Razni načini dokaz Pitagorine teoreme

učenica 9 "A" razreda

MOU srednja škola №8

Znanstveni savjetnik:

profesorica matematike,

MOU srednja škola №8

Umjetnost. Novi Božić

Krasnodarski kraj.

Umjetnost. Novi Božić

ANOTACIJA.

Pitagorin teorem s pravom se smatra najvažnijim u tijeku geometrije i zaslužuje veliku pozornost. To je osnova za rješavanje mnogih geometrijskih problema, osnova za proučavanje teorijskog i praktičnog tijeka geometrije u budućnosti. Teorem je okružen najbogatijim povijesnim materijalom koji se odnosi na njegovu pojavu i metode dokazivanja. Proučavanje povijesti razvoja geometrije usađuje ljubav prema ovom predmetu, pridonosi razvoju spoznajnog interesa, opće kulture i kreativnosti te razvija istraživačke sposobnosti.

Kao rezultat istraživačke aktivnosti postignut je cilj rada, a to je nadopuna i generalizacija znanja o dokazu Pitagorinog teorema. Moglo se pronaći i razmotriti različite načine dokazivanja i produbiti znanje o temi, nadilazeći stranice školskog udžbenika.

Prikupljena građa još više uvjerava da je Pitagorin teorem veliki teorem geometrije i da ima veliki teorijski i praktični značaj.

Uvod. Povijesna pozadina 5 Glavni dio 8

3. Zaključak 19

4. Korištena literatura 20
1. UVOD. REFERENCA POVIJESTI.

Bit istine je da je za nas zauvijek,

Kad barem jednom u njenom uvidu ugledamo svjetlo,

I Pitagorin teorem nakon toliko godina

Za nas, kao i za njega, to je nesporno, besprijekorno.

Za proslavu, Pitagora je bogovima dao zavjet:

Za dodirivanje beskrajne mudrosti,

Zaklao je stotinu bikova, hvala vječnim;

Nakon toga je uputio molitve i pohvale žrtvi.

Od tada bikovi, kad namirišu, guraju se,

Što ljude ponovno dovodi do nove istine,

Bijesno urlaju, pa nema mokraće da sluša,

Takav Pitagora im je zauvijek ulijevao strah.

Bikovi, nemoćni da se odupru novoj istini,

Što ostaje? - Samo zatvori oči, urliči, drhti.

Nije poznato kako je Pitagora dokazao svoj teorem. Ono što je sigurno je da ga je otkrio pod jakim utjecajem egipatske znanosti. Poseban slučaj Pitagorinog teorema - svojstva trokuta sa stranicama 3, 4 i 5 - bio je poznat graditeljima piramida davno prije Pitagorinog rođenja, dok je on sam više od 20 godina učio kod egipatskih svećenika. Postoji legenda koja kaže da je Pitagora, dokazavši svoj slavni teorem, bogovima žrtvovao bika, a prema drugim izvorima čak 100 bikova. To je, međutim, u suprotnosti s informacijama o moralnim i religioznim pogledima Pitagore. U književnim izvorima može se pročitati da je "zabranio čak i ubijanje životinja, a još više njihovo hranjenje, jer životinje imaju dušu, kao i mi". Pitagora je jeo samo med, kruh, povrće i povremeno ribu. U vezi sa svime ovim, vjerojatnijim se može smatrati sljedeći zapis: "... pa čak i kad je otkrio da u pravokutnom trokutu hipotenuza odgovara katetama, žrtvovao je bika od pšeničnog tijesta."

Popularnost Pitagorinog teorema je toliko velika da se njegovi dokazi nalaze čak iu fikciji, na primjer, u priči poznatog engleskog pisca Huxleya "Mladi Arhimed". Isti dokaz, ali za poseban slučaj jednakokračnog pravokutnog trokuta, dan je u Platonovom dijalogu Meno.

Kuća iz bajke.

“Daleko, daleko, gdje ni avioni ne lete je zemlja geometrije. U ovoj neobičnoj zemlji postojao je jedan nevjerojatan grad - grad Teorema. Jednog dana sam došao u ovaj grad lijepa djevojka pod nazivom Hipotenuza. Pokušala je dobiti sobu, ali gdje god se prijavila, svugdje je odbijena. Napokon je prišla trošnoj kući i pokucala. Otvorio ju je čovjek koji je sebe nazvao Pravi kut, a pozvao je Hipotenuzu da živi s njim. Hipotenuza je ostala u kući u kojoj je živio Pravi Kut i njegova dva mala sina, po imenu Katet. Od tada se život u kući pod pravim kutom promijenio na nov način. Hipotenuza je posadila cvijeće na prozoru i raširila crvene ruže u prednjem vrtu. Kuća je dobila oblik pravokutnog trokuta. Hipotenuza se jako svidjela objema nogama i zamolili su je da zauvijek ostane u njihovoj kući. Navečer se ova prijateljska obitelj okuplja za obiteljskim stolom. Ponekad se Right Angle sa svojom djecom igra skrivača. Najčešće mora tražiti, a hipotenuza se skriva tako vješto da ju je vrlo teško pronaći. Jednom je tijekom igre Right Angle primijetio zanimljivo svojstvo: ako uspije pronaći katete, onda pronaći hipotenuzu nije teško. Dakle, Right Angle koristi ovaj obrazac, moram reći, vrlo uspješno. Na svojstvu ovog pravokutnog trokuta temelji se Pitagorin poučak.

(Iz knjige A. Okuneva "Hvala vam na lekciji, djeco").

Zaigrana formulacija teoreme:

Ako nam je dan trokut

I, štoviše, s pravim kutom,

To je kvadrat hipotenuze

Uvijek lako možemo pronaći:

Gradimo noge u kvadratu,

Nalazimo zbroj stupnjeva -

I to na tako jednostavan način

Doći ćemo do rezultata.

Proučavajući algebru i početke analize i geometrije u 10. razredu, uvjerio sam se da osim metode dokazivanja Pitagorinog poučka razmatranog u 8. razredu, postoje i drugi načini dokazivanja. Predstavljam ih na vaše razmatranje.
2. GLAVNI DIO.

Teorema. Kvadrat u pravokutnom trokutu

Hipotenuza je jednaka zbroju kvadrata kateta.

1 NAČIN.

Koristeći svojstva površina mnogokuta, uspostavljamo izvanredan odnos između hipotenuze i kateta pravokutnog trokuta.

Dokaz.

a, u i hipotenuza S(Slika 1, a).

Dokažimo to c²=a²+b².

Dokaz.

Dovršavamo trokut do kvadrata sa stranom a + b kao što je prikazano na sl. 1b. Površina S ovog kvadrata je (a + b)². S druge strane, ovaj kvadrat se sastoji od četiri jednaka pravokutna trokuta, od kojih je površina svakog ½ ajme, i kvadrat sa stranom S, pa S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

Na ovaj način,

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Teorem je dokazan.
2 NAČINA.

Nakon proučavanja teme "Slični trokuti", saznao sam da sličnost trokuta možete primijeniti na dokaz Pitagorinog teorema. Naime, poslužio sam se tvrdnjom da je krak pravokutnog trokuta srednja proporcionalnost za hipotenuzu i odsječak hipotenuze koji se nalazi između kraka i visine povučene iz vrha pravog kuta.

Promotrimo pravokutni trokut s pravim kutom C, CD je visina (slika 2). Dokažimo to AC² + JZ² = AB² .

Dokaz.

Na temelju tvrdnje o kraku pravokutnog trokuta:

AC = , CB = .

Dobivene jednakosti kvadriramo i zbrajamo:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), gdje je AD + DB = AB, tada

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Dokaz je završen.
3 NAČINA.

Definicija kosinusa šiljastog kuta pravokutnog trokuta može se primijeniti na dokaz Pitagorinog teorema. Razmotrite sl. 3.

Dokaz:

Neka je ABC zadan pravokutni trokut s pravim kutom C. Iz vrha pravog kuta C nacrtaj visinu CD.

Prema definiciji kosinusa kuta:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Stoga je AB * AD = AC²

Također,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Dakle, AB * BD \u003d BC².

Zbrajajući dobivene jednakosti član po član i uočavajući da je AD + DV = AB, dobivamo:

AC² + sunce² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

Dokaz je završen.
4 NAČINA.

Proučavajući temu "Omjeri stranica i kutova pravokutnog trokuta", smatram da se Pitagorin teorem može dokazati i na drugi način.

Razmotrimo pravokutni trokut s katetama a, u i hipotenuza S. (slika 4).

Dokažimo to c²=a²+b².

Dokaz.

grijeh B= klima uređaj ; cos B= kao , tada kvadriranjem dobivenih jednakosti dobivamo:

grijeh² B= in²/s²; cos² NA\u003d a² / s².

Zbrajajući ih, dobivamo:

grijeh² NA+ cos² B= v² / s² + a² / s², gdje je sin² NA+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², dakle,

c² = a² + b².

Dokaz je završen.

5 NAČINA.

Ovaj se dokaz temelji na rezanju kvadrata izgrađenih na katetama (slika 5) i slaganju dobivenih dijelova na kvadrat izgrađen na hipotenuzi.

6 NAČIN.

Za dokaz na kateti Sunce zgrada BCD ABC(slika 6). Znamo da su površine sličnih likova povezane kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija:

Oduzimajući drugu od prve jednakosti, dobivamo

c2 = a2 + b2.

Dokaz je završen.

7 NAČINA.

S obzirom(Slika 7):

ABS,= 90° , Sunce= a, AC=b, AB = c.

Dokazati:c2 = a2 +b2.

Dokaz.

Neka noga b a. Nastavimo segment SW po bodu NA i izgraditi trokut bmd tako da bodovi M i ALI ležati s jedne strane ravne linije CD i osim toga, B.D.=b, BDM= 90°, DM= a, tada bmd= ABC na dvije stranice i kut između njih. Točke A i M spojiti po segmentima AM. Imamo doktor medicine CD i AC CD, znači ravno AC paralelno s ravnom linijom DOKTOR MEDICINE. Jer doktor medicine< АС, zatim ravno CD i AM nisu paralelni. Stoga, AMDC- pravokutni trapez.

U pravokutnim trokutima ABC i bmd 1 + 2 = 90° i 3 + 4 = 90°, ali budući da je = =, tada je 3 + 2 = 90°; zatim AVM=180° - 90° = 90°. Pokazalo se da trapez AMDC podijeljen na tri pravokutna trokuta koja se ne preklapaju, zatim aksiomima površine

(a+b)(a+b)

Dijeljenjem svih članova nejednakosti s , dobivamo

ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Dokaz je završen.

8 NAČIN.

Ova se metoda temelji na hipotenuzi i katetama pravokutnog trokuta ABC. Gradi odgovarajuće kvadrate i dokazuje da je kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak zbroju kvadrata izgrađenih na katetama (slika 8).

Dokaz.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ abc, sredstva, FBC= DBA.

Na ovaj način, FBC=ABD(na dvije stranice i kut između njih).

2) , gdje je AL DE, budući da je BD zajednička baza, DL- ukupna visina.

3) , pošto je FB baza, AB- ukupna visina.

4)

5) Slično se može dokazati da

6) Zbrajajući pojam po pojam, dobivamo:

, BC2 = AB2 + AC2 . Dokaz je završen.

