Među svim trokutima postoje dvije posebne vrste: pravokutni trokuti i jednakokračni trokuti. Zašto su ove vrste trokuta tako posebne? Pa, prvo, takvi se trokuti vrlo često pokazuju glavnim akterima u zadacima Jedinstvenog državnog ispita prvog dijela. I drugo, probleme o pravokutnim i jednakokračnim trokutima puno je lakše riješiti nego druge probleme u geometriji. Samo trebate znati nekoliko pravila i svojstava. Sve najzanimljivije raspravlja se u odgovarajućoj temi, a sada ćemo razmotriti jednakokračne trokute. I prije svega, što je jednakokračni trokut. Ili, kako kažu matematičari, koja je definicija jednakokračnog trokuta?
Pogledajte kako to izgleda:
Kao i pravokutni trokut, jednakokračni trokut ima posebna imena za svoje stranice. Dvije jednake strane nazivaju se strane, i treća strana osnova.
I opet pogledajte sliku:
Moglo bi, naravno, ovako:
Pa budi oprezan: bočna strana - jedna od dvije jednake strane u jednakokračnom trokutu, i osnova je treća osoba.
Zašto je jednakokračni trokut tako dobar? Da bismo ovo razumjeli, nacrtajmo visinu do baze. Sjećate li se što je visina?
Što se dogodilo? Iz jednog jednakokračnog trokuta ispala su dva pravokutna.
Ovo je već dobro, ali to će se dogoditi u bilo kojem, "najkosom" trokutu.
Koja je razlika između slike jednakokračnog trokuta? Pogledaj opet:
Pa, prvo, naravno, ovim čudnim matematičarima nije dovoljno samo vidjeti - oni svakako moraju dokazati. I onda su iznenada ti trokuti malo drugačiji, a mi ćemo ih smatrati istima.
Ali ne brinite: u ovom je slučaju dokazivanje gotovo jednako lako kao i viđenje.
Hoćemo li početi? Pogledajte pažljivo, imamo:
I stoga,! Zašto? Da, samo nalazimo i, i iz Pitagorinog teorema (istodobno se sjećajući da)
Jesi li siguran? Pa, sada imamo
I na tri strane - najlakši (treći) znak jednakosti trokuta.
Pa, naš jednakokračni trokut je podijeljen na dva identična pravokutna.
Vidite kako zanimljivo? Ispostavilo se da:
Kako je uobičajeno da matematičari govore o tome? Idemo redom:
(Ovdje se sjećamo da je središnja crta povučena iz vrha koja dijeli stranicu na pola, a simetrala je kut.)
Pa, ovdje smo raspravljali o tome što se dobro može vidjeti ako se da jednakokračni trokut. Zaključili smo da su u jednakokračnom trokutu kutovi na osnovici jednaki, a visina, simetrala i središnja povučene na osnovicu jednaki.
A sada se postavlja još jedno pitanje: kako prepoznati jednakokračni trokut? To je, kako kažu matematičari, što su znakovi jednakokračnog trokuta?
I ispada da samo trebate "okrenuti" sve izjave naprotiv. To se, naravno, ne događa uvijek, ali jednakokračni trokut je još uvijek sjajna stvar! Što se događa nakon "preokreta"?
Pa pogledajte ovdje:
Ako su visina i medijan isti, tada:
Ako su visina i simetrala jednaki, tada je: 
Ako su simetrala i medijana jednaki, tada je:
Pa, ne zaboravite i koristite:
- Ako je zadan jednakokračni trokut, slobodno nacrtajte visinu, dobijete dva pravokutna trokuta i riješite zadatak već o pravokutnom trokutu.
- Ako se to da dva su kuta jednaka, zatim trokut točno jednakokračan i možete nacrtati visinu i .... (Kuća koju je Jack izgradio ...).
- Ako se ispostavilo da je visina podijeljena na pola strane, onda je trokut jednakokračan sa svim posljedičnim bonusima.
