Proračun grede okruglog presjeka na čvrstoću i torzijsku krutost

Proračun grede okruglog presjeka na čvrstoću i torzijsku krutost

Svrha proračuna čvrstoće i torzijske krutosti je odrediti takve dimenzije poprečnog presjeka grede, pri kojima naprezanja i pomaci neće premašiti navedene vrijednosti dopuštene radnim uvjetima. Uvjet čvrstoće za dopuštena posmična naprezanja općenito se piše kao Ovaj uvjet znači da najveća posmična naprezanja koja se javljaju u upletenoj gredi ne bi trebala premašiti odgovarajuća dopuštena naprezanja za materijal. Dopušteno torzijsko naprezanje ovisi o 0 ─ naprezanju koje odgovara opasnom stanju materijala, i prihvaćenom faktoru sigurnosti n: ─ granici tečenja, nt je faktor sigurnosti za plastični materijal; ─ vlačna čvrstoća, nv - faktor sigurnosti za krti materijal. Zbog činjenice da je teže dobiti vrijednosti u torzijskim eksperimentima nego u napetosti (tlačenju), tada se najčešće dopuštena torzijska naprezanja uzimaju ovisno o dopuštenim vlačnim naprezanjima za isti materijal. Tako za čelik [za lijevano željezo. Pri proračunu čvrstoće upletenih greda moguće su tri vrste zadataka koji se razlikuju u obliku korištenja uvjeta čvrstoće: 1) provjera naprezanja (proračun ispitivanja); 2) odabir presjeka (proračun dizajna); 3) određivanje dopuštenog opterećenja. 1. Pri provjeri naprezanja za zadana opterećenja i dimenzije grede određuju se najveća posmična naprezanja koja u njoj nastaju i uspoređuju s onima danima formulom (2.16). Ako uvjet čvrstoće nije zadovoljen, tada je potrebno ili povećati dimenzije poprečnog presjeka, ili smanjiti opterećenje koje djeluje na gredu, ili koristiti materijal veće čvrstoće. 2. Pri izboru presjeka za zadano opterećenje i zadanu vrijednost dopuštenog naprezanja iz uvjeta čvrstoće (2.16) određuje se vrijednost polarnog momenta otpora poprečnog presjeka grede.Promjeri punog kružnog odn. prstenastog presjeka grede nalaze se prema veličini polarnog momenta otpora. 3. Pri određivanju dopuštenog opterećenja za zadani dopušteni napon i polarni moment otpora WP prvo se na temelju (3.16) odredi dopušteni moment MK, a zatim se pomoću dijagrama momenta uspostavi veza između K M i vanjski torzijski momenti. Proračun grede za čvrstoću ne isključuje mogućnost deformacija koje su neprihvatljive tijekom rada. Veliki kutovi uvijanja šipke vrlo su opasni, jer mogu dovesti do kršenja točnosti obradnih dijelova ako je ova šipka konstrukcijski element obradnog stroja ili mogu nastati torzijske vibracije ako šipka prenosi vremenski promjenjive torzijske momente , tako da se šipka također mora izračunati za krutost. Uvjet krutosti zapisuje se u sljedećem obliku: gdje ─ najveći relativni kut uvijanja grede, određen iz izraza (2.10) ili (2.11). Tada će uvjet krutosti za osovinu poprimiti oblik raznih elemenata strukture i različiti tipovi opterećenja variraju od 0,15° do 2° po 1 m duljine grede. I u stanju čvrstoće iu stanju krutosti, pri određivanju max ili max  koristit ćemo geometrijske karakteristike: WP ─ polarni moment otpora i IP ─ polarni moment tromosti. Očito, ove će karakteristike biti različite za okrugle pune i prstenaste presjeke s istim područjem ovih presjeka. Posebnim proračunima može se vidjeti da su polarni momenti tromosti i momenti otpora za prstenasti presjek puno veći nego za izostavljeni okruglog presjeka, budući da prstenasti presjek nema područja blizu središta. Stoga je šipka prstenastog presjeka u torziji ekonomičnija od šipke punog okruglog presjeka, tj. zahtijeva manji utrošak materijala. Međutim, izrada takve šipke je složenija, a samim tim i skuplja, pa se i ta okolnost mora uzeti u obzir kod projektiranja šipki koje rade na torziju. Metodologiju proračuna grede na čvrstoću i torzijsku krutost, kao i razmišljanje o učinkovitosti ilustrirat ćemo primjerom. Primjer 2.2 Usporedite težine dviju osovina, poprečne dimenzije koji odabrati za isti zakretni moment MK 600 Nm pri istim dopuštenim naprezanjima 10 R i 13 Vlačna čvrstoća duž vlakana p] 7 Rp 10 Kompresija i kolaps duž vlakana [cm] 10 Rc , Rcm 13 Skupljanje duž vlakana (na dužini od najmanje 10 cm) [cm]90 2,5 Rcm 90 3 Cijepanje uzduž vlakana pri savijanju [s] 2 Rck 2,4 Cijepanje uzduž vlakana u rezovima 1 Rck 1,2 – 2,4 Cijepanje u rezovima poprijeko vlakana

