Što znači izravno proporcionalno? Praktična primjena izravne i obrnute proporcionalnosti

Primjer

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.

Faktor proporcionalnosti

Konstantni omjer proporcionalnih veličina naziva se koeficijent proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko jedinica jedne veličine pada na jedinicu druge.

Izravna proporcionalnost

Izravna proporcionalnost- funkcionalna ovisnost, u kojoj neka veličina ovisi o drugoj veličini na način da njihov omjer ostaje konstantan. Drugim riječima, te se varijable mijenjaju Proporcionalno, u jednakim omjerima, to jest, ako se argument dva puta promijenio u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija dvaput mijenja u istom smjeru.

Matematički, izravna proporcionalnost se piše kao formula:

f(x) = ax,a = const

Obrnuta proporcionalnost

Obrnuta proporcija- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj porast nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje razmjerno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).

Matematički, obrnuta proporcionalnost se piše kao formula:

Svojstva funkcije:

Izvori

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

  • Newtonov drugi zakon
  • Coulombova barijera

Pogledajte što je "izravna proporcionalnost" u drugim rječnicima:

    izravna proporcionalnost- - [A.S. Goldberg. Engleski ruski energetski rječnik. 2006] Teme energija općenito EN izravni omjer … Tehnički prevoditeljski priručnik

    izravna proporcionalnost- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. izravna proporcionalnost vok. direkte Proportionalitat, f rus. izravna proporcionalnost, f pranc. proporcionalno direktno, f … Fizikos terminų žodynas

    PROPORCIONALNOST- (od lat. correctionalis razmjeran, razmjeran). Proporcionalnost. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALNOST otlat. proporcionalis, proporcionalan. Proporcionalnost. Objašnjenje 25000…… Rječnik stranih riječi ruskog jezika

    PROPORCIONALNOST- PROPORCIONALNOST, razmjernost, mn. ne, žensko (knjiga). 1. odvraćanje pažnje imenica do proporcionalnog. Proporcionalnost dijelova. Proporcionalnost tijela. 2. Takav odnos između veličina kada su proporcionalne (vidi proporcionalne ... Rječnik Ushakov

    Proporcionalnost- Dvije međusobno ovisne veličine nazivaju se proporcionalnim ako je omjer njihovih vrijednosti nepromijenjen .. Sadržaj 1 Primjer 2 Koeficijent proporcionalnosti ... Wikipedia

    PROPORCIONALNOST- PROPORCIONALNOST, i, žene. 1. vidi proporcionalan. 2. U matematici: takav odnos između veličina, kada povećanje jedne od njih povlači za sobom promjenu druge za isti iznos. Izravni p. (kada se reže s povećanjem jedne vrijednosti ... ... Objašnjavajući rječnik Ozhegova

    proporcionalnost- i; i. 1. prema proporcionalnom (1 znamenka); proporcionalnost. P. dijelovi. P. tjelesne građe. P. zastupljenost u parlamentu. 2. Matematika. Ovisnost između proporcionalno promjenjivih veličina. Faktor proporcionalnosti. Izravna str. (u kojoj s ... ... enciklopedijski rječnik

Izravna i obrnuta proporcionalnost

Ako je t vrijeme hodanja (u satima), s je prijeđeni put (u kilometrima), a kreće se jednoliko brzinom od 4 km/h, tada se odnos između ovih veličina može izraziti formulom s = 4t. Budući da svaka vrijednost t odgovara jedinstvenoj vrijednosti s, možemo reći da je funkcija dana pomoću formule s = 4t. Naziva se izravnom proporcionalnošću i definira se na sljedeći način.

Definicija. Izravna proporcionalnost je funkcija koja se može odrediti pomoću formule y \u003d kx, gdje je k realni broj različit od nule.

Naziv funkcije y \u003d k x je zbog činjenice da u formuli y \u003d kx postoje varijable x i y, koje mogu biti vrijednosti količina. A ako je omjer dviju vrijednosti jednak nekom broju osim nule, nazivaju se izravno proporcionalan . U našem slučaju = k (k≠0). Ovaj broj se zove faktor proporcionalnosti.

Funkcija y \u003d k x matematički je model mnogih stvarnih situacija koje su razmatrane već u početnom tečaju matematike. Jedan od njih je gore opisan. Drugi primjer: ako u jednom pakiranju ima 2 kg brašna, a kupuje se x takvih pakiranja, tada se cjelokupna masa kupljenog brašna (označavamo ga s y) može prikazati formulom y \u003d 2x, tj. odnos broja pakiranja i ukupne mase kupljenog brašna je upravno proporcionalan s koeficijentom k=2.

Prisjetite se nekih svojstava izravne proporcionalnosti, koja se proučavaju u školskom tečaju matematike.

1. Domena funkcije y \u003d k x i domena njezinih vrijednosti je skup realnih brojeva.

2. Graf izravne proporcionalnosti je pravac koji prolazi kroz ishodište. Stoga je za konstruiranje grafikona izravne proporcionalnosti dovoljno pronaći samo jednu točku koja mu pripada i ne podudara se s ishodištem, a zatim nacrtati ravnu liniju kroz tu točku i ishodište.

Na primjer, za crtanje funkcije y = 2x dovoljno je imati točku s koordinatama (1, 2), a zatim kroz nju i ishodište povući ravnu liniju (slika 7).

3. Za k > 0, funkcija y = kx raste u cijeloj domeni definicije; za k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Ako je funkcija f izravna proporcionalnost i (x 1, y 1), (x 2, y 2) - parovi odgovarajućih vrijednosti varijabli x i y, te x 2 ≠ 0 tada.

Doista, ako je funkcija f izravna proporcionalnost, tada se može dati formulom y \u003d kx, a zatim y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Budući da je pri x 2 ≠0 i k≠0, tada je y 2 ≠0. Zato i znači .

Ako su vrijednosti varijabli x i y pozitivni realni brojevi, tada se dokazano svojstvo izravne proporcionalnosti može formulirati na sljedeći način: povećanjem (smanjenjem) vrijednosti varijable x nekoliko puta, odgovarajuća vrijednost varijable y se povećava (smanjuje) za isti iznos.

Ovo je svojstvo svojstveno samo izravnoj proporcionalnosti, a može se koristiti u rješavanju tekstualnih zadataka u kojima se razmatraju izravno proporcionalne veličine.

Zadatak 1. Za 8 sati tokar je izradio 16 dijelova. Koliko će sati tokaru trebati da izradi 48 dijelova ako radi pri istoj produktivnosti?

Riješenje. Problem razmatra količine - radno vrijeme tokara, broj dijelova koje je izradio i produktivnost (tj. broj dijelova koje tokar proizvede u 1 satu), pri čemu je zadnja vrijednost konstantna, a druge dvije imaju različite vrijednosti. Osim toga, broj izrađenih dijelova i vrijeme rada izravno su proporcionalni, jer je njihov omjer jednak određenom broju koji nije jednak nuli, naime broju dijelova koje tokar izradi u 1 satu. izrađenih dijelova označava se slovom y, vrijeme rada je x, a učinak - k, tada se dobiva da je = k ili y = kx, tj. matematički model situacije prikazane u problemu je izravna proporcionalnost.