- Ako se pokazalo da visina dijeli kut na podove - također jednakokračan!
- Ako je simetrala podijelila stranu na pola ili medijan - kut, onda se to također događa samo u jednakokračnom trokutu
Pogledajmo kako to izgleda u zadacima.
Zadatak 1(najjednostavnije)
U trokutu su stranice i jednake, a. Pronaći.
Mi odlučujemo:
Prvo crtež.
Što je ovdje osnova? Naravno, .
Podsjećamo da ako, onda i.
Ažurirani crtež:
Odredimo za. Koliki je zbroj kutova trokuta? ?
Koristimo:
to je odgovor: .
Lako, zar ne? Nisam ni trebao ići visoko.
Zadatak 2(Također nije jako zahtjevno, ali morate ponoviti temu)
U trokutu, Pronaći.
Mi odlučujemo:
Trokut je jednakokračan! Crtamo visinu (ovo je fokus, uz pomoć kojeg će se sada sve odlučiti).
Sada "brišemo iz života", samo ćemo razmotriti.
Dakle, u imamo:
Podsjećamo na tablične vrijednosti kosinusa (dobro, ili pogledajte varalicu ...)
Ostaje pronaći: .
Odgovor: .
Imajte na umu da smo ovdje vrlo potrebna znanja o pravokutnom trokutu i "tabularnim" sinusima i kosinusima. Vrlo često se to događa: teme "Isosceles Troangle" i zagonetke idu u paketima, ali nisu baš prijateljske s drugim temama.
Jednakokračan trokut. Prosječna razina.
ove dvije jednake strane nazvao strane, a treća stranica je osnovica jednakokračnog trokuta.
Pogledajte sliku: i - stranice, - osnovica jednakokračnog trokuta.
Pogledajmo jednom slikom zašto je to tako. Nacrtaj visinu iz točke.
To znači da su svi odgovarajući elementi jednaki.
Sve! Jednim zamahom (visinom) dokazane su odjednom sve tvrdnje.
I zapamtite: za rješavanje problema jednakokračnog trokuta često je vrlo korisno spustiti visinu na osnovicu jednakokračnog trokuta i podijeliti ga na dva jednaka pravokutna trokuta.
Znakovi jednakokračnog trokuta
Obratne tvrdnje su također istinite:
Gotovo sve ove tvrdnje mogu se opet dokazati "jednim potezom".
1. Dakle, neka je v jednako i.
Uzmimo visinu. Zatim
2. a) Sada pustimo neki trokut iste visine i simetrale.
2. b) A ako su visina i središnja jednaki? Sve je gotovo isto, ništa kompliciranije!
 |
- na dvije noge |
2. c) Ali ako nema visine, koji je spušten na bazu jednakokračnog trokuta, tada nema početnih pravokutnih trokuta. Loše!
Ali postoji izlaz - pročitajte ga na sljedećoj razini teorije, jer je ovdje dokaz kompliciraniji, ali za sada zapamtite da ako se središnja i simetrala poklapaju, tada će i trokut biti jednakokračan, a visina će još uvijek podudaraju s tim simetrala i medijana.
Sažeti:
- Ako je trokut jednakokračan, tada su mu kutovi na osnovici jednaki, a visina, simetrala i središnja povučene na osnovicu jednaki.
- Ako u nekom trokutu postoje dva jednaka kuta ili se neka dva od tri pravca (simetrala, središnja, visina) poklapaju, onda je takav trokut jednakokračan.
Jednakokračan trokut. Kratak opis i osnovne formule
Jednakokračni trokut je trokut koji ima dvije jednake stranice.
Znakovi jednakokračnog trokuta:
- Ako trokut ima dva jednaka kuta, onda je jednakokračan.
- Ako se u nekom trokutu podudaraju:
a) visina i simetrala ili
b) visina i medijan ili
u) medijana i simetrala,
povučen na jednu stranicu, onda je takav trokut jednakokračan.
PREOSTALIH 2/3 ČLANKA DOSTUPNO JE SAMO YOUCLEVER STUDENTIMA!
