Čisto savijanje je glavna hipoteza. Križni zavoj. Jednostavne vrste otpora. ravni zavoj

deformacija savijanja sastoji se u zakrivljenosti osi ravnog štapa ili u promjeni početne zakrivljenosti ravnog štapa (sl. 6.1). Upoznajmo se s osnovnim pojmovima koji se koriste pri razmatranju deformacije savijanjem.

Šipke za savijanje nazivaju se grede.

čist nazvan zavoj, u kojem je moment savijanja jedini čimbenik unutarnje sile koji se javlja u presjeku grede.

Češće se u presjeku štapa uz moment savijanja javlja i poprečna sila. Takav se zavoj naziva poprečnim.

ravno (ravno) naziva se zavoj kada ravnina djelovanja momenta savijanja u presjeku prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osi poprečni presjek.

Na kosi zavoj ravnina djelovanja momenta savijanja siječe poprečni presjek grede po liniji koja se ne poklapa ni s jednom glavnom središnjom osi poprečnog presjeka.

Proučavanje deformacije savijanjem počinjemo sa slučajem čistog ravninskog savijanja.

Normalna naprezanja i deformacije pri čistom savijanju.

Kao što je već spomenuto, s čistim ravnim savijanjem u poprečnom presjeku, od šest unutarnjih faktora sile, samo je moment savijanja različit od nule (slika 6.1, c):

Eksperimenti izvedeni na elastičnim modelima pokazuju da ako se mreža linija nanese na površinu modela (slika 6.1, a), tada se čistim savijanjem deformira na sljedeći način (slika 6.1, b):

a) uzdužne linije su zakrivljene duž oboda;

b) konture poprečnih presjeka ostaju ravne;

c) linije obrisa presjeka posvuda se sijeku s uzdužnim vlaknima pod pravim kutom.

Na temelju toga može se pretpostaviti da kod čistog savijanja poprečni presjeci grede ostaju ravni i zakreću se tako da ostaju normalni na savijenu os grede (hipoteza ravnog presjeka kod savijanja).

Riža. 6.1

Mjerenjem duljine uzdužnih linija (slika 6.1, b), može se utvrditi da se gornja vlakna produljuju tijekom deformacije savijanja grede, a donja se skraćuju. Očito je moguće pronaći takva vlakna čija duljina ostaje nepromijenjena. Skup vlakana koja ne mijenjaju svoju duljinu kada je greda savijena naziva se neutralni sloj (n.s.). Neutralni sloj siječe presjek grede u pravoj liniji tzv neutralna linija (n. l.) dionica.

Za izvođenje formule koja određuje veličinu normalnih naprezanja koja se javljaju u poprečnom presjeku, razmotrite presjek grede u deformiranom i nedeformiranom stanju (slika 6.2).

Riža. 6.2

Pomoću dva infinitezimalna presjeka odabiremo element duljine
. Prije deformiranja, dio koji omeđuje element
, bile su paralelne jedna s drugom (sl. 6.2, a), a nakon deformacije su se nešto nagnule, tvoreći kut
. Duljina vlakana koja leže u neutralnom sloju ne mijenja se tijekom savijanja
. Označimo polumjer zakrivljenosti traga neutralnog sloja na ravnini crteža slovom . Odredimo linearnu deformaciju proizvoljnog vlakna
, na udaljenosti iz neutralnog sloja.

Duljina ovog vlakna nakon deformacije (duljina luka
) jednako je
. S obzirom da su prije deformacije sva vlakna bila iste duljine
, dobivamo da je apsolutno istezanje razmatranog vlakna

Njegova relativna deformacija

Očito je da
, budući da se duljina vlakna koje leži u neutralnom sloju nije promijenila. Zatim nakon zamjene
dobivamo

(6.2)

Stoga je relativna uzdužna deformacija proporcionalna udaljenosti vlakna od neutralne osi.

Uvodimo pretpostavku da se uzdužna vlakna pri savijanju ne pritišću. Pod ovom pretpostavkom, svako se vlakno deformira zasebno, doživljavajući jednostavnu napetost ili kompresiju, u kojoj
. Uzimajući u obzir (6.2)

, (6.3)

tj. Normalna naprezanja izravno su proporcionalna udaljenostima razmatranih točaka presjeka od neutralne osi.

Ovisnost (6.3) zamijenimo u izrazu za moment savijanja
u presjeku (6.1)

Prisjetimo se da je integral
predstavlja moment tromosti presjeka oko osi

(6.4)

Ovisnost (6.4) je Hookeov zakon u savijanju, budući da povezuje deformaciju (zakrivljenost neutralnog sloja
) s momentom koji djeluje u presjeku. Raditi
naziva se krutost presjeka na savijanje, N m 2.

Zamijenite (6.4) u (6.3)

(6.5)

Ovo je željena formula za određivanje normalnih naprezanja pri čistom savijanju grede u bilo kojoj točki njezinog presjeka.

Da bismo ustanovili gdje se nalazi neutralna linija u presjeku, vrijednost normalnih naprezanja zamijenimo u izrazu za uzdužnu silu.
i moment savijanja

Jer
,

;

(6.6)

(6.7)

Jednakost (6.6) pokazuje da je os - neutralna os presjeka - prolazi kroz težište presjeka.

Jednakost (6.7) to pokazuje i - glavne središnje osi presjeka.

