Omjer apsolutnog izduženja štapa i njegove izvorne duljine naziva se relativno izduženje (- epsilon) ili uzdužna deformacija. Uzdužna deformacija je bezdimenzionalna veličina. Formula bezdimenzijske deformacije:
Kod vlačne se deformacije uzdužna deformacija smatra pozitivnom, a kod tlačne negativne.
Poprečne dimenzije štapa kao rezultat deformacije također se mijenjaju, dok se smanjuju tijekom napetosti, a povećavaju tijekom kompresije. Ako je materijal izotropan, tada su njegove poprečne deformacije međusobno jednake:
.
Eksperimentalno je utvrđeno da je pri zatezanju (tlačenju) u granicama elastičnih deformacija omjer poprečne i uzdužne deformacije konstantna veličina za dati materijal. Modul omjera poprečne i uzdužne deformacije, koji se naziva Poissonov omjer ili omjer poprečne deformacije, izračunava se formulom:
Za raznih materijala Poissonov omjer varira unutar. Na primjer, za pluto, za gumu, za čelik, za zlato.
Hookeov zakon
Elastična sila koja se javlja u tijelu kada se deformira izravno je proporcionalna veličini te deformacije.
Za tanki vlačni štap Hookeov zakon ima oblik:
Ovdje je sila koja rasteže (sabija) štap, apsolutno je istezanje (kompresija) štapa i koeficijent elastičnosti (ili krutosti).
Koeficijent elastičnosti ovisi i o svojstvima materijala i o dimenzijama šipke. Moguće je izdvojiti ovisnost o dimenzijama štapa (površina poprečni presjek i duljina) eksplicitno zapisujući koeficijent elastičnosti kao
Veličina se naziva modul elastičnosti prve vrste ili Youngov modul i iznosi mehanička karakteristika materijal.
Ako unesete relativno izduženje
I normalno naprezanje u presjeku
Tada će Hookeov zakon u relativnim jedinicama biti napisan kao
U ovom obliku vrijedi za sve male količine materijala.
Također, pri proračunu ravnih šipki koristi se Hookeov zakon u relativnom obliku
Youngov modul
Youngov modul (modul elastičnosti) - fizička količina, koji karakterizira svojstva materijala da se odupre rastezanju/sabijanju tijekom elastične deformacije.
Youngov modul izračunava se na sljedeći način:
Gdje:
E - modul elastičnosti,
F - snaga,
S je površina površine na koju je raspoređeno djelovanje sile,
l je duljina deformabilnog štapa,
x je modul promjene duljine štapa kao rezultat elastične deformacije (mjeren u istim jedinicama kao i duljina l).
Preko Youngovog modula izračunava se brzina širenja uzdužnog vala u tankom štapu:
Gdje je gustoća tvari.
Poissonov omjer
Poissonov omjer (označen kao ili) je apsolutna vrijednost omjera poprečne i uzdužne relativne deformacije uzorka materijala. Ovaj koeficijent ne ovisi o veličini tijela, već o prirodi materijala od kojeg je uzorak napravljen.
Jednadžba
,
gdje
- Poissonov omjer;
- deformacija u poprečnom smjeru (negativna kod aksijalnog naprezanja, pozitivna kod aksijalnog pritiska);
- uzdužna deformacija (pozitivna kod aksijalne napetosti, negativna kod aksijalne kompresije).
Neka, kao rezultat deformacije, početna duljina štapa l postat će jednaki. l 1. Promjena duljine
naziva se apsolutno izduženje šipke.
Omjer apsolutnog izduženja štapa i njegove izvorne duljine naziva se relativno izduženje (- epsilon) ili uzdužna deformacija. Uzdužna deformacija je bezdimenzionalna veličina. Formula bezdimenzijske deformacije:
Kod vlačne se deformacije uzdužna deformacija smatra pozitivnom, a kod tlačne negativne.
Poprečne dimenzije štapa kao rezultat deformacije također se mijenjaju, dok se smanjuju tijekom napetosti, a povećavaju tijekom kompresije. Ako je materijal izotropan, tada su njegove poprečne deformacije međusobno jednake:
Eksperimentalno je utvrđeno da je pri zatezanju (tlačenju) u granicama elastičnih deformacija omjer poprečne i uzdužne deformacije konstantna veličina za dati materijal. Modul omjera poprečne i uzdužne deformacije, koji se naziva Poissonov omjer ili omjer poprečne deformacije, izračunava se formulom:
Za različite materijale, Poissonov omjer varira unutar . Na primjer, za pluto, za gumu, za čelik, za zlato.
