौकोनामध्ये 4 समान काटकोन त्रिकोण छायांकित आहेत. आणि याचा अर्थ असा आहे की डाव्या आणि उजव्या बाजूला न भरलेले (पांढरे) क्षेत्र देखील समान आहेत. लक्षात घ्या की पहिल्या प्रकरणात, छाया नसलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ आहे, आणि दुसऱ्या प्रकरणात, छाया न केलेल्या क्षेत्राचे क्षेत्रफळ आहे. अशा प्रकारे, . प्रमेय सिद्ध!

या नंबरवर कॉल कसा करायचा? आपण त्यांना त्रिकोण म्हणू शकत नाही, कारण चार संख्या कोणत्याही प्रकारे त्रिकोण बनवू शकत नाहीत. आणि इथे! निळ्यातील बोल्टसारखे

संख्यांच्या अशा चौपट असल्याने, या संख्यांमध्ये परावर्तित समान गुणधर्म असलेली एक भौमितिक वस्तू असावी!

आता या मालमत्तेसाठी काही भौमितिक वस्तू उचलणे बाकी आहे आणि सर्व काही जागेवर पडेल! अर्थात, हे गृहितक पूर्णपणे काल्पनिक होते, आणि स्वतःच्या अंतर्गत कोणतेही पुष्टीकरण नव्हते. पण असेल तर काय!

वस्तूंचा शोध सुरू झाला आहे. तारे, बहुभुज, नियमित, अनियमित, काटकोन, आणि असेच आणि पुढे. पुन्हा, काहीही बसत नाही. काय करायचं? आणि त्याच क्षणी शेरलॉकला त्याची दुसरी आघाडी मिळते.

आम्हाला स्केल अप करणे आवश्यक आहे! तिहेरी विमानावरील त्रिकोणाशी संबंधित असल्याने, चतुर्भुज हे त्रिमितीय गोष्टीशी सुसंगत आहे!

अरे नाही! पुन्हा, बरेच पर्याय! आणि तीन आयामांमध्ये बरेच काही आहेत, सर्व प्रकारच्या भौमितिक शरीरे. त्या सर्वांमधून क्रमवारी लावण्याचा प्रयत्न करा! पण हे सर्व वाईट नाही. एक काटकोन आणि इतर संकेत देखील आहेत! आमच्याकडे काय आहे? इजिप्शियन चतुर्थांश संख्या (त्यांना इजिप्शियन असू द्या, तुम्हाला त्यांना कसे तरी कॉल करावे लागेल), एक काटकोन (किंवा कोन) आणि काही त्रिमितीय वस्तू. कपातीने काम केले! आणि ... माझा विश्वास आहे की चतुर वाचकांना आधीच समजले आहे की आपण पिरॅमिडबद्दल बोलत आहोत, ज्यामध्ये, एका शिरोबिंदूवर, सर्व तीन कोन बरोबर आहेत. तुम्ही त्यांना कॉल देखील करू शकता आयताकृती पिरॅमिडकाटकोन त्रिकोणासारखे.

नवीन प्रमेय

तर, आमच्याकडे सर्व काही आहे. आयताकृती (!) पिरामिड, पार्श्व बाजू-पायआणि secant चेहरा-हायपोटेन्युज. दुसरे चित्र काढण्याची वेळ आली आहे.

चित्र आयताकृती निर्देशांकांच्या उगमस्थानी शिरोबिंदू असलेला पिरॅमिड दर्शवितो (पिरॅमिड, जसा होता, त्याच्या बाजूला आहे). पिरॅमिड तीन परस्पर लंबवर्तुळाकार वेक्टर्सद्वारे तयार केला जातो जो कोऑर्डिनेट अक्षांसह उगमस्थानापासून प्लॉट केला जातो. म्हणजेच, पिरॅमिडचा प्रत्येक बाजूचा चेहरा हा मूळ त्रिकोण असलेला काटकोन आहे. वेक्टरचे टोक कटिंग प्लेनची व्याख्या करतात आणि पिरॅमिडचा पाया बनवतात.

प्रमेय

एक आयताकृती पिरॅमिड असू द्या जो तीन परस्पर लंबवर्तुळाकार व्हॅक्टर्सने बनवला आहे, ज्यामध्ये बाजू-पायांचे क्षेत्र - , आणि कर्णाचे क्षेत्र - आहे. मग

पर्यायी सूत्रीकरण: टेट्राहेड्रल पिरॅमिडसाठी, ज्यामध्ये एका शिरोबिंदूवर सर्व सपाट कोन उजवे असतात, बाजूच्या चेहऱ्यांच्या क्षेत्राच्या वर्गांची बेरीज पायाच्या क्षेत्रफळाच्या चौरसाइतकी असते.

अर्थात, जर नेहमीचे पायथागोरियन प्रमेय त्रिकोणांच्या बाजूंच्या लांबीसाठी तयार केले असेल, तर आपले प्रमेय पिरॅमिडच्या बाजूंच्या क्षेत्रांसाठी तयार केले जाईल. जर तुम्हाला काही सदिश बीजगणित माहित असेल तर हे प्रमेय तीन आयामांमध्ये सिद्ध करणे खूप सोपे आहे.

पुरावा

आम्ही वेक्टरच्या लांबीनुसार क्षेत्रे व्यक्त करतो.

कुठे

आम्ही वेक्टरवर बांधलेल्या समांतरभुज चौकोनाचे अर्धे क्षेत्रफळ म्हणून क्षेत्राचे प्रतिनिधित्व करतो आणि

माहीत आहे म्हणून, वेक्टर उत्पादनदोन सदिशांचा एक सदिश आहे ज्याची लांबी या सदिशांवर बांधलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाइतकी असते.
म्हणून

अशा प्रकारे,

Q.E.D!

अर्थात, व्यावसायिकरित्या संशोधनात गुंतलेली व्यक्ती म्हणून, माझ्या आयुष्यात हे आधीच घडले आहे आणि एकापेक्षा जास्त वेळा. पण हा क्षण सर्वात उज्ज्वल आणि संस्मरणीय होता. मी शोधकर्त्याच्या भावना, भावना, अनुभवांची संपूर्ण श्रेणी अनुभवली. एखाद्या विचाराच्या जन्मापासून, एखाद्या कल्पनेचे स्फटिकीकरण, पुरावे शोधणे - गैरसमज पूर्ण करणे आणि अगदी नाकारणे देखील की माझ्या कल्पना माझ्या मित्रांसह, ओळखीच्या व्यक्तींसह आणि मला त्यावेळेस संपूर्ण जगाबरोबर वाटल्या होत्या. ते अद्वितीय होते! गॅलिलिओ, कोपर्निकस, न्यूटन, श्रोडिंगर, बोहर, आइनस्टाईन आणि इतर अनेक शोधकांच्या शूजमध्ये मी स्वतःला अनुभवल्यासारखे होते.

नंतरचे शब्द

जीवनात, सर्व काही खूप सोपे आणि अधिक नीरस बनले. मला उशीर झाला... पण किती! फक्त 18 वर्षांचे काहीतरी! भयंकर प्रदीर्घ छळाखाली आणि पहिल्यांदाच नाही, Google ने मला कबूल केले की हे प्रमेय 1996 मध्ये प्रकाशित झाले होते!

टेक्सास टेक युनिव्हर्सिटी प्रेसने प्रकाशित केलेला लेख. लेखकांनी, व्यावसायिक गणितज्ञांनी पारिभाषिक शब्दावली सादर केली (जे, तसे, मुख्यत्वे माझ्याशी एकरूप होते) आणि एक सामान्यीकृत प्रमेय देखील सिद्ध केले जे एकापेक्षा जास्त परिमाणांच्या जागेसाठी वैध आहे. 3 पेक्षा जास्त परिमाणांमध्ये काय होते? सर्व काही अगदी सोपे आहे: चेहरे आणि क्षेत्रांऐवजी, हायपरसर्फेस आणि बहुआयामी खंड असतील. आणि विधान, अर्थातच, समान राहील: बाजूच्या चेहऱ्यांच्या खंडांच्या चौरसांची बेरीज बेसच्या खंडाच्या चौरसाइतकी आहे, - फक्त चेहऱ्यांची संख्या जास्त असेल, आणि चे व्हॉल्यूम त्यापैकी प्रत्येक जनरेटिंग व्हेक्टरच्या अर्ध्या उत्पादनाप्रमाणे होईल. कल्पना करणे जवळजवळ अशक्य आहे! तत्त्ववेत्ते म्हटल्याप्रमाणे विचार करू शकतात!

