उदाहरण

1.6 / 2 = 0.8; 4 / 5 = 0.8; ५.६/७ = ०.८ इ.

आनुपातिकता घटक

आनुपातिक प्रमाणांचे स्थिर गुणोत्तर म्हणतात आनुपातिकतेचे गुणांक. आनुपातिकता गुणांक एका प्रमाणातील किती युनिट्स दुसर्‍या एककावर पडतात हे दर्शविते.

थेट आनुपातिकता

थेट आनुपातिकता- कार्यात्मक अवलंबन, ज्यामध्ये काही प्रमाण दुसर्‍या प्रमाणावर अशा प्रकारे अवलंबून असते की त्यांचे गुणोत्तर स्थिर राहते. दुसऱ्या शब्दांत, हे चल बदलतात प्रमाणात, समान समभागांमध्ये, म्हणजे, जर वितर्क कोणत्याही दिशेने दोनदा बदलला असेल, तर फंक्शन देखील त्याच दिशेने दोनदा बदलते.

गणितानुसार, थेट आनुपातिकता सूत्र म्हणून लिहिली जाते:

f(x) = ax,a = consट

व्यस्त आनुपातिकता

व्यस्त प्रमाण- हे एक कार्यात्मक अवलंबन आहे, ज्यामध्ये स्वतंत्र मूल्य (वितर्क) मध्ये वाढ झाल्यामुळे अवलंबून मूल्य (फंक्शन) मध्ये प्रमाणात घट होते.

गणितीयदृष्ट्या, व्यस्त आनुपातिकता सूत्र म्हणून लिहिली जाते:

कार्य गुणधर्म:

स्रोत

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010

• न्यूटनचा दुसरा नियम
• Coulomb अडथळा

इतर शब्दकोशांमध्ये "थेट आनुपातिकता" काय आहे ते पहा:

थेट आनुपातिकता- - [ए.एस. गोल्डबर्ग. इंग्रजी रशियन ऊर्जा शब्दकोश. 2006] विषय ऊर्जा सर्वसाधारणपणे EN डायरेक्ट रेशो … तांत्रिक अनुवादकाचे हँडबुक

थेट आनुपातिकता- tyioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. थेट आनुपातिकता vok. direkte Proportionalitat, f rus. थेट आनुपातिकता, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

आनुपातिकता- (अक्षांश पासून. proportionalis proportionate, proportional). आनुपातिकता. रशियन भाषेत समाविष्ट परदेशी शब्दांचा शब्दकोश. चुडिनोव्ह ए.एन., 1910. प्रमाणता otlat. proportionalis, proportional. आनुपातिकता. 25000 चे स्पष्टीकरण...... रशियन भाषेतील परदेशी शब्दांचा शब्दकोश

आनुपातिकता- आनुपातिकता, आनुपातिकता, pl. नाही, मादी (पुस्तक). 1. विचलित होणे संज्ञा प्रमाणानुसार. भागांची समानता. शरीराचे प्रमाण. 2. परिमाणांमधील असा संबंध जेव्हा ते आनुपातिक असतात (आनुपातिक पहा ... शब्दकोशउशाकोव्ह

आनुपातिकता- दोन परस्पर अवलंबित परिमाणांना आनुपातिक म्हटले जाते जर त्यांच्या मूल्यांचे गुणोत्तर अपरिवर्तित राहते.. सामग्री 1 उदाहरण 2 आनुपातिकता गुणांक ... विकिपीडिया

आनुपातिकता- आनुपातिकता, आणि, बायका. 1. आनुपातिक पहा. 2. गणितात: प्रमाणांमधील असा संबंध, जेव्हा त्यांपैकी एकामध्ये वाढ झाल्यास दुसऱ्यामध्ये समान प्रमाणात बदल होतो. डायरेक्ट पी. (जेव्हा एका मूल्याच्या वाढीसह कट केले जाते ... ... ओझेगोव्हचा स्पष्टीकरणात्मक शब्दकोश

आनुपातिकता- आणि; आणि 1. प्रमाणानुसार (1 अंक); आनुपातिकता P. भाग. P. शरीरयष्टी. पी. संसदेत प्रतिनिधित्व. 2. गणित. प्रमाणानुसार बदलणाऱ्या परिमाणांमधील अवलंबित्व. आनुपातिकता घटक. डायरेक्ट पी. (ज्यात ... ... विश्वकोशीय शब्दकोश

थेट आणि व्यस्त आनुपातिकता

जर t हा चालण्याची वेळ (तासांमध्ये), s हे अंतर (किलोमीटरमध्ये) असेल, आणि तो 4 किमी/तास या वेगाने एकसारखा फिरत असेल, तर या प्रमाणांमधील संबंध s = 4t या सूत्राद्वारे व्यक्त केला जाऊ शकतो. t चे प्रत्येक मूल्य s च्या अनन्य मूल्याशी संबंधित असल्याने, आपण असे म्हणू शकतो की s = 4t सूत्र वापरून फंक्शन दिले आहे. त्याला थेट आनुपातिकता म्हणतात आणि खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे.

व्याख्या. थेट आनुपातिकता हे एक कार्य आहे जे y \u003d kx सूत्र वापरून निर्दिष्ट केले जाऊ शकते, जेथे k ही शून्य नसलेली वास्तविक संख्या आहे.

फंक्शनचे नाव y \u003d k x या वस्तुस्थितीमुळे आहे की y \u003d kx सूत्रामध्ये x आणि y व्हेरिएबल्स आहेत, जी परिमाणांची मूल्ये असू शकतात. आणि जर दोन मूल्यांचे गुणोत्तर शून्याव्यतिरिक्त काही संख्येइतके असेल तर त्यांना म्हणतात. थेट प्रमाणात . आमच्या बाबतीत = k (k≠0). या क्रमांकावर कॉल केला जातो आनुपातिकता घटक.

फंक्शन y \u003d k x हे गणिताच्या सुरुवातीच्या अभ्यासक्रमात आधीच विचारात घेतलेल्या अनेक वास्तविक परिस्थितींचे गणितीय मॉडेल आहे. त्यापैकी एक वर वर्णन केले आहे. दुसरे उदाहरण: जर एका पॅकेजमध्ये 2 किलो पीठ असेल आणि x अशी पॅकेजेस खरेदी केली गेली असतील, तर खरेदी केलेल्या पिठाचे संपूर्ण वस्तुमान (आम्ही ते y ने दर्शवतो) सूत्र y \u003d 2x म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते, म्हणजे. पॅकेजची संख्या आणि खरेदी केलेल्या पिठाचे एकूण वस्तुमान यांच्यातील संबंध k=2 गुणांकाशी थेट प्रमाणात आहे.

गणिताच्या शालेय अभ्यासक्रमात अभ्यासलेल्या थेट आनुपातिकतेचे काही गुणधर्म आठवा.

1. फंक्शनचे डोमेन y \u003d k x आणि त्याच्या मूल्यांचे डोमेन वास्तविक संख्यांचा संच आहे.

2. थेट आनुपातिकतेचा आलेख मूळमधून जाणारी सरळ रेषा आहे. म्हणून, थेट आनुपातिकतेचा आलेख तयार करण्यासाठी, फक्त एक बिंदू शोधणे पुरेसे आहे जो त्याच्याशी संबंधित आहे आणि उत्पत्तीशी एकरूप नाही आणि नंतर या बिंदूमधून आणि मूळमधून एक सरळ रेषा काढा.

उदाहरणार्थ, फंक्शन y = 2x प्लॉट करण्यासाठी, निर्देशांक (1, 2) सह बिंदू असणे पुरेसे आहे, आणि नंतर त्याद्वारे आणि मूळ (चित्र 7) द्वारे सरळ रेषा काढा.

3. k > 0 साठी, फंक्शन y = kx संपूर्ण व्याख्येच्या डोमेनवर वाढते; k साठी< 0 - убывает на всей области определения.

4. फंक्शन f ही थेट आनुपातिकता असल्यास आणि (x 1, y 1), (x 2, y 2) - x आणि y आणि x 2 ≠ 0 व्हेरिएबल्सच्या संबंधित मूल्यांच्या जोड्या.

खरंच, फंक्शन f थेट प्रमाणात असेल तर ते y \u003d kx आणि नंतर y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2 या सूत्राद्वारे दिले जाऊ शकते. x 2 ≠0 आणि k≠0 वर असल्याने, नंतर y 2 ≠0. म्हणून आणि अर्थ.

जर x आणि y व्हेरिएबल्सची मूल्ये सकारात्मक वास्तविक संख्या असतील, तर थेट आनुपातिकतेची सिद्ध केलेली मालमत्ता खालीलप्रमाणे तयार केली जाऊ शकते: व्हेरिएबल x च्या मूल्यात अनेक वेळा वाढ (कमी) सह, व्हेरिएबलचे संबंधित मूल्य त्याच रकमेने वाढते (कमी होते).

ही मालमत्ता केवळ थेट आनुपातिकतेमध्ये अंतर्भूत आहे आणि ती शब्द समस्या सोडवण्यासाठी वापरली जाऊ शकते ज्यामध्ये थेट आनुपातिक प्रमाणांचा विचार केला जातो.

कार्य 1. 8 तासांत, टर्नरने 16 भाग केले. 48 भाग बनवण्यासाठी टर्नरने समान उत्पादनक्षमतेवर काम केल्यास त्याला किती तास लागतील?

उपाय. समस्या प्रमाणांचा विचार करते - टर्नरचा कार्य वेळ, त्याने बनवलेल्या भागांची संख्या आणि उत्पादकता (म्हणजे, टर्नरने 1 तासात तयार केलेल्या भागांची संख्या), नंतरचे मूल्य स्थिर असणे आणि इतर दोन भिन्न मूल्ये घेणे. याशिवाय, बनवलेल्या भागांची संख्या आणि कामाची वेळ थेट प्रमाणात आहेत, कारण त्यांचे गुणोत्तर एका विशिष्ट संख्येइतके आहे जे शून्याच्या बरोबरीचे नाही, म्हणजे, टर्नरने 1 तासात बनवलेल्या भागांची संख्या. जर संख्या बनवलेल्या भागांचे y अक्षराने दर्शविले जाते, कामाची वेळ x आहे आणि कार्यप्रदर्शन - k, नंतर आपल्याला ते = k किंवा y = kx मिळते, म्हणजे. समस्येमध्ये सादर केलेल्या परिस्थितीचे गणितीय मॉडेल थेट आनुपातिकता आहे.