Prema (6.5), najveća naprezanja postižu se u vlaknima koja su najudaljenija od neutralne linije

Stav predstavlja modul aksijalnog presjeka oko svoje središnje osi , sredstva

Značenje za najjednostavnije presjeke sljedeće:

Za pravokutni presjek

, (6.8)

gdje - stranica presjeka okomita na os ;

- stranica presjeka paralelna s osi ;

Za okrugli presjek

, (6.9)

gdje je promjer kružnog presjeka.

Uvjet čvrstoće za normalna naprezanja pri savijanju može se napisati kao

(6.10)

Sve dobivene formule dobivene su za slučaj čistog savijanja ravnog štapa. Djelovanje transverzalne sile dovodi do činjenice da hipoteze na kojima se temelje zaključci gube snagu. Međutim, praksa proračuna pokazuje da u slučaju poprečnog savijanja greda i okvira, kada su u presjeku, osim momenta savijanja
postoji i uzdužna sila
i sila smicanja , možete koristiti formule dane za čisto savijanje. U ovom slučaju, pogreška se pokazuje beznačajnom.

Opći pojmovi.

deformacija savijanjasastoji se u zakrivljenosti osi ravnog štapa ili u promjeni početne zakrivljenosti ravnog štapa(Sl. 6.1) . Upoznajmo se s osnovnim pojmovima koji se koriste pri razmatranju deformacije savijanjem.

Šipke za savijanje nazivaju se grede.

čist nazvan zavoj, u kojem je moment savijanja jedini čimbenik unutarnje sile koji se javlja u presjeku grede.

Češće se u presjeku štapa uz moment savijanja javlja i poprečna sila. Takav se zavoj naziva poprečnim.

ravno (ravno) naziva se zavoj kada ravnina djelovanja momenta savijanja u presjeku prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osi poprečnog presjeka.

S kosim zavojem ravnina djelovanja momenta savijanja siječe poprečni presjek grede po liniji koja se ne poklapa ni s jednom glavnom središnjom osi poprečnog presjeka.

Proučavanje deformacije savijanjem počinjemo sa slučajem čistog ravninskog savijanja.

Normalna naprezanja i deformacije pri čistom savijanju.

Kao što je već spomenuto, s čistim ravnim savijanjem u presjeku, od šest unutarnjih faktora sile, samo je moment savijanja različit od nule (slika 6.1, c):

; (6.1)

Eksperimenti izvedeni na elastičnim modelima pokazuju da ako se na površinu modela nanese mreža linija(Sl. 6.1, a) , tada se pod čistim savijanjem deformira na sljedeći način(Slika 6.1, b):

a) uzdužne linije su zakrivljene duž oboda;

b) konture poprečnih presjeka ostaju ravne;

c) linije obrisa presjeka posvuda se sijeku s uzdužnim vlaknima pod pravim kutom.

Riža. .

Mjerenjem duljine uzdužnih linija (slika 6.1, b), može se utvrditi da se gornja vlakna produljuju tijekom deformacije savijanja grede, a donja se skraćuju. Očito je moguće pronaći takva vlakna čija duljina ostaje nepromijenjena. Skup vlakana koja ne mijenjaju svoju duljinu kada je greda savijena naziva seneutralni sloj (n.s.). Neutralni sloj siječe presjek grede u pravoj liniji tzvneutralna linija (n. l.) dionica.

Za izvođenje formule koja određuje veličinu normalnih naprezanja koja se javljaju u poprečnom presjeku, razmotrite presjek grede u deformiranom i nedeformiranom stanju (slika 6.2).

Riža. .

Pomoću dva infinitezimalna presjeka odabiremo element duljine. Prije deformacije, dijelovi koji ograničavaju element bili su paralelni jedni s drugima (slika 6.2, a), a nakon deformacije su se malo nagnuli, tvoreći kut. Duljina vlakana koja leže u neutralnom sloju ne mijenja se tijekom savijanja. Označimo slovom radijus zakrivljenosti traga neutralnog sloja na ravnini crteža. Odredimo linearnu deformaciju proizvoljnog vlakna udaljenog od neutralnog sloja.

Duljina ovog vlakna nakon deformacije (duljina luka) jednaka je. Uzimajući u obzir da su prije deformacije sva vlakna imala istu duljinu, dobivamo da je apsolutno istezanje razmatranog vlakna

Njegova relativna deformacija

Očito, budući da se duljina vlakna koje leži u neutralnom sloju nije promijenila. Zatim nakon zamjene dobivamo

(6.2)

Prema tome, relativna uzdužna deformacija proporcionalna udaljenosti vlakna od neutralne osi.

, (6.3)

tj. Normalna naprezanja izravno su proporcionalna udaljenostima razmatranih točaka presjeka od neutralne osi.

Ovisnost (6.3) zamijenimo u izraz za moment savijanja u presjeku (6.1)

Podsjetimo se da je integral moment tromosti presjeka oko osi

Ili

(6.4)

Ovisnost (6.4) je Hookeov zakon za savijanje, budući da povezuje deformaciju (zakrivljenost neutralnog sloja) s momentom koji djeluje u presjeku. Proizvod se naziva krutost presjeka na savijanje, N m 2.

Zamijenite (6.4) u (6.3)

(6.5)

Ovo je željena formula za određivanje normalnih naprezanja pri čistom savijanju grede u bilo kojoj točki njezinog presjeka.

Za Da bismo ustanovili gdje je neutralna linija u presjeku, zamijenimo vrijednost normalnih naprezanja u izrazu za uzdužnu silu i moment savijanja

Jer,

zatim

(6.6)

(6.7)

Jednakost (6.6) pokazuje da os - neutralna os presjeka - prolazi kroz težište poprečnog presjeka.

Jednakost (6.7) pokazuje da su i glavne središnje osi presjeka.