आश्‍चर्याची गोष्ट म्हणजे असे प्रमेय आधीच माहीत असल्याचं कळल्यावर मला अजिबात वाईट वाटलं नाही. माझ्या आत्म्याच्या खोलात कुठेतरी, मला शंका आली की हे शक्य आहे की मी पहिला नाही आणि मला समजले की मला यासाठी नेहमीच तयार राहावे लागेल. पण मला मिळालेल्या भावनिक अनुभवाने माझ्यातील संशोधकाची ठिणगी पेटवली, जी आता कधीच विझणार नाही याची मला खात्री आहे!

P.S.

एका विद्वान वाचकाने टिप्पण्यांमध्ये एक लिंक पाठवली
डी गुआचे प्रमेय

विकिपीडिया वरून अर्क

१७८३ मध्ये फ्रेंच गणितज्ञ जे. डी गोइस, परंतु हे पूर्वी रेने डेकार्टेस आणि त्याच्या आधी योहान्स फुलगाबर यांना माहित होते, ज्यांनी कदाचित 1622 मध्ये प्रथम शोधला होता. अधिक मध्ये सामान्य दृश्य 1774 मध्ये पॅरिस अकादमी ऑफ सायन्सेसच्या अहवालात चार्ल्स टिन्सॉट (fr.) यांनी प्रमेय तयार केला होता.

म्हणून मी 18 वर्षे उशीरा नाही, पण किमान दोन शतके उशीरा!

स्रोत

वाचकांनी टिप्पण्यांमध्ये काही उपयुक्त दुवे दिले आहेत. हे आणि इतर काही दुवे येथे आहेत:

व्हॅन डर वार्डन यांच्या मते, साधारणतः 18 व्या शतकाच्या आसपास बॅबिलोनमध्ये हे प्रमाण आधीच ज्ञात असण्याची शक्यता आहे. e

अंदाजे 400 इ.स.पू. ई., प्रोक्लसच्या मते, प्लॅटोने बीजगणित आणि भूमिती एकत्र करून पायथागोरियन ट्रिपल्स शोधण्याची पद्धत दिली. सुमारे 300 B.C. e युक्लिडच्या "एलिमेंट्स" मध्ये पायथागोरियन प्रमेयाचा सर्वात जुना स्वयंसिद्ध पुरावा दिसला.

शब्दरचना

मुख्य फॉर्म्युलेशनमध्ये बीजगणितीय क्रिया असतात - काटकोन त्रिकोणामध्ये, ज्याच्या पायांची लांबी समान असते a (\displaystyle a)आणि b (\displaystyle b), आणि कर्णाची लांबी आहे c (\displaystyle c), संबंध पूर्ण झाले आहे:

.

क्षेत्रफळाच्या संकल्पनेचा अवलंब करून समतुल्य भौमितीय सूत्रीकरण देखील शक्य आहे: काटकोन त्रिकोणामध्ये कर्णावर बांधलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके असते. या स्वरूपात, प्रमेय युक्लिडच्या प्रिन्सिपियामध्ये तयार केला जातो.

उलट पायथागोरियन प्रमेय- कोणत्याही त्रिकोणाच्या आयताकृतीबद्दलचे विधान, ज्याच्या बाजूंच्या लांबी संबंधाने संबंधित आहेत a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). परिणामी, कोणत्याही तिहेरीसाठी सकारात्मक संख्या a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)आणि c (\displaystyle c), असे की a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), पायांसह एक काटकोन त्रिकोण आहे a (\displaystyle a)आणि b (\displaystyle b)आणि कर्ण c (\displaystyle c).

चा पुरावा

पायथागोरियन प्रमेयाचे किमान 400 पुरावे वैज्ञानिक साहित्यात नोंदवले गेले आहेत, जे भूमितीचे मूलभूत मूल्य आणि परिणामाच्या प्राथमिकतेने स्पष्ट केले आहे. पुराव्यांचे मुख्य दिशानिर्देश आहेत: घटक-त्रिकोणाच्या गुणोत्तरांचा बीजगणितीय वापर (उदाहरणार्थ, लोकप्रिय समानता पद्धत), क्षेत्र पद्धत, विविध विदेशी पुरावे देखील आहेत (उदाहरणार्थ, भिन्न समीकरणे वापरणे).

समान त्रिकोणांद्वारे

युक्लिडच्या शास्त्रीय पुराव्याचे उद्दिष्ट कर्णाच्या वरच्या चौकोनाचे काटकोनातून पायांच्या वरील चौरसांसह विच्छेदन करून तयार केलेल्या आयतांमधील क्षेत्रांची समानता स्थापित करणे आहे.

पुराव्यासाठी वापरलेले बांधकाम खालीलप्रमाणे आहे: काटकोन असलेल्या काटकोन त्रिकोणासाठी C (\displaystyle C), पायांवर चौरस आणि कर्णावर चौरस A B I K (\ displaystyle ABIK)उंची बांधली जात आहे C H (\ प्रदर्शन शैली CH)आणि ते चालू ठेवणारा तुळई s (\ प्रदर्शन शैली s), कर्णाच्या वरील चौकोनाचे दोन आयतांमध्ये विभाजन करणे आणि . पुराव्याचा उद्देश आयताच्या क्षेत्रांची समानता स्थापित करणे आहे A H J K (\ प्रदर्शन शैली AHJK)पायावर चौरस सह A C (\ displaystyle AC); दुसऱ्या आयताच्या क्षेत्रांची समानता, जो कर्णाच्या वरचा एक चौरस आहे आणि दुसऱ्या पायाच्या वरचा आयत त्याच प्रकारे स्थापित केला आहे.

आयताच्या क्षेत्रांची समानता A H J K (\ प्रदर्शन शैली AHJK)आणि A C E D (\ displaystyle ACED)त्रिकोणांच्या एकरूपतेद्वारे स्थापित △ A C K ​​(\ प्रदर्शन शैली \ त्रिकोण ACK)आणि △ A B D (\ प्रदर्शन शैली \ त्रिकोण ABD), यापैकी प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ चौरसाच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके आहे A H J K (\ प्रदर्शन शैली AHJK)आणि A C E D (\ displaystyle ACED)अनुक्रमे, खालील मालमत्तेच्या संबंधात: त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आयताच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके असते जर आकृत्यांची एक समान बाजू असेल आणि त्रिकोणाची उंची सामान्य बाजूची दुसरी बाजू असेल तर आयत. त्रिकोणांची एकरूपता दोन बाजूंच्या (चौकोनी बाजू) आणि त्यांच्यामधील कोन (एक काटकोन आणि एका कोनातून बनलेली) यांच्या समानतेवरून येते. A (\ प्रदर्शन शैली A).

अशाप्रकारे, पुरावा हे सिद्ध करतो की कर्णाच्या वरच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ, आयतांनी बनलेले आहे A H J K (\ प्रदर्शन शैली AHJK)आणि B H J I (\ displaystyle BHJI), पायांच्या वरच्या चौरसांच्या क्षेत्रांच्या बेरजेइतके आहे.

लिओनार्डो दा विंचीचा पुरावा

क्षेत्र पद्धतीमध्ये लिओनार्डो दा विंचीने सापडलेला पुरावा देखील समाविष्ट केला आहे. एक काटकोन त्रिकोण असू द्या △ A B C (\ प्रदर्शन शैली \ त्रिकोण ABC)काटकोन C (\displaystyle C)आणि चौरस A C E D (\ displaystyle ACED), B C F G (\ displaystyle BCFG)आणि A B H J (\ प्रदर्शन शैली ABHJ)(चित्र पहा). बाजूच्या या पुराव्यात H J (\ displaystyle HJ)नंतरचा, एक त्रिकोण बाहेरील बाजूस तयार केला जातो, एकरूप △ A B C (\ प्रदर्शन शैली \ त्रिकोण ABC), शिवाय, कर्णाच्या सापेक्ष आणि त्याच्या उंचीच्या सापेक्ष दोन्ही प्रतिबिंबित करते (म्हणजे, J I = B C (\ displaystyle JI=BC)आणि H I = A C (\displaystyle HI=AC)). सरळ C I (\ displaystyle CI)कर्णावर बांधलेल्या चौकोनाला त्रिकोणापासून दोन समान भागांमध्ये विभाजित करतो △ A B C (\ प्रदर्शन शैली \ त्रिकोण ABC)आणि △ J H I (\ प्रदर्शन शैली \ त्रिकोण JHI)बांधकामात समान आहेत. पुरावा चतुर्भुजांची एकरूपता स्थापित करतो C A J I (\ displaystyle CAJI)आणि D A B G (\ displaystyle DABG), यापैकी प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ, एकीकडे, पायांवर असलेल्या चौरसांच्या अर्ध्या क्षेत्राच्या बेरजेइतके आणि मूळ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ, दुसरीकडे, च्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके आहे. कर्णावरील चौरस अधिक मूळ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ. एकूण, पायांवरील चौरसांच्या क्षेत्रफळाची अर्धी बेरीज कर्णावरील चौरसाच्या अर्ध्या क्षेत्राच्या बरोबरीची असते, जी पायथागोरियन प्रमेयाच्या भौमितिक सूत्राच्या समतुल्य असते.