समस्येचे निराकरण दोन अंकगणित मार्गांनी केले जाऊ शकते:

1 मार्ग: 2 मार्ग:

1) 16:8 = 2 (मुले) 1) 48:16 = 3 (वेळा)

2) 48:2 = 24(h) 2) 8-3 = 24(h)

पहिल्या मार्गाने समस्येचे निराकरण करताना, आम्हाला प्रथम समानुपातिकता गुणांक k सापडला, तो 2 च्या बरोबरीचा आहे, आणि नंतर, y \u003d 2x हे जाणून, आम्हाला x चे मूल्य सापडले, परंतु y \u003d 48.

दुसर्‍या मार्गाने समस्या सोडवताना, आम्ही थेट आनुपातिकतेची मालमत्ता वापरली: टर्नरद्वारे बनविलेल्या भागांची संख्या किती पटीने वाढते, त्यांच्या उत्पादनासाठी लागणारा वेळ त्याच प्रमाणात वाढतो.

आता आपण व्यस्त आनुपातिकता नावाच्या फंक्शनच्या विचाराकडे वळू.

जर t ही पादचाऱ्याच्या हालचालीची वेळ असेल (तासांमध्ये), v हा त्याचा वेग (किमी/तास मध्ये) असेल आणि तो १२ किमी चालला असेल, तर या मूल्यांमधील संबंध v∙t = 20 किंवा सूत्राद्वारे व्यक्त केला जाऊ शकतो. v = .

t (t ≠ 0) चे प्रत्येक मूल्य वेग v च्या एका मूल्याशी संबंधित असल्याने, आपण असे म्हणू शकतो की v = सूत्र वापरून फंक्शन दिले आहे. त्याला व्यस्त आनुपातिकता म्हणतात आणि खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे.

व्याख्या. व्यस्त आनुपातिकता हे एक कार्य आहे जे y \u003d सूत्र वापरून निर्दिष्ट केले जाऊ शकते, जेथे k ही शून्य नसलेली वास्तविक संख्या आहे.

या फंक्शनचे नाव यावरून आले आहे y = x आणि y व्हेरिएबल्स आहेत, जी परिमाणांची मूल्ये असू शकतात. आणि जर दोन प्रमाणांचे गुणाकार शून्याव्यतिरिक्त काही संख्येइतके असतील तर त्यांना व्यस्त प्रमाणात म्हणतात. आमच्या बाबतीत, xy = k(k ≠ 0). या संख्येला k समानुपातिकतेचा गुणांक म्हणतात.

कार्य y = गणिताच्या सुरुवातीच्या अभ्यासक्रमात आधीच विचारात घेतलेल्या अनेक वास्तविक परिस्थितींचे गणितीय मॉडेल आहे. त्यापैकी एक व्याख्या आधी वर्णन केले आहे व्यस्त आनुपातिकता. दुसरे उदाहरण: जर तुम्ही 12 किलो पीठ विकत घेतले आणि ते प्रत्येकी l: y किलोच्या कॅनमध्ये ठेवले, तर या प्रमाणांमधील संबंध असे दर्शवले जाऊ शकतात. x-y= 12, i.e. ते k=12 गुणांकासह व्यस्त प्रमाणात आहे.

गणिताच्या शालेय अभ्यासक्रमातून ज्ञात असलेल्या व्यस्त प्रमाणाचे काही गुणधर्म आठवा.

1. फंक्शन स्कोप y = आणि त्याची श्रेणी x हा शून्य नसलेल्या वास्तविक संख्यांचा संच आहे.

2. व्यस्त आनुपातिकता आलेख हा हायपरबोला आहे.

3. k > 0 साठी, हायपरबोलाच्या शाखा 1ल्या आणि 3र्‍या चतुर्थांश आणि कार्यामध्ये स्थित आहेत y = x च्या संपूर्ण डोमेनवर कमी होत आहे (चित्र 8).

तांदूळ. 8 अंजीर.9

जेव्हा के< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = x च्या संपूर्ण डोमेनवर वाढत आहे (चित्र 9).

4. फंक्शन जर व्यस्त प्रमाणात असेल आणि (x 1, y 1), (x 2, y 2) x आणि y व्हेरिएबल्सच्या संबंधित मूल्यांच्या जोड्या असतील तर.

खरंच, फंक्शन जर व्यस्त प्रमाणात असेल, तर ते सूत्राद्वारे दिले जाऊ शकते y = , आणि मग . x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0 पासून, नंतर

जर x आणि y व्हेरिएबल्सची मूल्ये सकारात्मक वास्तविक संख्या असतील, तर व्यस्त प्रमाणाचा हा गुणधर्म खालीलप्रमाणे तयार केला जाऊ शकतो: x च्या मूल्यामध्ये अनेक वेळा वाढ (कमी) सह, व्हेरिएबलचे संबंधित मूल्य y समान प्रमाणात कमी होते (वाढते).

हा गुणधर्म केवळ व्यस्त आनुपातिकतेमध्ये अंतर्भूत आहे, आणि त्याचा वापर शब्द समस्या सोडवण्यासाठी केला जाऊ शकतो ज्यामध्ये व्यस्त प्रमाणात प्रमाण मानले जाते.

समस्या 2. एका सायकलस्वाराने, 10 किमी/तास वेगाने चालत, A ते B चे अंतर 6 तासात कापले.

उपाय. समस्या खालील प्रमाणांचा विचार करते: सायकलस्वाराचा वेग, हालचालीचा वेळ आणि A ते B पर्यंतचे अंतर, नंतरचे मूल्य स्थिर आहे आणि इतर दोन भिन्न मूल्ये घेत आहेत. याव्यतिरिक्त, हालचालीचा वेग आणि वेळ व्यस्त प्रमाणात आहे, कारण त्यांचे उत्पादन एका विशिष्ट संख्येच्या समान आहे, म्हणजे प्रवास केलेले अंतर. जर सायकलस्वाराच्या हालचालीची वेळ y अक्षराने दर्शविली असेल, वेग x असेल आणि अंतर AB k असेल, तर आपल्याला ते xy \u003d k किंवा y \u003d मिळेल, म्हणजे. समस्येमध्ये सादर केलेल्या परिस्थितीचे गणितीय मॉडेल व्यस्त आनुपातिकता आहे.

आपण समस्या दोन प्रकारे सोडवू शकता:

1 मार्ग: 2 मार्ग:

1) 10-6 = 60 (किमी) 1) 20:10 = 2 (वेळा)

२) ६०:२० = ३(४) २) ६:२ = ३(ता)

पहिल्या मार्गाने समस्येचे निराकरण करताना, आम्हाला प्रथम समानुपातिकता गुणांक k सापडला, तो 60 च्या बरोबरीचा आहे आणि नंतर, y \u003d हे जाणून, आम्हाला y चे मूल्य सापडले, जर ते x \u003d 20 असेल.

दुसर्‍या मार्गाने समस्या सोडवताना, आम्ही व्यस्त आनुपातिकता गुणधर्म वापरला: हालचालीचा वेग किती वेळा वाढतो, समान अंतर प्रवास करण्याची वेळ समान प्रमाणात कमी होते.

लक्षात घ्या की व्यस्त प्रमाणात किंवा थेट विशिष्ट समस्या सोडवताना आनुपातिक मूल्ये x आणि y वर काही निर्बंध लादले आहेत, विशेषतः, ते वास्तविक संख्यांच्या संपूर्ण संचावर नव्हे तर त्याच्या उपसंचांवर मानले जाऊ शकतात.

समस्या 3. लीनाने x पेन्सिल विकत घेतली आणि कात्याने 2 पट अधिक विकत घेतली. कात्याने y द्वारे विकत घेतलेल्या पेन्सिलची संख्या निर्दिष्ट करा, x द्वारे y व्यक्त करा आणि आलेख तयार करा स्थापित अनुपालनप्रदान केले की x≤5. ही जुळणी फंक्शन आहे का? त्याची व्याख्या आणि मूल्यांची श्रेणी काय आहे?

उपाय. कात्याने u = 2 पेन्सिल विकत घेतल्या. फंक्शन y=2x प्लॉट करताना, हे लक्षात घेतले पाहिजे की व्हेरिएबल x पेन्सिल आणि x≤5 ची संख्या दर्शवते, याचा अर्थ ते फक्त 0, 1, 2, 3, 4, 5. हे या फंक्शनचे डोमेन असेल. या फंक्शनची श्रेणी मिळविण्यासाठी, तुम्हाला परिभाषेच्या डोमेनमधील प्रत्येक मूल्य x 2 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे, म्हणजे. तो एक संच असेल (0, 2, 4, 6, 8, 10). म्हणून, परिभाषेच्या डोमेनसह y \u003d 2x फंक्शनचा आलेख (0, 1, 2, 3, 4, 5) आकृती 10 मध्ये दर्शविलेल्या बिंदूंचा संच असेल. हे सर्व बिंदू y \u003d रेषेशी संबंधित आहेत 2x

I. थेट आनुपातिक मूल्ये.

मूल्य द्या yआकारावर अवलंबून आहे एक्स. जर वाढीसह एक्सअनेक वेळा आकार येथेसमान घटकाने वाढते, नंतर अशी मूल्ये एक्सआणि येथेत्यांना थेट आनुपातिक म्हणतात.

उदाहरणे.

1 . खरेदी केलेल्या वस्तूंचे प्रमाण आणि खरेदीची किंमत (मालांच्या एका युनिटच्या निश्चित किंमतीवर - 1 तुकडा किंवा 1 किलो इ.) किती पटींनी जास्त माल घेतला, किती पट जास्त आणि पैसे दिले.

2 . प्रवास केलेले अंतर आणि त्यावर घालवलेला वेळ (स्थिर वेगाने). मार्ग किती वेळा लांब, किती वेळा आपण त्यावर खर्च करू.