Postanite student YouClever-a,
Pripremite se za OGE ili USE iz matematike po cijeni "šalice kave mjesečno",
I također dobiti neograničen pristup udžbeniku "YouClever", programu obuke "100gia" (knjiga rješenja), neograničenom probnom USE i OGE, 6000 zadataka s analizom rješenja i drugim uslugama YouClever i 100gia.
Svojstva jednakokračnog trokuta izražavaju sljedeće teoreme.
Teorem 1. U jednakokračnom trokutu kutovi na osnovici su jednaki.
Teorem 2. U jednakokračnom trokutu simetrala povučena na osnovicu je središnja i visina.
Teorem 3. U jednakokračnom trokutu središnja povučena na osnovicu je simetrala i visina.
Teorem 4. U jednakokračnom trokutu visina povučena na osnovicu je simetrala i središnja.
Dokažimo jedan od njih, na primjer, teorem 2.5.
Dokaz. Promotrimo jednakokračni trokut ABC s osnovicom BC i dokažimo da je ∠ B = ∠ C. Neka je AD simetrala trokuta ABC (slika 1). Trokuti ABD i ACD jednaki su prema prvom znaku jednakosti trokuta (AB = AC prema uvjetu, AD je zajednička stranica, ∠ 1 = ∠ 2, jer je AD simetrala). Iz jednakosti ovih trokuta slijedi ∠ B = ∠ C. Teorem je dokazan.
Koristeći teorem 1, utvrđujemo sljedeći teorem.
Teorem 5. Treći kriterij jednakosti trokuta. Ako su tri stranice jednog trokuta redom jednake trima stranicama drugog trokuta, onda su takvi trokuti jednaki (slika 2).
Komentar. Rečenice utvrđene u primjerima 1 i 2 izražavaju svojstva simetrale okomice na isječak. Iz ovih prijedloga proizlazi da simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki.
Primjer 1 Dokažite da točka ravnine koja je jednako udaljena od krajeva odsječka leži na simetrali okomice na taj odsječak.
Riješenje. Neka je točka M jednako udaljena od krajeva dužine AB (slika 3), tj. AM = VM.
Tada je ΔAMV jednakokračan. Povucimo pravac p kroz točku M i polovište O dužine AB. Po konstrukciji, isječak MO je središnjica jednakokračnog trokuta AMB, pa je prema tome (teorem 3), a visina, tj. pravac MO, simetrala na isječak AB.
Primjer 2 Dokažite da je svaka točka simetrale okomice odsječka jednako udaljena od njegovih krajeva.
Riješenje. Neka je p okomica na simetralu AB i točka O polovište dužine AB (vidi sliku 3).
Promotrimo proizvoljnu točku M koja leži na pravcu p. Nacrtajmo segmente AM i VM. Trokuti AOM i VOM su jednaki jer su im kutovi pri vrhu O ravni, krak OM je zajednički, a krak OA jednak je kraku OB prema uvjetu. Iz jednakosti trokuta AOM i BOM slijedi da je AM = BM.
Primjer 3 U trokutu ABC (vidi sliku 4) AB \u003d 10 cm, BC = 9 cm, AC \u003d 7 cm; u trokutu DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Usporedi trokute ABC i DEF. Odredi odgovarajuće jednake kutove.
Riješenje. Ovi trokuti su jednaki po trećem kriteriju. Prema tome jednaki su kutovi: A i E (leže nasuprot jednakih stranica BC i FD), B i F (leže nasuprot jednakih stranica AC i DE), C i D (leže nasuprot jednakih stranica AB i EF).
Primjer 4 Na slici 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Pronađite kut D.
Riješenje. Promotrimo trokute ABC i ADC. U trećem su obilježju jednaki (AB = DC, BC = AD po uvjetu, a stranica AC je zajednička). Iz jednakosti ovih trokuta slijedi ∠ B = ∠ D, ali je kut B 100°, pa je kut D 100°.
