पहिला स्तर

उलट संबंध. पहिला स्तर.

आता आपण व्यस्त संबंधांबद्दल किंवा दुसऱ्या शब्दांत बोलू - व्यस्त आनुपातिकताफंक्शन बद्दल कसे. फंक्शन हे एक विशिष्ट प्रकारचे अवलंबन आहे हे तुम्हाला आठवते का? जर तुम्ही अद्याप विषय वाचला नसेल, तर मी जोरदार शिफारस करतो की तुम्ही सर्व काही सोडून द्या आणि ते वाचा, कारण तुम्ही कोणत्याही विशिष्ट कार्याचा अभ्यास करू शकत नाही ते काय आहे हे समजून घेतल्याशिवाय - एक कार्य.

हा विषय सुरू करण्यापूर्वी दोन सोपी कार्ये शिकणे देखील खूप उपयुक्त आहे: आणि . तेथे तुम्ही फंक्शनची संकल्पना एकत्रित कराल आणि गुणांक आणि आलेखांसह कसे कार्य करावे ते शिकाल.

तर, फंक्शन म्हणजे काय हे तुम्हाला आठवते का?
आम्ही पुनरावृत्ती करतो: फंक्शन हा एक नियम आहे ज्यानुसार एका सेटचा प्रत्येक घटक (वितर्क) काहीशी संबंधित आहे ( फक्त एक!) दुसर्‍या संचाचा एक घटक (फंक्शन मूल्यांचा संच). म्हणजेच, जर तुमच्याकडे फंक्शन असेल, तर याचा अर्थ व्हेरिएबलच्या प्रत्येक वैध मूल्यासाठी (ज्याला "वितर्क" म्हणतात) व्हेरिएबलचे एक मूल्य आहे (ज्याला "फंक्शन" म्हणतात). "स्वीकारण्यायोग्य" म्हणजे काय? तुम्ही या प्रश्नाचे उत्तर देऊ शकत नसल्यास, पुन्हा “” विषयावर परत जा! हे सर्व संकल्पनेबद्दल आहे "डोमेन": काही फंक्शन्ससाठी, सर्व वितर्क तितकेच उपयुक्त नसतात ते अवलंबनामध्ये बदलले जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ, फंक्शनसाठी, नकारात्मक युक्तिवाद मूल्ये अवैध आहेत.

व्यस्त संबंधाचे वर्णन करणारे कार्य

हे फॉर्मचे कार्य आहे जेथे.

दुसर्‍या मार्गाने, याला व्यस्त आनुपातिकता म्हणतात: युक्तिवाद वाढल्याने कार्यामध्ये आनुपातिक घट होते.
चला व्याप्ती परिभाषित करूया. काय समान असू शकते? किंवा, दुसऱ्या शब्दांत, ते काय समान असू शकत नाही?

केवळ एकच संख्या ज्याला भागाकार करता येत नाही, म्हणून:

किंवा, जे समान आहे,

(अशा नोटेशनचा अर्थ असा होतो की ती कोणतीही संख्या असू शकते, याशिवाय: "" चिन्ह वास्तविक संख्यांचा संच दर्शवितो, म्हणजेच सर्व संभाव्य संख्या; चिन्ह "" या संचामधून काहीतरी वगळणे दर्शवते (वजा चिन्हाचे अॅनालॉग ), आणि कुरळे कंसातील संख्या म्हणजे फक्त एक संख्या; असे दिसून आले की आम्ही सर्व संभाव्य संख्यांमधून वगळतो).

फंक्शन व्हॅल्यूजचा संच, तो अगदी सारखाच आहे: सर्व केल्यानंतर, जर, मग आपण ते कशामध्ये विभागले तरीही ते कार्य करणार नाही:

सूत्राच्या काही भिन्नता देखील शक्य आहेत. उदाहरणार्थ, हे एक फंक्शन देखील आहे जे व्यस्त संबंधांचे वर्णन करते.
या कार्याची व्याप्ती आणि व्याप्ती स्वतःला परिभाषित करा. हे बाहेर वळले पाहिजे:

चला हे कार्य पाहू: . तो एक व्यस्त संबंध आहे का?

पहिल्या दृष्टीक्षेपात, हे सांगणे कठीण आहे: शेवटी, वाढीसह, अपूर्णांकाचे भाजक आणि अंश दोन्ही वाढतात, म्हणून कार्य कमी होईल की नाही हे स्पष्ट नाही आणि तसे असल्यास, ते प्रमाणानुसार कमी होईल का? हे समजून घेण्यासाठी, आपल्याला अभिव्यक्तीचे रूपांतर करणे आवश्यक आहे जेणेकरून अंशामध्ये कोणतेही चल नसेल:

खरंच, आम्ही एक व्यस्त संबंध प्राप्त केला आहे, परंतु एक चेतावणीसह: .

येथे आणखी एक उदाहरण आहे: .

हे येथे अधिक क्लिष्ट आहे: शेवटी, अंश आणि भाजक आता नक्कीच कमी झालेले नाहीत. परंतु तरीही आम्ही प्रयत्न करू शकतो:

मी काय केले ते समजले का? अंशामध्ये, मी समान संख्या जोडली आणि वजा केली (), त्यामुळे मला काहीही बदललेले दिसत नाही, परंतु आता अंशाचा भाग भाजकाच्या बरोबरीचा आहे. आता मी पदाला पदानुसार विभाजित करेन, म्हणजेच मी हा अपूर्णांक दोन अपूर्णांकांच्या बेरजेत मोडेन:

(आणि हे खरे आहे, मला जे मिळाले ते आम्ही सामान्य भाजकात आणले तर आम्हाला आमचा प्रारंभिक अंश पुन्हा मिळेल):

व्वा! ते पुन्हा बाहेर वळते व्यस्त संबंध, फक्त आता त्यात एक संख्या जोडली आहे.
आलेख प्लॉटिंग करताना ही पद्धत आम्हाला नंतर खूप उपयुक्त होईल.

