U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: umnožak vektora i mješoviti produkt vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se dogodi da za potpunu sreću, pored toga točkasti umnožak vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska ovisnost. Može se steći dojam da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike uglavnom ima malo drva za ogrjev, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, gradivo je vrlo uobičajeno i jednostavno - teško da je teže od istog skalarni proizvod, čak će biti i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, kao što će mnogi vidjeti ili su već vidjeli, je NE POGREŠITI U IZRAČUNIMA. Ponavljajte kao čaroliju i bit ćete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munje na horizontu, nema veze, počni s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovno steći osnovno znanje o vektorima. Pripremljeniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktični rad

Što će vas usrećiti? Kad sam bio mali, znao sam žonglirati s dvije, pa i tri lopte. Dobro je ispalo. Sada uopće nema potrebe žonglirati, budući da ćemo razmisliti samo prostorni vektori, a ravni vektori s dvije koordinate bit će izostavljeni. Zašto? Tako su se rodile ove akcije - vektor i mješoviti umnožak vektora definirani su i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već lakše!

U ovoj operaciji, na isti način kao u skalarnom umnošku, dva vektora. Neka budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sljedeći način: . Ima i drugih opcija, ali ja sam navikao križni umnožak vektora označavati na ovaj način, u uglatim zagradama s križićem.

I to odmah pitanje: ako je unutra točkasti umnožak vektora uključena su dva vektora, a ovdje se također množe dva vektora koja je razlika? Jasna razlika, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog produkta vektora je BROJ:

Rezultat umnoška vektora je VEKTOR: , tj. množimo vektore i opet dobivamo vektor. Zatvoreni klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U raznim obrazovnim literaturama, oznake također mogu varirati, ja ću koristiti slovo .

Definicija unakrsnog umnoška

Prvo će biti definicija sa slikom, a zatim komentari.

Definicija: rezultat dva vektora nekolinearni vektori, uzeti u dati nalog , naziva se VEKTOR, duljinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, a usmjeren je tako da baza ima pravu orijentaciju:

Analiziramo definiciju po kostima, ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, možemo istaknuti sljedeće značajne točke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearna. Bit će prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Uzeti vektori u strogom redu: – "a" se množi s "be", a ne "biti" na "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR , koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože sa obrnuti redoslijed, tada dobivamo vektor jednake duljine i suprotnog smjera (grmizna boja). Odnosno, jednakost .

3) Sada se upoznajmo s geometrijskim značenjem vektorskog produkta. Ovo je vrlo važna točka! DULJINA plavog vektora (i, prema tome, grimiznog vektora ) brojčano je jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima . Na slici je ovaj paralelogram osjenčan crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski i, naravno, nominalna duljina križnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Podsjećamo na jednu od geometrijskih formula: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa kuta između njih. Stoga, na temelju prethodno navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DULJINE vektorskog produkta:

Naglašavam da se u formuli govori o DULJINI vektora, a ne o samom vektoru. Koje je praktično značenje? A značenje je takvo da se u problemima analitičke geometrije područje paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Dobivamo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena točkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trokuta. Stoga se područje trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći formulom:

4) Ne manje od važna činjenica je da je vektor okomit na vektore, tj. . Naravno, suprotno usmjereni vektor (grmizna strelica) također je okomit na izvorne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnova Ima pravo orijentacija. U lekciji o prijelaz na novu osnovu Govorio sam detaljno o ravninska orijentacija, a sada ćemo shvatiti koja je orijentacija prostora. Objasnit ću ti na prstima desna ruka . Mentalno kombinirajte kažiprst s vektorom i srednji prst s vektorom. prstenjak i mali prst pritisnite na dlan. Kao rezultat palac- vektorski produkt će izgledati gore. Ovo je desno orijentirana baza (na slici je). Sada zamijenite vektore ( indeks i srednji prsti ) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je također desno orijentirana osnova. Možda imate pitanje: koja osnova ima lijevu orijentaciju? "Dodijelite" iste prste lijeva ruka vektore, i dobiti lijevu bazu i lijevu prostornu orijentaciju (u ovom slučaju palac će se nalaziti u smjeru donjeg vektora). Slikovito govoreći, ove baze “izvijaju” ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentacija prostora mijenja se samim obično ogledalo, a ako "izvučete reflektirani objekt iz zrcala", tada ga u općem slučaju neće biti moguće kombinirati s "originalom". Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro da sada znate za to desno i lijevo orijentirano baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije strašne =)

Vektorski produkt kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razrađena, ostaje nam otkriti što se događa kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš se paralelogram također "presavija" u jednu ravnu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerirati paralelogram je nula. Isto slijedi iz formule - sinus nula ili 180 stupnjeva jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda . Strogo govoreći, sam križni umnožak jednak je nultom vektoru, no u praksi se to često zanemaruje i piše da je jednostavno jednak nuli.

