Raportul dintre alungirea absolută a unei tije și lungimea sa inițială se numește alungire relativă (- epsilon) sau deformare longitudinală. Deformarea longitudinală este o mărime adimensională. Formula de deformare fără dimensiuni:
În tensiune, deformarea longitudinală este considerată pozitivă, iar în compresie, este considerată negativă.
Dimensiunile transversale ale tijei se modifică, de asemenea, ca urmare a deformării, la întindere, ele scad, iar la comprimare, cresc. Dacă materialul este izotrop, atunci deformațiile sale transversale sunt egale:
.
S-a stabilit experimental că în timpul tensiunii (compresiunii) în limitele deformațiilor elastice, raportul dintre deformația transversală și longitudinală este o valoare constantă pentru un material dat. Modulul raportului dintre deformarea transversală și longitudinală, numit raportul lui Poisson sau raportul deformarii transversale, se calculează prin formula:
Pentru diverse materiale Raportul lui Poisson variază în interiorul. De exemplu, pentru plută, pentru cauciuc, pentru oțel, pentru aur.
legea lui Hooke
Forța elastică care apare într-un corp în timpul deformării sale este direct proporțională cu mărimea acestei deformări.
Pentru o tijă de tracțiune subțire, legea lui Hooke are forma:
Aici, este forța cu care tija este întinsă (comprimată), este alungirea (compresiunea) absolută a tijei și este coeficientul de elasticitate (sau rigiditate).
Coeficientul de elasticitate depinde atât de proprietățile materialului, cât și de dimensiunile tijei. Este posibil să se distingă dependența de dimensiunea tijei (zona secţiune transversalăși lungime) în mod explicit, scriind coeficientul de elasticitate ca
Mărimea se numește modulul elastic de primul fel sau modulul Young și este caracteristici mecanice material.
Dacă se introduce alungirea relativă
Și stresul normal în secțiune transversală
Apoi legea lui Hooke în unități relative va fi scrisă ca
În această formă este valabil pentru orice volum mic de material.
De asemenea, atunci când se calculează tije drepte, se folosește notația legii lui Hooke în formă relativă
Modulul Young
Modulul Young (modulul elastic) - mărime fizică, care caracterizează proprietățile unui material de a rezista la tensiune/compresie în timpul deformării elastice.
Modulul lui Young se calculează după cum urmează:
Unde:
E - modul elastic,
F - putere,
S este aria suprafeței pe care este distribuită forța,
l este lungimea tijei deformabile,
x este modulul de modificare a lungimii tijei ca urmare a deformării elastice (măsurat în aceleași unități cu lungimea l).
Folosind modulul lui Young, se calculează viteza de propagare a undei longitudinale într-o tijă subțire:
Unde este densitatea substanței.
Raportul lui Poisson
Raportul lui Poisson (notat cu sau) este valoarea absolută a raportului dintre deformația relativă transversală și longitudinală a unei probe de material. Acest coeficient nu depinde de dimensiunea corpului, ci de natura materialului din care este realizată proba.
Ecuaţie
,
Unde
- raportul lui Poisson;
- deformare in sens transversal (negativa pentru tensiunea axiala, pozitiva pentru compresia axiala);
- deformare longitudinală (pozitivă pentru tensiune axială, negativă pentru compresie axială).
Fie, ca urmare a deformării, lungimea inițială a tijei l va deveni egal. l 1. Modificarea lungimii
se numeste alungirea absoluta a tijei.
Raportul dintre alungirea absolută a unei tije și lungimea sa inițială se numește alungire relativă (- epsilon) sau deformare longitudinală. Deformarea longitudinală este o mărime adimensională. Formula de deformare fără dimensiuni:
În tensiune, deformarea longitudinală este considerată pozitivă, iar în compresie, este considerată negativă.
Dimensiunile transversale ale tijei se modifică, de asemenea, ca urmare a deformării, când sunt întinse, ele scad, iar când sunt comprimate, cresc. Dacă materialul este izotrop, atunci deformațiile sale transversale sunt egale:
S-a stabilit experimental că în timpul tensiunii (compresiunii) în limitele deformațiilor elastice, raportul deformației transversale și longitudinale este o valoare constantă pentru un material dat. Modulul raportului dintre deformarea transversală și longitudinală, numit raportul lui Poisson sau raportul deformarii transversale, se calculează prin formula:
Pentru diferite materiale, raportul lui Poisson variază în . De exemplu, pentru plută, pentru cauciuc, pentru oțel, pentru aur.
