या धड्यात, आपण वेक्टरसह आणखी दोन ऑपरेशन्स पाहू: वेक्टरचे क्रॉस उत्पादनआणि वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन (ज्यांना त्याची गरज आहे त्यांच्यासाठी त्वरित दुवा). हे ठीक आहे, कधीकधी असे घडते की पूर्ण आनंदासाठी, व्यतिरिक्त वेक्टरचे डॉट उत्पादन, अधिक आणि अधिक आवश्यक आहे. असे वेक्टर व्यसन आहे. आपण विश्लेषणात्मक भूमितीच्या जंगलात उतरत आहोत असा आभास होऊ शकतो. हे खरे नाही. उच्च गणिताच्या या विभागात, पिनोचिओसाठी पुरेसा वगळता साधारणपणे थोडे सरपण असते. खरं तर, सामग्री खूप सामान्य आणि सोपी आहे - समान पेक्षा फार कठीण आहे स्केलर उत्पादन, अगदी कमी ठराविक कार्ये असतील. विश्लेषणात्मक भूमितीतील मुख्य गोष्ट, जसे की अनेकांनी पाहिले असेल किंवा आधीच पाहिले असेल, गणना चुकणे नाही. शब्दलेखनाप्रमाणे पुनरावृत्ती करा आणि तुम्ही आनंदी व्हाल =)

क्षितिजावर वीज पडल्याप्रमाणे दूर कुठेतरी वेक्टर चमकत असतील तर काही फरक पडत नाही, धड्यापासून सुरुवात करा डमीसाठी वेक्टरपुनर्संचयित करण्यासाठी किंवा वेक्टरबद्दल मूलभूत ज्ञान पुन्हा प्राप्त करण्यासाठी. अधिक तयार वाचक निवडकपणे माहितीशी परिचित होऊ शकतात, मी बहुतेकदा आढळलेल्या उदाहरणांचा सर्वात संपूर्ण संग्रह गोळा करण्याचा प्रयत्न केला. व्यावहारिक काम

तुम्हाला काय आनंद होईल? जेव्हा मी लहान होतो तेव्हा मला दोन आणि तीन चेंडूही खेळता येत होते. ते चांगले चालले. आता अजिबात भांडण करण्याची गरज नाही, कारण आपण विचार करू फक्त स्पेस वेक्टर, आणि दोन निर्देशांक असलेले सपाट वेक्टर सोडले जातील. का? अशाप्रकारे या क्रियांचा जन्म झाला - सदिशांचे वेक्टर आणि मिश्रित उत्पादन परिभाषित केले जातात आणि त्रिमितीय जागेत कार्य करतात. आधीच सोपे!

या ऑपरेशनमध्ये, स्केलर उत्पादनाप्रमाणेच, दोन वेक्टर. ते अविनाशी अक्षर असू दे.

कृती स्वतःच दर्शविलेखालील प्रकारे: . इतर पर्याय आहेत, परंतु मला अशा प्रकारे व्हेक्टरचे क्रॉस उत्पादन, क्रॉससह चौरस कंसात नियुक्त करण्याची सवय आहे.

आणि लगेच प्रश्न: जर मध्ये वेक्टरचे डॉट उत्पादनदोन सदिश गुंतलेले आहेत, आणि येथे दोन सदिशांचा देखील गुणाकार केला जातो काय फरक आहे? एक स्पष्ट फरक, सर्व प्रथम, निकालात:

सदिशांच्या स्केलर उत्पादनाचा परिणाम NUMBER आहे:

सदिशांच्या क्रॉस उत्पादनाचा परिणाम म्हणजे वेक्टर: , म्हणजे, आपण सदिश गुणाकार करतो आणि पुन्हा सदिश मिळवतो. बंद क्लब. वास्तविक, म्हणून ऑपरेशनचे नाव. विविध शैक्षणिक साहित्यात, पदनाम देखील भिन्न असू शकतात, मी पत्र वापरेन.

क्रॉस उत्पादनाची व्याख्या

प्रथम चित्रासह व्याख्या असेल, नंतर टिप्पण्या.

