Cum să găsești suma primului. Progresie aritmetică. Probleme de progresie aritmetică mai complexe

Matematica are propria ei frumusețe, la fel ca pictura și poezia.

Om de știință rus, mecanic N.E. Jukovski

Probleme foarte frecvente la examenele de admitere la matematică sunt probleme legate de conceptul de progresie aritmetică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să aveți o bună cunoaștere a proprietăților progresiei aritmetice și să aveți anumite abilități în aplicarea lor.

Să ne amintim mai întâi proprietățile de bază ale unei progresii aritmetice și să prezentăm cele mai importante formule, asociat cu acest concept.

Definiţie. Secvență de numere, în care fiecare termen ulterior diferă de cel precedent prin acelaşi număr, numită progresie aritmetică. În acest caz numărulnumită diferență de progresie.

Pentru o progresie aritmetică sunt valabile următoarele formule:

, (1)

Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii aritmetice, iar formula (2) reprezintă proprietatea principală a unei progresii aritmetice: fiecare termen al progresiei coincide cu media aritmetică a termenilor săi învecinați și .

Rețineți că tocmai din cauza acestei proprietăți progresia luată în considerare este numită „aritmetică”.

Formulele de mai sus (1) și (2) sunt generalizate după cum urmează:

(3)

Pentru a calcula suma primul termenii unei progresii aritmeticese folosește de obicei formula

(5) unde și .

Dacă luăm în considerare formula (1), apoi din formula (5) rezultă

Dacă notăm , atunci

Unde . Deoarece , formulele (7) și (8) sunt o generalizare a formulelor corespunzătoare (5) și (6).

În special , din formula (5) rezultă, Ce

Puțin cunoscută de majoritatea studenților este proprietatea progresiei aritmetice, formulată prin următoarea teoremă.

Teorema. Dacă, atunci

Dovada. Dacă, atunci

Teorema a fost demonstrată.

De exemplu, folosind teorema, se poate arăta că

Să trecem la considerarea exemplelor tipice de rezolvare a problemelor pe tema " Progresie aritmetică».

Exemplul 1. Lăsați-l să fie. Găsiți .

Soluţie. Aplicând formula (6), obținem . Din moment ce și , apoi sau .

Exemplul 2. Fie de trei ori mai mare, iar când se împarte la cât, rezultatul este 2, iar restul este 8. Să se determine și .

Soluţie. Din condițiile exemplului, urmează sistemul de ecuații

Deoarece , , și , atunci din sistemul de ecuații (10) obținem

Soluția acestui sistem de ecuații este și .

Exemplul 3. Găsiți dacă și .

Soluţie. Conform formulei (5) avem sau . Cu toate acestea, folosind proprietatea (9), obținem .

Din moment ce și , apoi din egalitate urmează ecuația sau .

Exemplul 4. Găsiți dacă .

Soluţie.Conform formulei (5) avem

Cu toate acestea, folosind teorema, putem scrie

De aici și din formula (11) obținem .

Exemplul 5. Având în vedere: . Găsiți .

Soluţie. De atunci. Cu toate acestea, prin urmare.

Exemplul 6. Să , și . Găsiți .

Soluţie. Folosind formula (9), obținem . Prin urmare, dacă , atunci sau .

Din moment ce și atunci aici avem un sistem de ecuații

Rezolvând care, obținem și .

Rădăcină naturală ecuații este .

Exemplul 7. Găsiți dacă și .

Soluţie. Deoarece conform formulei (3) avem că , atunci sistemul de ecuații rezultă din condițiile problemei

Dacă înlocuim expresiaîn a doua ecuație a sistemului, atunci obținem sau .

Rădăcini ecuație pătratică suntȘi .

Să luăm în considerare două cazuri.

1. Fie , atunci . De când și , atunci .

În acest caz, conform formulei (6), avem

2. Dacă , atunci , și

Raspuns: si.

Exemplul 8. Se ştie că şi. Găsiți .

Soluţie.Ținând cont de formula (5) și de condiția exemplului, scriem și .

Aceasta implică sistemul de ecuații

Dacă înmulțim prima ecuație a sistemului cu 2 și apoi o adăugăm la a doua ecuație, obținem

Conform formulei (9) avem. În acest sens, rezultă din (12) sau .

De când și , atunci .

Raspuns: .

Exemplul 9. Găsiți dacă și .

Soluţie. Din moment ce , și după condiție , atunci sau .

Din formula (5) se știe, Ce . De atunci.

Prin urmare, aici avem un sistem de ecuații liniare

De aici obținem și . Ținând cont de formula (8), scriem .

Exemplul 10. Rezolvați ecuația.