Uzdužne i poprečne deformacije. Poissonov omjer. Hookeov zakon
Pod djelovanjem vlačnih sila duž osi grede njezina se duljina povećava, a poprečne dimenzije smanjuju. Pod djelovanjem tlačnih sila događa se suprotno. Na sl. 6 prikazuje gredu rastegnutu dvjema silama P. Kao rezultat napetosti, greda se produžila za Δ l, koji se zove apsolutna elongacija, i dobiti apsolutno poprečno suženje Δa .
Omjer veličine apsolutnog produljenja i skraćivanja prema izvornoj duljini ili širini grede naziva se relativna deformacija. U ovom slučaju naziva se relativna deformacija uzdužna deformacija, a - relativna poprečna deformacija. Omjer relativne poprečne deformacije prema relativnoj uzdužna deformacija nazvao Poissonov omjer: (3.1)
Poissonov omjer za svaki materijal kao konstanta elastičnosti određuje se empirijski i kreće se unutar: ; za čelik.
U granicama elastičnih deformacija utvrđeno je da je normalno naprezanje izravno proporcionalno relativnoj uzdužnoj deformaciji. Ta se ovisnost naziva Hookeov zakon:
, (3.2)
gdje E je koeficijent proporcionalnosti, tzv modul normalne elastičnosti.
Ako izraz zamijenimo formulom Hookeovog zakona i , tada dobivamo formulu za određivanje istezanja ili skraćivanja na napetost i pritisak:
, (3.3)
gdje je proizvod EF naziva se vlačna i tlačna krutost.
Uzdužne i poprečne deformacije. Hookeov zakon
Imati predodžbu o uzdužnim i poprečnim deformacijama i njihovom odnosu.
Poznavati Hookeov zakon, ovisnosti i formule za izračun naprezanja i pomaka.
Znati provesti proračune čvrstoće i krutosti statički određenih šipki na vlak i pritisak.
Vlačne i tlačne deformacije
Promotrimo deformaciju grede pod djelovanjem uzdužne sile F(Slika 4.13).
Početne dimenzije grede: - početna duljina, - početna širina. Greda je produžena za iznos Δl; Δ1- apsolutno istezanje. Kada se rasteže, poprečne dimenzije se smanjuju, Δ a- apsolutno suženje; ∆1 > 0; Δ a 0.
U otpornosti materijala, uobičajeno je izračunati deformacije u relativnim jedinicama: sl.4.13
- relativno proširenje;
Relativna kontrakcija.
Postoji odnos između uzdužnih i poprečnih deformacija ε'=με, gdje je μ koeficijent poprečnih deformacija ili Poissonov omjer, karakteristika plastičnosti materijala.
Enciklopedija strojarstva XXL
Oprema, znanost o materijalima, mehanika i.
Uzdužna deformacija pri zatezanju (kompresiji)
Eksperimentalno je utvrđeno da je omjer poprečnih deformacija ej. na uzdužnu deformaciju e pod napetost (stlačenje) do granice proporcionalnosti za dati materijal je konstantna veličina. Označavajući apsolutnu vrijednost ovog omjera (X), dobivamo
Eksperimentima je utvrđeno da je relativna poprečna deformacija eo na napetost (tlačenje) određeni dio uzdužne deformacije e, tj.
Omjer poprečne i uzdužne deformacije pri zatezanju (tlačenju), uzet kao apsolutna vrijednost.
U prethodnim poglavljima razmatrana je čvrstoća materijala jednostavni pogledi deformacije grede - napetost (tlačenje), smicanje, torzija, izravno savijanje, karakterizirano činjenicom da u presjecima grede postoji samo jedan faktor unutarnje sile u napetosti (stiskanju) - uzdužna sila, u posmiku - poprečna sila, u torzija - zakretni moment, s čistim ravni zavoj- moment savijanja u ravnini koja prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osi poprečnog presjeka grede. S izravnim poprečni zavoj postoje dva unutarnja faktora sile - moment savijanja i poprečna sila, ali ova vrsta deformacije grede naziva se jednostavnom, jer se kombinirani učinak ovih faktora sile ne uzima u obzir pri proračunu čvrstoće.