Kosi zove se ova vrsta savijanja, u kojoj se svi vanjska opterećenja, uzrokujući savijanje, djeluju u jednoj ravnini sila koja se ne podudara ni s jednom od glavnih ravnina.

Zamislite šipku stegnutu na jednom kraju i opterećenu na slobodnom kraju silom F(Slika 11.3).

Riža. 11.3. Shema dizajna na kosi zavoj

Vanjska sila F primijenjen pod kutom u odnosu na os g. Rastavimo silu F na komponente koje leže u glavnim ravninama grede, tada:

Momenti savijanja u proizvoljnom presjeku uzetom na udaljenosti z sa slobodnog kraja, bit će jednako:

Dakle, u svakom dijelu grede istovremeno djeluju dva momenta savijanja, koji stvaraju zavoj u glavnim ravninama. Stoga se kosi zavoj može smatrati posebnim slučajem prostornog zavoja.

Normalni naponi u presjeku grede s kosim savijanjem određuju se formulom

Za pronalaženje najvećih vlačnih i tlačnih normalnih naprezanja pri kosom savijanju potrebno je odabrati opasni presjek grede.

Ako su momenti savijanja | M x| i | moj| dohvatiti najviše vrijednosti u određenom dijelu, onda je to opasan dio. Na ovaj način,

U opasne dionice spadaju i dionice na kojima momenti savijanja | M x| i | moj| dostići dovoljno velike vrijednosti u isto vrijeme. Stoga, s kosim savijanjem, može postojati nekoliko opasnih odjeljaka.

Općenito, kada - asimetrični presjek, tj. neutralna os nije okomita na ravninu sile. Za simetrične presjeke nije moguće koso savijanje.

11.3. Položaj neutralne osi i opasne točke

u presjeku. Uvjet čvrstoće za koso savijanje.

Određivanje dimenzija poprečnog presjeka.

Pokreti u kosom savijanju

Položaj neutralne osi pri kosom savijanju određuje se formulom

gdje je kut nagiba neutralne osi prema osi x;

Kut nagiba ravnine sile prema osi na(Slika 11.3).

U opasnom presjeku grede (u ugradnji, sl. 11.3), naprezanja u kutnim točkama određuju se formulama:

Kod kosog savijanja, kao i kod prostornog savijanja, neutralna os dijeli presjek grede na dvije zone - zonu zatezanja i zonu tlačenja. Za pravokutni presjek te su zone prikazane na sl. 11.4.

Riža. 11.4. Shema presjeka stegnute grede na kosom zavoju

Za određivanje krajnjih vlačnih i tlačnih naprezanja potrebno je povući tangente na presjek u zonama vlačnosti i tlačenja, paralelno s neutralnom osi (sl. 11.4).

Dodirne točke najudaljenije od neutralne osi ALI i IZ su opasne točke u zonama pritiska odnosno napetosti.

Za plastične materijale, kada su proračunski otpor materijala grede na napetost i pritisak međusobno jednaki, tj. [ σ str] = = [s c] = [σ ], u opasnom presjeku se određuje i stanje čvrstoće može se prikazati kao

Za simetrične presjeke (pravokutnik, I-presjek) uvjet čvrstoće ima sljedeći oblik:

Iz uvjeta čvrstoće slijede tri vrste proračuna:

Provjera;

Projektiranje - određivanje geometrijskih dimenzija presjeka;

Definicija nosivost drvo (dopušteno opterećenje).

Ako je poznat odnos stranica presjeka npr. za pravokutnik h = 2b, tada je iz uvjeta čvrstoće uklještene grede moguće odrediti parametre b i h na sljedeći način:

ili

definitivno .

Parametri bilo koje sekcije određuju se na sličan način. Puni pomak presjeka grede tijekom kosog savijanja, uzimajući u obzir princip neovisnosti djelovanja sila, definira se kao geometrijski zbroj pomaka u glavnim ravninama.