9 NAČIN.

Dokaz.

1) Neka ABDE- kvadrat (slika 9), čija je strana jednaka hipotenuzi pravokutnog trokuta ABC (AB= c, BC = a, AC =b).

2) Neka DK PRIJE KRISTA i DK = sunce, budući da je 1 + 2 = 90° (kao šiljasti kutovi pravokutnog trokuta), 3 + 2 = 90° (kao kut kvadrata), AB= BD(stranice kvadrata).

Sredstva, ABC= BDK(hipotenuzom i šiljastim kutom).

3) Neka EL DC, AM EL. Lako se može dokazati da je ABC = BDK = DEL = EAM (s nogama a i b). Zatim KS= CM= ML= LK= a -b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),S2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Dokaz je završen.

10 NAČIN.

Dokaz se može provesti na slici, u šali nazvanoj "Pitagorine hlače" (slika 10). Njegova ideja je transformirati kvadrate izgrađene na katetama u jednake trokute, koji zajedno čine kvadrat hipotenuze.

ABC pomak, kao što pokazuje strelica, i zauzima položaj KDN. Ostatak figure AKDCB jednaka površini kvadrata AKDC- to je paralelogram AKNB.

Napravio model paralelograma AKNB. Pomaknemo paralelogram kako je skicirano u sadržaju rada. Da bismo prikazali pretvorbu paralelograma u jednaki trokut, pred učenicima smo na modelu odrezali trokut i pomaknuli ga prema dolje. Dakle, površina kvadrata AKDC jednaka je površini pravokutnika. Slično, pretvaramo površinu kvadrata u površinu pravokutnika.

Uvod

Teško je pronaći osobu koja ne povezuje ime Pitagore s njegovim teoremom. Možda čak i oni koji su se u životu oprostili od matematike zauvijek zadržavaju sjećanja na "Pitagorine hlače" - kvadrat na hipotenuzi, veličine dva kvadrata na nogama.

Razlog popularnosti Pitagorinog teorema o trojstvu: to

jednostavnost - ljepota - značaj. Doista, Pitagorin teorem je jednostavan, ali nije očit. To je kombinacija dvaju sukobljenih

počeo mu davati posebnu privlačnu snagu, čini ga lijepim.

Osim toga, Pitagorin teorem je od velike važnosti: koristi se u geometriji doslovno na svakom koraku, a činjenica da postoji oko 500 različitih dokaza ovog teorema (geometrijskih, algebarskih, mehaničkih itd.) ukazuje na ogroman broj njegovih dokaza. specifične implementacije..

U modernim udžbenicima teorem je formuliran na sljedeći način: "U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata nogu."

U doba Pitagore zvučalo je ovako: "Dokažite da je kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak zbroju kvadrata izgrađenih na nogama" ili "Površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata sagrađenih na njegovim katetama.”

Ciljevi i ciljevi

Glavni cilj ovog rada bio je pokazativažnost Pitagorinog teorema u razvoju znanosti i tehnologije mnogihzemljama i narodima svijeta, kao i u najjednostavnijim i najzanimljivijimobrazac za podučavanje sadržaja teoreme.

Glavna metoda korištena u ovom radu jeto je metoda organiziranja i obrade podataka.

Privlačeći Informacijska tehnologija, raznolikzili materijal razne šarene ilustracije.

"ZLATNI STIHOVI" PITAGORA

Budite pošteni i u svojim riječima i u svojim djelima... Pitagora (oko 570. - oko 500. pr. Kr.)

Starogrčki filozof i matematičarizokrenut njegovom doktrinom kozmičke harmonije ipreseljenje duša. Tradicija pripisuje Pitagori dokaz teorema koji nosi njegovo ime. Mnogo unutraPlatonovo učenje seže do Pitagore i njegovih sljedbenika teladi.

O Pitagori sa Samosa, Mnesarhovu sinu, nema pisanih dokumenata, a prema kasnijim svjedočanstvima teško je obnoviti pravu sliku njegova života i postignuća.(Elektronska enciklopedija:zvijezdaSvijet) Poznato je da je Pitagora napustio svoj rodni otok Samos u Egejskom morugov Male Azije u znak protesta protiv tiranije vladara i već u zrelojdobi (prema legendi u dobi od 40 godina) pojavio se u grčkom gradu Crotoneu u južnoj Italiji. Pitagora i njegovi sljedbenici - pitagorejci - sklopili su tajni savez koji je odigrao značajnu ulogu u životu grčkih kolonija u Iti.lii. Pitagorejci su se međusobno prepoznavali po zvjezdastom peterokutu – pentagramu. Ali Pitagora se morao povući u Metapont, gdje je iumro. Kasnije, u drugom poluvremenuVPRIJE KRISTA e., njegov je red poražen.

Na Pitagorina učenja uvelike su utjecale filozofija i religija.gia Istoka. Puno je putovao po zemljama Istoka: bio je uEgipta i Babilona. Ondje je Pitagora također upoznao orijentalnog matematičara. tikovina.

Pitagorejci su vjerovali da postoji tajna skrivena u numeričkim obrascima.na svijetu. Svijet brojeva živio je za Pitagorejca posebnim životom, brojevi su imalisvoju posebnu svrhu u životu. Brojevi jednaki zbroju svojih djelitelja percipirani su kao savršeni (6, 28, 496, 8128); prijateljskinazivaju se parovi brojeva, od kojih je svaki jednak zbroju djelitelja drugogagogo (na primjer, 220 i 284). Pitagora je prvi podijelio brojeve na parne ineparni, prosti i složeni, uveo pojam figurativnog broja. U njegovomškoli, detaljno su razmatrane Pitagorine trojke prirodnih brojeva u kojima je kvadrat jednog bio jednak zbroju kvadrata druga dva (Fermatov posljednji teorem).

Pitagori se pripisuje da je rekao: "Sve je broj". Na brojke(i samo je mislio cijeli brojevi) želio je okupiti cijeli svijet, imatematika posebno. Ali u samoj Pitagorinoj školi došlo se do otkrića koje je narušilo taj sklad. Dokazano je da kvadratni korijen iz 2 nijeje racionalan broj, odnosno nije izražen preko prirodnih brojeva brojevima.

Naravno, Pitagorina geometrija bila je podređena aritmetici.To se jasno očitovalo u teoremu koji nosi njegovo ime i koji je kasnije postaoosnova za primjenu numeričkih metoda geometrije. (Kasnije je Euklid opet stavio geometriju u prvi plan, podredivši joj algebru.) Očigledno, pitagorejci su poznavali ispravna tijela: tetraedar, kocku i dodekaedar.

Pitagora je zaslužan za sustavno uvođenje dokaza u geometriju, stvaranje planimetrije pravocrtnih likova, doktrinu pod bii.

Ime Pitagore povezuje se s doktrinom aritmetike, geometrije i harmonijskih proporcija.

Treba napomenuti da je Pitagora Zemlju smatrao loptom koja se krećeoko sunca. Kada uXVIstoljeća crkva se počela žestoko progonitidoktrini Kopernika, ova se doktrina tvrdoglavo nazivala pitagorejskom.(Enciklopedijski rječnik mladog matematičara: E-68. A.P. Savin.- M.: Pedagogija, 1989, str. 28.)

Neki temeljni pojmovi nedvojbeno pripadajusamom Pitagori. Prvi- poimanje prostora kao matematiketički uređena cjelina. Pitagora mu je došao nakon što je otkrio da temeljni harmonijski intervali, tj. oktava, savršena kvinta i savršena kvarta, nastaju kada su duljine vibrirajućih žica povezane kao 2:1, 3:2 i 4:3 (legenda kaže da je otkriće napravljeno kadaPitagora je prošao pokraj kovačnice: nakovnji s različitim težinamadoveo do odgovarajućih omjera zvukova pri udaru). Usmotričući analogiju između reda u glazbi, izraženog odnosima koje je otkrio, i uređenosti materijalnog svijeta, Pitagoradošao do zaključka da su matematički odnosi prožeticijeli prostor. Pokušaj primjene Pitagorinih matematičkih otkrića na spekulativne fizičke konstrukcije doveo je do čudnih pitanja.rezultate. Dakle, pretpostavljeno je da svaki planet tijekom svoje revolucijeoko Zemlje emitira, prolazeći kroz čisti gornji zrak, ili "eter",ton određene visine. Visina zvuka mijenja se ovisno okretanje planeta, brzina ovisi o udaljenosti od Zemlje. ŠljivaTako nebeski zvukovi tvore ono što se naziva "harmonijom sfera", ili "glazbom sfera", čije spominjanje nije neuobičajeno u europskoj literaturi.

Rani Pitagorejci vjerovali su da je Zemlja ravna i da je u središtuprostor. Kasnije su počeli vjerovati da Zemlja ima sferni oblik te da zajedno s drugim planetima (u koje su uključili i Sunce) tvorivrti oko središta kozmosa, tj. "ognjišta".

Pitagora je u antici bio najpoznatiji kao propovjednikoskudan način života. Središnje mjesto u njegovom učenju bila je idejakoncept reinkarnacije (preseljenja duša), koji, naravno, podrazumijeva sposobnost duše da preživi smrt tijela, a time i svoju besmrtnost. Budući da se u novoj inkarnaciji duša može useliti u tijelo životinje, Pitagora se protivio ubijanju životinja, jedenju njihova mesa, čak je izjavljivao da ne treba imati posla s onima koji kolju životinje ili kolju njihove lešine. Koliko se može suditi iz spisa Empedokla, koji je dijelio religiozna stajališta Pitagore, prolijevanje krvi se ovdje smatralo istočnim grijehom, zbog kojeg se duša protjeruje u smrtni svijet, gdje luta, zatočena u jednom ili drugo tijelo. Duša čezne za oslobođenjem, ali zbog neznanja uvijek ponavlja grešno djelo.

Spasiti dušu od beskonačnog niza reinkarnacija možečišćenje. Najjednostavnije čišćenje je promatrati nekezabrane (na primjer, suzdržavanje od opijanja ili pijenjajedenje graha) i pravila ponašanja (na primjer, poštivanje starijih, poštivanje zakona i neljutnja).

Pitagorejci su visoko cijenili prijateljstvo i prema njihovim pojmovima sva imovina prijatelja trebala bi biti zajednička. Nekolicini odabranih ponuđen je najviši oblik pročišćenja - filozofija, odnosno ljubav prema mudrosti, a samim tim i želja za njom (tu je riječ, prema Ciceronu, prvi upotrijebio Pitagora, koji je sebe nazivao ne mudracem, već ljubavnikom mudrosti). Ovim putem duša dolazi u kontakt s principima kozmičkog reda i postaje usklađena s njima, oslobađa se svoje vezanosti za tijelo, svojih nezakonitih i neuređenih želja. Matematika je jedna od sastavni dijelovi religijePitagorejci, koji su učili da je Bog stavio broj u osnovu svijetanarudžba.