Kod istezanja (stiskanja) mijenjaju se i poprečne dimenzije. Omjer relativne poprečne deformacije e prema relativnoj uzdužnoj deformaciji e je fizikalna konstanta materijala i naziva se Poissonov omjer V = e/e.
Prilikom rastezanja (sabijanja) grede, njezine uzdužne i poprečne dimenzije dobivaju promjene koje karakteriziraju deformacije uzdužnog produkta (bg) i poprečnog (e, e). koji su povezani relacijom
Kao što iskustvo pokazuje, kada je greda rastegnuta (stisnuta), njen volumen se donekle mijenja s povećanjem duljine grede za vrijednost Ar, svaka strana njenog presjeka smanjuje se za Relativnu uzdužnu deformaciju nazvat ćemo vrijednost
Uzdužne i poprečne elastične deformacije koje nastaju tijekom napetosti ili tlačenja međusobno su povezane ovisnošću
Dakle, razmotrite gredu izotropnog materijala. Hipoteza ravnih presjeka utvrđuje takvu geometriju deformacija na vlak i pritisak da sva uzdužna vlakna grede imaju istu deformaciju x, bez obzira na njihov položaj u presjeku F, tj.
Eksperimentalno istraživanje volumetrijskih deformacija provedeno je pri napetosti i kompresiji uzoraka stakloplastike uz istovremenu registraciju na osciloskopu K-12-21 promjena uzdužnih i poprečnih deformacija materijala i sile pod opterećenjem (na ispitnom stroju TsD- 10). Ispitivanje do postizanja maksimalnog opterećenja provodilo se pri gotovo konstantnim brzinama opterećenja, što je osiguravao poseban regulator kojim je stroj opremljen.
Kao što eksperimenti pokazuju, omjer poprečnog naprezanja b i uzdužnog naprezanja e pri zatezanju ili kompresiji za dani materijal unutar primjene Hookeovog zakona je konstantna vrijednost. Ovaj omjer, uzet u apsolutnoj vrijednosti, naziva se omjer poprečne deformacije ili Poissonov omjer.
Ovdje /p(szh) - uzdužna deformacija u napetosti (kompresiji) /u - poprečna deformacija u savijanju I - duljina deformabilne grede P - površina njezinog poprečnog presjeka / - moment tromosti površine poprečnog presjeka uzorak u odnosu na neutralnu os - polarni moment tromosti P - primijenjena sila -torzijski moment - koeficijent, uchi-
Deformacija štapa tijekom napetosti ili kompresije sastoji se u promjeni njegove duljine i presjeka. Relativne uzdužne i poprečne deformacije određuju se formulama
Omjer visine bočnih ploča (stjenki spremnika) prema širini kod baterija značajnih dimenzija obično je veći od dva, što omogućuje izračunavanje stijenki spremnika pomoću formula za cilindrično savijanje ploča. Poklopac rezervoara nije kruto pričvršćen za zidove i ne može spriječiti njihovo izvijanje. Zanemarujući utjecaj dna, moguće je proračun spremnika pod djelovanjem horizontalnih sila na njega svesti na proračun zatvorenog statički neodređenog okvira-trake odvojenog od spremnika s dva horizontalna presjeka. Modul normalne elastičnosti plastike ojačane staklom je relativno mali, stoga su konstrukcije od ovog materijala osjetljive na izvijanje. Granice čvrstoće stakloplastike na napetost, pritisak i savijanje su različite. Usporedbu izračunatih naprezanja s graničnim naprezanjima potrebno je napraviti za deformaciju koja je dominantna.
Uvedimo oznaku korištenu u algoritmu, vrijednosti s indeksima 1,1-1 odnose se na trenutnu i prethodne iteracije u vremenskoj fazi m - Am, m i 2 - odnosno, brzina uzdužne (aksijalne) deformacije kod napetosti (i > > 0) i kompresije (2 deformacije su povezane relacijom
Odnosi (4.21) i (4.31) ispitani su na velikom broju materijala i za raznim uvjetima Učitavam. Ispitivanja su provedena u napetosti i kompresiji pri učestalosti od oko jednog ciklusa u minuti i jednog ciklusa u 10 minuta u širokom rasponu temperatura. Za mjerenje deformacija korišteni su uzdužni i poprečni mjerači deformacije. Istodobno su ispitani čvrsti (cilindrični i korzetni) i cjevasti uzorci od kotlovskog čelika 22k (na temperaturama od 20-450 C i asimetrijama - 1, -0,9 -0,7 i -0,3, osim toga, uzorci su zavareni i s zarez), čelik otporan na toplinu TS (na temperaturama od 20-550 ° C i asimetrijama -1 -0,9 -0,7 i -0,3), legura nikla otporna na toplinu EI-437B (na 700 ° C), čelik 16GNMA, ChSN , Kh18N10T, čelik 45, aluminijska legura AD-33 (s asimetrijama -1 0 -b0,5), itd. Svi materijali su ispitani kako su isporučeni.
