Prva razina

Inverzni odnos. Prva razina.

Sada ćemo govoriti o inverznom odnosu, ili drugim riječima - obrnuta proporcionalnost kako je s funkcijom. Sjećate li se da je funkcija određena vrsta ovisnosti? Ako još niste pročitali temu, toplo preporučujem da odustanete od svega i pročitate je, jer ne možete proučavati nijednu određenu funkciju bez razumijevanja što je to - funkcija.

Također je vrlo korisno naučiti dvije jednostavnije funkcije prije početka ove teme: i . Tamo ćete učvrstiti pojam funkcije i naučiti raditi s koeficijentima i grafovima.

Dakle, sjećate li se što je funkcija?
Ponavljamo: funkcija je pravilo prema kojem se svakom elementu jednog skupa (argumentu) pridružuje neki ( jedini!) element drugog skupa (skup vrijednosti funkcije). To jest, ako imate funkciju, to znači da za svaku važeću vrijednost varijable (nazvanu "argument") postoji jedna vrijednost varijable (nazvana "funkcija"). Što znači "prihvatljivo"? Ako ne možete odgovoriti na ovo pitanje, vratite se ponovno na temu “”! Sve je u konceptu "domena": za neke funkcije, nisu svi argumenti jednako korisni mogu se zamijeniti u zavisnosti. Na primjer, za funkciju, vrijednosti negativnih argumenata nisu važeće.

Funkcija koja opisuje inverzni odnos

Ovo je funkcija oblika where.

Na drugi način, to se naziva inverzna proporcionalnost: povećanje argumenta uzrokuje proporcionalno smanjenje funkcije.
Definirajmo opseg. Što može biti jednako? Ili, drugim riječima, čemu ne može biti jednak?

Jedini broj s kojim se ne može podijeliti je dakle:

ili, što je isto,

(ovakav zapis znači da to može biti bilo koji broj, osim: znak "" označava skup realnih brojeva, odnosno sve moguće brojeve; znak "" označava isključenje nečega iz tog skupa (analogno znaku minus ), a broj u vitičastim zagradama znači samo broj; ispada da isključujemo iz svih mogućih brojeva).

Skup vrijednosti funkcije, ispada, potpuno je isti: nakon svega, ako, onda bez obzira na što ga podijelimo, neće raditi:

Moguće su i neke varijacije formule. Na primjer, također je funkcija koja opisuje inverzni odnos.
Sami definirajte djelokrug i opseg ove funkcije. Trebalo bi ispasti:

Pogledajmo ovu funkciju: . Je li to obrnut odnos?

Na prvi pogled teško je reći: uostalom, s povećanjem raste i nazivnik razlomka i brojnik, pa nije jasno hoće li se funkcija smanjivati, a ako hoće, hoće li se smanjivati ​​proporcionalno? Da bismo ovo razumjeli, moramo transformirati izraz tako da nema varijable u brojniku:

Doista, dobili smo obrnuti odnos, ali uz upozorenje: .

Evo još jednog primjera: .

Ovdje je još kompliciranije: uostalom, brojnik i nazivnik sada sigurno nisu reducirani. Ali ipak možemo pokušati:

Razumiješ li što sam učinio? U brojniku sam zbrajao i oduzimao isti broj (), pa se činilo da nisam ništa promijenio, ali sada brojnik ima dio jednak nazivniku. Sada ću podijeliti pojam po pojam, odnosno rastaviti ću ovaj razlomak na zbroj dva razlomka:

(i istina je, ako ovo što sam dobio dovedemo pod zajednički nazivnik, opet ćemo dobiti naš početni razlomak):

Wow! Opet se ispostavlja obrnuti odnos, samo što mu je sada dodan broj.
Ova metoda će nam kasnije biti od velike koristi pri crtanju grafova.