व्याख्या: क्रॉस उत्पादन नॉन-कॉलिनियरवेक्टर, आत घेतले ऑर्डर दिली , याला वेक्टर म्हणतात, लांबीजे संख्यात्मक आहे समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाइतका, या वेक्टरवर बांधलेले; वेक्टर ऑर्थोगोनल ते वेक्टर, आणि निर्देशित केले आहे जेणेकरून आधाराला योग्य अभिमुखता असेल:

आम्ही हाडांद्वारे व्याख्येचे विश्लेषण करतो, बर्याच मनोरंजक गोष्टी आहेत!

तर, आम्ही खालील महत्त्वपूर्ण मुद्दे हायलाइट करू शकतो:

1) सोर्स वेक्टर , लाल बाणांनी दर्शविलेले, व्याख्येनुसार समरेख नाही. समरेख वेक्टर्सच्या बाबतीत थोड्या वेळाने विचार करणे योग्य होईल.

२) वेक्टर घेतले कठोर क्रमाने: – "a" ला "be" ने गुणले जाते, "be" ते "a" नाही. वेक्टर गुणाकाराचा परिणाम VECTOR आहे, जो निळ्या रंगात दर्शविला जातो. जर सदिशांनी गुणाकार केला असेल उलट क्रमात, नंतर आपल्याला लांबीच्या समान आणि विरुद्ध दिशेने (किरमिजी रंगाचा) वेक्टर मिळेल. म्हणजेच समानता .

3) आता सदिश उत्पादनाच्या भौमितिक अर्थाची ओळख करून घेऊ. हा एक अतिशय महत्त्वाचा मुद्दा आहे! निळ्या वेक्टरची LENGTH (आणि म्हणून, किरमिजी वेक्टर ) ही व्हेक्टरवर बांधलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या संख्यात्मकदृष्ट्या समान असते. आकृतीमध्ये, हा समांतरभुज चौकोन काळ्या रंगात छायांकित आहे.

नोंद : रेखाचित्र योजनाबद्ध आहे, आणि अर्थातच, क्रॉस उत्पादनाची नाममात्र लांबी समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीची नाही.

आम्हाला भौमितिक सूत्रांपैकी एक आठवतो: समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ समीप बाजूंच्या गुणाकार आणि त्यांच्यामधील कोनाच्या साइनच्या समान असते. म्हणून, पूर्वगामीच्या आधारावर, सदिश उत्पादनाची LENGTH मोजण्याचे सूत्र वैध आहे:

मी यावर जोर देतो की सूत्रामध्ये आपण वेक्टरच्या लांबीबद्दल बोलत आहोत, वेक्टरबद्दल नाही. व्यावहारिक अर्थ काय आहे? आणि अर्थ असा आहे की विश्लेषणात्मक भूमितीच्या समस्यांमध्ये, समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ सहसा सदिश उत्पादनाच्या संकल्पनेद्वारे आढळते:

आम्हाला दुसरे महत्त्वाचे सूत्र मिळते. समांतरभुज चौकोनाचा कर्ण (लाल ठिपके असलेली रेषा) त्याला दोन समान त्रिकोणांमध्ये विभागतो. म्हणून, वेक्टर (लाल शेडिंग) वर बांधलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ सूत्राद्वारे शोधले जाऊ शकते:

4) पेक्षा कमी नाही महत्वाचे तथ्यअसे आहे की वेक्टर व्हेक्टरसाठी ऑर्थोगोनल आहे, म्हणजे, . अर्थात, विरुद्ध दिग्दर्शित वेक्टर (किरमिजी रंगाचा बाण) देखील मूळ वेक्टरच्या ऑर्थोगोनल आहे.

