Ipoteze principale de îndoire pură. îndoire transversală. Tipuri simple de rezistență. îndoire plată

Deformare la încovoiere constă în curbura axei unei tije drepte sau într-o modificare a curburii iniţiale a unei tije drepte (Fig. 6.1). Să ne familiarizăm cu conceptele de bază care sunt utilizate atunci când luăm în considerare deformarea la îndoire.

Tijele care se îndoaie se numesc grinzi.

Curat numită încovoiere, în care momentul încovoietor este singurul factor de forță intern care apare în secțiunea transversală a grinzii.

Mai des, în secțiunea transversală a tijei, împreună cu momentul încovoietor, apare și o forță transversală. Această îndoire se numește transversală.

plat (drept) numită încovoiere atunci când planul de acțiune al momentului încovoietor în secțiune transversală trece prin una dintre axele centrale principale secţiune transversală.

La îndoire oblică planul de acțiune al momentului încovoietor intersectează secțiunea transversală a grinzii de-a lungul unei linii care nu coincide cu niciuna dintre axele centrale principale ale secțiunii transversale.

Începem studiul nostru despre deformarea la încovoiere cu cazul îndoirii în plan pur.

Tensiuni și deformari normale în timpul îndoirii pure.

După cum sa menționat deja, cu încovoiere plană pură în secțiunea transversală, dintre cei șase factori de forță interni, doar momentul încovoietor nu este egal cu zero (Fig. 6.1, c):

Experimentele efectuate pe modele elastice arată că dacă pe suprafața modelului este aplicată o rețea de linii (Fig. 6.1, a), atunci când curba pură se deformează după cum urmează (Fig. 6.1, b):

a) liniile longitudinale sunt curbate de-a lungul circumferinței;

b) contururile secțiunilor transversale rămân plate;

c) liniile de contur ale secțiunilor se intersectează peste tot cu fibrele longitudinale în unghi drept.

Pe baza acestui fapt, se poate presupune că în îndoirea pură secțiunile transversale ale grinzii rămân plate și se rotesc astfel încât să rămână normale față de axa curbă a grinzii (secțiuni plate în ipoteza de îndoire).

Orez. 6.1

Măsurând lungimea liniilor longitudinale (Fig. 6.1, b), puteți constata că fibrele superioare se lungesc atunci când fasciculul se îndoaie, iar cele inferioare se scurtează. Evident, este posibil să se găsească fibre a căror lungime rămâne neschimbată. Se numește un set de fibre care nu își schimbă lungimea atunci când o grindă este îndoită strat neutru (n.s.). Stratul neutru intersectează secțiunea transversală a fasciculului într-o linie dreaptă, care se numește linie neutră (n.l.) secțiune.

Pentru a obține o formulă care determină mărimea tensiunilor normale care apar în secțiunea transversală, luați în considerare o secțiune a grinzii într-o stare deformată și nedeformată (Fig. 6.2).

Orez. 6.2

Folosind două secțiuni transversale infinitezimale, selectăm un element de lungime
. Înainte de deformare, secțiunile delimitând elementul
, erau paralele între ele (Fig. 6.2, a), iar după deformare s-au îndoit ușor, formând un unghi
. Lungimea fibrelor care se află în stratul neutru nu se modifică la îndoire
. Să notăm cu litera raza de curbură a urmei stratului neutru pe planul de desen . Să determinăm deformația liniară a unei fibre arbitrare
, situat la distanta din stratul neutru.

Lungimea acestei fibre după deformare (lungimea arcului
) este egal cu
. Avand in vedere ca inainte de deformare toate fibrele aveau aceeasi lungime
, constatăm că alungirea absolută a fibrei luate în considerare

Deformarea sa relativă

Este evident că
, deoarece lungimea fibrei care se află în stratul neutru nu s-a schimbat. Apoi, după înlocuire
primim

(6.2)

Prin urmare, deformarea longitudinală relativă este proporțională cu distanța fibrei față de axa neutră.

Să introducem ipoteza că la îndoire, fibrele longitudinale nu se apasă unele pe altele. În această ipoteză, fiecare fibră este deformată izolat, experimentând tensiune sau compresie simplă, în care
. Luând în considerare (6.2)

, (6.3)

adică tensiunile normale sunt direct proporționale cu distanțele punctelor de secțiune transversală luate în considerare față de axa neutră.

Să substituim dependența (6.3) în expresia pentru momentul încovoietor
în secțiune transversală (6.1)

Amintiți-vă că integrala
reprezinta momentul de inertie al sectiunii fata de axa

(6.4)

Dependența (6.4) reprezintă legea lui Hooke pentru îndoire, deoarece raportează deformația (curbura stratului neutru).
) cu un moment care acţionează în secţiune. Lucru
se numește rigiditatea secțiunii la încovoiere, N m 2.

Să înlocuim (6.4) în (6.3)

(6.5)

Aceasta este formula necesară pentru determinarea tensiunilor normale în timpul îndoirii pure a unei grinzi în orice punct al secțiunii sale transversale.

Pentru a stabili unde se află linia neutră în secțiune transversală, înlocuim valoarea tensiunilor normale în expresia forței longitudinale.
și momentul încovoietor

Din moment ce
,

;

(6.6)

(6.7)

Egalitatea (6.6) indică faptul că axa – axa neutră a secțiunii – trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.

Egalitatea (6.7) arată că Şi - principalele axe centrale ale secțiunii.

Conform (6.5), cea mai mare tensiune se realizează în fibrele cele mai îndepărtate de linia neutră

Atitudine reprezintă momentul axial de rezistenţă al secţiunii raportat la axa sa centrală , Înseamnă

Sens pentru cele mai simple secțiuni transversale următoarele:

Pentru secțiune transversală dreptunghiulară

, (6.8)

Unde - latura secțiunii perpendiculară pe ax ;

- latura secțiunii paralelă cu axa ;

Pentru secțiune transversală rotundă

, (6.9)

Unde - diametrul secțiunii transversale circulare.