Deformatii longitudinale si transversale. Raportul lui Poisson. legea lui Hooke
Când forțele de tracțiune acționează de-a lungul axei grinzii, lungimea acesteia crește, iar dimensiunile transversale scad. Când acționează forțele de compresiune, are loc fenomenul opus. În fig. Figura 6 prezintă un fascicul întins de două forțe P. Ca urmare a tensiunii, fasciculul s-a prelungit cu o cantitate Δ l, care se numește alungire absolută,și primim contracție transversală absolută Δа .
Se numește raportul dintre alungirea și scurtarea absolută față de lungimea sau lățimea inițială a grinzii deformare relativă. În acest caz, se numește deformarea relativă deformare longitudinală, A - deformare transversală relativă. Raportul dintre deformarea transversală relativă și deformarea longitudinală relativă se numește Raportul lui Poisson: (3.1)
Raportul lui Poisson pentru fiecare material ca constantă elastică se determină experimental și se află în limitele: ; pentru oțel.
În limitele deformațiilor elastice, s-a stabilit că solicitarea normală este direct proporțională cu deformația longitudinală relativă. Această dependență se numește legea lui Hooke:
, (3.2)
Unde E- coeficient de proporționalitate, numit modulul de elasticitate normal.
Dacă înlocuim expresia și , apoi obținem o formulă pentru determinarea alungirii sau scurtării în timpul tensiunii și compresiei:
, (3.3)
unde este produsul EF numită rigiditate la tracțiune și compresiune.
Deformatii longitudinale si transversale. legea lui Hooke
Aveți o idee despre deformațiile longitudinale și transversale și despre relația lor.
Cunoașteți legea lui Hooke, dependențe și formule pentru calcularea tensiunilor și deplasărilor.
Să fie capabil să efectueze calcule ale rezistenței și rigidității grinzilor determinate static în tensiune și compresie.
Tensiuni de tracțiune și compresiune
Să luăm în considerare deformarea unei grinzi sub acțiunea unei forțe longitudinale F(Fig. 4.13).
Dimensiunile inițiale ale lemnului: - lungimea inițială, - lățimea inițială. Fasciculul este prelungit cu o cantitate Δl; Δ1- alungire absolută. Când sunt întinse, dimensiunile transversale scad, Δ O- îngustare absolută; Δ1 > 0; Δ O 0.
În rezistența materialelor, se obișnuiește să se calculeze deformațiile în unități relative: Fig.4.13
— alungirea relativă;
Îngustare relativă.
Există o relație între deformațiile longitudinale și transversale ε′=με, unde μ este coeficientul de deformare transversală, sau raportul lui Poisson, o caracteristică a plasticității materialului.
Enciclopedia de inginerie mecanică XXL
Echipamente, știința materialelor, mecanică etc.
Deformare longitudinală în tensiune (compresie)
Sa stabilit experimental că raportul de deformare transversală ej. la deformarea longitudinală e în tensiune (compresie) până la limita de proporționalitate pentru un material dat - o valoare constantă. Notând valoarea absolută a acestui raport (X, obținem
Experimentele au stabilit că deformația transversală relativă eo în timpul tensiunii (compresiei) constituie o anumită parte a deformației longitudinale e, adică.
Raportul dintre deformarea transversală și longitudinală în timpul tensiunii (compresiei), luat în valoare absolută.
În capitolele anterioare au fost discutate rezistențele materialelor tipuri simple deformații ale grinzii - tensiune (compresie), forfecare, torsiune, încovoiere dreaptă, caracterizate prin faptul că în secțiunile transversale ale grinzii există un singur factor de forță intern în timpul tensiunii (compresiei) - forță longitudinală, cu forfecare - forță tăietoare, cu torsiune - cuplu, cu pur curba dreaptă- momentul încovoietor într-un plan care trece printr-una din axele centrale principale ale secțiunii transversale a grinzii. Cu direct încovoiere transversală apar doi factori de forță interni - un moment încovoietor și o forță transversală, dar acest tip de deformare a fasciculului este clasificat drept simplu, deoarece la calcularea rezistenței, influența comună a acestor factori de forță nu este luată în considerare.
Când sunt întinse (comprimate), dimensiunile transversale se modifică și ele. Raportul dintre deformația transversală relativă e și deformația longitudinală relativă e este o constantă fizică a materialului și se numește raportul lui Poisson V = e / e.