Poseban slučaj je vektorski produkt vektora i samog sebe:

Pomoću križnog umnoška možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo između ostalog analizirati i ovaj problem.

Za rješenja praktični primjeri može biti potrebno trigonometrijska tablica pronaći vrijednosti sinusa iz njega.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Odredite duljinu vektorskog umnoška vektora ako

b) Odredite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Riješenje: Ne, ovo nije tipfeler, namjerno sam napravio iste početne podatke u stavkama uvjeta. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uvjetu traži se pronaći duljina vektor (vektorski produkt). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Budući da je postavljeno pitanje o duljini, tada u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uvjetu traži se pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima . Površina ovog paralelograma brojčano je jednaka duljini križnog proizvoda:

Odgovor:

Napominjemo da u odgovoru o vektorskom umnošku uopće nema govora o kojem smo pitani područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvijek gledamo ŠTO se uvjetom traži i na temelju toga formuliramo čisto odgovor. Možda se čini kao bukvalizam, ali među nastavnicima ima dovoljno bukvalista, pa će zadatak s dobrim izgledima biti vraćen na doradu. Iako se ne radi o posebno nategnutoj zadirkivanju - ako je odgovor netočan, stječe se dojam da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije shvatila bit zadatka. Ovaj trenutak treba uvijek držati pod kontrolom, rješavajući bilo koji problem u višoj matematici, ali iu drugim predmetima.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? Načelno bi se moglo dodatno zalijepiti za rješenje, ali da bih skratio zapis, nisam. Nadam se da svi to razumiju i da je to oznaka iste stvari.

Popularan primjer rješenja "uradi sam":

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod navedena je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi, zadatak je stvarno vrlo čest, trokuti se općenito mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Svojstva umnoška vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog produkta, ali ću ih uključiti u ovaj popis.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj vrijede sljedeća svojstva:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka obično nije istaknuta u svojstvima, ali je vrlo važna u praktičnom smislu. Pa neka bude.

2) - imovina se također raspravlja gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, bitan je redoslijed vektora.

3) - kombinacija odn asocijativni zakoni vektorskog produkta. Konstante se lako izvlače iz granica vektorskog produkta. Stvarno, što oni tamo rade?

4) - raspodjela odn distribucija zakoni vektorskog produkta. Nema problema ni s otvaranjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratki primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Riješenje: Prema uvjetu, opet je potrebno pronaći duljinu vektorskog produkta. Naslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima, izbacujemo konstante izvan granica vektorskog produkta.

(2) Konstantu vadimo iz modula, dok modul “jede” znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovor:

Vrijeme je za bacanje drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako

Riješenje: Pronađite površinu trokuta pomoću formule . Problem je u tome što su vektori "ce" i "te" sami po sebi predstavljeni kao sume vektora. Algoritam je ovdje standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 lekcije. Točkasti umnožak vektora. Podijelimo to u tri koraka radi jasnoće:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski umnožak kroz vektorski umnožak, zapravo, izraziti vektor pomoću vektora. O duljini još nema riječi!

(1) Zamjenjujemo izraze vektora .

(2) Koristeći zakone distribucije otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, izbacujemo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i zadnji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva . U drugom članu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog produkta:

(5) Predstavljamo slične uvjete.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je bilo potrebno postići:

2) U drugom koraku nalazimo duljinu vektorskog produkta koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite područje željenog trokuta:

Koraci 2-3 rješenja mogu se poredati u jedan red.