5) वेक्टर निर्देशित केले आहे जेणेकरून आधारत्यात आहे बरोबरअभिमुखता बद्दलच्या धड्यात नवीन आधारावर संक्रमणमी सविस्तर बोललो आहे विमान अभिमुखता, आणि आता आपण जागेचे अभिमुखता काय आहे ते शोधू. मी तुमच्या बोटांवर स्पष्टीकरण देईन उजवा हात . मानसिकरित्या एकत्र करा तर्जनी वेक्टर आणि सह मधले बोटवेक्टर सह. अनामिकाआणि करंगळीआपल्या तळहातावर दाबा. परिणामी अंगठा- वेक्टर उत्पादन वर दिसेल. हा उजवा-देणारं आधार आहे (तो आकृतीमध्ये आहे). आता वेक्टर स्वॅप करा ( निर्देशांक आणि मधली बोटं ) काही ठिकाणी, परिणामी, अंगठा फिरेल, आणि वेक्टर उत्पादन आधीच खाली दिसेल. हा देखील एक उजवा-उन्मुख आधार आहे. कदाचित तुम्हाला प्रश्न पडला असेल: डावीकडे अभिमुखता कोणत्या आधारावर आहे? समान बोटांनी "नियुक्त करा". डावा हातसदिश , आणि डावा आधार आणि डावीकडील जागा अभिमुखता मिळवा (या प्रकरणात, अंगठा खालच्या वेक्टरच्या दिशेने स्थित असेल). लाक्षणिकरित्या बोलायचे झाल्यास, हे तळ वेगवेगळ्या दिशांना “वळवतात” किंवा जागा देतात. आणि ही संकल्पना काहीतरी दूरगामी किंवा अमूर्त मानली जाऊ नये - उदाहरणार्थ, जागेचे अभिमुखता बदलले आहे. सामान्य आरसा, आणि जर तुम्ही "दिसणाऱ्या काचेतून परावर्तित वस्तू बाहेर खेचली", तर सर्वसाधारण बाबतीत ते "मूळ" सह एकत्र करणे शक्य होणार नाही. तसे, आरशाकडे तीन बोटे आणा आणि प्रतिबिंबाचे विश्लेषण करा ;-)

... हे किती चांगले आहे की आता तुम्हाला माहिती आहे उजवीकडे आणि डाव्या दिशेनेआधार, कारण अभिमुखता बदलण्याबद्दल काही व्याख्यात्यांची विधाने भयानक आहेत =)

समरेखीय वेक्टरचे वेक्टर उत्पादन

व्याख्या तपशीलवार तयार केली गेली आहे, जेव्हा वेक्टर समरेखित असतात तेव्हा काय होते हे शोधणे बाकी आहे. जर व्हेक्टर समरेषीय असतील तर ते एका सरळ रेषेवर ठेवता येतात आणि आपला समांतरभुज चौकोन देखील एका सरळ रेषेत “दुमडतो”. असे क्षेत्र, गणितज्ञ म्हणतात, क्षीण होणेसमांतरभुज चौकोन शून्य आहे. हेच सूत्रानुसार येते - शून्य किंवा 180 अंशांची साइन शून्य बरोबर आहे, याचा अर्थ क्षेत्र शून्य आहे

अशा प्रकारे, जर, तर . काटेकोरपणे सांगायचे तर, क्रॉस प्रोडक्ट स्वतःच शून्य वेक्टरच्या बरोबरीचे आहे, परंतु व्यवहारात याकडे दुर्लक्ष केले जाते आणि असे लिहिले जाते की ते फक्त शून्याच्या समान आहे.

एक विशेष केस म्हणजे वेक्टरचे वेक्टर उत्पादन आणि स्वतः:

क्रॉस उत्पादन वापरून, तुम्ही त्रिमितीय व्हेक्टरची समरेखता तपासू शकता आणि आम्ही इतरांबरोबरच या समस्येचे देखील विश्लेषण करू.

उपायांसाठी व्यावहारिक उदाहरणेआवश्यक असू शकते त्रिकोणमितीय सारणीत्यातून सायन्सची मूल्ये शोधण्यासाठी.

बरं, आग लावूया:

उदाहरण १

a) जर सदिशांच्या सदिश गुणाकाराची लांबी शोधा

b) जर सदिशांवर बांधलेल्या समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ शोधा

उपाय: नाही, ही टायपो नाही, मी जाणूनबुजून कंडिशन आयटममधील प्रारंभिक डेटा समान केला आहे. कारण उपायांची रचना वेगळी असेल!

अ) अटीनुसार, ते शोधणे आवश्यक आहे लांबीवेक्टर (वेक्टर उत्पादन). संबंधित सूत्रानुसार:

उत्तर द्या:

लांबीबद्दल विचारले असल्याने, उत्तरात आम्ही परिमाण - एकके दर्शवितो.

ब) अटीनुसार, ते शोधणे आवश्यक आहे चौरसवेक्टरवर बांधलेला समांतरभुज चौकोन या समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ संख्यात्मकदृष्ट्या क्रॉस उत्पादनाच्या लांबीइतके आहे:

उत्तर द्या:

कृपया लक्षात घ्या की वेक्टर उत्पादनाबद्दल उत्तरात अजिबात चर्चा नाही, आम्हाला याबद्दल विचारले गेले आकृती क्षेत्र, अनुक्रमे, परिमाण चौरस एकके आहे.