A sada samostalno dovedite izraze u oblik inverznog odnosa:

odgovori:

2. Ovdje se trebate sjetiti kako se kvadratni trinom rastavlja na faktore (ovo je detaljno opisano u temi ""). Dopustite mi da vas podsjetim da za ovo morate pronaći korijene odgovarajućeg kvadratna jednadžba: . Pronaći ću ih usmeno pomoću Vietinog teorema: , . Kako se to radi? To možete naučiti čitajući temu.
Dakle, dobivamo: , dakle:

3. Jeste li to već pokušali sami riješiti? U čemu je kvaka? Sigurno u tome što u brojniku imamo, a u nazivniku - samo. Nije problem. Trebat ćemo smanjiti za, pa brojnik treba izbaciti iz zagrade (da ispadne u zagradi bez koeficijenta):

Inverzni zaplet

Kao i uvijek, počnimo s najjednostavnijim slučajem: .
Napravimo tablicu:

Nacrtajte točke na koordinatnoj ravnini:

Sada ih treba glatko povezati, ali kako? Može se vidjeti da točke u desnom i lijevom dijelu tvore naizgled nepovezane zakrivljene linije. Način na koji je. Grafikon će izgledati ovako:

Ovaj grafikon se zove "hiperbola"(postoji nešto slično "paraboli" u ovom nazivu, zar ne?). Kao i parabola, hiperbola ima dvije grane, samo što one nisu međusobno povezane. Svaki od njih teži da se svojim krajevima približi sjekirama, ali ih nikada ne dosegne. Ako istu hiperbolu pogledate izdaleka, dobit ćete sljedeću sliku:

Razumljivo je: budući da graf ne može prijeći os. Ali također, tako da graf nikada neće dodirivati ​​os.

Pa, sada da vidimo na što utječu koeficijenti. Razmotrite ove funkcije:
:

Wow, kakva ljepota!
Svi su grafikoni izgrađeni u različitim bojama kako bi ih bilo lakše međusobno razlikovati.

Dakle, na što prije svega obraćamo pozornost? Na primjer, ako funkcija ima minus ispred razlomka, tada se graf okreće, odnosno prikazuje se simetrično u odnosu na os.

Drugo: što je veći broj u nazivniku, to graf dalje "bježi" od ishodišta.

Ali što ako funkcija izgleda kompliciranije, na primjer, ?

U ovom slučaju, hiperbola će biti potpuno ista kao i uobičajena, samo će se malo pomaknuti. Razmislimo, gdje?

Što sad ne može biti jednako? Ispravno, . To znači da graf nikada neće dosegnuti ravnu liniju. Što ne može biti jednako? Sada. To znači da će sada grafikon težiti ravnoj liniji, ali je nikada neće prijeći. Dakle, sada ravne linije i imaju istu ulogu koju imaju koordinatne osi za funkciju. Takve linije nazivaju se asimptote(linije kojima graf teži, ali ih ne doseže):

Naučit ćemo više o tome kako se grade takvi grafikoni u temi.

A sada pokušajte riješiti nekoliko primjera za konsolidaciju:

1. Na slici je prikazan graf funkcije. Odrediti.

2. Na slici je prikazan graf funkcije. Odrediti

3. Na slici je prikazan graf funkcije. Odrediti.

4. Na slici je prikazan graf funkcije. Odrediti.

5. Na slici su prikazani grafovi funkcija i.

Odaberite pravi omjer:

odgovori:

Inverzni odnos u životu

Gdje u praksi susrećemo takvu funkciju? Primjera je mnogo. Najčešći je kretanje: što je veća brzina kojom se krećemo, potrebno nam je manje vremena da prijeđemo istu udaljenost. Doista, prisjetimo se formule za brzinu: , gdje je brzina, je vrijeme putovanja, je udaljenost (put).

Odavde možemo izraziti vrijeme:

Primjer:

Osoba ide na posao prosječnom brzinom od km/h, a stiže za sat vremena. Koliko će minuta provesti na istoj cesti ako se kreće brzinom od km/h?

Riješenje:

Općenito, takve zadatke ste već rješavali u 5. i 6. razredu. Jeste li napravili proporciju?

Odnosno, koncept obrnute proporcionalnosti već vam je dobro poznat. Toga su se sjetili. A sad isto, samo na odrasli način: kroz funkciju.

Funkcija (to jest, ovisnost) vremena u minutama o brzini:

Poznato je da tada:

Treba pronaći:

Sada smislite nekoliko primjera iz života u kojima postoji obrnuta proporcionalnost.
Izmislio? Bravo ako da. Sretno!