3 . शरीराची मात्रा आणि त्याचे वस्तुमान. ( जर एक टरबूज दुसऱ्यापेक्षा 2 पट मोठा असेल तर त्याचे वस्तुमान 2 पट मोठे असेल)

II. प्रमाणांच्या थेट आनुपातिकतेचा गुणधर्म.

जर दोन परिमाण थेट प्रमाणात असतील, तर पहिल्या परिमाणाच्या दोन अनियंत्रित मूल्यांचे गुणोत्तर दुसऱ्या परिमाणाच्या दोन संबंधित मूल्यांच्या गुणोत्तरासारखे असते.

कार्य १.रास्पबेरी जाम साठी 12 किलोरास्पबेरी आणि 8 किलोसहारा. घेतल्यास साखर किती लागेल 9 किलोरास्पबेरी?

उपाय.

आम्ही असा युक्तिवाद करतो: ते आवश्यक असू द्या x किलोसाखर चालू आहे 9 किलोरास्पबेरी रास्पबेरीचे वस्तुमान आणि साखरेचे वस्तुमान थेट आनुपातिक आहेत: रास्पबेरी किती पट कमी आहे, त्याच प्रमाणात साखर आवश्यक आहे. म्हणून, घेतलेल्या (वजनानुसार) रास्पबेरीचे गुणोत्तर ( 12:9 ) घेतलेल्या साखरेच्या गुणोत्तराप्रमाणे असेल ( ८:x). आम्हाला प्रमाण मिळते:

12: 9=8: एक्स;

x=9 · 8: 12;

x=6. उत्तर:वर 9 किलोरास्पबेरी घेणे 6 किलोसहारा.

समस्येचे निराकरणअसे केले जाऊ शकते:

चालू द्या 9 किलोरास्पबेरी घेणे x किलोसहारा.

(आकृतीतील बाण एका दिशेने निर्देशित केले आहेत, आणि ते वर किंवा खाली फरक पडत नाही. अर्थ: संख्या किती वेळा 12 अधिक संख्या 9 , समान संख्या 8 अधिक संख्या एक्स, म्हणजे, येथे थेट अवलंबित्व आहे).

उत्तर:वर 9 किलोरास्पबेरी घेणे 6 किलोसहारा.

कार्य २.साठी कार 3 तासअंतर प्रवास केला 264 किमी. त्याला किती वेळ लागेल 440 किमीजर तो त्याच वेगाने प्रवास करत असेल तर?

उपाय.

साठी द्या x तासकार अंतर कापेल 440 किमी.

उत्तर:गाडी निघून जाईल 5 तासात 440 किमी.

§ 129. प्राथमिक स्पष्टीकरण.

मनुष्य सतत विविध प्रमाणात व्यवहार करतो. कर्मचारी आणि कामगार सेवेत जाण्याचा प्रयत्न करतात, ठराविक वेळेत काम करतात, पादचारी सर्वात लहान मार्गाने ठराविक ठिकाणी पोहोचण्याची घाई करतात, स्टीम हीटिंग स्त्रोत काळजी करतात की बॉयलरमधील तापमान हळूहळू वाढत आहे, व्यवसाय व्यवस्थापक उत्पादन खर्च कमी करण्यासाठी योजना बनवते, इ.

अशी कितीही उदाहरणे देता येतील. वेळ, अंतर, तापमान, खर्च - या सर्व विविध परिमाण आहेत. या पुस्तकाच्या पहिल्या आणि दुसऱ्या भागात, आम्ही काही विशेषतः सामान्य प्रमाणांशी परिचित झालो: क्षेत्रफळ, खंड, वजन. भौतिकशास्त्र आणि इतर विज्ञानांच्या अभ्यासात आपल्याला अनेक गोष्टी आढळतात.

कल्पना करा की तुम्ही ट्रेनमध्ये आहात. वेळोवेळी तुम्ही तुमच्या घड्याळाकडे पाहता आणि तुम्ही आधीच किती वेळ रस्त्यावर आहात हे लक्षात येते. तुम्ही म्हणाल, उदाहरणार्थ, तुमची ट्रेन सुटल्यापासून 2, 3, 5, 10, 15 तास वगैरे निघून गेले आहेत. हे आकडे विविध कालावधी दर्शवतात; त्यांना या प्रमाणाची (वेळ) मूल्ये म्हणतात. किंवा तुम्ही खिडकीबाहेर बघता आणि तुमची ट्रेन जितक्या अंतरावर जाते तितक्या अंतरासाठी रस्त्याच्या खांबाचे अनुसरण करा. तुमच्यासमोर 110, 111, 112, 113, 114 किमी हे अंक चमकतील. हे आकडे ट्रेनने निघण्याच्या ठिकाणापासून प्रवास केलेले विविध अंतर दर्शवतात. त्यांना मूल्ये देखील म्हणतात, यावेळी भिन्न मूल्यासह (दोन बिंदूंमधील मार्ग किंवा अंतर). अशाप्रकारे, एक मूल्य, उदाहरणार्थ, वेळ, अंतर, तापमान, कोणत्याही वर घेऊ शकते भिन्न अर्थ.

या वस्तुस्थितीकडे लक्ष द्या की एखादी व्यक्ती जवळजवळ कधीच केवळ एक मूल्य मानत नाही, परंतु नेहमी काही इतर मूल्यांशी जोडते. त्याला एकाच वेळी दोन, तीन आणि अधिक प्रमाणात सामोरे जावे लागते. कल्पना करा की तुम्हाला 9 वाजेपर्यंत शाळेत पोहोचणे आवश्यक आहे. तुम्ही तुमच्या घड्याळाकडे पहा आणि तुमच्याकडे 20 मिनिटे आहेत. मग तुम्ही पटकन ठरवता की तुम्ही ट्राम घ्यायची की तुम्हाला शाळेत चालायला वेळ मिळेल. विचार केल्यावर तुम्ही चालायचे ठरवता. लक्षात घ्या की तुम्ही विचार करत असताना, तुम्ही काही समस्या सोडवत आहात. हे कार्य सोपे आणि परिचित झाले आहे, कारण आपण दररोज अशा समस्या सोडवता. त्यामध्ये, तुम्ही अनेक मूल्यांची त्वरीत तुलना केली. तुम्हीच घड्याळाकडे पाहिले, म्हणजे तुम्ही वेळ लक्षात घेतली, मग तुम्ही मानसिकदृष्ट्या तुमच्या घरापासून शाळेच्या अंतराची कल्पना केली; शेवटी, तुम्ही दोन प्रमाणांची तुलना केली: तुमच्या पावलाचा वेग आणि ट्रामचा वेग, आणि असा निष्कर्ष काढला की दिलेल्या वेळेत (20 मिनिटे) तुम्हाला चालायला वेळ मिळेल. या एक साधे उदाहरणआपण पाहतो की आपल्या व्यवहारात काही प्रमाण एकमेकांशी जोडलेले आहेत, म्हणजेच ते एकमेकांवर अवलंबून आहेत

बाराव्या अध्यायात एकसंध प्रमाणांचे गुणोत्तर सांगितले आहे. उदाहरणार्थ, जर एक खंड 12 मीटर आणि दुसरा 4 मीटर असेल, तर या विभागांचे गुणोत्तर 12: 4 असेल.

आम्ही म्हटले की हे दोन एकसमान प्रमाणांचे गुणोत्तर आहे. दुसऱ्या शब्दांत, हे दोन संख्यांचे गुणोत्तर आहे एक नाव.

आता आपण परिमाणांशी अधिक परिचित झालो आहोत आणि प्रमाणाच्या मूल्याची संकल्पना मांडली आहे, आपण एका नवीन पद्धतीने संबंधांची व्याख्या सांगू शकतो. खरं तर, जेव्हा आम्ही 12 मीटर आणि 4 मीटरच्या दोन खंडांचा विचार केला, तेव्हा आम्ही एका मूल्याबद्दल बोलत होतो - लांबी आणि 12 मीटर आणि 4 मीटर या मूल्याची फक्त दोन भिन्न मूल्ये होती.

म्हणून, भविष्यात, जेव्हा आपण गुणोत्तराबद्दल बोलू लागतो, तेव्हा आपण काही परिमाणांपैकी एकाची दोन मूल्ये विचारात घेऊ आणि एका परिमाणाच्या एका मूल्याच्या दुसर्‍या मूल्याच्या गुणोत्तराला भागाकार भाग म्हणू. दुसऱ्याने पहिले मूल्य.

§ 130. परिमाण थेट प्रमाणात आहेत.

अशा समस्येचा विचार करा ज्याच्या स्थितीत दोन प्रमाण समाविष्ट आहेत: अंतर आणि वेळ.

कार्य १.एक शरीर सरळ रेषेत हलते आणि प्रत्येक सेकंदात 12 सेमी समानतेने जाते. शरीराने 2, 3, 4, ..., 10 सेकंदात प्रवास केलेला मार्ग निश्चित करा.

चला एक सारणी बनवू ज्याद्वारे वेळ आणि अंतरातील बदलाचे निरीक्षण करणे शक्य होईल.

सारणी आम्हाला या दोन मालिका मूल्यांची तुलना करण्याची संधी देते. यावरून आपण पाहतो की जेव्हा पहिल्या राशीची (वेळ) मूल्ये हळूहळू 2, ​​3, ..., 10 पटीने वाढतात, तेव्हा दुसऱ्या प्रमाणाची (अंतर) मूल्येही 2, 3 ने वाढतात, ..., 10 वेळा. अशाप्रकारे, जेव्हा एका प्रमाणाची मूल्ये अनेक पटीने वाढतात तेव्हा दुसर्‍या प्रमाणाची मूल्ये त्याच रकमेने वाढतात आणि जेव्हा एका परिमाणाची मूल्ये अनेक वेळा कमी होतात तेव्हा दुसर्‍या प्रमाणाची मूल्ये कमी होतात. समान रक्कम.

आता अशा दोन प्रमाणांचा समावेश असलेल्या समस्येचा विचार करा: पदार्थाचे प्रमाण आणि त्याची किंमत.

कार्य २. 15 मीटर फॅब्रिकची किंमत 120 रूबल आहे. टेबलमध्ये दर्शविलेल्या मीटरच्या इतर अनेक परिमाणांसाठी या फॅब्रिकची किंमत मोजा.