Odredite pomak slobodnog kraja grede. Koristimo Vereščaginovu metodu. Vertikalni pomak nalazimo množenjem dijagrama (sl. 11.5) prema formuli

Slično definiramo horizontalni pomak:

Tada se ukupni pomak određuje formulom

Riža. 11.5. Shema za određivanje punog pomaka

na kosom zavoju

Smjer potpunog kretanja određen je kutom β (Slika 11.6):

Dobivena formula identična je formuli za određivanje položaja neutralne osi presjeka grede. To nam omogućuje da zaključimo da je, tj., smjer otklona okomit na neutralnu os. Posljedično, ravnina otklona ne podudara se s ravninom opterećenja.

Riža. 11.6. Shema za određivanje otklonske ravnine

na kosom zavoju

Kut odstupanja otklonske ravnine od glavne osi gće biti veći, što je veći pomak. Prema tome, za gredu s elastičnim presjekom, za koji je omjer J x/Jy veliko, koso savijanje je opasno, jer uzrokuje velike progibe i naprezanja u ravnini najmanje krutosti. Za bar sa J x= Jy, ukupni otklon leži u ravnini sile i koso savijanje je nemoguće.

11.4. Ekscentrična napetost i kompresija grede. Normalan

napon u presjeci drvena građa

Ekscentrična napetost (kompresija) je vrsta deformacije kod koje je vlačna (tlačna) sila paralelna s uzdužnom osi grede, ali se točka njezina djelovanja ne poklapa s težištem poprečnog presjeka.

Ova vrsta problema često se koristi u građevinarstvu pri proračunu građevinskih stupova. Razmotrimo ekscentričnu kompresiju grede. Označavamo koordinate točke primjene sile F kroz x F i u F, a glavne osi presjeka – kroz x i y. Os z usmjeriti na način da koordinate x F i kod F bili pozitivni (Sl. 11.7, a)

Ako prenosite snagu F paralelna sa sobom iz točke IZ do težišta presjeka, tada se ekscentrična kompresija može prikazati kao zbroj tri jednostavne deformacije: kompresije i savijanja u dvije ravnine (slika 11.7, b). Pritom imamo:

Naprezanja u proizvoljnoj točki presjeka pod ekscentričnom kompresijom, koja leži u prvom kvadrantu, s koordinatama x i y može se naći na temelju principa neovisnosti djelovanja sila:

kvadrat polumjera tromosti presjeka, zatim

gdje x i g su koordinate točke presjeka u kojoj se određuje naprezanje.

Pri određivanju naprezanja potrebno je uzeti u obzir predznake koordinata i točke djelovanja vanjske sile i točke u kojoj se određuje naprezanje.

Riža. 11.7. Shema grede s ekscentričnom kompresijom

U slučaju ekscentrične napetosti grede u dobivenoj formuli znak "minus" treba zamijeniti znakom "plus".

Uzdužna sila N, koja nastaje u poprečnom presjeku grede, rezultanta je unutarnjih normalnih sila raspoređenih po površini poprečnog presjeka, a povezana je s normalnim naprezanjima koja nastaju u ovom presjeku ovisnošću (4.1):

ovdje - normalno naprezanje u proizvoljnoj točki poprečnog presjeka koji pripada elementarnom području - područje poprečnog presjeka šipke.

Umnožak je elementarna unutarnja sila po površini dF.

Vrijednost uzdužne sile N u svakom pojedinom slučaju može se jednostavno odrediti metodom presjeka, kao što je prikazano u prethodnom paragrafu. Da bi se odredile veličine naprezanja a u svakoj točki poprečnog presjeka grede, potrebno je znati zakon njihove raspodjele po ovom presjeku.

Zakon raspodjele normalnih naprezanja u presjeku grede obično se prikazuje grafom koji prikazuje njihovu promjenu visine ili širine presjeka. Takav graf naziva se dijagram normalnog naprezanja (dijagram a).

Izraz (1.2) može se zadovoljiti s beskonačnim brojem vrsta dijagrama naprezanja a (na primjer, s dijagramima a prikazanim na sl. 4.2). Stoga je za razjašnjenje zakona raspodjele normalnih naprezanja u presjecima grede potrebno provesti pokus.

