Calculul lemnului cu o secțiune transversală rotundă pentru rezistență și rigiditate la torsiune

Calculul lemnului cu o secțiune transversală rotundă pentru rezistență și rigiditate la torsiune

Scopul calculelor pentru rezistență și rigiditate la torsiune este de a determina dimensiunile secțiunii transversale ale grinzii la care solicitările și deplasările nu vor depăși valorile specificate permise de condițiile de funcționare. Condiția de rezistență pentru tensiunile tangențiale admise este în general scrisă sub forma. Această condiție înseamnă că cele mai mari solicitări de forfecare care apar într-o grindă răsucită nu trebuie să depășească tensiunile admisibile corespunzătoare pentru material. Efortul admis la torsiune depinde de 0 ─ efortul corespunzător stării periculoase a materialului, iar factorul de siguranță acceptat n: ─ limita de curgere, nt - factor de siguranță pentru un material plastic; Condiția de rigiditate se scrie în următoarea formă: unde ─ cel mai mare unghi relativ de răsucire al grinzii, determinat din expresia (2.10) sau (2.11). Atunci condiția de rigiditate a arborelui va lua forma Valoarea unghiului relativ admis de răsucire este determinată de standardele pentru diverse elemente structuri şi tipuri diferite sarcinile variază de la 0,15° la 2° pe 1 m lungime de lemn. Atât în ​​condiția de rezistență, cât și în condiția de rigiditate, la determinarea max sau max  vom folosi caracteristici geometrice: WP ─ momentul polar de rezistență și IP ─ momentul polar de inerție. Evident, aceste caracteristici vor fi diferite pentru secțiunile transversale rotunde solide și inelare cu aceeași zonă a acestor secțiuni. Prin calcule specifice se poate convinge că momentele polare de inerție și momentul de rezistență pentru secțiunea inelară sunt semnificativ mai mari decât pentru cea neregulată. secțiune rotundă, deoarece secțiunea inelară nu are zone situate aproape de centru. Prin urmare, o grindă cu o secțiune transversală inelară în timpul torsiunii este mai economică decât o grindă cu o secțiune transversală circulară solidă, adică necesită un consum mai mic de material. Cu toate acestea, producerea unor astfel de grinzi este mai dificilă și, prin urmare, mai costisitoare, iar această circumstanță trebuie luată în considerare și la proiectarea grinzilor care funcționează la torsiune. Vom ilustra cu un exemplu metodologia de calcul a lemnului pentru rezistență și rigiditate la torsiune, precum și considerații despre rentabilitate. Exemplul 2.2 Comparați greutățile a doi arbori, dimensiuni transversale care ar trebui să fie selectat pentru același cuplu MK 600 Nm la aceleași solicitări admise 10 R și 13 Tensiune de-a lungul fibrelor p] 7 Rp 10 Compresie și strivire de-a lungul fibrelor [cm] 10 Rc, Rcm 13 Strivire de-a lungul fibrelor (la o lungime de cel puțin 10 cm) [cm]90 2.5 Rcm 90 3 Așchierea de-a lungul fibrelor în timpul îndoirii [și] 2 Rck 2.4 Așchierea de-a lungul fibrelor în timpul tăierii 1 Rck 1.2 – 2.4 Așchierea fibrelor în butași

Oblic numit acest tip de îndoire în care totul sarcini externe care provoacă încovoiere acționează într-un plan de forță care nu coincide cu niciunul dintre planurile principale.

Luați în considerare o grindă prinsă la un capăt și încărcată la capătul liber cu o forță F(Fig. 11.3).

Orez. 11.3. Schema de calcul la o îndoire oblică

Forta externa F aplicat în unghi față de axă y. Să distrugem forța Fîn componente situate în planurile principale ale fasciculului, apoi:

Momente încovoietoare într-o secțiune arbitrară luate la distanță z de la capătul liber va fi egal:

Astfel, in fiecare sectiune a grinzii actioneaza simultan doua momente incovoietoare care creeaza incovoiere in planurile principale. Prin urmare, îndoirea oblică poate fi considerată un caz special de îndoire spațială.

Tensiunile normale în secțiunea transversală a unei grinzi în timpul îndoirii oblice sunt determinate de formulă

Pentru a găsi cele mai mari tensiuni normale de tracțiune și compresiune în timpul îndoirii oblice, este necesar să selectați o secțiune periculoasă a grinzii.

