Extinderea unei funcții într-o serie Taylor, Maclaurin și Laurent pe un site pentru formarea abilităților practice. Această extindere în serie a unei funcții permite matematicienilor să estimeze valoarea aproximativă a funcției la un moment dat din domeniul său de definire. Este mult mai ușor să calculezi o astfel de valoare a funcției în comparație cu utilizarea tabelului Bredis, care este atât de irelevant în era tehnologiei informatice. Extinderea unei funcții într-o serie Taylor înseamnă calcularea coeficienților funcțiilor liniare ale acestei serii și scrierea acestora în forma corecta. Elevii confundă aceste două serii, neînțelegând care este cazul general și care este un caz special al celui de-al doilea. Să vă reamintim o dată pentru totdeauna că seria Maclaurin este un caz special al seriei Taylor, adică aceasta este seria Taylor, dar în punctul x = 0. Toate intrările scurte pentru extinderea funcțiilor binecunoscute, cum ar fi e^x, Sin(x), Cos(x) și altele, acestea sunt expansiuni de serie Taylor, dar la punctul 0 pentru argument. Pentru funcțiile unui argument complex, seria Laurent este cea mai comună problemă în TFCT, deoarece reprezintă o serie infinită cu două fețe. Este suma a două serii. Vă sugerăm să vă uitați la un exemplu de descompunere direct pe site, acest lucru este foarte ușor de făcut făcând clic pe „Exemplu” cu orice număr, apoi pe butonul „Soluție”. Tocmai această extindere a unei funcții într-o serie care este asociată cu o serie majorizantă limitează funcția inițială într-o anumită regiune de-a lungul axei ordonatelor dacă variabila aparține regiunii absciselor. Analiza vectorială este comparată cu o altă disciplină interesantă din matematică. Deoarece fiecare termen trebuie examinat, procesul necesită destul de mult timp. Orice serie Taylor poate fi asociată cu o serie Maclaurin prin înlocuirea x0 cu zero, dar pentru o serie Maclaurin uneori nu este evident să reprezinte seria Taylor în sens invers. De parcă nu este necesar să se facă acest lucru în forma sa pură, este interesant pentru auto-dezvoltarea generală. Fiecare serie Laurent corespunde unei serii de puteri infinite cu două fețe în numere întregi puterile z-a, cu alte cuvinte, o serie de același tip Taylor, dar ușor diferită în calculul coeficienților. Despre regiunea de convergență a seriei Laurent vom vorbi puțin mai târziu, după câteva calcule teoretice. Ca și în secolul trecut, o extindere pas cu pas a unei funcții într-o serie cu greu poate fi realizată pur și simplu prin aducerea termenilor la un numitor comun, deoarece funcțiile din numitori sunt neliniare. Un calcul aproximativ al valorii funcționale este cerut de formularea problemelor. Gândiți-vă la faptul că atunci când argumentul unei serii Taylor este o variabilă liniară, atunci expansiunea are loc în mai mulți pași, dar imaginea este complet diferită atunci când argumentul funcției care se extinde este o funcție complexă sau neliniară, atunci procesul de reprezentarea unei astfel de funcții într-o serie de puteri este evidentă, deoarece, în acest fel, este ușor de calculat, deși o valoare aproximativă, în orice punct al regiunii de definiție, cu o eroare minimă care are un efect redus asupra calculelor ulterioare. Acest lucru este valabil și pentru seria Maclaurin. când este necesar să se calculeze funcția la punctul zero. Cu toate acestea, seria Laurent în sine este reprezentată aici de o expansiune pe plan cu unități imaginare. De asemenea, soluția corectă a problemei în timpul proces general. Această abordare nu este cunoscută în matematică, dar există în mod obiectiv. Ca urmare, puteți ajunge la concluzia așa-numitelor submulțimi punctuale, iar în extinderea unei funcții într-o serie trebuie să utilizați metode cunoscute pentru acest proces, cum ar fi aplicarea teoriei derivatelor. Încă o dată suntem convinși că a avut dreptate profesorul, care și-a făcut presupunerile despre rezultatele calculelor post-computaționale. Să remarcăm că seria Taylor, obținută după toate canoanele matematicii, există și este definită pe întreaga axă numerică, totuși, dragi utilizatori ai serviciului de site, nu uitați de tipul funcției originale, deoarece se poate dovedi că inițial este necesar să se stabilească domeniul de definire al funcției, adică să se scrie și să se excludă de la analiza ulterioară acele puncte în care