अनंत पद्धतीद्वारे पुरावा

भिन्न समीकरणांचे तंत्र वापरून अनेक पुरावे आहेत. विशेषतः, हार्डी ला अनंत पाय वाढ वापरून पुराव्याचे श्रेय दिले जाते a (\displaystyle a)आणि b (\displaystyle b)आणि कर्ण c (\displaystyle c), आणि मूळ आयतासह समानता जतन करणे, म्हणजे, खालील भिन्न संबंधांची पूर्तता सुनिश्चित करणे:

d a d c = c a (\ displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\ displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

व्हेरिएबल्सच्या पृथक्करणाच्या पद्धतीद्वारे, त्यांच्यापासून एक विभेदक समीकरण काढले जाते c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), ज्याचे एकत्रीकरण संबंध देते c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). प्रारंभिक अटींचा अर्ज a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)स्थिरांक 0 म्हणून परिभाषित करतो, ज्याचा परिणाम प्रमेयाच्या प्रतिपादनात होतो.

अंतिम सूत्रातील चतुर्भुज अवलंबित्व त्रिकोणाच्या बाजू आणि वाढ यांच्यातील रेखीय आनुपातिकतेमुळे दिसून येते, तर बेरीज वेगवेगळ्या पायांच्या वाढीपासून स्वतंत्र योगदानामुळे होते.

भिन्नता आणि सामान्यीकरण

तीन बाजूंनी समान भौमितिक आकार

पायथागोरियन प्रमेयाचे महत्त्वपूर्ण भौमितिक सामान्यीकरण युक्लिडने "बिगिनिंग्ज" मध्ये दिले होते, बाजूंच्या चौरसांच्या क्षेत्रापासून अनियंत्रित समान भौमितिक आकृत्यांच्या क्षेत्राकडे सरकत होते: पायांवर बांधलेल्या अशा आकृत्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज असेल. कर्ण वर बांधलेल्या त्यांच्या सारख्याच आकृतीच्या क्षेत्रफळाइतका.

या सामान्यीकरणाची मुख्य कल्पना अशी आहे की अशा भौमितिक आकृतीचे क्षेत्रफळ त्याच्या कोणत्याही चौरसाच्या प्रमाणात असते. रेखीय आकारआणि विशेषतः कोणत्याही बाजूच्या लांबीचा चौरस. म्हणून, क्षेत्रांसह समान आकृत्यांसाठी A (\ प्रदर्शन शैली A), B (\ प्रदर्शन शैली B)आणि C (\displaystyle C)लांबीसह पायांवर बांधलेले a (\displaystyle a)आणि b (\displaystyle b)आणि कर्ण c (\displaystyle c)त्यानुसार, एक संबंध आहे:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2))=(\frac (C)(c^(2))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

पायथागोरियन प्रमेयानुसार a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), नंतर ते केले जाते.

याव्यतिरिक्त, पायथागोरस प्रमेयाचा अवलंब न करता सिद्ध करणे शक्य असल्यास काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंच्या तीन समान भूमितीय आकृत्यांच्या क्षेत्रासाठी, संबंध A + B = C (\ displaystyle A+B=C), नंतर युक्लिडच्या सामान्यीकरणाच्या पुराव्याच्या उलट वापरून, आपण पायथागोरियन प्रमेयाचा पुरावा मिळवू शकतो. उदाहरणार्थ, कर्णावर आपण क्षेत्रफळ असलेल्या सुरुवातीच्या त्रिकोणाशी एकरूप असलेला काटकोन त्रिकोण तयार केला तर C (\displaystyle C), आणि पायांवर - क्षेत्रांसह दोन समान काटकोन त्रिकोण A (\ प्रदर्शन शैली A)आणि B (\ प्रदर्शन शैली B), नंतर असे दिसून आले की पायांवर त्रिकोण तयार होतात ज्यामुळे सुरुवातीच्या त्रिकोणाला त्याच्या उंचीने विभाजित केले जाते, म्हणजेच, त्रिकोणांच्या दोन लहान क्षेत्रांची बेरीज तिसऱ्याच्या क्षेत्रफळाच्या समान असते, अशा प्रकारे A + B = C (\ displaystyle A+B=C)आणि, समान आकृत्यांसाठी संबंध लागू केल्यास, पायथागोरियन प्रमेय प्राप्त होतो.

कोसाइन प्रमेय

पायथागोरियन प्रमेय हे अधिक सामान्य कोसाइन प्रमेयचे एक विशेष प्रकरण आहे जे एका अनियंत्रित त्रिकोणातील बाजूंच्या लांबीशी संबंधित आहे:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

बाजूंमधील कोन कुठे आहे a (\displaystyle a)आणि b (\displaystyle b). जर कोन 90° असेल तर cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), आणि सूत्र नेहमीच्या पायथागोरियन प्रमेयाला सोपे करते.

अनियंत्रित त्रिकोण

पायथागोरियन प्रमेयाचे एका अनियंत्रित त्रिकोणाचे सामान्यीकरण आहे, जे केवळ बाजूंच्या लांबीच्या गुणोत्तरावर कार्य करते, असे मानले जाते की हे प्रथम सॅबियन खगोलशास्त्रज्ञ सबित-इब्न-कुर्रा यांनी स्थापित केले होते. त्यामध्ये, बाजू असलेल्या अनियंत्रित त्रिकोणासाठी, बाजूचा आधार असलेला समद्विभुज-त्रिकोण c (\displaystyle c), मूळ त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूशी एकरूप होणारा शिरोबिंदू, बाजूच्या विरुद्ध c (\displaystyle c)आणि पायथ्यावरील कोन कोनाच्या समान θ (\डिस्प्लेस्टाइल \थीटा)विरुद्ध बाजू c (\displaystyle c). परिणामी, मूळ त्रिकोणाप्रमाणेच दोन त्रिकोण तयार होतात: पहिला बाजू असलेला a (\displaystyle a), कोरलेली बाजूकडील बाजू समद्विभुज त्रिकोण, आणि r (\displaystyle r)- बाजूचे भाग c (\displaystyle c); दुसरा बाजूने सममितीय आहे b (\displaystyle b)एका पार्टीसह s (\ प्रदर्शन शैली s)- बाजूचा संबंधित भाग c (\displaystyle c). परिणामी, संबंध पूर्ण होतो:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

जे येथे पायथागोरियन प्रमेयात अध:पतन होते θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). गुणोत्तर हा तयार केलेल्या त्रिकोणांच्या समानतेचा परिणाम आहे:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

पप्पस क्षेत्र प्रमेय

नॉन-युक्लिडियन भूमिती

पायथागोरियन प्रमेय युक्लिडियन भूमितीच्या स्वयंसिद्धांमधून प्राप्त झाला आहे आणि गैर-युक्लिडीय भूमितीसाठी अवैध आहे - पायथागोरियन प्रमेयची पूर्तता युक्लिडियन समांतरतेच्या पोस्ट्युलेटच्या समान आहे.

नॉन-युक्लिडियन भूमितीमध्ये, काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंमधील संबंध पायथागोरियन प्रमेयापेक्षा वेगळ्या स्वरूपात असणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, गोलाकार भूमितीमध्ये, काटकोन त्रिकोणाच्या तीनही बाजू, ज्या एकक गोलाच्या ऑक्टंटला बांधतात, त्यांची लांबी असते π / 2 (\displaystyle \pi /2), जे पायथागोरियन प्रमेयाला विरोध करते.

शिवाय, पायथागोरियन प्रमेय हायपरबोलिक आणि लंबवर्तुळाकार भूमितीमध्ये वैध आहे, जर त्रिकोणाच्या दोन कोनांची बेरीज तिसर्‍याच्या बरोबरीची असणे आवश्यक आहे या अटीने त्रिकोण आयताकृती असणे आवश्यक आहे.

गोलाकार भूमिती

त्रिज्या असलेल्या गोलावरील कोणत्याही काटकोन त्रिकोणासाठी R (\ प्रदर्शन शैली R)(उदाहरणार्थ, त्रिकोणातील कोन उजवा असल्यास) बाजूंसह a , b , c (\ displaystyle a, b, c)बाजूंमधील संबंध आहेतः

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac) (a)(R))\उजवे)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

ही समानता गोलाकार कोसाइन प्रमेयाची विशेष बाब म्हणून घेतली जाऊ शकते, जी सर्व गोलाकार त्रिकोणांसाठी वैध आहे:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

कुठे ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- हायपरबोलिक-कोसाइन. हे सूत्र हायपरबोलिक कोसाइन प्रमेयाचे एक विशेष प्रकरण आहे, जे सर्व त्रिकोणांसाठी वैध आहे:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

कुठे γ (\displaystyle \gamma )- एक कोन ज्याचा शिरोबिंदू एका बाजूच्या विरुद्ध आहे c (\displaystyle c).