Povucimo crte na bočnoj površini grede prije nego što je opterećena, okomito na os grede (sl. 5.2). Svaka takva linija može se smatrati tragom ravnine presjeka grede. Kada je greda opterećena aksijalnom silom P, te linije, kako iskustvo pokazuje, ostaju ravne i paralelne jedna s drugom (njihov položaj nakon opterećenja grede prikazan je na sl. 5.2 isprekidanim linijama). To nam omogućuje da pretpostavimo da poprečni presjeci grede, koji su ravni prije opterećenja, ostaju ravni pod djelovanjem opterećenja. Takav pokus potvrđuje pretpostavku o ravnim presjecima (Bernoullijevu pretpostavku) formuliranu na kraju § 6.1.

Mentalno zamislite gredu koja se sastoji od bezbrojnih vlakana paralelnih sa svojom osi.

Bilo koja dva poprečna presjeka, kada je greda rastegnuta, ostaju ravna i paralelna jedan s drugim, ali se odmiču jedan od drugog za određeni iznos; svako se vlakno produljuje za isti iznos. A budući da ista produljenja odgovaraju istim naprezanjima, tada su naprezanja u poprečnim presjecima svih vlakana (i, prema tome, na svim točkama poprečnog presjeka grede) međusobno jednaka.

To omogućuje da se u izrazu (1.2) vrijednost a izvuče iz predznaka integrala. Na ovaj način,

Dakle, u poprečnim presjecima grede tijekom središnje napetosti ili kompresije, ravnomjerno raspoređeni normalna naprezanja, jednaka omjeru uzdužne sile i površine poprečnog presjeka.

U prisustvu slabljenja nekih dijelova grede (na primjer, rupe za zakovice), pri određivanju naprezanja u tim dijelovima treba uzeti u obzir stvarnu površinu oslabljenog dijela jednaku ukupnoj površini smanjenoj za površinu od slabljenja

Za vizualni prikaz promjene normalnih naprezanja u poprečnim presjecima štapa (duž njegove duljine) ucrtava se dijagram normalnih naprezanja. Os ovog dijagrama je ravni pravac jednak duljini štapa i paralelan s njegovom osi. Kod štapa konstantnog presjeka dijagram normalnih naprezanja ima isti oblik kao i dijagram uzdužne sile(od njega se razlikuje samo po prihvaćenom mjerilu). Kod štapa promjenjivog presjeka, izgled ova dva dijagrama je drugačiji; posebno, za šipku sa stupnjevitim zakonom promjene presjeka, dijagram normalnih naprezanja ima skokove ne samo u presjecima u kojima djeluju koncentrirana aksijalna opterećenja (gdje dijagram uzdužnih sila ima skokove), već i na mjestima gdje mijenjaju se dimenzije presjeka. Konstrukcija dijagrama raspodjele normalnih naprezanja po duljini štapa razmatra se u primjeru 1.2.

Razmotrite sada naprezanja u nagnutim dijelovima grede.

Označimo kut između nagnutog presjeka i presjeka (slika 6.2, a). Dopustimo da kut a smatramo pozitivnim kada se poprečni presjek mora zakrenuti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za taj kut da bi koincidirao s nagnutim presjekom.

Kao što je već poznato, istezanje svih vlakana paralelnih s osi grede, kada je istegnuta ili sabijena, je ista. To nam omogućuje da pretpostavimo da su naprezanja p u svim točkama nagnutog (kao i poprečnog) presjeka ista.

Smatrati Niži dio drvo odsječeno dijelom (Sl. 6.2, b). Iz uvjeta njegove ravnoteže proizlazi da su naprezanja paralelna s osi grede i usmjerena u smjeru suprotnom od sile P, a unutarnja sila koja djeluje u presjeku jednaka je P. Ovdje je područje nagnuti presjek je jednak (gdje je površina presjeka grede).

Posljedično,

gdje - normalni naponi u presjecima grede.

Razložimo naprezanje na dvije komponente naprezanja: normalu okomitu na ravninu presjeka i tangentu ta paralelnu s ovom ravninom (sl. 6.2, c).

Vrijednosti i ta dobivaju se iz izraza

Normalno naprezanje općenito se smatra pozitivnim u napetosti i negativnim u kompresiji. Smično naprezanje je pozitivno ako vektor koji ga predstavlja nastoji rotirati tijelo oko bilo koje točke C koja leži na unutarnjoj normali na presjek, u smjeru kazaljke na satu. Na sl. 6.2, c prikazuje pozitivno smično naprezanje ta, a na sl. 6.2, d - negativan.

Iz formule (6.2) slijedi da normalna naprezanja imaju vrijednosti od (at do nule (at a). Dakle, najveća (u apsolutnoj vrijednosti) normalna naprezanja javljaju se u poprečnim presjecima grede. Stoga je proračun čvrstoća rastegnute ili stisnute grede provodi se prema normalnim naprezanjima u njezinim presjecima.