आम्ही नेहमी स्थितीनुसार काय शोधणे आवश्यक आहे ते पाहतो आणि त्यावर आधारित, आम्ही तयार करतो स्पष्टउत्तर हे शाब्दिकतेसारखे वाटू शकते, परंतु शिक्षकांमध्ये पुरेसे साहित्यिक आहेत आणि चांगल्या संधी असलेले कार्य पुनरावृत्तीसाठी परत केले जाईल. जरी हे विशेषतः ताणलेले निटपिक नसले तरी - जर उत्तर चुकीचे असेल, तर एखाद्या व्यक्तीला असे समजते की त्या व्यक्तीला साध्या गोष्टी समजत नाहीत आणि / किंवा कार्याचे सार समजले नाही. हा क्षण नेहमी नियंत्रणात ठेवावा, उच्च गणितात आणि इतर विषयातही कोणतीही समस्या सोडवावी.

"en" हे मोठे अक्षर कुठे गेले? तत्त्वानुसार, ते सोल्यूशनमध्ये अतिरिक्तपणे अडकले जाऊ शकते, परंतु रेकॉर्ड लहान करण्यासाठी, मी तसे केले नाही. मला आशा आहे की प्रत्येकाला ते समजले असेल आणि त्याच गोष्टीचे पदनाम आहे.

स्वतः करा समाधानासाठी एक लोकप्रिय उदाहरण:

उदाहरण २

जर सदिशांवर बांधलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा

वेक्टर उत्पादनाद्वारे त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्याचे सूत्र व्याख्याच्या टिप्पण्यांमध्ये दिले आहे. धड्याच्या शेवटी उपाय आणि उत्तर.

सराव मध्ये, कार्य खरोखर खूप सामान्य आहे, त्रिकोण सामान्यतः छळ केले जाऊ शकतात.

इतर समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, आम्हाला आवश्यक आहे:

वेक्टरच्या क्रॉस उत्पादनाचे गुणधर्म

आम्ही आधीच वेक्टर उत्पादनाच्या काही गुणधर्मांचा विचार केला आहे, तथापि, मी त्यांना या यादीमध्ये समाविष्ट करेन.

अनियंत्रित व्हेक्टर आणि अनियंत्रित संख्येसाठी, खालील गुणधर्म सत्य आहेत:

1) माहितीच्या इतर स्त्रोतांमध्ये, हा आयटम सामान्यतः गुणधर्मांमध्ये ओळखला जात नाही, परंतु व्यावहारिक दृष्टीने तो खूप महत्वाचा आहे. तर असू दे.

2) - मालमत्तेची देखील वर चर्चा केली आहे, कधीकधी त्याला म्हणतात विरोधी कम्युटेटिव्हिटी. दुसऱ्या शब्दांत, वेक्टरचा क्रम महत्त्वाचा आहे.

3) - संयोजन किंवा सहयोगीवेक्टर उत्पादन कायदे. स्थिरांक सहजपणे सदिश उत्पादनाच्या मर्यादेच्या बाहेर काढले जातात. खरंच, ते तिथे काय करत आहेत?

4) - वितरण किंवा वितरणवेक्टर उत्पादन कायदे. ब्रॅकेट उघडण्यात कोणतीही समस्या नाही.

प्रात्यक्षिक म्हणून, एक लहान उदाहरण विचारात घ्या:

उदाहरण ३

तर शोधा

उपाय:स्थितीनुसार, वेक्टर उत्पादनाची लांबी शोधणे पुन्हा आवश्यक आहे. चला आमचे लघुचित्र रंगवू:

(1) सहयोगी कायद्यानुसार, आम्ही सदिश उत्पादनाच्या मर्यादेपलीकडे स्थिरांक काढतो.

(२) आम्ही मॉड्यूलमधून स्थिरांक काढतो, तर मॉड्यूल वजा चिन्ह “खातो”. लांबी नकारात्मक असू शकत नाही.

(३) पुढे काय स्पष्ट आहे.