Prema (6.5), najveća naprezanja postižu se u vlaknima koja su najudaljenija od neutralne linije

Omjer je modul aksijalnog presjeka u odnosu na njegovu središnju os, što znači

Vrijednost za najjednostavnije presjeke je sljedeća:

Za pravokutni presjek

, (6.8)

gdje je stranica presjeka okomita na os;

Stranica presjeka je paralelna s osi;

Za okrugli presjek

, (6.9)

gdje je promjer kružnog presjeka.

Uvjet čvrstoće za normalna naprezanja pri savijanju može se napisati kao

(6.10)

Sve dobivene formule dobivene su za slučaj čistog savijanja ravnog štapa. Djelovanje transverzalne sile dovodi do činjenice da hipoteze na kojima se temelje zaključci gube snagu. Međutim, praksa proračuna pokazuje da u slučaju poprečnog savijanja greda i okvira, kada osim momenta savijanja, u presjeku djeluju i uzdužna sila i poprečna sila, možete koristiti formule dane za čisto savijanje. U ovom slučaju, pogreška se pokazuje beznačajnom.

Određivanje poprečnih sila i momenata savijanja.

Kao što je već spomenuto, s ravnim poprečnim savijanjem u presjeku grede nastaju dva faktora unutarnje sile u.

Prije određivanja i određivanja reakcija nosača greda (slika 6.3, a), sastavljanje ravnotežnih jednadžbi statike.

Odrediti i primijeniti metodu presjeka. Na mjestu koje nas zanima napravit ćemo mentalni presjek grede, na primjer, na udaljenosti od lijevog nosača. Odbacimo jedan od dijelova grede, na primjer, desni, i razmotrimo ravnotežu lijeve strane (Sl. 6.3, b). Međudjelovanje dijelova grede zamijenit ćemo unutarnjim silama i.

Idemo instalirati slijedeći pravila znakovi za i:

Transverzalna sila u presjeku je pozitivna ako njeni vektori teže zakretanju razmatranog presjeka u smjeru kazaljke na satu;
Moment savijanja u presjeku je pozitivan ako uzrokuje kompresiju gornjih vlakana.

Riža. .

Za određivanje tih sila koristimo dvije jednadžbe ravnoteže:

1. ; ; .

2. ;

Na ovaj način,

a) poprečna sila u presjeku grede brojčano je jednaka algebarskom zbroju projekcija na poprečnu os presjeka svih vanjskih sila koje djeluju s jedne strane presjeka;

b) moment savijanja u presjeku grede brojčano je jednak algebarskom zbroju momenata (izračunatih u odnosu na težište presjeka) vanjskih sila koje djeluju s jedne strane zadanog presjeka.

U praktičnim proračunima obično se rukovode sljedećim:

Ako a vanjsko opterećenje nastoji rotirati gredu u odnosu na razmatrani presjek u smjeru kazaljke na satu, (Sl. 6.4, b) tada u izrazu za daje pozitivan izraz.
Ako vanjsko opterećenje stvara moment u odnosu na razmatrani odjeljak, uzrokujući kompresiju gornjih vlakana grede (slika 6.4, a), tada u izrazu za u ovom odjeljku daje pozitivan izraz.

Riža. .

Konstrukcija dijagrama u gredama.

Razmotrimo dvostruku gredu(Sl. 6.5, a) . Na gredu u točki djeluje koncentrirani moment, u točki koncentrirana sila, a u presjeku jednoliko raspodijeljeno opterećenje intenziteta.

Definiramo reakcije podrške i(Sl. 6.5, b) . Rezultantno raspodijeljeno opterećenje je jednako, a njegova linija djelovanja prolazi središtem presjeka. Sastavimo jednadžbe momenata s obzirom na točke i.

Odredimo poprečnu silu i moment savijanja u proizvoljnom presjeku koji se nalazi u presjeku na udaljenosti od točke A(Sl. 6.5, c) .

(Slika 6.5, d). Udaljenost može varirati unutar ().

Vrijednost poprečne sile ne ovisi o koordinati presjeka, stoga su u svim dijelovima presjeka poprečne sile iste i dijagram izgleda kao pravokutnik. Moment savijanja

Moment savijanja mijenja se linearno. Odredimo ordinate dijagrama za granice parcele.

Odredimo poprečnu silu i moment savijanja u proizvoljnom presjeku koji se nalazi u presjeku udaljenom od točke(Slika 6.5, e). Udaljenost može varirati unutar ().

Transverzalna sila se mijenja linearno. Odredite granice mjesta.

Moment savijanja

Dijagram momenata savijanja u ovom dijelu bit će paraboličan.

Da bismo odredili ekstremnu vrijednost momenta savijanja, izjednačimo s nulom izvod momenta savijanja duž apscise presjeka:

Odavde

Za presjek s koordinatom vrijednost momenta savijanja bit će

Kao rezultat toga dobivamo dijagrame poprečnih sila(Sl. 6.5, e) i momenti savijanja (Sl. 6.5, g).

Diferencijalne ovisnosti kod savijanja.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Ove ovisnosti omogućuju vam da utvrdite neke značajke dijagrama momenata savijanja i posmičnih sila:

H u područjima gdje nema raspodijeljenog opterećenja, dijagrami su ograničeni na ravne linije paralelne s nultom linijom dijagrama, a dijagrami su u općem slučaju nagnute ravne crte.

H u područjima gdje je na gredu jednoliko raspoređeno opterećenje, dijagram je ograničen nagnutim ravnim crtama, a dijagram je ograničen kvadratnim parabolama s ispupčenjem u smjeru suprotnom od smjera opterećenja..