Când o grindă este întinsă (comprimată), dimensiunile sale longitudinale și transversale suferă modificări caracterizate prin deformații longitudinale (bg) și transversale (e, e). care sunt legate prin relaţie
După cum arată experiența, atunci când un fascicul este întins (comprimat), volumul său se modifică ușor pe măsură ce lungimea fasciculului crește cu valoarea Ar, fiecare parte a secțiunii sale transversale scade cu. Vom numi deformația longitudinală relativă valoarea
Deformațiile elastice longitudinale și transversale care apar în timpul tensiunii sau compresiunii sunt legate între ele prin relație
Deci, să luăm în considerare un fascicul format din material izotrop. Ipoteza secțiunilor plane stabilește o astfel de geometrie a deformațiilor în timpul tensiunii și compresiunii încât toate fibrele longitudinale ale unei grinzi să aibă aceeași deformație x, indiferent de poziția lor în secțiunea transversală F, adică.
Un studiu experimental al deformațiilor volumetrice a fost efectuat în timpul tensiunii și comprimării probelor de fibră de sticlă în timp ce se înregistra simultan pe un osciloscop K-12-21 modificări ale deformațiilor longitudinale, transversale ale materialului și ale forței în timpul încărcării (pe o mașină de testare TsD-10). Testul până la atingerea sarcinii maxime s-a efectuat la viteze de încărcare aproape constante, ceea ce era asigurat de un regulator special cu care era echipat utilajul.
După cum arată experimentele, raportul dintre deformația transversală b și deformația longitudinală e în timpul tensiunii sau compresiunii pentru un material dat, în limitele de aplicare a legii lui Hooke, este o valoare constantă. Acest raport, luat în valoare absolută, se numește raportul de deformare transversală sau raportul lui Poisson
Aici /р(сж) - deformare longitudinală în timpul tensiunii (compresiei) /u - deformare transversală în timpul îndoirii I - lungimea grinzii deformate P - aria secțiunii transversale a acesteia / - momentul de inerție al ariei secțiunii transversale a eșantion raportat la axa neutră - momentul polar de inerție P - forța aplicată - momentul de torsiune - coeficient, predare -
Deformarea unei tije în timpul tensiunii sau compresiunii constă într-o modificare a lungimii și a secțiunii transversale a acesteia. Deformațiile longitudinale și transversale relative sunt determinate, respectiv, de formule
Raportul dintre înălțimea plăcilor laterale (pereții rezervorului) și lățimea în bateriile de dimensiuni semnificative este de obicei mai mare de două, ceea ce face posibilă calcularea pereților rezervorului folosind formulele pentru îndoirea cilindrice a plăcilor. Capacul rezervorului nu este atașat rigid de pereți și nu poate împiedica bombarea acestora. Neglijând influența fundului, este posibil să se reducă calculul unui rezervor sub acțiunea forțelor orizontale asupra acestuia la calculul unui cadru de bandă închis static nedeterminat separat de rezervor prin două secțiuni orizontale. Modulul elastic normal al fibrei de sticlă este relativ mic, astfel încât structurile realizate din acest material sunt sensibile la îndoirea longitudinală. Limitele de rezistență ale fibrei de sticlă în tensiune, compresie și încovoiere sunt diferite. Pentru deformația predominantă trebuie făcută o comparație a tensiunilor calculate cu cele limitative.
Să introducem notația folosită în algoritm, mărimile cu indici 1,1-1 se referă la iterația curentă și anterioară la etapa de timp t - At, t și respectiv 2 - rata deformației longitudinale (axiale) în timpul tensiunii (; i > > 0) și compresiune (2 deformații sunt legate prin relație
Dependențele (4.21) și (4.31) au fost verificate pe un număr mare de materiale și la conditii diferiteîncărcare. Testele au fost efectuate sub tensiune-compresie cu o frecvență de aproximativ un ciclu pe minut și un ciclu la 10 minute pe un domeniu larg de temperatură. Pentru măsurarea tensiunii s-au folosit atât gabaritele longitudinale, cât și cele transversale. În același timp, au fost testate probe solide (cilindrice și corset) și tubulare din oțel de cazan 22k (la temperaturi de 20-450 C și asimetrii - 1, -0,9 -0,7 și -0,3, în plus, probe sudate și crestătură), oțel termorezistent TS (la temperaturi de 20-550° C și asimetrii -1 -0,9 -0,7 și -0,3), aliaj de nichel rezistent la căldură EI-437B (la 700° C), oțel 16GNMA, ChSN , Х18Н10Т, oțel 45 , aliaj de aluminiu AD-33 (cu asimetrii -1 0 -b0.5), etc. Toate materialele au fost testate in starea de livrare.