या तक्त्यावरून, एखाद्या वस्तूचे प्रमाण वाढल्यावर त्याचे मूल्य हळूहळू कसे वाढते हे आपण पाहू शकतो. या समस्येमध्ये पूर्णपणे भिन्न प्रमाण दिसून येत असूनही (पहिल्या समस्येमध्ये - वेळ आणि अंतर आणि येथे - वस्तूंचे प्रमाण आणि त्याची किंमत), तरीही, या प्रमाणांच्या वर्तनात मोठी समानता आढळू शकते.

खरंच, टेबलच्या वरच्या ओळीत फॅब्रिकच्या मीटरची संख्या दर्शविणारी संख्या आहेत, त्या प्रत्येकाच्या खाली वस्तूंच्या संबंधित प्रमाणाची किंमत व्यक्त करणारी संख्या लिहिली आहे. या तक्त्यावर सरसरी नजर टाकली तरी वरच्या आणि खालच्या दोन्ही पंक्तींमध्ये संख्या वाढत असल्याचे दिसून येते; सारणीचे बारकाईने परीक्षण केल्यावर आणि वैयक्तिक स्तंभांची तुलना करताना, असे दिसून येते की सर्व प्रकरणांमध्ये दुसऱ्या प्रमाणाची मूल्ये पहिल्या वाढीच्या मूल्यांप्रमाणेच वाढतात, म्हणजे जर पहिल्या प्रमाणाचे मूल्य 10 पट वाढले आहे, म्हणा, तर दुसऱ्या मूल्याचे मूल्य देखील 10 पट वाढले.

जर आपण सारणी उजवीकडून डावीकडे पाहिली, तर आपल्याला आढळेल की प्रमाणांची सूचित मूल्ये समान संख्येने कमी होतील. या अर्थाने, पहिले कार्य आणि दुसरे कार्य यात बिनशर्त समानता आहे.

पहिल्या आणि दुस-या समस्यांमध्ये आपल्याला भेटलेल्या प्रमाणांच्या जोड्या म्हणतात थेट प्रमाणात.

अशाप्रकारे, जर दोन परिमाण एकमेकांशी अशा प्रकारे जोडलेले असतील की त्यापैकी एकाच्या मूल्यात अनेक वेळा वाढ (कमी) झाल्यास, दुसर्‍याचे मूल्य समान प्रमाणात वाढते (कमी होते), तर अशा प्रमाणांना थेट आनुपातिक म्हणतात.

ते अशा प्रमाणांबद्दल देखील म्हणतात की ते थेट आनुपातिक अवलंबनाने एकमेकांशी जोडलेले आहेत.

निसर्गात आणि आपल्या सभोवतालच्या जीवनात असे अनेक प्रमाण आहेत. येथे काही उदाहरणे आहेत:

1. वेळकाम (एक दिवस, दोन दिवस, तीन दिवस इ.) आणि कमाईया वेळी दिवसाच्या मजुरीवर प्राप्त होते.

2. खंडपासून बनवलेली कोणतीही वस्तू एकसंध साहित्य, आणि वजनहा आयटम.

§ 131. थेट प्रमाणात प्रमाणांची मालमत्ता.

चला एक कार्य घेऊ ज्यामध्ये खालील दोन प्रमाणांचा समावेश आहे: कामाचा वेळ आणि कमाई. जर दैनंदिन कमाई 20 रूबल असेल, तर 2 दिवसांची कमाई 40 रूबल इत्यादी असेल. एक टेबल काढणे सर्वात सोयीचे आहे ज्यामध्ये विशिष्ट कमाई विशिष्ट दिवसांच्या संख्येशी संबंधित असेल.

या तक्त्याकडे पाहिल्यास, आपण पाहतो की दोन्ही प्रमाणांनी 10 भिन्न मूल्ये घेतली आहेत. पहिल्या मूल्याचे प्रत्येक मूल्य दुसऱ्या मूल्याच्या विशिष्ट मूल्याशी संबंधित आहे, उदाहरणार्थ, 40 रूबल 2 दिवसांशी संबंधित आहेत; 5 दिवस 100 रूबलशी संबंधित आहेत. तक्त्यामध्ये, हे आकडे एकमेकांच्या खाली लिहिलेले आहेत.

आम्हाला आधीच माहित आहे की जर दोन प्रमाण थेट प्रमाणात असतील, तर त्यातील प्रत्येक, त्याच्या बदलाच्या प्रक्रियेत, इतर वाढल्याप्रमाणे समान प्रमाणात वाढतात. यावरून लगेचच पुढे येते: जर आपण पहिल्या प्रमाणातील कोणत्याही दोन मूल्यांचे गुणोत्तर घेतले तर ते दुसऱ्या प्रमाणाच्या दोन संबंधित मूल्यांच्या गुणोत्तरासारखे असेल. खरंच:

असे का होत आहे? परंतु ही मूल्ये थेट प्रमाणात असल्यामुळे, म्हणजे, जेव्हा त्यापैकी एक (वेळ) 3 पटीने वाढला, तर दुसरा (कमाई) 3 पटीने वाढला.

म्हणून आम्ही खालील निष्कर्षावर पोहोचलो आहोत: जर आपण पहिल्या परिमाणाची कोणतीही दोन मूल्ये घेतली आणि त्यांना एकाने विभाजित केले आणि नंतर दुसर्‍या परिमाणाची संबंधित मूल्ये दुसर्‍याने भागली, तर दोन्ही प्रकरणांमध्ये एक आणि समान संख्या प्राप्त होईल, म्हणजे, समान संबंध. याचा अर्थ असा की आम्ही वर लिहिलेले दोन संबंध समान चिन्हाने जोडले जाऊ शकतात, म्हणजे.

जर आपण ही नाती न ठेवता, इतर, आणि त्या क्रमाने नव्हे, तर उलट दिशेने घेतली, तर आपल्यालाही संबंधांची समानता मिळेल यात शंका नाही. खरंच, आम्ही आमच्या प्रमाणांच्या मूल्यांचा डावीकडून उजवीकडे विचार करू आणि तिसरी आणि नववी मूल्ये घेऊ:

60:180 = 1 / 3 .

म्हणून आम्ही लिहू शकतो:

हे खालील निष्कर्ष सूचित करते: जर दोन परिमाण थेट प्रमाणात असतील, तर पहिल्या परिमाणाच्या दोन अनियंत्रितपणे घेतलेल्या मूल्यांचे गुणोत्तर दुसऱ्या परिमाणाच्या दोन संबंधित मूल्यांच्या गुणोत्तरासारखे असते.

§ 132. थेट आनुपातिकतेचे सूत्र.

चला विविध प्रमाणात मिठाईच्या किंमतीचे एक टेबल बनवू, जर त्यापैकी 1 किलोची किंमत 10.4 रूबल असेल.

आता अशा प्रकारे करू. दुसऱ्या ओळीची कोणतीही संख्या घेऊ आणि ती पहिल्या ओळीच्या संबंधित संख्येने भागू. उदाहरणार्थ:

तुम्हाला दिसेल की भागफलात तीच संख्या नेहमी प्राप्त होते. म्हणून, दिलेल्या थेट प्रमाणात प्रमाणांच्या जोडीसाठी, एका परिमाणाच्या कोणत्याही मूल्याला दुसर्‍या परिमाणाच्या संबंधित मूल्याने विभाजित करण्याचा भागांक ही स्थिर संख्या आहे (म्हणजे बदलत नाही). आमच्या उदाहरणात, हा भाग 10.4 आहे. या स्थिर संख्येला आनुपातिकता घटक म्हणतात. या प्रकरणात, ते मोजमापाच्या युनिटची किंमत व्यक्त करते, म्हणजे, एक किलोग्रॅम वस्तू.

आनुपातिकता घटक कसा शोधायचा किंवा मोजायचा? हे करण्यासाठी, तुम्हाला एका परिमाणाचे कोणतेही मूल्य घ्यावे लागेल आणि ते दुसर्‍याच्या संबंधित मूल्याने विभाजित करावे लागेल.

एका परिमाणाचे हे अनियंत्रित मूल्य अक्षराद्वारे दर्शवू येथे , आणि दुसर्‍या प्रमाणाचे संबंधित मूल्य - अक्षर एक्स , नंतर आनुपातिकतेचे गुणांक (आम्ही ते दर्शवतो ला) विभाजित करून शोधा:

या समानतेत येथे - विभाज्य एक्स - विभाजक आणि ला- भागाकार, आणि भागाकाराच्या मालमत्तेनुसार, लाभांश भागाकाराने गुणाकार केलेल्या भागाकाराच्या बरोबरीचा असल्याने, आपण लिहू शकतो:

y =के x

परिणामी समानता म्हणतात थेट आनुपातिकतेचे सूत्र.या सूत्राचा वापर करून, जर आपल्याला इतर प्रमाणातील संबंधित मूल्ये आणि समानुपातिकतेचा गुणांक माहित असेल तर आपण प्रत्यक्ष प्रमाणातील एका प्रमाणातील कितीही मूल्यांची गणना करू शकतो.

उदाहरण.भौतिकशास्त्रावरून आपल्याला कळते की वजन आरकोणत्याही शरीराचे त्याच्या विशिष्ट गुरुत्वाकर्षणाच्या बरोबरीचे असते d या शरीराच्या आवाजाने गुणाकार व्ही, म्हणजे आर = dव्ही.

विविध आकारांचे पाच लोखंडी पिंड घ्या; जाणून घेणे विशिष्ट गुरुत्वलोह (7,8), आपण सूत्र वापरून या रिक्त स्थानांचे वजन मोजू शकतो:

आर = 7,8 व्ही.

या सूत्राची सूत्राशी तुलना करणे येथे = ला एक्स , आम्ही ते पाहतो y = आर, x = व्ही, आणि आनुपातिकतेचे गुणांक ला= 7.8. सूत्र एकच आहे, फक्त अक्षरे वेगळी आहेत.

या सूत्राचा वापर करून, एक सारणी बनवू: 1ल्या रिक्त स्थानाची मात्रा 8 घनमीटर असू द्या. cm, नंतर त्याचे वजन 7.8 8 \u003d 62.4 (g) आहे. दुस-या रिक्त स्थानाचे प्रमाण 27 घनमीटर आहे. cm. त्याचे वजन 7.8 27 \u003d 210.6 (g) आहे. टेबल असे दिसेल:

सूत्र वापरून या सारणीमध्ये नसलेल्या संख्यांची स्वतः गणना करा आर= dव्ही.