हायपरबोलिक कोसाइनसाठी टेलर मालिका वापरणे ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\अंदाजे 1+x^(2)/2)) हे दर्शविले जाऊ शकते की हायपरबोलिक त्रिकोण कमी झाल्यास (म्हणजे, केव्हा a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)आणि c (\displaystyle c)शून्याकडे झुकतात), नंतर काटकोन त्रिकोणातील अतिपरवलयिक संबंध शास्त्रीय पायथागोरियन प्रमेयाच्या संबंधाशी संपर्क साधतात.

अर्ज

द्विमितीय आयताकृती प्रणालींमधील अंतर

पायथागोरियन प्रमेयाचा सर्वात महत्वाचा उपयोग म्हणजे आयताकृती-प्रणाली-समन्वयकांमध्ये दोन बिंदूंमधील अंतर निश्चित करणे: अंतर s (\ प्रदर्शन शैली s)निर्देशांक सह बिंदू दरम्यान (a, b) (\displaystyle (a,b))आणि (c , d) (\ displaystyle (c, d))समान:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

जटिल संख्यांसाठी, पायथागोरियन प्रमेय मॉड्यूलस-जटिल-संख्या शोधण्यासाठी एक नैसर्गिक सूत्र देते - साठी z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)ते लांबीच्या समान आहे

ज्ञान बेस मध्ये आपले चांगले काम पाठवा सोपे आहे. खालील फॉर्म वापरा

विद्यार्थी, पदवीधर विद्यार्थी, तरुण शास्त्रज्ञ जे ज्ञानाचा आधार त्यांच्या अभ्यासात आणि कार्यात वापरतात ते तुमचे खूप आभारी असतील.

http://www.allbest.ru/ येथे होस्ट केलेले

परिचय

1. पायथागोरसच्या चरित्रातून

2. पायथागोरस आणि पायथागोरस

3. प्रमेय निर्मितीच्या इतिहासातून

4. प्रमेयाचे सहा पुरावे

4.1 प्राचीन चिनी पुरावे

4.2 जे. गार्डफिल्डचा पुरावा

4.3 पुरावा सर्वात जुना आहे

4.4 सर्वात सोपा पुरावा

4.5 पूर्वजांचा पुरावा

4.6 युक्लिडचा पुरावा

5. पायथागोरियन प्रमेयाचा वापर

5.1 सैद्धांतिक कार्ये

5.2 व्यावहारिक कार्ये (जुनी)

निष्कर्ष

संदर्भग्रंथ

परिचय

या शैक्षणिक वर्षात, आम्हाला एक मनोरंजक प्रमेयाची ओळख झाली, जी प्राचीन काळापासून ज्ञात आहे:

« चौरस,बांधलेवरकर्णआयताकृतीत्रिकोणआकारात समानबेरीजचौरसबांधलेवरपाय»

सहसा या विधानाचा शोध प्राचीन ग्रीक तत्त्वज्ञ आणि गणितज्ञ पायथागोरस (इ.पू. सहावा शतक) यांना दिला जातो. परंतु प्राचीन हस्तलिखितांच्या अभ्यासावरून असे दिसून आले की हे विधान पायथागोरसच्या जन्माच्या खूप आधीपासून ज्ञात होते.

आम्हाला आश्चर्य वाटले की, या प्रकरणात ते पायथागोरसच्या नावाशी का जोडले गेले आहे.

आमच्या अभ्यासाचा उद्देश होता: पायथागोरस कोण होता आणि त्याचा या प्रमेयाशी काय संबंध आहे हे शोधणे. प्रमेयाच्या इतिहासाचा अभ्यास करून, आम्ही शोधण्याचा निर्णय घेतला:

या प्रमेयाचे इतर पुरावे आहेत का?

लोकांच्या जीवनात या प्रमेयाचे महत्त्व काय आहे?

पायथागोरसने गणिताच्या विकासात कोणती भूमिका बजावली?

1. पायथागोरसच्या चरित्रातून

समोसचा पायथागोरस हा एक महान ग्रीक शास्त्रज्ञ आहे. त्यांचे नाव प्रत्येक विद्यार्थ्याच्या परिचयाचे आहे. एखाद्या प्राचीन गणितज्ञाचे नाव विचारले तर बहुसंख्य लोक पायथागोरसचे नाव घेतील. त्याची कीर्ती पायथागोरियन प्रमेयाच्या नावाशी संबंधित आहे. जरी आता आपल्याला माहित आहे की हे प्रमेय पायथागोरसच्या 1200 वर्षांपूर्वी प्राचीन बॅबिलोनमध्ये ज्ञात होते आणि त्याच्या आधी 2000 वर्षांपूर्वी इजिप्तमध्ये 3, 4, 5 बाजू असलेला काटकोन त्रिकोण ज्ञात होता, तरीही आपण त्याला या प्राचीन नावाने ओळखतो. शास्त्रज्ञ

पायथागोरसच्या जीवनाबद्दल निश्चितपणे जवळजवळ काहीही ज्ञात नाही, परंतु मोठ्या संख्येनेदंतकथा

पायथागोरसचा जन्म इ.स.पूर्व ५७० मध्ये झाला. सामोस बेटावर. पायथागोरसचे वडील म्नेसार्कस हे एक नक्षीदार होते मौल्यवान दगड. अपुलेयसच्या म्हणण्यानुसार, "रत्ने कोरण्याच्या कलेसाठी मास्टर्समध्ये प्रसिद्ध होता," परंतु त्याने संपत्तीऐवजी प्रसिद्धी मिळवली. पायथागोरसच्या आईचे नाव जतन केलेले नाही.

पायथागोरसचा देखावा देखणा होता, त्याने लांब दाढी घातली होती आणि त्याच्या डोक्यावर सोनेरी डायडेम होता. पायथागोरस हे नाव नाही तर ग्रीक ओरॅकलप्रमाणे नेहमी योग्य आणि खात्रीने बोलल्याबद्दल तत्त्ववेत्त्याला मिळालेले टोपणनाव आहे. (पायथागोरस - "मन वळवणारे भाषण").

तरुण पायथागोरसच्या शिक्षकांमध्ये ज्येष्ठ हर्मोडामंट आणि फेरेकाइड्स ऑफ सायरोस होते (जरी जर्मोडामंट आणि फेरेकाइड्स हे पायथागोरसचे पहिले शिक्षक होते याची खात्री नाही). तरुण पायथागोरसने मोठ्या हर्मोडामंटच्या चरणी संपूर्ण दिवस घालवला, सिताराचे राग आणि होमरचे हेक्सामीटर ऐकले. महान होमर, पायथागोरसच्या संगीत आणि कवितेची आवड आयुष्यभर टिकून राहिली. आणि, एक मान्यताप्राप्त ऋषी असल्याने, विद्यार्थ्यांच्या गर्दीने वेढलेले, पायथागोरसने होमरचे एक गाणे गाऊन दिवसाची सुरुवात केली.

फेरेसीडीस एक तत्वज्ञानी होता आणि इटालियन स्कूल ऑफ फिलॉसॉफीचा संस्थापक मानला जात असे. अशाप्रकारे, जर हर्मोडामंटने तरुण पायथागोरसची ओळख म्यूजच्या वर्तुळात केली, तर फेरेकाइड्सने लोगोकडे आपले मन वळवले. फेरेकाइड्सने पायथागोरसची नजर निसर्गाकडे वळवली आणि त्यातच त्याने आपल्या पहिल्या आणि मुख्य शिक्षकाला भेटण्याचा सल्ला दिला.

पण ते जमेल तसे, तरुण पायथागोरसच्या अस्वस्थ कल्पनेने लवकरच छोट्या सामोसवर गर्दी केली आणि तो मिलेटसला जातो, जिथे तो थेल्स नावाच्या दुसर्‍या शास्त्रज्ञाशी भेटतो. थेल्सने त्याला ज्ञानासाठी इजिप्तला जाण्याचा सल्ला दिला, जो पायथागोरसने केला.

550 बीसी मध्ये, पायथागोरस एक निर्णय घेतो आणि इजिप्तला जातो. तर, पायथागोरससमोर एक अज्ञात देश आणि अज्ञात संस्कृती उघडते. पायथागोरस या देशात खूप आश्चर्यचकित आणि आश्चर्यचकित झाले आणि इजिप्शियन लोकांच्या जीवनाचे काही निरीक्षण केल्यानंतर, पायथागोरसला समजले की ज्ञानाचा मार्ग, धर्मगुरूंच्या जातीद्वारे संरक्षित आहे, धर्माद्वारे आहे.