आणि आता स्वतंत्रपणे अभिव्यक्ती एका व्यस्त संबंधाच्या स्वरूपात आणा:

उत्तरे:

2. येथे तुम्हाला हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे की स्क्वेअर ट्रिनॉमियल घटकांमध्ये कसे विघटित केले जाते (हे "" विषयामध्ये तपशीलवार वर्णन केले आहे). मी तुम्हाला आठवण करून देतो की यासाठी तुम्हाला संबंधितांची मुळे शोधणे आवश्यक आहे चतुर्भुज समीकरण: . व्हिएटाचे प्रमेय वापरून मी त्यांना मौखिकपणे शोधू शकेन: , . ते कसे केले जाते? विषय वाचून तुम्ही हे शिकू शकता.
तर, आम्हाला मिळते: , म्हणून:

3. आपण आधीच ते स्वतः सोडवण्याचा प्रयत्न केला आहे का? झेल काय आहे? निश्चितपणे आमच्याकडे असलेल्या अंशामध्ये आणि भाजकात - फक्त. तो एक समस्या नाही. ने कमी करणे आवश्यक आहे, म्हणून अंश कंसातून बाहेर काढले पाहिजे (जेणेकरुन ते आधीपासून गुणांकाशिवाय कंसात निघेल):

उलट प्लॉट

नेहमीप्रमाणे, सर्वात सोप्या केससह प्रारंभ करूया: .
चला एक टेबल बनवू:

समन्वय समतल वर बिंदू काढा:

आता ते सहजतेने जोडले जाणे आवश्यक आहे, परंतु कसे? हे पाहिले जाऊ शकते की उजव्या आणि डाव्या भागांमधील बिंदू वरवर असंबंधित वक्र रेषा तयार करतात. तो मार्ग आहे. चार्ट असे दिसेल:

या तक्त्याला म्हणतात "हायपरबोला"(या नावात "पॅराबोला" सारखे काहीतरी आहे, बरोबर?). पॅराबोलाप्रमाणे, हायपरबोलामध्ये दोन शाखा असतात, फक्त त्या एकमेकांशी जोडलेल्या नसतात. त्यांच्यापैकी प्रत्येकजण त्याच्या टोकासह अक्षांकडे जातो, परंतु कधीही त्यांच्यापर्यंत पोहोचत नाही. जर तुम्ही दुरून त्याच हायपरबोलकडे पाहिले तर तुम्हाला खालील चित्र मिळेल:

हे समजण्यासारखे आहे: आलेख अक्ष ओलांडू शकत नाही. पण, त्यामुळे आलेख कधीही अक्षाला स्पर्श करणार नाही.

बरं, आता गुणांकांवर काय परिणाम होतो ते पाहू. या फंक्शन्सचा विचार करा:
:

व्वा, काय सौंदर्य आहे!
सर्व आलेख एकमेकांपासून वेगळे करणे सोपे करण्यासाठी वेगवेगळ्या रंगांमध्ये तयार केले आहेत.

तर, आपण सर्व प्रथम कशाकडे लक्ष देतो? उदाहरणार्थ, जर फंक्शनमध्ये अपूर्णांकाच्या आधी वजा असेल, तर आलेख फ्लिप केला जातो, म्हणजेच तो अक्षाच्या सममितीने प्रदर्शित होतो.

दुसरा: भाजकातील संख्या जितकी मोठी असेल तितका आलेख मूळपासून "दूर पळतो".

पण फंक्शन अधिक क्लिष्ट दिसल्यास, उदाहरणार्थ, ?

या प्रकरणात, हायपरबोला नेहमीच्या सारखाच असेल, फक्त तो थोडासा बदलेल. विचार करूया, कुठे?

आता काय समान असू शकत नाही? बरोबर, . याचा अर्थ आलेख कधीही सरळ रेषेपर्यंत पोहोचणार नाही. काय समान असू शकत नाही? आता. याचा अर्थ असा की आता आलेख सरळ रेषेकडे झुकेल, परंतु तो कधीही ओलांडणार नाही. तर, आता सरळ रेषा करा आणि कार्यासाठी समन्वय अक्ष जी भूमिका पार पाडतात तीच भूमिका करा. अशा ओळी म्हणतात लक्षणे(रेषा ज्याकडे आलेख झुकतो पण पोहोचत नाही):

विषयात असे आलेख कसे तयार केले जातात याबद्दल आपण अधिक जाणून घेऊ.

आणि आता एकत्रित करण्यासाठी काही उदाहरणे सोडवण्याचा प्रयत्न करा:

1. आकृती फंक्शन आलेख दाखवते. ठरवा.

2. आकृती फंक्शन आलेख दाखवते. ठरवा

3. आकृती फंक्शन आलेख दाखवते. ठरवा.

4. आकृती फंक्शन आलेख दाखवते. ठरवा.

5. आकृती फंक्शन्सचे आलेख दाखवते आणि.

योग्य गुणोत्तर निवडा:

उत्तरे:

जीवनातील उलट संबंध

सरावात असे कार्य आपण कुठे भेटतो? अनेक उदाहरणे आहेत. सर्वात सामान्य म्हणजे हालचाल: आपण जितका वेग जास्त तितकाच अंतर कापण्यासाठी आपल्याला कमी वेळ लागेल. खरंच, वेगाचे सूत्र आठवूया: , वेग कुठे आहे, प्रवासाची वेळ आहे, अंतर (मार्ग) आहे.