Condiția de rezistență pentru tensiunile normale de încovoiere poate fi scrisă sub formă

(6.10)

Toate formulele obţinute au fost obţinute pentru cazul îndoirii pure a unei tije drepte. Acţiunea forţei transversale duce la faptul că ipotezele care stau la baza concluziilor îşi pierd puterea. Cu toate acestea, practica de calcul arată că chiar și în timpul îndoirii transversale a grinzilor și cadrelor, atunci când se află în secțiune, în plus față de momentul încovoietor
exista si o forta longitudinala
și forța tăietoare , puteți folosi formulele date pentru îndoirea pură. Eroarea este nesemnificativă.

Concepte generale.

Deformare la încovoiereconstă în curbura axei unei tije drepte sau într-o modificare a curburii inițiale a unei tije drepte(Fig. 6.1) . Să ne familiarizăm cu conceptele de bază care sunt utilizate atunci când se analizează deformarea la îndoire.

Tijele care se îndoaie se numesc grinzi.

Curat numită încovoiere, în care momentul încovoietor este singurul factor de forță intern care apare în secțiunea transversală a grinzii.

Mai des, în secțiunea transversală a tijei, împreună cu momentul încovoietor, apare și o forță transversală. Această îndoire se numește transversală.

plat (drept) numită încovoiere când planul de acţiune al momentului încovoietor în secţiune transversală trece prin una din axele centrale principale ale secţiunii transversale.

Cu îndoire oblică planul de acțiune al momentului încovoietor intersectează secțiunea transversală a grinzii de-a lungul unei linii care nu coincide cu niciuna dintre axele centrale principale ale secțiunii transversale.

Începem studiul nostru despre deformarea la încovoiere cu cazul îndoirii în plan pur.

Tensiuni și tensiuni normale în timpul îndoirii pure.

După cum sa menționat deja, cu încovoiere plană pură în secțiunea transversală, dintre cei șase factori de forță interni, doar momentul încovoietor nu este egal cu zero (Fig. 6.1, c):

; (6.1)

Experimentele efectuate pe modele elastice arată că dacă pe suprafața modelului se aplică o grilă de linii(Fig. 6.1, a) , apoi cu îndoire pură se deformează după cum urmează(Fig. 6.1, b):

a) liniile longitudinale sunt curbate de-a lungul circumferinței;

b) contururile secțiunilor transversale rămân plate;

c) liniile de contur ale secțiunilor se intersectează peste tot cu fibrele longitudinale în unghi drept.

Orez. .

Măsurând lungimea liniilor longitudinale (Fig. 6.1, b), puteți constata că fibrele superioare se lungesc atunci când fasciculul se îndoaie, iar cele inferioare se scurtează. Evident, este posibil să se găsească fibre a căror lungime rămâne neschimbată. Se numește un set de fibre care nu își schimbă lungimea atunci când o grindă este îndoităstrat neutru (n.s.). Stratul neutru intersectează secțiunea transversală a fasciculului într-o linie dreaptă, care se numeștelinie neutră (n.l.) secțiune.

Orez. .

Folosind două secțiuni transversale infinitezimale, selectăm un element de lungime. Înainte de deformare, secțiunile care delimitau elementul erau paralele între ele (Fig. 6.2, a), iar după deformare s-au înclinat ușor, formând un unghi. Lungimea fibrelor care se află în stratul neutru nu se modifică la îndoire. Să notăm cu o literă raza de curbură a urmei stratului neutru pe planul de desen. Să determinăm deformația liniară a unei fibre arbitrare situată la distanță de stratul neutru.

Lungimea acestei fibre după deformare (lungimea arcului) este egală. Avand in vedere ca inainte de deformare toate fibrele aveau aceeasi lungime, obtinem ca alungirea absoluta a fibrei in cauza

Deformarea sa relativă

Evident, deoarece lungimea fibrei care se află în stratul neutru nu s-a schimbat. Apoi, după înlocuire, obținem

(6.2)

Prin urmare, relativ deformare longitudinală proporțional cu distanța fibrei față de axa neutră.

Să introducem ipoteza că la îndoire, fibrele longitudinale nu se apasă unele pe altele. În această ipoteză, fiecare fibră este deformată izolat, experimentând o simplă tensiune sau compresie, în care. Luând în considerare (6.2)

, (6.3)

adică tensiunile normale sunt direct proporționale cu distanțele punctelor de secțiune transversală luate în considerare față de axa neutră.

Să substituim dependența (6.3) în expresia pentru momentul încovoietor în secțiunea transversală (6.1)

Reamintim că integrala reprezintă momentul de inerție al secțiunii în raport cu axa

(6.4)

Dependența (6.4) reprezintă legea lui Hooke pentru încovoiere, deoarece conectează deformația (curbura stratului neutru) cu momentul care acționează în secțiune. Produsul se numește rigiditatea la încovoiere a secțiunii, N m 2.

Să înlocuim (6.4) în (6.3)

(6.5)

Aceasta este formula necesară pentru determinarea tensiunilor normale în timpul îndoirii pure a unei grinzi în orice punct al secțiunii sale transversale.

Pentru Pentru a stabili unde se află linia neutră în secțiune transversală, înlocuim valoarea tensiunilor normale în expresia forței longitudinale și momentului încovoietor.

Din moment ce,

Că

(6.6)

(6.7)

Egalitatea (6.6) indică faptul că axa , axa neutră a secțiunii , trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.

Egalitatea (6.7) arată că și sunt principalele axe centrale ale secțiunii.