इजिप्शियन मुलांबरोबर, तो देखील चुनखडीच्या प्लेट्सवर बसला, काळी कुरळे दाढी असलेली प्रौढ हेलन. पण त्याच्या लहान सहकाऱ्यांप्रमाणे, दाढी असलेल्या एलिनचे कान त्याच्या पाठीवर नव्हते आणि त्याचे डोके स्थिर होते. लवकरच, पायथागोरस त्याच्या वर्गमित्रांपेक्षा खूप पुढे होता. परंतु शास्त्रींची शाळा ही गुप्त ज्ञानाच्या मार्गावरील पहिली पायरी होती.

इजिप्तमध्ये अकरा वर्षांचा अभ्यास केल्यानंतर, पायथागोरस त्याच्या मायदेशी जातो, जिथे तो बॅबिलोनियन कैदेत जातो. तेथे त्याला बॅबिलोनियन विज्ञानाची ओळख होते, जे इजिप्शियनपेक्षा अधिक विकसित होते. बॅबिलोनियन लोकांना रेखीय, चतुर्भुज आणि काही प्रकारचे घन समीकरण कसे सोडवायचे हे माहित होते. पायथागोरसच्या 1000 वर्षांपूर्वी त्यांनी पायथागोरसचे प्रमेय यशस्वीपणे लागू केले. कैदेतून पळून गेल्यानंतर, तेथे राज्य केलेल्या हिंसाचार आणि अत्याचाराच्या वातावरणामुळे तो आपल्या मायदेशात जास्त काळ राहू शकला नाही. त्याने क्रोटन (उत्तर इटलीमधील ग्रीक वसाहत) येथे जाण्याचा निर्णय घेतला.

पायथागोरसच्या आयुष्यातील सर्वात गौरवशाली काळ क्रॉटॉनमध्येच सुरू होतो. तेथे त्याने धार्मिक-नैतिक बंधुत्व किंवा गुप्त मठवासी ऑर्डर सारखे काहीतरी स्थापित केले, ज्याचे सदस्य तथाकथित पायथागोरियन जीवनशैलीचे नेतृत्व करण्यास बांधील होते.

2. पायथागोरसआणिपायथागोरियन

पायथागोरस मध्ये आयोजित ग्रीक वसाहत Apennine द्वीपकल्पाच्या दक्षिणेला, एक धार्मिक आणि नैतिक बंधुत्व, जसे की एक मठाचा आदेश, ज्याला नंतर पायथागोरियन संघ म्हटले जाईल. युनियनच्या सदस्यांना काही तत्त्वांचे पालन करावे लागले: प्रथम, सुंदर आणि वैभवशालीसाठी प्रयत्न करणे, दुसरे म्हणजे उपयुक्त असणे आणि तिसरे म्हणजे उच्च आनंदासाठी प्रयत्न करणे.

पायथागोरसने त्याच्या विद्यार्थ्यांना दिलेली नैतिक आणि नैतिक नियमांची प्रणाली, पायथागोरसच्या "गोल्डन व्हर्सेस" च्या नैतिक संहितेमध्ये संकलित केली गेली, जी पुरातनता, मध्य युग आणि पुनर्जागरण युगात खूप लोकप्रिय होती. पायथागोरियन अभ्यास प्रणालीमध्ये तीन विभाग होते:

संख्यांबद्दल शिकवण - अंकगणित,

आकृत्यांचा सिद्धांत - भूमिती,

विश्वाच्या संरचनेबद्दल शिकवण - खगोलशास्त्र.

पायथागोरसने घालून दिलेली शिक्षण व्यवस्था अनेक शतके टिकली.

पायथागोरियन लोकांनी शिकवले की देव जागतिक व्यवस्थेच्या आधारावर संख्या ठेवतो. देव एकता आहे, आणि जग पुष्कळ आहे आणि त्यात विरोधाभास आहेत. जे एकतेसाठी विरोधक आणते आणि सर्व गोष्टींना विश्वात एकत्र आणते ते सुसंवाद आहे. सुसंवाद दैवी आहे आणि संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये आहे. जो शेवटपर्यंत सुसंवादाचा अभ्यास करतो तो स्वतः दैवी आणि अमर होईल.

पायथागोरियन्सच्या शिकवणीमध्ये संगीत, सुसंवाद आणि संख्या यांचा अतूट संबंध होता. त्यात गणित आणि संख्यात्मक गूढवाद विलक्षणपणे मिसळले गेले. पायथागोरसचा असा विश्वास होता की संख्या हे सर्व गोष्टींचे सार आहे आणि विश्व ही संख्या आणि त्यांच्या संबंधांची एक सुसंवादी प्रणाली आहे.

पायथागोरसच्या शाळेने भूमितीला विज्ञानाचे स्वरूप देण्यासाठी बरेच काही केले. पायथागोरियन पद्धतीचे मुख्य वैशिष्ट्य म्हणजे भूमिती आणि अंकगणिताचे संयोजन.

पायथागोरसने प्रमाण आणि प्रगती आणि बहुधा, आकृत्यांच्या समानतेसह बरेच काही हाताळले, कारण त्याला समस्या सोडवण्याचे श्रेय दिले जाते: "दिलेल्या दोन आकृत्यांच्या आधारे, डेटापैकी एकाच्या आकारात तिसरा आणि समान आकार तयार करा. दुसरा."

पायथागोरस आणि त्याच्या विद्यार्थ्यांनी बहुभुज, अनुकूल, परिपूर्ण संख्यांची संकल्पना मांडली आणि त्यांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास केला. अंकगणित, गणनेचा सराव म्हणून, पायथागोरसला स्वारस्य नव्हते आणि त्याने अभिमानाने घोषित केले की त्याने "व्यापारीच्या हितापेक्षा अंकगणित वर ठेवले आहे."

पृथ्वीला बॉलचा आकार आहे आणि ते विश्वाचे केंद्र आहे, सूर्य, चंद्र आणि ग्रहांची स्वतःची हालचाल स्थिर ताऱ्यांच्या दैनंदिन हालचालींपेक्षा वेगळी आहे यावर विश्वास ठेवणारा पायथागोरस हा पहिला होता.

पृथ्वीच्या गतीबद्दल पायथागोरियन्सचा सिद्धांत, निकोलस कोपर्निकसला त्याच्या सूर्यकेंद्री सिद्धांताचा पूर्वइतिहास समजला. चर्चने कोपर्निकन प्रणाली "खोटी पायथागोरियन शिकवण" घोषित केली यात आश्चर्य नाही.

पायथागोरसच्या शाळेत, विद्यार्थ्यांच्या शोधांचे श्रेय शिक्षकांना दिले गेले, म्हणून पायथागोरसने स्वतः काय केले आणि त्याच्या विद्यार्थ्यांनी काय केले हे निर्धारित करणे जवळजवळ अशक्य आहे.

तिसर्‍या सहस्राब्दीपासून पायथागोरियन युनियनच्या आसपास विवाद चालू आहेत, परंतु अद्याप कोणतेही सामान्य मत नाही. पायथागोरियन्सकडे अनेक चिन्हे आणि चिन्हे होती जी एक प्रकारची आज्ञा होती: उदाहरणार्थ, “तराजूतून पाऊल टाकू नका”, म्हणजे. न्यायाचे उल्लंघन करू नका; चाकूने आग लावू नका, ”म्हणजे, संतप्त लोकांना आक्षेपार्ह शब्दांनी दुखवू नका.

परंतु मुख्य पायथागोरियन चिन्ह - आरोग्याचे प्रतीक आणि ओळख चिन्ह - एक पेंटाग्राम किंवा पायथागोरियन तारा होता - नियमित पंचकोनच्या कर्णांनी बनलेला एक तारा पंचकोन.

पायथागोरियन युनियनचे सदस्य ग्रीसमधील अनेक शहरांचे रहिवासी होते.

http://www.allbest.ru/ येथे होस्ट केलेले

http://www.allbest.ru/ येथे होस्ट केलेले

पायथागोरियन लोकांनीही स्त्रियांना त्यांच्या समाजात स्वीकारले. युनियनची वीस वर्षांहून अधिक काळ भरभराट झाली आणि त्यानंतर त्याच्या सदस्यांचा छळ सुरू झाला, अनेक विद्यार्थी मारले गेले.

खुद्द पायथागोरसच्या मृत्यूबद्दल अनेक अफवा पसरल्या होत्या. विविध दंतकथा. पण पायथागोरस आणि त्याच्या शिष्यांची शिकवण कायम राहिली.