Zadatak se može riješiti na dva aritmetička načina:

1 način: 2 način:

1) 16:8 = 2 (djeca) 1) 48:16 = 3 (puta)

2) 48:2 = 24(h) 2) 8-3 = 24(h)

Rješavajući problem na prvi način, prvo smo pronašli koeficijent proporcionalnosti k, on je jednak 2, a zatim, znajući da je y \u003d 2x, pronašli smo vrijednost x, pod uvjetom da je y \u003d 48.

Pri rješavanju problema na drugi način koristili smo se svojstvom izravne proporcionalnosti: koliko se puta poveća broj dijelova koje tokar izradi, za toliko se poveća i vrijeme potrebno za njihovu izradu.

Prijeđimo sada na razmatranje funkcije koja se zove obrnuta proporcionalnost.

Ako je t vrijeme kretanja pješaka (u satima), v je njegova brzina (u km/h) i on je prešao 12 km, tada se odnos između ovih vrijednosti može izraziti formulom v∙t = 20 ili v = .

Budući da svaka vrijednost t (t ≠ 0) odgovara jednoj vrijednosti brzine v, možemo reći da je funkcija dana pomoću formule v = . Naziva se obrnutom proporcionalnošću i definira se na sljedeći način.

Definicija. Obrnuta proporcionalnost je funkcija koja se može odrediti pomoću formule y \u003d, gdje je k realni broj različit od nule.

Naziv ove funkcije dolazi od činjenice da y= postoje varijable x i y, koje mogu biti vrijednosti količina. A ako je umnožak dviju veličina jednak nekom broju različitom od nule, tada se one nazivaju obrnuto proporcionalnim. U našem slučaju je xy = k(k ≠ 0). Taj se broj k naziva koeficijent proporcionalnosti.

Funkcija y= je matematički model mnogih stvarnih situacija razmatranih već u početnom tečaju matematike. Jedan od njih opisan je prije definicije obrnuta proporcionalnost. Drugi primjer: ako ste kupili 12 kg brašna i stavili ga u l:kante od po y kg, tada se odnos između ovih količina može prikazati kao x-y= 12, tj. obrnuto je proporcionalan s koeficijentom k=12.

Prisjetite se nekih svojstava obrnute proporcionalnosti, poznatih iz školskog tečaja matematike.

1. Opseg funkcije y= a njegov raspon x je skup realnih brojeva različitih od nule.

2. Graf obrnute proporcionalnosti je hiperbola.

3. Za k > 0, grane hiperbole nalaze se u 1. i 3. kvadrantu i funkcija y= opada na cijeloj domeni x (slika 8).

Riža. 8 Sl.9

Kada k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= raste preko cijele domene od x (slika 9).

4. Ako je funkcija f obrnuto proporcionalna i (x 1, y 1), (x 2, y 2) su parovi odgovarajućih vrijednosti varijabli x i y, tada.

Doista, ako je funkcija f obrnuto proporcionalna, tada se može dati formulom y= ,i onda . Budući da je x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, tada

Ako su vrijednosti varijabli x i y pozitivni realni brojevi, tada se ovo svojstvo obrnute proporcionalnosti može formulirati na sljedeći način: s povećanjem (smanjenjem) vrijednosti varijable x nekoliko puta, odgovarajuća vrijednost varijable y smanjuje (povećava) za isti iznos.

Ovo svojstvo je svojstveno samo obrnutoj proporcionalnosti, a može se koristiti u rješavanju tekstualnih zadataka u kojima se razmatraju obrnuto proporcionalne veličine.

Zadatak 2. Biciklist je, krećući se brzinom 10 km/h, prešao put od A do B za 6 sati.

Riješenje. U zadatku se razmatraju sljedeće veličine: brzina biciklista, vrijeme kretanja i udaljenost od A do B, pri čemu je zadnja vrijednost konstantna, a druge dvije imaju različite vrijednosti. Osim toga, brzina i vrijeme kretanja obrnuto su proporcionalni, jer je njihov umnožak jednak određenom broju, odnosno prijeđenom putu. Ako vrijeme kretanja biciklista označimo slovom y, brzinu x, a udaljenost AB k, tada dobivamo da je xy \u003d k ili y \u003d, tj. matematički model situacije prikazane u problemu je obrnuta proporcionalnost.

Problem možete riješiti na dva načina:

1 način: 2 način:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (puta)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Rješavajući problem na prvi način, prvo smo pronašli koeficijent proporcionalnosti k, on je jednak 60, a zatim, znajući da je y \u003d, pronašli smo vrijednost y, pod uvjetom da je x \u003d 20.

Pri rješavanju problema na drugi način koristili smo svojstvo obrnute proporcionalnosti: koliko se puta poveća brzina kretanja, za toliko se smanjuje vrijeme prijeđenog puta iste udaljenosti.

Imajte na umu da pri rješavanju specifičnih problema s obrnuto proporcionalnim ili izravnim proporcionalne vrijednosti neka su ograničenja nametnuta na x i y, posebno se ne mogu razmatrati na cijelom skupu realnih brojeva, već na njegovim podskupovima.

Zadatak 3. Lena je kupila x olovaka, a Katya 2 puta više. Označite broj olovaka koje je Katya kupila kroz y, izrazite y kroz x i izgradite grafikon uspostavljena usklađenost uz uvjet da je x≤5. Je li ovo podudaranje funkcija? Koja je njegova domena definiranja i raspon vrijednosti?

Riješenje. Katja je kupila u = 2 olovke. Prilikom crtanja funkcije y=2x potrebno je uzeti u obzir da varijabla x označava broj olovaka i x≤5, što znači da može poprimiti samo vrijednosti 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ovo će biti domena ove funkcije. Da biste dobili raspon ove funkcije, morate svaku vrijednost x iz domene definicije pomnožiti s 2, tj. to će biti set (0, 2, 4, 6, 8, 10). Stoga će graf funkcije y \u003d 2x s domenom definicije (0, 1, 2, 3, 4, 5) biti skup točaka prikazanih na slici 10. Sve te točke pripadaju liniji y \u003d 2x.

I. Izravno proporcionalne vrijednosti.

Neka vrijednost g ovisi o veličini x. Ako s povećanjem x nekoliko puta veći na povećava za isti faktor, onda takve vrijednosti x i na nazivaju se izravno proporcionalnim.

Primjeri.

1 . Količina kupljene robe i trošak nabave (po fiksnoj cijeni jedne jedinice robe - 1 komad ili 1 kg itd.) Koliko je više robe kupljeno, toliko je puta više i plaćeno.

2 . Prijeđena udaljenost i vrijeme potrošeno na nju (pri konstantnoj brzini). Koliko je put duži, toliko ćemo više vremena potrošiti na njega.