funcția nu este definită în domeniul numerelor reale. Ca să spunem așa, acest lucru vă va arăta eficiența în rezolvarea problemei. Construcția unei serii Maclaurin cu o valoare a argumentului zero nu va fi o excepție de la ceea ce s-a spus. Procesul de găsire a domeniului de definire a unei funcții nu a fost anulat și trebuie să abordați această operație matematică cu toată seriozitatea. În cazul unei serii Laurent care conține partea principală, parametrul „a” va fi numit punct singular izolat, iar seria Laurent va fi extinsă într-un inel - aceasta este intersecția zonelor de convergență a părților sale, prin urmare va urma teorema corespunzătoare. Dar nu totul este atât de complicat pe cât ar putea părea la prima vedere unui student fără experiență. După ce ați studiat seria Taylor, puteți înțelege cu ușurință seria Laurent - un caz generalizat pentru extinderea spațiului numerelor. Orice extindere în serie a unei funcții poate fi realizată numai într-un punct din domeniul de definire al funcției. Ar trebui luate în considerare proprietățile funcțiilor precum periodicitatea sau diferențiabilitatea infinită. De asemenea, vă sugerăm să utilizați tabelul de expansiuni gata făcute din seria Taylor ale funcțiilor elementare, deoarece o funcție poate fi reprezentată cu până la zeci de diferite una de cealaltă. serie de putere, care poate fi văzut folosind calculatorul nostru online. Seria online Maclaurin este la fel de ușor de determinat, dacă utilizați serviciul unic de site web, trebuie doar să introduceți funcția scrisă corectă și veți primi răspunsul prezentat în câteva secunde, este garantat că este exact și în o formă scrisă standard. Puteți copia rezultatul direct într-o copie curată pentru a fi transmisă profesorului. Ar fi corect să se determine mai întâi analiticitatea funcției în cauză în inele și apoi să se afirme fără ambiguitate că este extensibilă într-o serie Laurent în toate astfel de inele. Este important să nu pierdeți din vedere termenii seriei Laurent care conțin puteri negative. Concentrează-te pe asta cât mai mult posibil. Folosiți bine teorema lui Laurent privind extinderea unei funcții în puteri întregi.
Cum se inserează formule matematice pe un site web?
Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este descris în articol: formulele matematice sunt ușor de inserat pe site sub formă de imagini care sunt generate automat de Wolfram Alpha . Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este deja depășit din punct de vedere moral.
Dacă utilizați în mod regulat formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax - o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.
Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va momentul potrivit se încarcă automat de pe un server la distanță (lista de servere); (2) descărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă - mai complexă și consumatoare de timp - va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează-mi exemplul și în doar 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.
Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:
Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.
Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta este. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.
Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.
Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.
Dacă funcţia f(x) are pe un anumit interval care conține punctul O, derivate de toate ordinele, atunci i se poate aplica formula Taylor:
Unde r n– așa-numitul termen de rest sau rest al seriei, poate fi estimat folosind formula Lagrange:
, unde numărul x este între XŞi O.
Dacă pentru o anumită valoare x r n®0 la n®¥, atunci în limită formula Taylor se transformă într-o formulă convergentă pentru această valoare Seria Taylor:
Deci funcția f(x) poate fi extins într-o serie Taylor în punctul în cauză X, Dacă:
1) are derivate de toate ordinele;
2) seria construită converge în acest punct.
La O=0 obținem o serie numită lângă Maclaurin:
Exemplul 1 f(x)= 2x.
Soluţie. Să găsim valorile funcției și derivatele sale la X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Înlocuind valorile obținute ale derivatelor în formula seriei Taylor, obținem:
Raza de convergență a acestei serii este egală cu infinitul, prin urmare această expansiune este valabilă pentru -¥