În sarcina B14 de la examenul de stat unificat la matematică, trebuie să găsiți cel mai mic sau cea mai mare valoare funcţiile unei variabile. Aceasta este o problemă destul de banală din analiza matematică și, din acest motiv, fiecare absolvent poate și ar trebui să învețe să o rezolve în mod normal liceu. Să ne uităm la câteva exemple pe care școlari le-au rezolvat în timpul lucrărilor de diagnosticare la matematică, desfășurate la Moscova pe 7 decembrie 2011.
În funcție de intervalul în care doriți să găsiți valoarea maximă sau minimă a unei funcții, se folosește unul dintre următorii algoritmi standard pentru a rezolva această problemă.
I. Algoritm pentru găsirea celei mai mari sau mai mici valori a unei funcții pe un segment:
- Aflați derivata funcției.
- Selectați din punctele suspectate a fi un extremum pe cele care aparțin segmentului și domeniului de definire a funcției date.
- Calculați valori funcții(nu derivat!) în aceste puncte.
- Dintre valorile obținute, selectați cea mai mare sau cea mai mică, aceasta va fi cea dorită.
Exemplul 1. Găsiți cea mai mică valoare a funcției
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 pe segment.
Soluţie: Urmăm algoritmul pentru găsirea celei mai mici valori a unei funcții pe un segment:
- Sfera de aplicare a unei funcții nu este limitată: D(y) = R.
- Derivata functiei este egala cu: tu = 3x 2 – 36x+ 81. De asemenea, domeniul de definire al derivatei unei funcții nu este limitat: D(y’) = R.
- Zerourile derivatei: tu = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, ceea ce înseamnă x 2 – 12x+ 27 = 0, de unde x= 3 și x= 9, intervalul nostru include numai x= 9 (un punct suspect pentru un extremum).
- Găsim valoarea funcției într-un punct suspect de un extremum și la marginile decalajului. Pentru ușurința calculului, prezentăm funcția sub forma: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
- y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.
Deci, dintre valorile obținute, cea mai mică este 23. Raspuns: 23.
II. Algoritm pentru găsirea celei mai mari sau mai mici valori a unei funcții:
- Găsiți domeniul de definire al funcției.
- Aflați derivata funcției.
- Identificați punctele suspecte pentru extremum (acele puncte în care derivata funcției dispare și punctele în care nu există o derivată finită cu două fețe).
- Marcați aceste puncte și domeniul de definire al funcției pe dreapta numerică și determinați semnele derivat(nu funcții!) asupra intervalelor rezultate.
- Definiți valori funcții(nu derivata!) la punctele minime (acele puncte în care semnul derivatei se schimbă de la minus la plus), cea mai mică dintre aceste valori va fi cea mai mică valoare a funcției. Dacă nu există puncte minime, atunci funcția nu are o valoare minimă.
- Definiți valori funcții(nu derivata!) în punctele maxime (acele puncte în care semnul derivatei se schimbă de la plus la minus), cea mai mare dintre aceste valori va fi cea mai mare valoare a funcției. Dacă nu există puncte maxime, atunci funcția nu are cea mai mare valoare.
Exemplul 2. Găsiți cea mai mare valoare a funcției.
Cu acest serviciu poți găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții o variabilă f(x) cu soluția formatată în Word. Dacă funcția f(x,y) este dată, deci, este necesar să găsim extremul funcției a două variabile. De asemenea, puteți găsi intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare.
Reguli de intrare în funcții:
Condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile
Ecuația f" 0 (x *) = 0 este conditie necesara extremul unei funcții a unei variabile, adică în punctul x * derivata întâi a funcției trebuie să dispară. Identifică punctele staționare x c la care funcția nu crește sau descrește.Condiție suficientă pentru extremul unei funcții a unei variabile
Fie f 0 (x) de două ori diferențiabilă față de x aparținând mulțimii D. Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Atunci punctul x * este punctul minim local (global) al funcției.
Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Atunci punctul x * este un maxim local (global).
Exemplul nr. 1. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției: pe segment.
Soluţie. 
Punctul critic este unul x 1 = 2 (f’(x)=0). Acest punct aparține segmentului. (Punctul x=0 nu este critic, deoarece 0∉).
Calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul critic.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Răspuns: f min = 5 / 2 la x=2; f max =9 la x=1
Exemplul nr. 2. Folosind derivate de ordin superior, găsiți extremul funcției y=x-2sin(x) .
Soluţie.
Aflați derivata funcției: y’=1-2cos(x) . Să găsim punctele critice: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Găsim y’’=2sin(x), calculați , ceea ce înseamnă x= π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele minime ale funcției; 
, ceea ce înseamnă x=- π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele maxime ale funcției.
Exemplul nr. 3. Investigați funcția extremum în vecinătatea punctului x=0.