येथून आपण वेळ व्यक्त करू शकतो:

उदाहरण:

एक व्यक्ती सरासरी किमी/तास वेगाने कामावर जाते आणि तासाभरात पोहोचते. किमी/तास वेगाने प्रवास केल्यास तो त्याच रस्त्यावर किती मिनिटे घालवेल?

उपाय:

सर्वसाधारणपणे, आपण अशा समस्या आधीच 5 व्या आणि 6 व्या वर्गात सोडवल्या आहेत. तुम्ही प्रमाण केले का?

म्हणजेच, व्यस्त आनुपातिकतेची संकल्पना तुम्हाला आधीच परिचित आहे. तेच त्यांच्या लक्षात आले. आणि आता तीच गोष्ट, फक्त प्रौढ पद्धतीने: फंक्शनद्वारे.

गतीवर मिनिटांमध्ये वेळेचे कार्य (म्हणजे अवलंबित्व):

हे ज्ञात आहे की नंतर:

शोधणे आवश्यक आहे:

आता जीवनातील काही उदाहरणे घेऊन या ज्यामध्ये व्यस्त प्रमाण आहे.
शोध लावला? होय असल्यास चांगले केले. शुभेच्छा!

उलट अवलंबित्व. मुख्य बद्दल थोडक्यात

1. व्याख्या

व्यस्त संबंधाचे वर्णन करणारे कार्यफॉर्मचे कार्य आहे जेथे.

दुसर्‍या मार्गाने, या फंक्शनला व्यस्त आनुपातिकता म्हणतात, कारण वितर्क वाढल्याने फंक्शनमध्ये आनुपातिक घट होते.

किंवा, जे समान आहे,

व्यस्त संबंध आलेख हा हायपरबोल आहे.

2. गुणांक, आणि.

साठी जबाबदार "उतार" आणि आलेखाची दिशा: हा गुणांक जितका मोठा असेल तितकाच उत्पत्तीपासून जास्त दूर हायपरबोला स्थित आहे आणि म्हणूनच, ते कमी तीव्रतेने "वळते" (आकृती पहा). गुणांकाचे चिन्ह चार्ट ज्या क्वार्टरमध्ये स्थित आहे त्यावर परिणाम करते:

• जर, हायपरबोलाच्या शाखा आणि चतुर्थांश मध्ये स्थित आहेत;
• जर, नंतर मध्ये आणि.

x=a आहे अनुलंब लक्षण, म्हणजेच, आलेख ज्या अनुलंबाकडे झुकतो.

संख्या जर फंक्शनचा आलेख एका रकमेने वर हलवण्यास आणि जर खाली हलविण्यास जबाबदार आहे.

त्यामुळे, ते आहे क्षैतिज लक्षण.

प्रति विषय 1 धडा

केले:

टेलेजिना एल.बी.

धड्याचा उद्देश:

1. फंक्शननुसार सर्व अभ्यासलेल्या सामग्रीची पुनरावृत्ती करा.
2. व्यस्त आनुपातिकतेची व्याख्या सांगा आणि त्याचा आलेख कसा तयार करायचा ते शिकवा.
3. तार्किक विचार विकसित करा.
4. लक्ष, अचूकता, अचूकता जोपासणे.

धडा योजना:

1. पुनरावृत्ती.
2. नवीन सामग्रीचे स्पष्टीकरण.
3. Fizkultminutka.
4. एकत्रीकरण.

उपकरणे: पोस्टर्स.

वर्ग दरम्यान:

1. धडा पुनरावृत्तीने सुरू होतो. विद्यार्थ्यांना क्रॉसवर्ड कोडे सोडवण्यासाठी आमंत्रित केले जाते (जे कागदाच्या मोठ्या शीटवर आगाऊ तयार केले जाते).

7 11

क्रॉसवर्ड प्रश्न:

1. चलांमधील अवलंबित्व, ज्यामध्ये स्वतंत्र व्हेरिएबलचे प्रत्येक मूल्य अवलंबून व्हेरिएबलच्या एका मूल्याशी संबंधित आहे. [कार्य].

2. स्वतंत्र चल. [वाद].

3. अ‍ॅब्सिसाच्या समन्वय समतल बिंदूंचा संच, जो युक्तिवादाच्या मूल्यांच्या बरोबरीचा आहे आणि ऑर्डिनेट्स - फंक्शनच्या मूल्यांशी. [अनुसूची].

4. y=kx+b या सूत्राने दिलेले कार्य. [रेषीय].

5. संख्येला गुणांक काय म्हणतात k y=kx+b या सूत्रात? [कोणीय].

6. रेखीय कार्याचा आलेख म्हणून काय काम करते? [सरळ].

7. जर k≠0 असेल, तर आलेख y=kx+b या अक्षाला छेदतो आणि k=0 असल्यास, तो त्याच्या समांतर आहे. या अक्षासाठी अक्षर काय आहे? [एक्स].

8. फंक्शनच्या नावातील शब्द y=kx? [प्रमाण].

9. y=x सूत्राने दिलेले कार्य 2. [चतुर्भुज].

10. आलेख नाव चतुर्भुज कार्य. [पॅराबोला].

11. लॅटिन वर्णमाला एक अक्षर, जे सहसा कार्य सूचित करते. [Yy].

12. फंक्शन सेट करण्याचा एक मार्ग. [सुत्र].

शिक्षक : आपल्याला माहित असलेले कार्य परिभाषित करण्याचे मुख्य मार्ग कोणते आहेत?

