Kako saznati izravno proporcionalne količine ili obrnuto. Što je izravna proporcionalnost

Pojam izravne proporcionalnosti

Zamislite da razmišljate o kupnji svog omiljenog slatkiša (ili onoga što vam se jako sviđa). Slatkiši u trgovini imaju svoju cijenu. Pretpostavimo 300 rubalja po kilogramu. Kako više slatkiša ti kupiš više novca platiti. Odnosno, ako želite 2 kilograma - platite 600 rubalja, a ako želite 3 kilograma - dajte 900 rubalja. Čini se da je s ovim sve jasno, zar ne?

Ako da, onda vam je sada jasno što je izravna proporcionalnost - to je koncept koji opisuje omjer dviju veličina koje ovise jedna o drugoj. A omjer tih količina ostaje nepromijenjen i stalan: za koliko se dijelova jedna od njih povećava ili smanjuje, za isti broj dijelova proporcionalno se povećava ili smanjuje druga.

Izravna proporcionalnost može se opisati sljedećom formulom: f(x) = a*x, a a u ovoj formuli je konstantna vrijednost (a = const). U našem primjeru slatkiša, cijena je konstanta, konstanta. Ne povećava se niti smanjuje, koliko god slatkiša odlučili kupiti. Neovisna varijabla (argument) x je koliko ćete kilograma slatkiša kupiti. A zavisna varijabla f(x) (funkcija) je koliko novca na kraju platite za svoju kupnju. Dakle, možemo zamijeniti brojeve u formuli i dobiti: 600 r. = 300 r. * 2 kg.

Međuzaključak je sljedeći: ako argument raste, funkcija također raste, ako se argument smanjuje, funkcija također opada

Funkcija i njena svojstva

Izravna proporcionalna funkcija je poseban slučaj linearne funkcije. Ako je linearna funkcija y = k*x + b, tada za izravnu proporcionalnost izgleda ovako: y = k*x, gdje se k naziva faktor proporcionalnosti, a to je uvijek broj različit od nule. Izračunavanje k je jednostavno - nalazi se kao kvocijent funkcije i argumenta: k = y/x.

Da bi bilo jasnije, uzmimo još jedan primjer. Zamislite da se automobil kreće od točke A do točke B. Brzina mu je 60 km/h. Ako pretpostavimo da brzina gibanja ostaje konstantna, tada se može uzeti kao konstanta. A onda napišemo uvjete u obliku: S \u003d 60 * t, a ova je formula slična funkciji izravne proporcionalnosti y \u003d k * x. Povucimo dalje paralelu: ako k \u003d y / x, tada se brzina automobila može izračunati, znajući udaljenost između A i B i vrijeme provedeno na cesti: V \u003d S / t.

A sada, iz primijenjene primjene znanja o izravnoj proporcionalnosti, vratimo se njezinoj funkciji. Svojstva koja uključuju:

njegova domena definicije je skup svih realnih brojeva (kao i njegov podskup);

funkcija je neparna;

promjena varijabli izravno je proporcionalna cijeloj duljini brojevnog pravca.

Direktna proporcionalnost i njezin grafikon

Graf ravnoproporcionalne funkcije je pravac koji siječe ishodište. Za njegovu izgradnju dovoljno je označiti samo još jednu točku. I spojite ga i ishodište linije.

U slučaju grafikona, k je nagib. Ako je nagib manji od nule (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf i oblik x-osi oštar kut, a funkcija se povećava.

I još jedno svojstvo grafa funkcije izravne proporcionalnosti izravno je povezano s nagibom k. Pretpostavimo da imamo dvije neidentične funkcije i, prema tome, dva grafa. Dakle, ako su koeficijenti k ovih funkcija jednaki, njihovi su grafovi paralelni na koordinatnoj osi. A ako koeficijenti k nisu međusobno jednaki, grafovi se sijeku.

Primjeri zadataka

Odlučimo par problemi izravne proporcionalnosti

Počnimo jednostavno.

1. zadatak: Zamislite da je 5 kokoši snijelo 5 jaja u 5 dana. A ako ima 20 kokoši, koliko će jaja snijeti za 20 dana?

Rješenje: nepoznanicu označimo s x. A mi ćemo razmišljati na sljedeći način: koliko je puta bilo više kokoši? Podijelite 20 s 5 i saznajte da je 4 puta. A koliko će puta više jaja snijeti 20 kokoši u istih 5 dana? Također 4 puta više. Dakle, naše nalazimo ovako: 5 * 4 * 4 \u003d 80 jaja snijet će 20 kokoši u 20 dana.