Soluţie. Din ecuația dată rezultă că . Să presupunem că , , și . În acest caz.

Conform formulei (1), putem scrie sau .

Deoarece , atunci ecuația (13) are singura rădăcină potrivită .

Exemplul 11. Găsiți valoarea maximă cu condiția ca și .

Soluţie. Din moment ce , atunci progresia aritmetică luată în considerare este în scădere. În acest sens, expresia capătă valoarea maximă atunci când este numărul termenului minim pozitiv al progresiei.

Să folosim formula (1) și faptul, că și . Apoi obținem asta sau .

De când , atunci sau . Cu toate acestea, în această inegalitatecel mai mare număr natural, De aceea .

Dacă valorile lui și sunt înlocuite în formula (6), obținem .

Raspuns: .

Exemplul 12. Determinați suma tuturor celor două cifre numere naturale, care la împărțire la 6 lasă un rest de 5.

Soluţie. Să notăm prin mulțimea tuturor numerelor naturale de două cifre, adică. . În continuare, vom construi o submulțime formată din acele elemente (numerele) ale mulțimii care, împărțite la numărul 6, dau un rest de 5.

Usor de instalat, Ce . Evident, că elementele ansambluluiformează o progresie aritmetică, în care și .

Pentru a stabili cardinalitatea (numărul de elemente) mulțimii, presupunem că . Deoarece și , rezultă din formula (1) sau . Ținând cont de formula (5), obținem .

Exemplele de mai sus de rezolvare a problemelor nu pot pretinde în niciun caz a fi exhaustive. Acest articol este scris pe baza analizei metode moderne rezolvarea unor probleme tipice pe o anumită temă. Pentru un studiu mai aprofundat al metodelor de rezolvare a problemelor legate de progresia aritmetică, este indicat să consultați lista de literatură recomandată.

1. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Pace și educație, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Un curs complet de matematică elementară în probleme și exerciții. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

Mai ai întrebări?

Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

De exemplu, secvența \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... este o progresie aritmetică, deoarece fiecare element ulterior diferă de cel anterior cu trei (se poate obține de la precedentul prin adăugarea a trei):

În această progresie, diferența \(d\) este pozitivă (egală cu \(3\)) și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel anterior. Se numesc astfel de progresii crescând.

Totuși, \(d\) poate fi și număr negativ. De exemplu, în progresie aritmetică \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... diferența de progresie \(d\) este egală cu minus șase.

Și în acest caz, fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. Aceste progresii se numesc în scădere.

Notarea progresiei aritmetice

Progresul este indicat de o literă latină mică.

Se numesc numerele care formează o progresie membrii(sau elemente).

Ele sunt notate cu aceeași literă ca o progresie aritmetică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

De exemplu, progresia aritmetică \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) constă din elementele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, pentru progresia \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rezolvarea problemelor de progresie aritmetică

În principiu, informațiile prezentate mai sus sunt deja suficiente pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică (inclusiv cele oferite la OGE).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).
Soluţie:

Răspuns: \(b_5=23\)

Exemplu (OGE). Primii trei termeni ai unei progresii aritmetice sunt dați: \(62; 49; 36…\) Aflați valoarea primului termen negativ al acestei progresii..
Soluţie:

	Ni se dau primele elemente ale secvenței și știm că este o progresie aritmetică. Adică, fiecare element diferă de vecinul său prin același număr. Să aflăm care dintre ele scăzând pe cel precedent din următorul element: \(d=49-62=-13\).
	Acum ne putem restabili progresul la (primul element negativ) de care avem nevoie.
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(-3\)

Exemplu (OGE). Având în vedere mai multe elemente consecutive ale unei progresii aritmetice: \(…5; x; 10; 12,5...\) Aflați valoarea elementului desemnat de litera \(x\).
Soluţie:

	Pentru a găsi \(x\), trebuie să știm cât de mult diferă următorul element față de cel anterior, cu alte cuvinte, diferența de progresie. Să o găsim din două elemente învecinate cunoscute: \(d=12,5-10=2,5\).
	Și acum putem găsi cu ușurință ceea ce căutăm: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(7,5\).

Exemplu (OGE). Se dă progresia aritmetică urmatoarele conditii: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

	Trebuie să găsim suma primilor șase termeni ai progresiei. Dar nu le cunoaștem semnificațiile; ni se dă doar primul element. Prin urmare, mai întâi calculăm valorile unul câte unul, folosind ceea ce ni se oferă: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Și după ce am calculat cele șase elemente de care avem nevoie, găsim suma lor.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	S-a găsit suma necesară.

Răspuns: \(S_6=9\).