NA presjeci, gdje je tangenta na dijagram paralelna s nultom linijom dijagrama.

H i područja gdje se, trenutak povećava; u područjima gdje se moment smanjuje.

NA presjeci gdje se koncentrirane sile primjenjuju na gredu, bit će skokovi u veličini primijenjenih sila na dijagramu i lomovi na dijagramu.

U presjecima gdje se na gredu primjenjuju koncentrirani momenti, bit će skokova u dijagramu za veličinu tih momenata.

Ordinate dijagrama proporcionalne su tangenti nagiba tangente na dijagram.

saviti se

Osnovni pojmovi o savijanju

Deformacija savijanjem karakterizirana je gubitkom ravnosti ili izvornog oblika linijom grede (njezinom osi) kada se primjenjuje vanjsko opterećenje. U ovom slučaju, za razliku od deformacije smicanja, linija grede glatko mijenja svoj oblik.
Lako je vidjeti da na otpor savijanja ne utječe samo površina poprečnog presjeka grede (greda, šipka, itd.), Već i geometrijski oblik ovog dijela.

Budući da je tijelo (greda, šipka itd.) savijeno u odnosu na bilo koju os, na otpor savijanja utječe veličina aksijalnog momenta tromosti presjeka tijela u odnosu na tu os.
Za usporedbu, tijekom torzijske deformacije, dio tijela je podvrgnut uvijanju u odnosu na pol (točku), stoga polarni moment tromosti ovog dijela utječe na otpor torzije.

Mnogi konstrukcijski elementi mogu raditi na savijanju - osovine, osovine, grede, zubi zupčanika, poluge, šipke itd.

U otpornosti materijala razmatra se nekoliko vrsta savijanja:
- ovisno o prirodi vanjskog opterećenja primijenjenog na gredu, razlikuju se čisti zavoj i poprečni zavoj;
- ovisno o položaju ravnine djelovanja opterećenja savijanja u odnosu na os grede - ravni zavoj i kosi zavoj.

Čisto i poprečno savijanje grede

Čisti zavoj je vrsta deformacije kod koje se u bilo kojem presjeku grede javlja samo moment savijanja ( riža. 2).
Deformacija čistog savijanja dogodit će se, na primjer, ako se na ravnu gredu u ravnini koja prolazi kroz os djeluju dva para sila jednake veličine i suprotnog predznaka. Tada će u svakom dijelu grede djelovati samo momenti savijanja.

Ako se savijanje dogodi kao rezultat primjene poprečne sile na šipku ( riža. 3), tada se takav zavoj naziva poprečnim. U tom slučaju i poprečna sila i moment savijanja djeluju u svakom dijelu grede (osim u dijelu na koji se primjenjuje vanjsko opterećenje).

Ako greda ima barem jednu os simetrije, a ravnina djelovanja opterećenja se poklapa s njom, dolazi do izravnog savijanja, ako ovaj uvjet nije ispunjen, dolazi do kosog savijanja.

Proučavajući deformaciju savijanjem, mentalno ćemo zamisliti da se greda (greda) sastoji od bezbrojnog broja uzdužnih vlakana paralelnih s osi.
Za vizualizaciju deformacije ravni zavoj, provest ćemo pokus s gumenom šipkom na koju je postavljena mreža uzdužnih i poprečnih linija.
Podvrgavajući takvu šipku izravnom savijanju, može se primijetiti da ( riža. jedan):

Poprečne linije će ostati ravne kada se deformiraju, ali će se okrenuti pod kutom jedna prema drugoj;
- dijelovi grede će se širiti u poprečnom smjeru na konkavnoj strani i sužavati na konveksnoj strani;
- uzdužne ravne linije bit će zakrivljene.

Iz ovog iskustva može se zaključiti da:

Za čisto savijanje vrijedi hipoteza ravnih presjeka;
- vlakna koja leže na konveksnoj strani su rastegnuta, na konkavnoj su stisnuta, a na granici između njih leži neutralni sloj vlakana koja se samo savijaju ne mijenjajući svoju duljinu.

Pretpostavljajući da je hipoteza o nepritisku vlakana opravdana, može se tvrditi da kod čistog savijanja u presjeku grede nastaju samo normalna vlačna i tlačna naprezanja, koja su neravnomjerno raspoređena po presjeku.
Linija presjeka neutralnog sloja s ravninom presjeka naziva se neutralna os. Očito je da su normalna naprezanja na neutralnoj osi jednaka nuli.

Moment savijanja i posmična sila

Kao što je poznato iz teorijske mehanike, reakcije oslanjanja greda određuju se sastavljanjem i rješavanjem jednadžbi statičke ravnoteže za cijelu gredu. Prilikom rješavanja problema otpornosti materijala i određivanja faktora unutarnjih sila u šipkama uzeli smo u obzir reakcije veza uz vanjska opterećenja koja djeluju na šipke.
Za određivanje unutarnjih faktora sile koristimo se metodom presjeka, a gredu ćemo prikazati samo jednom linijom - osi na koju djeluju aktivne i reaktivne sile (opterećenja i reakcije veza).

Razmotrimo dva slučaja:

1. Na gredu djeluju dva jednaka i suprotna para sila.
Uzimajući u obzir ravnotežu dijela grede koji se nalazi lijevo ili desno od odjeljka 1-1 (Sl. 2), vidimo da u svim presjecima postoji samo moment savijanja M i jednak vanjskom momentu. Dakle, ovo je slučaj čistog savijanja.