Conform (6.5), cea mai mare tensiune se realizează în fibrele cele mai îndepărtate de linia neutră

Raportul reprezintă momentul axial de rezistență al secțiunii față de axa centrală, adică

Semnificația celor mai simple secțiuni transversale este:

Pentru secțiune transversală dreptunghiulară

, (6.8)

unde este latura secțiunii perpendiculară pe axă;

Latura secțiunii este paralelă cu axa;

Pentru secțiune transversală rotundă

, (6.9)

unde este diametrul secțiunii transversale circulare.

Condiția de rezistență pentru tensiunile normale de încovoiere poate fi scrisă sub formă

(6.10)

Toate formulele obținute au fost obținute pentru cazul îndoirii pure a unei tije drepte. Acţiunea forţei transversale duce la faptul că ipotezele care stau la baza concluziilor îşi pierd puterea. Cu toate acestea, practica de calcul arată că chiar și în timpul îndoirii transversale a grinzilor și cadrelor, atunci când în secțiune, pe lângă momentul încovoietor, există și forță longitudinalăși forța de forfecare, puteți utiliza formulele date pentru îndoirea pură. Eroarea este nesemnificativă.

Determinarea forțelor tăietoare și a momentelor încovoietoare.

După cum sa menționat deja, cu îndoirea plană transversală în secțiunea transversală a grinzii, apar doi factori de forță interni și.

Înainte de determinare se determină reacţiile suporturilor grinzii (Fig. 6.3, a), compunând ecuaţii de echilibru static.

Pentru a determina si aplicam metoda sectiunii. In locul care ne intereseaza vom face o taiere mentala a grinzii, de exemplu, la distanta de suportul din stanga. Să aruncăm una dintre părțile grinzii, de exemplu pe cea dreaptă, și să luăm în considerare echilibrul părții din stânga (Fig. 6.3, b). Să înlocuim interacțiunea părților fasciculului cu forțe interne și.

Hai să instalăm urmând reguli semne pentru și:

Forța transversală într-o secțiune este pozitivă dacă vectorii săi tind să rotească secțiunea luată în considerare în sensul acelor de ceasornic;
Momentul încovoietor într-o secțiune este pozitiv dacă determină comprimarea fibrelor superioare.

Orez. .

Pentru a determina aceste forțe, folosim două ecuații de echilibru:

1. ; ; .

2. ;

Astfel,

a) forța transversală în secțiunea transversală a grinzii este numeric egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe axa transversală a secțiunii tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii;

b) momentul încovoietor în secțiunea transversală a grinzii este numeric egal cu suma algebrică a momentelor (calculate în raport cu centrul de greutate al secțiunii) forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii date.

În calculele practice, acestea sunt de obicei ghidate de următoarele:

Dacă sarcina externă tinde să rotească fasciculul în sensul acelor de ceasornic în raport cu secțiunea luată în considerare (Fig. 6.4, b), apoi în expresia pentru aceasta dă un termen pozitiv.
Dacă o sarcină externă creează un moment în raport cu secțiunea luată în considerare, provocând comprimarea fibrelor superioare ale grinzii (Fig. 6.4, a), atunci în expresia pentru din această secțiune dă un termen pozitiv.

Orez. .

Construirea de diagrame în grinzi.

Luați în considerare o grindă cu două suporturi(Fig. 6.5, a) . Fasciculul este acționat într-un punct de un moment concentrat, într-un punct de o forță concentrată și la o secțiune de o sarcină de intensitate distribuită uniform.

Să stabilim reacțiile de sprijin și(Fig. 6.5, b) . Rezultanta sarcinii distribuite este egală, iar linia sa de acțiune trece prin centrul secțiunii. Să creăm ecuații de moment despre punctele și.

Să determinăm forța tăietoare și momentul încovoietor într-o secțiune arbitrară situată într-o secțiune la distanță de punctul A(Fig. 6.5, c) .

(Fig. 6.5, d). Distanța poate varia în ().

Valoarea forței transversale nu depinde de coordonatele secțiunii, prin urmare, în toate secțiunile secțiunii, forțele transversale sunt aceleași și diagrama arată ca un dreptunghi. Moment de încovoiere

Momentul încovoietor variază liniar. Să determinăm ordonatele diagramei pentru limitele sitului.

Să determinăm forța tăietoare și momentul încovoietor într-o secțiune arbitrară situată într-o secțiune la distanță de punct(Fig. 6.5, d). Distanța poate varia în ().

Forța transversală variază liniar. Să definim limitele site-ului.

Moment de încovoiere

Diagrama momentelor încovoietoare din această secțiune va fi parabolică.

Pentru a determina valoarea extremă a momentului încovoietor, echivalăm cu zero derivata momentului încovoietor de-a lungul abscisei secțiunii:

De aici

Pentru o secțiune cu o coordonată, valoarea momentului încovoietor va fi

Ca rezultat, obținem diagrame ale forțelor transversale(Fig. 6.5, f) și momentele încovoietoare (Fig. 6.5, g).

Dependențe diferențiale în timpul îndoirii.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Aceste dependențe fac posibilă stabilirea unor caracteristici ale diagramelor de momente încovoietoare și forțe tăietoare:

N iar în zonele în care nu există sarcină distribuită, diagramele sunt limitate la linii drepte paralele cu linia zero a diagramei, iar diagramele în cazul general sunt linii drepte înclinate.

N iar în zonele în care grinda este aplicată o sarcină uniform distribuită, diagrama este limitată de linii drepte înclinate, iar diagrama este limitată de parabole pătratice cu o convexitate îndreptată în direcția opusă direcției sarcinii..

ÎN secțiuni, în care tangenta la diagramă este paralelă cu linia zero a diagramei.

N și în zonele în care momentul crește; în zonele în care momentul scade.