Exemplu (OGE). În progresie aritmetică \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Găsiți diferența acestei progresii.
Soluţie:

Răspuns: \(d=7\).

Formule importante pentru progresia aritmetică

După cum puteți vedea, multe probleme privind progresia aritmetică pot fi rezolvate pur și simplu prin înțelegerea principalului lucru - că o progresie aritmetică este un lanț de numere și fiecare element ulterior din acest lanț se obține prin adăugarea aceluiași număr la cel precedent ( diferența de progresie).

Cu toate acestea, uneori există situații în care decizia „directă” este foarte incomod. De exemplu, imaginați-vă că în primul exemplu trebuie să găsim nu al cincilea element \(b_5\), ci al trei sute optzeci și șase \(b_(386)\). Ar trebui să adăugăm de patru \(385\) ori? Sau imaginați-vă că în penultimul exemplu trebuie să găsiți suma primelor șaptezeci și trei de elemente. Te vei sătura să numeri...

Prin urmare, în astfel de cazuri ei nu rezolvă lucrurile „direct”, ci folosesc formule speciale derivate pentru progresia aritmetică. Iar cele principale sunt formula pentru al n-lea termen al progresiei și formula pentru suma \(n\) primilor termeni.

Formula celui de-al \(n\)-lea termen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), unde \(a_1\) este primul termen al progresiei;
\(n\) – numărul elementului solicitat;
\(a_n\) – termen al progresiei cu număr \(n\).

Această formulă ne permite să găsim rapid chiar și al trei sutele sau milionul de element, cunoscând doar primul și diferența progresiei.

Exemplu. Progresia aritmetica este specificata de conditiile: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Găsiți \(b_(246)\).
Soluţie:

Răspuns: \(b_(246)=1850\).

Formula pentru suma primilor n termeni: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), unde

\(a_n\) – ultimul termen însumat;

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(a_n=3.4n-0.6\). Aflați suma primilor \(25\) termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Pentru a calcula suma primilor douăzeci și cinci de termeni, trebuie să cunoaștem valoarea primului și a douăzeci și cinci de termeni. Progresia noastră este dată de formula celui de-al n-lea termen în funcție de numărul acestuia (pentru mai multe detalii, vezi). Să calculăm primul element înlocuind cu unul cu \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Acum să găsim al douăzeci și cincilea termen înlocuind douăzeci și cinci în loc de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Ei bine, acum putem calcula cu ușurință suma necesară.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(25)=1090\).

Pentru suma \(n\) primilor termeni, puteți obține o altă formulă: trebuie doar să \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) în loc de \(a_n\) înlocuiți formula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Primim:

Formula pentru suma primilor n termeni: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), unde

\(S_n\) – suma necesară a \(n\) primele elemente;
\(a_1\) – primul termen însumat;
\(d\) – diferență de progresie;
\(n\) – numărul de elemente din sumă.

Exemplu. Aflați suma primilor \(33\)-ex termeni ai progresiei aritmetice: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Soluţie:

Răspuns: \(S_(33)=-231\).

Probleme de progresie aritmetică mai complexe

Acum ai totul informatiile necesare pentru rezolvarea aproape a oricărei probleme de progresie aritmetică. Să încheiem subiectul luând în considerare probleme în care nu trebuie doar să aplicați formule, ci și să vă gândiți puțin (la matematică acest lucru poate fi util ☺)

Exemplu (OGE). Aflați suma tuturor termenilor negativi ai progresiei: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Soluţie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Sarcina este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Începem să rezolvăm același lucru: mai întâi găsim \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Acum aș dori să înlocuiesc \(d\) în formula pentru sumă... și aici apare o mică nuanță - nu știm \(n\). Cu alte cuvinte, nu știm câți termeni vor trebui adăugați. Cum să aflu? Să ne gândim. Vom opri adăugarea de elemente când ajungem la primul element pozitiv. Adică, trebuie să aflați numărul acestui element. Cum? Să notăm formula pentru calcularea oricărui element al unei progresii aritmetice: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pentru cazul nostru.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Avem nevoie ca \(a_n\) să devină mai mare decât zero. Să aflăm la ce \(n\) se va întâmpla asta.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Împărțim ambele părți ale inegalității la \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Transferăm minus unu, fără a uita să schimbăm semnele
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Hai sa calculam...
\(n>65.333…\)		...și rezultă că primul element pozitiv va avea numărul \(66\). În consecință, ultimul negativ are \(n=65\). Pentru orice eventualitate, hai să verificăm asta.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Deci trebuie să adăugăm primele \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(65)=-630,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este specificata de conditiile: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Găsiți suma de la \(26\)-lea până la elementul \(42\) inclusiv.
Soluţie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	În această problemă trebuie să găsiți și suma elementelor, dar pornind nu de la primul, ci de la \(26\)-lea. Pentru un astfel de caz nu avem o formulă. Cum să decizi? Este ușor - pentru a obține suma de la \(26\)-a la \(42\)-a, trebuie mai întâi să găsiți suma de la \(1\)-a la \(42\)-a, apoi să scădeți din ea suma de la primul la \(25\)-lea (vezi poza).
	Pentru progresia noastră \(a_1=-33\), și diferența \(d=4\) (la urma urmei, adăugăm cele patru elementului anterior pentru a găsi următorul). Știind acest lucru, găsim suma primelor elemente \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Acum suma primelor \(25\) elemente.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Și în sfârșit, calculăm răspunsul.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Răspuns: \(S=1683\).