Utjecaj pitagorejskog bratstva u prvoj polVu. PRIJE KRISTA e. nepovremeno se povećavao. Ali njegova želja da vlast da "najboljima" došla je u sukob s porastom demokratskih osjećaja u grčkim gradovima južne Italije, a ubrzo nakon 450. pr. e. izbio u Crotonuustanak protiv pitagorejaca, koji je doveo do ubojstva i progonstva mnogih, ako ne i svih, članova bratstva. Međutim, čak i uIVu. PRIJE KRISTA e. pitagoRejci su bili utjecajni u južnoj Italiji, a u Tarentu, gdje je živio Platonov prijatelj Arhita, održao se još duže. No, mnogo važnije za povijest filozofije bilo je stvaranje pitagorejskih središta u samoj Grčkoj,primjerice u Tebi, u drugoj polVu. PRIJE KRISTA e. Stoga pitagorejskiideje prodrle u Atenu, gdje su prema Platonovom dijaloguFedonSokrat ih je asimilirao i pretvorio u širok ideološki pokret,započeli Platon i njegov učenik Aristotel.

U sljedećim stoljećima, lik samog Pitagore bio je okružen
mnoge legende: smatran je reinkarniranim bogom Apolonom,
vjerovao da ima zlatno bedro i da je u stanju podučavati
isto vrijeme na dva mjesta. Odgovor ranokršćanskih crkvenih otaca
ima li Pitagora počasno mjesto između Mojsija i Platona. Također uXVIu[
bilo je čestih pozivanja na Pitagorin autoritet u pitanjima ne samo znanosti |.:
ali i magija.(Elektronska enciklopedija:zvijezdaSvijet.).

Iza legende je istina

Otkriće Pitagorinog teorema okruženo je aureolom prekrasnih legendiProklo, komentirajući posljednju rečenicujaknjiga "Počeci" Euklida,piše: “Ako slušate one koji vole ponavljati drevne legende, ondamora se reći da ovaj teorem seže do Pitagore; reći,da je žrtvovao bika u čast ovoga. Ova legenda je čvrsto ukorijenjenas Pitagorinim teoremom i nakon 2000 godina nastavio uzrokovati vruće klikovi. Tako je optimist Mihailo Lomonosov napisao: “Pitagora za izum jedne geometrijeZeusove vladavine, žrtvovao je stotinu volova.Ali ako za one pronađene u moderno doba izduhoviti matematičari kojima je vladao njegov praznovjerniljubomora djelovati, onda jedvatoliko bi ih bilo na cijelom svijetupronađena je stoka.

No, ironični Heinrich Heine razvoj iste situacije vidio je na malo drugačiji način. : « Tko zna ! Tko zna ! može biti , duša Pif Gor uselila se u jadnog kandidata , koji nije uspio dokazati Pitagorin teorem i nije uspio iz - za ovo na ispitima , dok su njegovi ispitivači nastanjeni dušama onih bikova , koji Pitagora , oduševljen otkrićem svog teorema , žrtvovan besmrtnim bogovima ».

Povijest otkrića teorema

Obično se otkriće Pitagorinog teorema pripisuje starogrčkom filozofu i matematičaru Pitagori (VIu. PRIJE KRISTA e.). Ali proučavanje babilonskih tablica s klinastim pismom i drevnih kineskih rukopisa (kopija još starijih rukopisa) pokazalo je da je ova izjava bila poznata davno prije Pitagore, možda tisućljećima prije njega. Pitagorina je zasluga što je otkrio dokaz ovog teorema.

Povijesni pregled Počnimo s drevnom Kinom. Ovdje je posebanManija privlači matematičku knjigu Chu-pei. Ovaj esej govori ovo o Pitagorinom trokutu sa stranicama 3, 4 i 5:"Ako se pravi kut razloži na njegove sastavne dijelove, tada će crta koja povezuje krajeve njegovih stranica biti 5 kada je baza 3, a visina 4."

U istoj knjizi predlaže se crtež koji se podudara s jednim od crteža hinduističke geometrije Bashare.

Također, Pitagorin teorem je otkriven u staroj kineskoj raspravi "Zhou - Bi Suan Jin" ("Matematička rasprava"o gnomonu"), čije vrijeme nastanka nije točno poznato, ali gdje se navodi da je uXVu. PRIJE KRISTA e. Kinezi su poznavali svojstva egipatskog trokuta, a uXVIu. PRIJE KRISTA e. - i opći oblik teoreme.

Kantor (najveći njemački povjesničar matematike) smatra da jednakost 3 2 + 4 2 = 5 2 je već bio poznat Egipćanima oko 2300 pr. e. za vrijeme vladavine Amenemhataja(prema Papirusu 6619 Berlinskog muzeja).

Prema Cantoru, harpedonapti ili "žilači" građeni su pod pravim kutom

pomoć pravokutnih trokuta sa stranicama 3, 4 i 5.

Vrlo je lako reproducirati njihovu metodukonstrukcija. Uzmite uže duljine 12 m i zavežite ga za njega duž obojene trake na udaljenosti3 m od jednog kraja i 4 m od drugog. Pravi kutbit će zatvoren između stranica dugih 3 i 4 m. Harpedonaptima bi se moglo prigovoriti da njihov način gradnje postaje suvišan ako se, primjerice, upotrijebi drveni ugao koji koriste svi stolari. Doista, poznati su egipatski crteži u kojima se nalazi takav alat, na primjer, crteži koji prikazuju stolarsku radionicu.Zna se nešto više oPitagorin teorem kod Babilonaca.U jednom tekstu vezanom uz vrijememeni Hamurabi, tj. do 2000. godPRIJE KRISTA e., izravno se daje približan izračun hipotenuzekutni trokut. Odavdemože se zaključiti da u Dvurikoji bi mogao izračunatis pravokutnim trokutimami, barem u nekimaslučajeva. Na temelju jednestranke, na sadašnjoj razinipoznavanje egipatskog i babilonskogmatematike, a s druge - u kritšahovska studija grčkih izvora, Van der Waerden (nizozemskimatematičar) je došao do sljedećeg zaključka:

"Zasluga prvih grčkih matematičara, poput Talesa, Pitagora i pitagorejci, nije otkriće matematike, već njezino sistematizacija i opravdanost. U njihovim su rukama računski recepti vi ste se na temelju nejasnih ideja pretvorili u precizne znanost."

Geometrija Hindusa, poput one Egipćana i Babilonaca, bila je bliskapovezana s kultom. Vrlo je vjerojatno da teorem hipo kvadratatenuse je u Indiji bio poznat okoXVIIIstoljeća prije i e., takođerbila je poznata i u staroindijskom geometrijskomteološki traktatVII- Vstoljeća PRIJE KRISTA e. "Sulva Sutra" ("Pravilaužad").

Ali unatoč svim ovim dokazima, ime Pitagore je takočvrsto spojen s Pitagorinim teoremom, što je sada jednostavno nemogućemože se zamisliti da će se ova fraza raspasti. Isto odtakođer se nosi u legendi o čaroliji Pitagorinih bikova. Da, i teškomora secirati povijesnim i matematičkim skalpelomsive drevne legende.

Načini dokazivanja teorema

Dokaz Pitagorinog teorema učenici srednjeg vijekasmatrao vrlo teškim i nazvao gadons asinorum - magareći most, odnelefuga - bijeg "jadnika", kako su trčali neki "jadnici" studenti koji nisu imali ozbiljne matematičke obuke.da li iz geometrije. Slabi učenici koji su zapamtili teoremebez razumijevanja i zbog toga prozvani "magarci", nisu moglikako bi prevladali Pitagorin teorem koji im je, izgleda, služioprohodan most. Zbog crteža koji prate teoremPitagora, učenici su je također zvali " vjetrenjača", sastavljao pjesme poput "Pitagorine hlače na sve strane jednake", crtao karikature.

a). Najjednostavniji dokaz

Vjerojatno je činjenica navedena u Pitagorinom teoremu bila sanChala je postavljena za jednakokračne pravokutnike. Pogledajte samo mozaik crnih i svijetlih trokuta,provjeriti valjanost teorema za trokutka ABC : kvadrat izgrađen na hipotenuzi sadrži četiri trokuta, a na svakoj kateti izgrađen je kvadrat koji sadržidva trokuta (sl. 1, 2).

Dokazi temeljeni na korištenju koncepta jednake površine likova.

U isto vrijeme, može se razmotriti dokaz u kojem četverostrukirat izgrađen na hipotenuzi zadanog pravokutnog trokutakvadrat, "sastavljen" od istih figura kao i kvadrati izgrađeni na nogama. Može se uzeti u obzir i takav dokazva, u kojem je permutacija članova figura iu obzir se uzima niz novih ideja.

Na sl. 3 prikazuje dva jednaka kvadrata. Duljina stranice svakedugi kvadrat je jednaka + b. Svaki od kvadrata podijeljen je na dijelove,koji se sastoji od kvadrata i pravokutnog trokuta. Jasno je da ako od površine kvadrata oduzmemo četverostruku površinu pravokutnog trokuta s kracimaa, b, tada će ostati jednaki smiluj se,tj. S 2 = a 2 + b 2 . Međutim, stari Indijci, koji su pripadaliovo obrazloženje leži, obično ga nisu zapisali, već su ga pratilicrtanje samo jednom riječju: “Gledaj!”. Sasvim je moguće da toPitagora je također ponudio neke dokaze.

b). Dokazi metodom proširenja.

Bit ove metode je da se na kvadrate, izgrađenena nogama, i na kvadrat izgrađen na hipotenuzi, saspojite jednake figure na način da dobiju jednakenove brojke.

Na sl. 4 prikazuje običnog PitagaRova figura pravokutni trokutABCs kvadratima izgrađenim na svojim stranama. Ovoj slici su priložena trikutovi 1 i 2, jednaki izvornom ravnomkutni trokut.

Valjanost Pitagorinog poučka proizlazi iz jednake veličine šesterokutaAEDFPB i ACBNMQ. Ovdje ravno ep deosvijetljeni šesterokutAEDFPBna dva jednaka četverokuta, pravac CM dijeli šesterokutACBNMQu dva jednaka četverokuta; rotacija ravnine za 90° oko središta A preslikava četverokut AERB u četverokutACMQ.

(Ovaj dokaz prvi je dao Leonard za da Vincija.)

Dovršen Pitagorin likna pravokutnik čije su stranice paralelneodgovaraju odgovarajućim stranicama kvadrataDruže, izgrađen na nogama. Podijelimo ovaj pravokutnik na trokute i izravnokvadrati. Iz dobivenog pravokutnikaprvo oduzimamo sve poligone 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ostavljajući kvadrat izgrađen na hipotenuzi. Zatim iz istog pravokutnika oduzimamo pravokutnike 5, 6, 7 i izravno osjenčamokvadrati, dobivamo kvadrate izgrađene na nogama.

Sada dokažimo da su brojke oduzete u prvom slučajujednaki su brojevima oduzetim u drugom slučaju.

Ovo ilustrira dokaznavodi Nassir-ed-Din (1594). Ovdje: PL- ravna crta;

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO= SVMR = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO= s 2;

odavde s 2 = a 2 + b 2 .

Riža. 7 ilustrira dokaz,navodi Hoffmann (1821). OvdjePitagorin lik konstruiran je tako dakvadrati leže na istoj strani ravne linijeAB. Ovdje:

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML=CBNQ= a 2 ;

OVMR =ABMF= S 2 ;

OVMR = OCLP + CBML;

Stoga je c 2 = a 2 + b.