(एका ​​विद्यार्थ्याला ब्लॅकबोर्डवर एक कार्य प्राप्त होते: फंक्शन 12/x च्या मूल्यांचे सारणी त्याच्या युक्तिवादाच्या दिलेल्या मूल्यांनुसार भरा, आणि नंतर समन्वय समतलावर संबंधित बिंदू तयार करा).

उर्वरित शिक्षकांच्या प्रश्नांची उत्तरे देतात: (जे बोर्डवर पूर्व-रेकॉर्ड केलेले आहेत)

1. सूत्रांद्वारे दिलेल्या खालील कार्यांची नावे काय आहेत: y=kx, y=kx+b, y=x 2, y=x 3 ?

2. खालील फंक्शन्सची व्याप्ती निर्दिष्ट करा: y=x 2 +8, y=1/x-7, y=4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x.

मग विद्यार्थी टेबलवर काम करतात, शिक्षकाने विचारलेल्या प्रश्नांची उत्तरे देतात:

1. टेबलमधील कोणती आकृती आलेख दर्शवते:

अ) रेखीय कार्य;

ब) थेट आनुपातिकता;

c) चतुर्भुज कार्य;

d) y=kx फॉर्मची कार्ये 3 ?

2. तक्त्यातील 1, 2, 4, 5 मधील आकृत्यांशी सुसंगत असलेल्या y=kx+b फॉर्मच्या सूत्रांमधील k गुणांकाचे चिन्ह काय आहे?

3. सारणीमध्ये रेखीय कार्यांचे आलेख शोधा, ज्यासाठी उतार गुणांक:

अ) समान आहेत;

b) निरपेक्ष मूल्यात समान आणि चिन्हात विरुद्ध आहेत.

(मग संपूर्ण वर्ग तपासून पाहतो की विद्यार्थ्याने बोर्डला बोलावलेल्या विद्यार्थ्याने टेबल योग्यरित्या भरले आहे की नाही आणि गुणांक समतलावर ठेवले आहेत).

2. स्पष्टीकरण प्रेरणाने सुरू होते.

शिक्षक: तुम्हाला माहिती आहे की, प्रत्येक फंक्शन आपल्या सभोवतालच्या जगात घडणाऱ्या काही प्रक्रियांचे वर्णन करते.

उदाहरणार्थ, बाजू असलेला आयत विचारात घ्या x आणि y आणि क्षेत्रफळ 12cm 2 . हे ज्ञात आहे की x*y=12, परंतु जर तुम्ही आयताची एक बाजू बदलण्यास सुरुवात केली तर काय होईल, समजूया बाजू लांब आहे x?

बाजूची लांबी y y=12/x या सूत्रावरून शोधता येईल. जर ए x 2 पटीने वाढवा, नंतर त्यात y=12/2x असेल, म्हणजे. बाजू y 2 पट कमी होईल. मूल्य असल्यास x 3, 4, 5 ... पटीने वाढवा, नंतर मूल्य y समान प्रमाणात कमी होईल. त्याउलट, जर x अनेक वेळा कमी करा y समान प्रमाणात वाढेल. (टेबलवर काम करा).

म्हणून, y=12/x फॉर्मच्या फंक्शनला व्यस्त आनुपातिकता म्हणतात. एटी सामान्य दृश्यहे y=k/x असे लिहिले आहे, जेथे k हा स्थिरांक आहे आणि k≠0.

नोटबुकमध्ये रेकॉर्ड केलेला हा आजच्या धड्याचा विषय आहे. मी कठोर व्याख्या देतो. फंक्शन y=12/x साठी, जे व्यस्त आनुपातिकतेचे एक विशिष्ट स्वरूप आहे, आम्ही आधीच सारणीमध्ये युक्तिवाद आणि कार्याची अनेक मूल्ये लिहून ठेवली आहेत आणि समन्वय समतलावर संबंधित बिंदूंचे चित्रण करू. या फंक्शनचा आलेख कसा दिसतो? तयार केलेल्या बिंदूंद्वारे संपूर्ण आलेखाचा न्याय करणे कठीण आहे, कारण बिंदू कोणत्याही प्रकारे जोडले जाऊ शकतात. सारणी आणि सूत्राच्या विचारातून उद्भवलेल्या फंक्शनच्या आलेखाबद्दल निष्कर्ष काढण्याचा एकत्र प्रयत्न करूया.

वर्गासाठी प्रश्न:

1. y=12/x फंक्शनची व्याप्ती काय आहे?
2. y मूल्ये सकारात्मक आहेत की नकारात्मक असल्यास

अ) x

ब) x>0?

3. व्हेरिएबलचे मूल्य कसे बदलते y मूल्यातील बदलासह x?

तर,

1. बिंदू (0,0) ग्राफशी संबंधित नाही, म्हणजे ते OX किंवा OY अक्षांना छेदत नाही;
2. आलेख Ι आणि ΙΙΙ समन्वय क्वार्टरमध्ये आहे;
3. Ι समन्वय चतुर्थांश आणि ΙΙΙ मध्ये दोन्ही समन्वय अक्षांकडे सहजतेने पोहोचते, आणि ते इच्छेनुसार अक्षांच्या जवळ जाते.

या माहितीसह, आपण आकृतीमधील ठिपके आधीपासूनच जोडू शकतो (शिक्षक हे स्वतः ब्लॅकबोर्डवर करतो) आणि फंक्शनचा आलेख y=12/x संपूर्णपणे पाहू शकतो. परिणामी वक्रला हायपरबोल म्हणतात, ज्याचा ग्रीक भाषेत अर्थ "काहीतरी माध्यमातून जाणे." हा वक्र गणितज्ञांनी शोधला होता प्राचीन ग्रीक शाळासुमारे चौथ्या शतकापूर्वी हायपरबोल हा शब्द ΙΙΙ-ΙΙ c मध्ये राहणाऱ्या पेर्गॅमॉन (आशिया मायनर) शहरातून अपोलोनियसने सादर केला होता. इ.स.पू.