Koeficijent proporcionalnosti E, koji povezuje i normalno naprezanje i uzdužnu deformaciju, naziva se modul elastičnosti pri vlačno-kompresijskom stanju materijala. Ovaj koeficijent ima i druga imena, modul elastičnosti 1. vrste, Youngov modul. Modul elastičnosti E je jedna od najvažnijih fizikalnih konstanti koja karakterizira sposobnost materijala da se odupre elastičnoj deformaciji. Što je ta vrijednost veća, to je greda manje rastegnuta ili sabijena kada se primijeni ista sila P.
Ako pretpostavimo da je na Sl. 2-20, a osovina O je vodeća, a osovine O1 i O2 su pogonjene, tada kada je rastavljač isključen, potisak LL1 i L1L2 će raditi u kompresiji, a kada je uključen, u napetosti. Dok su razmaci između osi vratila O, 0 i O2 mali (do 2000 mm), razlika između deformacije potiska pri zatezanju i pritisku (uzdužno savijanje) ne utječe na rad sinkronog prijenosa. U rastavljaču za 150 kV razmak između polova je 2800 mm, za 330 kV - 3500 mm, za 750 kV - 10 000 mm. Uz tako velike udaljenosti između središta osovina i značajna opterećenja koja moraju prenositi, kažu /> d. Ova duljina je odabrana iz razloga veće stabilnosti, budući da dugačak uzorak, osim tlačenja, može doživjeti deformaciju izvijanjem, o čemu će biti riječi u drugom dijelu kolegija. Uzorci iz Građevinski materijal Izrađuju se u obliku kocke dimenzija 100 X YuO X YuO ili 150 X X 150 X 150 mm. Tijekom ispitivanja kompresije, prvo se uzima cilindrični uzorak bačvastog oblika. Ako je izrađen od plastičnog materijala, daljnjim opterećenjem dolazi do spljoštenja uzorka, a ako je materijal krt, tada uzorak naglo puca.
U bilo kojoj točki grede koja se razmatra postoji isto stanje naprezanja i stoga su linearne deformacije (vidi 1.5) iste za sve njegove struje. Stoga se vrijednost može definirati kao omjer apsolutnog produljenja A/ prema izvornoj duljini grede /, tj. e, = A///. Linearna deformacija tijekom zatezanja ili stiskanja greda obično se naziva relativno izduženje (ili relativna uzdužna deformacija) i označava se npr.
Pogledajte stranice na kojima se pojam spominje Uzdužna deformacija pri zatezanju (kompresiji) : Tehnički priručnik željezničara, svezak 2 (1951.) - [c.11]
Uzdužne i poprečne deformacije pri vlačnom - sabijanju. Hookeov zakon
Kada se štap primijeni na vlačna opterećenja, njegova se početna duljina / povećava (slika 2.8). Označimo prirast duljine s A/. Omjer povećanja duljine štapa prema njegovoj izvornoj duljini naziva se istezanje ili uzdužna deformacija i označava se sa g:
Relativno produljenje je bezdimenzionalna vrijednost, u nekim slučajevima je uobičajeno izraziti ga kao postotak:
Kada se rasteže, dimenzije šipke se mijenjaju ne samo u uzdužnom, već iu poprečnom smjeru - šipka se sužava.
Riža. 2.8. Vlačna deformacija štapa
Promjena omjera A a veličina presjeka na izvornu veličinu naziva se relativno poprečno suženje ili poprečna deformacija.
Eksperimentalno je utvrđeno da postoji odnos između uzdužnih i poprečnih deformacija
gdje se p zove Poissonov omjer i konstantni su za dati materijal.
Poissonov omjer je, kao što se može vidjeti iz gornje formule, omjer poprečne i uzdužne deformacije:
Za različite materijale, vrijednosti Poissonovog omjera kreću se od 0 do 0,5.
U prosjeku, za metale i legure, Poissonov omjer je približno 0,3 (tablica 2.1).