Sada je primjer malo kompliciraniji, preformulirajmo problem iz Newtonove "Opće aritmetike". Zadatak 2: Pisac može napisati 14 stranica nove knjige za 8 dana. Kad bi imao pomoćnike, koliko bi ljudi bilo potrebno da napišu 420 stranica u 12 dana?

Rješenje: Smatramo da se broj ljudi (pisac + pomoćnici) povećava s povećanjem količine posla ako se on mora obaviti u istom vremenu. Ali koliko puta? Podijelimo li 420 s 14, dobivamo da se povećava 30 puta. Ali budući da se prema uvjetu zadatka daje više vremena za rad, broj pomoćnika se ne povećava za 30 puta, već na ovaj način: x \u003d 1 (pisac) * 30 (puta): 12/8 (dani). Hajdemo transformirati i otkriti da će x = 20 ljudi napisati 420 stranica u 12 dana.

Riješimo još jedan problem sličan onima koje smo imali u primjerima.

3. zadatak: Dva automobila krenula su na isti put. Jedan se kretao brzinom 70 km/h i prešao istu udaljenost za 2 sata kao drugi za 7 sati. Nađi brzinu drugog automobila.

Rješenje: Kao što se sjećate, put je određen brzinom i vremenom - S = V *t. Budući da su oba automobila išla istim putem, možemo izjednačiti dva izraza: 70*2 = V*7. Gdje nalazimo da je brzina drugog automobila V = 70*2/7 = 20 km/h.

I još nekoliko primjera zadataka s funkcijama izravne proporcionalnosti. Ponekad se u zadacima traži pronaći koeficijent k.

Zadatak 4: Zadane su funkcije y = - x / 16 i y = 5x / 2, odredite njihove koeficijente proporcionalnosti.

Rješenje: Kao što se sjećate, k = y/x. Dakle, za prvu funkciju koeficijent je -1/16, a za drugu k = 5/2.

Također možete naići na zadatak poput Zadatka 5: Zapišite formulu izravne proporcionalnosti. Njegov graf i graf funkcije y \u003d -5x + 3 nalaze se paralelno.

Rješenje: Funkcija koja nam je dana u uvjetu je linearna. Znamo da je izravna proporcionalnost poseban slučaj linearne funkcije. Također znamo da ako su koeficijenti k funkcija jednaki, njihovi grafovi su paralelni. To znači da je sve što je potrebno izračunati koeficijent poznate funkcije i postaviti izravnu proporcionalnost pomoću poznate formule: y \u003d k * x. Koeficijent k \u003d -5, izravna proporcionalnost: y \u003d -5 * x.

Zaključak

Sada ste naučili (ili zapamtili, ako ste već obradili ovu temu), kako se zove izravna proporcionalnost, i razmotrio je primjeri. Također smo razgovarali o funkciji izravne proporcionalnosti i njenom grafu, riješili npr. nekoliko zadataka.

Ako je ovaj članak bio koristan i pomogao razumjeti temu, recite nam o tome u komentarima. Tako da znamo možemo li vam koristiti.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, veza na izvor je obavezna.

I. Izravno proporcionalne veličine.

Neka vrijednost g ovisi o veličini x. Ako s povećanjem x nekoliko puta veći na povećava za isti faktor, onda takve vrijednosti x i na nazivaju se izravno proporcionalnim.

Primjeri.

1 . Količina kupljene robe i trošak nabave (po fiksnoj cijeni jedne jedinice robe - 1 komad ili 1 kg itd.) Koliko je više robe kupljeno, toliko je puta više i plaćeno.

2 . Prijeđena udaljenost i vrijeme potrošeno na nju (pri konstantnoj brzini). Koliko je put duži, toliko ćemo više vremena potrošiti na njega.

3 . Volumen tijela i njegova masa. ( Ako je jedna lubenica 2 puta veća od druge, tada će njena masa biti 2 puta veća)

II. Svojstvo izravne proporcionalnosti veličina.

Ako su dvije veličine izravno proporcionalne, tada je omjer dviju proizvoljnih vrijednosti prve količine jednak omjeru dviju odgovarajućih vrijednosti druge količine.

Zadatak 1. Za pekmez od malina 12 kg maline i 8 kg Sahara. Koliko će šećera biti potrebno ako se uzme 9 kg maline?

Riješenje.