आता, y=12/x फंक्शनच्या आलेखाच्या पुढे, आपण y=-12/x फंक्शनचा आलेख प्लॉट करू. (विद्यार्थी हे कार्य नोटबुकमध्ये करतात आणि एक विद्यार्थी ब्लॅकबोर्डवर).

दोन्ही आलेखांची तुलना केल्यास, विद्यार्थ्यांच्या लक्षात येते की दुसरा आलेख 2 आणि 4 समन्वय चतुर्थांश व्यापतो. याशिवाय, फंक्शन y=12/x चा आलेख OS अक्षाच्या संदर्भात सममितीने प्रदर्शित केल्यास, y=-12/x फंक्शनचा आलेख प्राप्त होईल.

प्रश्न: हायपरबोला y=k/x च्या आलेखाचे स्थान चिन्हावर आणि k गुणांकाच्या मूल्यावर कसे अवलंबून असते?

विद्यार्थी खात्री करतात की जर k>0 असेल, तर आलेख Ι मध्ये स्थित आहेआणि ΙΙΙ कोऑर्डिनेट क्वार्टर, आणि जर k

1. शारीरिक शिक्षण शिक्षकाद्वारे केले जाते.

1. पाठ्यपुस्तकातील क्रमांक 180, 185 सादर करताना अभ्यासाचे एकत्रीकरण होते.

1. धड्याचा सारांश, मूल्यांकन, गृहपाठ: आयटम 8 क्रमांक 179, 184.

विषयावरील 2 धडा

"विपरीत आनुपातिकता कार्य आणि त्याचा आलेख".

केले:

टेलेजिना एल.बी.

धड्याचा उद्देश:

1. व्यस्त आनुपातिकता फंक्शनचा आलेख तयार करण्याचे कौशल्य एकत्रित करा;
2. विषयात स्वारस्य, तार्किक विचार विकसित करा;
3. स्वातंत्र्य, लक्ष जोपासणे.

धडा योजना:

1. गृहपाठ तपासत आहे.
2. तोंडी काम.
3. समस्या सोडवणे.
4. Fizkultminutka.
5. बहु-स्तरीय स्वतंत्र कार्य.
6. सारांश, मूल्यमापन, गृहपाठ.

उपकरणे: कार्ड.

वर्ग दरम्यान:

1. शिक्षक धड्याचा विषय, उद्दिष्टे आणि पाठ योजना जाहीर करतो.

त्यानंतर दोन विद्यार्थी बोर्डवर घरासाठी नियुक्त केलेले 179, 184 क्रमांक पूर्ण करतात.

1. बाकीचे विद्यार्थी शिक्षकांच्या प्रश्नांना उत्तरे देऊन समोर काम करतात.

प्रश्न:

• व्यस्त आनुपातिकता कार्य परिभाषित करा.
• व्यस्त आनुपातिक कार्याचा आलेख काय आहे.
• हायपरबोला y=k/x च्या आलेखाचे स्थान k गुणांकाच्या मूल्यावर कसे अवलंबून असते?

कार्ये:

1. सूत्रांद्वारे दिलेल्या फंक्शन्सपैकी, व्यस्त आनुपातिकता फंक्शन्सची नावे द्या:

a) y=x2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. व्यस्त आनुपातिकता कार्यांसाठी, गुणांकाचे नाव द्या आणि आलेख कोणत्या तिमाहीत आहे ते दर्शवा.

3. व्यस्त आनुपातिकता फंक्शन्ससाठी परिभाषाचे डोमेन शोधा.

(नंतर बोर्डावर शिक्षकांनी तपासलेल्या आकड्यांच्या सोल्युशननुसार विद्यार्थी पेन्सिलने एकमेकांचा गृहपाठ तपासतात आणि ग्रेड देतात).

पाठ्यपुस्तक क्रमांक 190, 191, 192, 193 (तोंडी) वर पुढचे काम.

1. पाठ्यपुस्तक क्रमांक 186 (ब), 187 (ब), 182 मधील नोटबुक आणि बोर्डवर अंमलबजावणी.

4. शारीरिक शिक्षण सत्र शिक्षकाद्वारे आयोजित केले जाते.

5. स्वतंत्र कामतीन आवृत्त्यांमध्ये उपलब्ध वेगवेगळ्या जटिलतेचे(कार्डवर वितरित).

मी ग. (हलके).

टेबल वापरून व्यस्त आनुपातिकता फंक्शन y=-6/x प्लॉट करा:

आलेख वापरून, शोधा:

a) y चे मूल्य, जर x = - 1.5; 2;

b) x चे मूल्य, ज्यावर y \u003d - 1; चार

मी ग. (मध्यम अडचण)

प्रथम तक्‍ता भरून व्यस्त आनुपातिकता फंक्शन y=16/x प्लॉट करा.

आलेख वापरून, कोणती मूल्ये शोधा x y >0.

मी आत आहे. (वाढलेली अडचण)

प्रथम तक्‍ता भरून y=10/x-2 प्‍लॉट करा.

दिलेल्या फंक्शनचे डोमेन शोधा.

(विद्यार्थी पडताळणीसाठी तयार केलेल्या आलेखांसह पत्रके देतात).

6. धड्याचा सारांश, मूल्यमापन, गृहपाठ: क्रमांक 186 (अ), 187 (अ).