Ovo ilustrira još jednoponuđeni ginalni dokazHoffmanna. Ovdje: trokutABC s pređom moj kutak C; segment linijebfokomitoSW i njemu jednak segmentBITIokomitoAB i njemu jednak segmentOGLAS okomito ren AC i njemu jednak; bodovaF, OD, D u vlasništvu žeti jednu ravnu liniju; četverokutiADFBi ACBE su jednaki, jerABF= ERU; trokutaADF i ACE su jednaki;

oduzeti od oba jednaka četverokutaNikovi imaju zajednički trokut za sebeABC, dobivamo ½ a* a + ½ b* b – ½ c* c

u). Algebarska metoda dokazivanja.

Slika ilustrira dokaz velikog indijskog matematičara Bhaskarija (slavnog autora Li-lavatija,XIIu.). Crtež je pratila samo jedna riječ: GLEDAJ! Među dokazima Pitagorinog teorema algebarskom metodom prvo mjesto (možda i najstarije) zaprihvaća dokaz koristeći pod pčela.

Povjesničari vjeruju da Bhaskara ubodni kvadrat s 2 trg izgrađen nahipotenuza kao zbroj površina četiri trokuta 4(ab/2) i površine kvadrata čija je stranica jednaka razlici kateta.

Jedan takav dokaz donosimo u modernoj prezentaciji.dokazi koji pripadaju Pitagori.

ja "

Na sl. 10 ABC - pravokutni, C - pravi kut ( CML AB) b - projekcija noge b na hipotenuzu a - projekcija nogea na hipotenuzu h je povučena visina trokuta hipotenuza. Iz činjenice da je ABC sličan ACM-u, slijedib 2 = cb; (1) iz činjenice da je ABC sličan BCM, slijedi da 2 = SA (2) Zbrajajući jednakosti (1) i (2) član po član, dobivamo a 2 + b 2 = cb + ca = = c (b + a) = c 2 .

Ako je Pitagora doista ponudio takav dokaz,tada je također bio upoznat s nizom važnih geometrijskih teorema,što moderni povjesničari matematike obično pripisuju Euklid.

Möhlov dokaz mana. Dan područje pravokutni trokutnika, s jedne strane, jednaka je 0,5 a* b, s druge strane 0,5* str*r, gdje str - poluopseg trokutar - polumjer upisanog u njega je cca.okruglost (r \u003d 0,5- (a + b - c)).Imamo: 0,5 * a * b - 0,5 * p * g - 0,5 (a + b + c) * 0,5- (a + b - c), odakle slijedi da je c 2 = a 2 + b 2 .

d) Garfieldov dokaz.

Slika 12 prikazuje tri nitimoangularni trokuti čine trapez. Zato.površina ove figure je moguća.\ pronaći po formuli za površinupravokutni trapez,ili kao zbroj površinatri trokuta. U traciU ovom slučaju ovo područje jeza 0,5 (a + c) (a + c), u drugom rum - 0,5* a* b+ 0,5*a* b+ 0,5*s 2

Izjednačavanjem ovih izraza dobivamo Pitagorin teorem.

Postoje mnogi dokazi Pitagorine teoreme,nyh kao svaka od opisanih metoda, tako i uz pomoć kombinacijenia razne metode. Zaključujući pregled primjera raznih dokovazacije, predstavljamo više slika koje ilustrirajubov, na koji postoje reference u "Počecima" Euklida (sl. 13 - 20).Na ovim je crtežima Pitagorina figura prikazana kao puna linijado nje, te dodatne konstrukcije – točkasto.

Kao što je gore spomenuto, stari Egipćani više od 2000 godinaPrije su praktično koristili svojstva trokuta sa stranicama 3, 4, 5 za konstruiranje pravog kuta, tj. zapravo su koristili teorem suprotan Pitagorinom teoremu. Dajmo dokaz ovog teorema, temeljen na testu jednakosti trokuta (tj. testu koji se može uvesti vrlo rano u školinova praksa). Pa neka stranice trokutaABC (Sl. 21) povezan sa 2 = a 2 + b 2 . (3)

Dokažimo da je ovaj trokut pravokutan.

Izgradimo pravokutni trokutA B C na dvije noge, čije su duljine jednake duljinamaa i b kraci ovog trokuta. Neka je duljina hipotenuze konstruiranog trokuta na c . Kako je konstruirani trokut pravokutan, onda prema teoreme Pitagore imamoc = a + b (4)

Usporedbom relacija (3) i (4) dobivamo daS= sa ili c = c Dakle, trokuti - zadani i izgrađeni - su jednaki, jer imaju tri jednake stranice. Kut Cpravi kut, pa je i kut C ovog trokuta prav.

dodatni dokaz.

Ti se dokazi temelje na rastavljanju kvadrata izgrađenih na krakovima u figure od kojih se može sastaviti četvorka.rat izgrađen na hipotenuzi.

Einsteinov dokaz ( riža. 23) na temelju razlaganjakvadrat sastavljen na hipotenuzi u 8 trokuta.

Ovdje: ABC- pravokutni trokut s pravim kutom C;COMN; SC MN; PO|| MN; EF|| MN.

Dokažite saminee jednakost trokuta, poluizračunato pri cijepanju kvadrata, premaizgrađen na katetama i hipotenuzi.

b) Na temelju al-Nairiziyina dokaza također je izvršeno još jedno rastavljanje kvadrata na po par jednakih likova (ovdjeABC - pravokutni trokut s pravim kutom C).

Također, ovaj dokaz se naziva "zglobni", jerda ovdje samo dva dijela jednaka izvornom trokutu mijenjaju svoj položaj, a oni su, takoreći, spojeni s ostatkomlik na šarkama oko kojih se okreću (slika 25).

c) Drugi dokaz metodom rastavljanja kvadrata ujednakih dijelova, nazvanih "kotač s oštricama", prikazan je u riža. 26. Ovdje: ABC - pravokutni trokut otpad S, O - središte kvadrata izgrađeno na velikoj nozi; isprekidane linije koje prolaze kroz točkuo, okomito iliparalelno s hipotenuzom.

Ova dekompozicija kvadrata je zanimljiva po tome što se njegovi po parovima jednaki četverokuti mogu preslikati jedan na drugi paralelnim prevođenjem.

„Pitagorine hlače“ (Euklidov dokaz).

Dva tisućljeća,promijenio izmišljeni dokazEuklida, koji je smješten u njegovupoznati "Počeci". Euklidov opus cal visina VN s vrha pravokutnog trokuta na hipotenuzu i dokazao da njezin produžetak dijeli kvadrat izgrađen na hipotenuzi na dva pravokutnika čija su površina jednaka

površine odgovarajućih kvadrata izgrađenih na nogama. Euklidov dokaz, u usporedbi sa starokineskim ili staroindijskim, izgleda ovakopretjerano složeno. Zbog ovog razlogačesto su ga nazivali "uštogljenim" i "izmišljenim". Ali takvo mišljenjepovršno. Crtež korišten u dokazu teorema u šali se naziva "Pitagorine hlače". Tijekomdugo se smatrala jednim od simbola matematičke znanosti.

Drevni kineski dokazi.

Matematičke rasprave Drevna Kina došao do nas u redakcijuIIu. PRIJE KRISTA e. Činjenica je da je 213. pr. e. kineski car

Shi Huang-di, nastojeći eliminirati stare tradicije, naredio je da se spale sve stare knjige. UIIu. PRIJE KRISTA e. papir je izumljen u kini i u isto vrijeme počinje obnovadrevne knjige. Tako je postojala "Matematika u devet knjiga" -najvažniji od sačuvanih matematičkih i astronomskih sastavaka ny.

U 9. knjizi "Matematike" nalazi se crnteg, dokazujući Pitagorin teorem.Ključ za ovaj dokaz nije teško pronaći (slika 27).

Doista, u starom kineskomista četiri jednaka pravokutna trokutakvadrat s nogamaa, u i hipotenuza S složeni tako da im vanjska konturaje kvadrat sa stranicoma + b, i unutarnji kvadrat čija je stranica c izgrađena na hipotenuzi (slika 28).

Ako kvadrat sa stranicomS rezati i preostala 4 osjenčana trokutastaviti u dva pravokutnika, jasno je da rezultirajuća praznina, s jedne strane,

jednako je S, a s druge strane

a + b 2 , tj. S 2 = a 2 + b

Teorem je dokazan.

Napomenimo da s ovim dokazom

Građevine unutar trga na hipotenusuone koje vidimo
dim dim u drevnom kineskom crtežu se ne koriste (slika 30). Očigledno su stari kineski matematičari prije toga imali nešto drugodokaz, naime: ako se na kvadrat sa
stranaS dva osjenčana trokutaodrežite zarez i pričvrstite hipotenuze nadvije druge hipotenuze, lako je pronaćičeprkati po toj dobivenoj figuri koja ponekad se naziva "mladenkin stolac",sastoji se od dva kvadrata sa stranicamaa ib, tj. sa 2 = a 2 + b 2 .

Figura se reproduciratezh iz rasprave "Zhou-bi ...". Ovdjerazmatra se Pitagorin teoremEgipatski trokut s nogama3, 4 i hipotenuza 5 jedinica.Kvadrat nad hipotenuzom sadrži 25ćelija, a u njega upisani kvadrat na većoj kraci ima 16. Jasno je da preostali dio sadrži 9 ćelija. Ovo ibit će kvadrat na manjoj nozi.

okolo i okolo

Povijest Pitagorinog teorema seže stoljećima i tisućljećima unatrag. U ovom se članku nećemo detaljnije baviti povijesnim temama. Za intrigu, recimo samo da su, očito, ovaj teorem poznavali čak i drevni egipatski svećenici, koji su živjeli više od 2000 godina prije Krista. Za one koji su znatiželjni, ovdje je poveznica na članak na Wikipediji.

Prije svega, radi cjelovitosti, želio bih ovdje dati dokaz Pitagorinog teorema, koji je, po mom mišljenju, najelegantniji i najočitiji. Gornja slika prikazuje dva identična kvadrata: lijevi i desni. Sa slike je vidljivo da su površine osjenčanih likova s ​​lijeve i desne strane jednake jer su u svakom od velikih kvadrata osjenčana 4 jednaka pravokutna trokuta. A to znači da su nepopunjena (bijela) područja s lijeve i desne strane također jednaka. Imajte na umu da je u prvom slučaju površina neosjenčane figure , a u drugom slučaju površina neosjenčane površine je . Na ovaj način, . Teorem dokazan!

Kako nazvati ove brojeve? Ne možete ih nazvati trokutima, jer četiri broja ni na koji način ne mogu činiti trokut. I ovdje! Kao grom iz vedra neba

Budući da postoje takve četvorke brojeva, onda mora postojati geometrijski objekt s istim svojstvima koja se odražavaju u tim brojevima!

Sada ostaje samo odabrati neki geometrijski objekt za ovo svojstvo i sve će doći na svoje mjesto! Naravno, pretpostavka je bila čisto hipotetska i nije imala nikakvu potvrdu ispod sebe. Ali što ako jest!

Počela je potraga za predmetima. Zvijezde, poligoni, pravilni, nepravilni, pod pravim kutom i tako dalje i tako dalje. Opet ništa ne štima. Što učiniti? I u tom trenutku Sherlock dobiva svoju drugu glavnu ulogu.