Dacă momentele încovoietoare | M x| și | Ale mele| a ajunge cele mai mari valoriîntr-o anumită secțiune, atunci aceasta este o secțiune periculoasă. Prin urmare,

Secțiunile periculoase includ și secțiunile în care momentele încovoietoare | M x| și | Ale mele| atinge simultan valori destul de mari. Prin urmare, cu îndoirea oblică pot exista mai multe secțiuni periculoase.

În general, când – secțiune asimetrică, adică axa neutră nu este perpendiculară pe planul forței. Pentru secțiunile simetrice, îndoirea oblică nu este posibilă.

11.3. Poziția axei neutre și a punctelor periculoase

în secţiune transversală. Condiție de rezistență pentru îndoirea oblică.

Determinarea dimensiunilor secțiunii transversale.

Mișcări în timpul îndoirii oblice

Poziția axei neutre în timpul îndoirii oblice este determinată de formulă

unde este unghiul de înclinare al axei neutre față de axă X;

Unghiul de înclinare a planului de forță față de axă la(Fig. 11.3).

În secțiunea periculoasă a grinzii (în încastrare, Fig. 11.3), tensiunile la punctele de colț sunt determinate de formulele:

La îndoirea oblică, ca și în cazul îndoirii spațiale, axa neutră împarte secțiunea fasciculului în două zone - o zonă de tensiune și o zonă de compresie. Pentru secțiune dreptunghiulară aceste zone sunt prezentate în fig. 11.4.

Orez. 11.4. Diagrama secțiunii transversale a unei grinzi prinse în timpul îndoirii oblice

Pentru determinarea tensiunilor extreme de tracțiune și compresiune, este necesar să se tragă tangente la secțiune în zonele de tracțiune și compresiune, paralele cu axa neutră (Fig. 11.4).

Cele mai îndepărtate puncte de contact de axa neutră AȘi CU– puncte periculoase din zonele de compresie, respectiv de tensiune.

Pentru materialele plastice, când rezistențele calculate ale materialului lemnos la tracțiune și compresiune sunt egale, adică [ σ р] = = [σc] = [σ ], în secțiunea periculoasă se determină și starea de rezistență poate fi reprezentată în formular

Pentru secțiuni simetrice (dreptunghi, secțiune I), condiția de rezistență are următoarea vedere:

Din condiția de rezistență decurg trei tipuri de calcule:

Verifica;

Proiectare – determinarea dimensiunilor geometrice ale secțiunii;

Definiție capacitate portantă cherestea (sarcină admisă).

Dacă relația dintre laturile secțiunii transversale este cunoscută, de exemplu, pentru un dreptunghi h = 2b, apoi din starea rezistenței fasciculului ciupit este posibil să se determine parametrii bȘi h in felul urmator:

sau

in cele din urma .

Parametrii oricărei secțiuni sunt determinați într-un mod similar. Deplasarea totală a unei secțiuni de grinzi în timpul îndoirii oblice, ținând cont de principiul independenței acțiunii forțelor, este determinată ca suma geometrică a deplasărilor în planurile principale.

Să determinăm deplasarea capătului liber al grinzii. Să folosim metoda lui Vereshchagin. Găsim deplasarea verticală înmulțind diagramele (Fig. 11.5) după formula

În mod similar, definim deplasarea orizontală:

Apoi determinăm deplasarea totală folosind formula

Orez. 11.5. Diagrama pentru determinarea deplasării totale

cu îndoire oblică

Direcția mișcării complete este determinată de unghi β (Fig. 11.6):

Formula rezultată este identică cu formula pentru determinarea poziției axei neutre a secțiunii fasciculului. Acest lucru ne permite să concluzionam că , adică direcția de deviere este perpendiculară pe axa neutră. În consecință, planul de deviere nu coincide cu planul de încărcare.

Orez. 11.6. Schema de determinare a planului de deformare

cu îndoire oblică

Unghiul de abatere al planului de deviere față de axa principală y va fi mai mare, cu cât deplasarea este mai mare. Prin urmare, pentru o grindă cu o secțiune transversală elastică, în care raportul J x/Jy este mare, îndoirea oblică este periculoasă, deoarece provoacă deviații și solicitări mari în planul de rigiditate minimă. Pentru cherestea cu J x= Jy, deformarea totală se află în planul forței și îndoirea oblică este imposibilă.