Vrijednost Poissonovog omjera
Kada se komprimira, slika je obrnuta, tj. u poprečnom smjeru se početne dimenzije smanjuju, a u poprečnom smjeru povećavaju.
Brojni pokusi pokazuju da su do određenih granica opterećenja za većinu materijala naprezanja koja nastaju pri zatezanju ili stiskanju štapa u određenoj ovisnosti o uzdužnoj deformaciji. Ta se ovisnost naziva Hookeov zakon, koji se može formulirati na sljedeći način.
Unutar poznatih granica opterećenja, postoji izravno proporcionalan odnos između uzdužne deformacije i odgovarajućeg normalnog naprezanja
Faktor proporcionalnosti E nazvao modul uzdužne elastičnosti. Ima istu dimenziju kao i napon, tj. mjereno u Pa, MPa.
Modul uzdužne elastičnosti je fizikalna konstanta određenog materijala, koja karakterizira sposobnost materijala da se odupre elastičnim deformacijama. Za određeni materijal, modul elastičnosti varira unutar uskih granica. Da, za čelik različite marke E=(1.9. 2.15) 10 5 MPa.
Za najčešće korištene materijale, modul elastičnosti ima sljedeće vrijednosti u MPa (tablica 2.2).
Vrijednost modula elastičnosti za najčešće korištene materijale
- Moralni i domoljubni odgoj može postati sastavni dio odgojno-obrazovnog procesa.Razrađene su mjere za osiguranje domoljubnog i moralnog odgoja djece i mladeži. Relevantni nacrt zakona 1 podnio je Državnoj dumi član Vijeća Federacije Sergej […]
- Kako se prijaviti za uzdržavanje? Pitanja o potrebi registracije ovisnosti ne pojavljuju se često, budući da je većina uzdržavanih osoba takva na temelju zakona, a problem utvrđivanja činjenice ovisnosti nestaje sam po sebi. Međutim, u nekim slučajevima, potreba izdavanja […]
- Hitna registracija i dobivanje putovnice Nitko nije imun na situaciju kada postoji iznenadna potreba za brzim izdavanjem putovnice u Moskvi ili bilo kojem drugom ruskom gradu. Što učiniti? Gdje se prijaviti? I koliko bi koštala takva usluga? Potrebna […]
- Porezi u Švedskoj i poslovni izgledi Prije nego što odete u Švedsku kao poslovni migrant, korisno je saznati više o poreznom sustavu zemlje. Oporezivanje u Švedskoj složen je i, kako bi naši sunarodnjaci rekli, lukav sustav. Ona […]
- Porez na dobitke: veličina u 2017. godini U prethodnim godinama jasno se može vidjeti trend koji slijede tijela javne vlasti. Poduzimaju se sve strože mjere kontrole prihoda od igara na sreću, kao i stanovništva koje prima dobitke. Dakle, 2014. […]
- Razjašnjenje tužbenog zahtjeva Nakon što sud prihvati tužbeni zahtjev, pa čak i tijekom rasprave, tužitelj ima pravo izjaviti razjašnjenje tužbenog zahtjeva. Kao pojašnjenja možete navesti nove okolnosti ili dopuniti stare, povećati ili smanjiti iznos potraživanja, […]
- Kako deinstalirati programe s računala? Čini se da je teško ukloniti programe s računala? Ali znam da mnogi korisnici početnici imaju problema s tim. Evo, na primjer, izvatka iz jednog pisma koje sam dobio: “... imam pitanje za vas: […]
- ŠTO JE VAŽNO ZNATI O NOVOM NACRTU O MIROVINAMA Od 01.01.2002. godine radne se mirovine dodjeljuju i isplaćuju u skladu s savezni zakon„O radnim mirovinama u Ruska Federacija"Br. 173-FZ od 17. prosinca 2001. Prilikom utvrđivanja visine radne mirovine u skladu s […]
Razmotrite deformacije koje se javljaju tijekom napetosti i kompresije štapova. Kada se rasteže, duljina šipke se povećava, a poprečne dimenzije se smanjuju. Kod kompresije, naprotiv, duljina šipke se smanjuje, a poprečne dimenzije se povećavaju. Na slici 2.7 isprekidana linija prikazuje deformirani pogled na istegnuti štap.