ÎN secțiunile în care sunt aplicate forțe concentrate pe grinda, diagrama va arăta salturi în funcție de magnitudinea forțelor aplicate, iar diagrama va arăta fracturile.

În secțiunile în care momentele concentrate sunt aplicate fasciculului, diagrama va arăta salturi ale mărimii acestor momente.

Ordonatele diagramei sunt proporționale cu tangentei unghiului de înclinare a tangentei la diagramă.

Îndoiți

Concepte de bază despre îndoire

Deformarea la încovoiere este caracterizată prin pierderea dreptății sau a formei originale de către linia fasciculului (axa acesteia) atunci când se aplică o sarcină externă. În acest caz, spre deosebire de deformarea prin forfecare, linia fasciculului își schimbă fără probleme forma.
Este ușor de observat că rezistența la îndoire este afectată nu numai de aria secțiunii transversale a grinzii (grindă, tijă etc.), ci și de forma geometrică a acestei secțiuni.

Deoarece îndoirea unui corp (grindă, cherestea etc.) este efectuată în raport cu orice axă, rezistența la încovoiere este afectată de valoarea momentului de inerție axial al secțiunii corpului față de această axă.
Pentru comparație, în timpul deformării de torsiune, secțiunea corpului este supusă răsucirii față de pol (punct), prin urmare, rezistența la torsiune este influențată de momentul polar de inerție al acestei secțiuni.

Multe elemente structurale se pot îndoi - axe, arbori, grinzi, dinți angrenaj, pârghii, tije etc.

În rezistența materialelor, sunt luate în considerare mai multe tipuri de îndoituri:
- in functie de natura sarcinii exterioare aplicate grinzii, exista curba purăŞi încovoiere transversală ;
- în funcție de locația planului de acțiune al sarcinii de încovoiere față de axa grinzii - curba dreaptăŞi îndoire oblică.

Îndoirea fasciculului pur și transversal

Încovoierea pură este un tip de deformare în care apare doar un moment încovoietor în orice secțiune transversală a grinzii ( orez. 2).
Deformarea pură la încovoiere va avea loc, de exemplu, dacă două perechi de forțe egale ca mărime și cu semn opus sunt aplicate unui fascicul drept într-un plan care trece prin axă. Apoi, în fiecare secțiune a grinzii vor acționa numai momentele încovoietoare.

Dacă îndoirea are loc ca urmare a aplicării unei forțe transversale asupra grinzii ( orez. 3), atunci o astfel de îndoire se numește transversală. În acest caz, în fiecare secțiune a grinzii, acționează atât o forță transversală, cât și un moment încovoietor (cu excepția secțiunii la care se aplică o sarcină externă).

Dacă fasciculul are cel puțin o axă de simetrie, iar planul de acțiune al sarcinilor coincide cu acesta, atunci are loc îndoirea directă, dar dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci are loc îndoirea oblică.

Când studiem deformația la încovoiere, ne vom imagina mental că grinda (cheresteaua) constă dintr-un număr nenumărat de fibre longitudinale paralele cu axa.
Pentru a vizualiza deformarea unei curbe drepte, vom efectua un experiment cu o bară de cauciuc pe care se aplică o grilă de linii longitudinale și transversale.
După ce a supus o astfel de grindă la îndoire dreaptă, se poate observa că ( orez. 1):

Liniile transversale vor rămâne drepte în timpul deformării, dar se vor întoarce în unghi unele față de altele;
- sectiunile grinzii se vor extinde in sens transversal pe latura concava si se vor ingusta pe latura convexa;
- liniile drepte longitudinale se vor îndoi.

Din această experiență putem concluziona că:

Pentru curbarea pură este valabilă ipoteza secțiunilor plane;
- fibrele situate pe partea convexă sunt întinse, pe partea concavă sunt comprimate, iar pe marginea dintre ele există un strat neutru de fibre care doar se îndoaie fără a-și schimba lungimea.

Presupunând că ipoteza lipsei presiunii asupra fibrelor este valabilă, se poate argumenta că la încovoiere pură în secțiunea transversală a grinzii apar doar tensiuni normale de tracțiune și compresiune, distribuite neuniform pe secțiunea transversală.
Se numește linia de intersecție a stratului neutru cu planul secțiunii transversale axa neutră. Este evident că pe axa neutră tensiunile normale sunt zero.

Momentul încovoietor și forța tăietoare

După cum se știe din mecanica teoretică, reacțiile de sprijin ale grinzilor sunt determinate prin alcătuirea și rezolvarea ecuațiilor de echilibru static pentru întregul fascicul. La rezolvarea problemelor de rezistență a materialelor și la determinarea factorilor de forță interni în grinzi, am ținut cont de reacțiile conexiunilor împreună cu sarcinile externe care acționează asupra grinzilor.
Pentru a determina factorii de forță interni, vom folosi metoda secțiunii și vom reprezenta fasciculul cu o singură linie - axa la care se aplică forțele active și reactive (sarcini și reacții de reacție).

Să luăm în considerare două cazuri:

1. Două perechi de forțe de semn egal și opus sunt aplicate unei grinzi.
Având în vedere echilibrul porțiunii de grinda situată în stânga sau în dreapta secțiunii 1-1 (Fig. 2), vedem că în toate secțiunile transversale apare doar un moment încovoietor M și egal cu momentul exterior. Astfel, acesta este un caz de îndoire pură.

Momentul încovoietor este momentul rezultat în jurul axei neutre a forțelor normale interne care acționează în secțiunea transversală a grinzii.

Să fim atenți la faptul că momentul încovoietor are direcție diferită pentru părțile din stânga și din dreapta ale grinzii. Aceasta indică inadecvarea regulii semnului static atunci când se determină semnul momentului încovoietor.