Soluţie. Aici este necesar să găsim extremele funcției. Dacă extrema x=0, atunci aflați tipul său (minim sau maxim). Dacă printre punctele găsite nu există x = 0, atunci calculați valoarea funcției f(x=0).
Trebuie remarcat faptul că atunci când derivata de pe fiecare parte a unui punct dat nu își schimbă semnul, situatii posibile chiar și pentru funcții diferențiabile: se poate întâmpla ca pentru o vecinătate arbitrar mică pe o parte a punctului x 0 sau pe ambele părți, derivata să schimbe semnul. În aceste puncte este necesar să se utilizeze alte metode pentru a studia funcțiile la extrem.
Exemplul nr. 4. Împărțiți numărul 49 în doi termeni al căror produs va fi cel mai mare.
Soluţie. Să notăm x ca prim termen. Atunci (49-x) este al doilea termen.
Produsul va fi maxim: x·(49-x) → max
Din punct de vedere practic, cel mai mare interes este folosirea derivatei pentru a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții. Cu ce este legat asta? Maximizarea profiturilor, minimizarea costurilor, determinarea încărcăturii optime a echipamentelor... Cu alte cuvinte, în multe domenii ale vieții trebuie să rezolvăm probleme de optimizare a unor parametri. Și acestea sunt sarcinile de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții.
Trebuie remarcat faptul că cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții sunt de obicei căutate pe un anumit interval X, care este fie întregul domeniu al funcției, fie o parte a domeniului de definiție. Intervalul X însuși poate fi un segment, un interval deschis 
, un interval infinit.
În acest articol vom vorbi despre găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții definite în mod explicit a unei variabile y=f(x) .
Navigare în pagină.
Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții - definiții, ilustrații.
Să ne uităm pe scurt la principalele definiții.
Cea mai mare valoare a funcției 
asta pentru oricine 
inegalitatea este adevărată.
Cea mai mică valoare a funcției y=f(x) pe intervalul X se numește o astfel de valoare 
asta pentru oricine inegalitatea este adevărată.
Aceste definiții sunt intuitive: cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții este cea mai mare (cea mai mică) valoare acceptată pe intervalul luat în considerare la abscisă.
Puncte staționare– acestea sunt valorile argumentului la care derivata funcției devine zero.
De ce avem nevoie de puncte staționare când găsim cele mai mari și cele mai mici valori? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema lui Fermat. Din această teoremă rezultă că, dacă o funcție diferențiabilă are un extremum (minimum local sau maxim local) la un moment dat, atunci acest punct este staționar. Astfel, funcția ia adesea cea mai mare (cea mai mică) valoare pe intervalul X la unul dintre punctele staționare din acest interval.
De asemenea, o funcție își poate lua adesea cele mai mari și minime valori în punctele în care prima derivată a acestei funcții nu există, iar funcția în sine este definită.
Să răspundem imediat la una dintre cele mai frecvente întrebări pe această temă: „Este întotdeauna posibil să se determine cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții”? Nu, nu întotdeauna. Uneori, limitele intervalului X coincid cu limitele domeniului de definire a funcției, sau intervalul X este infinit. Iar unele funcții la infinit și la limitele domeniului de definiție pot lua atât valori infinit de mari, cât și infinit de mici. În aceste cazuri, nu se poate spune nimic despre valoarea cea mai mare și cea mai mică a funcției.
Pentru claritate, vom oferi o ilustrare grafică. Priviți imaginile și multe vor deveni mai clare.
Pe segment
În prima figură, funcția ia cele mai mari (max y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare situate în interiorul segmentului [-6;6].
Luați în considerare cazul prezentat în a doua figură. Să schimbăm segmentul în . În acest exemplu, cea mai mică valoare a funcției este obținută într-un punct staționar, iar cea mai mare în punctul cu abscisa corespunzătoare limitei drepte a intervalului.
În figura 3, punctele limită ale segmentului [-3;2] sunt abscisele punctelor corespunzătoare celei mai mari și mai mici valori a funcției.
Într-un interval deschis
În a patra figură, funcția ia cele mai mari (max y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare situate în interiorul intervalului deschis (-6;6).
Pe intervalul , nu se pot trage concluzii despre cea mai mare valoare.
La infinit
În exemplul prezentat în figura a șaptea, funcția ia cea mai mare valoare (max y) într-un punct staționar cu abscisă x=1, iar cea mai mică valoare (min y) se realizează pe limita dreaptă a intervalului. La minus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3.
Pe parcursul intervalului, funcția nu atinge nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare. Pe măsură ce x=2 se apropie de la dreapta, valorile funcției tind spre minus infinit (linia x=2 este o asimptotă verticală), iar pe măsură ce abscisa tinde spre plus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3. O ilustrare grafică a acestui exemplu este prezentată în Figura 8.
Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue pe un segment.
Să scriem un algoritm care ne permite să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment.
- Găsim domeniul de definire al funcției și verificăm dacă acesta conține întregul segment.
- Găsim toate punctele în care derivata întâi nu există și care sunt conținute în segment (de obicei astfel de puncte se găsesc în funcții cu un argument sub semnul modulului și în funcții de putere cu un exponent fracţional-raţional). Dacă nu există astfel de puncte, treceți la următorul punct.
- Determinăm toate punctele staționare care se încadrează în segment. Pentru a face acest lucru, îl echivalăm cu zero, rezolvăm ecuația rezultată și selectăm rădăcinile potrivite. Dacă nu există puncte staționare sau niciunul dintre ele nu intră în segment, treceți la următorul punct.
- Calculăm valorile funcției în punctele staționare selectate (dacă există), în punctele în care prima derivată nu există (dacă există), precum și la x=a și x=b.
- Din valorile obținute ale funcției, selectăm cele mai mari și cele mai mici - acestea vor fi valorile mai mari și, respectiv, cele mai mici necesare ale funcției.
Să analizăm algoritmul pentru rezolvarea unui exemplu pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment.
Exemplu.
Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții
- pe segment;
- pe segmentul [-4;-1] .
Soluţie.
Domeniul de definire al unei funcții este întregul set de numere reale, cu excepția zero, adică. Ambele segmente se încadrează în domeniul definiției.
Aflați derivata funcției în raport cu: 
Evident, derivata funcției există în toate punctele segmentelor și [-4;-1].
Determinăm puncte staționare din ecuație. Singura rădăcină reală este x=2. Acest punct staționar se încadrează în primul segment.
Pentru primul caz, calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul staționar, adică pentru x=1, x=2 și x=4: 
Prin urmare, cea mai mare valoare a funcției 
se realizează la x=1, iar cea mai mică valoare 
– la x=2.
Pentru al doilea caz, calculăm valorile funcției numai la capetele segmentului [-4;-1] (deoarece nu conține un singur punct staționar): 
Soluţie.
Să începem cu domeniul funcției. Trinomul pătrat din numitorul fracției nu trebuie să dispară: 
Este ușor de verificat dacă toate intervalele din enunțul problemei aparțin domeniului de definire a funcției.
Să diferențiem funcția: 
În mod evident, derivata există în întregul domeniu de definire al funcției.
Să găsim puncte staționare. Derivata ajunge la zero la . Acest punct staționar se încadrează în intervalele (-3;1] și (-3;2).
Acum puteți compara rezultatele obținute în fiecare punct cu graficul funcției. Liniile punctate albastre indică asimptotele.
În acest moment putem încheia cu găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției. Algoritmii discutați în acest articol vă permit să obțineți rezultate cu un minim de acțiuni. Cu toate acestea, poate fi util să se determine mai întâi intervalele de creștere și scădere ale funcției și numai după aceea să tragem concluzii despre cele mai mari și mai mici valori ale funcției pe orice interval. Acest lucru oferă o imagine mai clară și o justificare riguroasă a rezultatelor.
Uneori, în problemele B15 există funcții „proaste” pentru care este dificil să găsești o derivată. Anterior, acest lucru se întâmpla doar în timpul probelor de teste, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru examenul de stat unificat real.
În acest caz, funcționează alte tehnici, dintre care una este monoton.
Se spune că o funcție f (x) este în creștere monotonă pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Se spune că o funcție f (x) este monoton descrescătoare pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).
Cu alte cuvinte, pentru o funcție crescătoare, cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mare. Pentru o funcție descrescătoare este adevărat opusul: cu cât x mai mare, the Mai puțin f(x).
De exemplu, logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Rădăcina pătrată aritmetică (și nu numai pătrată) crește monoton pe întregul domeniu de definiție:
Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
În cele din urmă, grade cu exponent negativ. Le puteți scrie ca fracție. Au un punct de rupere în care monotonia este întreruptă.
Toate aceste funcții nu se găsesc niciodată în forma lor pură. Ei adaugă polinoame, fracții și alte prostii, ceea ce face dificilă calcularea derivatei. Să ne uităm la ce se întâmplă în acest caz.
Coordonatele vârfurilor parabolei
Cel mai adesea argumentul funcției este înlocuit cu trinom pătratic de forma y = ax 2 + bx + c. Graficul său este o parabolă standard care ne interesează:
- Ramurile unei parabole pot merge în sus (pentru a > 0) sau în jos (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Vârful unei parabole este punctul extremum al unei funcții pătratice la care această funcție își ia minimul (pentru a > 0) sau maximul (a< 0) значение.