Raspravljamo ovako: neka bude potrebno x kgšećer na 9 kg maline. Masa malina i masa šećera upravno su proporcionalne: koliko puta manje malina, toliko je potrebno šećera. Dakle, omjer uzetih (težinski) malina ( 12:9 ) bit će jednak omjeru uzetog šećera ( 8:x). Dobivamo omjer:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Odgovor: na 9 kg maline uzeti 6 kg Sahara.

Rješenje problema moglo ovako:

Pusti dalje 9 kg maline uzeti x kg Sahara.

(Strelice na slici su usmjerene u jednom smjeru, i nije važno gore ili dolje. Značenje: koliko puta broj 12 više broja 9 , isti broj 8 više broja x, tj. ovdje postoji izravna ovisnost).

Odgovor: na 9 kg maline uzeti 6 kg Sahara.

Zadatak 2. auto za 3 sata prijeđena udaljenost 264 km. Koliko će mu trebati 440 km ako putuje istom brzinom?

Riješenje.

Neka za x sati automobil će prijeći udaljenost 440 km.

Odgovor: auto će proći 440 km za 5 sati.

Osnovni ciljevi:

• uvesti pojam izravne i obrnuto proporcionalne ovisnosti veličina;
• podučavati kako riješiti probleme pomoću ovih ovisnosti;
• promicati razvoj vještina rješavanja problema;
• učvrstiti vještinu rješavanja jednadžbi pomoću proporcija;
• ponovite korake s običnim i decimale;
• razviti logično mišljenje učenicima.

TIJEKOM NASTAVE

ja Samoodređenje za aktivnost(Organizacijsko vrijeme)

- Dečki! Danas ćemo se u lekciji upoznati s problemima koji se rješavaju uz pomoć proporcija.

II. Obnavljanje znanja i otklanjanje poteškoća u aktivnostima

2.1. usmeni rad (3 min)

- Pronađite značenje izraza i saznajte riječ šifriranu u odgovorima.

14 - s; 0,1 - i; 7 - l; 0,2 - a; 17 - u; 25 - do

- Izašla je riječ - snaga. Dobro napravljeno!
- Moto naše današnje lekcije: Snaga je u znanju! Gledam – dakle učim!
- Napravite proporciju dobivenih brojeva. (14:7=0,2:0,1 itd.)

2.2. Razmotrite odnos između poznatih veličina (7 min)

- put koji je prešao automobil pri stalnoj brzini i vrijeme njegovog kretanja: S = v t ( s povećanjem brzine (vremena), povećava se put);
- brzina automobila i vrijeme provedeno na putu: v=S:t(s povećanjem vremena putovanja stazom, brzina se smanjuje);
– trošak robe kupljene po jednoj cijeni i njezina količina: C \u003d a n (s povećanjem (smanjenjem) cijene, trošak nabave se povećava (smanjuje);
- cijena proizvoda i njegova količina: a \u003d C: n (s povećanjem količine, cijena se smanjuje)
- površina pravokutnika i njegova duljina (širina): S = a b (s povećanjem duljine (širine), površina se povećava;
- duljina pravokutnika i širina: a = S: b (s povećanjem duljine širina se smanjuje;
- broj radnika koji obavljaju neki posao s istom produktivnošću rada i vrijeme potrebno za obavljanje tog posla: t \u003d A: n (s povećanjem broja radnika smanjuje se vrijeme utrošeno na obavljanje posla), itd.

Dobili smo ovisnosti u kojima se s povećanjem jedne vrijednosti za nekoliko puta druga odmah povećava za isti iznos (prikazano strelicama za primjer) i ovisnosti u kojima se s povećanjem jedne vrijednosti za nekoliko puta druga vrijednost smanjuje za isto toliko puta.
Takvi se odnosi nazivaju izravni i obrnuti razmjeri.
Direktno- proporcionalna ovisnost - ovisnost u kojoj se s povećanjem (smanjenjem) jedne vrijednosti nekoliko puta, druga vrijednost povećava (smanjuje) za isti iznos.
Obrnuti proporcionalni odnos- ovisnost u kojoj se povećanjem (smanjenjem) jedne vrijednosti nekoliko puta druga vrijednost smanjuje (povećava) za isti iznos.

III. Izjava zadatka učenja

Koji je problem s kojim se suočavamo? (Naučite razlikovati ravne linije i obrnute ovisnosti)
- To - cilj naša lekcija. Sada formulirajte tema lekcija. (Izravna i obrnuta proporcionalnost).
- Dobro napravljeno! Zapišite temu lekcije u svoje bilježnice. (Učitelj zapisuje temu na ploču.)