3 . Volumen tijela i njegova masa. ( Ako je jedna lubenica 2 puta veća od druge, tada će njena masa biti 2 puta veća)

II. Svojstvo izravne proporcionalnosti veličina.

Ako su dvije veličine izravno proporcionalne, tada je omjer dviju proizvoljnih vrijednosti prve količine jednak omjeru dviju odgovarajućih vrijednosti druge količine.

Zadatak 1. Za pekmez od malina 12 kg maline i 8 kg Sahara. Koliko će šećera biti potrebno ako se uzme 9 kg maline?

Riješenje.

Raspravljamo ovako: neka bude potrebno x kgšećer na 9 kg maline. Masa malina i masa šećera upravno su proporcionalne: koliko puta manje malina, toliko je potrebno šećera. Dakle, omjer uzetih (težinski) malina ( 12:9 ) bit će jednak omjeru uzetog šećera ( 8:x). Dobivamo omjer:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Odgovor: na 9 kg maline uzeti 6 kg Sahara.

Rješenje problema moglo ovako:

Pusti dalje 9 kg maline uzeti x kg Sahara.

(Strelice na slici su usmjerene u jednom smjeru, i nije važno gore ili dolje. Značenje: koliko puta broj 12 više broja 9 , isti broj 8 više broja x, tj. ovdje postoji izravna ovisnost).

Odgovor: na 9 kg maline uzeti 6 kg Sahara.

Zadatak 2. auto za 3 sata prijeđena udaljenost 264 km. Koliko će mu trebati 440 km ako putuje istom brzinom?

Riješenje.

Neka za x sati automobil će prijeći udaljenost 440 km.

Odgovor: auto će proći 440 km za 5 sati.

§ 129. Prethodna pojašnjenja.

Čovjek stalno ima posla s najrazličitijim količinama. Zaposlenik i radnik pokušavaju doći do servisa, na posao do određenog vremena, pješak žuri da najkraćim putem stigne do određenog mjesta, izvor parnog grijanja brine što temperatura u kotlu polako raste, voditelj poslovanja pravi planove za smanjenje troškova proizvodnje itd.

Moglo bi se navesti bezbroj takvih primjera. Vrijeme, udaljenost, temperatura, cijena - sve su to razne količine. U prvom i drugom dijelu ove knjige upoznali smo se s nekim posebno uobičajenim veličinama: površina, volumen, težina. U proučavanju fizike i drugih znanosti susrećemo mnoge veličine.

Zamislite da ste u vlaku. S vremena na vrijeme pogledate na sat i primijetite koliko ste već na putu. Kažete, na primjer, da je od polaska vašeg vlaka prošlo 2, 3, 5, 10, 15 sati itd. Ovi brojevi označavaju različita vremenska razdoblja; nazivaju se vrijednostima ove veličine (vrijeme). Ili gledate kroz prozor i pratite stupove ceste za udaljenost koju vaš vlak prijeđe. Pred vama bljeskaju brojevi 110, 111, 112, 113, 114 km. Ovi brojevi označavaju različite udaljenosti koje je vlak prešao od točke polaska. Također se nazivaju vrijednostima, ovaj put s drugom vrijednošću (put ili udaljenost između dvije točke). Dakle, jedna vrijednost, na primjer, vrijeme, udaljenost, temperatura, može poprimiti bilo koju različita značenja.

Obratite pozornost na to da čovjek gotovo nikada ne razmatra samo jednu vrijednost, već je uvijek povezuje s nekim drugim vrijednostima. Mora istovremeno baratati s dvije, tri i više količina. Zamislite da trebate stići u školu do 9 sati. Pogledate na sat i vidite da imate 20 minuta. Onda brzo odlučiš hoćeš li ići tramvajem ili ćeš imati vremena pješačiti do škole. Nakon razmišljanja odlučujete se prošetati. Imajte na umu da ste u trenutku kada ste razmišljali rješavali neki problem. Ovaj zadatak je postao jednostavan i poznat, jer takve probleme rješavate svaki dan. U njemu ste brzo usporedili nekoliko vrijednosti. Vi ste pogledali na sat, što znači da ste uzeli u obzir vrijeme, zatim ste mentalno zamislili udaljenost od kuće do škole; na kraju ste usporedili dvije veličine: brzinu vašeg koraka i brzinu tramvaja i zaključili da ćete u zadanom vremenu (20 minuta) imati vremena prošetati. Od ovoga jednostavan primjer vidite da su u našoj praksi neke veličine međusobno povezane, odnosno ovise jedna o drugoj

U dvanaestom poglavlju rečeno je o omjeru homogenih veličina. Na primjer, ako je jedan segment 12 m, a drugi 4 m, tada će omjer ovih segmenata biti 12: 4.

Rekli smo da je to omjer dviju homogenih veličina. Drugim riječima, to je omjer dvaju brojeva jedno ime.

Sada kada smo se bolje upoznali s količinama i uveli pojam vrijednosti količine, definiciju relacije možemo izraziti na nov način. Zapravo, kada smo razmatrali dva segmenta od 12 m i 4 m, govorili smo o jednoj vrijednosti - duljini, a 12 m i 4 m bile su samo dvije različite vrijednosti ove vrijednosti.

Stoga ćemo ubuduće, kada počnemo govoriti o omjeru, razmatrati dvije vrijednosti jedne od nekih veličina, a omjer jedne vrijednosti veličine prema drugoj vrijednosti iste veličine nazivat ćemo kvocijent dijeljenja prvu vrijednost drugom.

§ 130. Količine su izravno proporcionalne.

Razmotrimo problem čiji uvjet uključuje dvije veličine: udaljenost i vrijeme.

Zadatak 1. Tijelo koje se giba pravocrtno i svake sekunde ravnomjerno prijeđe 12 cm Odredite put koji tijelo prijeđe za 2, 3, 4, ..., 10 sekundi.

Napravimo tablicu po kojoj bi bilo moguće pratiti promjenu vremena i udaljenosti.

Tablica nam daje priliku usporediti ove dvije serije vrijednosti. Iz njega vidimo da kada se vrijednosti prve veličine (vrijeme) postupno povećavaju za 2, 3, ..., 10 puta, tada se i vrijednosti druge veličine (udaljenosti) povećavaju za 2, 3, ..., 10 puta. Dakle, kada se vrijednosti jedne veličine povećaju nekoliko puta, vrijednosti druge veličine porastu za isti iznos, a kada se vrijednosti jedne veličine smanje nekoliko puta, vrijednosti druge veličine opadaju za isti iznos.

Razmotrimo sada problem koji uključuje dvije takve količine: količinu materije i njen trošak.

Zadatak 2. 15 m tkanine košta 120 rubalja. Izračunajte trošak ove tkanine za nekoliko drugih količina metara navedenih u tablici.

Iz ove tablice možemo vidjeti kako vrijednost robe postupno raste, ovisno o povećanju njezine količine. Unatoč činjenici da se u ovom problemu pojavljuju potpuno različite količine (u prvom problemu - vrijeme i udaljenost, a ovdje - količina robe i njezin trošak), ipak se može pronaći velika sličnost u ponašanju ovih veličina.