उत्तर द्या:

आगीवर लाकूड टाकण्याची वेळ आली आहे:

उदाहरण ४

जर सदिशांवर बांधलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा

उपाय: सूत्र वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा . अडचण अशी आहे की "ce" आणि "te" हे वेक्टर स्वतःच वेक्टरच्या बेरीज म्हणून दर्शविले जातात. येथे अल्गोरिदम मानक आहे आणि धड्यातील उदाहरण क्रमांक 3 आणि 4 ची काहीशी आठवण करून देणारा आहे. वेक्टरचे डॉट उत्पादन. स्पष्टतेसाठी ते तीन चरणांमध्ये विभाजित करूया:

1) पहिल्या टप्प्यावर, आपण सदिश उत्पादनाद्वारे वेक्टर उत्पादन व्यक्त करतो, खरेतर, वेक्टरला वेक्टरच्या संदर्भात व्यक्त करा. लांबीवर अजून शब्द नाही!

(1) आम्ही व्हेक्टरच्या अभिव्यक्ती बदलतो.

(२) वितरण नियमांचा वापर करून, बहुपदांच्या गुणाकाराच्या नियमानुसार कंस उघडा.

(३) सहयोगी नियमांचा वापर करून, आम्ही सदिश उत्पादनांच्या पलीकडे सर्व स्थिरांक काढतो. थोड्या अनुभवासह, क्रिया 2 आणि 3 एकाच वेळी केल्या जाऊ शकतात.

(4) पहिल्या आणि शेवटच्या संज्ञा सुखद गुणधर्मामुळे शून्य (शून्य वेक्टर) च्या समान आहेत. दुसऱ्या टर्ममध्ये, आम्ही वेक्टर उत्पादनाची अँटीकम्युटेटिव्हिटी गुणधर्म वापरतो:

(५) आम्ही समान अटी सादर करतो.

परिणामी, वेक्टर व्हेक्टरद्वारे व्यक्त केले गेले, जे साध्य करणे आवश्यक होते:

2) दुस-या टप्प्यावर, आपल्याला आवश्यक असलेल्या वेक्टर उत्पादनाची लांबी सापडते. ही क्रिया उदाहरण 3 सारखीच आहे:

3) आवश्यक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा:

सोल्यूशनच्या 2-3 पायऱ्या एका ओळीत मांडल्या जाऊ शकतात.

उत्तर द्या:

विचारात घेतलेली समस्या चाचण्यांमध्ये अगदी सामान्य आहे, येथे स्वतंत्र समाधानाचे उदाहरण आहे:

उदाहरण 5

तर शोधा

धड्याच्या शेवटी लहान उपाय आणि उत्तर. आधीच्या उदाहरणांचा अभ्यास करताना तुम्ही किती दक्ष होता ते पाहू या ;-)

कोऑर्डिनेट्समधील वेक्टरचे क्रॉस उत्पादन

, ऑर्थोनॉर्मल आधारावर दिलेले , सूत्राद्वारे व्यक्त केले जाते:

सूत्र खरोखर सोपे आहे: आम्ही निर्धारकाच्या वरच्या ओळीत समन्वय वेक्टर लिहितो, आम्ही दुसऱ्या आणि तिसऱ्या ओळीत व्हेक्टरचे निर्देशांक "पॅक" करतो आणि आम्ही ठेवतो. कठोर क्रमाने- प्रथम, वेक्टर "ve" चे निर्देशांक, नंतर वेक्टर "डबल-वे" चे निर्देशांक. जर वेक्टर वेगळ्या क्रमाने गुणाकार करणे आवश्यक असेल, तर रेषा देखील बदलल्या पाहिजेत:

उदाहरण 10

खालील स्पेस वेक्टर समरेषीय आहेत का ते तपासा:
अ)
ब)

उपाय: चाचणी या धड्यातील विधानांपैकी एका विधानावर आधारित आहे: जर सदिश समरेखीय असतील, तर त्यांचे क्रॉस उत्पादन शून्य (शून्य सदिश) असेल: .

अ) सदिश उत्पादन शोधा:

त्यामुळे सदिश समरेखीय नसतात.

b) सदिश उत्पादन शोधा:

उत्तर द्या: अ) समरेख नाही, ब)

येथे, कदाचित, वेक्टरच्या वेक्टर उत्पादनाविषयी सर्व मूलभूत माहिती आहे.

हा विभाग फार मोठा नसेल, कारण अशा काही समस्या आहेत जेथे वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन वापरले जाते. खरं तर, सर्व काही व्याख्या, भूमितीय अर्थ आणि दोन कार्यरत सूत्रांवर अवलंबून असेल.