आज आपण कोणत्या परिमाणांना व्यस्त प्रमाणात म्हणतात, व्यस्त प्रमाणात आलेख कसा दिसतो आणि हे सर्व केवळ गणिताच्या धड्यांमध्येच नव्हे, तर शाळेच्या भिंतीबाहेरही तुम्हाला कसे उपयुक्त ठरू शकते ते पाहू.

असे भिन्न प्रमाण

आनुपातिकताएकमेकांवर अवलंबून असलेल्या दोन प्रमाणांची नावे द्या.

अवलंबित्व थेट आणि उलट असू शकते. म्हणून, प्रमाणांमधील संबंध थेट आणि व्यस्त आनुपातिकतेचे वर्णन करतात.

थेट आनुपातिकता- हा दोन प्रमाणांमधील असा संबंध आहे, ज्यामध्ये एकामध्ये वाढ किंवा घट झाल्यामुळे दुसऱ्यामध्ये वाढ किंवा घट होते. त्या. त्यांची वृत्ती बदलत नाही.

उदाहरणार्थ, परीक्षेच्या तयारीसाठी तुम्ही जितके जास्त प्रयत्न कराल तितके तुमचे ग्रेड जास्त असतील. किंवा तुम्ही प्रवासात तुमच्यासोबत जितक्या जास्त गोष्टी घ्याल तितके तुमचा बॅकपॅक घेऊन जाणे कठीण होईल. त्या. परीक्षेच्या तयारीसाठी लागणारे कष्ट हे मिळालेल्या ग्रेडच्या थेट प्रमाणात असते. आणि बॅकपॅकमध्ये पॅक केलेल्या वस्तूंची संख्या त्याच्या वजनाच्या थेट प्रमाणात असते.

व्यस्त आनुपातिकता- हे एक कार्यात्मक अवलंबन आहे, ज्यामध्ये स्वतंत्र मूल्याच्या अनेक पटीने घट किंवा वाढ (याला युक्तिवाद म्हणतात) आनुपातिक (म्हणजे, त्याच रकमेने) आश्रित मूल्यामध्ये वाढ किंवा घट करते (याला म्हणतात कार्य).

उदाहरण द्या साधे उदाहरण. तुम्हाला बाजारात सफरचंद घ्यायचे आहेत. काउंटरवरील सफरचंद आणि तुमच्या वॉलेटमधील पैसे यांचा परस्पर संबंध आहे. त्या. तुम्ही जितके जास्त सफरचंद खरेदी कराल, तितके कमी पैसे शिल्लक राहतील.

कार्य आणि त्याचा आलेख

व्यस्त आनुपातिकता कार्य असे वर्णन केले जाऊ शकते y = k/x. ज्यामध्ये x≠ 0 आणि k≠ 0.

या फंक्शनमध्ये खालील गुणधर्म आहेत:

1. त्‍याच्‍या व्‍याख्‍याच्‍या डोमेनमध्‍ये वगळता इतर सर्व खरी संख्यांचा संच आहे x = 0. डी(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. श्रेणी वगळता सर्व वास्तविक संख्या आहेत y= 0. E(y): (-∞; 0) यू (0; +∞) .
3. यात कमाल किंवा किमान मूल्ये नाहीत.
4. विषम आहे आणि त्याचा आलेख उत्पत्तीबद्दल सममितीय आहे.
5. नियतकालिक.
6. त्याचा आलेख समन्वय अक्षांना ओलांडत नाही.
7. शून्य नाही.
8. जर ए k> 0 (म्हणजे, युक्तिवाद वाढतो), फंक्शन त्याच्या प्रत्येक मध्यांतरावर प्रमाणात कमी होते. जर ए k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. वाद वाढत असताना ( k> 0) फंक्शनची नकारात्मक मूल्ये मध्यांतर (-∞; 0) मध्ये आहेत आणि सकारात्मक मूल्ये मध्यांतर (0; +∞) मध्ये आहेत. जेव्हा वाद कमी होत असतो ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

व्यस्त आनुपातिकता फंक्शनच्या आलेखाला हायपरबोला म्हणतात. खालीलप्रमाणे चित्रित केले आहे:

व्यस्त प्रमाणात समस्या

हे स्पष्ट करण्यासाठी, चला काही कार्ये पाहू. ते फार क्लिष्ट नाहीत, आणि त्यांचे समाधान तुम्हाला व्यस्त प्रमाण काय आहे आणि हे ज्ञान तुमच्या दैनंदिन जीवनात कसे उपयुक्त ठरू शकते हे समजण्यास मदत करेल.

कार्य क्रमांक १. कार 60 किमी/तास वेगाने पुढे जात आहे. त्याला त्याच्या गंतव्यस्थानापर्यंत पोहोचण्यासाठी 6 तास लागले. जर तो दुप्पट वेगाने गेला तर समान अंतर कापण्यासाठी त्याला किती वेळ लागेल?

आपण वेळ, अंतर आणि वेग यांच्यातील संबंधांचे वर्णन करणारे सूत्र लिहून सुरुवात करू शकतो: t = S/V. सहमत आहे, हे आपल्याला व्यस्त आनुपातिकता कार्याची खूप आठवण करून देते. आणि हे सूचित करते की कार रस्त्यावर घालवणारा वेळ आणि ती ज्या वेगाने फिरते ते व्यस्त प्रमाणात आहे.

हे सत्यापित करण्यासाठी, चला V 2 शोधू या, जे, स्थितीनुसार, 2 पट जास्त आहे: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 किमी / ता. मग आपण S = V * t = 60 * 6 = 360 km सूत्र वापरून अंतर मोजतो. आता समस्येच्या स्थितीनुसार आमच्याकडून आवश्यक असलेला वेळ t 2 शोधणे कठीण नाही: t 2 = 360/120 = 3 तास.