IV. „Otkriće“ novih znanja(10 min)

Analizirajmo probleme broj 199.

1. Pisač ispisuje 27 stranica za 4,5 minuta. Koliko će vremena trebati da se ispiše 300 stranica?

27 stranica - 4,5 min.
300 str. - x?

2. U kutiji je 48 pakiranja čaja po 250 g. Koliko pakiranja od 150g će ispasti od ovog čaja?

48 pakiranja - 250 g.
X? - 150 g.

3. Automobil je prešao 310 km, potrošivši 25 litara benzina. Koliko može automobil prijeći s punim spremnikom od 40 litara?

310 km - 25 l
X? – 40 l

4. Jedan od zupčanika spojke ima 32 zuba, a drugi 40. Koliko će okretaja napraviti drugi zupčanik dok će prvi napraviti 215 okretaja?

32 zuba - 315 o/min
40 zuba - x?

Da biste nacrtali proporciju, potreban je jedan smjer strelica, za to se, u obrnutom razmjeru, jedan omjer zamjenjuje obrnutim.

Na ploči učenici pronalaze vrijednost veličina, na terenu učenici rješavaju jedan zadatak po izboru.

– Formulirati pravilo za rješavanje zadataka s izravnom i obrnutom razmjernošću.

Na ploči se pojavljuje tablica:

V. Primarno učvršćivanje u vanjskom govoru(10 min)

Zadaci na listićima:

1. Od 21 kg sjemena pamuka dobiveno je 5,1 kg ulja. Koliko će se ulja dobiti od 7 kg sjemena pamuka?
2. Za izgradnju stadiona, 5 buldožera raščistilo je teren za 210 minuta. Koliko bi vremena trebalo 7 buldožera da očiste ovo područje?

VI. Samostalni rad uz samotestiranje prema standardu(5 minuta)

Dva učenika samostalno rješavaju zadatke br.225 na skrivenim pločama, a ostali u bilježnicama. Zatim provjeravaju rad prema algoritmu i uspoređuju ga s rješenjem na ploči. Pogreške se ispravljaju, razjašnjavaju se njihovi uzroci. Ako je zadatak obavljen, točno, onda pored učenika stavite znak "+" za sebe.
Studenti koji pogriješe u samostalnom radu mogu koristiti savjetnike.

VII. Uključivanje u sustav znanja i ponavljanje№ 271, № 270.

Šest ljudi radi za pločom. Nakon 3-4 minute učenici koji su radili za pločom prezentiraju svoja rješenja, a ostali provjeravaju zadatke i sudjeluju u njihovoj raspravi.

VIII. Odraz aktivnosti (rezultat lekcije)

- Što ste novo naučili na lekciji?
- Što si ponovio?
Koji je algoritam za rješavanje proporcijskih problema?
Jesmo li postigli cilj?
- Kako ocjenjujete svoj rad?

Proporcionalnost je odnos između dviju veličina u kojem promjena jedne od njih povlači za sobom promjenu druge za isti iznos.

Proporcionalnost je izravna i obrnuta. U ovoj lekciji ćemo pogledati svaki od njih.

Sadržaj lekcije

Izravna proporcionalnost

Pretpostavimo da se automobil kreće brzinom od 50 km/h. Podsjećamo da je brzina prijeđeni put u jedinici vremena (1 sat, 1 minuta ili 1 sekunda). U našem primjeru, automobil se kreće brzinom od 50 km / h, odnosno u jednom satu će prijeći udaljenost jednaku pedeset kilometara.

Nacrtajmo udaljenost koju je automobil priješao za 1 sat.

Neka auto vozi još sat vremena istom brzinom od pedeset kilometara na sat. Tada ispada da će automobil prijeći 100 km

Kao što je vidljivo iz primjera, udvostručenje vremena dovelo je do povećanja prijeđene udaljenosti za isti iznos, odnosno dvostruko.

Za veličine kao što su vrijeme i udaljenost kaže se da su izravno proporcionalne. Odnos između tih veličina naziva se izravna proporcionalnost.

Izravna proporcionalnost je odnos između dviju veličina, u kojem povećanje jedne od njih povlači povećanje druge za isti iznos.

i obrnuto, ako se jedna vrijednost smanji za određeni broj puta, onda se druga smanji za isti iznos.