2. Forțele active și reactive (sarcini și reacții de reacție) perpendiculare pe ax sunt aplicate fasciculului (orez. 3). Având în vedere echilibrul părților grinzii situate în stânga și în dreapta, vedem că momentul încovoietor M trebuie să acționeze în secțiuni transversale. Şi și forța tăietoare Q.
De aici rezultă că în cazul în cauză, în punctele secțiunilor transversale există nu numai tensiuni normale corespunzătoare momentului încovoietor, ci și tensiuni tangente corespunzătoare forței transversale.

Forța transversală este rezultanta forțelor tangențiale interne în secțiunea transversală a grinzii.

Să acordăm atenție faptului că forța transversală are direcția opusă pentru părțile din stânga și din dreapta ale fasciculului, ceea ce indică inadecvarea regulii semnului static atunci când se determină semnul forței transversale.

Încovoierea, în care un moment încovoietor și o forță tăietoare acționează în secțiunea transversală a grinzii, se numește transversală.

Pentru o grindă care se află în echilibru de apă sub acțiunea unui sistem plan de forțe, suma algebrică a momentelor tuturor forțelor active și reactive relativ la orice punct este egală cu zero; prin urmare, suma momentelor forțelor exterioare care acționează asupra grinzii din stânga secțiunii este numeric egală cu suma momentelor tuturor forțelor externe care acționează asupra grinzii din dreapta secțiunii.
Astfel, momentul încovoietor în secțiunea grinzii este numeric egal cu suma algebrică a momentelor relativ la centrul de greutate al secțiunii tuturor forțelor externe care acționează asupra grinzii la dreapta sau la stânga secțiunii.

Pentru o grindă aflată în echilibru sub acțiunea unui sistem plan de forțe perpendicular pe axă (adică, un sistem de forțe paralele), suma algebrică a tuturor forțelor externe este egală cu zero; prin urmare, suma forțelor exterioare care acționează asupra grinzii din stânga secțiunii este numeric egală cu suma algebrică a forțelor care acționează asupra grinzii din dreapta secțiunii.
Astfel, forța transversală în secțiunea grinzii este numeric egală cu suma algebrică a tuturor forțelor externe care acționează la dreapta sau la stânga secțiunii.

Deoarece regulile semnelor statice sunt inacceptabile pentru stabilirea semnelor momentului încovoietor și forței tăietoare, vom stabili alte reguli de semn pentru ele, și anume: Dacă o sarcină externă tinde să îndoaie grinda cu convexitatea sa în jos, atunci momentul încovoietor în secțiunea este considerată pozitivă și invers, dacă sarcina externă tinde să îndoaie grinda cu o convexă în sus, atunci momentul încovoietor în secțiune este considerat negativ ( Fig 4, a).

Dacă suma forțelor externe care se află de-a lungul partea stângă din secțiune, dă o rezultantă îndreptată în sus, atunci forța transversală în secțiune este considerată pozitivă, dacă rezultanta este îndreptată în jos, atunci forța transversală în secțiune este considerată negativă; pentru partea din grinda situată în dreapta secțiunii, semnele forței tăietoare vor fi opuse ( orez. 4,b). Folosind aceste reguli, ar trebui să vă imaginați mental secțiunea grinzii ca fiind prinsă rigid, iar conexiunile ca fiind aruncate și înlocuite de reacții.

Să remarcăm încă o dată că pentru a determina reacțiile legăturilor se folosesc regulile semnelor de statică și pentru a determina semnele momentului încovoietor și al forței transversale se folosesc regulile semnelor de rezistență a materialelor.
Regula semnului pentru momentele de încovoiere este uneori numită „regula ploii”, ceea ce înseamnă că, în cazul unei convexități în jos, se formează o pâlnie în care este reținută apa de ploaie (semnul este pozitiv) și invers - dacă este sub influența încarcă fasciculul se îndoaie în sus într-un arc, nu există apă pe ea întârziată (semnul momentelor de încovoiere este negativ).

Materiale din secțiunea „Îndoire”:

Pentru o grindă cantilever încărcată cu o sarcină distribuită de intensitate kN/m și un moment concentrat de kN m (Fig. 3.12), este necesar să: construiți diagrame ale forțelor tăietoare și momentelor încovoietoare, selectați o grindă de secțiune transversală circulară cu o solicitare normală admisibilă kN/cm2 și verificați rezistența grinzii în funcție de solicitările tangenţiale cu efortul tangenţial admisibil kN/cm2. Dimensiunile grinzii m; m; m.

Schema de calcul pentru problema îndoirii transversale directe

Orez. 3.12

Rezolvarea problemei „încovoiere transversală dreaptă”

Determinarea reacțiilor de sprijin

Reacția orizontală în ansamblu este zero, deoarece sarcinile externe pe direcția axei z nu acționează asupra fasciculului.

Alegem direcțiile forțelor reactive rămase care apar în înglobare: vom direcționa reacția verticală, de exemplu, în jos, iar momentul – în sensul acelor de ceasornic. Valorile lor sunt determinate din ecuațiile statice:

Când compunem aceste ecuații, considerăm că momentul este pozitiv când se rotește în sens invers acelor de ceasornic, iar proiecția forței este pozitivă dacă direcția acesteia coincide cu direcția pozitivă a axei y.

Din prima ecuație găsim momentul la sigiliu:

Din a doua ecuație - reacție verticală:

Primit de noi valori pozitive pentru moment și reacția verticală în înglobare indică faptul că le-am ghicit direcțiile.

În conformitate cu natura fixării și încărcării grinzii, împărțim lungimea acesteia în două secțiuni. De-a lungul limitelor fiecăreia dintre aceste secțiuni vom schița patru secțiuni transversale (vezi Fig. 3.12), în care vom folosi metoda secțiunilor (ROZU) pentru a calcula valorile forțelor tăietoare și momentelor încovoietoare.