Doista, u gornjem retku tablice nalaze se brojevi koji označavaju broj metara tkanine, ispod svakog od njih je napisan broj koji izražava trošak odgovarajuće količine robe. Čak i letimičan pogled na ovu tablicu pokazuje da brojevi iu gornjem iu donjem redu rastu; pomnijim proučavanjem tablice i usporedbom pojedinih stupaca pokazuje se da se u svim slučajevima vrijednosti druge veličine povećavaju za isti faktor za koji rastu vrijednosti prve, tj. ako vrijednost prve veličine povećao se, recimo, 10 puta, tada se vrijednost druge vrijednosti također povećala 10 puta.

Ako pogledamo tablicu s desna na lijevo, vidjet ćemo da će se navedene vrijednosti količina smanjiti za isti broj puta. U tom smislu postoji bezuvjetna sličnost između prvog i drugog zadatka.

Parovi veličina koje smo upoznali u prvom i drugom zadatku nazivaju se izravno proporcionalan.

Dakle, ako su dvije veličine međusobno povezane tako da se povećanjem (smanjenjem) vrijednosti jedne od njih nekoliko puta, vrijednost druge povećava (smanjuje) za isti iznos, tada se takve veličine nazivaju izravno proporcionalnim.

O takvim količinama također kažu da su međusobno povezane izravno proporcionalnom ovisnošću.

U prirodi iu životu oko nas postoji mnogo takvih količina. Evo nekoliko primjera:

1. Vrijeme rad (dan, dva dana, tri dana itd.) i zarada primali za to vrijeme u dnevnicama.

2. Volumen bilo koji predmet napravljen od homogeni materijal, i težina ovu stavku.

§ 131. Svojstvo izravno razmjernih veličina.

Uzmimo zadatak koji uključuje sljedeće dvije veličine: radno vrijeme i zaradu. Ako je dnevna zarada 20 rubalja, tada će zarada za 2 dana biti 40 rubalja, itd. Najprikladnije je sastaviti tablicu u kojoj će određena zarada odgovarati određenom broju dana.

Gledajući ovu tablicu, vidimo da su obje veličine imale 10 različitih vrijednosti. Svaka vrijednost prve vrijednosti odgovara određenoj vrijednosti druge vrijednosti, na primjer, 40 rubalja odgovara 2 dana; 5 dana odgovara 100 rubalja. U tablici su ti brojevi ispisani jedan ispod drugog.

Već znamo da ako su dvije veličine izravno proporcionalne, tada se svaka od njih u procesu svoje promjene povećava za onoliko koliko se povećava druga. Iz ovoga odmah slijedi: ako uzmemo omjer bilo koje dvije vrijednosti prve količine, tada će on biti jednak omjeru dviju odgovarajućih vrijednosti druge količine. Doista:

Zašto se ovo događa? Ali budući da su te vrijednosti izravno proporcionalne, to jest, kada se jedna od njih (vrijeme) poveća za 3 puta, onda se druga (zarada) poveća za 3 puta.

Stoga smo došli do sljedećeg zaključka: ako uzmemo bilo koje dvije vrijednosti prve veličine i podijelimo ih jednu s drugom, a zatim podijelimo jednu s drugom odgovarajuće vrijednosti druge veličine, tada u oba slučaja dobit će se jedan te isti broj, tj. ista relacija. To znači da se dvije relacije koje smo gore napisali mogu povezati znakom jednakosti, tj.

Nema sumnje da ako ne uzmemo te odnose, nego druge, i to ne tim redom, nego u suprotnom smjeru, također bismo dobili jednakost odnosa. Doista, razmotrit ćemo vrijednosti naših količina s lijeva na desno i uzeti treću i devetu vrijednost:

60:180 = 1 / 3 .

Dakle, možemo napisati:

To implicira sljedeći zaključak: ako su dvije veličine izravno proporcionalne, tada je omjer dviju proizvoljno uzetih vrijednosti prve količine jednak omjeru dviju odgovarajućih vrijednosti druge količine.

§ 132. Formula izravne razmjernosti.

Napravimo tablicu troškova različitih količina slatkiša, ako 1 kg njih košta 10,4 rubalja.

Učinimo to ovako. Uzmimo bilo koji broj drugog reda i podijelimo ga s odgovarajućim brojem prvog reda. Na primjer:

Vidite da se u kvocijentu uvijek dobiva isti broj. Stoga, za dani par izravno proporcionalnih veličina, kvocijent dijeljenja bilo koje vrijednosti jedne veličine s odgovarajućom vrijednošću druge količine je konstantan broj (to jest, ne mijenja se). U našem primjeru, ovaj kvocijent je 10,4. Ovaj konstantni broj naziva se faktor proporcionalnosti. U ovom slučaju izražava cijenu mjerne jedinice, odnosno jednog kilograma robe.

Kako pronaći ili izračunati faktor proporcionalnosti? Da biste to učinili, trebate uzeti bilo koju vrijednost jedne količine i podijeliti je s odgovarajućom vrijednošću druge.

Označimo ovu proizvoljnu vrijednost jedne veličine slovom na , a odgovarajuća vrijednost druge veličine - slova x , zatim koeficijent proporcionalnosti (označavamo ga Do) pronađite dijeljenjem:

U ovoj jednakosti na - djeljiv x - razdjelnik i Do- količnik, a kako je po svojstvu dijeljenja dividenda jednaka djelitelju pomnoženom s količnikom, možemo napisati:

y= K x

Dobivena jednakost naziva se formula izravne proporcionalnosti. Koristeći ovu formulu, možemo izračunati bilo koji broj vrijednosti jedne od izravno proporcionalnih veličina, ako znamo odgovarajuće vrijednosti druge veličine i koeficijent proporcionalnosti.

Primjer. Iz fizike znamo da težina R bilo kojeg tijela jednaka je njegovoj specifičnoj težini d pomnoženo s volumenom ovog tijela V, tj. R = d V.

Uzmite pet željeznih ingota različitih veličina; znajući specifična gravitacijaželjeza (7,8), možemo izračunati težinu ovih praznina pomoću formule:

R = 7,8 V.

Uspoređujući ovu formulu s formulom na = Do x , vidimo to y= R, x = V, i koeficijent proporcionalnosti Do= 7,8. Formula je ista, samo su slova drugačija.

Koristeći se ovom formulom, napravimo tablicu: neka je volumen 1. praznine 8 kubnih metara. cm, tada je njegova težina 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Zapremina 2. praznine je 27 kubnih metara. cm Njegova težina je 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Tablica će izgledati ovako:

Brojeve koji nedostaju u ovoj tablici izračunajte sami pomoću formule R= d V.

§ 133. Drugi načini rješavanja zadataka s izravno proporcionalnim veličinama.