Coeficientul de proporționalitate E, care conectează solicitarea normală și deformarea longitudinală, se numește modulul elastic al materialului în tracțiune-compresie. Acest coeficient are și alte denumiri: modulul elastic de primul fel, modulul Young. Modulul elastic E este una dintre cele mai importante constante fizice care caracterizează capacitatea unui material de a rezista la deformarea elastică. Cu cât această valoare este mai mare, cu atât fasciculul se întinde sau se contractă mai puțin atunci când se aplică aceeași forță P.
Dacă presupunem că în fig. 2-20, iar arborele O este condus, iar arborii O1 și O2 sunt antrenați, apoi atunci când întrerupătorul de tracțiune este oprit, LL1 și L1L2 vor funcționa în compresie, iar când sunt pornite, vor funcționa în tensiune. Atâta timp cât distanțele dintre axele arborilor O, 0 și O2 sunt mici (până la 2000 mm), diferența dintre deformarea tijei în timpul tensiunii și compresiunii (încovoiere longitudinală) nu afectează funcționarea transmisiei sincrone. . Într-un deconectator de 150 kV, distanța dintre poli este de 2800 mm, într-un deconectator de 330 kV - 3500 mm, într-un deconectator de 750 kV - 10.000 mm. Cu distanțe atât de mari între centrele arborilor și sarcini semnificative pe care trebuie să le transmită, spun ei / > d. Această lungime este aleasă din motive de stabilitate mai mare, deoarece o probă lungă, pe lângă compresie, poate suferi deformații longitudinale la încovoiere, care vor fi discutate în a doua parte a cursului. Mostre de la materiale de constructii sunt fabricate sub forma unui cub cu dimensiunile 100 X 100 X 150 mm sau 150 X X 150 X 150 mm. În timpul unui test de compresie, inițial ia o probă cilindrică în formă de butoi. Dacă este fabricat dintr-un material plastic, atunci încărcarea ulterioară duce la aplatizarea eșantionului, dacă materialul este fragil, atunci proba se crapă brusc.
În orice puncte ale grinzii luate în considerare există o stare identică de efort și, prin urmare, deformațiile liniare (vezi 1.5) sunt aceleași pentru toate punctele sale. Prin urmare, valoarea poate fi definită ca raportul dintre alungirea absolută A/ și lungimea inițială a grinzii /, adică e = A///. Deformarea liniară în timpul tensiunii sau compresiei parapeților este de obicei numită alungire relativă (sau deformare longitudinală relativă) și este desemnată e.
Vezi paginile în care este menționat termenul Deformare longitudinală în tensiune (compresie) : Railwayman's Technical Handbook Volumul 2 (1951) - [ p.11 ]
Deformații longitudinale și transversale în timpul tensiunii și compresiunii. legea lui Hooke
Atunci când tijei sunt aplicate sarcini de tracțiune, lungimea sa inițială / crește (Fig. 2.8). Să notăm creșterea în lungime cu A/. Se numește raportul dintre creșterea lungimii tijei și lungimea inițială alungirea relativă sau deformare longitudinalăși se notează cu r:
Alungirea relativă este o mărime adimensională, în unele cazuri este de obicei exprimată ca procent:
Când este întinsă, dimensiunile tijei se schimbă nu numai în direcția longitudinală, ci și în direcția transversală - tija se îngustează.
Orez. 2.8. Deformarea la tracțiune a tijei
Schimbați raportul A O se numește dimensiunea secțiunii transversale la dimensiunea inițială contracție transversală relativă sau deformare transversală'.
S-a stabilit experimental că există o relație între deformațiile longitudinale și transversale
unde se numeste p Raportul lui Poissonși sunt o valoare constantă pentru un material dat.
Raportul lui Poisson este, după cum se poate vedea din formula de mai sus, raportul dintre deformația transversală și longitudinală:
Pentru diferite materiale, valorile raportului lui Poisson variază de la 0 la 0,5.