3. पासूनकथाप्रमेयेपायथागोरस

हे प्रमेय पायथागोरसने शोधले नव्हते हे सध्या ज्ञात आहे. तथापि, काहींचा असा विश्वास आहे की पायथागोरसनेच प्रथम त्याचा पूर्ण पुरावा दिला, तर इतरांनी त्याला ही योग्यता नाकारली. युक्लिडने त्याच्या एलिमेंट्सच्या पहिल्या पुस्तकात दिलेल्या पुराव्याचे श्रेय काही जण पायथागोरसला देतात. दुसरीकडे, प्रोक्लस दावा करतो की एलिमेंट्समधील पुरावा स्वतः युक्लिडमुळे आहे.

जसे आपण पाहू शकतो, गणिताच्या इतिहासात पायथागोरसच्या जीवनावर आणि त्याच्या गणितीय क्रियाकलापांबद्दल जवळजवळ कोणतीही विश्वसनीय ठोस डेटा नाही. परंतु आख्यायिका अगदी तात्काळ परिस्थिती देखील सांगते जी प्रमेयाच्या शोधासह होती. बर्‍याच लोकांना जर्मन कादंबरीकार चामिसो यांचे सॉनेट माहित आहे:

सत्य शाश्वत राहील, किती लवकर

अशक्त माणसाला ते कळेल!

आणि आता पायथागोरियन प्रमेय

वेर्ना, त्याच्या दूरच्या वयाप्रमाणे.

यज्ञ भरपूर होता.

पायथागोरस पासून देव. शंभर बैल

तो कत्तल आणि जाळणे दिले

प्रकाशाच्या मागे ढगांमधून आलेला एक किरण आहे.

म्हणून, तेव्हापासून

जगात थोडं सत्य जन्माला येतं,

बैल गर्जना करत आहेत, तिला ओळखत आहेत,

ते प्रकाश थांबवू शकत नाहीत

आणि ते फक्त डोळे बंद करून थरथर कापू शकतात

पायथागोरसने त्यांच्यात निर्माण केलेल्या भीतीतून.

पायथागोरियन प्रमेयाचे ऐतिहासिक विहंगावलोकन सुरू करू या प्राचीनचीन.येथे विशेष लक्षचु-पेईच्या गणिताच्या पुस्तकाने आकर्षित केले. हा निबंध 3, 4 आणि 5 बाजू असलेल्या पायथागोरियन त्रिकोणाबद्दल सांगतो:

« जर एसरळकोपराकुजणेवरसंमिश्रभागनंतरओळकनेक्ट करत आहेसंपतोत्याचाबाजू,असेल5, कधीपायातेथे आहे3, aउंची4 » .

त्यांच्या बांधकाम पद्धतीचे पुनरुत्पादन करणे खूप सोपे आहे. 12 मीटर लांबीची दोरी घ्या आणि त्यास 3 मीटर अंतरावर रंगीत पट्टीने बांधा. एका टोकापासून आणि दुसऱ्यापासून 4 मीटर अंतरावर.

3 आणि 4 मीटर लांबीच्या बाजूंमध्ये काटकोन बंद केला जाईल. त्याच पुस्तकात, एक रेखाचित्र प्रस्तावित आहे जे बशराच्या हिंदू भूमितीच्या रेखाचित्रांपैकी एकाशी जुळते.

कॅंटर(गणिताचा सर्वात मोठा जर्मन इतिहासकार) असा विश्वास ठेवतो की समानता 3І + 4І = 5І इजिप्शियन लोकांना 2300 BC च्या आसपास, राजा अमेनेमहत I च्या काळात (बर्लिन संग्रहालयाच्या पॅपिरस 6619 नुसार) आधीच ज्ञात होती.

कॅंटरच्या मते, हार्पेडोनॅप्ट्स किंवा "स्ट्रिंगर्स", 3, 4 आणि 5 बाजू असलेल्या काटकोन त्रिकोणांचा वापर करून काटकोन तयार करतात.

पायथागोरियन प्रमेयाबद्दल बॅबिलोनियन लोकांना काही अधिक माहिती होती. हममुराबीच्या काळापासूनच्या एका मजकुरात, म्हणजे. 2000 BC पर्यंत, काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाची अंदाजे गणना दिली जाते; यावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की मेसोपोटेमियामध्ये ते काटकोन त्रिकोणांसह गणना करण्यास सक्षम होते, किमान काही प्रकरणांमध्ये.

भूमितीयेथेहिंदूपंथाशी जवळचा संबंध होता. हे अत्यंत संभाव्य आहे की कर्ण स्क्वेअर प्रमेय भारतात 8 व्या शतकाच्या आसपास आधीच ज्ञात होते. निव्वळ विधी प्रिस्क्रिप्शनसह, भौमितिकदृष्ट्या धर्मशास्त्रीय स्वरूपाची कामे आहेत, ज्यांना सुलवासूत्र म्हणतात. 4थ्या किंवा 5व्या शतकापूर्वीच्या या लेखनात, आम्ही 15, 36, 39 बाजू असलेल्या त्रिकोणाचा वापर करून काटकोनाच्या बांधकामासह भेटतो.

एटीमध्यमशतकपायथागोरियन प्रमेयाने मर्यादा परिभाषित केली आहे, जर शक्य नसेल तर किमान चांगले गणितीय ज्ञान. पायथागोरियन प्रमेयचे वैशिष्ट्यपूर्ण रेखाचित्र, जे आता कधीकधी शाळकरी मुलांद्वारे बदलले जाते, उदाहरणार्थ, झगा घातलेला प्राध्यापक किंवा शीर्ष टोपी घातलेला माणूस, त्या दिवसात गणिताचे प्रतीक म्हणून वापरले जात असे.

शेवटी, आम्ही ग्रीक, लॅटिन आणि जर्मनमधून अनुवादित पायथागोरियन प्रमेयची विविध सूत्रे सादर करतो.

येथेयुक्लिडहे प्रमेय वाचते (शाब्दिक भाषांतर):

एटीआयताकृतीत्रिकोणचौरसहात,ताणलेलेवरथेटकोपरा,समानचौरसवरबाजू,समारोपसरळकोपरा.

अरबी मजकुराचे लॅटिन भाषांतर अन्नारितिया(c. 900 BC) गेरहार्ड द्वारे क्रेमोनीज(12वे शतक) वाचतो (अनुवादात):

"मध्येकोणतेहीआयताकृतीत्रिकोणचौरस,शिक्षितवरबाजूताणलेलेवरथेटकोपरा,समानबेरीजदोनचौरस,शिक्षितवरदोनबाजू,समारोपसरळकोपरा"

भूमिती कल्मोनेन्सिस (सुमारे 1400) मध्ये, प्रमेय असे वाचतो (अनुवादात): « तर,चौरसचौरस,मोजमापवरलांबबाजूत्यामुळेत्याचछान,कसेयेथेदोनचौरस,जेमोजमापवरदोनपक्षत्याचा,शेजारीलकरण्यासाठीथेटकोपरा»

युक्लिडियन "बिगिनिंग्स" च्या रशियन भाषांतरात, पायथागोरियन प्रमेय खालीलप्रमाणे सांगितले आहे: "एटीआयताकृतीत्रिकोणचौरसपासूनहात,विरुद्धथेटकोपरा,समानबेरीजचौरसपासूनबाजू,समाविष्टीतसरळकोपरा".

जसे आपण पाहतो, मध्ये विविध देशआणि विविध भाषापरिचित प्रमेय तयार करण्याच्या विविध आवृत्त्या आहेत. वेगवेगळ्या वेळी आणि वेगवेगळ्या भाषांमध्ये तयार केलेले, ते एका गणिती पॅटर्नचे सार प्रतिबिंबित करतात, ज्याचा पुरावा देखील अनेक पर्याय आहेत.

पायथागोरस गणित प्रमेय पुरावा

4. सहामार्गचा पुरावाप्रमेयेपायथागोरस

4.1 प्राचीन चीनीपुरावा

प्राचीन चिनी चित्रात, पायांसह चार समान काटकोन त्रिकोण आहेत a, bआणि कर्ण सहस्टॅक केलेले आहे जेणेकरून त्यांचा बाह्य समोच्च बाजूने एक चौरस बनवेल a+ b, आणि आतील बाजू एक चौरस आहे सहकर्ण वर बांधलेले

a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab

4.2 पुरावाजे.गार्डफील्ड(1882 जी.)

आपण दोन समान काटकोन त्रिकोणांची मांडणी करू या जेणेकरून त्यापैकी एकाचा पाय दुसऱ्याचा चालू राहील.

विचाराधीन ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ पाया आणि उंचीच्या अर्ध्या बेरीजचे गुणाकार म्हणून आढळते.