Prilikom istezanja (stiskanja) drvene građe u svom presjeci nastati samo normalna naprezanja. Rezultanta odgovarajućih elementarnih sila o, dA - uzdužna sila N- može se pronaći metodom presjeka. Da bi se mogla odrediti normalna naprezanja za poznatu vrijednost uzdužne sile, potrebno je utvrditi zakon raspodjele po presjeku grede.

Ovaj problem se rješava na temelju proteze ravnog presjeka(hipoteze J. Bernoullija), koji glasi:

presjeci grede, koji su ravni i normalni na svoju os prije deformacije, ostaju ravni i normalni na os čak i tijekom deformacije.

Kada je greda istegnuta (napravljena npr. za veća vidljivost iskustva gume), na površini kome primijenjen je sustav uzdužnih i poprečnih ogrebotina (Sl. 2.7, a), možete osigurati da rizici ostanu ravni i međusobno okomiti, promijenite samo

gdje je A površina poprečnog presjeka grede. Izostavljajući indeks z, konačno dobivamo

Za normalna naprezanja primjenjuje se isto pravilo predznaka kao i za uzdužne sile, tj. pri istezanju se naprezanja smatraju pozitivnima.

Zapravo, raspodjela naprezanja u dijelovima grede uz mjesto primjene vanjskih sila ovisi o načinu primjene opterećenja i može biti neravnomjerna. Eksperimentalne i teorijske studije pokazuju da je ovo kršenje jednolikosti raspodjele naprezanja lokalni karakter. U dijelovima grede, udaljenim od mjesta opterećenja na udaljenosti približno jednakoj najvećoj poprečnoj dimenziji grede, raspodjela naprezanja može se smatrati gotovo ravnomjernom (slika 2.9).

Razmatrana situacija je poseban slučaj načelo Svetog Venanta, koji se može formulirati na sljedeći način:

raspodjela naprezanja bitno ovisi o načinu primjene vanjskih sila samo u blizini mjesta opterećenja.

U dijelovima dovoljno udaljenim od mjesta djelovanja sila raspodjela naprezanja praktički ovisi samo o statičkom ekvivalentu tih sila, a ne o načinu njihova djelovanja.

Dakle, primjenom Načelo Saint Venant i odstupajući od pitanja lokalnih naprezanja, imamo priliku (kako u ovom tako iu sljedećim poglavljima tečaja) ne biti zainteresirani za specifične načine primjene vanjskih sila.

Na mjestima oštre promjene oblika i dimenzija poprečnog presjeka grede nastaju i lokalni naprezanja. Ova pojava se zove koncentracija stresa, koje nećemo razmatrati u ovom poglavlju.

U slučajevima kada normalni naponi u različitim presjecima grede nisu isti, preporučljivo je prikazati zakon njihove promjene duž duljine grede u obliku grafikona - dijagrami normalnih naprezanja.

PRIMJER 2.3. Za gredu s promjenjivim poprečnim presjekom (sl. 2.10, a), nacrtajte uzdužne sile i normalna naprezanja.

Riješenje. Gredu razbijamo na dijelove, počevši od besplatnog glasnika. Granice presjeka su mjesta na kojima djeluju vanjske sile i mijenjaju se dimenzije poprečnog presjeka, tj. greda ima pet presjeka. Kod iscrtavanja samo dijagrama N bilo bi potrebno gredu podijeliti na samo tri dijela.

Metodom presjeka određujemo uzdužne sile u presjecima grede i gradimo odgovarajući dijagram (sl. 2.10.6). Konstrukcija dijagrama And u osnovi se ne razlikuje od one razmatrane u primjeru 2.1, pa izostavljamo detalje ove konstrukcije.

Izračunavamo normalna naprezanja pomoću formule (2.1), zamjenjujući vrijednosti sila u newtonima, a površine - u kvadratnim metrima.

Unutar svakog presjeka naprezanja su konstantna, tj. e. parcela u ovom području je ravna linija, paralelna s apscisnom osi (Sl. 2.10, c). Za proračun čvrstoće, prije svega, od interesa su oni dijelovi u kojima se javljaju najveći naponi. Značajno je da se u razmatranom slučaju one ne poklapaju s onim presjecima u kojima su uzdužne sile najveće.

U slučajevima kada je presjek grede duž cijele duljine konstantan, dijagram a sličan dijagramu N i razlikuje se od njega samo u mjerilu, stoga, naravno, ima smisla izgraditi samo jedan od navedenih dijagrama.