Moment savijanja je rezultat momenta oko neutralne osi unutarnjih normalnih sila koje djeluju u presjeku grede.

Imajte na umu da je moment savijanja drugačiji smjer za lijevu i desnu stranu grede. To ukazuje na neprikladnost pravila predznaka statike u određivanju predznaka momenta savijanja.

2. Aktivne i reaktivne sile (opterećenja i reakcije veza) okomito na os djeluju na gredu (riža. 3). Uzimajući u obzir ravnotežu dijelova grede smještenih lijevo i desno, vidimo da moment savijanja M treba djelovati u presjecima i i sila smicanja Q.
Iz ovoga slijedi da u razmatranom slučaju na mjestima poprečnih presjeka ne djeluju samo normalna naprezanja koja odgovaraju momentu savijanja, već i tangencijalna naprezanja koja odgovaraju poprečnoj sili.

Transverzalna sila je rezultanta unutarnjih tangencijalnih sila u presjeku grede.

Obratimo pozornost na činjenicu da posječna sila ima suprotan smjer za lijevi i desni dio grede, što ukazuje na neprikladnost pravila statičkih predznaka pri određivanju predznaka posječne sile.

Savijanje, kod kojeg u presjeku grede djeluju moment savijanja i poprečna sila, naziva se poprečnim.

Za gredu u ravnoteži s djelovanjem ravnog sustava sila algebarski zbroj momenata svih aktivnih i reaktivnih sila u odnosu na bilo koju točku jednak je nuli; stoga je zbroj momenata vanjskih sila koje djeluju na gredu lijevo od presjeka brojčano jednak zbroju momenata svih vanjskih sila koje djeluju na gredu desno od presjeka.
Na ovaj način, moment savijanja u presjeku grede brojčano je jednak algebarskom zbroju momenata oko težišta presjeka svih vanjskih sila koje djeluju na gredu desno ili lijevo od presjeka.

Za gredu u ravnoteži pod djelovanjem ravnog sustava sila okomitih na os (tj. sustava paralelnih sila), algebarski zbroj svih vanjskih sila jednak je nuli; stoga je zbroj vanjskih sila koje djeluju na gredu lijevo od presjeka brojčano jednak algebarskom zbroju sila koje djeluju na gredu desno od presjeka.
Na ovaj način, poprečna sila u presjeku grede brojčano je jednaka algebarskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju desno ili lijevo od presjeka.

Budući da su pravila znakova statike neprihvatljiva za određivanje znakova momenta savijanja i poprečne sile, uspostavit ćemo druga pravila znakova za njih, naime: greda je konveksna prema gore, tada se moment savijanja u presjeku smatra negativnim ( Slika 4a).

Ako je zbroj vanjskih sila koje leže na lijeva strana iz presjeka, daje rezultantu usmjerenu prema gore, tada se transverzalna sila u presjeku smatra pozitivnom, ako je rezultanta usmjerena prema dolje, tada se transverzalna sila u presjeku smatra negativnom; za dio grede koji se nalazi desno od presjeka, znakovi poprečne sile bit će suprotni ( riža. 4b). Koristeći ova pravila, treba mentalno zamisliti dio grede kao kruto stegnut, a veze kao odbačene i zamijenjene reakcijama.

Još jednom napominjemo da se za određivanje reakcija veza koriste pravila predznaka statike, a za određivanje predznaka momenta savijanja i poprečne sile pravila predznaka otpora materijala.
Pravilo predznaka za momente savijanja ponekad se naziva i "pravilo kiše", što znači da u slučaju ispupčenja prema dolje nastaje lijevak u kojem se zadržava kišnica (predznak je pozitivan), i obrnuto - ako je ispod djelovanjem opterećenja greda se savija prema gore u luku, voda na njoj ne kasni (predznak momenata savijanja je negativan).

Materijali odjeljka "Savijanje":

Za konzolnu gredu opterećenu raspodijeljenim opterećenjem intenziteta kN / m i koncentriranim momentom kN m (slika 3.12), potrebno je: za izradu dijagrama posmičnih sila i momenata savijanja odabrati gredu kružnog presjeka na dopuštenom normalno naprezanje kN / cm2 i provjeriti čvrstoću grede prema posmičnom naprezanju pri dopuštenom smičnom naprezanju kN/cm2. Dimenzije grede m; m; m.

Shema proračuna za problem izravnog poprečnog savijanja

Riža. 3.12

Rješavanje problema "izravnog poprečnog savijanja"

Određivanje reakcija podrške

Horizontalna reakcija u ugradnji je nula, jer vanjska opterećenja u smjeru z-osi ne djeluju na gredu.

Odabiremo smjerove preostalih reaktivnih sila koje nastaju u ugradnji: usmjerimo okomitu reakciju, na primjer, prema dolje, a trenutak - u smjeru kazaljke na satu. Njihove vrijednosti se određuju iz jednadžbi statike:

Sastavljajući ove jednadžbe, smatramo da je moment pozitivan kada se vrti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a projekcija sile je pozitivna ako se njezin smjer podudara s pozitivnim smjerom osi y.

Iz prve jednadžbe nalazimo trenutak u završetku:

Iz druge jednadžbe - vertikalna reakcija:

primljeni od nas pozitivne vrijednosti jer trenutak i vertikalna reakcija u završetku pokazuju da smo pogodili njihove smjerove.

U skladu s prirodom pričvršćivanja i opterećenja grede, njezinu duljinu dijelimo na dva dijela. Uz granice svakog od ovih presjeka ocrtavamo četiri poprečna presjeka (vidi sl. 3.12), u kojima ćemo izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja metodom presjeka (ROZU).