OBRNUTA OVISNOST. UKRATKO O GLAVNOM

1. Definicija

Funkcija koja opisuje inverzni odnos je funkcija oblika gdje.

Na drugi način, ova se funkcija naziva obrnutom proporcionalnošću, budući da povećanje argumenta uzrokuje proporcionalno smanjenje funkcije.

ili, što je isto,

Graf inverznog odnosa je hiperbola.

2. Koeficijenti, i.

Odgovoran za "nagib" i smjer grafa: što je ovaj koeficijent veći, to se hiperbola nalazi dalje od ishodišta, pa stoga manje "okreće" (vidi sliku). Predznak koeficijenta utječe na četvrtine u kojima se grafikon nalazi:

• ako, tada se grane hiperbole nalaze u i četvrtinama;
• ako, onda u i.

x=a je vertikalna asimptota, odnosno vertikala kojoj graf teži.

Broj je odgovoran za pomak grafa funkcije prema gore za iznos ako je , i pomak prema dolje ako je .

Dakle, jest horizontalna asimptota.

1 lekcija po temi

Izvedena:

Telegina L.B.

Svrha lekcije:

1. ponoviti svo obrađeno gradivo po funkciji.
2. upoznati definiciju obrnute proporcionalnosti i naučiti graditi njezin grafikon.
3. razvijati logičko mišljenje.
4. njegovati pažnju, točnost, točnost.

Plan učenja:

1. Ponavljanje.
2. Objašnjenje novog gradiva.
3. Fizkultminutka.
4. Konsolidacija.

Oprema: plakati.

Tijekom nastave:

1. Lekcija počinje ponavljanjem. Učenici su pozvani riješiti križaljku (koja je unaprijed pripremljena na velikom listu papira).

7 11

Pitanja za križaljke:

1. Ovisnost između varijabli, u kojoj svaka vrijednost nezavisne varijable odgovara jednoj vrijednosti zavisne varijable. [Funkcija].

2. Nezavisna varijabla. [Argument].

3. Skup točaka koordinatne ravnine apscise, koje su jednake vrijednostima argumenta, a ordinate - vrijednostima funkcije. [Raspored].

4. Funkcija dana formulom y=kx+b. [Linearno].

5. Koji se broj naziva koeficijentom k u formuli y=kx+b? [Kutni].

6. Što služi kao graf linearne funkcije? [Ravno].

7. Ako je k≠0, tada graf y=kx+b siječe ovu os, a ako je k=0, onda je s njom paralelan. Koje je slovo za ovu os? [X].

8. Riječ u nazivu funkcije y=kx? [Proporcionalnost].

9. Funkcija dana formulom y=x 2. [Kvadratični].

10. Naziv grafa kvadratna funkcija. [Parabola].

11. Slovo latiničnog alfabeta, koje često označava funkciju. [Yy].

12. Jedan od načina postavljanja funkcije. [Formula].

Učitelj, nastavnik, profesor : Koji su glavni načini definiranja funkcije koje poznajemo?

(Jedan učenik na ploči dobiva zadatak: popuniti tablicu vrijednosti funkcije 12/x prema zadanim vrijednostima njezina argumenta, a zatim izgraditi odgovarajuće točke na koordinatnoj ravnini).

Ostali odgovaraju na pitanja nastavnika: (koja su unaprijed snimljena na ploču)

1. Kako se zovu sljedeće funkcije dane formulama: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Odredite opseg sljedećih funkcija: y=x 2 +8, y=1/x-7, y=4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3, y=-10/x.

Zatim učenici rade na stolu, odgovarajući na pitanja učitelja:

1. Koja slika iz tablice prikazuje grafikone:

a) linearna funkcija;

b) izravna proporcionalnost;

c) kvadratna funkcija;

d) funkcije oblika y=kx 3 ?

2. Koji je predznak koeficijenta k u formulama oblika y=kx+b koje odgovaraju grafovima na slikama 1, 2, 4, 5 u tablici?

3. Pronađite u tablici grafove linearnih funkcija za koje su koeficijenti nagiba:

a) jednaki su;

b) jednaki su po apsolutnoj vrijednosti i suprotni po predznaku.