तुम्ही बघू शकता की, प्रवासाचा वेळ आणि वेग खरंच व्यस्त प्रमाणात आहेत: मूळ वेगापेक्षा 2 पट जास्त, कार रस्त्यावर 2 पट कमी वेळ घालवेल.

या समस्येचे निराकरण प्रमाण म्हणून देखील लिहिता येईल. आम्ही असे आकृती का तयार करतो:

↓ ६० किमी/तास – ६ ता

↓120 किमी/ता – x ता

बाण व्यस्त संबंध दर्शवतात. आणि ते असेही सुचवतात की प्रमाण काढताना, रेकॉर्डची उजवी बाजू उलटली पाहिजे: 60/120 \u003d x / 6. आम्हाला x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 तास कुठे मिळतील.

कार्य क्रमांक 2. कार्यशाळेत 6 कामगार काम करतात जे 4 तासात दिलेल्या कामाचा सामना करतात. जर कामगारांची संख्या निम्मी असेल तर उर्वरित कामगारांना तेवढेच काम पूर्ण करण्यासाठी किती वेळ लागेल?

आम्ही व्हिज्युअल आकृतीच्या स्वरूपात समस्येची परिस्थिती लिहितो:

↓ 6 कामगार - 4 तास

↓ 3 कामगार - x h

हे प्रमाण म्हणून लिहू: 6/3 = x/4. आणि आम्हाला x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 तास मिळतात. जर 2 पट कमी कामगार असतील तर बाकीचे सर्व काम पूर्ण करण्यासाठी 2 पट जास्त वेळ घालवतील.

कार्य क्रमांक 3. दोन पाईप्स तलावाकडे नेतात. एका पाईपद्वारे, पाणी 2 l / s च्या दराने प्रवेश करते आणि 45 मिनिटांत पूल भरते. दुसर्‍या पाईपद्वारे, पूल 75 मिनिटांत भरला जाईल. या पाईपमधून पाणी किती वेगाने तलावात जाते?

सुरुवातीला, आम्ही समस्येच्या स्थितीनुसार आम्हाला दिलेले सर्व प्रमाण मोजमापाच्या समान युनिट्समध्ये आणू. हे करण्यासाठी, आम्ही पूल भरण्याचा दर लिटर प्रति मिनिटात व्यक्त करतो: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / मिनिट.

दुसर्‍या पाईपद्वारे पूल अधिक हळूहळू भरला जातो या स्थितीपासून ते अनुसरण करत असल्याने, याचा अर्थ पाण्याचा प्रवाह कमी आहे. व्यस्त प्रमाण चेहऱ्यावर. x च्या संदर्भात आपल्याला अज्ञात गती व्यक्त करूया आणि खालील योजना काढूया:

↓ 120 लि/मिनिट - 45 मि

↓ x l/min – 75 मि

आणि मग आम्ही एक प्रमाण बनवू: 120 / x \u003d 75/45, जिथून x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / मिनिट.

समस्येमध्ये, पूल भरण्याचा दर लिटर प्रति सेकंदात व्यक्त केला जातो, चला त्याच फॉर्ममध्ये आपले उत्तर आणू: 72/60 = 1.2 l/s.

कार्य क्रमांक 4. बिझनेस कार्ड एका छोट्या खाजगी प्रिंटिंग हाऊसमध्ये छापले जातात. प्रिंटिंग हाऊसचा एक कर्मचारी 42 बिझनेस कार्ड प्रति तासाच्या वेगाने काम करतो आणि पूर्ण वेळ - 8 तास काम करतो. जर त्याने वेगाने काम केले आणि प्रति तास 48 बिझनेस कार्ड छापले तर तो किती लवकर घरी जाऊ शकतो?

आम्ही सिद्ध मार्गाने जातो आणि समस्येच्या स्थितीनुसार एक योजना तयार करतो, इच्छित मूल्य x म्हणून दर्शवितो:

↓ 42 बिझनेस कार्ड/ता - 8 ता

↓ 48 बिझनेस कार्ड्स/h – xh

आमच्या आधी एक व्यस्त प्रमाणात संबंध आहे: प्रिंटिंग हाऊसचा कर्मचारी तासाला किती वेळा जास्त बिझनेस कार्ड प्रिंट करतो, त्याच काम पूर्ण करण्यासाठी त्याला तेवढाच वेळ लागेल. हे जाणून घेऊन, आम्ही प्रमाण सेट करू शकतो:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 तास.

त्यामुळे ७ तासांत काम पूर्ण केल्याने प्रिंटिंग हाऊसचा कर्मचारी तासभर आधी घरी जाऊ शकला.

निष्कर्ष

आम्हाला असे दिसते की या व्यस्त प्रमाणात समस्या खरोखर सोप्या आहेत. आम्‍हाला आशा आहे की आता तुम्‍ही त्यांचाही विचार कराल. आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे, पाठीबद्दलचे ज्ञान आनुपातिक अवलंबित्वमूल्ये तुमच्यासाठी एकापेक्षा जास्त वेळा उपयुक्त ठरू शकतात.

केवळ गणित वर्ग आणि परीक्षांमध्येच नाही. पण तरीही, जेव्हा तुम्ही सहलीला जाणार असाल, खरेदीला जाल, सुट्टीत काही पैसे कमवायचे ठरवा, इ.