मिश्रित उत्पादनसदिश हे तीन सदिशांचे उत्पादन आहे:

अशा प्रकारे ते ट्रेनसारखे रांगेत उभे राहिले आणि थांबले, त्यांची गणना होईपर्यंत ते थांबू शकत नाहीत.

प्रथम पुन्हा व्याख्या आणि चित्र:

व्याख्या: मिश्रित उत्पादन नॉन-कॉप्लनरवेक्टर, या क्रमाने घेतले, असे म्हणतात समांतर पाईपची मात्रा, या वेक्टरवर तयार केलेले, आधार बरोबर असल्यास "+" चिन्हासह आणि आधार सोडल्यास "-" चिन्हाने सुसज्ज आहे.

चला रेखांकन करूया. आमच्यासाठी अदृश्य रेषा एका ठिपक्या रेषेने काढल्या आहेत:

चला व्याख्या मध्ये जाऊया:

२) वेक्टर घेतले एका विशिष्ट क्रमाने, म्हणजे, उत्पादनातील वेक्टरचे क्रमपरिवर्तन, जसे आपण अंदाज लावू शकता, परिणामांशिवाय जात नाही.

३) भूमितीय अर्थावर भाष्य करण्यापूर्वी, मी स्पष्ट वस्तुस्थिती लक्षात घेईन: सदिशांचे मिश्रित उत्पादन NUMBER आहे: . शैक्षणिक साहित्यात, डिझाइन काहीसे वेगळे असू शकते, मी याद्वारे मिश्रित उत्पादन नियुक्त करायचे आणि "pe" अक्षरासह गणनाचा परिणाम.

व्याख्येनुसार मिश्रित उत्पादन म्हणजे समांतर पाईपचे आकारमान, वेक्टरवर बांधलेले (आकृती लाल वेक्टर आणि काळ्या रेषांनी काढलेली आहे). म्हणजेच, संख्या दिलेल्या समांतर पाईपच्या व्हॉल्यूमच्या समान आहे.

नोंद : रेखाचित्र योजनाबद्ध आहे.

4) आधार आणि जागेच्या अभिमुखतेच्या संकल्पनेचा पुन्हा त्रास करू नका. अंतिम भागाचा अर्थ असा आहे की व्हॉल्यूममध्ये वजा चिन्ह जोडले जाऊ शकते. सोप्या शब्दात, मिश्रित उत्पादन नकारात्मक असू शकते: .

व्हेक्टरवर बांधलेल्या समांतर पाईपच्या व्हॉल्यूमची गणना करण्यासाठीचे सूत्र थेट व्याख्येचे अनुसरण करते.

मिश्रित (किंवा वेक्टर-स्केलर) उत्पादनतीन सदिश a, b, c (या क्रमाने घेतलेल्या) व्हेक्टर a चे स्केलर गुणाकार आणि b x c सदिश गुणाकार म्हणतात, म्हणजे संख्या a(b x c), किंवा, जो समान आहे, (b x c)a.
पदनाम: abc.

नियुक्ती. ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर व्हेक्टरच्या मिश्रित उत्पादनाची गणना करण्यासाठी डिझाइन केलेले आहे. परिणामी समाधान वर्ड फाइलमध्ये जतन केले जाते. याव्यतिरिक्त, Excel मध्ये समाधान टेम्पलेट तयार केले आहे.

एक ( ; ; )
b( ; ; )
c( ; ; )
निर्धारकाची गणना करताना, त्रिकोणांचा नियम वापरा

वेक्टर कंप्लॅनरिटीची चिन्हे

तीन व्हेक्टर (किंवा अधिक) कॉप्लॅनर असे म्हणतात जर ते एका सामान्य उत्पत्तीवर कमी झाल्यावर, एकाच समतलात असतात.
जर तीन सदिशांपैकी किमान एक शून्य असेल तर तिन्ही सदिश देखील समतल गणले जातात.

समतलतेचे लक्षण. प्रणाली a, b, c बरोबर असल्यास abc>0 ; सोडल्यास, abc मिश्रित उत्पादनाचा भौमितीय अर्थ. a, b, c या तीन नॉन-कॉप्लनर व्हेक्टरचे मिश्रित उत्पादन abc हे व्हेक्टर a, b, c वर बांधलेल्या समांतर पाईपच्या आकारमानाच्या बरोबरीचे असते, जर प्रणाली a, b, c बरोबर असेल तर अधिक चिन्हासह घेतले जाते आणि ही प्रणाली सोडल्यास वजा चिन्हासह.