Secțiunea 1. Să aruncăm mental partea dreaptă a fasciculului. Să înlocuim acțiunea sa pe partea stângă rămasă cu o forță de tăiere și un moment de încovoiere. Pentru confortul calculării valorilor acestora, să acoperim partea dreaptă aruncată a grinzii cu o bucată de hârtie, aliniind marginea stângă a foii cu secțiunea luată în considerare.

Să ne amintim că forța tăietoare care apare în orice secțiune transversală trebuie să echilibreze toate forțele externe (active și reactive) care acționează asupra părții grinzii care este considerată (adică vizibilă) de noi. Prin urmare, forța de forfecare trebuie să fie egală cu suma algebrică a tuturor forțelor pe care le vedem.

Să prezentăm și regula semnelor pentru forța de forfecare: o forță externă care acționează asupra părții grinzii luate în considerare și care tinde să „roteze” această parte în raport cu secțiunea în sensul acelor de ceasornic determină o forță de forfecare pozitivă în secțiune. O astfel de forță externă este inclusă în suma algebrică pentru definiția cu semnul plus.

În cazul nostru, vedem doar reacția suportului, care rotește partea din fascicul vizibilă pentru noi față de prima secțiune (față de marginea bucății de hârtie) în sens invers acelor de ceasornic. De aceea

kN.

Momentul încovoietor în orice secțiune trebuie să echilibreze momentul creat de forțele exterioare vizibile pentru noi în raport cu secțiunea în cauză. În consecință, este egală cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor care acționează asupra părții grinzii pe care o luăm în considerare, raportată la secțiunea luată în considerare (cu alte cuvinte, raportată la marginea bucății de hârtie). În acest caz, sarcina externă, îndoirea părții grinzii luate în considerare cu convexitatea sa în jos, determină un moment încovoietor pozitiv în secțiune. Iar momentul creat de o astfel de încărcare este inclus în suma algebrică pentru determinare cu un semn „plus”.

Vedem două eforturi: reacția și momentul de închidere. Cu toate acestea, pârghia forței în raport cu secțiunea 1 este zero. De aceea

kNm.

Am luat semnul „plus” deoarece momentul reactiv îndoaie partea din fascicul vizibilă pentru noi cu o convexă în jos.

Secțiunea 2. Ca și mai înainte, vom acoperi toată partea dreaptă a grinzii cu o bucată de hârtie. Acum, spre deosebire de prima secțiune, forța are un umăr: m

kN; kNm.

Secțiunea 3. Închizând partea dreaptă a grinzii, găsim

kN;

Secțiunea 4. Acoperiți partea stângă a grinzii cu o foaie. Apoi

kNm.

Folosind valorile găsite, construim diagrame ale forțelor tăietoare (Fig. 3.12, b) și momentelor încovoietoare (Fig. 3.12, c).

În zonele neîncărcate, diagrama forțelor de forfecare merge paralel cu axa grinzii și sub o sarcină distribuită q - de-a lungul unei linii drepte înclinate în sus. Sub reacția de sprijin din diagramă există un salt în jos cu valoarea acestei reacții, adică cu 40 kN.

În diagrama momentelor încovoietoare vedem o rupere sub reacția de sprijin. Unghiul de îndoire este îndreptat către reacția de sprijin. Sub o sarcină distribuită q, diagrama se modifică de-a lungul unei parabole pătratice, a cărei convexitate este îndreptată spre sarcină. În secțiunea 6 a diagramei există un extremum, deoarece diagrama forței de forfecare în acest loc trece prin valoarea zero.

Determinați diametrul secțiunii transversale necesar al grinzii

Condiția normală de rezistență la stres are forma:

unde este momentul de rezistenţă al grinzii la încovoiere. Pentru o grindă cu secțiune transversală circulară este egală cu:

Cea mai mare valoare absolută a momentului încovoietor apare în a treia secțiune a grinzii: kN cm

Apoi, diametrul fasciculului necesar este determinat de formulă

cm.

Acceptăm mm. Apoi

kN/cm2 kN/cm2.

„Supratensiune” este

ceea ce este permis.

Verificăm rezistența grinzii prin cele mai mari solicitări tangenţiale

Cele mai mari solicitări de forfecare apar în secțiunea transversală a grinzii secțiune rotundă, sunt calculate prin formula

unde este aria secțiunii transversale.

Conform diagramei, cea mai mare valoare algebrică a forței tăietoare este egală cu kN. Apoi

kN/cm2 kN/cm2,

adică este satisfăcută și condiția de rezistență pentru tensiuni tangențiale și cu o marjă mare.

Un exemplu de rezolvare a problemei „încovoiere transversală dreaptă” nr. 2

Starea unui exemplu de problemă la îndoirea dreaptă transversală

Pentru o grindă susținută simplu, încărcată cu o sarcină distribuită de intensitate kN/m, forță concentrată kN și moment concentrat kN m (Fig. 3.13), este necesar să se construiască diagrame ale forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare și să se selecteze o grindă de grindă în I. secțiune transversală cu o efort normal admisibil kN/cm2 și efort tangenţial admisibil kN/cm2. Lungimea grinzii m.

Un exemplu de problemă de îndoire dreaptă - diagramă de calcul

Orez. 3.13

Rezolvarea unui exemplu de problemă la îndoirea dreaptă

Determinarea reacțiilor de sprijin

Pentru o grindă dată pur și simplu sprijinită, este necesar să se găsească trei reacții de sprijin: , și . Deoarece asupra grinzii acționează numai sarcini verticale perpendiculare pe axa acesteia, reacția orizontală a suportului articulat fix A este nulă: .