În medie, pentru metale și aliaje, raportul lui Poisson este de aproximativ 0,3 (Tabelul 2.1).
Valoarea raportului lui Poisson
În timpul compresiei, apare imaginea opusă, adică. pe direcția transversală dimensiunile inițiale scad, iar pe direcția transversală cresc.
Numeroase experimente arată că, până la anumite limite de încărcare pentru majoritatea materialelor, tensiunile apărute în timpul tensionării sau compresiunii unei tije sunt într-o anumită dependență de deformația longitudinală. Această dependență se numește legea lui Hooke, care poate fi formulat astfel.
În limitele de încărcare cunoscute, există o relație direct proporțională între deformația longitudinală și solicitarea normală corespunzătoare
Factorul de proporționalitate E numit modulul de elasticitate longitudinală. Are aceeași dimensiune ca și tensiunea, adică. măsurată în Pa, MPa.
Modulul longitudinal de elasticitate este o constantă fizică a unui material dat, care caracterizează capacitatea materialului de a rezista la deformații elastice. Pentru un material dat, modulul de elasticitate variază în limite înguste. Da, pentru oțel diferite mărci E=(1.9. 2.15) 10 5 MPa.
Pentru cele mai frecvent utilizate materiale, modulul elastic are următoarele valori în MPa (Tabelul 2.2).
Valoarea modulului de elasticitate pentru cele mai frecvent utilizate materiale
- Educația morală și patriotică poate deveni un element al procesului educațional S-au dezvoltat măsuri pentru a asigura educația patriotică și morală a copiilor și tinerilor. Proiectul de lege corespunzătoare 1 a fost înaintat Dumei de Stat de un membru al Consiliului Federației Serghei […]
- Cum să pretind dependență?
- Întrebările cu privire la necesitatea înregistrării dependenței nu apar des, deoarece majoritatea persoanelor aflate în întreținere sunt astfel prin forța legii, iar problema stabilirii faptului dependenței dispare de la sine. În același timp, în unele cazuri, necesitatea oficializării [...]
- Înregistrarea urgentă și primirea unui pașaport străin Nimeni nu este imun de o situație în care există o nevoie bruscă de a obține rapid un pașaport străin în Moscova sau în orice alt oraș rus. Ce să fac? Unde sa contactezi? Și cât ar costa un astfel de serviciu? Necesar […]
- Impozite în Suedia și perspective de afaceri Înainte de a pleca în Suedia ca expat în afaceri, este o idee bună să aflați mai multe despre sistemul fiscal al țării. Taxele în Suedia sunt un sistem complex și, așa cum ar spune compatrioții noștri, un sistem complicat. Pentru unii ea […]
- Taxa pe câștiguri: mărimea în 2017 În anii anteriori, se poate urmări clar tendința urmată de autoritățile guvernamentale. Se iau măsuri din ce în ce mai stricte pentru a controla veniturile afacerii de jocuri de noroc, precum și populația care primește câștiguri. Deci, în 2014 […]
- Clarificarea pretențiilor După ce instanța a acceptat o cerere și chiar în cursul judecății, reclamantul are dreptul de a depune clarificarea pretențiilor. Cu titlu de clarificare, puteți indica circumstanțe noi sau le puteți completa pe cele vechi, puteți crește sau micșora valoarea creanței, [...]
- Cum să eliminați corect programele de pe computer? S-ar părea că ce este atât de dificil în a elimina programele de pe un computer? Dar știu că mulți utilizatori începători au probleme cu asta. Iată, de exemplu, un fragment dintr-o scrisoare pe care am primit-o: „... Am următoarea întrebare pentru tine: […] CE ESTE IMPORTANT DE ȘTIUT DESPRE NOUL PROIECT DE LEGE A PENSIILOR De la 01.01.2002, pensiile de muncă se atribuie și se plătesc în conformitate cu Legea federală „Cu privire la pensiile de muncă în Federația Rusă
» din 17 decembrie 2001 Nr. 173-FZ. La stabilirea mărimii pensiei de muncă conform celor de mai sus […]
ℓ – lungimea tijei înainte de aplicarea sarcinii;
ℓ 1 – lungimea tijei după aplicarea sarcinii;
b – dimensiune cruceînainte de aplicarea sarcinii;
b 1 – dimensiune transversală după aplicarea sarcinii.
Deformare longitudinală absolută ∆ℓ = ℓ 1 – ℓ.