§ 133. थेट आनुपातिक परिमाणांसह समस्या सोडवण्याचे इतर मार्ग.

मागील परिच्छेदामध्ये, आम्ही समस्येचे निराकरण केले, ज्याच्या स्थितीत थेट आनुपातिक प्रमाण समाविष्ट होते. या उद्देशासाठी, आम्ही पूर्वी थेट आनुपातिकता सूत्र प्राप्त केले आणि नंतर हे सूत्र लागू केले. आता आपण समान समस्या सोडवण्याचे आणखी दोन मार्ग दाखवू.

मागील परिच्छेदाच्या सारणीमध्ये दिलेल्या संख्यात्मक डेटानुसार समस्या बनवू.

एक कार्य. 8 क्यूबिक मीटरच्या व्हॉल्यूमसह रिक्त. सेमीचे वजन 62.4 ग्रॅम आहे. 64 घनमीटरच्या आकारमानाच्या रिकाम्याचे वजन किती असेल? सेमी?

उपाय.लोखंडाचे वजन, जसे तुम्हाला माहिती आहे, त्याच्या आकारमानाच्या प्रमाणात असते. जर 8 cu. सेमी वजन 62.4 ग्रॅम, नंतर 1 घन. सेमीचे वजन 8 पट कमी असेल, म्हणजे

62.4: 8 = 7.8 (g).

64 क्यूबिक मीटरच्या व्हॉल्यूमसह रिक्त. cm चे वजन 1 cu च्या रिक्त पेक्षा 64 पट जास्त असेल. सेमी, म्हणजे

7.8 64 = 499.2(g).

आम्ही आमची समस्या एकात्मता कमी करून सोडवली. या नावाचा अर्थ या वस्तुस्थितीद्वारे न्याय्य आहे की ते सोडवण्यासाठी, आपल्याला पहिल्या प्रश्नात एकक खंडाचे वजन शोधावे लागले.

2. प्रमाण पद्धत.प्रमाण पद्धत वापरून समान समस्या सोडवू.

लोखंडाचे वजन आणि त्याचे प्रमाण प्रत्यक्ष प्रमाणात प्रमाण असल्यामुळे, एका परिमाणाच्या (व्हॉल्यूम) दोन मूल्यांचे गुणोत्तर हे दुसर्‍या प्रमाणाच्या (वजन) दोन संबंधित मूल्यांच्या गुणोत्तरासारखे असते, म्हणजे.

(पत्र आरआम्ही रिक्त चे अज्ञात वजन सूचित केले आहे). येथून:

(जी).

प्रमाण पद्धतीद्वारे समस्या सोडवली जाते. याचा अर्थ ते सोडवण्यासाठी, स्थितीत समाविष्ट केलेल्या संख्येचे प्रमाण तयार केले गेले.

§ 134. परिमाण व्यस्त प्रमाणात आहेत.

खालील समस्येचा विचार करा: "पाच गवंडी जोडू शकतात विटांच्या भिंती 168 दिवस घरी. 10, 8, 6, इ. गवंडी हेच काम किती दिवसांत करू शकतात ते ठरवा.

जर 5 गवंडींनी 168 दिवसांत घराच्या भिंती खाली केल्या, तर (त्याच श्रमाच्या उत्पादकतेसह) 10 गवंडी ते दुप्पट वेगाने करू शकतात, कारण सरासरी 10 लोक 5 लोकांपेक्षा दुप्पट काम करतात.

चला एक सारणी बनवूया ज्यानुसार कामाचे तास आणि कामाचे तास यांच्यातील बदलाचे निरीक्षण करणे शक्य होईल.

उदाहरणार्थ, 6 कामगारांना किती दिवस लागतात हे शोधण्यासाठी, तुम्ही प्रथम एका कामगाराला किती दिवस लागतात (168 5 = 840), आणि नंतर सहा कामगार (840: 6 = 140) मोजले पाहिजेत. या तक्त्याकडे पाहिल्यास, आपण पाहतो की दोन्ही प्रमाणांनी सहा भिन्न मूल्ये घेतली आहेत. पहिल्या परिमाणाचे प्रत्येक मूल्य अधिक निश्चितपणे संबंधित आहे; दुसऱ्या मूल्याचे मूल्य, उदाहरणार्थ, 10 84 शी संबंधित आहे, क्रमांक 8 - संख्या 105, इ.

जर आपण डावीकडून उजवीकडे दोन्ही मूल्यांच्या मूल्यांचा विचार केला तर आपल्याला दिसेल की वरच्या मूल्याची मूल्ये वाढतात आणि खालच्या मूल्यांची मूल्ये कमी होतात. वाढ आणि घट खालील कायद्याच्या अधीन आहे: कामगारांच्या संख्येची मूल्ये जितक्या वेळा वाढतात तितक्या वेळा कामाच्या वेळेची मूल्ये कमी होतात. आणखी सोप्या पद्धतीने, ही कल्पना खालीलप्रमाणे व्यक्त केली जाऊ शकते: कोणत्याही व्यवसायात जितके जास्त कामगार काम करतात तितकेच त्यांना विशिष्ट काम करण्यासाठी कमी वेळ लागतो. या समस्येमध्ये आम्हाला आढळलेल्या दोन प्रमाणांना म्हणतात व्यस्त प्रमाणात.

अशाप्रकारे, जर दोन परिमाण एकमेकांशी जोडलेले असतील तर त्यापैकी एकाच्या मूल्यात अनेक वेळा वाढ (कमी) झाल्यास, दुसर्‍याचे मूल्य समान प्रमाणात कमी होते (वाढते) तर अशा प्रमाणांना व्यस्त प्रमाणात म्हणतात.

आयुष्यात अशा अनेक गोष्टी असतात. उदाहरणे देऊ.

1. जर 150 रूबलसाठी. आपल्याला अनेक किलोग्रॅम मिठाई खरेदी करण्याची आवश्यकता आहे, नंतर मिठाईची संख्या एक किलोग्रॅमच्या किंमतीवर अवलंबून असेल. या पैशाने जेवढी किंमत जास्त तेवढा कमी माल घेता येतो; हे टेबलवरून पाहिले जाऊ शकते:

मिठाईच्या किमतीत अनेक वेळा वाढ झाल्याने, 150 रूबलसाठी विकत घेतलेल्या किलोग्रॅम मिठाईची संख्या त्याच प्रमाणात कमी होते. या प्रकरणात, दोन प्रमाण (उत्पादनाचे वजन आणि त्याची किंमत) व्यस्त प्रमाणात आहेत.

2. जर दोन शहरांमधील अंतर 1,200 किमी असेल, तर ते हालचालींच्या गतीनुसार वेगवेगळ्या वेळी कव्हर केले जाऊ शकते. अस्तित्वात आहे वेगळा मार्गवाहतूक: पायी, घोड्यावरून, सायकलने, बोटीने, कारने, ट्रेनने, विमानाने. वेग जितका कमी असेल तितका जास्त वेळ हलवायला लागतो. हे टेबलवरून पाहिले जाऊ शकते:

वेग अनेक वेळा वाढल्याने, हालचालीचा वेळ त्याच प्रमाणात कमी होतो. म्हणून, दिलेल्या परिस्थितीत, वेग आणि वेळ व्यस्त प्रमाणात असतात.

§ 135. व्यस्त प्रमाणात प्रमाणांची मालमत्ता.

दुसरे उदाहरण घेऊ, ज्याचा आपण मागील परिच्छेदात विचार केला आहे. तिथे आम्ही दोन प्रमाणांशी व्यवहार करत होतो - हालचालीचा वेग आणि वेळ. जर आपण सारणीतील डावीकडून उजवीकडे या परिमाणांची मूल्ये विचारात घेतली तर आपल्याला दिसेल की पहिल्या प्रमाणाची (वेग) मूल्ये वाढतात आणि दुसऱ्या (वेळ) ची मूल्ये कमी होतात आणि जसजसा वेळ कमी होतो त्याच घटकाने वेग वाढतो.हे समजणे सोपे आहे की जर तुम्ही एका परिमाणाच्या काही मूल्यांचे गुणोत्तर लिहले तर ते दुसर्‍या परिमाणाच्या संबंधित मूल्यांच्या गुणोत्तरासारखे नसेल. खरंच, जर आपण वरच्या मूल्याच्या चौथ्या मूल्याचे सातव्या मूल्याचे (40: 80) गुणोत्तर घेतले तर ते खालच्या मूल्याच्या (30: 15) चौथ्या आणि सातव्या मूल्यांच्या गुणोत्तरासारखे होणार नाही. ). हे असे लिहिले जाऊ शकते:

40:80 हे 30:15 किंवा 40:80 =/= 30:15 च्या बरोबरीचे नाही.

परंतु जर यापैकी एका गुणोत्तराऐवजी आपण विरुद्ध गुण घेतले तर आपल्याला समानता मिळते, म्हणजेच या गुणोत्तरांमधून गुणोत्तर करणे शक्य होईल. उदाहरणार्थ:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

पूर्वगामीच्या आधारे, आपण खालील निष्कर्ष काढू शकतो: जर दोन परिमाण व्यस्त प्रमाणात असतील, तर एका परिमाणाच्या दोन अनियंत्रितपणे घेतलेल्या मूल्यांचे गुणोत्तर इतर परिमाणांच्या संबंधित मूल्यांच्या व्यस्त गुणोत्तरासारखे असते.

§ 136. व्यस्त आनुपातिकता सूत्र.