ℓ je duljina štapa prije primjene opterećenja;
ℓ 1 – duljina šipke nakon primjene opterećenja;
b- poprečna dimenzija prije nanošenja opterećenja;
b 1 - poprečna dimenzija nakon primjene opterećenja.
Apsolutna uzdužna deformacija ∆ℓ = ℓ 1 – ℓ.
Apsolutna poprečna deformacija ∆b = b 1 – b.
Vrijednost relativne linearne deformacije ε može se definirati kao omjer apsolutnog istezanja ∆ℓ prema izvornoj duljini grede ℓ
Slično tome, postoje poprečne deformacije
Kod istezanja se poprečne dimenzije smanjuju: ε > 0, ε′< 0; при сжатии: ε < 0, ε′ >0. Iskustvo pokazuje da je kod elastičnih deformacija poprečna uvijek upravno proporcionalna uzdužnoj.
ε′ = – νε. (2.7)
Koeficijent proporcionalnosti ν naziva se Poissonov omjer ili omjer poprečne deformacije. Predstavlja apsolutnu vrijednost omjera poprečnog i uzdužnog naprezanja pri aksijalnom zatezanju
Ime je dobio po francuskom znanstveniku koji ga je prvi predložio početkom 19. stoljeća. Poissonov omjer je konstantna vrijednost za materijal unutar granica elastičnih deformacija (tj. deformacija koje nestaju nakon uklanjanja opterećenja). Za različite materijale, Poissonov omjer varira unutar 0 ≤ ν ≤ 0,5: za čelik ν = 0,28…0,32; za gumu ν = 0,5; za čep ν = 0.
Između naprezanja i elastičnih deformacija postoji odnos poznat kao Hookeov zakon:
σ = Eε. (2.9)
Koeficijent proporcionalnosti E između naprezanja i deformacija naziva se modul normalne elastičnosti ili Youngov modul. Dimenzija E je ista kao i napon. Kao i ν, E je konstanta elastičnosti materijala. Što je veća vrijednost E, manja je uzdužna deformacija, ako su ostale stvari jednake. Za čelik E \u003d (2 ... 2,2) 10 5 MPa ili E \u003d (2 ... 2,2) 10 4 kN / cm 2.
Zamjenom u formulu (2.9) vrijednosti σ prema formuli (2.2) i ε prema formuli (2.5) dobivamo izraz za apsolutnu deformaciju
Umnožak EF naziva se krutost grede na napetost i pritisak.
Formule (2.9) i (2.10) su različiti oblici pisanja Hookeovog zakona predloženog sredinom 17. stoljeća. Moderna forma zapisi o ovom temeljnom zakonu fizike pojavili su se mnogo kasnije - početkom 19. stoljeća.
Formula (2.10) vrijedi samo unutar onih područja gdje su sila N i krutost EF konstantne. Za stepenastu šipku i šipku opterećenu s nekoliko sila, produljenja se izračunavaju preko presjeka s konstantnim N i F, a rezultati se algebarski zbrajaju
Ako se te veličine mijenjaju prema kontinuiranom zakonu, ∆ℓ se izračunava po formuli
U nizu slučajeva, da bi se osigurao normalan rad strojeva i konstrukcija, dimenzije njihovih dijelova moraju biti odabrane tako da se, osim uvjeta čvrstoće, osigura i uvjet krutosti.
gdje je ∆ℓ promjena dimenzija dijela;
[∆ℓ] je dopuštena vrijednost ove promjene.
Naglašavamo da proračun krutosti uvijek nadopunjuje proračun čvrstoće.
2.4. Izračun šipke uzimajući u obzir vlastitu težinu
Najjednostavniji primjer problema rastezanja štapa s parametrima promjenjivim u duljini je problem rastezanja prizmatičnog štapa pod vlastitom težinom (slika 2.8, a). Uzdužna sila N x u presjeku ove grede (na udaljenosti x od njenog donjeg kraja) jednaka je gravitaciji donjeg dijela grede (slika 2.8, b), tj.
Nx = γFx, (2.14)
gdje je γ zapreminska težina materijala šipke.