Direcțiile reacțiilor verticale sunt alese arbitrar. Să direcționăm, de exemplu, ambele reacții verticale în sus. Pentru a calcula valorile lor, să creăm două ecuații statice:

Să reamintim că rezultanta sarcinii liniare , distribuită uniform pe o secțiune de lungime l, este egală cu , adică egală cu aria diagramei acestei sarcini și se aplică la centrul de greutate al acesteia. diagramă, adică la mijlocul lungimii.

;

kN.

Să verificăm: .

Reamintim că forțele a căror direcție coincide cu direcția pozitivă a axei y sunt proiectate (proiectate) pe această axă cu semnul plus:

asta e adevarat.

Construim diagrame ale forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare

Împărțim lungimea fasciculului în secțiuni separate. Limitele acestor secțiuni sunt punctele de aplicare a forțelor concentrate (active și/sau reactive), precum și punctele corespunzătoare începutului și sfârșitului sarcinii distribuite. Există trei astfel de secțiuni în problema noastră. De-a lungul limitelor acestor secțiuni, vom schița șase secțiuni transversale, în care vom calcula valorile forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare (Fig. 3.13, a).

Secțiunea 1. Să aruncăm mental partea dreaptă a fasciculului. Pentru confortul calculării forței de forfecare și a momentului de încovoiere care apar în această secțiune, vom acoperi partea din grinda pe care am aruncat-o cu o bucată de hârtie, aliniind marginea stângă a foii de hârtie cu secțiunea în sine.

Forța de forfecare în secțiunea grinzii este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor externe (active și reactive) pe care le vedem. În acest caz, vedem reacția suportului și sarcina liniară q distribuită pe o lungime infinitezimală. Sarcina liniară rezultată este zero. De aceea

kN.

Semnul plus este luat deoarece forța rotește partea din fascicul vizibilă pentru noi față de prima secțiune (marginea unei bucăți de hârtie) în sensul acelor de ceasornic.

Momentul încovoietor în secțiunea grinzii este egal cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor pe care le vedem în raport cu secțiunea luată în considerare (adică relativ la marginea bucății de hârtie). Vedem reacția suportului și sarcina liniară q distribuite pe o lungime infinitezimală. Cu toate acestea, forța are un efect de pârghie de zero. Sarcina liniară rezultată este, de asemenea, zero. De aceea

Secțiunea 2. Ca și mai înainte, vom acoperi toată partea dreaptă a grinzii cu o bucată de hârtie. Acum vedem reacția și sarcina q acționând asupra unei secțiuni de lungime . Sarcina liniară rezultată este egală cu . Este atașat la mijlocul unei secțiuni de lungime. De aceea

Să ne amintim că atunci când determinăm semnul momentului încovoietor, eliberăm mental partea din grinda vizibilă pentru noi de toate elementele de fixare reale de susținere și ne imaginăm ca și cum ar fi ciupită în secțiunea luată în considerare (adică ne imaginăm mental marginea stângă). a unei bucăţi de hârtie ca înglobare rigidă).

Secțiunea 3. Închideți partea dreaptă. Primim

Secțiunea 4. Acoperiți partea dreaptă a grinzii cu o foaie. Apoi

Acum, pentru a verifica corectitudinea calculelor, să acoperim partea stângă a grinzii cu o bucată de hârtie. Vedem forța concentrată P, reacția suportului drept și sarcina liniară q distribuită pe o lungime infinitezimală. Sarcina liniară rezultată este zero. De aceea

kNm.

Adică totul este corect.

Secțiunea 5. Ca și mai înainte, închideți partea stângă a grinzii. Vom avea

kN;

kNm.

Secțiunea 6. Să închidem din nou partea stângă a grinzii. Primim

kN;

Utilizând valorile găsite, construim diagrame ale forțelor tăietoare (Fig. 3.13, b) și momentelor încovoietoare (Fig. 3.13, c).

Ne asigurăm că sub zona descărcată diagrama forțelor de forfecare se desfășoară paralel cu axa grinzii și sub o sarcină distribuită q - de-a lungul unei linii drepte înclinate în jos. Există trei salturi în diagramă: sub reacție - în sus cu 37,5 kN, sub reacție - în sus cu 132,5 kN și sub forța P - în jos cu 50 kN.

În diagrama momentelor încovoietoare vedem rupturi sub forța concentrată P și sub reacțiile de sprijin. Unghiurile de rupere sunt îndreptate spre aceste forțe. Sub o sarcină distribuită de intensitate q, diagrama se modifică de-a lungul unei parabole pătratice, a cărei convexitate este îndreptată spre sarcină. Sub momentul concentrat are loc un salt de 60 kN m, adică prin mărimea momentului însuși. În secțiunea 7 a diagramei există un extremum, deoarece diagrama forței de forfecare pentru această secțiune trece prin valoarea zero (). Să determinăm distanța de la secțiunea 7 până la suportul din stânga.

La îndoirea directă pură în secțiunea transversală a tijei, apare un singur factor de forță - momentul încovoietor M x(Fig. 1). Deoarece Q y =dM x /dz=0, Că M x=const și îndoirea dreaptă pură pot fi realizate atunci când tija este încărcată cu perechi de forțe aplicate în secțiunile de capăt ale tijei. De la momentul încovoietor M x prin definiţie egală cu suma momentelor forţelor interne raportate la axă Oh este legat de tensiunile normale prin ecuația statică care reiese din această definiție

Să formulăm premisele teoriei curbei drepte pure a unei tije prismatice. Pentru a face acest lucru, să analizăm deformațiile unui model de tijă dintr-un material cu modul scăzut, pe suprafața laterală a căreia se aplică o grilă de semne longitudinale și transversale (Fig. 2). Deoarece riscurile transversale atunci când tija este îndoită de perechi de forțe aplicate în secțiunile de capăt rămân drepte și perpendiculare pe riscurile longitudinale curbate, acest lucru ne permite să concluzionam că ipotezele secțiunii plane, care, după cum arată rezolvarea acestei probleme folosind metodele teoriei elasticității, încetează să mai fie o ipoteză, devenind fapt exact legea secțiunilor plane. Măsurând modificarea distanțelor dintre riscurile longitudinale, ajungem la concluzia că ipoteza despre nepresiunea fibrelor longitudinale este valabilă.