Deformarea transversală absolută ∆b = b 1 – b.
Valoarea deformației liniare relative ε poate fi definită ca raportul dintre alungirea absolută ∆ℓ și lungimea inițială a grinzii ℓ
Deformațiile transversale se găsesc în mod similar
Când sunt întinse, dimensiunile transversale scad: ε > 0, ε′< 0; при сжатии: ε < 0, ε′ >0. Experiența arată că în timpul deformațiilor elastice, deformația transversală este întotdeauna direct proporțională cu cea longitudinală.
ε′ = – νε. (2,7)
Se numește coeficientul de proporționalitate ν Raportul lui Poisson sau raportul de deformare transversală. Reprezintă valoarea absolută a raportului dintre deformarea transversală și longitudinală în timpul tensiunii axiale
Numit după omul de știință francez care a propus-o pentru prima dată la începutul secolului al XIX-lea. Raportul lui Poisson este o valoare constantă pentru un material în limitele deformațiilor elastice (adică deformații care dispar după ce sarcina este îndepărtată). Pentru diferite materiale, raportul lui Poisson variază în intervalul 0 ≤ ν ≤ 0,5: pentru oțel ν = 0,28…0,32; pentru cauciuc ν = 0,5; pentru un dop ν = 0.
Există o relație între stres și deformare elastică cunoscută ca legea lui Hooke:
σ = Eε. (2,9)
Coeficientul de proporționalitate E între efort și deformare se numește modul elastic normal sau modul lui Young. Dimensiunea E este aceeași cu cea a tensiunii. La fel ca ν, E este constanta elastică a materialului. Cu cât valoarea lui E este mai mare, cu atât deformația longitudinală este mai mică, celelalte lucruri fiind egale. Pentru oțel E = (2...2.2)10 5 MPa sau E = (2...2.2)10 4 kN/cm 2.
Înlocuind în formula (2.9) valoarea lui σ conform formulei (2.2) și ε conform formulei (2.5), obținem o expresie pentru deformația absolută
Produsul EF se numește rigiditatea lemnului în tensiune și compresiune.
Formulele (2.9) și (2.10) sunt forme diferite de scriere a legii lui Hooke, propuse la mijlocul secolului al XVII-lea. Forma modernăînregistrările acestei legi fundamentale a fizicii au apărut mult mai târziu - la începutul secolului al XIX-lea.
Formula (2.10) este valabilă numai în acele zone în care forța N și rigiditatea EF sunt constante. Pentru o tijă în trepte și o tijă încărcată cu mai multe forțe, elongațiile se calculează în secțiuni cu constante N și F și rezultatele se însumează algebric
Dacă aceste mărimi se modifică conform unei legi continue, ∆ℓ se calculează prin formula
Într-o serie de cazuri, pentru a asigura funcționarea normală a mașinilor și structurilor, dimensiunile pieselor acestora trebuie alese astfel încât, pe lângă starea de rezistență, să fie asigurată și condiția de rigiditate.
unde ∆ℓ – modificarea dimensiunilor piesei;
[∆ℓ] – valoarea admisă a acestei modificări.
Subliniem că calculul rigidității completează întotdeauna calculul rezistenței.
2.4. Calculul unei lansete ținând cont de propria greutate
Cel mai simplu exemplu de problemă despre întinderea unei tije cu parametri care variază de-a lungul lungimii ei este problema întinderii unei tije prismatice sub acțiunea propriei greutăți (Fig. 2.8a). Forța longitudinală N x în secțiunea transversală a acestui fascicul (la distanța x de capătul său inferior) este egală cu forța gravitațională a părții subiacente a grinzii (Fig. 2.8, b), adică.
N x = γFx, (2,14)
unde γ este greutatea volumetrică a materialului tijei.
Forța longitudinală și efortul se modifică liniar, atingând un maxim în încastre. Deplasarea axială a unei secțiuni arbitrare este egală cu alungirea părții superioare a grinzii. Prin urmare, trebuie determinat folosind formula (2.12), integrarea se efectuează de la valoarea curentă x la x = ℓ:
Am obținut o expresie pentru o secțiune arbitrară a tijei
La x = ℓ deplasarea este cea mai mare, este egală cu alungirea tijei
Figura 2.8, c, d, e prezintă grafice ale lui N x, σ x și u x
Să înmulțim numărătorul și numitorul formulei (2.17) cu F și obținem:
Expresia γFℓ este egală cu greutatea proprie a tijei G. Prin urmare
Formula (2.18) poate fi obținută imediat din (2.10), dacă ne amintim că rezultanta greutății proprii G trebuie aplicată la centrul de greutate al tijei și de aceea provoacă alungirea doar a jumătății superioare a tijei (Fig. 2.8, a).