(Zatim cijeli razred provjerava je li učenik pozvan pred ploču ispravno ispunio tablicu i postavio točke na koordinatnoj ravnini).

2. Objašnjenje počinje motivacijom.

Učitelj, nastavnik, profesor: Kao što znate, svaka funkcija opisuje neke procese koji se odvijaju u svijetu oko nas.

Razmotrimo, na primjer, pravokutnik sa stranicama x i y i površina 12cm 2 . Poznato je da je x*y=12, ali što će se dogoditi ako počnete mijenjati jednu od stranica pravokutnika, recimo da je stranica dugačka x?

Duljina stranice y može se pronaći iz formule y=12/x. Ako a x povećati za 2 puta, tada će imati y=12/2x, tj. strana g će se smanjiti 2 puta. Ako vrijednost x povećati za 3, 4, 5 ... puta, zatim vrijednost g smanjit će se za isti iznos. Naprotiv, ako x smanjiti nekoliko puta g će se povećati za isti iznos. (Rad na stolu).

Stoga se funkcija oblika y=12/x naziva obrnutom proporcionalnošću. NA opći pogled zapisuje se kao y=k/x, gdje je k konstanta, a k≠0.

Ovo je tema današnje lekcije, zapisana u bilježnice. Dajem strogu definiciju. Za funkciju y=12/x, koja je poseban oblik obrnute proporcionalnosti, već smo zapisali niz vrijednosti argumenta i funkcije u tablici te ćemo prikazati odgovarajuće točke na koordinatnoj ravnini. Kako izgleda graf ove funkcije? Po konstruiranim točkama teško je prosuditi cijeli graf jer se točke mogu povezati na bilo koji način. Pokušajmo zajedno izvući zaključke o grafu funkcije koji proizlaze iz razmatranja tablice i formule.

Pitanja za razred:

1. Koliki je opseg funkcije y=12/x?
2. Jesu li vrijednosti y pozitivne ili negativne ako

a) x

b) x>0?

3. Kako se mijenja vrijednost varijable g s promjenom vrijednosti x?

Tako,

1. točka (0,0) ne pripada grafu, tj. ne siječe ni OX ni OY os;
2. grafikon je u Ι i ΙΙΙ koordinatnim četvrtinama;
3. glatko se približava koordinatnim osima iu Ι koordinatnoj četvrtini iu ΙΙΙ, i približava se osi koliko god je potrebno.

S tim podacima već možemo spojiti točkice na slici (nastavnik to radi sam na ploči) i vidjeti graf funkcije y=12/x u cijelosti. Dobivena krivulja naziva se hiperbola, što na grčkom znači "prolaziti kroz nešto". Ovu su krivulju otkrili matematičari starogrčke škole oko 4. stoljeća pr Pojam hiperbola uveo je Apolonije iz grada Pergamona (Mala Azija), koji je živio u ΙΙΙ-ΙΙ st. PRIJE KRISTA.

Sada ćemo pored grafa funkcije y=12/x iscrtati graf funkcije y=-12/x. (Ovaj zadatak učenici rade u bilježnicama, a jedan učenik na ploči).

Uspoređujući oba grafikona, učenici uočavaju da drugi zauzima 2 i 4 koordinatne četvrtine. Osim toga, ako se graf funkcije y=12/x prikaže simetrično u odnosu na os OS, tada će se dobiti graf funkcije y=-12/x.

Pitanje: Kako položaj grafa hiperbole y=k/x ovisi o predznaku i o vrijednosti koeficijenta k?

Učenici provjeravaju da ako je k>0, onda se graf nalazi u Ι i ΙΙΙ koordiniraju četvrtine, a ako k

1. Tjelesni odgoj provodi nastavnik.

1. Konsolidacija proučenog odvija se pri izvođenju brojeva 180, 185 iz udžbenika.

1. Sažetak lekcije, ocjene, domaća zadaća: točka 8 br. 179, 184.

2 lekcija na temu

"Funkcija obrnute proporcionalnosti i njen graf".

Izvedena:

Telegina L.B.

Svrha lekcije:

1. učvrstiti vještinu crtanja grafa funkcije obrnute proporcionalnosti;
2. razvijati interes za predmet, logično razmišljanje;
3. njegovati neovisnost, pozornost.