Odjeljak 1. Mentalno odbacimo desnu stranu grede. Zamijenimo njegovo djelovanje na preostaloj lijevoj strani sa silom rezanja i momentom savijanja. Radi lakšeg izračunavanja njihovih vrijednosti, desnu stranu grede koju smo odbacili zatvorimo komadom papira, poravnavajući lijevi rub lista s razmatranim dijelom.

Podsjetimo se da posmična sila koja nastaje u bilo kojem poprečnom presjeku mora uravnotežiti sve vanjske sile (aktivne i reaktivne) koje djeluju na dio grede koji razmatramo (tj. vidljivi). Stoga sila smicanja mora biti jednaka algebarskom zbroju svih sila koje vidimo.

Navedimo i pravilo predznaka za silu smicanja: vanjska sila koja djeluje na razmatrani dio grede i nastoji "zakrenuti" ovaj dio u odnosu na presjek u smjeru kazaljke na satu uzrokuje pozitivnu silu smicanja u presjeku. Takva vanjska sila uključena je u algebarski zbroj za definiciju s predznakom plus.

U našem slučaju vidimo samo reakciju nosača, koji rotira vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio (u odnosu na rub papira) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Zato

kN.

Moment savijanja u bilo kojem presjeku mora uravnotežiti moment stvoren vanjskim silama koje vidimo u odnosu na presjek koji razmatramo. Stoga je jednak algebarskom zbroju momenata svih napora koji djeluju na dio grede koji razmatramo, u odnosu na presjek koji se razmatra (drugim riječima, u odnosu na rub komada papira). U tom slučaju vanjsko opterećenje koje savija razmatrani dio grede s konveksnošću prema dolje uzrokuje pozitivan moment savijanja u presjeku. A moment stvoren takvim opterećenjem uključen je u algebarski zbroj za definiciju s predznakom plus.

Vidimo dva napora: reakciju i trenutak prekida. Međutim, krak sile u odnosu na presjek 1 jednak je nuli. Zato

kN m

Uzeli smo znak plus jer reaktivni moment savija vidljivi dio grede s konveksitetom prema dolje.

Odjeljak 2. Kao i prije, pokrit ćemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada za razliku od prvog odjeljka sila ima rame: m. Prema tome

kN; kN m

Odjeljak 3. Zatvaranje desne strane grede, nalazimo

kN;

Odjeljak 4. Zatvorimo lijevu stranu grede s listom. Zatim

kN m

Na temelju pronađenih vrijednosti gradimo dijagrame posmičnih sila (Sl. 3.12, b) i momenata savijanja (Sl. 3.12, c).

Pod neopterećenim presjecima dijagram posmičnih sila teče paralelno s osi grede, a pod raspodijeljenim opterećenjem q po nagnutoj ravnoj liniji prema gore. Ispod reakcije oslonca na dijagramu nalazi se skok prema dolje za vrijednost ove reakcije, odnosno za 40 kN.

Na dijagramu momenata savijanja vidimo lom ispod reakcije oslonca. Lomni kut je usmjeren prema reakciji oslonca. Pod raspodijeljenim opterećenjem q dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. U odsječku 6 na dijagramu postoji ekstrem, budući da dijagram sile smicanja na ovom mjestu prolazi kroz nultu vrijednost.

Odredite potrebni promjer presjeka grede

Uvjet čvrstoće za normalna naprezanja ima oblik:

gdje je moment otpora grede pri savijanju. Za gredu kružnog presjeka jednaka je:

Moment savijanja najveće apsolutne vrijednosti javlja se u trećem presjeku grede: kN cm

Tada se potrebni promjer grede određuje formulom

cm.

Prihvaćamo mm. Zatim

kN/cm2 kN/cm2.

"Prenapon" je

što je dozvoljeno.

Čvrstoću grede provjeravamo za najveća tangencijalna naprezanja

Najveća posmična naprezanja koja se javljaju u presjeku grede okruglog presjeka, izračunavaju se formulom

gdje je površina presjeka.

Prema dijagramu, najveća algebarska vrijednost posmične sile jednaka je kN. Zatim

kN/cm2 kN/cm2,

odnosno uvjet čvrstoće i posmičnih naprezanja ispunjen je, štoviše, s velikom rezervom.

Primjer rješavanja problema "izravno poprečno savijanje" br. 2

Uvjeti primjera zadatka za izravno poprečno savijanje

Za zglobnu gredu opterećenu raspodijeljenim opterećenjem intenziteta kN / m, koncentriranom silom kN i koncentriranim momentom kN m (slika 3.13), potrebno je iscrtati dijagrame posmične sile i momenta savijanja i odabrati presjek I-grede. s dopuštenim normalnim naprezanjem kN / cm2 i dopuštenim posmičnim naprezanjem kN/cm2. Raspon grede m.

Primjer zadatka za ravni zavoj - shema dizajna

Riža. 3.13

Rješenje primjera problema ravnog zavoja

Određivanje reakcija podrške

Za zadanu stožerno oslonjenu gredu potrebno je pronaći tri reakcije oslonca: , i . Budući da na gredu djeluju samo vertikalna opterećenja, okomito na njezinu os, horizontalna reakcija nepomične zglobne potpore A jednaka je nuli: .

Smjerovi vertikalnih reakcija i odabiru se proizvoljno. Usmjerimo, na primjer, obje okomite reakcije prema gore. Da bismo izračunali njihove vrijednosti, sastavljamo dvije jednadžbe statike:

Podsjetimo se da je rezultantno linearno opterećenje, ravnomjerno raspoređeno po dionici duljine l, jednako, odnosno jednako površini dijagrama ovog opterećenja i primjenjuje se u težištu ovog dijagrama, odnosno na sredini dužine.