Ortogonalitatea zgârieturilor longitudinale și transversale înainte și după deformare (ca reflectare a acțiunii legii secțiunilor plane) indică, de asemenea, absența forfecării și a tensiunilor tangențiale în secțiunile transversale și longitudinale ale tijei.

Fig.1. Relația dintre efortul intern și tensiune

Fig.2. Model pur îndoit

Astfel, îndoirea dreaptă pură a unei tije prismatice este redusă la tensiune uniaxială sau compresie a fibrelor longitudinale prin tensiuni (indice G o vom omite în cele ce urmează). În acest caz, o parte din fibre se află în zona de tensiune (în Fig. 2 acestea sunt fibrele inferioare), iar cealaltă parte este în zona de compresie (fibre superioare). Aceste zone sunt separate printr-un strat neutru (pp), nu își schimbă lungimea, tensiunea la care este zero. Luând în considerare premisele formulate mai sus și presupunând că materialul tijei este liniar elastic, adică legea lui Hooke în acest caz are forma: , Să derivăm formule pentru curbura stratului neutru (raza de curbură) și tensiunile normale. Să remarcăm mai întâi că constanța secțiunii transversale a tijei prismatice și momentul încovoietor (M x =const), asigură raza de curbură constantă a stratului neutru de-a lungul lungimii tijei (Fig. 3, O), strat neutru (pp) descrisă de un arc de cerc.

Să considerăm o tijă prismatică în condiții de îndoire pură directă (Fig. 3, a) cu o secțiune transversală simetrică față de axa verticală Oh. Această condiție nu va afecta rezultatul final (pentru ca îndoirea dreaptă să fie posibilă, axa trebuie să coincidă Oh s axa principală de inerție a secțiunii transversale, care este axa de simetrie). Axă Bou așezați-l pe un strat neutru, poziționați pe cine necunoscut dinainte.

O) schema de proiectare, b) încordare și stres

Fig.3. Fragment dintr-o curbă curată a fasciculului

Luați în considerare un element tăiat dintr-o tijă cu lungime dz, care este prezentat pe o scară cu proporții distorsionate de dragul clarității în Fig. 3, b. Întrucât deformațiile elementului, determinate de deplasarea relativă a punctelor sale, prezintă interes, una dintre secțiunile de capăt ale elementului poate fi considerată staționară. Datorită micii lor, presupunem că punctele secțiunii transversale, atunci când sunt rotite de acest unghi, se mișcă nu de-a lungul arcurilor, ci de-a lungul tangentelor corespunzătoare.

Să calculăm deformația relativă a fibrei longitudinale AB, distanțate de stratul neutru de y:

Din asemănarea triunghiurilor C00 1Şi 0 1 BB 1 rezultă că

Deformația longitudinală s-a dovedit a fi o funcție liniară a distanței de la stratul neutru, care este o consecință directă a legii secțiunilor plane.

Această formulă nu este potrivită pentru utilizare practică, deoarece conține două necunoscute: curbura stratului neutru și poziția axei neutre Oh, de la care se măsoară coordonatele u. Pentru a determina aceste necunoscute, vom folosi ecuațiile de echilibru ale staticii. Prima exprimă cerința ca forța longitudinală să fie egală cu zero

Înlocuind expresia (2) în această ecuație

și ținând cont de asta, obținem asta

Integrala din partea stângă a acestei ecuații reprezintă momentul static al secțiunii transversale a tijei în jurul axei neutre Oh, care poate fi zero doar în raport cu axa centrală. Prin urmare axa neutră Oh trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.

A doua ecuație de echilibru static este una care relaționează tensiunile normale cu momentul încovoietor (care poate fi ușor exprimat în termeni de forțe externe și, prin urmare, este considerat o valoare dată). Înlocuind expresia pentru în ecuația de copula. tensiuni, obținem:

și având în vedere că Unde J x momentul central principal de inerție față de axă Oh, pentru curbura stratului neutru obținem formula

Fig.4. Distribuția normală a tensiunilor

care a fost obținut pentru prima dată de C. Coulomb în 1773. Pentru a coordona semnele momentului încovoietor M xși tensiuni normale, un semn minus este plasat în partea dreaptă a formulei (5), de când M x >0 tensiuni normale la y>0 se dovedesc a fi compresive. Cu toate acestea, în calculele practice, este mai convenabil, fără a adera la regula formală a semnelor, să se determine tensiunea prin valoare absolută și să se atribuie semnul în funcție de sensul său. Tensiunile normale în timpul îndoirii pure a unei tije prismatice sunt o funcție liniară a coordonatei lași ajunge cele mai mari valoriîn fibrele cele mai îndepărtate de axa neutră (Fig. 4), adică.

Aici a fost introdusă o caracteristică geometrică, care are o dimensiune de m 3 și se numește momentul încovoietor de rezistență. Din moment ce pentru un dat M x Voltaj max? cu cât mai puțin, cu atât mai mult Wx, momentul de rezistență este caracteristică geometrică rezistența la încovoiere în secțiune transversală. Să dăm exemple de calculare a momentelor de rezistență pentru cele mai simple forme de secțiuni transversale. Pentru o secțiune transversală dreptunghiulară (Fig. 5, O) avem J x =bh 3 /12,y max = h/2Şi W x = J x /y max = bh 2 /6.În mod similar, pentru un cerc (Fig. 5 ,a J x =d 4 /64, y max =d/2) primim W x =d 3/32, pentru o secțiune circulară inelară (Fig. 5, V), care are