11.4. Tensiunea și compresia excentrică a unui fascicul. Normal

tensiune in secțiuni transversale cherestea

Întindere excentrică (comprimare) este un tip de deformare în care forța de tracțiune (de compresie) este paralelă cu axa longitudinală a grinzii, dar punctul de aplicare a acesteia nu coincide cu centrul de greutate al secțiunii transversale.

Acest tip de problemă este adesea folosit în construcții la calcularea stâlpilor de construcție. Să luăm în considerare compresia excentrică a fasciculului. Să notăm coordonatele punctului de aplicare a forței F prin x FȘi y F, iar axele principale de secțiune transversală sunt prin x și y. Axă z să-l direcționăm în așa fel încât coordonatele x FȘi y F au fost pozitive (Fig. 11.7, a)

Dacă transferi forța F paralel cu sine dintr-un punct CU la centrul de greutate al secțiunii, atunci compresia excentrică poate fi reprezentată ca suma a trei deformații simple: compresiune și încovoiere în două plane (Fig. 11.7, b). În acest caz avem:

Tensiuni la un punct arbitrar de secțiune transversală sub compresie excentrică situată în primul cadran, cu coordonate x și y pot fi găsite pe baza principiului independenței acțiunii forțelor:

pătratele razelor de inerție ale secțiunii, atunci

Unde XȘi y– coordonatele punctului de secțiune transversală la care se determină solicitarea.

La determinarea tensiunilor, este necesar să se țină cont de semnele coordonatelor atât ale punctului de aplicare a forței externe, cât și ale punctului în care se determină solicitarea.

Orez. 11.7. Diagrama unei grinzi sub compresie excentrică

În cazul tensiunii excentrice a fasciculului, semnul „minus” din formula rezultată trebuie înlocuit cu un semn „plus”.

Forța longitudinală N care apare în secțiunea transversală a grinzii este rezultanta forțelor normale interne distribuite pe aria secțiunii transversale și este legată de tensiunile normale care apar în această secțiune prin dependență (4.1):

aici este tensiunea normală la un punct arbitrar al secțiunii transversale aparținând unei zone elementare - aria secțiunii transversale a grinzii.

Produsul reprezintă forța internă elementară pe suprafață dF.

Mărimea forței longitudinale N în fiecare caz particular poate fi determinată cu ușurință folosind metoda secțiunii, așa cum se arată în paragraful anterior. Pentru a găsi valorile tensiunilor a în fiecare punct al secțiunii transversale a grinzii, trebuie să cunoașteți legea distribuției lor pe această secțiune.

Legea distribuției tensiunilor normale în secțiunea transversală a unei grinzi este de obicei descrisă printr-un grafic care arată modificarea acestora de-a lungul înălțimii sau lățimii secțiunii transversale. Un astfel de grafic se numește diagramă normală de stres (diagrama a).

Expresia (1.2) poate fi satisfăcută pentru un număr infinit de tipuri de diagrame de tensiuni a (de exemplu, cu diagramele a prezentate în Fig. 4.2). Prin urmare, pentru a clarifica legea distribuției tensiunilor normale în secțiunile transversale ale unei grinzi, este necesar să se efectueze un experiment.

Să trasăm linii pe suprafața laterală a grinzii, înainte de a o încărca, perpendiculare pe axa grinzii (Fig. 5.2). Fiecare astfel de linie poate fi considerată ca o urmă a planului secțiunii transversale a grinzii. Când grinda este încărcată cu o forță axială P, aceste linii, după cum arată experiența, rămân drepte și paralele între ele (pozițiile lor după încărcarea grinzii sunt prezentate în Fig. 5.2 cu linii întrerupte). Acest lucru ne permite să presupunem că secțiunile transversale ale grinzii, plate înainte de a fi încărcate, rămân plate sub acțiunea sarcinii. Această experiență confirmă ipoteza secțiunilor plane (ipoteza lui Bernoulli), formulată la sfârșitul § 6.1.

Să ne imaginăm un fascicul format din nenumărate fibre paralele cu axa sa.