मिश्रित उत्पादन गुणधर्म

1. घटकांच्या गोलाकार क्रमपरिवर्तनासह, मिश्रित उत्पादन बदलत नाही, दोन घटकांच्या क्रमपरिवर्तनासह, ते त्याचे चिन्ह उलट करते: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   हे भौमितिक अर्थावरून येते.
2. (a+b)cd=acd+bcd (वितरण मालमत्ता). कितीही अटींपर्यंत वाढवते.
   हे मिश्रित उत्पादनाच्या व्याख्येवरून येते.
3. (ma)bc=m(abc) (स्केलर फॅक्टरच्या संदर्भात सहयोगी मालमत्ता).
   हे मिश्रित उत्पादनाच्या व्याख्येवरून येते. या गुणधर्मांमुळे सामान्य बीजगणितीय उत्पादनांपेक्षा भिन्न असलेल्या मिश्र उत्पादनांमध्ये परिवर्तने लागू करणे शक्य होते कारण केवळ उत्पादनाचे चिन्ह लक्षात घेऊन घटकांचा क्रम बदलला जाऊ शकतो.
4. कमीत कमी दोन समान घटक असलेले मिश्र उत्पादन शून्य असते: aab=0 .

उदाहरण #1. मिश्रित उत्पादन शोधा. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

उदाहरण # 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca . दोन टोके वगळता सर्व संज्ञा शून्याच्या समान आहेत. तसेच, bca=abc . म्हणून (a+b)(b+c)(c+a)=2abc.

उदाहरण #3. तीन सदिशांच्या मिश्र गुणाकाराची गणना करा a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
उपाय. व्हेक्टरच्या मिश्रित उत्पादनाची गणना करण्यासाठी, व्हेक्टरच्या निर्देशांकांनी बनलेल्या प्रणालीचा निर्धारक शोधणे आवश्यक आहे. आम्ही फॉर्ममध्ये सिस्टम लिहितो

द ऑनलाइन कॅल्क्युलेटरवेक्टरच्या मिश्रित उत्पादनाची गणना करते. तपशीलवार उपाय दिलेला आहे. व्हेक्टरच्या मिश्रित उत्पादनाची गणना करण्यासाठी, व्हेक्टरचे प्रतिनिधित्व करण्याची पद्धत निवडा (कोऑर्डिनेट्सद्वारे किंवा दोन बिंदूंद्वारे), सेलमधील डेटा प्रविष्ट करा आणि "गणना करा" वर क्लिक करा.

×

चेतावणी

सर्व सेल साफ करायचे?

क्लिअर बंद करा

डेटा एंट्री सूचना.संख्या पूर्ण संख्या (उदाहरणे: 487, 5, -7623, इ.), दशांश संख्या (उदा. 67., 102.54, इ.) किंवा अपूर्णांक म्हणून प्रविष्ट केल्या आहेत. अपूर्णांक a/b या फॉर्ममध्ये टाइप करणे आवश्यक आहे, जेथे a आणि b (b>0) पूर्णांक किंवा दशांश संख्या आहेत. उदाहरणे ४५/५, ६.६/७६.४, -७/६.७, इ.

वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन (सिद्धांत)

मिश्रित उत्पादनतीन व्हेक्टर ही संख्या आहे ज्यातून परिणाम होतो डॉट उत्पादनपरिणाम वेक्टर उत्पादनपहिले दोन वेक्टर ते तिसरे वेक्टर. दुसऱ्या शब्दांत, तीन वेक्टर दिले a, bआणि c, नंतर या सदिशांचे मिश्र गुण प्राप्त करण्यासाठी, प्रथम पहिले दोन सदिश आणि परिणामी सदिश [ ab] हा सदिशाने गुणाकार केलेला स्केलर आहे c.

तीन वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन a, bआणि cअसे दर्शविले: abcकिंवा तसे ( a,b,c). मग आपण लिहू शकता:

abc=([ab],c)

मिश्रित उत्पादनाचा भौमितिक अर्थ दर्शविणारे प्रमेय तयार करण्यापूर्वी, उजवे तिहेरी, डावी तिप्पट, उजवी समन्वय प्रणाली, डावी समन्वय प्रणाली (पृष्ठावरील व्याख्या 2, 2 "आणि 3) या संकल्पनांसह स्वतःला परिचित करा. वेक्टरचे क्रॉस उत्पादन ऑनलाइन).