Odgovor:

Razmatrani problem je prilično čest u testovima, evo primjera za neovisno rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Umnožak vektora u koordinatama

, dan u ortonormiranoj bazi , izražava se formulom:

Formula je vrlo jednostavna: upišemo koordinatne vektore u gornji redak determinante, koordinate vektora “spakiramo” u drugi i treći redak i stavimo u strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako vektore treba pomnožiti drugačijim redoslijedom, tada se linije također trebaju zamijeniti:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Riješenje: Validacija temeljena na jednoj od tvrdnji ovu lekciju: ako su vektori kolinearni, tada je njihov vektorski umnožak nula (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski produkt:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski produkt:

Odgovor: a) nije kolinearan, b)

Ovdje su možda sve osnovne informacije o vektorskom produktu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti velik, jer postoji nekoliko problema u kojima se koristi mješoviti umnožak vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Ovako su se poredali ko vlak i čekaju, jedva čekaju dok se ne obračunaju.

Prvo opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti proizvod nekoplanarni vektori, uzeti ovim redom, Zove se volumen paralelopipeda, izgrađen na tim vektorima, opremljen znakom "+" ako je baza desna, i znakom "-" ako je baza lijevo.

Napravimo crtež. Nama nevidljive linije nacrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Uzeti vektori određenim redoslijedom, odnosno permutacija vektora u produktu, kao što pretpostavljate, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije komentiranja geometrijskog značenja, primijetit ću očitu činjenicu: mješoviti umnožak vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, ja sam označavao mješoviti proizvod kroz, a rezultat izračuna slovom "pe".

Po definiciji mješoviti umnožak je obujam paralelopipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak volumenu zadanog paralelopipeda.

Bilješka : Crtež je shematski.

4) Da se opet ne zamaramo konceptom orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se glasnoći može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti umnožak može biti negativan: .

Formula za izračunavanje volumena paralelopipeda izgrađenog na vektorima slijedi izravno iz definicije.

Mješoviti (ili vektorsko-skalarni) produkt tri vektora a, b, c (uzeti ovim redoslijedom) naziva se skalarni umnožak vektora a i vektorskog umnoška b x c, tj. broja a(b x c), ili, što je isto, (b x c)a.
Oznaka: abc.

Ugovoreni sastanak. Mrežni kalkulator dizajniran je za izračunavanje mješovitog umnoška vektora. Dobiveno rješenje sprema se u Word datoteku. Osim toga, predložak rješenja izrađuje se u Excelu.

a ( ; ; )
b( ; ; )
c( ; ; )
Pri izračunavanju determinante služi se pravilom trokuta

Znakovi komplanarnosti vektora

Za tri vektora (ili više) se kaže da su komplanarni ako oni, kada se svedu na zajedničko ishodište, leže u istoj ravnini.
Ako je barem jedan od tri vektora nula, tada se tri vektora također smatraju koplanarnima.

Znak komplanarnosti. Ako je sustav a, b, c pravi, tada je abc>0 ; ako lijevo, onda abc Geometrijsko značenje mješovitog proizvoda. Mješoviti umnožak abc triju nekoplanarnih vektora a, b, c jednak je volumenu paralelopipeda izgrađenog na vektorima a, b, c, uzetom s predznakom plus ako je sustav a, b, c pravi, i s predznakom minus ako je ovaj sustav lijevo.

Mješovita svojstva proizvoda

1. Kod kružne permutacije faktora mješoviti umnožak se ne mijenja, kod permutacije dva faktora on mijenja predznak: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   To proizlazi iz geometrijskog značenja.
2. (a+b)cd=acd+bcd (svojstvo distribucije). Proširuje se na bilo koji broj pojmova.
   To proizlazi iz definicije mješovitog proizvoda.
3. (ma)bc=m(abc) (asocijativno svojstvo u odnosu na skalarni faktor).
   To proizlazi iz definicije mješovitog proizvoda. Ova svojstva omogućuju primjenu transformacija na mješovite produkte koji se razlikuju od običnih algebarskih samo po tome što se redoslijed faktora može mijenjati samo uzimajući u obzir znak proizvoda.
4. Mješoviti umnožak koji ima najmanje dva jednaka faktora jednak je nuli: aab=0 .