तुमच्या आजूबाजूला तुम्हाला व्युत्क्रम आणि थेट आनुपातिकतेची कोणती उदाहरणे दिसतात ते आम्हाला टिप्पण्यांमध्ये सांगा. हा एक खेळ असू द्या. ते किती रोमांचक आहे ते तुम्हाला दिसेल. हा लेख शेअर करायला विसरू नका सामाजिक नेटवर्कमध्येजेणेकरून तुमचे मित्र आणि वर्गमित्र देखील खेळू शकतील.

साइट, सामग्रीच्या पूर्ण किंवा आंशिक कॉपीसह, स्त्रोताचा दुवा आवश्यक आहे.

फंक्शन्सच्या सिद्धांताची पुनरावृत्ती करूया. फंक्शन हा एक नियम आहे ज्यानुसार एका संचाचा प्रत्येक घटक (वितर्क) काही नियुक्त केला जातो ( फक्त एक!) दुसर्‍या संचाचा एक घटक (फंक्शन मूल्यांचा संच). म्हणजे फंक्शन असेल तर \(y = f(x)\), याचा अर्थ व्हेरिएबलच्या प्रत्येक वैध मूल्यासाठी \(x\)(ज्याला "वितर्क" म्हणतात) व्हेरिएबलच्या एका मूल्याशी संबंधित आहे \(y\)("फंक्शन" म्हणतात).

व्यस्त संबंधाचे वर्णन करणारे कार्य

हे फॉर्मचे कार्य आहे \(y = \frac(k)(x)\)कुठे \(k \ne 0.\)

दुसर्‍या मार्गाने, याला व्यस्त आनुपातिकता म्हणतात: युक्तिवाद वाढल्याने कार्यामध्ये आनुपातिक घट होते.
चला परिभाषाचे डोमेन परिभाषित करूया. \(x\) काय समान असू शकते? किंवा, दुसऱ्या शब्दांत, ते काय समान असू शकत नाही?

फक्त 0 ही संख्या तुम्ही भागू शकत नाही \(x \ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

किंवा, जे समान आहे:

\(D(y) = R\backslash \( 0\) .\)

अशा नोटेशनचा अर्थ असा होतो की \(x\) 0 वगळता कोणतीही संख्या असू शकते: "R" चिन्ह वास्तविक संख्यांचा संच दर्शवतो, म्हणजेच सर्व संभाव्य संख्या; "\" चिन्ह या संचामधून काहीतरी वगळणे दर्शवते ("वजा" चिन्हाचे अॅनालॉग), आणि कुरळे कंसातील 0 क्रमांकाचा अर्थ फक्त 0 असा होतो; असे दिसून आले की आम्ही सर्व संभाव्य संख्यांमधून 0 वगळतो.

फंक्शन व्हॅल्यूजचा संच अगदी सारखाच आहे: सर्व केल्यानंतर, जर \(k \ne 0.\) , मग आपण ते कितीही विभाजित केले तरीही 0 कार्य करणार नाही:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

किंवा \(E(y) = R\backslash \( 0\) .\)

सूत्राच्या काही भिन्नता देखील शक्य आहेत. \(y = \frac(k)(x)\). उदाहरणार्थ, \(y = \frac(k)((x + a))\)- हे देखील एक फंक्शन आहे जे व्यस्त संबंधांचे वर्णन करते. या कार्याची व्याप्ती आणि श्रेणी खालीलप्रमाणे आहेतः

\(D(y) = (- \infty; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

विचार करा उदाहरण, आम्ही अभिव्यक्ती एका व्यस्त संबंधाच्या स्वरूपात आणू:

\(y = frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = frac((x + 2))((x - 3)) = frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = frac(((x - 3) ) + ५))((x - ३)).\)

आम्‍ही कृत्रिमरीत्‍या 3 चे मूल्य अंशामध्‍ये आणले आहे, आणि आता आम्‍ही अंशाला भाजक पदाद्वारे पदानुसार विभागतो, आम्हाला मिळते:

\(y = frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

आम्हाला व्यस्त संबंध अधिक संख्या 1 मिळाला.

उलट प्लॉट

चला एका साध्या केसपासून सुरुवात करूया \(y = \frac(1)(x).\)

चला मूल्यांचे सारणी बनवू:

समन्वय समतल वर बिंदू काढा:

ठिपके कनेक्ट करा, आलेख असे दिसेल:

या तक्त्याला म्हणतात "हायपरबोला". पॅराबोलाप्रमाणे, हायपरबोलामध्ये दोन शाखा असतात, फक्त त्या एकमेकांशी जोडलेल्या नसतात. त्यांच्यापैकी प्रत्येकजण अक्षांजवळ जाण्याचा प्रयत्न करतो बैलआणि ओयपण त्यांच्यापर्यंत कधीच पोहोचत नाही.

फंक्शनची काही वैशिष्ट्ये लक्षात घेऊया:

1. जर फंक्शनमध्ये अपूर्णांकाच्या आधी वजा असेल, तर आलेख फ्लिप केला जातो, म्हणजेच तो अक्षांबद्दल सममितीने प्रदर्शित होतो. बैल.
2. भाजकातील संख्या जितकी मोठी असेल तितका आलेख मूळपासून "दूर पळतो".

जीवनातील उलट संबंध

सरावात असे कार्य आपण कुठे भेटतो? अनेक उदाहरणे आहेत. सर्वात सामान्य म्हणजे हालचाल: आपण जितका वेग जास्त तितकाच अंतर कापण्यासाठी आपल्याला कमी वेळ लागेल. चला गती सूत्र लक्षात ठेवूया:

\(v = \frac(S)(t),\)

जेथे v - गती, t - प्रवास वेळ, S - अंतर (पथ).

येथून आपण वेळ व्यक्त करू शकतो: \(t = \frac(S)(v).\)