Pentru progresia aritmetică, există mai multe formule pe care nu le-am luat în considerare în acest articol din cauza utilității lor practice scăzute. Cu toate acestea, le puteți găsi cu ușurință.

Care este esența principală a formulei?

Această formulă vă permite să găsiți orice CU NUMĂRUL LUI " n" .

Desigur, trebuie să cunoști și primul termen a 1 si diferenta de progresie d, ei bine, fără acești parametri nu puteți nota o anumită progresie.

Memorarea (sau cribing) acestei formule nu este suficientă. Trebuie să-i înțelegeți esența și să aplicați formula în diverse probleme. Și nu uita înăuntru momentul potrivit, da...) Cum nu uita- Nu știu. Dar cum să-ți amintești Dacă este necesar, cu siguranță te voi sfătui. Pentru cei care finalizează lecția până la sfârșit.)

Deci, să ne uităm la formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Ce este o formulă în general? Apropo, aruncați o privire dacă nu l-ați citit. Totul este simplu acolo. Rămâne să ne dăm seama ce este al n-lea termen.

Progresia in vedere generală poate fi scris ca o serie de numere:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

a 1- denotă primul termen al unei progresii aritmetice, a 3- al treilea membru, a 4- al patrulea și așa mai departe. Dacă suntem interesați de al cincilea mandat, să presupunem că lucrăm cu a 5, dacă o sută douăzecea - s un 120.

Cum îl putem defini în termeni generali? orice termenul unei progresii aritmetice, cu orice număr? Foarte simplu! Ca aceasta:

un n

Asta este al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Litera n ascunde toate numerele de membru simultan: 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Și ce ne oferă un astfel de record? Gândește-te, în loc de un număr, au notat o scrisoare...

Această notație ne oferă un instrument puternic pentru a lucra cu progresia aritmetică. Folosind notația un n, putem găsi rapid orice membru orice progresie aritmetică. Și rezolvă o grămadă de alte probleme de progres. Vei vedea singur mai departe.

În formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- primul termen al unei progresii aritmetice;

n- numărul de membru.

Formula conectează parametrii cheie ai oricărei progresii: un n; a 1; dŞi n. Toate problemele de progresie gravitează în jurul acestor parametri.

Formula al n-lea termen poate fi folosită și pentru a scrie o anumită progresie. De exemplu, problema poate spune că progresia este specificată de condiția:

a n = 5 + (n-1) 2.

O astfel de problemă poate duce la o fundătură... Nu există nici o serie, nici o diferență... Dar, comparând condiția cu formula, este ușor de realizat că în această progresie a 1 =5 și d=2.

Și poate fi și mai rău!) Dacă luăm aceeași condiție: a n = 5 + (n-1) 2, Da, deschideți parantezele și aduceți altele asemănătoare? Obținem o nouă formulă:

a n = 3 + 2n.

Acest Doar nu general, ci pentru o evoluție specifică. Aici se ascunde capcana. Unii oameni cred că primul termen este un trei. Deși în realitate primul termen este de cinci... Un pic mai jos vom lucra cu o astfel de formulă modificată.

În problemele de progresie există o altă notație - un n+1. Acesta este, după cum ați ghicit, termenul „n plus primul” al progresiei. Sensul său este simplu și inofensiv.) Acesta este un membru al progresiei al cărui număr este mai mare decât numărul n cu unul. De exemplu, dacă într-o problemă luăm un n al cincilea termen atunci un n+1 va fi al șaselea membru. Și altele asemenea.