Dacă tijele, pe lângă propria greutate, sunt încărcate și cu forțe longitudinale concentrate, atunci tensiunile și deformațiile sunt determinate pe baza principiului independenței acțiunii forțelor separat de forțele concentrate și de propria greutate, după care rezultă se adună.
Principiul acțiunii independente a forțelor rezultă din deformabilitatea liniară a corpurilor elastice. Esența sa constă în faptul că orice valoare (tension, deplasare, deformare) din acțiunea unui grup de forțe poate fi obținută ca sumă a valorilor găsite de la fiecare forță separat.
Schimbarea dimensiunii, volumului și eventual a formei corpului, cu influență externă pe ea se numește deformare în fizică. Corpul se deformează atunci când este întins, comprimat și/sau când temperatura îi schimbă.
Deformarea apare atunci când diferite părți ale corpului suferă mișcări diferite. Deci, de exemplu, dacă un cordon de cauciuc este tras de capete, atunci diferitele sale părți se vor mișca unele față de altele, iar cordonul va fi deformat (întins, prelungit). În timpul deformării, distanțele dintre atomi sau moleculele corpurilor se modifică, motiv pentru care apar forțe elastice.
Lasă o grindă dreaptă, lungă și având o secțiune transversală constantă, să fie fixată la un capăt. Celălalt capăt este întins prin aplicarea unei forțe (Fig. 1). În acest caz, corpul se prelungește cu o cantitate numită alungire absolută (sau deformare longitudinală absolută).
În orice punct al corpului luat în considerare există o stare identică de stres. Deformarea liniară () în timpul tensiunii și compresiei unor astfel de obiecte se numește alungire relativă (deformare longitudinală relativă):
Tensiune longitudinală relativă
Deformarea longitudinală relativă este o mărime adimensională. De regulă, alungirea relativă este mult mai mică decât unitatea ().
Deformarea elongațională este de obicei considerată pozitivă și deformarea compresivă negativă.
Dacă efortul din grinda nu depășește o anumită limită, s-a stabilit experimental următoarea relație:
unde este forța longitudinală în secțiunile transversale ale grinzii; S este aria secțiunii transversale a grinzii; E - modulul elastic (modulul Young) - o mărime fizică, o caracteristică a rigidității unui material. Ținând cont de faptul că efortul normal în secțiunea transversală ():
Alungirea absolută a unei grinzi poate fi exprimată astfel:
Expresia (5) este o reprezentare matematică a legii lui R. Hooke, care reflectă relația directă dintre forță și deformare sub sarcini mici.
În următoarea formulare, legea lui Hooke este utilizată nu numai atunci când se ia în considerare tensiunea (compresia) unei grinzi: deformația longitudinală relativă este direct proporțională tensiune normală.
Tensiune de forfecare relativă
În timpul forfecarea, deformația relativă este caracterizată folosind formula:
unde este deplasarea relativă; - deplasarea absolută a straturilor paralele între ele; h este distanța dintre straturi; - unghi de forfecare.
Legea lui Hooke pentru schimbare este scrisă astfel:
unde G este modulul de forfecare, F este forța care provoacă forfecare paralelă cu straturile de forfecare ale corpului.
Exemple de rezolvare a problemelor
EXEMPLUL 1
| Exercita | Care este alungirea relativă a unei tije de oțel dacă capătul său superior este fixat nemișcat (Fig. 2)? Aria secțiunii transversale a tijei. La capătul inferior al tijei este atașată o masă de kg. Luați în considerare că masa proprie a tijei este mult mai mică decât masa încărcăturii. |
| Soluţie | Forța care face ca tija să se întindă este egală cu forța gravitațională a sarcinii care se află la capătul inferior al tijei. Această forță acționează de-a lungul axei tijei. Găsim alungirea relativă a tijei ca:
Unde . Înainte de a efectua calculul, ar trebui să găsiți modulul Young pentru oțel în cărțile de referință. Pa. |
| Răspuns |
EXEMPLUL 2
| Exercita | Baza inferioară a unui paralelipiped metalic cu o bază sub formă de pătrat cu latura a și înălțimea h este fixată nemișcată. Pe baza superioară acționează o forță F paralelă cu baza (Fig. 3). Care este deformarea relativă de forfecare ()? Se consideră că modulul de forfecare (G) este cunoscut. |
Să considerăm o grindă dreaptă de secțiune transversală constantă cu lungimea l, înglobată la un capăt și încărcată la celălalt capăt cu o forță de tracțiune P (Fig. 2.9, a). Sub influența forței P, fasciculul se alungește cu o anumită cantitate?l, care se numește alungire completă, sau absolută (deformație longitudinală absolută).