Când o grindă este întinsă, oricare două secțiuni transversale rămân plate și paralele una cu cealaltă, dar se îndepărtează una de cealaltă cu o anumită cantitate; Fiecare fibră se alungește cu aceeași cantitate. Și deoarece aceleași alungiri corespund acelorași tensiuni, tensiunile din secțiunile transversale ale tuturor fibrelor (și, în consecință, în toate punctele secțiunii transversale a fasciculului) sunt egale între ele.

Acest lucru ne permite să scoatem valoarea a din semnul integral din expresia (1.2). Prin urmare,

Deci, în secțiunile transversale ale grinzii, în timpul tensiunii sau compresiei centrale, distribuite uniform stres normal, egal cu raportul dintre forța longitudinală și aria secțiunii transversale.

Dacă există o slăbire a unor secțiuni ale grinzii (de exemplu, prin găuri pentru nituri), atunci când se determină tensiunile în aceste secțiuni, ar trebui să se ia în considerare aria reală a secțiunii slăbite egală cu suprafața totală redusă cu valoarea zonei de slăbire

Pentru a reprezenta vizual modificările tensiunilor normale în secțiunile transversale ale tijei (de-a lungul lungimii sale), este construită o diagramă a tensiunilor normale. Axa acestei diagrame este un segment de linie dreaptă egal cu lungimea tijei și paralel cu axa acesteia. Pentru o tijă cu secțiune transversală constantă, diagrama tensiunilor normale are aceeași formă ca diagrama forțe longitudinale(se deosebește de el doar în scara acceptată). Cu o tijă de secțiune transversală variabilă, aspectul acestor două diagrame este diferit; în special, pentru o tijă cu o lege în trepte a modificării secțiunilor transversale, diagrama normală a tensiunilor are salturi nu numai în secțiunile în care se aplică sarcini axiale concentrate (unde diagrama forțelor longitudinale are salturi), ci și în locurile în care dimensiunile ale secțiunilor transversale se modifică. Construcția unei diagrame a distribuției tensiunilor normale de-a lungul lungimii tijei este considerată în exemplul 1.2.

Să luăm acum în considerare tensiunile din secțiunile înclinate ale grinzii.

Să notăm a unghiul dintre secțiunea înclinată și secțiunea transversală (Fig. 6.2, a). Suntem de acord să considerăm unghiul pozitiv atunci când secțiunea transversală trebuie rotită în sens invers acelor de ceasornic cu acest unghi pentru a se alinia cu secțiunea înclinată.

După cum se știe deja, alungirile tuturor fibrelor paralele cu axa grinzii atunci când este întinsă sau comprimată sunt aceleași. Acest lucru ne permite să presupunem că tensiunile p în toate punctele secțiunii înclinate (precum și transversale) sunt aceleași.

Sa luam in considerare partea de jos cherestea, tăiată pe secțiuni (Fig. 6.2, b). Din condițiile de echilibru rezultă că tensiunile sunt paralele cu axa grinzii și sunt direcționate în direcția opusă forței P, iar forța internă care acționează în secțiune este egală cu P. Aici, aria lui ​secțiunea înclinată este egală cu (unde este aria secțiunii transversale a grinzii).

Prin urmare,

unde sunt tensiunile normale în secțiunile transversale ale grinzii.

Să descompunem efortul în două componente ale tensiunii: normală, perpendiculară pe planul secțiunii și tangentă, paralelă cu acest plan (Fig. 6.2, c).

Obținem valorile și din expresii

Stresul normal este de obicei considerat pozitiv în tensiune și negativ în compresie. Efortul tangențial este pozitiv dacă vectorul care o reprezintă tinde să rotească corpul în jurul oricărui punct C situat pe normala internă la secțiune, în sensul acelor de ceasornic. În fig. 6.2, c arată efortul de forfecare pozitiv ta, iar în Fig. 6,2, g - negativ.

Din formula (6.2) rezultă că tensiunile normale au valori de la (la la zero (la a). Astfel, cele mai mari (în valoare absolută) tensiuni normale apar în secțiunile transversale ale grinzii. Prin urmare, rezistența unui grinda de tracțiune sau comprimată se calculează folosind tensiunile normale în secțiunile sale transversale.

La întinderea (comprimarea) un fascicul în ea secțiuni transversale apar doar tensiuni normale. Rezultanta forțelor elementare corespunzătoare o, dA este forța longitudinală N- poate fi găsit folosind metoda secțiunii. Pentru a putea determina tensiunile normale la o valoare cunoscuta a fortei longitudinale este necesar sa se stabileasca legea distributiei pe sectiunea transversala a grinzii.