;

kN.

Provjeravamo: .

Podsjetimo se da se sile čiji se smjer podudara s pozitivnim smjerom y-osi projiciraju (projiciraju) na ovu os s predznakom plus:

to je točno.

Gradimo dijagrame posmičnih sila i momenata savijanja

Razbijamo duljinu grede u zasebne dijelove. Granice ovih presjeka su točke primjene koncentriranih sila (aktivnih i/ili reaktivnih), kao i točke koje odgovaraju početku i kraju raspodijeljenog opterećenja. U našem problemu postoje tri takva područja. Duž granica ovih odjeljaka ocrtavamo šest poprečnih presjeka, u kojima ćemo izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja (Sl. 3.13, a).

Odjeljak 1. Mentalno odbacimo desnu stranu grede. Za praktičnost izračunavanja sile smicanja i momenta savijanja koji nastaju u ovom odjeljku, zatvaramo dio grede koji smo odbacili komadom papira, poravnavajući lijevi rub komada papira sa samim presjekom.

Sila smicanja u presjeku grede jednaka je algebarskom zbroju svih vanjskih sila (aktivnih i reaktivnih) koje vidimo. U ovom slučaju vidimo reakciju oslonca i linearnog opterećenja q, raspoređenog na beskonačno maloj duljini. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Zato

kN.

Znak plus je uzet jer sila rotira vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio (rub papira) u smjeru kazaljke na satu.

Moment savijanja u presjeku grede jednak je algebarskom zbroju momenata svih sila koje vidimo, u odnosu na presjek koji se razmatra (to jest, u odnosu na rub komada papira). Vidimo reakciju oslonca i linearnog opterećenja q, raspoređenog na beskonačno maloj duljini. Međutim, poluga sile je nula. Rezultirajuće linearno opterećenje također je jednako nuli. Zato

Odjeljak 2. Kao i prije, pokrit ćemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada vidimo reakciju i opterećenje q koje djeluje na dionicu duljine. Rezultantno linearno opterećenje je jednako. Pričvršćen je u sredini dijela duljine . Zato

Podsjetimo se da pri određivanju predznaka momenta savijanja mentalno oslobađamo dio grede koji vidimo od svih stvarnih nosača i zamislimo ga kao da je priklješten u dijelu koji razmatramo (to jest, lijevi rub komada papir mentalno predstavljamo kao kruti pečat).

Odjeljak 3. Zatvorimo desni dio. Dobiti

Odjeljak 4. Zatvaramo desnu stranu grede s listom. Zatim

Sada, da bismo kontrolirali ispravnost izračuna, pokrijmo lijevu stranu grede komadom papira. Vidimo koncentriranu silu P, reakciju desnog oslonca i linearno opterećenje q, raspoređeno na beskonačno maloj duljini. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Zato

kN m

Odnosno, sve je točno.

Odjeljak 5. I dalje zatvorite lijevu stranu grede. Hoće li imati

kN;

kN m

Odjeljak 6. Ponovno zatvorimo lijevu stranu grede. Dobiti

kN;

Na temelju pronađenih vrijednosti gradimo dijagrame posmičnih sila (Sl. 3.13, b) i momenata savijanja (Sl. 3.13, c).

Uvjereni smo da pod neopterećenim presjekom dijagram posmične sile ide paralelno s osi grede, a pod raspodijeljenim opterećenjem q - duž ravne linije s nagibom prema dolje. Na dijagramu su tri skoka: pod reakcijom - gore za 37,5 kN, pod reakcijom - gore za 132,5 kN i pod silom P - dolje za 50 kN.

Na dijagramu momenata savijanja vidimo lomove pod koncentriranom silom P i pod reakcijom oslonca. Kutovi loma su usmjereni prema tim silama. Pod raspodijeljenim opterećenjem intenziteta q dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. Ispod koncentriranog momenta nalazi se skok od 60 kN m, odnosno po veličini samog momenta. U odjeljku 7 na dijagramu postoji ekstrem, budući da dijagram posmične sile za ovaj odjeljak prolazi kroz nultu vrijednost (). Odredimo udaljenost od odjeljka 7 do lijevog nosača.

S izravnim čistim savijanjem u presjeku šipke postoji samo jedan faktor sile - moment savijanja M x(Sl. 1). Jer Q y \u003d dM x / dz \u003d 0, zatim Mx=const i čisto izravno savijanje može se ostvariti kada je šipka opterećena parovima sila koje se primjenjuju u krajnjim dijelovima šipke. Od momenta savijanja M x po definiciji je jednak zbroju momenata unutarnjih sila oko osi Oh s normalnim naprezanjima povezuje jednadžba statike koja proizlazi iz ove definicije

Formulirajmo premise teorije čistog izravnog savijanja prizmatičnog štapa. Da bismo to učinili, analiziramo deformacije modela šipke izrađene od niskomodulnog materijala, na čijoj je bočnoj površini nanesena mreža uzdužnih i poprečnih ogrebotina (slika 2). Budući da poprečni rizici, kada je šipka savijena parovima sila primijenjenih na krajnje dijelove, ostaju ravni i okomiti na zakrivljene uzdužne rizike, to nam omogućuje da zaključimo da hipoteze ravninskog presjeka, koja, kako pokazuje rješenje ovog problema metodama teorije elastičnosti, prestaje biti hipoteza, postajući točna činjenica zakon ravnih presjeka. Mjerenjem promjene razmaka između uzdužnih rizika dolazimo do zaključka o valjanosti hipoteze o nepritisku uzdužnih vlakana.