În orice punct al grinzii luate în considerare există o stare identică de efort și, prin urmare, deformațiile liniare pentru toate punctele sale sunt aceleași. Prin urmare, valoarea poate fi definită ca raportul dintre alungirea absolută?l și lungimea inițială a grinzii l, adică. . Deformarea liniară în timpul tensiunii sau compresiei grinzilor este de obicei numită alungire relativă sau deformare longitudinală relativă și este desemnată
Prin urmare,
Deformarea longitudinală relativă este măsurată în unități abstracte. Să fim de acord să considerăm că deformarea de alungire este pozitivă (Fig. 2.9, a), iar deformarea de compresie ca fiind negativă (Fig. 2.9, b).
Cu cât este mai mare magnitudinea forței care întinde fasciculul, cu atât este mai mare, celelalte lucruri fiind egale, alungirea fasciculului; Cu cât aria secțiunii transversale a fasciculului este mai mare, cu atât alungirea fasciculului este mai mică. Barele realizate din materiale diferite se alungesc diferit. Pentru cazurile în care tensiunile din grinda nu depășesc limita de proporționalitate, următoarea relație a fost stabilită prin experiență:
Aici N este forța longitudinală în secțiunile transversale ale grinzii;
F - aria secțiunii transversale a fasciculului;
E este un coeficient care depinde de proprietățile fizice ale materialului.
Avand in vedere ca solicitarea normala in sectiunea transversala a grinzii obtinem
Alungirea absolută a unei grinzi este exprimată prin formula
aceste. deformarea longitudinală absolută este direct proporţională cu forţa longitudinală.
Pentru prima dată, legea proporționalității directe dintre forțe și deformații a fost formulată de R. Hooke (în 1660).
O formulare mai generală este următoarea formulare a legii lui Hooke: deformarea longitudinală relativă este direct proporțională cu tensiunea normală. În această formulare, legea lui Hooke este utilizată nu numai în studiul tensiunii și compresiei grinzilor, ci și în alte secțiuni ale cursului.
Valoarea E inclusă în formule se numește modul elastic longitudinal (abreviat ca modul elastic). Această valoare este o constantă fizică a materialului, care caracterizează rigiditatea acestuia. Cu cât valoarea lui E este mai mare, cu atât deformația longitudinală este mai mică, celelalte lucruri fiind egale.
Produsul EF se numește rigiditatea secțiunii transversale a grinzii în tensiune și compresie.
Dacă dimensiunea transversală a grinzii înainte de aplicarea forțelor de compresiune P asupra acesteia este desemnată b, iar după aplicarea acestor forțe b +?b (Fig. 9.2), atunci valoarea?b va indica deformația transversală absolută a grinzii. Raportul este deformarea transversală relativă.
Experiența arată că la solicitări care nu depășesc limita elastică, deformarea transversală relativă este direct proporțională cu deformarea longitudinală relativă e, dar are semnul opus:
Coeficientul de proporționalitate din formula (2.16) depinde de materialul grinzii. Se numește raportul de deformare transversală, sau raportul lui Poisson, și este raportul dintre deformarea transversală și deformația longitudinală, luat în valoare absolută, i.e.
Raportul lui Poisson, împreună cu modulul elastic E, caracterizează proprietățile elastice ale materialului.
Valoarea raportului lui Poisson este determinată experimental. Pentru diverse materiale are valori de la zero (pentru plută) până la o valoare apropiată de 0,50 (pentru cauciuc și parafină). Pentru oțel, raportul lui Poisson este 0,25-0,30; pentru o serie de alte metale (fontă, zinc, bronz, cupru) are valori de la 0,23 la 0,36.
Tabelul 2.1 Valorile modulului elastic.
Tabelul 2.2 Valorile coeficientului de deformare transversală (raportul lui Poisson)