Moramo se povećati! Budući da trojka odgovara trokutu na ravnini, onda četvorka odgovara nečemu trodimenzionalnom!

O ne! Opet, previše opcija! A u tri dimenzije ima puno, puno više svih vrsta geometrijskih tijela. Pokušajte ih sve sortirati! Ali nije sve tako loše. Tu je i pravi kut i drugi tragovi! Što imamo? Egipatske četvorke brojeva (neka su egipatske, moraš ih nekako nazvati), pravi kut (ili kutovi) i neki trodimenzionalni predmet. Odbitak je uspio! I ... vjerujem da su spretni čitatelji već shvatili da je riječ o piramidama, u kojima su na jednom od vrhova sva tri kuta prava. Možete ih čak i nazvati pravokutne piramide sličan pravokutnom trokutu.

Novi teorem

Dakle, imamo sve što nam treba. Pravokutne (!) piramide, bočne strane-noge i sekante lice-hipotenuza. Vrijeme je da nacrtate još jednu sliku.

Na slici je prikazana piramida s vrhom u ishodištu pravokutnih koordinata (piramida, takoreći, leži na boku). Piramidu čine tri međusobno okomita vektora iscrtana iz ishodišta duž koordinatnih osi. To jest, svaka bočna strana piramide je pravokutni trokut s pravim kutom u ishodištu. Krajevi vektora definiraju reznu ravninu i tvore osnovnu plohu piramide.

Teorema

Neka postoji pravokutna piramida koju čine tri međusobno okomita vektora, u kojoj su površine stranica-kraka - , a površina hipotenuze - . Zatim

Alternativna formulacija: Za tetraedarsku piramidu, u kojoj su na jednom od vrhova svi ravni kutovi pravi, zbroj kvadrata površina bočnih stranica jednak je kvadratu površine baze.

Naravno, ako je uobičajeni Pitagorin teorem formuliran za duljine stranica trokuta, onda je naš teorem formuliran za površine stranica piramide. Dokazivanje ovog teorema u tri dimenzije vrlo je jednostavno ako poznajete vektorsku algebru.

Dokaz

Površine izražavamo preko duljina vektora.

gdje .

Površinu predstavljamo kao polovinu površine paralelograma izgrađenog na vektorima i

Kao što je poznato, vektorski proizvod dva vektora je vektor čija je duljina brojčano jednaka površini paralelograma izgrađenog na tim vektorima.
Zato

Na ovaj način,

Q.E.D!

Naravno, kao osobi koja se profesionalno bavi istraživanjem, to mi se već dogodilo u životu, i to više puta. Ali ovaj trenutak bio je najsvjetliji i najupečatljiviji. Doživio sam svu paletu osjećaja, emocija, doživljaja otkrivača. Od rađanja misli, kristalizacije ideje, pronalaženja dokaza – do potpunog nerazumijevanja, pa čak i odbijanja da su moje ideje naišle kod mojih prijatelja, poznanika i, kako mi se tada činilo, kod cijelog svijeta. Bilo je jedinstveno! Kao da sam se osjećao u koži Galilea, Kopernika, Newtona, Schrödingera, Bohra, Einsteina i mnogih drugih otkrivača.

Pogovor

U životu se sve pokazalo mnogo jednostavnijim i prozaičnijim. Kasnim ... Ali koliko! Samo nešto staro samo 18 godina! Uz strašnu dugotrajnu torturu i ne prvi put, Google mi je priznao da je ovaj teorem objavljen 1996. godine!

Članak je objavio Texas Tech University Press. Autori, profesionalni matematičari, uveli su terminologiju (koja se, uzgred rečeno, uvelike poklapala s mojom) i također dokazali generalizirani teorem koji vrijedi za prostor bilo koje dimenzije veće od jedan. Što se događa u dimenzijama višim od 3? Sve je vrlo jednostavno: umjesto lica i područja bit će hiperpovršine i višedimenzionalni volumeni. I izjava će, naravno, ostati ista: zbroj kvadrata volumena bočnih stranica jednak je kvadratu volumena baze, - samo će broj stranica biti veći, a volumen svaki od njih će postati jednak polovici umnoška generirajućih vektora. Gotovo je nemoguće zamisliti! Može se samo, kako kažu filozofi, misliti!

Začudo, kad sam saznao da je takav teorem već poznat, nisam se uopće uzrujao. Negdje u dubini duše slutila sam da je sasvim moguće da nisam prva i shvatila sam da na to moram biti uvijek spremna. Ali emotivno iskustvo koje sam doživio zapalilo je iskru istraživača u meni, koja sada, sigurna sam, nikada neće izblijediti!

p.s.

Obrazovani čitatelj poslao je poveznicu u komentarima
De Guaov teorem

Izvadak iz Wikipedije

Godine 1783. francuski matematičar J.-P. teorem je predstavio Pariškoj akademiji znanosti. de Gois, ali je ranije bio poznat Renéu Descartesu, a prije njega Johannesu Fulgaberu, koji ga je vjerojatno prvi otkrio 1622. godine. U više opći pogled teorem je formulirao Charles Tinsot (fr.) u izvješću Pariške akademije znanosti 1774.

Dakle, ne kasnim 18 godina, nego barem par stoljeća!

Izvori

Čitatelji su u komentarima dali neke korisne poveznice. Evo ovih i još nekih poveznica:

Prema van der Waerdenu, vrlo je vjerojatno da je omjer u općem obliku već bio poznat u Babilonu oko 18. stoljeća pr. e.

Otprilike 400. pr. e., prema Proklu, Platon je dao metodu za pronalaženje Pitagorinih trojki, kombinirajući algebru i geometriju. Oko 300. godine pr. e. u "Elementima" Euklida pojavio se najstariji aksiomatski dokaz Pitagorinog teorema.

Izbor riječi

Glavna formulacija sadrži algebarske operacije - u pravokutnom trokutu čije su duljine nogu jednake a (\displaystyle a) i b (\displaystyle b), a duljina hipotenuze je c (\displaystyle c), ispunjena je relacija:

.

Moguća je i ekvivalentna geometrijska formulacija, pribjegavajući konceptu površine figure: u pravokutnom trokutu, površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na nogama. U ovom obliku teorem je formuliran u Euklidovim Principima.

Inverzni Pitagorin teorem- tvrdnja o pravokutnosti bilo kojeg trokuta čije su duljine stranica povezane relacijom a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Kao posljedica toga, za bilo koju trostruku pozitivni brojevi a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) i c (\displaystyle c), tako da a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), postoji pravokutni trokut s katetama a (\displaystyle a) i b (\displaystyle b) i hipotenuza c (\displaystyle c).

Dokaz

U znanstvenoj literaturi zabilježeno je najmanje 400 dokaza Pitagorinog teorema, što se objašnjava kako temeljnom vrijednošću za geometriju tako i elementarnošću rezultata. Glavni pravci dokaza su: algebarska uporaba omjera elemenata trokut (takva je npr. popularna metoda sličnosti), metoda područja, postoje i razni egzotični dokazi (npr. pomoću diferencijalnih jednadžbi).

Kroz slične trokute

Euklidov klasični dokaz ima za cilj utvrditi jednakost površina između pravokutnika nastalih raščlanjivanjem kvadrata iznad hipotenuze s visinom iz pravog kuta s kvadratima iznad kateta.

Konstrukcija koja se koristi za dokaz je sljedeća: za pravokutni trokut s pravim kutom C (\displaystyle C), kvadrate nad katetama i i kvadrate nad hipotenuzom A B I K (\displaystyle ABIK) gradi se visina C H (\displaystyle CH) i greda koja ga nastavlja s (\displaystyle s), dijeleći kvadrat iznad hipotenuze na dva pravokutnika i . Dokaz je usmjeren na utvrđivanje jednakosti površina pravokutnika A H J K (\displaystyle AHJK) s kvadratom preko noge A C (\displaystyle AC); jednakost površina drugog pravokutnika, koji je kvadrat iznad hipotenuze, i pravokutnika iznad druge katete utvrđuje se na sličan način.

Jednakost površina pravokutnika A H J K (\displaystyle AHJK) i A C E D (\displaystyle ACED) uspostavljen kroz podudarnost trokuta △ A C K ​​​​(\displaystyle \trokut ACK) i △ A B D (\displaystyle \trokut ABD), od kojih je površina svakog jednaka polovici površine kvadrata A H J K (\displaystyle AHJK) i A C E D (\displaystyle ACED) odnosno, u vezi sa sljedećim svojstvom: površina trokuta jednaka je polovici površine pravokutnika ako likovi imaju zajedničku stranicu, a visina trokuta na zajedničku stranicu je druga stranica pravokutnik. Podudarnost trokuta proizlazi iz jednakosti dviju stranica (stranica kvadrata) i kuta između njih (sastavljenog od pravog kuta i kuta pri A (\displaystyle A).

Dakle, dokaz utvrđuje da je površina kvadrata iznad hipotenuze, sastavljena od pravokutnika A H J K (\displaystyle AHJK) i B H J I (\displaystyle BHJI), jednak je zbroju površina kvadrata iznad kateta.

Dokaz Leonarda da Vincija

Metoda područja također uključuje dokaz koji je pronašao Leonardo da Vinci. Neka postoji pravokutni trokut △ A B C (\displaystyle \trokut ABC) pravi kut C (\displaystyle C) i kvadrati A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) i A B H J (\displaystyle ABHJ)(vidi sliku). U ovom dokazu sa strane H J (\displaystyle HJ) potonji, trokut je konstruiran prema van, sukladan △ A B C (\displaystyle \trokut ABC), štoviše, odražava se i u odnosu na hipotenuzu i u odnosu na visinu prema njoj (tj. J I = B C (\displaystyle JI=BC) i H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Ravno C I (\displaystyle CI) dijeli kvadrat izgrađen na hipotenuzi na dva jednaka dijela, jer trokuti △ A B C (\displaystyle \trokut ABC) i △ J H I (\displaystyle \trokut JHI) jednaki su po konstrukciji. Dokazom se utvrđuje podudarnost četverokuta C A J I (\displaystyle CAJI) i D A B G (\displaystyle DABG), od kojih je površina svakog, s jedne strane, jednaka zbroju polovice površina kvadrata na nogama i površine izvornog trokuta, s druge strane, polovici površine kvadrat na hipotenuzi plus površina izvornog trokuta. Ukupno, polovica zbroja površina kvadrata nad nogama jednaka je polovici površine kvadrata nad hipotenuzom, što je ekvivalentno geometrijskoj formulaciji Pitagorinog teorema.

Dokaz infinitezimalnom metodom

Postoji nekoliko dokaza koji koriste tehniku ​​diferencijalnih jednadžbi. Konkretno, Hardyju se pripisuje dokaz koji koristi infinitezimalne korake koraka a (\displaystyle a) i b (\displaystyle b) i hipotenuza c (\displaystyle c), te očuvanje sličnosti s izvornim pravokutnikom, odnosno osiguravanje ispunjenja sljedećih diferencijalnih relacija:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Metodom razdvajanja varijabli iz njih se izvodi diferencijalna jednadžba c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), čija integracija daje relaciju c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Primjena početnih uvjeta a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definira konstantu kao 0, što rezultira tvrdnjom teorema.