Uzdužna sila i naprezanja variraju linearno, dostižući maksimum u ugradnji. Aksijalni pomak proizvoljnog presjeka jednak je izduženju gornjeg dijela grede. Stoga se mora odrediti formulom (2.12), integraciju treba provesti od trenutne vrijednosti x do x = ℓ:
Dobiven je izraz za proizvoljni presjek štapa
Kod x \u003d ℓ, pomak je najveći, jednak je izduženju štapa
Slika 2.8, c, d, e prikazuje grafove N x , σ x i u x
Pomnožimo brojnik i nazivnik formule (2.17) s F i dobijemo:
Izraz γFℓ jednak je vlastitoj težini štapa G. Prema tome,
Formulu (2.18) možemo odmah dobiti iz (2.10), ako se sjetimo da se rezultanta vlastite težine G mora primijeniti na težište štapa i stoga uzrokuje istezanje samo gornje polovice štapa (Sl. 2.8, a).
Ako su štapovi, osim vlastite težine, još uvijek opterećeni koncentriranim uzdužnim silama, tada se naprezanja i deformacije određuju na temelju načela neovisnosti djelovanja sila odvojeno od koncentriranih sila i od vlastite težine, nakon čega se rezultati se zbrajaju.
Načelo neovisnosti djelovanja sila slijedi iz linearne deformabilnosti elastičnih tijela. Njegova bit leži u činjenici da se bilo koja vrijednost (naprezanje, pomak, deformacija) iz djelovanja skupine sila može dobiti kao zbroj vrijednosti pronađenih iz svake sile zasebno.
Promjene u veličini, volumenu i eventualno obliku tijela, sa vanjski utjecaj na njemu, u fizici se naziva deformacija. Tijelo se deformira kada se rasteže, stisne i/ili kada mu se promijeni temperatura.
Deformacija nastaje kada različiti dijelovi tijela čine različite pokrete. Tako, na primjer, ako se gumena uže povuče za krajeve, tada će se njeni različiti dijelovi međusobno pomaknuti, a uže će se deformirati (istegnuti, izdužiti). Tijekom deformacije mijenjaju se udaljenosti između atoma ili molekula tijela, stoga nastaju elastične sile.
Neka ravna šipka, duljine i stalnog presjeka, bude pričvršćena na jednom kraju. Za drugi kraj, rasteže se primjenom sile (slika 1). U tom slučaju tijelo se izdužuje za vrijednost, koja se naziva apsolutno produljenje (ili apsolutna uzdužna deformacija).
U bilo kojoj točki promatranog tijela postoji isto stanje naprezanja. Linearna deformacija () tijekom napetosti i kompresije takvih objekata naziva se relativno produljenje (relativna uzdužna deformacija):
Relativna uzdužna deformacija
Relativna uzdužna deformacija je bezdimenzionalna veličina. U pravilu, istezanje je mnogo manje od jedinice ().
Rastezanje se obično smatra pozitivnim, a tlačno naprezanje negativnim.
Ako napon u šipki ne prelazi određenu granicu, ovisnost se eksperimentalno utvrđuje:
gdje je uzdužna sila u presjecima grede; S je površina poprečnog presjeka grede; E - modul elastičnosti (Youngov modul) - fizikalna veličina, karakteristika krutosti materijala. Uzimajući u obzir da je normalno naprezanje u presjeku ():
Apsolutno izduženje grede može se izraziti kao:
Izraz (5) je matematički zapis R. Hookeovog zakona, koji odražava izravan odnos između sile i deformacije pri malim opterećenjima.
U sljedećoj formulaciji, Hookeov zakon se koristi ne samo kada se razmatra napetost (kompresija) grede: Relativna uzdužna deformacija izravno je proporcionalna normalni napon.
Smična deformacija
Kod smicanja, relativna deformacija se karakterizira pomoću formule:
gdje - relativni pomak; - apsolutni pomak slojeva međusobno paralelnih; h je udaljenost između slojeva; - kut smicanja.
Hookeov zakon za pomak se piše kao:
gdje je G modul smicanja, F sila smicanja paralelna sa slojevima smicanja tijela.
Primjeri rješavanja problema
PRIMJER 1
| Vježbajte | Koliko je relativno produljenje čelične šipke ako je njen gornji kraj nepomično učvršćen (slika 2)? Površina poprečnog presjeka šipke. Na donji kraj štapa pričvršćena je masa od kg. Smatrajte da je vlastita masa štapa mnogo manja od mase tereta. |
| Riješenje | Sila koja uzrokuje rastezanje štapa jednaka je sili teže tereta koji se nalazi na donjem kraju štapa. Ta sila djeluje duž osi štapa. Relativno izduženje štapa nalazimo kao:
gdje . Prije izvođenja izračuna, trebali biste pronaći Youngov modul za čelik u referentnim knjigama. Godišnje. |
| Odgovor |
PRIMJER 2
| Vježbajte | Donja baza metalnog paralelopipeda s osnovicom u obliku kvadrata stranice a i visine h je nepomična. Na gornju podlogu paralelno s podlogom djeluje sila F (slika 3). Što je relativna posmična deformacija ()? Poznat je modul smicanja (G). |
Razmotrimo ravnu gredu konstantnog presjeka duljine l, zapečaćenu na jednom kraju i opterećenu na drugom kraju vlačnom silom P (slika 2.9, a). Pod djelovanjem sile P greda se izduži za određeni iznos?l, što se naziva punim, odnosno apsolutnim produljenjem (apsolutna uzdužna deformacija).