Cel mai adesea desemnarea un n+1 găsite în formulele de recurenţă. Nu vă fie frică de acest cuvânt înfricoșător!) Acesta este doar o modalitate de a exprima un membru al unei progresii aritmetice prin cea precedentă. Să presupunem că ni se oferă o progresie aritmetică în această formă, folosind o formulă recurentă:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Al patrulea - prin al treilea, al cincilea - prin al patrulea și așa mai departe. Cum putem număra imediat, să zicem, al douăzecilea termen? un 20? Dar nu există nicio cale!) Până nu aflăm al 19-lea termen, nu îl putem număra pe al 20-lea. Asta este diferenta fundamentala formula recurentă din formula celui de-al n-lea termen. Funcționează recurent numai prin anterior termen, iar formula celui de-al n-lea termen este prin primul si permite pe loc găsiți orice membru după numărul său. Fără a calcula întreaga serie de numere în ordine.

Într-o progresie aritmetică, este ușor să transformi o formulă recurentă într-una obișnuită. Numărați o pereche de termeni consecutivi, calculați diferența d, găsiți, dacă este necesar, primul termen a 1, scrieți formula în forma ei obișnuită și lucrați cu ea. Astfel de sarcini sunt adesea întâlnite la Academia de Științe de Stat.

Aplicarea formulei pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Mai întâi, să ne uităm la aplicare directă formule. La sfârșitul lecției anterioare a apărut o problemă:

Este dată o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Această problemă poate fi rezolvată fără formule, pur și simplu pe baza semnificației unei progresii aritmetice. Adăugați și adăugați... O oră sau două.)

Și conform formulei, soluția va dura mai puțin de un minut. Puteți să-l cronometrați.) Să decidem.

Condițiile oferă toate datele pentru utilizarea formulei: a 1 =3, d=1/6. Rămâne să ne dăm seama ce este egal n. Nicio întrebare! Trebuie să găsim un 121. Deci scriem:

Vă rugăm să fiți atenți! În loc de index n a apărut un anumit număr: 121. Ceea ce este destul de logic.) Ne interesează membrul progresiei aritmetice. numărul o sută douăzeci şi unu. Acesta va fi al nostru n. Acesta este sensul n= 121 vom înlocui în continuare în formulă, între paranteze. Înlocuim toate numerele în formulă și calculăm:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Asta este. La fel de repede s-ar putea găsi termenul cinci sute al zecelea, iar o mie și al treilea, oricare. punem in schimb n numărul dorit în indexul literei " o"și între paranteze, și numărăm.

Permiteți-mi să vă reamintesc ideea: această formulă vă permite să găsiți orice termen de progresie aritmetică CU NUMĂRUL LUI " n" .

Să rezolvăm problema într-un mod mai viclean. Să întâlnim următoarea problemă:

Aflați primul termen al progresiei aritmetice (a n), dacă a 17 =-2; d=-0,5.

Dacă aveți dificultăți, vă voi spune primul pas. Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Da, da. Scrieți cu mâinile, chiar în caiet:

a n = a 1 + (n-1)d

Și acum, privind literele formulei, înțelegem ce date avem și ce lipsește? Disponibil d=-0,5, există un al șaptesprezecelea membru... Asta e? Dacă crezi că asta este, atunci nu vei rezolva problema, da...

Mai avem un număr n! In stare a 17 =-2 ascuns doi parametri. Aceasta este atât valoarea celui de-al șaptesprezecelea termen (-2), cât și numărul său (17). Aceste. n=17. Acest „fleeac” alunecă adesea pe lângă cap, iar fără el, (fără „fleeac”, nu cap!) problema nu poate fi rezolvată. Deși... și fără cap.)

Acum putem pur și simplu să substituim datele noastre în formula:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh da, un 17știm că este -2. Bine, hai să înlocuim:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Asta e practic tot. Rămâne să exprimăm primul termen al progresiei aritmetice din formulă și să-l calculăm. Raspunsul va fi: a 1 = 6.

Această tehnică - scrierea unei formule și pur și simplu înlocuirea datelor cunoscute - este de mare ajutor în sarcini simple. Ei bine, desigur, trebuie să poți exprima o variabilă dintr-o formulă, dar ce să faci!? Fără această abilitate, s-ar putea să nu studiezi deloc matematica...

Un alt puzzle popular:

Aflați diferența progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 =2; a 15 =12.

ce facem? Vei fi surprins, noi scriem formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Să luăm în considerare ceea ce știm: a 1 =2; a 15 =12; și (voi evidenția în special!) n=15. Simțiți-vă liber să înlocuiți acest lucru în formula:

12=2 + (15-1)d

Facem aritmetica.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Acesta este răspunsul corect.

Deci, sarcinile pentru un n, un 1Şi d hotărât. Tot ce rămâne este să înveți cum să găsești numărul:

Numărul 99 este un membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 =12; d=3. Găsiți numărul acestui membru.