Kvadratna ovisnost u konačnoj formuli pojavljuje se zbog linearne proporcionalnosti između stranica trokuta i prirasta, dok je zbroj posljedica neovisnih doprinosa od prirasta različitih krakova.

Varijacije i generalizacije

Slični geometrijski oblici na tri strane

Važnu geometrijsku generalizaciju Pitagorinog teorema dao je Euklid u "Počecima", prelazeći s površina kvadrata na stranama na površine proizvoljnih sličnih geometrijskih likova: zbroj površina takvih likova izgrađenih na nogama bit će jednaka površini figure slične njima, izgrađene na hipotenuzi.

Glavna ideja ove generalizacije je da je površina takve geometrijske figure proporcionalna kvadratu bilo koje njezine linearna dimenzija a posebno kvadrat duljine bilo koje stranice. Stoga, za slične figure s površinama A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) i C (\displaystyle C) građena na nogama s dužinama a (\displaystyle a) i b (\displaystyle b) i hipotenuza c (\displaystyle c) prema tome, postoji odnos:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Budući da prema Pitagorinom teoremu a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), onda je gotovo.

Osim toga, ako je moguće dokazati bez pribjegavanja Pitagorinom teoremu da za površine triju sličnih geometrijskih likova na stranicama pravokutnog trokuta vrijedi odnos A + B = C (\displaystyle A+B=C), tada koristeći obrnuti dokaz Euklidove generalizacije, možemo izvesti dokaz Pitagorinog teorema. Na primjer, ako na hipotenuzi konstruiramo pravokutni trokut sukladan početnom s površinom C (\displaystyle C), a na nogama - dva slična pravokutna trokuta s područjima A (\displaystyle A) i B (\displaystyle B), tada se ispostavlja da su trokuti na nogama formirani kao rezultat dijeljenja početnog trokuta njegovom visinom, odnosno zbroj dvaju manjih površina trokuta jednak je površini trećeg, dakle A + B = C (\displaystyle A+B=C) a primjenom relacije za slične figure izvodi se Pitagorin teorem.

Kosinusni teorem

Pitagorin poučak poseban je slučaj općenitijeg kosinusnog poučka koji povezuje duljine stranica u proizvoljnom trokutu:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

gdje je kut između stranica a (\displaystyle a) i b (\displaystyle b). Ako je kut 90°, tada cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), a formula se pojednostavljuje na uobičajeni Pitagorin teorem.

Proizvoljni trokut

Postoji generalizacija Pitagorine teoreme na proizvoljan trokut, koja djeluje isključivo na omjeru duljina stranica, vjeruje se da ju je prvi uspostavio sabijski astronom Sabit ibn Kurra. U njemu, za proizvoljan trokut sa stranicama, jednakokračni trokut s bazom na stranici c (\displaystyle c), vrh koji se podudara s vrhom izvornog trokuta, nasuprot stranice c (\displaystyle c) a kutovi na bazi jednaki kutu θ (\displaystyle \theta ) suprotna strana c (\displaystyle c). Kao rezultat toga, formiraju se dva trokuta, slična izvornom: prvi sa stranama a (\displaystyle a), bočna strana upisanog jednakokračan trokut, i r (\displaystyle r)- bočni dijelovi c (\displaystyle c); drugi mu je simetričan sa strane b (\displaystyle b) sa zabavom s (\displaystyle s)- odgovarajući dio bočne strane c (\displaystyle c). Kao rezultat, ispunjena je relacija:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

koja se degenerira u Pitagorin teorem na θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Omjer je posljedica sličnosti formiranih trokuta:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Teorem Pappusove površine

Neeuklidska geometrija

Pitagorin poučak je izveden iz aksioma euklidske geometrije i nevažeći je za neeuklidsku geometriju - ispunjenje Pitagorinog poučka jednako je postulatu euklidskog paralelizma.

U neeuklidskoj geometriji, odnos između stranica pravokutnog trokuta nužno će biti u obliku različitom od Pitagorinog teorema. Na primjer, u sfernoj geometriji, sve tri stranice pravokutnog trokuta, koje omeđuju oktant jedinične sfere, imaju duljinu π / 2 (\displaystyle \pi /2), što je u suprotnosti s Pitagorinim teoremom.

Štoviše, Pitagorin poučak vrijedi u hiperboličkoj i eliptičkoj geometriji, ako se zahtjev da je trokut pravokutan zamijeni uvjetom da zbroj dvaju kutova trokuta mora biti jednak trećem.

sferna geometrija

Za svaki pravokutni trokut na sferi s polumjerom R (\displaystyle R)(npr. ako je kut u trokutu pravi) sa stranicama a , b , c (\displaystyle a,b,c) odnos između strana je:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\desno)\cdot \cos \lijevo((\frac (b)(R))\desno)).

Ova se jednakost može izvesti kao poseban slučaj teorema sfernog kosinusa, koji vrijedi za sve sferne trokute:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\desno)=\cos \lijevo((\frac (a)(R))\desno)\cdot \cos \lijevo((\frac (b)(R))\desno)+\ sin \lijevo((\frac (a)(R))\desno)\cdot \sin \lijevo((\frac (b)(R))\desno)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

gdje ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- hiperbolički kosinus. Ova je formula poseban slučaj hiperboličkog kosinusnog teorema koji vrijedi za sve trokute:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

gdje γ (\displaystyle \gamma )- kut čiji je vrh nasuprot stranice c (\displaystyle c).

Korištenje Taylorovog niza za hiperbolički kosinus ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\približno 1+x^(2)/2)) može se pokazati da ako se hiperbolički trokut smanjuje (to jest, kada a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) i c (\displaystyle c) teže nuli), tada se hiperboličke relacije u pravokutnom trokutu približavaju relaciji klasičnog Pitagorinog teorema.

Primjena

Udaljenost u dvodimenzionalnim pravokutnim sustavima

Najvažnija primjena Pitagorinog poučka je određivanje udaljenosti između dviju točaka u pravokutnom sustavu koordinata: udaljenost s (\displaystyle s) između točaka s koordinatama (a , b) (\displaystyle (a,b)) i (c , d) (\displaystyle (c,d)) jednako:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Za kompleksne brojeve, Pitagorin teorem daje prirodnu formulu za pronalaženje modula kompleksnog broja - za z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) jednaka je duljini

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja jednostavno je. Koristite obrazac u nastavku

Studenti, diplomanti, mladi znanstvenici koji koriste bazu znanja u svom studiju i radu bit će vam vrlo zahvalni.

Domaćin na http://www.allbest.ru/

Uvod

1. Iz životopisa Pitagore

2. Pitagora i pitagorejci

3. Iz povijesti nastanka teorema

4. Šest dokaza teorema

4.1 Drevni kineski dokazi

4.2 J. Gardfieldov dokaz

4.3 Dokaz je najstariji

4.4 Najjednostavniji dokaz

4.5 Dokaz drevnih

4.6 Euklidov dokaz

5. Primjena Pitagorinog teorema

5.1 Teorijski zadaci

5.2 Praktični zadaci (stari)

Zaključak

Bibliografija

UVOD

Ove akademske godine upoznali smo se sa zanimljivim teoremom, poznatim, kako se pokazalo, od davnina:

« Kvadrat,izgrađenanahipotenuzapravokutantrokutjednake veličineiznoskvadratiizgrađenananoge»

Obično se otkriće ove izjave pripisuje starogrčkom filozofu i matematičaru Pitagori (VI stoljeće prije Krista). Ali proučavanje drevnih rukopisa pokazalo je da je ova izjava bila poznata mnogo prije rođenja Pitagore.

Pitali smo se zašto se, u ovom slučaju, povezuje s imenom Pitagore.

Svrha našeg istraživanja bila je: saznati tko je bio Pitagora i kakav je on odnos prema ovom teoremu. Proučavajući povijest teorema, odlučili smo saznati:

Postoje li drugi dokazi za ovaj teorem?

Kakvo je značenje ovog teorema u životima ljudi?

Kakvu je ulogu u razvoju matematike odigrao Pitagora?

1. Iz životopisa Pitagore

Pitagora sa Samosa veliki je grčki znanstvenik. Njegovo ime poznato je svakom učeniku. Ako se od njih traži da imenuju jednog drevnog matematičara, velika većina će imenovati Pitagoru. Njegova slava povezana je s imenom Pitagorinog teorema. Iako sada već znamo da je ovaj teorem bio poznat u starom Babilonu 1200 godina prije Pitagore, au Egiptu 2000 godina prije njega bio je poznat pravokutni trokut sa stranicama 3, 4, 5, još uvijek ga nazivamo imenom ovog drevnog znanstvenik.

O Pitagorinom životu gotovo se ništa pouzdano ne zna, ali veliki broj legende.

Pitagora je rođen 570. pr. na otoku Samosu. Pitagorin otac bio je Mnesarchus, rezbar drago kamenje. Mnesarchus je, prema Apuleju, "bio poznat među majstorima po svojoj umjetnosti rezbarenja dragulja", ali je stekao slavu, a ne bogatstvo. Ime Pitagorine majke nije sačuvano.

Pitagora je bio lijepog izgleda, nosio je dugu bradu i zlatnu dijademu na glavi. Pitagora nije ime, već nadimak koji je filozof dobio jer je uvijek govorio ispravno i uvjerljivo, poput grčkog proročišta. (Pitagora - "uvjerljivi govor").

Među učiteljima mladog Pitagore bili su stariji Hermodamant i Ferekid sa Sirosa (iako nema čvrste sigurnosti da su Germodamant i Ferekid bili prvi Pitagorini učitelji). Mladi je Pitagora cijele dane provodio pred nogama starijeg Hermodamanta, slušajući melodije citre i Homerove heksametre. Strast prema glazbi i poeziji velikog Homera, Pitagora je zadržao za cijeli život. I, kao priznati mudrac, okružen gomilom učenika, Pitagora je započeo dan pjevajući jednu od Homerovih pjesama.

Ferekid je bio filozof i smatran je utemeljiteljem talijanske filozofske škole. Dakle, ako je Hermodamant uveo mladog Pitagoru u krug muza, Ferekid je svoj um usmjerio na logos. Ferekid je Pitagorin pogled usmjerio na prirodu i samo u njoj savjetovao vidjeti svog prvog i glavnog učitelja.

No, kako god bilo, nemirna mašta mladog Pitagore ubrzo se okupila na malom Samosu, te on odlazi u Milet, gdje se susreće s još jednim znanstvenikom, Talesom. Tales mu je savjetovao da ode u Egipat po znanje, što je Pitagora i učinio.

550. godine prije Krista Pitagora donosi odluku i odlazi u Egipat. Dakle, pred Pitagorom se otvara nepoznata zemlja i nepoznata kultura. Mnogo zadivljen i iznenađen Pitagora u ovoj zemlji, a nakon nekoliko promatranja života Egipćana, Pitagora je shvatio da put do znanja, zaštićen od strane svećenika, leži kroz religiju.

Zajedno s egipatskim dječacima sjeo je i on za vapnenačke ploče, zreli Helen crne kovrčave brade. Ali za razliku od njegovih manjih drugova, bradati Ellin uši nisu bile na leđima, a glava mu je stajala mirno. Vrlo brzo, Pitagora je bio daleko ispred svojih kolega. Ali škola pisara bila je samo prvi korak na putu do tajnog znanja.