Această problemă este rezolvată pe baza proteze cu secțiune plană(ipotezele lui J. Bernoulli), care scrie:

secțiunile grinzii, plate și normale față de axa sa înainte de deformare, rămân plate și normale față de axă chiar și în timpul deformării.

Când întindeți o grindă (făcută, de exemplu, Pentru o mai mare claritate a experienței din cauciuc), la suprafață pe cine se aplică un sistem de marcaje longitudinale și transversale (Fig. 2.7, a), vă puteți asigura că semnele rămân drepte și reciproc perpendiculare, schimbați numai

unde A este aria secțiunii transversale a grinzii. Omitând indicele z, obținem în sfârșit

Pentru solicitările normale se adoptă aceeași regulă a semnelor ca și pentru forțele longitudinale, adică. la întindere, tensiunea este considerată pozitivă.

De fapt, distribuția tensiunilor în secțiunile grinzii adiacente locului în care se aplică forțele externe depinde de metoda de aplicare a sarcinii și poate fi neuniformă. Studiile experimentale și teoretice arată că această încălcare a uniformității distribuției tensiunilor este caracter local.În secțiunile grinzii situate la o distanță de locul de încărcare aproximativ egală cu cea mai mare dimensiune transversală a grinzii, distribuția tensiunilor poate fi considerată aproape uniformă (Fig. 2.9).

Situația luată în considerare este un caz special Principiul Sfântului Venant care poate fi formulat astfel:

Distribuția tensiunilor depinde în mod semnificativ de metoda de aplicare a forțelor externe numai în apropierea locului de încărcare.

În părțile suficient de îndepărtate de locul de aplicare a forțelor, distribuția tensiunilor depinde practic doar de echivalentul static al acestor forțe, și nu de metoda de aplicare a acestora.

Astfel, folosind Principiul Saint-Venantși făcând abstracție de la problema tensiunilor locale, avem ocazia (atât în ​​acest capitol, cât și în capitolele următoare ale cursului) să nu fim interesați de modalități specifice de aplicare a forțelor externe.

În locurile în care există o schimbare bruscă a formei și dimensiunii secțiunii transversale a fasciculului, apar și tensiuni locale. Acest fenomen se numește concentrarea stresului, pe care nu le vom lua în considerare în acest capitol.

În cazurile în care tensiunile normale în diferite secțiuni transversale ale grinzii nu sunt aceleași, este recomandabil să se arate legea modificării lor de-a lungul lungimii grinzii sub forma unui grafic - diagrame de tensiuni normale.

Exemplu 2.3. Pentru o grindă cu o secțiune transversală variabilă în trepte (Fig. 2.10a), construiți diagrame ale forțelor longitudinale Și stres normal.

Soluţie.Împărțim fasciculul în secțiuni, începând de la mesagerul liber. Limitele secțiunilor sunt locurile în care se aplică forțe externe și dimensiunile secțiunii transversale se modifică, adică grinda are cinci secțiuni. Când se construiesc numai diagrame N cheresteaua trebuie împărțită doar în trei secțiuni.

Folosind metoda secțiunii, determinăm forțele longitudinale în secțiunile transversale ale grinzii și construim diagrama corespunzătoare (Fig. 2.10.6). Construcția diagramei I nu este în mod fundamental diferită de cea discutată în exemplul 2.1, așa că omitem detaliile acestei construcție.

Calculăm tensiunile normale folosind formula (2.1), înlocuind valorile forțelor în newtoni și ariile în metri pătrați.

În cadrul fiecărei secțiuni, tensiunile sunt constante, adică e. diagrama din această zonă este o linie dreaptă, paralelă cu axa absciselor (Fig. 2.10, c). Pentru calculele de rezistență, sunt de interes în primul rând acele secțiuni în care apar cele mai mari solicitări. Este important ca in cazul luat in considerare acestea sa nu coincida cu acele sectiuni in care fortele longitudinale sunt maxime.

În cazurile în care secțiunea transversală a grinzii pe toată lungimea este constantă, diagrama A ca o diagramă Nși diferă de acesta doar prin scară, prin urmare, în mod firesc, are sens să construiești doar una dintre diagramele indicate.