Înlocuim cantitățile cunoscute de noi în formula celui de-al n-lea termen:

a n = 12 + (n-1) 3

La prima vedere, există două cantități necunoscute aici: un n și n. Dar un n- acesta este un membru al progresiei cu un număr n...Și îl cunoaștem pe acest membru al progresiei! Este 99. Nu-i știm numărul. n, Deci, acest număr este ceea ce trebuie să găsiți. Inlocuim termenul progresiei 99 in formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Exprimăm din formulă n, credem noi. Primim raspunsul: n=30.

Și acum o problemă pe același subiect, dar mai creativ):

Determinați dacă numărul 117 este membru al progresiei aritmetice (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Să scriem din nou formula. Ce, nu există parametri? Hm... De ce ni se dau ochi?) Vedem primul termen al progresiei? Vedem noi. Acesta este -3,6. Puteți scrie în siguranță: a 1 = -3,6. Diferenţă d poti determina dintr-o serie? Este ușor dacă știi care este diferența unei progresii aritmetice:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Deci, am făcut cel mai simplu lucru. Tot ce rămâne este să ne ocupăm de numărul necunoscut n iar numărul de neînțeles 117. În problema anterioară, cel puțin se știa că era dat termenul progresiei. Dar aici nici nu știm... Ce să facem!? Ei bine, cum să fii, cum să fii... Pornește-ți abilitățile creative!)

Noi presupune că 117 este, până la urmă, un membru al progresiei noastre. Cu un număr necunoscut n. Și, la fel ca în problema anterioară, să încercăm să găsim acest număr. Aceste. scriem formula (da, da!)) și înlocuim numerele noastre:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Din nou exprimăm din formulăn, numărăm și obținem:

Hopa! Numărul s-a dovedit fracționat! O sută și jumătate. Și numere fracționale în progresii nu se întâmplă. Ce concluzie putem trage? Da! Numărul 117 nu este membru al progresiei noastre. Este undeva între termenii o sută și primul și o sută și al doilea. Dacă numărul s-a dovedit natural, adică este un întreg pozitiv, atunci numărul ar fi un membru al progresiei cu numărul găsit. Și în cazul nostru, răspunsul la problemă va fi: Nu.

Bazat pe sarcini opțiune reală GIA:

O progresie aritmetică este dată de condiția:

a n = -4 + 6,8n

Găsiți primul și al zecelea termen al progresiei.

Aici progresia este stabilită într-un mod neobișnuit. Un fel de formulă... Se întâmplă.) Cu toate acestea, această formulă (cum am scris mai sus) - de asemenea formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Ea permite, de asemenea găsiți orice membru al progresiei după numărul său.

Căutăm primul membru. Cel care gândește. că primul termen este minus patru se înșeală fatal!) Deoarece formula din problemă este modificată. Primul termen al progresiei aritmetice în el ascuns. Este în regulă, îl vom găsi acum.)

La fel ca în problemele anterioare, înlocuim n=1în această formulă:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Aici! Primul termen este 2,8, nu -4!

Căutăm al zecelea termen în același mod:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Asta este.

Și acum, pentru cei care au citit aceste rânduri, bonusul promis.)

Să presupunem că, într-o situație dificilă de luptă a examenului de stat sau a examenului unificat de stat, ați uitat formula utilă pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Îmi amintesc ceva, dar cumva nesigur... Or n acolo, sau n+1 sau n-1... cum sa fii!?

Calm! Această formulă este ușor de obținut. Nu este foarte strict, dar cu siguranță este suficient pentru încredere și pentru decizia corectă!) Pentru a trage o concluzie, este suficient să vă amintiți semnificația elementară a unei progresii aritmetice și să aveți câteva minute de timp. Trebuie doar să desenezi o imagine. Pentru claritate.

Desenați o linie numerică și marcați-o pe prima. al doilea, al treilea etc. membrii. Și notăm diferența dîntre membri. Ca aceasta:

Ne uităm la imagine și ne gândim: ce înseamnă al doilea termen? Doilea unul d:

o 2 =a 1 + 1 d

Care este al treilea termen? Treilea termenul este egal cu primul termen plus două d.

o 3 =a 1 + 2 d

Înțelegi? Nu degeaba evidențiez câteva cuvinte cu caractere aldine. Bine, încă un pas).

Care este al patrulea termen? Patrulea termenul este egal cu primul termen plus trei d.

o 4 =a 1 + 3 d

Este timpul să ne dăm seama că numărul de lacune, adică. d, Întotdeauna cu unul mai puțin decât numărul membrului căutat n. Adică la număr n, numărul de spații voinţă n-1. Prin urmare, formula va fi (fără variații!):

a n = a 1 + (n-1)d

În general, imaginile vizuale sunt de mare ajutor în rezolvarea multor probleme de matematică. Nu neglija pozele. Dar dacă este dificil să desenezi o imagine, atunci... doar o formulă!) În plus, formula celui de-al n-lea termen vă permite să conectați întregul arsenal puternic al matematicii la soluție - ecuații, inegalități, sisteme etc. Nu poți introduce o imagine în ecuație...