निश्चिततेसाठी, पुढील गोष्टींमध्ये आम्ही फक्त उजव्या हाताच्या समन्वय प्रणालींचा विचार करू.

प्रमेय १. वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन ([ab],c) सामान्य उत्पत्तीपर्यंत कमी केलेल्या सदिशांवर बांधलेल्या समांतर आकारमानाच्या समान आहे a, b, c, तिप्पट असल्यास अधिक चिन्हासह घेतले a, b, cउजवीकडे, आणि तिहेरी असल्यास वजा चिन्हासह a, b, cबाकी जर वेक्टर a, b, cसमतल आहेत, नंतर ([ ab],c) शून्य आहे.

परिणाम 1. खालील समानता आहे:

म्हणून, हे सिद्ध करण्यासाठी आम्हाला पुरेसे आहे

([ab],c)=([बीसी],a)

(3)

हे अभिव्यक्ती (3) वरून पाहिले जाऊ शकते की डावे आणि उजवे भाग समांतर आकारमानाच्या समान आहेत. परंतु उजव्या आणि डाव्या बाजूची चिन्हे देखील जुळतात, कारण वेक्टरचे तिप्पट abcआणि बीसीएसमान अभिमुखता आहे.

सिद्ध केलेली समानता (1) आपल्याला तीन सदिशांचे मिश्रित गुणाकार लिहू देते a, b, cफक्त फॉर्ममध्ये abc, कोणते दोन सदिश पहिल्या दोन किंवा शेवटच्या दोनने वेक्टोरिअली गुणाकार केले जातात हे निर्दिष्ट न करता.

परिणाम 2. तीन वेक्टर्स कॉप्लॅनर होण्यासाठी आवश्यक आणि पुरेशी अट म्हणजे त्यांचे मिश्रित उत्पादन नाहीसे होते.

प्रमेय 1 वरून पुरावा मिळतो. खरंच, जर व्हेक्टर कॉप्लॅनर असतील, तर या व्हेक्टरचे मिश्रित उत्पादन शून्याच्या बरोबरीचे आहे. याउलट, जर मिश्रित उत्पादन शून्याच्या बरोबरीचे असेल, तर या सदिशांची समतलता प्रमेय 1 वरून येते (कारण समान उत्पत्तीपर्यंत कमी केलेल्या सदिशांवर बांधलेल्या समांतर आकाराचे प्रमाण शून्य असते).

परिणाम 3. तीन सदिशांचे मिश्रित उत्पादन, ज्यापैकी दोन समान आहेत, शून्याच्या बरोबरीचे आहेत.

खरंच. जर तीन पैकी दोन सदिश समान असतील तर ते कॉप्लनर असतात. म्हणून, या वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन शून्य आहे.

कार्टेशियन कोऑर्डिनेट्समधील वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन

प्रमेय 2. तीन वेक्टर समजा a, bआणि cत्यांच्या कार्टेशियन आयताकृती निर्देशांकांद्वारे परिभाषित

पुरावा. मिश्रित उत्पादन abcसदिशांच्या स्केलर गुणाप्रमाणे आहे [ ab] आणि c. वेक्टरचे वेक्टर उत्पादन [ ab] कार्टेशियन कोऑर्डिनेट्समध्ये सूत्र ():

शेवटची अभिव्यक्ती द्वितीय-क्रम निर्धारक वापरून लिहिली जाऊ शकते:

निर्धारक शून्याच्या समान असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे, ज्याच्या पंक्ती या सदिशांच्या समन्वयाने भरलेल्या आहेत, म्हणजे:

.

(7)

परिणाम सिद्ध करण्यासाठी, सूत्र (4) आणि परिणाम 2 विचारात घेणे पुरेसे आहे.

उदाहरणांसह वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन

उदाहरण 1. सदिशांचे मिश्र गुण शोधा abs, कुठे

वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन a, b, cमॅट्रिक्स निर्धारकाच्या समान एल. मॅट्रिक्स निर्धारकाची गणना करा एल, पंक्ती 1 सह निर्धारक विस्तारत आहे:

वेक्टर एंडपॉइंट a.