समस्येचा विचार करा: “वेगवेगळ्या आकाराच्या रेशीम फॅब्रिकचे 6 तुकडे आहेत आणि विविध जाती. सर्व तुकडे समान किंमत आहेत. एका तुकड्यात 20 रूबलच्या किंमतीत 100 मीटर फॅब्रिक. प्रति मीटर. उर्वरित पाच तुकड्यांपैकी प्रत्येकामध्ये किती मीटर आहेत, जर या तुकड्यांमधील एका मीटर फॅब्रिकची किंमत अनुक्रमे 25, 40, 50, 80, 100 रूबल असेल? या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी एक टेबल तयार करूया:

या सारणीच्या वरच्या ओळीतील रिकाम्या सेल भरायच्या आहेत. प्रथम दुसऱ्या तुकड्यात किती मीटर आहेत हे ठरवण्याचा प्रयत्न करूया. हे खालील प्रकारे केले जाऊ शकते. समस्येच्या स्थितीवरून हे ज्ञात आहे की सर्व तुकड्यांची किंमत समान आहे. पहिल्या तुकड्याची किंमत निश्चित करणे सोपे आहे: त्यात 100 मीटर आहे आणि प्रत्येक मीटरची किंमत 20 रूबल आहे, म्हणजे 2,000 रूबलसाठी रेशमाच्या पहिल्या तुकड्यात. रेशमाच्या दुसर्‍या तुकड्यात रुबलची समान संख्या असल्याने, 2,000 रूबल विभाजित करणे. एका मीटरच्या किमतीवर, म्हणजे 25 वर, आम्हाला दुसऱ्या तुकड्याचे मूल्य सापडते: 2,000: 25 = 80 (m). त्याच प्रकारे, आपण इतर सर्व तुकड्यांचा आकार शोधू. टेबल असे दिसेल:

हे पाहणे सोपे आहे की मीटरची संख्या आणि किंमत यांच्यात व्यस्त संबंध आहे.

जर तुम्ही स्वतः आवश्यक गणिते केलीत, तर तुमच्या लक्षात येईल की प्रत्येक वेळी तुम्हाला 2,000 या संख्येला 1 मीटरच्या किमतीने भागावे लागेल. याउलट, जर तुम्ही आता मीटरमधील तुकड्याचा आकार 1 मीटरच्या किमतीने गुणाकार करण्यास सुरुवात केली, तर तुम्ही नेहमी 2,000 नंबर मिळेल. आणि ते अपेक्षित होते, कारण प्रत्येक तुकड्याची किंमत 2,000 रूबल आहे.

यावरून आपण खालील निष्कर्ष काढू शकतो: दिलेल्या व्यस्त प्रमाणात प्रमाणांच्या जोडीसाठी, एका परिमाणाच्या कोणत्याही मूल्याचे दुसर्‍या परिमाणाच्या संबंधित मूल्याने केलेले गुणाकार ही स्थिर संख्या असते (म्हणजे बदलत नाही).

आमच्या समस्येमध्ये, हे उत्पादन 2,000 च्या बरोबरीचे आहे. तपासा की मागील समस्येमध्ये, ज्याने हालचालीचा वेग आणि एका शहरातून दुसऱ्या शहरात जाण्यासाठी लागणारा वेळ याबद्दल सांगितले होते, त्या समस्येसाठी एक स्थिर संख्या देखील होती (1,200).

म्हटल्या गेलेल्या सर्व गोष्टी विचारात घेतल्यास, व्यस्त आनुपातिकता सूत्र काढणे सोपे आहे. अक्षराद्वारे एका परिमाणाचे काही मूल्य दर्शवा एक्स , आणि दुसर्या मूल्याचे संबंधित मूल्य - अक्षर येथे . मग, वरील कामाच्या आधारे एक्स वर येथे काही स्थिर मूल्याच्या समान असणे आवश्यक आहे, जे आम्ही अक्षराद्वारे दर्शवितो ला, म्हणजे

x y = ला.

या समानतेत एक्स - गुणक, येथे - गुणक आणि के- काम. गुणाकाराच्या गुणधर्मानुसार, गुणक हा गुणाकाराने भागलेल्या गुणाकाराच्या समान असतो. म्हणजे,

हे व्यस्त आनुपातिकतेचे सूत्र आहे. त्याचा वापर करून, आपण एका व्यस्त प्रमाणातील प्रमाणांपैकी कितीही मूल्यांची गणना करू शकतो, दुसऱ्याची मूल्ये आणि स्थिर संख्या जाणून घेऊ शकतो. ला.

आणखी एका समस्येचा विचार करा: “एका निबंधाच्या लेखकाने गणना केली की जर त्याचे पुस्तक नेहमीच्या स्वरूपात असेल तर त्यात 96 पृष्ठे असतील, परंतु जर ते पॉकेट स्वरूप असेल तर त्यात 300 पृष्ठे असतील. त्याने प्रयत्न केला भिन्न रूपे, 96 पृष्ठांनी सुरुवात केली आणि नंतर त्याला प्रति पृष्ठ 2,500 अक्षरे मिळाली. मग त्याने खालील तक्त्यामध्ये दर्शविलेल्या पृष्ठांची संख्या घेतली आणि पृष्ठावर किती अक्षरे असतील याची पुन्हा गणना केली.

पुस्तकात 100 पाने असल्यास एका पानावर किती अक्षरे असतील ते मोजण्याचा प्रयत्न करू या.

2,500 96 = 240,000 पासून संपूर्ण पुस्तकात 240,000 अक्षरे आहेत.

हे लक्षात घेऊन, आम्ही व्यस्त आनुपातिकता सूत्र वापरतो ( येथे - प्रति पृष्ठ अक्षरांची संख्या एक्स - पृष्ठांची संख्या):

आमच्या उदाहरणात ला= 240,000, म्हणून,

तर, एका पानावर 2,400 अक्षरे आहेत.

त्याचप्रमाणे, आपण शिकतो की जर पुस्तकात 120 पृष्ठे असतील, तर पृष्ठावरील अक्षरांची संख्या असेल:

आमचे टेबल असे दिसेल:

उर्वरित सेल स्वतः भरा.

§ 137. व्यस्त प्रमाणात प्रमाणांसह समस्या सोडवण्याचे इतर मार्ग.

मागील परिच्छेदामध्ये, आम्ही समस्यांचे निराकरण केले ज्यामध्ये व्यस्त प्रमाणात प्रमाण समाविष्ट होते. आम्ही पूर्वी व्यस्त आनुपातिकता सूत्र काढले आणि नंतर हे सूत्र लागू केले. आता आपण अशा समस्या सोडवण्याचे आणखी दोन मार्ग दाखवू.

1. एकता कमी करण्याची पद्धत.

एक कार्य. 5 टर्नर 16 दिवसात काही काम करू शकतात. 8 टर्नर हे काम किती दिवसात पूर्ण करू शकतात?

उपाय.टर्नर्सची संख्या आणि कामाची वेळ यांच्यात एक व्यस्त संबंध आहे. जर 5 टर्नर 16 दिवसात काम करतात, तर एका व्यक्तीला यासाठी 5 पट जास्त वेळ लागेल, म्हणजे.

5 टर्नर 16 दिवसात काम करतात,

1 टर्नर हे 16 5 = 80 दिवसात पूर्ण करेल.

8 टर्नर्स किती दिवसांत काम पूर्ण करणार, असा प्रश्न पडतो. अर्थात, ते 1 टर्नरपेक्षा 8 पट वेगाने काम करतील, म्हणजे

80: 8 = 10 (दिवस).

हे एकता कमी करण्याच्या पद्धतीद्वारे समस्येचे निराकरण आहे. येथे, सर्व प्रथम, एका कामगाराद्वारे कामाच्या कामगिरीसाठी वेळ निश्चित करणे आवश्यक होते.

2. प्रमाण पद्धत.हीच समस्या दुसऱ्या पद्धतीने सोडवू.

कामगारांची संख्या आणि कामाचा वेळ यांच्यात व्यस्त संबंध असल्याने, आम्ही लिहू शकतो: 5 टर्नर्सच्या कामाचा कालावधी टर्नरची नवीन संख्या (8) 8 टर्नर्सच्या कामाचा कालावधी आणि पूर्वीच्या टर्नर्सची संख्या (5 ) पत्राद्वारे कामाचा इच्छित कालावधी दर्शवूया एक्स आणि आवश्यक संख्या शब्दांमध्ये व्यक्त केलेल्या प्रमाणात बदला:

समान समस्या प्रमाण पद्धतीद्वारे सोडविली जाते. ते सोडवण्यासाठी, आम्हाला समस्येच्या स्थितीत समाविष्ट केलेल्या संख्येचे प्रमाण बनवावे लागले.

नोंद.मागील परिच्छेदांमध्ये, आम्ही थेट आणि व्यस्त आनुपातिकतेच्या प्रश्नावर विचार केला. निसर्ग आणि जीवन आपल्याला प्रमाणांच्या प्रत्यक्ष आणि व्यस्त प्रमाणांची अनेक उदाहरणे देतात. तथापि, हे लक्षात घेतले पाहिजे की या दोन प्रकारचे अवलंबित्व फक्त सर्वात सोपे आहे. त्यांच्यासह, परिमाणांमधील इतर, अधिक जटिल संबंध आहेत. या व्यतिरिक्त, कोणीही असा विचार करू नये की जर कोणतेही दोन प्रमाण एकाच वेळी वाढले तर त्यांच्यामध्ये थेट प्रमाण असणे आवश्यक आहे. हे सत्यापासून दूर आहे. उदाहरणार्थ, साठी भाडे रेल्वेअंतरासह वाढते: आपण जितके दूर जाऊ तितके जास्त पैसे देऊ, परंतु याचा अर्थ असा नाही की देय अंतराच्या प्रमाणात आहे.

चेपकासोव्ह रॉडियन यांनी पूर्ण केले

6 "ब" वर्गातील विद्यार्थी

MBOU "माध्यमिक शाळा क्र. 53"

बर्नौल

प्रमुख: Bulykina O.G.

गणिताचे शिक्षक

MBOU "माध्यमिक शाळा क्र. 53"

बर्नौल

परिचय. एक

संबंध आणि प्रमाण. 3

थेट आणि उलट आनुपातिक अवलंबित्व. 4

डायरेक्ट आणि इन्व्हर्स प्रोपोर्शॅलिटीचा वापर 6

विविध समस्या सोडवण्यासाठी अवलंबित्व.

निष्कर्ष. अकरा

साहित्य. १२

परिचय.

प्रमाण हा शब्द लॅटिन शब्द proportion वरून आला आहे, ज्याचा अर्थ सामान्य आनुपातिकता, भागांची समानता (एकमेकांच्या भागांचे विशिष्ट गुणोत्तर) आहे. प्राचीन काळी, पायथागोरियन लोकांद्वारे प्रमाणांच्या सिद्धांताला उच्च आदर दिला जात असे. प्रमाणानुसार, त्यांनी निसर्गातील सुव्यवस्था आणि सौंदर्य, संगीतातील व्यंजने आणि विश्वातील सुसंवाद याबद्दल विचार जोडले. काही प्रकारचे प्रमाण त्यांना संगीत किंवा हार्मोनिक म्हणतात.