Plan učenja:

1. Provjera domaće zadaće.
2. usmeni rad.
3. Rješavanje problema.
4. Fizkultminutka.
5. Samostalni rad u više razina.
6. Rezimiranje, evaluacija, domaća zadaća.

Oprema: kartice.

Tijekom nastave:

1. Nastavnik najavljuje temu sata, ciljeve i plan sata.

Zatim dva učenika popunjavaju brojeve 179, 184 dodijeljene kući na ploči.

1. Ostali učenici rade frontalno, odgovarajući na pitanja nastavnika.

Pitanja:

• Definirajte funkciju obrnute proporcionalnosti.
• Što je graf obrnuto proporcionalne funkcije.
• Kako položaj grafa hiperbole y=k/x ovisi o vrijednosti koeficijenta k?

Zadaci:

1. Među funkcijama danim formulama navedite funkcije obrnute proporcionalnosti:

a) y=x2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Za funkcije obrnute proporcionalnosti navedite koeficijent i označite u kojim četvrtinama se nalazi graf.

3. Odredite domenu definicije za funkcije obrnute proporcionalnosti.

(Zatim učenici jedni drugima olovkom provjeravaju zadaću prema rješenjima brojeva koje je učitelj provjerio na ploči i ocjenjuju).

Frontalni rad na udžbeniku br. 190, 191, 192, 193 (usmeno).

1. Izvođenje u bilježnicama i na ploči iz udžbenika br. 186 (b), 187 (b), 182.

4. Sat tjelesnog odgoja vodi nastavnik.

5. Samostalni rad dostupan u tri verzije različite složenosti(podijeljeno na karticama).

Ι c. (lagano).

Nacrtajte funkciju obrnute proporcionalnosti y=-6/x pomoću tablice:

Pomoću grafikona pronađite:

a) vrijednost y, ako je x = - 1,5; 2;

b) vrijednost x, pri kojoj je y \u003d - 1; četiri.

ΙΙ c. (srednja težina)

Iscrtajte funkciju obrnute proporcionalnosti y=16/x tako da prvo ispunite tablicu.

Pomoću grafikona pronađite pri kojim vrijednostima x y >0.

JA sam unutra. (povećana težina)

Nacrtajte funkciju obrnute proporcionalnosti y=10/x-2 tako da prvo ispunite tablicu.

Pronađite domenu zadane funkcije.

(Učenici predaju listove s konstruiranim grafikonima na provjeru).

6. Lekcija je sažeta, procjene, domaća zadaća: br. 186 (a), 187 (a).

Danas ćemo pogledati koje se količine nazivaju obrnuto proporcionalne, kako izgleda graf obrnute proporcionalnosti i kako vam sve to može biti korisno ne samo na satovima matematike, već i izvan školskih zidova.

Tako različite proporcije

Proporcionalnost imenovati dvije veličine koje su međusobno ovisne.

Ovisnost može biti izravna i obrnuta. Stoga odnos između veličina opisuje izravnu i obrnutu proporcionalnost.

Izravna proporcionalnost- ovo je takav odnos između dviju veličina, u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. Oni. njihov stav se ne mijenja.

Na primjer, što više truda uložite u pripremanje ispita, to će vaše ocjene biti bolje. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, to vam je teže nositi ruksak. Oni. količina truda uloženog u pripremanje ispita izravno je proporcionalna dobivenim ocjenama. A broj stvari upakiranih u ruksak izravno je proporcionalan njegovoj težini.

Obrnuta proporcionalnost- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj smanjenje ili povećanje za nekoliko puta nezavisne vrijednosti (to se zove argument) uzrokuje proporcionalno (tj. za isti iznos) povećanje ili smanjenje zavisne vrijednosti (to se zove a funkcija).

Ilustrirajte jednostavan primjer. Želite kupiti jabuke na tržnici. Jabuke na pultu i količina novca u vašem novčaniku obrnuto su povezani. Oni. što više jabuka kupite, manje vam novca ostaje.

Funkcija i njen graf

Funkcija obrnute proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. pri čemu x≠ 0 i k≠ 0.