De cel mai mare interes este vârful parabolei, a cărei abscisă se calculează cu formula:
Deci, am găsit punctul extremum al funcției pătratice. Dar dacă funcția originală este monotonă, pentru ea punctul x 0 va fi și un punct extremum. Astfel, să formulăm regula cheie:
Punctele extreme ale unui trinom pătratic și funcția complexă în care este inclus coincid. Prin urmare, puteți căuta x 0 pentru un trinom pătratic și uitați de funcție.
Din raționamentul de mai sus, rămâne neclar ce punct obținem: maxim sau minim. Cu toate acestea, sarcinile sunt concepute special, astfel încât acest lucru să nu conteze. Judecă singur:
- Nu există niciun segment în declarația problemei. Prin urmare, nu este nevoie să se calculeze f(a) și f(b). Rămâne să luăm în considerare doar punctele extremum;
- Dar există un singur astfel de punct - acesta este vârful parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente oral și fără derivate.
Astfel, rezolvarea problemei este mult simplificată și se reduce la doar doi pași:
- Scrieți ecuația parabolei y = ax 2 + bx + c și găsiți vârful acesteia folosind formula: x 0 = −b /2a ;
- Găsiți valoarea funcției inițiale în acest punct: f (x 0). Dacă nu există condiții suplimentare, acesta va fi răspunsul.
La prima vedere, acest algoritm și raționamentul său pot părea complexe. Nu postez în mod deliberat o diagramă de soluție „goală”, deoarece aplicarea necugetă a unor astfel de reguli este plină de erori.
Să ne uităm la problemele reale din examen de stat unificat de probă la matematică - aici se găsește cel mai des această tehnică. În același timp, ne vom asigura că în acest fel multe probleme de B15 devin aproape orale.
Sub rădăcină stă funcţie pătratică y = x 2 + 6x + 13. Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0.
Vârful parabolei:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3
Deoarece ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, în punctul x 0 = −3 funcția y = x 2 + 6x + 13 își ia valoarea minimă.
Rădăcina crește monoton, ceea ce înseamnă că x 0 este punctul minim al întregii funcții. Avem:
Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Sub logaritm există din nou o funcție pătratică: y = x 2 + 2x + 9. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0.
Vârful parabolei:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1
Deci, în punctul x 0 = −1 funcția pătratică își ia valoarea minimă. Dar funcția y = log 2 x este monotonă, deci:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Exponentul conține funcția pătratică y = 1 − 4x − x 2 . Să o rescriem în formă normală: y = −x 2 − 4x + 1.
În mod evident, graficul acestei funcții este o parabolă, ramificate în jos (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2
Funcția originală este exponențială, este monotonă, deci cea mai mare valoare va fi în punctul găsit x 0 = −2:
Un cititor atent va observa probabil că nu am scris intervalul de valori permise ale rădăcinii și logaritmului. Dar acest lucru nu a fost necesar: în interior există funcții ale căror valori sunt întotdeauna pozitive.
Corolare din domeniul unei funcții
Uneori, simpla găsire a vârfului parabolei nu este suficientă pentru a rezolva problema B15. Valoarea pe care o cauți poate fi la sfârșitul segmentului, și deloc la punctul extremum. Dacă problema nu indică deloc un segment, uită-te la intervalul de valori acceptabile functia originala. Anume:
Vă rugăm să rețineți din nou: zero poate fi sub rădăcină, dar niciodată în logaritmul sau numitorul unei fracții. Să vedem cum funcționează acest lucru cu exemple specifice:
Sarcină. Găsiți cea mai mare valoare a funcției:
Sub rădăcină se află din nou o funcție pătratică: y = 3 − 2x − x 2 . Graficul său este o parabolă, dar se ramifică în jos pentru că a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический rădăcină pătrată a unui număr negativ nu există.
Scriem intervalul de valori admisibile (APV):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Acum să găsim vârful parabolei:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1
Punctul x 0 = −1 aparține segmentului ODZ - și acest lucru este bun. Acum calculăm valoarea funcției în punctul x 0, precum și la capetele ODZ:
y(−3) = y(1) = 0
Deci, am primit numerele 2 și 0. Ni se cere să găsim cel mai mare - acesta este numărul 2.
Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:
y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)
În interiorul logaritmului există o funcție pătratică y = 6x − x 2 − 5. Aceasta este o parabolă cu ramuri în jos, dar într-un logaritm nu poate exista numere negative, așa că scriem ODZ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât capetele nu aparțin ODZ. Acest lucru diferă logaritmul de rădăcină, unde capetele segmentului ni se potrivesc destul de bine.
Căutăm vârful parabolei:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
Vârful parabolei se potrivește conform ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Dar din moment ce nu ne interesează capetele segmentului, calculăm valoarea funcției doar în punctul x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2