Primjer 5 U jednakokračnom trokutu ABC s osnovicom AC vanjski kut pri vrhu C iznosi 123°. Nađi kut ABC. Odgovorite u stupnjevima.
Video rješenje.
Prvi povjesničari naše civilizacije - stari Grci - spominju Egipat kao rodno mjesto geometrije. Teško je ne složiti se s njima, znajući s kakvom su nevjerojatnom točnošću podignute divovske grobnice faraona. Međusobni raspored ravnina piramida, njihove proporcije, orijentacija prema kardinalnim točkama – bilo bi nezamislivo postići takvo savršenstvo bez poznavanja osnova geometrije.
Sama riječ "geometrija" može se prevesti kao "mjerenje zemlje". Štoviše, riječ "zemlja" ne pojavljuje se kao planet - dio Sunčevog sustava, već kao ravnina. Označavanje površina za poljoprivredu najvjerojatnije je izvorna osnova znanosti o geometrijskim oblicima, njihovim vrstama i svojstvima.
Trokut je najjednostavniji prostorni lik planimetrije, koji sadrži samo tri točke - vrhove (nema manje). Možda je temelj nad temeljima razlog zašto se čini da je u njemu nešto tajanstveno i drevno. Svevideće oko unutar trokuta jedan je od najranijih poznatih okultnih znakova, a geografija njegove distribucije i vremenski okvir jednostavno su nevjerojatni. Od drevnih egipatskih, sumerskih, astečkih i drugih civilizacija do modernijih zajednica ljubitelja okultnog razasutih diljem svijeta.
Što su trokuti
Obični skalenski trokut je zatvoreni geometrijski lik, koji se sastoji od tri segmenta različitih duljina i tri kuta, od kojih nijedan nije ravan. Osim njega, postoji nekoliko posebnih vrsta.
Oštrokutni trokut ima sve kutove manje od 90 stupnjeva. Drugim riječima, svi kutovi takvog trokuta su oštri.
Pravokutni trokut, nad kojim su školarci uvijek plakali zbog obilja teorema, ima jedan kut s vrijednošću od 90 stupnjeva, ili, kako ga još nazivaju, pravi.
Tupi trokut razlikuje se po tome što je jedan od njegovih kutova tup, odnosno njegova vrijednost je veća od 90 stupnjeva.
Jednakostranični trokut ima tri stranice iste duljine. U takvoj slici svi su kutovi također jednaki.
I konačno, u jednakokračnom trokutu od tri stranice, dvije su međusobno jednake.
Izrazite značajke
Svojstva istokračnog trokuta također određuju njegovu glavnu, glavnu razliku - jednakost dviju strana. Ove jednake strane obično se nazivaju bokovi (ili, češće, strane), ali treća strana se naziva "baza".
Na slici koja se razmatra, a = b.
Drugi znak jednakokračnog trokuta slijedi iz sinusnog teorema. Kako su stranice a i b jednake, jednaki su i sinusi njihovih suprotnih kutova:
a/sin γ = b/sin α, odakle imamo: sin γ = sin α.
Iz jednakosti sinusa slijedi jednakost kutova: γ = α.
Dakle, drugi znak jednakokračnog trokuta je jednakost dvaju kutova uz bazu.
Treći znak. U trokutu se razlikuju elementi kao što su visina, simetrala i medijan.
Ako se u procesu rješavanja problema ispostavi da se u trokutu koji se razmatra bilo koja dva od ovih elemenata podudaraju: visina s simetralom; simetrala s medijanom; središnja s visinom – možemo sa sigurnošću zaključiti da je trokut jednakokračan.
Geometrijska svojstva figure
1. Svojstva jednakokračnog trokuta. Jedna od karakterističnih osobina figure je jednakost kutova uz bazu:
<ВАС = <ВСА.
2. Još jedno svojstvo o kojemu je gore bilo riječi: središnja, simetrala i visina u jednakokračnom trokutu jednaki su ako su izgrađeni od njegovog vrha do baze.