दुसरीकडे, ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ प्राप्त केलेल्या त्रिकोणांच्या क्षेत्रांच्या बेरजेइतके आहे:

या अभिव्यक्तींचे समीकरण करून, आम्हाला मिळते:

किंवा c 2 = a 2 + b 2

4.3 सर्वात जुनीपुरावा(समाविष्ट आहेमध्येएकपासूनकार्य करतेभास्कर).

ABCD हा एक चौकोन असू द्या ज्याची बाजू काटकोन त्रिकोणाच्या कर्ण ABE (AB = c, BE = a, AE = b);

CK BE = a, DL CK, AM DL

DABE = ?BCK = ?CDL = ?AMD,

त्यामुळे KL = LM = ME = EK = a-b.

4.4 पुरावाप्रोटोझोआ

समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाच्या सर्वात सोप्या प्रकरणात हा पुरावा मिळतो.

त्याच्यापासून प्रमेयाची सुरुवात झाली असण्याची शक्यता आहे.

खरंच, प्रमेय खरा आहे हे पाहण्यासाठी समद्विभुज काटकोन त्रिकोणांचे टाइलिंग पाहणे पुरेसे आहे.

उदाहरणार्थ, ABC त्रिकोणासाठी: कर्ण AC वर बांधलेल्या चौकोनात 4 आरंभिक त्रिकोण असतात आणि पायांवर बांधलेल्या चौकोनात दोन असतात. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

4.5 पुरावाप्राचीनहिंदू[ 2]

बाजू (a + b) असलेला चौरस, आकृती a) किंवा आकृती b प्रमाणे भागांमध्ये विभागला जाऊ शकतो. हे स्पष्ट आहे की भाग 1, 2, 3, 4 दोन्ही आकृत्यांमध्ये समान आहेत. आणि जर बरोबरी (क्षेत्रे) मधून समान वजा केले तर समान राहतील, म्हणजे. सह 2 = a 2 + b 2 .

अ) ब)

तथापि,प्राचीनभारतीय,जेसंबंधित आहेहे आहेतर्क,सहसानाहीरेकॉर्ड केलेत्याचा,aसोबतफक्तएकशब्दात:दिसत!

4.6 पुरावायुक्लिड

दोन सहस्राब्दीसाठी, सर्वात सामान्य म्हणजे पायथागोरियन प्रमेयचा पुरावा होता, ज्याचा शोध युक्लिडने लावला होता. हे त्यांच्या प्रसिद्ध पुस्तक "बिगिनिंग्ज" मध्ये ठेवले आहे.

युक्लिडने काटकोनाच्या शिरोबिंदूपासून कर्णापर्यंत उंची BH कमी केली आणि सिद्ध केले की त्याचा विस्तार कर्णावर पूर्ण झालेल्या चौरसाला दोन आयतांमध्ये विभागतो, ज्याचे क्षेत्रफळ पायांवर बांधलेल्या संबंधित चौरसांच्या क्षेत्राएवढे आहेत.

या प्रमेयाच्या पुराव्यासाठी वापरलेले रेखाचित्र विनोदाने "पायथागोरियन पॅंट" असे म्हणतात. बर्याच काळापासून ते गणितीय विज्ञानाच्या प्रतीकांपैकी एक मानले गेले.

मध्ययुगातील विद्यार्थ्यांनी पायथागोरियन प्रमेयाचा पुरावा अत्यंत कठीण मानला आणि त्याला डॉन्स एसिनोरम - गाढवाचा पूल किंवा एलेफुगा - "दुष्ट" चे उड्डाण म्हटले, कारण गंभीर गणिताचे प्रशिक्षण न घेतलेले काही "दुष्ट" विद्यार्थी येथून पळून गेले. भूमिती कमकुवत विद्यार्थी ज्यांनी समजून घेतल्याशिवाय प्रमेये लक्षात ठेवली, आणि म्हणून त्यांना "गाढव" म्हटले जाते, ते पायथागोरियन प्रमेयवर मात करू शकले नाहीत, जे त्यांच्यासाठी दुर्गम पुलासारखे काम करत होते. पायथागोरियन प्रमेयासोबत असलेल्या रेखाचित्रांमुळे, विद्यार्थ्यांनी याला "पवनचक्की" देखील म्हटले, "पायथागोरियन पॅंट सर्व बाजूंनी समान आहेत" सारख्या कविता रचल्या आणि व्यंगचित्रे काढली.

5. अर्जप्रमेयेपायथागोरस

5.1 कार्येसैद्धांतिकआधुनिक

1. समभुज चौकोनाची परिमिती 68 सेमी आहे आणि त्याचा एक कर्ण 30 सेमी आहे. समभुज चौकोनाच्या दुसऱ्या कर्णाची लांबी शोधा.

काटकोन त्रिकोण KMR चे कर्ण KR सेमी आहे, आणि पाय MP 4 सेमी आहे. मध्य PC शोधा.

चौकोन काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंनी बांधले जातात आणि

S 1 -S 2 \u003d 112 सेमी 2, आणि S 3 \u003d 400 सेमी 2. त्रिकोणाची परिमिती शोधा.

त्रिकोण ABC दिलेला आहे, कोन C \u003d 90 0, CD AB, AC \u003d 15 सेमी, AD \u003d 9 सेमी.

AB शोधा.

5.2 कार्येव्यावहारिकविंटेज

मास्ट निश्चित करण्यासाठी, आपल्याला 4 केबल्स स्थापित करणे आवश्यक आहे. प्रत्येक दोरीचे एक टोक 12 मीटर उंचीवर, दुसरे मास्टपासून 5 मीटर अंतरावर जमिनीवर निश्चित केले पाहिजे. मास्ट सुरक्षित करण्यासाठी 50 मीटर दोरी पुरेशी आहे का?

एक कार्यभारतीयगणितबारावीशतकभास्कर

नदीच्या काठावर एकटा चिनार वाढला

अचानक वाऱ्याच्या सोंडाने त्याचे खोड तोडले.

बिचारा चिनार पडला आहे. आणि एक काटकोन

नदीच्या प्रवाहाबरोबर तिची खोड होती.

आता लक्षात ठेवा की त्या ठिकाणी एक नदी आहे

ते फक्त चार फूट रुंद होते.

वरचा भाग नदीच्या काठावर टेकला होता.

खोडापासून फक्त तीन फूट बाकी

मी तुम्हाला विनवणी करतो, आता मला लवकर सांगा:

चिनार झाड किती उंच आहे?"

एक कार्यपासूनपाठ्यपुस्तक"अंकगणित"लिओन्टीमॅग्निटस्की

“जर एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीने भिंतीला शिडी बंद केली तर त्या उंचीच्या भिंती 117 फूट आहेत आणि तुम्ही 125 फूट लांबीची शिडी कापाल.

आणि त्याला हे जाणून घ्यायचे आहे की भिंतीपासून खालच्या टोकाला किती पायऱ्या पेरल्या पाहिजेत.

एक कार्यपासूनचिनी"गणितज्ञमध्येनऊपुस्तके"

“1 झांग = 10 ची बाजू असलेला एक जलाशय आहे. त्याच्या मध्यभागी रीड्स वाढतात, जे पाण्याच्या वर 1 ची पसरतात. जर तुम्ही रीडला किनाऱ्याकडे खेचले तर ते त्याला स्पर्श करेल.

प्रश्न असा आहे: पाण्याची खोली किती आहे आणि रीड्सची लांबी किती आहे?

निष्कर्ष

पायथागोरियन प्रमेय इतका प्रसिद्ध आहे की ज्याने त्याबद्दल ऐकले नाही अशा व्यक्तीची कल्पना करणे कठीण आहे. आम्ही इंटरनेटवरील माहितीसह अनेक ऐतिहासिक आणि गणितीय स्त्रोतांचा अभ्यास केला आणि पाहिले की पायथागोरियन प्रमेय केवळ त्याच्या इतिहासासाठीच नाही तर जीवनात आणि विज्ञानात महत्त्वाचे स्थान व्यापलेले आहे. या प्रमेयाच्या मजकुराच्या विविध व्याख्येने या पेपरमध्ये आणि त्याच्या पुराव्याच्या पद्धतींद्वारे याचा पुरावा मिळतो.

तर, पायथागोरियन प्रमेय हे एक मुख्य आणि, कोणी म्हणू शकेल, भूमितीचे सर्वात महत्वाचे प्रमेय आहे. भूमितीची बहुतेक प्रमेये त्यातून किंवा त्याच्या मदतीने काढता येतात या वस्तुस्थितीत त्याचे महत्त्व आहे. पायथागोरियन प्रमेय देखील उल्लेखनीय आहे कारण ते स्वतःच स्पष्ट नाही. उदाहरणार्थ, समद्विभुज त्रिकोणाचे गुणधर्म थेट रेखांकनावर पाहिले जाऊ शकतात. परंतु तुम्ही काटकोन त्रिकोणाकडे कसे पहाल हे महत्त्वाचे नाही, त्याच्या बाजूंमध्ये एक साधे गुणोत्तर आहे हे तुम्हाला कधीही दिसणार नाही: c 2 \u003d a 2 + b 2. म्हणून, ते सिद्ध करण्यासाठी व्हिज्युअलायझेशनचा वापर केला जातो.