Ova funkcija ima sljedeća svojstva:

1. Njegova domena definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(g): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Raspon su svi realni brojevi osim g= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nema maksimalne ili minimalne vrijednosti.
4. Je neparan i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
5. Neperiodično.
6. Njegov graf ne siječe koordinatne osi.
7. Nema nula.
8. Ako a k> 0 (tj. argument raste), funkcija proporcionalno opada na svakom svom intervalu. Ako a k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne vrijednosti su u intervalu (0; +∞). Kada se argument smanjuje ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcije obrnute proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazan na sljedeći način:

Obrnuti proporcionalni problemi

Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Nisu previše komplicirani, a njihovo rješenje pomoći će vam da vizualizirate što je obrnuti razmjer i kako vam to znanje može biti korisno u svakodnevnom životu.

Zadatak broj 1. Automobil se kreće brzinom 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne na odredište. Koliko će mu vremena trebati da prijeđe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?

Možemo započeti zapisivanjem formule koja opisuje odnos vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, to nas jako podsjeća na funkciju obrnute proporcionalnosti. I ukazuje da su vrijeme koje automobil provede na cesti i brzina kojom se kreće obrnuto proporcionalni.

Da bismo to provjerili, pronađimo V 2, koji je prema uvjetu 2 puta veći: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Zatim izračunavamo udaljenost pomoću formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje se od nas traži prema uvjetu zadatka: t 2 = 360/120 = 3 sata.

Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina doista su obrnuto proporcionalni: s brzinom 2 puta većom od originalne, automobil će provesti 2 puta manje vremena na cesti.

Rješenje ovog problema također se može napisati kao proporcija. Zašto stvaramo ovakav dijagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Strelice pokazuju inverzni odnos. I također predlažu da se prilikom sastavljanja proporcije mora okrenuti desna strana zapisa: 60/120 \u003d x / 6. Gdje ćemo dobiti x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 sata.

Zadatak broj 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadani obim posla obave za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da obave istu količinu posla?

Zapisujemo uvjete problema u obliku vizualnog dijagrama:

↓ 6 radnika - 4 sata

↓ 3 radnika - x h

Zapišimo ovo kao proporciju: 6/3 = x/4. I dobivamo x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 sati. Ako ima 2 puta manje radnika, ostali će potrošiti 2 puta više vremena da završe sav posao.

Zadatak broj 3. Do bazena vode dvije cijevi. Kroz jednu cijev voda ulazi brzinom od 2 l/s i puni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev bazen će se napuniti za 75 minuta. Kolikom brzinom voda ulazi u bazen kroz tu cijev?

Za početak ćemo sve veličine koje su nam zadane prema uvjetu zadatka dovesti u iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama u minuti: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Kako iz uvjeta proizlazi da se bazen sporije puni kroz drugu cijev, to znači da je dotok vode manji. Na licu obrnutog razmjera. Izrazimo nama nepoznatu brzinu preko x i nacrtajmo sljedeću shemu:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

A onda ćemo napraviti proporciju: 120 / x \u003d 75/45, odakle x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrama u sekundi, dovedimo naš odgovor u isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadatak broj 4. Vizitke se tiskaju u maloj privatnoj tiskari. Zaposlenik tiskare radi brzinom od 42 posjetnice na sat i radi puno radno vrijeme - 8 sati. Kad bi radio brže i ispisivao 48 posjetnica na sat, koliko bi prije mogao otići kući?

Idemo na provjeren način i sastavljamo shemu prema uvjetu problema, označavajući željenu vrijednost kao x:

↓ 42 posjetnice/h – 8 h

↓ 48 posjetnica/h – xh

Pred nama je obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više posjetnica zaposlenik tiskare otisne na sat, toliko će mu vremena trebati da obavi isti posao. Znajući ovo, možemo postaviti omjer:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 sati.

Dakle, nakon što je posao završio za 7 sati, zaposlenik tiskare mogao je otići kući sat vremena ranije.

Zaključak

Čini nam se da su ti problemi obrnute proporcionalnosti doista jednostavni. Nadamo se da ih sada i vi smatrate takvima. I što je najvažnije, to znanje o leđima proporcionalna ovisnost vrijednosti vam zaista mogu biti od koristi više puta.