U prethodnom odlomku riješili smo zadatak čiji je uvjet uključivao izravno proporcionalne količine. U tu smo svrhu prethodno izveli formulu izravne proporcionalnosti, a zatim je primijenili. Sada ćemo pokazati dva druga načina rješavanja sličnih problema.

Napravimo zadatak prema brojčanim podacima iz tablice prethodnog odlomka.

Zadatak. Prazno s volumenom od 8 kubičnih metara. cm ima masu 62,4 g. Koliko će težiti prazan komad obujma 64 kubna metra? cm?

Riješenje. Težina željeza, kao što znate, proporcionalna je njegovom volumenu. Ako 8 cu. cm težine 62,4 g, zatim 1 cu. cm će težiti 8 puta manje, tj.

62,4 : 8 = 7,8 (g).

Praznina s volumenom od 64 kubičnih metara. cm će težiti 64 puta više od praznine od 1 cu. cm, tj.

7,8 64 = 499,2 (g).

Naš smo problem riješili svođenjem na jedinstvo. Značenje ovog naziva opravdava činjenica da smo za njegovo rješavanje morali pronaći težinu jedinice volumena u prvom pitanju.

2. Metoda proporcije. Riješimo isti problem metodom proporcija.

Kako su težina željeza i njegov volumen izravno proporcionalne veličine, omjer dviju vrijednosti jedne količine (volumena) jednak je omjeru dviju odgovarajućih vrijednosti druge količine (težine), tj.

(pismo R označili smo nepoznatu težinu blanka). Odavde:

(G).

Problem se rješava metodom proporcija. To znači da je za njegovo rješavanje udio sastavljen od brojeva uključenih u uvjet.

§ 134. Količine su obrnuto proporcionalne.

Razmotrite sljedeći problem: "Pet zidara mogu dodati zidovi od opeke kod kuće sa 168 dana. Odredite za koliko dana bi 10, 8, 6 itd. zidari mogli obaviti isti posao.

Ako 5 zidara sruši zidove kuće za 168 dana, onda bi (uz istu produktivnost rada) 10 zidara to moglo učiniti dvostruko brže, jer u prosjeku 10 ljudi napravi dvostruko više posla od 5 ljudi.

Napravimo tablicu prema kojoj bi bilo moguće pratiti promjenu broja radnih sati i radnih sati.

Na primjer, da biste saznali koliko će dana trebati 6 radnika, prvo morate izračunati koliko dana je potrebno jednom radniku (168 5 = 840), a zatim šest radnika (840 : 6 = 140). Gledajući ovu tablicu, vidimo da su obje veličine imale šest različitih vrijednosti. Svaka vrijednost prve veličine odgovara određenije; vrijednost druge vrijednosti, na primjer, 10 odgovara 84, broj 8 - broj 105, itd.

Ako promatramo vrijednosti obje vrijednosti s lijeva na desno, vidjet ćemo da se vrijednosti gornje vrijednosti povećavaju, a vrijednosti donje vrijednosti smanjuju. Povećanje i smanjenje podliježe sljedećoj zakonitosti: vrijednosti broja radnika rastu onoliko puta koliko se smanjuju vrijednosti utrošenog radnog vremena. Još jednostavnije, ova se ideja može izraziti na sljedeći način: što je više radnika zaposleno u nekom poslu, to im je manje vremena potrebno za obavljanje određenog posla. Dvije veličine s kojima smo se susreli u ovom zadatku nazivaju se obrnuto proporcionalan.

Dakle, ako su dvije veličine međusobno povezane tako da se povećanjem (smanjenjem) vrijednosti jedne od njih nekoliko puta, vrijednost druge smanjuje (povećava) za isti iznos, tada se takve veličine nazivaju obrnuto proporcionalne.

Ima mnogo takvih stvari u životu. Navedimo primjere.

1. Ako za 150 rubalja. morate kupiti nekoliko kilograma slatkiša, tada će broj slatkiša ovisiti o cijeni jednog kilograma. Što je viša cijena, to se manje robe može kupiti ovim novcem; to se vidi iz tabele:

S povećanjem cijene slatkiša za nekoliko puta, broj kilograma slatkiša koji se mogu kupiti za 150 rubalja smanjuje se za isti iznos. U ovom su slučaju dvije količine (težina proizvoda i njegova cijena) obrnuto proporcionalne.

2. Ako je udaljenost između dva grada 1200 km, tada se može prijeći u različito vrijeme ovisno o brzini kretanja. postojati različiti putevi prijevoz: pješice, na konju, biciklom, brodom, automobilom, vlakom, avionom. Što je manja brzina, potrebno je više vremena za kretanje. To se može vidjeti iz tablice:

S povećanjem brzine za nekoliko puta, vrijeme kretanja smanjuje se za isto toliko. Dakle, u danim uvjetima brzina i vrijeme su obrnuto proporcionalni.

§ 135. Svojstvo obrnuto razmjernih veličina.

Uzmimo drugi primjer koji smo razmotrili u prethodnom paragrafu. Tu smo imali posla s dvije veličine - brzinom kretanja i vremenom. Promatramo li vrijednosti ovih veličina s lijeva na desno u tablici, vidjet ćemo da vrijednosti prve veličine (brzina) rastu, a vrijednosti druge (vrijeme) opadaju, a brzina se povećava za isti faktor kao što se vrijeme smanjuje. Lako je razumjeti da ako napišete omjer bilo koje vrijednosti jedne količine, tada on neće biti jednak omjeru odgovarajućih vrijednosti druge količine. Doista, ako uzmemo omjer četvrte vrijednosti gornje vrijednosti do sedme vrijednosti (40: 80), tada on neće biti jednak omjeru četvrte i sedme vrijednosti donje vrijednosti (30: 15 ). Može se napisati ovako:

40:80 nije jednako 30:15, ili 40:80 =/= 30:15.

Ali ako umjesto jednog od ovih omjera uzmemo suprotan, tada ćemo dobiti jednakost, odnosno iz tih omjera moći će se napraviti razmjer. Na primjer:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Na temelju prethodno navedenog možemo izvući sljedeći zaključak: ako su dvije veličine obrnuto proporcionalne, tada je omjer dviju proizvoljno uzetih vrijednosti jedne veličine jednak obrnutom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge količine.

§ 136. Formula obrnute razmjernosti.

Razmotrite problem: "Postoji 6 komada svilene tkanine različitih veličina i različite sorte. Svi komadi su iste cijene. U jednom komadu 100 m tkanine po cijeni od 20 rubalja. po metru. Koliko metara ima svaki od ostalih pet komada, ako metar tkanine u tim komadima košta 25, 40, 50, 80, 100 rubalja? Napravimo tablicu za rješavanje ovog problema:

Moramo popuniti prazna polja u gornjem redu ove tablice. Pokušajmo prvo odrediti koliko metara ima drugi komad. To se može učiniti na sljedeći način. Iz uvjeta zadatka je poznato da je cijena svih dijelova ista. Trošak prvog komada je lako odrediti: ima 100 m, a svaki metar košta 20 rubalja, što znači da je u prvom komadu svile za 2.000 rubalja. Budući da drugi komad svile sadrži isti broj rubalja, tada, dijeljenjem 2000 rubalja. po cijeni jednog metra, odnosno 25, nalazimo vrijednost drugog komada: 2 000 : 25 = 80 (m). Na isti način ćemo pronaći veličinu svih ostalih komada. Tablica će izgledati ovako:

Lako je vidjeti da postoji obrnuti odnos između broja metara i cijene.