पायथागोरसची योग्यता अशी होती की त्याने या प्रमेयाचा पूर्ण वैज्ञानिक पुरावा दिला.

स्वत: शास्त्रज्ञाचे व्यक्तिमत्व, ज्याची स्मृती चुकून या प्रमेयाने जतन केलेली नाही, मनोरंजक आहे. पायथागोरस एक अद्भुत वक्ता, शिक्षक आणि शिक्षक आहे, त्याच्या शाळेचा संयोजक आहे, संगीत आणि संख्या, चांगुलपणा आणि न्याय, ज्ञान आणि सुसंवाद यावर लक्ष केंद्रित करतो. आरोग्यपूर्ण जीवनशैलीजीवन तो आपल्यासाठी, दूरच्या वंशजांसाठी एक उदाहरण म्हणून काम करू शकतो.

साहित्यआणिआणिइंटरनेट संसाधने:

G.I. शाळेतील इयत्ता VII-VIII मध्ये गणिताचा ग्लेझर इतिहास, शिक्षकांसाठी मार्गदर्शक, - M: Enlightenment 1982.

मी आणि. डेम्पन, N.Ya. विलेनकिन "गणिताच्या पाठ्यपुस्तकाच्या पृष्ठांच्या मागे" इयत्ता 5-6 मधील विद्यार्थ्यांसाठी मॅन्युअल, मॉस्को, शिक्षण, 1989.

आय.जी. झेंकेविच "गणिताच्या धड्याचे सौंदर्यशास्त्र", एम.: शिक्षण 1981.

व्होइटिकोवा एन.व्ही. "पायथागोरियन प्रमेय" कोर्स काम, अंझेरो-सुडझेन्स्क, 1999

डब्ल्यू. लिट्झमन. पायथागोरियन प्रमेय, एम. 1960.

ए.व्ही. वोलोशिनोव्ह "पायथागोरस" एम. 1993.

एल.एफ. पिचुरिन "बिहाइंड द पेजेस ऑफ द टेक्स्टबुक ऑफ बीजगणित" एम. 1990.

ए.एन. Zemlyakov "ग्रेड 10 मध्ये भूमिती" एम. 1986.

व्ही.व्ही. अफानासिव्ह "गणितीय समस्या सोडवण्याच्या प्रक्रियेत विद्यार्थ्यांच्या सर्जनशील क्रियाकलापांची निर्मिती" यारोस्लाव्हल 1996.

पी.आय. अल्टीनोव्ह "चाचण्या. भूमिती 7-9 पेशी. M. 1998.

वृत्तपत्र "गणित" 17/1996.

वृत्तपत्र "गणित" 3/1997.

एन.पी. अँटोनोव्ह, एम.या. व्यागोडस्की, व्ही.व्ही. निकितिन, ए.आय. सॅंकिन "प्राथमिक गणितातील समस्यांचा संग्रह". M. 1963.

जी.व्ही. डोरोफीव, एम.के. पोटापोव्ह, एन.ख. रोझोव्ह "गणित मॅन्युअल". M. 1973

A.I. श्चेत्निकोव्ह पायथागोरियन संख्या आणि परिमाणाचा सिद्धांत. नोवोसिबिर्स्क 1997.

"वास्तविक संख्या. अतार्किक अभिव्यक्ती» ग्रेड 8. टॉम्स्क युनिव्हर्सिटी प्रेस. टॉम्स्क - 1997.

एम.एस. Atanasyan "भूमिती" ग्रेड 7-9. एम: एनलाइटनमेंट, 1991

Allbest.ru वर होस्ट केलेले

तत्सम दस्तऐवज

प्रमेय निर्मितीचा इतिहास. संक्षिप्त अभ्यासक्रम जीवनसमोसच्या पायथागोरसच्या जीवनातून. प्रमेयाची मूलभूत विधाने. युक्लिड, हॉकिन्सचा पुरावा. द्वारे पुरावा: समान त्रिकोण, समतुल्य. प्रमेयाचा व्यावहारिक उपयोग.

सादरीकरण, 10/21/2011 जोडले


महान गणितज्ञांची लोकप्रियता आणि चरित्र, पायथागोरियन प्रमेयचे रहस्य "पायांच्या चौरसांच्या बेरजेपर्यंत काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाच्या वर्गाच्या समानतेवर", प्रमेयाचा इतिहास. पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याचे विविध मार्ग, त्याच्या अनुप्रयोगाचे क्षेत्र.

सादरीकरण, 02/28/2012 जोडले


पायथागोरसच्या जीवनाचे संक्षिप्त चरित्र रेखाटन. पायथागोरियन प्रमेय दिसण्याचा इतिहास, जगात त्याचे पुढील वितरण. विविध पद्धती वापरून प्रमेयाचे विधान आणि पुरावा. गणनेसाठी पायथागोरियन प्रमेय लागू करण्याची शक्यता.

सादरीकरण, 11/17/2011 जोडले


प्राचीन ग्रीक तत्वज्ञानी आणि गणितज्ञ पायथागोरस यांच्या चरित्राची पृष्ठे. पायथागोरियन प्रमेय: मूलभूत फॉर्म्युलेशन आणि पुराव्याच्या पद्धती. व्यस्त पायथागोरियन प्रमेय. पायथागोरियन प्रमेय लागू करण्यासाठी कार्यांची उदाहरणे. "पायथागोरस पॅंट" आणि "ट्रोइका", "पायथागोरसचे झाड".

वैज्ञानिक कार्य, 03/29/2011 जोडले


भूमिती, भूगोल, खगोलशास्त्र, संगीत आणि अंकशास्त्र या क्षेत्रातील पायथागोरसचे मुख्य शोध. प्रसिद्ध प्रमेयाची मूळ आणि बीजगणितीय सूत्रे. पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याच्या अनेक मार्गांपैकी एक, त्याचे मुख्य परिणाम आणि अनुप्रयोग.

सादरीकरण, जोडले 12/05/2010


जीवन मार्गपायथागोरस, त्याचा प्रवास आणि रहस्यमय मृत्यू. पायथागोरसचे अंकगणित, भूमिती, संगीत आणि खगोलशास्त्रातील गुण. पायथागोरियन प्रमेयची प्राचीन आणि आधुनिक सूत्रे. त्रिकोणमितीय पुरावा आणि या प्रमेयाचे काही उपयोग.

सादरीकरण, 12/13/2011 जोडले


पायथागोरियन प्रमेय, फर्मॅट आणि बिएलच्या गृहीतकाच्या पुराव्याची अंमलबजावणी पॅरामेट्रिक समीकरणांच्या पद्धतीसह चलांच्या बदलाच्या पद्धतीसह. बिएलच्या गृहीतकाच्या समीकरणाची विशिष्ट आवृत्ती म्हणून फर्मॅटच्या प्रमेयाचे समीकरण आणि फर्मॅटच्या प्रमेयाचे समीकरण - पायथागोरियन प्रमेय.

सर्जनशील कार्य, 05/20/2009 जोडले


तत्त्वज्ञ आणि गणितज्ञ पायथागोरसचा जीवन मार्ग. त्याचे प्रमेय सिद्ध करण्याचे विविध मार्ग काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंमधील संबंध स्थापित करतात (क्षेत्र पद्धत). काटकोन त्रिकोणाचे चिन्ह म्हणून व्यस्त प्रमेय वापरणे.

सादरीकरण, 04/04/2019 जोडले


पायथागोरसचा ज्ञानाचा मार्ग, त्याच्या शिकवणीचे स्त्रोत आणि वैज्ञानिक क्रियाकलाप. पायथागोरियन प्रमेयाचे सूत्रीकरण, समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाचे उदाहरण वापरून त्याचा सर्वात सोपा पुरावा. भौमितिक समस्या सोडवण्यासाठी अभ्यासाधीन प्रमेयाचा वापर.

सादरीकरण, 12/18/2012 जोडले


पायथागोरियन प्रमेयचे भौमितिक आणि बीजगणितीय सूत्रीकरण. त्याचे असंख्य पुरावे: समान त्रिकोणाद्वारे, क्षेत्र पद्धतीद्वारे, समान पूरकतेद्वारे, भिन्न समीकरणांच्या मदतीने. युक्लिड आणि लिओनार्डो दा विंची यांचे पुरावे.