Sarcini pentru soluție independentă.

Pentru a se încălzi:

1. În progresia aritmetică (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Găsiți un 3.

Sugestie: conform imaginii, problema poate fi rezolvată în 20 de secunde... Conform formulei, se dovedește mai dificil. Dar pentru stăpânirea formulei, este mai util.) În Secțiunea 555, această problemă este rezolvată folosind atât imaginea, cât și formula. Simțiți diferența!)

Și aceasta nu mai este o încălzire.)

2. În progresia aritmetică (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Aflați un 3 .

Ce, nu vrei să faci un desen?) Desigur! Mai bine dupa formula, da...

3. Progresia aritmetică este dată de condiția:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Găsiți termenul o sută douăzeci și cinci al acestei progresii.

În această sarcină, progresia este specificată în mod recurent. Dar numărând până la al o sută douăzeci și cinci de termen... Nu toată lumea este capabilă de o asemenea ispravă.) Dar formula celui de-al n-lea termen este în puterea tuturor!

4. Având în vedere o progresie aritmetică (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Aflați numărul celui mai mic termen pozitiv al progresiei.

5. Conform condițiilor sarcinii 4, găsiți suma celor mai mici termeni pozitivi și cei mai mari negativi ai progresiei.

6. Produsul termenilor al cincilea și al doisprezecelea al unei progresii aritmetice crescătoare este egal cu -2,5, iar suma celor trei și al unsprezecelea termeni este egală cu zero. Găsiți un 14.

Nu este cea mai ușoară sarcină, da...) Metoda „degetului” nu va funcționa aici. Va trebui să scrieți formule și să rezolvați ecuații.

Răspunsuri (în dezordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

A funcționat? E frumos!)

Nu merge totul? Se întâmplă. Apropo, există un punct subtil în ultima sarcină. Va fi necesară atenție când citiți problema. Și logica.

Soluția tuturor acestor probleme este discutată în detaliu în Secțiunea 555. Și elementul de fantezie pentru al patrulea și punctul subtil pentru al șaselea și abordări generale pentru rezolvarea oricăror probleme care implică formula celui de-al n-lea termen - totul este descris. Il recomand.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Obiectivele lecției:

• extinderea și aprofundarea înțelegerii de către elevi a problemelor rezolvate folosind progresia aritmetică; organizarea activităților de căutare ale elevilor la derivarea formulei pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice;
• dezvoltarea capacității de a dobândi în mod independent noi cunoștințe și de a utiliza cunoștințele deja dobândite pentru a îndeplini o anumită sarcină;
• dezvoltarea dorintei si nevoii de generalizare a faptelor obtinute, dezvoltand independenta.

Sarcini:

• rezuma și sistematiza cunoștințele existente pe tema „Progresia aritmetică”;
• deduceți formule pentru calcularea sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice;
• învață cum să aplici formulele obținute la rezolvarea diferitelor probleme;
• atrage atenţia elevilor asupra procedeului de aflare a valorii unei expresii numerice.

Echipament:

• fișe cu sarcini pentru lucrul în grupuri și perechi;
• fișa de punctaj;
• prezentare„Progresie aritmetică”.

I. Actualizarea cunoștințelor de bază.

1. Munca independentăîn perechi.

prima varianta:

Definiți progresia aritmetică. Scrieți o formulă de recurență care definește o progresie aritmetică. Vă rugăm să oferiți un exemplu de progresie aritmetică și să indicați diferența acesteia.

a 2-a varianta:

Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Găsiți al 100-lea termen al progresiei aritmetice ( un n}: 2, 5, 8 …
În acest moment, doi elevi partea din spate consiliile pregătesc răspunsuri la aceleași întrebări.
Elevii evaluează munca partenerului lor verificându-le pe tablă. (Se predau foile cu răspunsuri.)

2. Momentul jocului.

Sarcina 1.

Profesor. M-am gândit la o progresie aritmetică. Pune-mi doar două întrebări pentru ca după răspunsuri să poți numi rapid al 7-lea termen al acestei progresii. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Întrebări de la studenți.

1. Care este al șaselea termen al progresiei și care este diferența?
2. Care este al optulea termen al progresiei și care este diferența?