Ako sami napravite potrebne izračune, primijetit ćete da svaki put morate podijeliti broj 2000 s cijenom od 1 m. Obrnuto, ako sada počnete množiti veličinu komada u metrima s cijenom od 1 m, uvijek će dobiti broj 2000. i to je bilo za očekivati, jer svaki komad košta 2000 rubalja.

Iz ovoga možemo izvući sljedeći zaključak: za dati par obrnuto proporcionalnih veličina, umnožak bilo koje vrijednosti jedne veličine s odgovarajućom vrijednošću druge veličine je konstantan broj (tj. ne mijenja se).

U našem zadatku taj umnožak je jednak 2000. Provjerite da je u prethodnom zadatku, koji je govorio o brzini kretanja i vremenu potrebnom za prelazak iz jednog grada u drugi, također postojao konstantan broj za taj zadatak (1200).

Uzimajući u obzir sve što je rečeno, lako je izvesti formulu obrnute proporcionalnosti. Označite slovom neku vrijednost jedne veličine x , a odgovarajuća vrijednost druge vrijednosti - slovo na . Zatim, na temelju navedenog rada x na na mora biti jednaka nekoj konstantnoj vrijednosti, koju označavamo slovom Do, tj.

x y = Do.

U ovoj jednakosti x - množitelj, na - množitelj i K- raditi. Po svojstvu množenja, množitelj je jednak umnošku podijeljenom s množenikom. Sredstva,

Ovo je formula obrnute proporcionalnosti. Koristeći ga, možemo izračunati bilo koji broj vrijednosti jedne od obrnuto proporcionalnih veličina, znajući vrijednosti druge i konstantan broj Do.

Razmotrimo još jedan problem: “Autor jednog eseja izračunao je da bi njegova knjiga, ako je u uobičajenom formatu, imala 96 stranica, ali ako je džepni format, onda bi imala 300 stranica. On je pokušao različite varijante, počeo je s 96 stranica, a onda je dobio 2500 slova po stranici. Zatim je uzeo broj stranica naveden u donjoj tablici i ponovno izračunao koliko bi slova bilo na stranici.

Pokušajmo izračunati koliko će slova biti na stranici ako knjiga ima 100 stranica.

U cijeloj knjizi ima 240 000 slova, budući da je 2 500 96 = 240 000.

Uzimajući ovo u obzir, koristimo formulu obrnute proporcionalnosti ( na - broj slova po stranici x - broj stranica):

U našem primjeru Do= 240 000, dakle,

Dakle, na stranici ima 2400 slova.

Slično, učimo da ako knjiga ima 120 stranica, tada će broj slova na stranici biti:

Naš stol će izgledati ovako:

Sami ispunite ostale ćelije.

§ 137. Drugi načini rješavanja zadataka s obrnuto proporcionalnim veličinama.

U prethodnom odlomku rješavali smo zadatke koji su sadržavali obrnuto proporcionalne veličine. Prethodno smo izveli formulu obrnute proporcionalnosti i zatim je primijenili. Sada ćemo pokazati dva druga načina rješavanja takvih problema.

1. Metoda redukcije na jedinicu.

Zadatak. 5 tokara može obaviti neki posao za 16 dana. Za koliko dana 8 tokara može završiti ovaj posao?

Riješenje. Postoji obrnuti odnos između broja tokara i radnog vremena. Ako 5 tokara obavi posao za 16 dana, onda će jednoj osobi za to trebati 5 puta više vremena, tj.

5 tokara obavi posao za 16 dana,

1 tokar će to dovršiti za 16 5 = 80 dana.

U zadatku se postavlja pitanje za koliko će dana 8 tokara završiti posao. Očito, oni će obaviti posao 8 puta brže od 1 tokara, tj. za

80: 8 = 10 (dana).

Ovo je rješenje problema metodom svođenja na jedinicu. Ovdje je prije svega trebalo odrediti vrijeme obavljanja poslova jednog radnika.

2. Metoda proporcije. Riješimo isti problem na drugi način.

Kako postoji obrnuti odnos između broja radnika i radnog vremena, možemo napisati: trajanje rada 5 tokara novi broj tokara (8) trajanje rada 8 tokara dosadašnji broj tokara (5 ) Željeno trajanje rada označimo slovom x i zamijenite u omjeru izraženom riječima potrebne brojeve:

Isti problem rješava se metodom proporcija. Da bismo ga riješili, morali smo napraviti udio brojeva uključenih u uvjet problema.

Bilješka. U prethodnim paragrafima razmatrali smo pitanje izravne i obrnute proporcionalnosti. Priroda i život daju nam mnoge primjere izravnih i obrnutih proporcija količina. Međutim, treba napomenuti da su ove dvije vrste ovisnosti samo najjednostavnije. Uz njih postoje i drugi, složeniji odnosi među količinama. Osim toga, ne treba misliti da ako se bilo koje dvije veličine istovremeno povećavaju, tada nužno postoji izravna proporcionalnost između njih. Ovo je daleko od istine. Na primjer, cijena karte za željeznička pruga raste s udaljenošću: što dalje idemo, to više plaćamo, ali to ne znači da je plaćanje proporcionalno udaljenosti.

Dovršio: Chepkasov Rodion

učenica 6 "B" razreda

MBOU "Srednja škola br. 53"

Barnaul

Voditelj: Bulykina O.G.

profesorica matematike

MBOU "Srednja škola br. 53"

Barnaul

    Uvod. jedan

    Odnosi i proporcije. 3

    Izravno i obrnuto proporcionalne ovisnosti. 4

    Primjena izravne i obrnute proporcionalnosti 6

ovisnosti u rješavanju raznih problema.

    Zaključak. jedanaest

    Književnost. 12

Uvod.

Riječ proporcija dolazi od latinske riječi proporcija, što općenito znači proporcionalnost, ravnomjernost dijelova (određeni međusobni omjer dijelova). Pitagorejci su u antičko doba visoko cijenili učenje o proporcijama. Proporcijama su povezivali misli o redu i ljepoti u prirodi, o suglasnim akordima u glazbi i harmoniji u svemiru. Neke vrste proporcija nazivaju glazbenim ili harmoničkim.

Čovjek je još u davnim vremenima otkrio da su sve pojave u prirodi međusobno povezane, da je sve u stalnom kretanju, mijeni i, kada se izrazi brojevima, otkriva nevjerojatne obrasce.