U bilo kojoj točki promatrane grede postoji isto stanje naprezanja, pa su prema tome linearne deformacije za sve njegove točke iste. Stoga se vrijednost može definirati kao omjer apsolutnog istezanja l prema početnoj duljini grede l, tj. . Linearna deformacija tijekom istezanja ili stiskanja šipki obično se naziva relativno izduženje, odnosno relativna uzdužna deformacija, a označava se
Posljedično,
Relativna uzdužna deformacija mjeri se u apstraktnim jedinicama. Složimo se da deformaciju istezanja smatramo pozitivnom (slika 2.9, a), a deformaciju kompresije negativnom (slika 2.9, b).
Što je veća veličina sile koja rasteže šipku, veće je, ceteris paribus, izduženje šipke; što je veća površina poprečnog presjeka grede, to je manje istezanje grede. Šipke izrađene od različitih materijala različito se izdužuju. Za slučajeve gdje naprezanja u šipki ne prelaze granicu proporcionalnosti, iskustvom je utvrđena sljedeća ovisnost:
Ovdje je N uzdužna sila u presjecima grede;
F - površina poprečnog presjeka grede;
E je koeficijent koji ovisi o fizičkim svojstvima materijala.
Uzimajući u obzir da je normalno naprezanje u presjeku grede, dobivamo
Apsolutno produljenje grede izražava se formulom
oni. apsolutna uzdužna deformacija izravno je proporcionalna uzdužnoj sili.
Prvi put je zakon izravne proporcionalnosti između sila i deformacija formulirao R. Hooke (1660. godine).
Općenitija je sljedeća formulacija Hookeovog zakona: relativna uzdužna deformacija izravno je proporcionalna normalnom naprezanju. U ovoj se formulaciji Hookeov zakon koristi ne samo u proučavanju napetosti i kompresije šipki, već iu drugim dijelovima tečaja.
Vrijednost E, uključena u formule, naziva se modul uzdužne elastičnosti (skraćeno modul elastičnosti). Ova vrijednost je fizička konstanta materijala, koja karakterizira njegovu krutost. Što je veća vrijednost E, manja je, ceteris paribus, uzdužna deformacija.
Umnožak EF naziva se krutost poprečnog presjeka grede na napetost i pritisak.
Ako se poprečna dimenzija grede prije djelovanja tlačnih sila P na nju označi s b, a nakon djelovanja tih sila b + ?b (sl. 9.2), tada će vrijednost ?b označavati apsolutnu poprečnu deformaciju grede. greda. Omjer je relativna poprečna deformacija.
Iskustvo pokazuje da je pri naprezanjima koja ne prelaze granicu elastičnosti relativna poprečna deformacija izravno proporcionalna relativnoj uzdužnoj deformaciji e, ali ima suprotan predznak:
Koeficijent proporcionalnosti u formuli (2.16) ovisi o materijalu grede. Naziva se omjer poprečne deformacije ili Poissonov koeficijent, a omjer je poprečne i uzdužne deformacije, uzet u apsolutnoj vrijednosti, tj.
Poissonov omjer, zajedno s modulom elastičnosti E, karakterizira elastična svojstva materijala.
Vrijednost Poissonovog omjera određuje se eksperimentalno. Za različite materijale ima vrijednosti od nule (za pluto) do vrijednosti blizu 0,50 (za gumu i parafin). Za čelik, Poissonov omjer je 0,25-0,30; za niz drugih metala (lijevano željezo, cink, bronca, bakar) ima vrijednosti od 0,23 do 0,36.
Tablica 2.1 Vrijednosti modula elastičnosti.
Tablica 2.2 Vrijednosti koeficijenta poprečne deformacije (Poissonov omjer)