Ortogonalnost uzdužnih i poprečnih ogrebotina prije i poslije deformacije (kao odraz djelovanja zakona ravnih presjeka) također ukazuje na odsutnost pomaka, posmičnih naprezanja u poprečnim i uzdužnim presjecima štapa.

Sl. 1. Odnos unutarnjeg napora i stresa

sl.2.Čisti model savijanja

Tako se čisto izravno savijanje prizmatičnog štapa svodi na jednoosno zatezanje ili kompresiju uzdužnih vlakana naprezanjima (indeks G kasnije izostavljeno). Pri tome se dio vlakana nalazi u zoni napetosti (na sl. 2 to su donja vlakna), a drugi dio u zoni kompresije (gornja vlakna). Te su zone odvojene neutralnim slojem (p-p), ne mijenjajući svoju duljinu, pri čemu su naprezanja jednaka nuli. Uzimajući u obzir prethodno formulirane preduvjete i pretpostavku da je materijal štapa linearno elastičan, tj. Hookeov zakon u ovom slučaju ima oblik: , izvodimo formule za zakrivljenost neutralnog sloja (-polumjer zakrivljenosti) i normalna naprezanja . Prvo napominjemo da je stalnost presjeka prizmatičnog štapa i momenta savijanja (M x = const), osigurava postojanost polumjera zakrivljenosti neutralnog sloja duž duljine šipke (slika 3, a), neutralni sloj (n—n) opisan lukom kružnice.

Razmotrite prizmatičnu šipku u uvjetima izravnog čistog savijanja (slika 3, a) s presjekom simetričnim oko vertikalne osi OU. Ovaj uvjet neće utjecati na konačni rezultat (kako bi bio moguć ravni zavoj, podudarnost osi Oh sa glavna os tromosti poprečnog presjeka koja je os simetrije). Os Vol stavite neutralni sloj, položaj kome nije poznato unaprijed.

a) shema dizajna, b) deformacije i naprezanja

sl.3. Ulomak čistog zavoja grede

Razmotrimo element izrezan iz šipke s duljinom dz, koji je prikazan na ljestvici s iskrivljenim proporcijama radi jasnoće na sl. 3, b. Budući da su od interesa deformacije elementa, određene relativnim pomakom njegovih točaka, jedan od krajnjih presjeka elementa može se smatrati fiksnim. S obzirom na malenost, pretpostavljamo da se točke presjeka, kada se zakreću kroz ovaj kut, ne kreću duž lukova, već duž odgovarajućih tangenti.

Izračunajmo relativnu deformaciju uzdužnog vlakna AB, odvojen od neutralnog sloja na:

Iz sličnosti trokuta C00 1 i 0 1 BB 1 slijedi to

Ispostavilo se da je uzdužna deformacija linearna funkcija udaljenosti od neutralnog sloja, što je izravna posljedica zakona ravnih presjeka

Ova formula nije prikladna za praktičnu upotrebu, budući da sadrži dvije nepoznanice: zakrivljenost neutralnog sloja i položaj neutralne osi Oh, od koje se broji koordinata g. Za određivanje ovih nepoznanica koristimo se jednadžbama statike ravnoteže. Prvi izražava zahtjev da uzdužna sila bude jednaka nuli

Zamjenom izraza (2) u ovu jednadžbu

i uzimajući u obzir to, dobivamo to

Integral na lijevoj strani ove jednadžbe je statički moment poprečnog presjeka štapa oko neutralne osi Oh, koja može biti jednaka nuli samo u odnosu na središnju os. Prema tome, neutralna os Oh prolazi kroz težište poprečnog presjeka.

Druga jednadžba statičke ravnoteže je ona koja povezuje normalna naprezanja s momentom savijanja (koji se lako može izraziti u smislu vanjskih sila i stoga se smatra zadanom vrijednošću). Zamjena izraza za u jednadžbu snopa. napon, dobivamo:

a s obzirom na to gdje J x je glavni središnji moment tromosti oko osi Oh, za zakrivljenost neutralnog sloja dobivamo formulu

sl.4. Normalna raspodjela naprezanja

koju je prvi dobio S. Coulomb 1773. godine. Za usklađivanje znakova momenta savijanja M x i normalnih naprezanja, znak minus stavlja se na desnu stranu formule (5), jer na M x >0 normalna naprezanja pri g>0 ispadaju kontraktivni. Međutim, u praktičnim proračunima prikladnije je, bez pridržavanja formalnog pravila znakova, odrediti naprezanja modulo, a znak staviti prema značenju. Normalna naprezanja za čisto savijanje prizmatičnog štapa su linearna funkcija koordinata na i dosegnuti najviše vrijednosti u vlaknima koja su najudaljenija od neutralne osi (slika 4), tj.

Ovdje se uvodi geometrijska karakteristika koja ima dimenziju m 3 i zove se moment otpora pri savijanju. Budući da za dano M x napon max?što manje to više W x, moment otpora je geometrijska karakteristikačvrstoća presjeka na savijanje. Navedimo primjere izračunavanja momenata otpora za najjednostavnije oblike presjeka. Za pravokutni presjek (sl. 5, a) imamo J x \u003d bh 3 / 12, y maks = h/2 i W x = J x /y max = bh 2 /6. Slično za krug (sl. 5 ,a J x =d4 /64, ymax=d/2) dobivamo W x =d3/32, za kružni prstenasti presjek (sl. 5, u), koji