Primjer #1. Pronađite mješoviti proizvod. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Primjer #2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca . Svi članovi, osim dva krajnja, jednaki su nuli. Također, bca=abc . Prema tome (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Primjer #3. Izračunajte mješoviti umnožak tri vektora a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Riješenje. Za izračun mješovitog umnoška vektora potrebno je pronaći determinantu sustava sastavljenog od koordinata vektora. Sustav zapisujemo u obliku

The online kalkulator izračunava mješoviti umnožak vektora. Dano je detaljno rješenje. Za izračun mješovitog umnoška vektora odaberite način prikaza vektora (koordinatama ili dvije točke), unesite podatke u ćelije i kliknite na "Izračunaj".

×

Upozorenje

Očistiti sve ćelije?

Zatvori Clear

Uputa za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102,54 itd.) ili razlomci. Razlomak mora biti upisan u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Mješoviti umnožak vektora (teorija)

mješoviti proizvod tri vektora je broj koji proizlazi iz točkasti proizvod proizlaziti vektorski proizvod prva dva vektora u treći vektor. Drugim riječima, dana su tri vektora a, b i c, zatim da se dobije mješoviti produkt ovih vektora, prvo prva dva vektora i rezultirajući vektor [ ab] je skalar pomnožen vektorom c.

Mješoviti umnožak triju vektora a, b i c označeno ovako: abc ili tako ( a,b,c). Tada možete napisati:

abc=([ab],c)

Prije formuliranja teorema koji predstavlja geometrijsko značenje mješovitog proizvoda, upoznajte se s konceptima desne trojke, lijeve trojke, desnog koordinatnog sustava, lijevog koordinatnog sustava (definicije 2, 2 "i 3 na stranici umnožak vektora online).

Definicije radi, u nastavku ćemo razmatrati samo desne koordinatne sustave.

Teorem 1. Mješoviti umnožak vektora ([ab],c) jednak je volumenu paralelepeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a, b, c, uzeto sa znakom plus, ako je trostruko a, b, c desno, a sa znakom minus ako je trostruki a, b, c lijevo. Ako vektori a, b, c su komplanarne, tada ([ ab],c) je nula.

Korolar 1. Vrijedi jednakost:

Stoga nam je dovoljno to dokazati

([ab],c)=([prije Krista],a)

(3)

Iz izraza (3) je vidljivo da su lijevi i desni dio jednaki volumenu paralelopeda. No, predznaci desne i lijeve strane također se podudaraju, budući da su trojke vektora abc i bca imaju istu orijentaciju.

Dokazana jednakost (1) omogućuje nam pisanje mješovitog umnoška triju vektora a, b, c samo u obliku abc, bez navođenja koja se dva vektora vektorski množe s prva dva ili posljednja dva.

Korolar 2. Nužan i dovoljan uvjet da tri vektora budu komplanarna je da njihov mješoviti umnožak ispada.

Dokaz slijedi iz teorema 1. Doista, ako su vektori komplanarni, tada je mješoviti umnožak tih vektora jednak nuli. Obrnuto, ako je mješoviti umnožak jednak nuli, tada koplanarnost ovih vektora slijedi iz teorema 1 (budući da je volumen paralelopeda konstruiranog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište jednak nuli).

Korolar 3. Mješoviti umnožak triju vektora, od kojih su dva ista, jednak je nuli.

Stvarno. Ako su dva od tri vektora ista, onda su komplanarni. Stoga je mješoviti umnožak ovih vektora jednak nuli.

Mješoviti umnožak vektora u Kartezijevim koordinatama

Teorem 2. Neka su tri vektora a, b i c definirane njihovim kartezijevim pravokutnim koordinatama

Dokaz. mješoviti proizvod abc jednaka je skalarnom produktu vektora [ ab] i c. Vektorski produkt vektora [ ab] u kartezijevim koordinatama izračunava se formulom ():

Posljednji izraz može se napisati pomoću determinanti drugog reda:

potrebno je i dovoljno da determinanta bude jednaka nuli, čiji su redovi popunjeni koordinatama ovih vektora, tj.

.

(7)

Da bismo dokazali korolar, dovoljno je razmotriti formulu (4) i korolar 2.

Mješoviti umnožak vektora s primjerima

Primjer 1. Naći mješoviti produkt vektora trbušnjaci, gdje

Mješoviti umnožak vektora a, b, c jednaka determinanti matrice L. Izračunajte determinantu matrice L, proširujući determinantu duž retka 1:

Krajnja točka vektora a.