अगदी प्राचीन काळातही, मनुष्याने शोधून काढले की निसर्गातील सर्व घटना एकमेकांशी जोडलेल्या आहेत, सर्व काही स्थिर गतीमध्ये आहे, बदलते आहे आणि जेव्हा संख्यांमध्ये व्यक्त केले जाते तेव्हा आश्चर्यकारक नमुने प्रकट होतात.

पायथागोरियन आणि त्यांचे अनुयायी जगात अस्तित्वात असलेल्या प्रत्येक गोष्टीसाठी संख्यात्मक अभिव्यक्ती शोधत होते. त्यांना सापडले; ते गणितीय प्रमाण संगीत (स्ट्रिंग लांबी ते पिचचे गुणोत्तर, मध्यांतरांमधील संबंध, जीवामधील ध्वनीचे गुणोत्तर जे हार्मोनिक आवाज देतात). पायथागोरियन्सने जगाच्या एकतेची कल्पना गणितीयदृष्ट्या सिद्ध करण्याचा प्रयत्न केला, त्यांनी असा युक्तिवाद केला की विश्वाचा आधार सममितीय भूमितीय आकार आहे. पायथागोरियन लोक सौंदर्यासाठी गणिती औचित्य शोधत होते.

पायथागोरियन्सच्या अनुषंगाने, मध्ययुगीन विद्वान ऑगस्टीनने सौंदर्याला "संख्यात्मक समानता" म्हटले. विद्वान तत्वज्ञानी बोनाव्हेंचर यांनी लिहिले: "आनुपातिकतेशिवाय सौंदर्य आणि आनंद नाही, परंतु आनुपातिकता प्रामुख्याने संख्येत अस्तित्वात आहे. सर्व काही मोजण्यायोग्य असणे आवश्यक आहे." लिओनार्डो दा विंची यांनी चित्रकलेवरील त्यांच्या प्रबंधात कलेतील प्रमाणाच्या वापराविषयी लिहिले: "चित्रकार निसर्गात लपलेले समान कायदे प्रमाणाच्या रूपात मूर्त रूप देतो जे वैज्ञानिकांना संख्यात्मक कायद्याच्या रूपात माहित असतात."

पुरातन काळातील आणि मध्ययुगात विविध समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी प्रमाण वापरले गेले. विशिष्ट प्रकारच्या समस्या आता प्रमाण वापरून सहज आणि त्वरीत सोडवल्या जातात. प्रमाण आणि आनुपातिकता केवळ गणितातच नाही तर वास्तुकला आणि कला मध्ये देखील वापरली जाते आणि वापरली जाते. आर्किटेक्चर आणि कला मध्ये समानता म्हणजे आकारांमधील विशिष्ट प्रमाण राखणे. विविध भागइमारती, आकृत्या, शिल्पे किंवा इतर कलाकृती. अशा प्रकरणांमध्ये आनुपातिकता ही योग्य आणि सुंदर बांधकाम आणि प्रतिमेसाठी एक अट आहे

माझ्या कामात, मी आजूबाजूच्या जीवनाच्या विविध क्षेत्रांमध्ये प्रत्यक्ष आणि व्यस्त आनुपातिक संबंधांचा वापर करण्याचा प्रयत्न केला, कार्यांद्वारे शैक्षणिक विषयांशी संबंध शोधण्याचा प्रयत्न केला.

संबंध आणि प्रमाण.

दोन संख्यांचा भागफल म्हणतात वृत्तीया संख्या.

वृत्ती दाखवते, पहिली संख्या दुसऱ्यापेक्षा किती पटीने मोठी आहे किंवा पहिली संख्या दुसऱ्या क्रमांकापासून कोणता भाग आहे.

एक कार्य.

2.4 टन नाशपाती आणि 3.6 टन सफरचंद स्टोअरमध्ये आणले गेले. आयात केलेल्या फळांचा कोणता भाग नाशपाती आहेत?

उपाय . एकूण किती फळ आणले ते शोधा: 2.4 + 3.6 = 6 (t). आणलेल्या फळांचा कोणता भाग नाशपाती आहे हे शोधण्यासाठी, आम्ही 2.4:6 = गुणोत्तर करू. उत्तर असे देखील लिहिले जाऊ शकते दशांश अपूर्णांककिंवा टक्केवारी म्हणून: = 0.4 = 40%.

परस्पर उलटम्हणतात संख्या, ज्याची उत्पादने 1 च्या समान आहेत. म्हणून संबंधांना व्यस्त संबंध म्हणतात.

दोन समान गुणोत्तरांचा विचार करा: 4.5:3 आणि 6:4. चला त्यांच्यामध्ये समान चिन्ह ठेवू आणि प्रमाण मिळवू: 4.5:3=6:4.

प्रमाणदोन संबंधांची समानता आहे: a : b =c :d किंवा = , जेथे a आणि d आहेत प्रमाणाच्या अत्यंत अटी, c आणि b मध्यम सदस्य(प्रमाणातील सर्व अटी शून्य नसलेल्या आहेत).

प्रमाणाचा मूळ गुणधर्म:

योग्य प्रमाणात, अत्यंत अटींचे गुणाकार मध्यम अटींच्या गुणाकाराच्या बरोबरीचे आहे.

गुणाकाराचा कम्युटेटिव्ह गुणधर्म लागू केल्याने, आम्हाला समजते की योग्य प्रमाणात, तुम्ही अत्यंत अटी किंवा मध्यम संज्ञा अदलाबदल करू शकता. परिणामी प्रमाण देखील योग्य असेल.

प्रमाणाच्या मूळ गुणधर्माचा वापर करून, इतर सर्व सदस्य ओळखले असल्यास एखाद्याला त्याचा अज्ञात सदस्य शोधता येतो.

गुणोत्तराची अज्ञात चरम संज्ञा शोधण्यासाठी, मधल्या संज्ञांचा गुणाकार करणे आणि ज्ञात चरम संज्ञाने भागणे आवश्यक आहे. x : b = c : d , x =

प्रमाणाची अज्ञात मध्यम संज्ञा शोधण्यासाठी, एखाद्याने अत्यंत संज्ञांचा गुणाकार केला पाहिजे आणि ज्ञात मध्यम पदाने भागाकार केला पाहिजे. a : b = x : d , x = .

थेट आणि व्यस्त प्रमाण.

दोन भिन्न प्रमाणांची मूल्ये एकमेकांवर अवलंबून असू शकतात. तर, चौरसाचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूच्या लांबीवर अवलंबून असते आणि त्याउलट - चौरसाच्या बाजूची लांबी त्याच्या क्षेत्रफळावर अवलंबून असते.

वाढीव असल्यास दोन प्रमाण प्रमाणिक असल्याचे म्हटले जाते

(कपात) त्यापैकी एकाची अनेक पटींनी, दुसरी समान प्रमाणात वाढते (कमी).

जर दोन परिमाण थेट प्रमाणात असतील, तर या परिमाणांच्या संबंधित मूल्यांचे गुणोत्तर समान असतील.

उदाहरण थेट आनुपातिक संबंध .

गॅस स्टेशनवर 2 लिटर गॅसोलीनचे वजन 1.6 किलो आहे. त्यांचे वजन किती असेल 5 लिटर पेट्रोल?

उपाय:

रॉकेलचे वजन त्याच्या व्हॉल्यूमच्या प्रमाणात असते.

2l - 1.6 किलो

5l - x किलो

2:5=1.6:x,

x \u003d ५ * १.६ x \u003d ४

उत्तर: 4 किलो.

येथे वजन आणि व्हॉल्यूमचे गुणोत्तर अपरिवर्तित राहते.

दोन प्रमाणांना व्यस्त प्रमाणात म्हणतात, जर त्यापैकी एक अनेक वेळा वाढतो (कमी होतो) तर दुसरी समान प्रमाणात कमी होते (वाढते).

जर परिमाण व्यस्त प्रमाणात असतील, तर एका परिमाणाच्या मूल्यांचे गुणोत्तर इतर परिमाणांच्या संबंधित मूल्यांच्या व्यस्त गुणोत्तरासारखे असते.

पी उदाहरणव्यस्त प्रमाणात संबंध.

दोन आयतांचे क्षेत्रफळ समान आहे. पहिल्या आयताची लांबी 3.6 मीटर आणि रुंदी 2.4 मीटर आहे. दुसऱ्या आयताची लांबी 4.8 मीटर आहे. दुसऱ्या आयताची रुंदी शोधा.

उपाय:

1 आयत 3.6 मी 2.4 मी

2 आयत 4.8 मी x मी

३.६ मी x मी

4.8 मी 2.4 मी

x \u003d 3.6 * 2.4 \u003d 1.8 मी

उत्तर: 1.8 मी.

जसे आपण पाहू शकता, प्रमाण वापरून प्रमाणिक प्रमाणांसह समस्या सोडवल्या जाऊ शकतात.

प्रत्येक दोन प्रमाण प्रत्यक्ष प्रमाणात किंवा व्यस्त प्रमाणात नसतात. उदाहरणार्थ, वाढत्या वयानुसार मुलाची उंची वाढते, परंतु ही मूल्ये प्रमाणानुसार नसतात, कारण वय दुप्पट झाल्यावर मुलाची उंची दुप्पट होत नाही.

व्यावहारिक वापरथेट आणि व्यस्त आनुपातिकता.

कार्य #1

शाळेच्या ग्रंथालयात 210 गणिताची पाठ्यपुस्तके आहेत, जी संपूर्ण ग्रंथालयाच्या साठ्याच्या 15% आहे. ग्रंथालयात किती पुस्तके आहेत?

उपाय:

एकूण पाठ्यपुस्तके - ? - 100%

गणितज्ञ - 210 -15%

15% 210 खाती

X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 पाठ्यपुस्तके

100% x खाते. पंधरा

उत्तर: 1400 पाठ्यपुस्तके.

कार्य #2

सायकलस्वार 3 तासात 75 किमीचा प्रवास करतो. सायकलस्वाराला त्याच वेगाने 125 किमी प्रवास करायला किती वेळ लागेल?