Pitagorejci i njihovi sljedbenici tražili su numerički izraz za sve što postoji na svijetu. Našli su; da su matematičke proporcije u osnovi glazbe (omjer duljine žice i visine tona, odnos između intervala, omjer zvukova u akordima koji daju harmonijski zvuk). Pitagorejci su pokušali matematički potkrijepiti ideju o jedinstvu svijeta, tvrdili su da su osnova svemira simetrični geometrijski oblici. Pitagorejci su tražili matematičko opravdanje ljepote.

Slijedeći pitagorejce, srednjovjekovni učenjak Augustin nazvao je ljepotu "numeričkom jednakošću". Skolastički filozof Bonaventura je napisao: "Nema ljepote i užitka bez proporcionalnosti, dok proporcionalnost prvenstveno postoji u brojevima. Potrebno je da sve bude izračunljivo." Leonardo da Vinci je u svojoj raspravi o slikarstvu napisao o upotrebi proporcija u umjetnosti: "Slikar u obliku proporcija utjelovljuje iste zakone koji vrebaju u prirodi koje znanstvenik poznaje u obliku numeričkog zakona."

Proporcije su se koristile u rješavanju raznih problema kako u antici tako iu srednjem vijeku. Određene vrste problema sada se lako i brzo rješavaju pomoću proporcija. Proporcije i proporcionalnost koristili su se i koriste se ne samo u matematici, već iu arhitekturi i umjetnosti. Proporcionalnost u arhitekturi i umjetnosti znači održavanje određenih omjera između veličina. različite dijelove građevine, figure, skulpture ili druga umjetnička djela. Proporcionalnost je u takvim slučajevima uvjet za pravilnu i lijepu konstrukciju i sliku

U svom radu pokušao sam razmotriti korištenje izravnih i obrnutih proporcionalnih odnosa u različitim područjima okolnog života, pratiti vezu s akademskim predmetima kroz zadatke.

Odnosi i proporcije.

Kvocijent dvaju brojeva naziva se stav ove brojevima.

Emisije stavova, koliko je puta prvi broj veći od drugog, odnosno koliki je dio prvog broja od drugog.

Zadatak.

U trgovinu je dovezeno 2,4 tone krušaka i 3,6 tona jabuka. Koji dio uvezenog voća čine kruške?

Riješenje . Nađi koliko je voća ukupno doneseno: 2,4 + 3,6 = 6 (t). Da bismo saznali koji dio donesenog voća čine kruške, napravit ćemo omjer 2,4:6 =. Odgovor se može napisati i kao decimalni razlomak ili u postotku: = 0,4 = 40%.

međusobno inverzni nazvao brojevima, čiji su umnošci jednaki 1. Prema tome odnos se naziva inverzni odnos.

Razmotrite dva jednaka omjera: 4,5:3 i 6:4. Stavimo znak jednakosti između njih i dobijemo omjer: 4,5:3=6:4.

Proporcija je jednakost dviju relacija: a : b =c :d ili = , gdje su a i d ekstremni uvjeti proporcije, c i b srednji članovi(svi članovi proporcije su različiti od nule).

Osnovno svojstvo proporcije:

u pravom omjeru, umnožak krajnjih članova jednak je umnošku srednjih članova.

Primjenom svojstva komutativnosti množenja dobivamo da u pravom omjeru možete zamijeniti ekstremne ili srednje članove. Rezultirajuće proporcije također će biti točne.

Koristeći osnovno svojstvo proporcije, može se pronaći njezin nepoznati član ako su poznati svi ostali članovi.

Da bismo pronašli nepoznati ekstremni član proporcije, potrebno je pomnožiti srednje članove i podijeliti s poznatim ekstremnim članom. x : b = c : d , x =

Da bismo pronašli nepoznati srednji član proporcije, moramo pomnožiti krajnje članove i podijeliti s poznatim srednjim članom. a : b = x : d , x = .

Izravni i obrnuti razmjeri.

Vrijednosti dviju različitih veličina mogu međusobno ovisiti jedna o drugoj. Dakle, površina kvadrata ovisi o duljini njegove stranice, i obrnuto - duljina stranice kvadrata ovisi o njegovoj površini.

Kaže se da su dvije količine proporcionalne ako, s povećanjem

(smanjenje) jedne od njih za nekoliko puta, druga se povećava (smanjuje) za isti iznos.

Ako su dvije veličine izravno proporcionalne, tada su omjeri odgovarajućih vrijednosti tih veličina jednaki.

Primjer izravni proporcionalni odnos .

Na benzinskoj postaji 2 litre benzina teže 1,6 kg. Koliko će težiti 5 litara benzina?

Riješenje:

Težina kerozina proporcionalna je njegovom volumenu.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x \u003d 5 * 1,6 x \u003d 4

Odgovor: 4 kg.

Ovdje omjer težine i volumena ostaje nepromijenjen.

Dvije veličine nazivamo obrnuto proporcionalnima ako se jedna od njih nekoliko puta poveća (smanji) druga smanji (poveća) za isti iznos.

Ako su veličine obrnuto proporcionalne, tada je omjer vrijednosti jedne veličine jednak obrnutom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.

P primjerobrnuti proporcionalni odnos.

Dva pravokutnika imaju istu površinu. Duljina prvog pravokutnika je 3,6 m, a širina 2,4 m. Duljina drugog pravokutnika je 4,8 m. Odredi širinu drugog pravokutnika.

Riješenje:

1 pravokutnik 3,6 m 2,4 m

2 pravokutnika 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8 m 2,4 m

x \u003d 3,6 * 2,4 \u003d 1,8 m

Odgovor: 1,8 m.

Kao što vidite, problemi s proporcionalnim količinama mogu se riješiti pomoću proporcija.

Nisu svake dvije veličine izravno proporcionalne ili obrnuto proporcionalne. Na primjer, visina djeteta raste s dobi, ali te vrijednosti nisu proporcionalne, jer kada se dob udvostruči, visina djeteta se ne udvostruči.

Praktična upotreba izravna i obrnuta proporcionalnost.

Zadatak #1

Školska knjižnica raspolaže s 210 udžbenika matematike, što je 15% cjelokupnog knjižničnog fonda. Koliko knjiga ima knjižnični fond?

Riješenje:

Ukupno udžbenika - ? - 100%

matematičari - 210 -15%

15% 210 računa

X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 udžbenika

100% x račun. petnaest

Odgovor: 1400 udžbenika.

Zadatak #2

Biciklist prijeđe 75 km za 3 sata. Koliko će vremena trebati biciklistu da istom brzinom prijeđe 125 km?

Riješenje:

3 h – 75 km

H - 125 km

Vrijeme i udaljenost su izravno proporcionalni, dakle

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Odgovor: 5 sati.

Zadatak #3

8 identičnih cijevi napuni bazen za 25 minuta. Za koliko minuta će 10 takvih cijevi napuniti bazen?

Riješenje:

8 lula - 25 minuta

10 cijevi - ? minuta

Broj cijevi je obrnuto proporcionalan vremenu, dakle

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Odgovor: 20 minuta.