Nakon jedanaest godina studija u Egiptu, Pitagora odlazi u svoju domovinu, gdje usput pada u babilonsko sužanjstvo. Tu se upoznaje s babilonskom znanošću, koja je bila razvijenija od egipatske. Babilonci su znali rješavati linearne, kvadratne i neke vrste kubnih jednadžbi. Uspješno su primijenili Pitagorin teorem više od 1000 godina prije Pitagore. Pobjegavši ​​iz zarobljeništva, nije mogao dugo ostati u domovini zbog atmosfere nasilja i tiranije koja je tamo vladala. Odlučio se preseliti u Croton (grčka kolonija u sjevernoj Italiji).

Upravo u Crotonu počinje najslavnije razdoblje u životu Pitagore. Tamo je osnovao nešto poput vjersko-etičkog bratstva ili tajnog monaškog reda, čiji su članovi bili dužni voditi tzv. pitagorejski način života.

2. Pitagoraipitagorejci

Pitagora je organizirao u grčka kolonija na jugu Apeninskog poluotoka, vjersko i etičko bratstvo, kao što je monaški red, koji će se kasnije nazvati Pitagorina unija. Članovi unije morali su se pridržavati određenih načela: prvo, težiti lijepom i veličanstvenom, drugo, biti korisni, i treće, težiti visokom zadovoljstvu.

Sustav moralnih i etičkih pravila, koje je Pitagora ostavio u nasljeđe svojim učenicima, sastavljen je u svojevrsni moralni kodeks Pitagorejaca "Zlatni stihovi", koji su bili vrlo popularni u doba antike, srednjeg vijeka i renesanse. Pitagorejski sustav učenja sastojao se od tri dijela:

učenja o brojevima - aritmetika,

nauk o figurama - geometrija,

učenja o građi svemira – astronomija.

Obrazovni sustav koji je postavio Pitagora trajao je mnoga stoljeća.

Pitagorejci su učili da je Bog stavio brojeve u temelj svjetskog poretka. Bog je jedinstvo, a svijet je mnogostruk i sastoji se od suprotnosti. Ono što dovodi suprotnosti u jedinstvo i ujedinjuje sve u kozmos je harmonija. Harmonija je božanska i leži u brojčanim izrazima. Tko do kraja prouči harmoniju, sam će postati božanski i besmrtan.

Glazba, harmonija i brojevi bili su neraskidivo povezani u učenjima Pitagorejaca. U njemu su se fantastično miješali matematika i numerički misticizam. Pitagora je vjerovao da je broj bit svih stvari i da je svemir harmoničan sustav brojeva i njihovih odnosa.

Pitagorina škola učinila je mnogo da geometrija dobije karakter znanosti. Glavna značajka Pitagorine metode bila je kombinacija geometrije i aritmetike.

Pitagora se dosta bavio proporcijama i progresijama te, vjerojatno, sličnošću figura, budući da je on zaslužan za rješenje problema: "Na temelju zadanih dviju figura konstruiraj treću, jednaku veličini jednoj od podataka i sličnu drugi."

Pitagora i njegovi učenici uveli su koncept poligonalnih, prijateljskih, savršenih brojeva i proučavali njihova svojstva. Aritmetika, kao praksa računanja, nije zanimala Pitagoru, a on je ponosno izjavio da je "aritmetiku stavio iznad interesa trgovca".

Pitagora je bio jedan od prvih koji je vjerovao da Zemlja ima oblik lopte i da je središte Svemira, da Sunce, Mjesec i planeti imaju vlastito kretanje, različito od dnevnog kretanja zvijezda fiksnica.

Nauk pitagorejaca o kretanju Zemlje Nikola Kopernik doživljavao je kao prapovijest svog heliocentričnog učenja. Nije ni čudo što je crkva Kopernikov sustav proglasila "lažnom pitagorejskom doktrinom".

U Pitagorinoj školi otkrića učenika pripisivala su se učitelju, pa je gotovo nemoguće utvrditi što je učinio sam Pitagora, a što njegovi učenici.

Već treće tisućljeće vode se sporovi oko pitagorejske unije, ali još uvijek nema zajedničkog mišljenja. Pitagorejci su imali mnogo simbola i znakova koji su bili svojevrsne zapovijedi: na primjer, "ne prelazi preko vaga", tj. ne krši pravdu; ne raspiruj vatru nožem, ”to jest, ne povrijeđuj ljute ljude uvredljivim riječima.

Ali glavni Pitagorin simbol - simbol zdravlja i identifikacijski znak - bio je pentagram ili Pitagorina zvijezda - zvjezdani peterokut sastavljen od dijagonala pravilnog peterokuta.

Članovi Pitagorejske unije bili su stanovnici mnogih gradova u Grčkoj.

Domaćin na http://www.allbest.ru/

Domaćin na http://www.allbest.ru/

Pitagorejci su također primali žene u svoje društvo. Sindikat je cvjetao više od dvadeset godina, a onda su počeli progoni njegovih članova, mnogi studenti su ubijeni.

Bilo je mnogo glasina o smrti samog Pitagore. različite legende. Ali učenja Pitagore i njegovih učenika nastavila su živjeti.

3. IzpričeteoremiPitagora

Trenutno je poznato da ovaj teorem nije otkrio Pitagora. Međutim, neki vjeruju da je Pitagora prvi dao njezin potpuni dokaz, dok mu drugi odriču tu zaslugu. Neki pripisuju Pitagori dokaz koji Euklid daje u prvoj knjizi svojih Elemenata. S druge strane, Proklo tvrdi da je dokaz u Elementima zaslužan sam Euklid.

Kao što vidimo, povijest matematike nema gotovo nikakvih pouzdanih konkretnih podataka o Pitagorinom životu i njegovoj matematičkoj djelatnosti. Ali legenda govori čak io neposrednim okolnostima koje su pratile otkriće teorema. Mnogima je poznat sonet njemačkog romanopisca Chamissoa:

Istina će ostati vječna, koliko brzo

Slab čovjek će to znati!

A sada Pitagorin teorem

Verna, kao u svom dalekom dobu.

Žrtva je bila obilna.

Bogovi iz Pitagore. Sto bikova

Dao je na klanje i spaljivanje

Iza svjetla je zraka koja je došla iz oblaka.

Stoga se od tada

Mala istina se rađa na svijet,

Bikovi riču, osjetivši je, slijede je,

Ne mogu zaustaviti svjetlo

A mogu samo zatvoriti oči i drhtati

Od straha koji im je ulijevao Pitagora.

Počnimo s povijesnim pregledom Pitagorinog poučka antičkiKina. Ovdje Posebna pažnja privučen matematičkom knjigom Chu-peija. Ovaj esej govori ovo o Pitagorinom trokutu sa stranicama 3, 4 i 5:

« Ako aravnokutakrazgraditi senakompozitnidijelovi,zatimcrta,povezivanjezavršavanjegovstrane,bit će5, kadabazatamo je3, avisina4 » .

Vrlo je lako reproducirati njihov način gradnje. Uzmite uže duljine 12 m i privežite ga za njega duž obojene trake na udaljenosti od 3 m. s jednog kraja i 4 metra s drugog.

Između stranica duljine 3 i 4 metra bit će zatvoren pravi kut. U istoj knjizi predlaže se crtež koji se podudara s jednim od crteža hinduističke geometrije Bashare.

Cantor(najveći njemački povjesničar matematike) smatra da su jednakost 3Í + 4Í = 5Í već poznavali Egipćani oko 2300. godine prije Krista, za vrijeme kralja Amenemhata I. (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja).

Prema Cantoru, harpedonapti ili "strunari" gradili su prave kutove koristeći pravokutne trokute sa stranicama 3, 4 i 5.

Babilonci su nešto više znali o Pitagorinom teoremu. U jednom tekstu koji datira iz vremena Hamurabija, tj. do 2000. pr. Kr., dan je približan izračun hipotenuze pravokutnog trokuta; iz ovoga možemo zaključiti da su u Mezopotamiji mogli izvoditi izračune s pravokutnim trokutima, barem u nekim slučajevima.

GeometrijanaHindusi bio usko povezan s kultom. Vrlo je vjerojatno da je teorem o kvadratu hipotenuze već bio poznat u Indiji oko 8. stoljeća pr. Uz čisto obredne propise, postoje djela geometrijski teološke prirode, nazvana Sulvasutre. U tim spisima, koji datiraju iz 4. ili 5. stoljeća prije Krista, susrećemo konstrukciju pravog kuta pomoću trokuta sa stranicama 15, 36, 39.

NAsrednjistoljeća Pitagorin teorem definirao je granicu, ako ne najvećeg mogućeg, onda barem dobrog matematičkog znanja. Karakterističan crtež Pitagorinog teorema, koji sada školarci ponekad pretvaraju, na primjer, u profesora odjevenog u ogrtač ili čovjeka s cilindrom, često se u to vrijeme koristio kao simbol matematike.

U zaključku predstavljamo različite formulacije Pitagorinog teorema prevedene s grčkog, latinskog i njemačkog jezika.

NaEuklid ovaj teorem glasi (doslovan prijevod):

NApravokutantrokutkvadratruka,rastegnutiznaddirektnokut,jednakikvadratinastrane,zaključujućiravnokutak.

Latinski prijevod arapskog teksta Annaritia(oko 900. pr. Kr.) Gerharda Cremonese(12. stoljeće) glasi (u prijevodu):

"Ubilo kojipravokutantrokutkvadrat,obrazovannastrana,rastegnutiznaddirektnokut,jednakiiznosdvakvadrati,obrazovannadvastrane,zaključujućiravnokut"

U Geometry Culmonensis (oko 1400.), teorem glasi ovako (u prijevodu): « Tako,kvadratkvadrat,izmjerenonadugostrana,takoistiSjajno,kakonadvakvadrati,kojiizmjerenonadvastrankenjegov,susjednidodirektnokutak»

U ruskom prijevodu euklidskih "Početaka", Pitagorina teorema je navedena na sljedeći način: "NApravokutantrokutkvadratizruka,suprotandirektnokut,jednakiiznoskvadratiizstrane,koji sadržiravnokut".

Kao što vidimo, u različite zemlje i različiti jezici Postoje različite verzije formulacije poznatog teorema. Stvoreni u različitim vremenima i na različitim jezicima, oni odražavaju bit jednog matematičkog obrasca, čiji dokaz također ima nekoliko opcija.

dokaz pitagorinog matematičkog teorema

4. ŠestnačinedokazteoremiPitagora

4.1 drevni kineskidokaz

Na drevnom kineskom crtežu četiri su jednaka pravokutna trokuta s kracima a, b i hipotenuza S složeni tako da im vanjski obris čini kvadrat sa stranicom a+ b, a unutarnji je kvadrat sa stranicom S izgrađen na hipotenuzi

a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab

4.2 DokazJ.stražarnica(1882 G.)

Posložimo dva jednaka pravokutna trokuta tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog.

Površina razmatranog trapeza nalazi se kao umnožak polovice zbroja baza i visine

S druge strane, površina trapeza jednaka je zbroju površina dobivenih trokuta:

Izjednačavanjem ovih izraza dobivamo:

ili c 2 = a 2 + b 2

4.3 najstarijidokaz(sadržanoujedanizdjelaBhaskara).