3. Jednakost simetrala povučenih iz vrhova na bazi:
Ako je AE simetrala kuta BAC, a CD simetrala kuta BCA, tada je: AE = DC.
4. Svojstva jednakokračnog trokuta također osiguravaju jednakost visina koje se povlače iz vrhova na osnovici.
Ako od vrhova A i C sagradimo visine trokuta ABC (gdje je AB = BC), dobiveni odsječci CD i AE bit će jednaki.
5. Medijani izvučeni iz uglova na bazi također će se pokazati jednakima.
Dakle, ako su AE i DC medijani, to jest AD = DB i BE = EC, tada je AE = DC.
Visina jednakokračnog trokuta
Jednakost strana i kutova na njima uvodi neke značajke u izračunavanje duljina elemenata predmetne figure.
Visina u jednakokračnom trokutu dijeli lik na 2 simetrična pravokutna trokuta kojima su hipotenuze stranice. Visina se u ovom slučaju određuje prema Pitagorinom teoremu, kao noga.
Trokut može imati sve tri strane jednake, tada će se zvati jednakostraničan. Visina u jednakostraničkom trokutu određena je na sličan način, samo za izračune dovoljno je znati samo jednu vrijednost - duljinu stranice ovog trokuta.
Visinu možete odrediti na drugi način, na primjer, znajući bazu i kut uz nju.
Medijan jednakokračnog trokuta
Vrsta trokuta koja se razmatra, zbog geometrijskih značajki, rješava se prilično jednostavno minimalnim skupom početnih podataka. Budući da je medijan u jednakokračnom trokutu jednak njegovoj visini i simetrali, algoritam za njezino određivanje ne razlikuje se od redoslijeda kojim se ti elementi izračunavaju.
Na primjer, možete odrediti duljinu medijane prema poznatoj bočnoj stranici i vrijednosti kuta pri vrhu.
Kako odrediti opseg
Budući da planimetrijski lik koji se razmatra ima dvije strane uvijek jednake, za određivanje opsega dovoljno je znati duljinu baze i duljinu jedne od stranica.
Razmotrite primjer kada trebate odrediti opseg trokuta s obzirom na poznatu osnovicu i visinu.
Opseg je jednak zbroju osnovice i dvostrukoj duljini stranice. Bočna stranica se pak određuje pomoću Pitagorinog poučka kao hipotenuza pravokutnog trokuta. Njegova duljina jednaka je kvadratnom korijenu zbroja kvadrata visine i kvadrata polovice baze.
Površina jednakokračnog trokuta
Ne uzrokuje, u pravilu, poteškoće i izračunavanje površine jednakokračnog trokuta. Univerzalno pravilo za određivanje površine trokuta kao polovice umnoška baze i njegove visine primjenjivo je, naravno, u našem slučaju. Međutim, svojstva jednakokračnog trokuta opet olakšavaju zadatak.
Pretpostavimo da znamo visinu i kut uz bazu. Morate odrediti područje figure. Možete to učiniti ovako.
Budući da je zbroj kutova svakog trokuta 180°, nije teško odrediti veličinu kuta. Nadalje, pomoću omjera sastavljenog prema sinusnom teoremu, određuje se duljina baze trokuta. Sve, baza i visina - dovoljno podataka za određivanje površine - je dostupno.
Ostala svojstva jednakokračnog trokuta
Položaj središta kružnice opisane oko jednakokračnog trokuta ovisi o kutu vrha. Dakle, ako je jednakokračni trokut oštrokutan, središte kruga nalazi se unutar figure.
Središte kružnice opisane oko tupog jednakokračnog trokuta nalazi se izvan nje. I konačno, ako je kut pri vrhu 90°, središte leži točno u sredini baze, a promjer kružnice prolazi kroz samu bazu.
Da bi se odredio polumjer kružnice opisane jednakokračnom trokutu, dovoljno je duljinu bočne stranice podijeliti s dvostrukim kosinusom polovice kuta pri vrhu.