Ne samo na satovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada idete na put, u shopping, odlučite zaraditi nešto novca tijekom praznika itd.

Recite nam u komentarima koje primjere obrnute i izravne proporcionalnosti primjećujete oko sebe. Neka ovo bude igra. Vidjet ćete koliko je to uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak u društvenim mrežama tako da i vaši prijatelji i kolege iz razreda mogu igrati.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Ponovimo teoriju o funkcijama. Funkcija je pravilo prema kojem se svakom elementu jednog skupa (argumentu) dodjeljuje neki ( jedini!) element drugog skupa (skup vrijednosti funkcije). Odnosno, ako postoji funkcija \(y = f(x)\), što znači da za svaku valjanu vrijednost varijable \(x\)(koji se naziva "argument") odgovara jednoj vrijednosti varijable \(y\)(naziva se "funkcija").

Funkcija koja opisuje inverzni odnos

Ovo je funkcija forme \(y = \frac(k)(x)\) gdje \(k \ne 0.\)

Na drugi način, to se naziva inverzna proporcionalnost: povećanje argumenta uzrokuje proporcionalno smanjenje funkcije.
Definirajmo domenu definicije. Čemu može biti jednako \(x\)? Ili, drugim riječima, čemu ne može biti jednak?

Jedini broj s kojim ne možete podijeliti je 0, dakle \(x \ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \čaša (0; + \infty)\)

ili, što je isto:

\(D(y) = R\obrnuta kosa crta \( 0\) .\)

Ovakav zapis znači da \(x\) može biti bilo koji broj osim 0: znak "R" označava skup realnih brojeva, odnosno sve moguće brojeve; znak "\" označava isključenje nečega iz ovog skupa (analogno znaku "minus"), a broj 0 u vitičastim zagradama jednostavno označava broj 0; ispada da iz svih mogućih brojeva isključujemo 0.

Ispostavilo se da je skup vrijednosti funkcije potpuno isti: nakon svega, ako je \(k \ne 0.\) , bez obzira na to s čime ga podijelimo, 0 neće raditi:

\(E(y) = (- \infty ;0) \čaša (0; + \infty)\)

ili \(E(y) = R\obrnuta kosa crta \( 0\) .\)

Moguće su i neke varijacije formule. \(y = \frac(k)(x)\). Na primjer, \(y = \frac(k)((x + a))\)- također je funkcija koja opisuje inverzni odnos. Opseg i raspon ove funkcije su sljedeći:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \šalica (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \čaša (0; + \infty).\)

Smatrati primjer, dovest ćemo izraz u oblik inverznog odnosa:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3) ) + 5))((x - 3)).\)

Umjetno smo unijeli vrijednost 3 u brojnik, a sada dijelimo brojnik s nazivnikom član po član, dobivamo:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Dobili smo inverzni odnos plus broj 1.

Inverzni zaplet

Počnimo s jednostavnim slučajem \(y = \frac(1)(x).\)

Napravimo tablicu vrijednosti:

Nacrtajte točke na koordinatnoj ravnini:

Spojite točkice, grafikon će izgledati ovako:

Ovaj grafikon se zove "hiperbola". Kao i parabola, hiperbola ima dvije grane, samo što one nisu međusobno povezane. Svaki od njih nastoji svojim krajevima približiti se sjekirama Vol i Joj ali nikad ne dopire do njih.

Zabilježimo neke značajke funkcije:

1. Ako funkcija ima minus ispred razlomka, tada je graf okrenut, odnosno prikazan je simetrično u odnosu na os Vol.
2. Što je veći broj u nazivniku, to graf dalje "bježi" od ishodišta.

Inverzni odnos u životu

Gdje u praksi susrećemo takvu funkciju? Primjera je mnogo. Najčešći je kretanje: što je veća brzina kojom se krećemo, potrebno nam je manje vremena da prijeđemo istu udaljenost. Sjetimo se formule za brzinu:

\(v = \frac(S)(t),\)

gdje je v - brzina, t - vrijeme putovanja, S - udaljenost (put).

Odavde možemo izraziti vrijeme: \(t = \frac(S)(v).\)