Dacă nu mai există întrebări, profesorul le poate stimula - o „interdicție” pe d (diferență), adică nu este permis să întrebați cu ce este egală diferența. Puteți pune întrebări: cu ce este egal al 6-lea termen al progresiei și cu ce este al 8-lea termen al progresiei?

Sarcina 2.

Pe tablă sunt scrise 20 de numere: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Profesorul stă cu spatele la tablă. Elevii sună numărul, iar profesorul sună imediat numărul în sine. Explicați cum pot face asta?

Profesorul își amintește formula pentru al n-lea trimestru a n = 3n – 2și, înlocuind valorile specificate n, găsește valorile corespunzătoare un n.

II. Stabilirea unei sarcini de învățare.

Îmi propun să rezolv o problemă străveche care datează din mileniul II î.Hr., găsită în papirusurile egiptene.

Sarcină:„Să vi se spună: împărțiți 10 măsuri de orz la 10 persoane, diferența dintre fiecare persoană și vecinul său este de 1/8 din măsură.”

• Cum este această problemă legată de progresia aritmetică a subiectului? (Fiecare persoană următoare primește 1/8 din măsură în plus, ceea ce înseamnă că diferența este d=1/8, 10 persoane, ceea ce înseamnă n=10.)
• Ce crezi că înseamnă numărul 10 măsuri? (Suma tuturor termenilor progresiei.)
• Ce mai trebuie să știți pentru a face ușor și simplu împărțirea orzului în funcție de condițiile problemei? (Primul termen de progresie.)

Obiectivul lecției– obținerea dependenței sumei termenilor progresiei de numărul lor, primul termen și diferența și verificarea dacă problema a fost rezolvată corect în antichitate.

Înainte de a deduce formula, să ne uităm la modul în care egiptenii antici au rezolvat problema.

Și au rezolvat-o astfel:

1) 10 măsuri: 10 = 1 măsură – cotă medie;
2) 1 măsură ∙ = 2 măsuri – dublată medieîmpărtășește.
Dublat medie cota este suma acțiunilor persoanei a 5-a și a 6-a.
3) 2 masuri – 1/8 masuri = 1 7/8 masuri – dublu fata de persoana a cincea.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – fracțiune de cincime; și așa mai departe, puteți găsi cota fiecărei persoane anterioare și ulterioare.

Obținem secvența:

III. Rezolvarea problemei.

1. Lucrați în grupuri

Grupa I: Aflați suma a 20 de numere naturale consecutive: S 20 =(20+1)∙10 =210.

În general

grupa II: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 100 (Legenda lui Micul Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Concluzie:

grupa III: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 21.

Rezolvare: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Concluzie:

grupa IV: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 101.

Concluzie:

Această metodă de rezolvare a problemelor luate în considerare se numește „Metoda Gauss”.

2. Fiecare grupă prezintă pe tablă soluția problemei.

3. Generalizarea soluțiilor propuse pentru o progresie aritmetică arbitrară:

a 1, a 2, a 3,..., a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Să găsim această sumă folosind un raționament similar:

4. Am rezolvat problema?(Da.)

IV. Înțelegerea și aplicarea primară a formulelor obținute la rezolvarea problemelor.

1. Verificarea soluției unei probleme vechi folosind formula.

2. Aplicarea formulei în rezolvarea diverselor probleme.

3. Exerciții de dezvoltare a capacității de a aplica formule la rezolvarea problemelor.

A) Nr. 613

Dat: ( a n) - progresie aritmetică;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Găsi: S 1500

Soluţie: , a 1 = 1 și 1500 = 1500,

B) Având în vedere: ( a n) - progresie aritmetică;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Găsi: n
Soluţie:

V. Munca independentă cu verificare reciprocă.

Denis a început să lucreze ca curier. În prima lună, salariul său a fost de 200 de ruble, în fiecare lună următoare a crescut cu 30 de ruble. Cât a câștigat în total într-un an?

Dat: ( a n) - progresie aritmetică;
a 1 = 200, d=30, n=12
Găsi: S 12
Soluţie:

Răspuns: Denis a primit 4380 de ruble pe an.

VI. Instruirea temelor pentru acasă.

1. Secțiunea 4.3 – învață derivarea formulei.
2. №№ 585, 623 .
3. Creați o problemă care poate fi rezolvată folosind formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

VII. Rezumând lecția.

1. Fișa de punctaj

2. Continuați propozițiile

• Astăzi la clasă am învățat...
• Formule invatate...
• Eu cred că...

3. Puteți găsi suma numerelor de la 1 la 500? Ce metodă veți folosi pentru a rezolva această problemă?

Referințe.

1. Algebră, clasa a IX-a. Manual pentru instituțiile de învățământ general. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: „Iluminismul”, 2009.