Zadatak #4

Tim od 8 radnika obavi zadatak za 15 dana. Koliko radnika može izvršiti zadatak u 10 dana, radeći pri istoj produktivnosti?

Riješenje:

8 radnih - 15 dana

Radni - 10 dana

Broj radnika je obrnuto proporcionalan broju dana, dakle

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Odgovor: 12 radnika.

Zadatak broj 5

Od 5,6 kg rajčice dobije se 2 litre umaka. Koliko se litara umaka može dobiti od 54 kg rajčice?

Riješenje:

5,6 kg - 2 l

54 kg - ? l

Broj kilograma rajčica izravno je proporcionalan količini dobivenog umaka, dakle

5,6: 54 = 2: x,

x =
,

x = 19.

Odgovor: 19 l.

Zadatak broj 6

Za grijanje školske zgrade ugljen se vadio 180 dana po utrošku

0,6 tona ugljena dnevno. Za koliko će dana trajati ta rezerva ako se dnevno troši 0,5 tona?

Riješenje:

Broj dana

Stopa potrošnje

Broj dana je obrnuto proporcionalan stopi potrošnje ugljena, dakle

180: x = 0,5: 0,6,

x \u003d 180 * 0,6: 0,5,

x = 216.

Odgovor: 216 dana.

Zadatak broj 7

U željeznoj rudi na 7 dijelova željeza otpada 3 dijela nečistoća. Koliko tona nečistoća ima ruda koja sadrži 73,5 tona željeza?

Riješenje:

Broj komada

Težina

Željezo

73,5

nečistoće

Broj dijelova izravno je proporcionalan masi, dakle

7 : 73,5 = 3 : x.

x \u003d 73,5 * 3: 7,

x = 31,5.

Odgovor: 31,5 tona

Zadatak broj 8

Automobil je prešao 500 km, potrošivši 35 litara benzina. Koliko litara benzina trebaš da prijeđeš 420 km?

Riješenje:

Udaljenost, km

Benzin, l

Udaljenost je izravno proporcionalna potrošnji benzina, dakle

500 : 35 = 420 : x,

x \u003d 35 * 420: 500,

x = 29,4.

Odgovor: 29,4 litara

Zadatak broj 9

U 2 sata smo ulovili 12 karasa. Koliko će se šarana uloviti za 3 sata?

Riješenje:

Broj karasa ne ovisi o vremenu. Ove količine nisu ni izravno proporcionalne ni obrnuto proporcionalne.

Odgovor: Nema odgovora.

Zadatak broj 10

Rudarska tvrtka mora kupiti 5 novih strojeva za određeni iznos novca po cijeni od 12 tisuća rubalja po jednom. Koliko takvih automobila poduzeće može kupiti ako cijena jednog automobila postane 15 tisuća rubalja?

Riješenje:

Broj automobila, kom.

Cijena, tisuća rubalja

Broj automobila obrnuto je proporcionalan trošku, dakle

5:x=15:12,

x= 5*12:15,

x=4.

Odgovor: 4 automobila.

Zadatak broj 11

U gradu N na trgu P nalazi se trgovina čiji je vlasnik toliko strog da odbija 70 rubalja od plaće za kašnjenje od 1 kašnjenja dnevno. Dvije djevojke Yulia i Natasha rade u jednom odjelu. Ih plaća ovisi o broju radnih dana. Julija je dobila 4100 rubalja za 20 dana, a Nataša je trebala dobiti više za 21 dan, ali je kasnila 3 dana zaredom. Koliko će rubalja dobiti Natasha?

Riješenje:

Radni dan

Plaća, rub.

Julija

4100

Natasha

Plaća je upravno proporcionalna broju radnih dana, dakle

20 : 21 = 4100 : x,

x = 4305.

4305 rub. Natasha je trebala.

4305 - 3 * 70 = 4095 (rub.)

Odgovor: Natasha će dobiti 4095 rubalja.

Zadatak broj 12

Udaljenost između dva grada na karti je 6 cm. Odredite udaljenost između tih gradova na zemlji ako je mjerilo karte 1:250000.

Riješenje:

Označimo udaljenost između gradova na tlu kroz x (u centimetrima) i pronađimo omjer duljine segmenta na karti i udaljenosti na tlu, koja će biti jednaka mjerilu karte: 6: x \ u003d 1: 250000,

x \u003d 6 * 250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Odgovor: 15 km.

Zadatak broj 13

4000 g otopine sadrži 80 g soli. Kolika je koncentracija soli u ovoj otopini?

Riješenje:

Težina, g

Koncentracija, %

Riješenje

4000

Sol

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Odgovor: Koncentracija soli je 2%.

Zadatak broj 14

Banka daje kredit na 10% godišnje. Dobili ste zajam od 50.000 rubalja. Koliko morate vratiti banci godišnje?

Riješenje:

50 000 rub.

100%

x utrljati.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 rub. iznosi 10%.

50 000 + 5000 = 55 000 (rubalja)

Odgovor: za godinu dana, 55.000 rubalja će biti vraćeno banci.

Zaključak.

Kao što možemo vidjeti iz gornjih primjera, izravni i obrnuti proporcionalni odnosi primjenjivi su u raznim područjima života:

Ekonomija,

trgovina,

u proizvodnji i industriji,

školski život,

kuhanje,

Građevinarstvo i arhitektura.

sportski,

stočarstvo,

topografija,

fizičari,

kemija itd.

Na ruskom jeziku također postoje poslovice i izreke koje uspostavljaju izravnu i obrnuti odnos:

Kako dođe, tako će i odgovoriti.

Što je panj viši, to je sjena viša.

Što više ljudi, to manje kisika.

I spremno, da glupo.

Matematika je jedna od najstarijih znanosti, nastala je na temelju potreba i potreba čovječanstva. Prošavši kroz povijest formacije od Drevna grčka, i dalje ostaje relevantan i neophodan u Svakidašnjica bilo tko. Koncept izravne i obrnute proporcionalnosti poznat je od davnina, budući da su zakoni proporcije pokretali arhitekte tijekom svake izgradnje ili stvaranja bilo koje skulpture.

Poznavanje proporcija naširoko se koristi u svim sferama ljudskog života i djelovanja - bez njih se ne može pri slikanju slika (krajolika, mrtve prirode, portreta itd.), također imaju široku upotrebu među arhitektima i inženjerima, - općenito, teško je zamisliti stvaranje barem nečega bez korištenja znanja o proporcijama i njihovom odnosu.

Književnost.

    Matematika-6, N.Ya. Vilenkin i drugi.

    Algebra -7, G.V. Dorofejev i drugi.

    Matematika-9, GIA-9, uredio F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhov

    Matematika-6, didaktički materijali, P.V. Čulkov, A.B. Uedinov

    Zadaci iz matematike za razrede 4-5, I.V. Baranova et al., M. "Prosvjetljenje" 1988.

    Zbirka zadataka i primjera iz matematike 5-6 razred, N.A. Tereshin,

T.N. Tereshina, M. "Akvarij" 1997