Neka je ABCD kvadrat čija je stranica jednaka hipotenuzi pravokutnog trokuta ABE (AB = c, BE = a, AE = b);

Neka je CK BE = a, DL CK, AM DL

DABE = ?BCK = ?CDL = ?AMD,

pa je KL = LM = ME = EK = a-b.

4.4 Dokazprotozoa

Ovaj dokaz dobivamo u najjednostavnijem slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Vjerojatno je teorem započeo s njim.

Doista, dovoljno je samo pogledati popločavanje jednakokračnih pravokutnih trokuta da bismo vidjeli da je teorem točan.

Na primjer, za trokut ABC: kvadrat izgrađen na hipotenuzi AC sadrži 4 početna trokuta, a kvadrati izgrađeni na katetama sadrže dva. Teorem je dokazan.

4.5 DokazantičkiHindusi[ 2]

Kvadrat sa stranicom (a + b) može se podijeliti na dijelove ili kao na slici a) ili kao na slici b). Jasno je da dijelovi 1, 2, 3, 4 isti su na obje slike. A ako se od jednakih (površina) oduzmu jednaki, onda će ostati jednaki, tj. S 2 = a 2 + b 2 .

a) b)

Međutim,antičkiIndijanci,kojipripadaovo jerasuđivanje,običnonesnimljenonjegov,au pratnjisamojedanu jednoj riječi:Izgled!

4.6 DokazEuklid

Dva tisućljeća najčešći je bio dokaz Pitagorinog teorema, koji je izmislio Euklid. Nalazi se u njegovoj poznatoj knjizi "Počeci".

Euklid je spustio visinu BH s vrha pravog kuta na hipotenuzu i dokazao da njezin produžetak dijeli na hipotenuzi dovršeni kvadrat na dva pravokutnika čije su površine jednake površinama odgovarajućih kvadrata izgrađenih na katetama.

Crtež korišten u dokazu ovog teorema u šali se naziva "Pitagorine hlače". Dugo je smatran jednim od simbola matematičke znanosti.

Učenici srednjeg vijeka smatrali su dokaz Pitagorinog teorema vrlo teškim i nazivali su ga Dons asinorum - magareći most, ili elefuga - bijeg "jadnika", budući da su neki "jadnici" učenici koji nisu imali ozbiljnije matematičke naobrazbe bježali iz geometrija. Slabi učenici koji su pamtili teoreme bez razumijevanja, pa su ih zbog toga nazivali "magarcima", nisu bili u stanju savladati Pitagorin teorem koji im je služio kao nepremostiv most. Zbog crteža koji prate Pitagorin poučak učenici su ga nazivali i "vjetrenjača", sastavljali pjesmice poput "Pitagorine su hlače na sve strane jednake" i crtali karikature.

5. PrimjenateoremiPitagora

5.1 Zadaciteoretskimoderna

1. Opseg romba je 68 cm, a jedna njegova dijagonala 30 cm.Odredi duljinu druge dijagonale romba.

Hipotenuza KR pravokutnog trokuta KMR je cm, a krak MP 4 cm.Nađite medijan PC.

Kvadrati su izgrađeni na stranicama pravokutnog trokuta, i

S 1 -S 2 \u003d 112 cm 2 i S 3 \u003d 400 cm 2. Nađi opseg trokuta.

Dan je trokut ABC, kut C \u003d 90 0, CD AB, AC \u003d 15 cm, AD = 9 cm.

Nađi AB.

5.2 Zadacipraktičniberba

Za fiksiranje jarbola potrebno je instalirati 4 sajle. Jedan kraj svakog kabela treba pričvrstiti na visini od 12 m, drugi na tlu na udaljenosti od 5 m od jarbola. Je li 50 m užeta dovoljno za učvršćivanje jarbola?

ZadatakIndijanacmatematikaXIIstoljećaBhaskara

Na obali rijeke rasla je usamljena topola

Odjednom je nalet vjetra slomio njegovo deblo.

Jadna topola je pala. I pravi kut

Uz tok rijeke, njeno deblo je bilo.

Sjetite se sada da na tom mjestu postoji rijeka

Bio je širok samo četiri stope.

Vrh se naslonio na rub rijeke.

Još samo tri stope od debla

Molim te, reci mi sad uskoro:

Koliko je visoka topola?"

Zadatakizudžbenik"Aritmetika"LeontijeMagnitskog

“Ako se to dogodilo određenoj osobi sa zidom, očistite ljestve, zidovi te visine su 117 stopa. I izrezat ćete ljestve duljine 125 stopa.

I on želi znati koliko zastoja treba držati donji kraj zida.

Zadatakizkineski„Matematičariudevetknjige"

"Postoji rezervoar sa stranicom od 1 zhang = 10 chi. U središtu raste trska, koja strši 1 chi iznad vode. Ako povučete trsku prema obali, samo će je dotaknuti.

Pitanje je: kolika je dubina vode i kolika je duljina trske?

Zaključak

Pitagorin teorem je toliko poznat da je teško zamisliti osobu koja nije čula za njega. Proučili smo niz povijesnih i matematičkih izvora, uključujući informacije na internetu, i uvidjeli da je Pitagorin teorem zanimljiv ne samo zbog svoje povijesti, već i zato što zauzima važno mjesto u životu i znanosti. O tome svjedoče različite interpretacije teksta ovog teorema prikazane u ovom radu i načini njegovih dokaza.

Dakle, Pitagorin teorem jedan je od glavnih i, moglo bi se reći, najvažniji teorem geometrije. Njegovo značenje je u tome što se iz njega ili uz njegovu pomoć može izvesti većina geometrijskih teorema. Pitagorin teorem je također izvanredan po tome što sam po sebi nije nimalo očit. Na primjer, svojstva jednakokračnog trokuta mogu se vidjeti izravno na crtežu. Ali koliko god gledali u pravokutni trokut, nikada nećete vidjeti da postoji jednostavan omjer između njegovih stranica: c 2 \u003d a 2 + b 2. Stoga se vizualizacija često koristi za dokazivanje.

Zasluga Pitagore bila je u tome što je dao potpuni znanstveni dokaz ovog teorema.

Zanimljiva je osobnost samog znanstvenika čije sjećanje nije slučajno sačuvano ovim teoremom. Pitagora je divan govornik, učitelj i odgojitelj, organizator svoje škole, usmjerene na harmoniju glazbe i brojeva, dobrote i pravde, znanja i Zdrav stil životaživot. On bi mogao poslužiti kao primjer nama, dalekim potomcima.

KnjiževnostiiInternet resursi:

G.I. Glazer Povijest matematike u školi VII-VIII razreda, vodič za učitelje, - M: Prosvjeta, 1982.

I JA. Dempan, N.Ya. Vilenkin "Iza stranica udžbenika matematike" Priručnik za učenike 5-6 razreda, Moskva, Obrazovanje, 1989.

I.G. Zenkevich "Estetika lekcije matematike", M .: Obrazovanje 1981.

Voitikova N.V. "Pitagorin poučak" predmetni rad, Anzhero-Sudzhensk, 1999

W. Litzman. Pitagorina teorema, M. 1960.

A.V. Vološinov "Pitagora" M. 1993.

L.F. Pichurin "Iza stranica udžbenika algebre" M. 1990.

A.N. Zemlyakov "Geometrija u 10. razredu" M. 1986.

V.V. Afanasiev "Formiranje kreativne aktivnosti učenika u procesu rješavanja matematičkih problema" Yaroslavl 1996.

P.I. Altynov "Testovi. Geometrija 7-9 ćelija. M. 1998.

List "Matematika" 17/1996.

List "Matematika" 3/1997.

N.P. Antonov, M.Ya. Vygodsky, V.V. Nikitin, A.I. Sankin "Zbirka zadataka iz elementarne matematike". M. 1963.

G.V. Dorofejev, M.K. Potapov, N.Kh. Rozov "Matematički priručnik". M. 1973

A.I. Ščetnikov Pitagorin nauk o broju i veličini. Novosibirsk 1997.

„Pravi brojevi. Iracionalni izrazi» 8. razred. Tomsk University Press. Tomsk - 1997.

M.S. Atanasyan "Geometrija" Razred 7-9. M: Prosvjeta, 1991

Domaćin na Allbest.ru

Slični dokumenti

Povijest nastanka teorema. Kratak životopis iz života Pitagore sa Samosa. Osnovne tvrdnje teoreme. Dokaz Euklida, Hawkins. Dokaz putem: slični trokuti, ekvikomplementacija. Praktična primjena teorema.

prezentacija, dodano 21.10.2011


Popularnost i biografija velikog matematičara, tajne Pitagorinog teorema "O jednakosti kvadrata hipotenuze pravokutnog trokuta sa zbrojem kvadrata kateta", povijest teorema. Razni načini dokazivanja Pitagorinog teorema, područja njegove primjene.

prezentacija, dodano 28.02.2012


Kratka biografska crtica o Pitagorinom životu. Povijest pojave Pitagorinog teorema, njegova daljnja distribucija u svijetu. Tvrdnja i dokaz teorema različitim metodama. Mogućnosti primjene Pitagorinog poučka u proračunima.

prezentacija, dodano 17.11.2011


Stranice životopisa starogrčkog filozofa i matematičara Pitagore. Pitagorin teorem: osnovne formulacije i metode dokazivanja. Obrnuta Pitagorina teorema. Primjeri zadataka za primjenu Pitagorina poučka. "Pitagorine hlače" i "trojka", "Pitagorino stablo".

znanstveni rad, dodan 29.03.2011


Glavna Pitagorina otkrića u području geometrije, geografije, astronomije, glazbe i numerologije. Izvorne i algebarske formulacije poznatog teorema. Jedan od mnogih načina da se dokaže Pitagorin teorem, njegove glavne posljedice i primjene.

prezentacija, dodano 05.12.2010


životni put Pitagora, njegova putovanja i tajanstvena smrt. Pitagorine zasluge u aritmetici, geometriji, glazbi i astronomiji. Antičke i moderne formulacije Pitagorinog teorema. Trigonometrijski dokaz i neke primjene ovog teorema.

prezentacija, dodano 13.12.2011


Provedba dokaza Pitagorinog poučka, Fermatove i Bielove hipoteze metodom parametarskih jednadžbi u kombinaciji s metodom promjene varijabli. Jednadžba Fermatova teorema kao posebna verzija jednadžbe Bielove hipoteze, te jednadžba Fermatova teorema - Pitagorin teorem.

kreativni rad, dodano 20.05.2009


Životni put filozofa i matematičara Pitagore. Različiti načini dokazivanja njegovog teorema utvrđivanja odnosa između stranica pravokutnog trokuta (metoda površina). Korištenje inverznog teorema kao oznake pravokutnog trokuta.

prezentacija, dodano 04.04.2019


Pitagorin put do znanja, izvori njegovih učenja i znanstvena djelatnost. Formulacija Pitagorinog poučka, njegov najjednostavniji dokaz na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta. Primjena proučavanog teorema za rješavanje geometrijskih problema.

prezentacija, dodano 18.12.2012


Geometrijska i algebarska formulacija Pitagorinog poučka. Brojni dokazi za to: kroz slične trokute, metodom površina, kroz jednaku komplementarnost, uz pomoć diferencijalnih jednadžbi. Dokazi Euklida i Leonarda da Vincija.