उपाय:

3 तास - 75 किमी

एच - 125 किमी

वेळ आणि अंतर थेट प्रमाणात आहेत, म्हणून

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

उत्तर: 5 तास.

कार्य #3

8 समान पाईप 25 मिनिटांत पूल भरतात. अशा 10 पाईपला पूल भरण्यासाठी किती मिनिटे लागतील?

उपाय:

8 पाईप्स - 25 मिनिटे

10 पाईप्स - ? मिनिटे

पाईप्सची संख्या वेळेच्या व्यस्त प्रमाणात असते, म्हणून

८:१० = x:२५,

x =

x = २०

उत्तर: 20 मिनिटे.

कार्य #4

8 कामगारांची टीम हे काम 15 दिवसात पूर्ण करते. समान उत्पादकतेवर काम करून किती कामगार 10 दिवसात कार्य पूर्ण करू शकतात?

उपाय:

8 कार्यरत - 15 दिवस

कार्यरत - 10 दिवस

कामगारांची संख्या दिवसांच्या संख्येच्या व्यस्त प्रमाणात आहे, म्हणून

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

उत्तरः १२ कामगार.

कार्य क्रमांक 5

5.6 किलो टोमॅटोपासून 2 लिटर सॉस मिळतो. 54 किलो टोमॅटोपासून किती लिटर सॉस मिळू शकतो?

उपाय:

5.6 किलो - 2 लि

54 किलो - ? l

टोमॅटोच्या किलोग्रॅमची संख्या थेट प्राप्त केलेल्या सॉसच्या प्रमाणात असते, म्हणून

५.६: ५४ = २: x,

x =
,

x = १९ .

उत्तर: 19 l.

कार्य क्रमांक 6

शाळेची इमारत गरम करण्यासाठी, वापराच्या दराने 180 दिवस कोळशाची कापणी केली गेली

दररोज 0.6 टन कोळसा. दररोज 0.5 टन वापरल्यास हा राखीव किती दिवस टिकेल?

उपाय:

दिवसांची संख्या

उपभोग दर

दिवसांची संख्या कोळसा वापर दराच्या व्यस्त प्रमाणात आहे, म्हणून

180: x = 0.5: 0.6,

x \u003d 180 * 0.6: 0.5,

x = २१६.

उत्तरः २१६ दिवस.

कार्य क्रमांक 7

लोह धातूमध्ये, लोहाचे 7 भाग अशुद्धतेचे 3 भाग असतात. 73.5 टन लोह असलेल्या धातूमध्ये किती टन अशुद्धता असते?

उपाय:

तुकड्यांची संख्या

वजन

लोखंड

73,5

अशुद्धी

भागांची संख्या वस्तुमानाच्या थेट प्रमाणात असते, म्हणून

7: 73.5 = 3: x.

x \u003d ७३.५ * ३:७,

x = 31.5.

उत्तर: 31.5 टन

कार्य क्रमांक 8

35 लिटर पेट्रोल खर्च करून कारने 500 किमी चालवले. 420 किमी प्रवास करण्यासाठी तुम्हाला किती लिटर पेट्रोल आवश्यक आहे?

उपाय:

अंतर, किमी

गॅसोलीन, एल

अंतर गॅसोलीनच्या वापराच्या थेट प्रमाणात आहे, म्हणून

500: 35 = 420: x,

x \u003d ३५ * ४२०: ५००,

x = २९.४.

उत्तर: 29.4 लिटर

कार्य क्रमांक 9

2 तासात आम्ही 12 क्रूशियन्स पकडले. 3 तासात किती कार्प पकडले जातील?

उपाय:

क्रूशियन्सची संख्या वेळेवर अवलंबून नाही. हे प्रमाण प्रत्यक्ष प्रमाणात किंवा व्यस्त प्रमाणात नसतात.

उत्तरः उत्तर नाही.

कार्य क्रमांक 10

एका खाण उद्योगाला 12 हजार रूबल प्रति एक किंमतीला विशिष्ट पैशासाठी 5 नवीन मशीन खरेदी करणे आवश्यक आहे. एका कारची किंमत 15,000 रूबल झाल्यास कंपनी यापैकी किती कार खरेदी करू शकते?

उपाय:

कारची संख्या, पीसी.

किंमत, हजार rubles

कारची संख्या खर्चाच्या व्यस्त प्रमाणात आहे, म्हणून

५:x=१५:१२,

x= 5*12:15,

x=4.

उत्तर: 4 कार.

कार्य क्रमांक 11

शहरात एन स्क्वेअर पी वर एक स्टोअर आहे ज्याचा मालक इतका कठोर आहे की तो दररोज 1 उशीर झाल्याबद्दल वेतनातून 70 रूबल कापतो. युलिया आणि नताशा या दोन मुली एका विभागात काम करतात. त्यांना मजुरीकामाच्या दिवसांच्या संख्येवर अवलंबून आहे. ज्युलियाला 20 दिवसांत 4,100 रूबल मिळाले आणि नताशाला 21 दिवसांत आणखी मिळायला हवे होते, परंतु तिला सलग 3 दिवस उशीर झाला. नताशाला किती रूबल मिळतील?

उपाय:

कामाचा दिवस

पगार, घासणे.

ज्युलिया

4100

नताशा

त्यामुळे पगार कामाच्या दिवसांच्या संख्येच्या थेट प्रमाणात असतो

20: 21 = 4100: x,

x= 4305.

4305 घासणे. नताशा असावी.

4305 - 3 * 70 = 4095 (घासणे.)

उत्तरः नताशाला 4095 रूबल मिळतील.

कार्य क्रमांक 12

नकाशावरील दोन शहरांमधील अंतर 6 सेमी आहे. नकाशाचे प्रमाण 1:250000 असल्यास जमिनीवर या शहरांमधील अंतर शोधा.

उपाय:

चला जमिनीवरील शहरांमधील अंतर x (सेंटीमीटरमध्ये) दर्शवू आणि नकाशावरील विभागाच्या लांबीचे जमिनीवरील अंतराचे गुणोत्तर शोधू, जे नकाशाच्या स्केलच्या बरोबरीचे असेल: 6: x \ u003d 1: 250000,

x \u003d 6 * 250000,

x = 1500000.

1500000 सेमी = 15 किमी

उत्तर: 15 किमी.

कार्य क्रमांक 13

4000 ग्रॅम द्रावणात 80 ग्रॅम मीठ असते. या द्रावणात मीठाचे प्रमाण किती आहे?

उपाय:

वजन, ग्रॅम

एकाग्रता, %

उपाय

4000

मीठ

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

उत्तरः मीठाची एकाग्रता 2% आहे.

कार्य क्रमांक 14

बँक दरवर्षी 10% दराने कर्ज देते. तुम्हाला 50,000 रूबलचे कर्ज मिळाले आहे. तुम्हाला एका वर्षात बँकेला किती परत करावे लागेल?

उपाय:

50 000 घासणे.

100%

x घासणे.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 घासणे. 10% आहे.

५०,००० + ५०००=५५,००० (रुबल)

उत्तरः एका वर्षात, 55,000 रूबल बँकेला परत केले जातील.

निष्कर्ष.

वरील उदाहरणांवरून आपण पाहू शकतो की, जीवनाच्या विविध क्षेत्रांमध्ये प्रत्यक्ष आणि व्यस्त आनुपातिक संबंध लागू होतात:

अर्थव्यवस्था,

व्यापार,

उत्पादन आणि उद्योगात,

शालेय जीवन,

स्वयंपाक,

बांधकाम आणि आर्किटेक्चर.

खेळ,

पशुसंवर्धन,

स्थलाकृति,

भौतिकशास्त्रज्ञ,

रसायनशास्त्र इ.

रशियन भाषेत, नीतिसूत्रे आणि म्हणी देखील आहेत ज्या थेट आणि स्थापित करतात व्यस्त संबंध:

जसा तो आजूबाजूला येईल, तसा तो प्रतिसाद देईल.

स्टंप जितका उंच तितकी सावली जास्त.

जितके जास्त लोक तितके ऑक्सिजन कमी.

आणि तयार, होय मूर्खपणे.

गणित हे सर्वात प्राचीन शास्त्रांपैकी एक आहे; ते मानवजातीच्या गरजा आणि गरजांच्या आधारे उद्भवले. पासून निर्मितीच्या इतिहासातून गेले आहे प्राचीन ग्रीस, ते अजूनही संबंधित आणि आवश्यक आहे रोजचे जीवनकोणतीही व्यक्ती. प्रत्यक्ष आणि व्यस्त आनुपातिकतेची संकल्पना प्राचीन काळापासून ज्ञात आहे, कारण कोणत्याही शिल्पाच्या कोणत्याही बांधकाम किंवा निर्मिती दरम्यान वास्तुविशारदांना हे प्रमाणाचे नियम होते.

प्रमाणांचे ज्ञान मानवी जीवनाच्या आणि क्रियाकलापांच्या सर्व क्षेत्रांमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते - चित्रे (लँडस्केप, स्थिर जीवन, पोट्रेट इ.) रंगवताना त्यांच्याशिवाय करू शकत नाही. विस्तृत वापरवास्तुविशारद आणि अभियंते यांच्यात, - सर्वसाधारणपणे, प्रमाण आणि त्यांच्या संबंधांबद्दलच्या ज्ञानाचा वापर केल्याशिवाय कमीतकमी काहीतरी तयार करण्याची कल्पना करणे कठीण आहे.

साहित्य.

गणित-6, N.Ya. Vilenkin आणि इतर.

बीजगणित -7, जी.व्ही. डोरोफीव आणि इतर.

F.F द्वारा संपादित गणित-9, GIA-9. लिसेन्को, एस.यू. कुलाबुखोव

गणित-6, उपदेशात्मक साहित्य, पी.व्ही. चुल्कोव्ह, ए.बी. Uedinov

ग्रेड 4-5 साठी गणितातील कार्ये, I.V. बारानोव्हा et al., M. "Enlightenment" 1988

गणित ग्रेड 5-6 मधील कार्ये आणि उदाहरणे संग्रह, N.A. तेरेशिन,

टी.एन. तेरेशिना, एम. "एक्वेरियम" 1997