Pretpostavimo da je prvotno bilo planirano voziti automobil 100 km u 2 sata, ali nakon vožnje od 50 km, vozač je odlučio napraviti pauzu. Tada se ispostavlja da će se smanjenjem udaljenosti za pola, vrijeme smanjiti za isti iznos. Drugim riječima, smanjenje prijeđene udaljenosti dovest će do smanjenja vremena za isti faktor.

Zanimljiva značajka izravno proporcionalnih veličina je da je njihov omjer uvijek konstantan. To jest, kada se mijenjaju vrijednosti izravno proporcionalnih veličina, njihov omjer ostaje nepromijenjen.

U razmatranom primjeru udaljenost je najprije iznosila 50 km, a vrijeme jedan sat. Omjer udaljenosti i vremena je broj 50.

Ali povećali smo vrijeme kretanja za 2 puta, čineći ga jednakim dva sata. Time se prijeđeni put povećao za isto toliko, odnosno postao je jednak 100 km. Omjer sto kilometara prema dva sata opet je broj 50

Poziva se broj 50 koeficijent izravne proporcionalnosti. Pokazuje kolika je udaljenost po satu kretanja. U ovom slučaju koeficijent igra ulogu brzine kretanja, budući da je brzina omjer prijeđene udaljenosti i vremena.

Proporcije se mogu načiniti iz izravno proporcionalnih količina. Na primjer, omjeri i čine udio:

Pedeset kilometara odnosi se na jedan sat kao što je sto kilometara povezano s dva sata.

Primjer 2. Trošak i količina kupljene robe izravno su proporcionalni. Ako 1 kg slatkiša košta 30 rubalja, tada će 2 kg istih slatkiša koštati 60 rubalja, 3 kg - 90 rubalja. S povećanjem cijene kupljene robe za isti se iznos povećava i njezina količina.

Budući da su vrijednost robe i njezina količina izravno proporcionalne, njihov je omjer uvijek stalan.

Zapišimo omjer trideset rubalja na jedan kilogram

Sada zapišimo čemu je jednak omjer šezdeset rubalja i dva kilograma. Ovaj će omjer opet biti jednak trideset:

Ovdje je koeficijent izravne proporcionalnosti broj 30. Ovaj koeficijent pokazuje koliko rubalja po kilogramu slatkiša. U ovom primjeru koeficijent igra ulogu cijene jednog kilograma robe, jer je cijena omjer troška robe i njene količine.

Obrnuta proporcionalnost

Razmotrite sljedeći primjer. Udaljenost između dva grada je 80 km. Motociklist je krenuo iz prvog grada i brzinom 20 km/h do drugog grada stigao za 4 sata.

Ako je brzina motociklista bila 20 km/h, to znači da je svaki sat prevalio udaljenost od dvadeset kilometara. Prikažimo na slici udaljenost koju je prešao motociklist i vrijeme njegovog kretanja:

U povratku motociklist je vozio brzinom 40 km/h, a na istom putu je proveo 2 sata.

Lako je vidjeti da se pri promjeni brzine za isto toliko promijenilo i vrijeme kretanja. I promijenilo se u obrnuta strana- to jest, brzina se povećala, a vrijeme se, naprotiv, smanjilo.

Veličine kao što su brzina i vrijeme nazivamo obrnuto proporcionalnim. Odnos između tih veličina naziva se obrnuta proporcionalnost.

Obrnuta proporcionalnost je odnos između dviju veličina u kojem povećanje jedne od njih povlači smanjenje druge za isti iznos.

i obrnuto, ako se jedna vrijednost smanji za određeni broj puta, onda se druga poveća za isti iznos.

Na primjer, ako je na povratku brzina motociklista bila 10 km/h, tada bi istih 80 km prešao za 8 sati:

Kao što se može vidjeti iz primjera, smanjenje brzine dovelo je do povećanja vremena putovanja za isti faktor.

Osobitost obrnuto proporcionalnih veličina je u tome što je njihov umnožak uvijek konstantan. To jest, kada se mijenjaju vrijednosti obrnuto proporcionalnih veličina, njihov proizvod ostaje nepromijenjen.

U razmatranom primjeru udaljenost između gradova bila je 80 km. Pri promjeni brzine i vremena motociklista ta je udaljenost uvijek ostala nepromijenjena.

Motociklist bi tu udaljenost brzinom od 20 km/h mogao prijeći za 4 sata, a brzinom od 40 km/h za 2 sata, a brzinom od 10 km/h za 8 sati. U svim slučajevima umnožak brzine i vremena iznosio je 80 km

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama