Trapezul cu multe fețe... Poate fi arbitrar, isoscel sau dreptunghiular. Și în fiecare caz trebuie să știți cum să găsiți aria unui trapez. Desigur, cel mai simplu mod este să vă amintiți formulele de bază. Dar uneori este mai ușor să folosiți unul care este derivat luând în considerare toate caracteristicile unei anumite figuri geometrice.
Câteva cuvinte despre trapez și elementele sale
Orice patrulater ale cărui două laturi sunt paralele poate fi numit trapez. În general, ele nu sunt egale și se numesc baze. Cel mai mare este cel de jos, iar celălalt este cel de sus.
Celelalte două laturi se dovedesc a fi laterale. Într-un trapez arbitrar au lungimi diferite. Dacă sunt egale, atunci cifra devine isoscelă.
Dacă brusc unghiul dintre orice latură și bază se dovedește a fi egal cu 90 de grade, atunci trapezul este dreptunghiular.
Toate aceste caracteristici pot ajuta la rezolvarea problemei cum să găsiți zona unui trapez.
Dintre elementele figurii care pot fi indispensabile în rezolvarea problemelor, putem evidenția următoarele:
- înălțime, adică un segment perpendicular pe ambele baze;
- linia de mijloc, care are la capete punctele medii ale laturilor laterale.
Ce formulă poate fi folosită pentru a calcula suprafața dacă se cunosc baza și înălțimea?
Această expresie este dată ca una de bază deoarece cel mai adesea se pot recunoaște aceste cantități chiar și atunci când nu sunt date explicit. Deci, pentru a înțelege cum să găsiți aria unui trapez, va trebui să adăugați ambele baze și să le împărțiți la două. Apoi înmulțiți valoarea rezultată cu valoarea înălțimii.
Dacă desemnăm bazele ca 1 și a 2 și înălțimea ca n, atunci formula pentru zonă va arăta astfel:
S = ((a 1 + a 2)/2)*n.
Formula pentru calcularea suprafeței dacă sunt date înălțimea și linia centrală
Dacă te uiți cu atenție la formula anterioară, este ușor de observat că conține clar valoarea liniei mediane. Și anume, suma bazelor împărțită la doi. Fie ca linia din mijloc să fie desemnată cu litera l, apoi formula pentru zonă devine:
S = l * n.
Abilitatea de a găsi o zonă folosind diagonale
Această metodă va ajuta dacă unghiul format de ei este cunoscut. Să presupunem că diagonalele sunt desemnate cu literele d 1 și d 2, iar unghiurile dintre ele sunt α și β. Apoi formula pentru a găsi aria unui trapez va fi scrisă după cum urmează:
S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.
Puteți înlocui cu ușurință α cu β în această expresie. Rezultatul nu se va schimba.
Cum să aflați zona dacă toate laturile figurii sunt cunoscute?
Există, de asemenea, situații în care se cunosc exact laturile acestei figuri. Această formulă este greoaie și greu de reținut. Dar este posibil. Fie ca laturile să aibă denumirea: a 1 și a 2, baza a 1 este mai mare decât a 2. Apoi formula zonei va lua următoarea formă:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (în 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + în 1 2 - în 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).
Metode de calcul a ariei unui trapez isoscel
Prima se datorează faptului că în el poate fi înscris un cerc. Și, cunoscând raza sa (se notează cu litera r), precum și unghiul de la bază - γ, puteți folosi următoarea formulă:
S = (4 * r 2) / sin γ.
Ultima formulă generală, care se bazează pe cunoașterea tuturor laturilor figurii, va fi simplificată semnificativ datorită faptului că laturile au aceeași semnificație:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (în 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).
Metode de calcul a ariei unui trapez dreptunghiular
Este clar că oricare dintre cele de mai sus este potrivită pentru orice figură. Dar uneori este util să știți despre o caracteristică a unui astfel de trapez. Constă în faptul că diferența dintre pătratele lungimilor diagonalelor este egală cu diferența formată din pătratele bazelor.
Adesea formulele pentru un trapez sunt uitate, în timp ce expresiile pentru ariile unui dreptunghi și triunghi sunt amintite. Apoi puteți folosi o metodă simplă. Împărțiți trapezul în două forme, dacă este dreptunghiular, sau trei. Unul va fi cu siguranță un dreptunghi, iar al doilea, sau celelalte două, vor fi triunghiuri. După calcularea suprafețelor acestor cifre, nu rămâne decât să le însumăm.
Aceasta este o modalitate destul de simplă de a găsi aria unui trapez dreptunghiular.
Ce se întâmplă dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor trapezului?
În acest caz, va trebui să utilizați o expresie care vă permite să determinați distanța dintre puncte. Se poate aplica de trei ori: pentru a afla ambele baze si o inaltime. Și apoi aplicați doar prima formulă, care este descrisă puțin mai sus.
Pentru a ilustra această metodă, poate fi dat următorul exemplu. Vârfurile date cu coordonatele A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Trebuie să aflați zona figurii.
Înainte de a găsi aria trapezului, trebuie să calculați lungimile bazelor din coordonate. Veți avea nevoie de următoarea formulă:
lungimea segmentului = √((diferența primelor coordonate ale punctelor) 2 + (diferența coordonatelor secunde ale punctelor) 2 ).
Baza superioară este desemnată AB, ceea ce înseamnă că lungimea sa va fi egală cu √(((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Cea de jos este CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.
Acum trebuie să desenați înălțimea de sus la bază. Fie începutul său în punctul A. Sfârșitul segmentului va fi pe baza inferioară în punctul cu coordonatele (5; 1), să fie acesta punctul H. Lungimea segmentului AN va fi egală cu √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.
Tot ce rămâne este să înlocuiți valorile rezultate în formula pentru aria unui trapez:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Problema a fost rezolvată fără unități de măsură, deoarece scara grilei de coordonate nu a fost specificată. Poate fi fie un milimetru, fie un metru.
Exemple de probleme
Nr. 1. Stare. Unghiul dintre diagonalele unui trapez arbitrar este egal cu 30 de grade. Diagonala mai mică are o valoare de 3 dm, iar a doua este de 2 ori mai mare. Este necesar să se calculeze aria trapezului.
Soluţie. Mai întâi trebuie să aflați lungimea celei de-a doua diagonale, deoarece fără aceasta nu va fi posibil să calculați răspunsul. Nu este greu de calculat, 3 * 2 = 6 (dm).
Acum trebuie să utilizați formula potrivită pentru zonă:
S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problema este rezolvată.
Răspuns: Aria trapezului este de 4,5 dm2.
Nr. 2. Stare.În trapezul ABCD bazele sunt segmentele AD și BC. Punctul E este mijlocul laturii SD. Din aceasta se trasează o perpendiculară pe linia dreaptă AB, capătul acestui segment este desemnat cu litera H. Se știe că lungimile AB și EH sunt egale cu 5, respectiv 4 cm. Este necesar să se calculeze aria a trapezului.
Soluţie. Mai întâi trebuie să faci un desen. Deoarece valoarea perpendicularei este mai mică decât latura pe care este trasă, trapezul va fi ușor alungit în sus. Deci EH va fi în interiorul figurii.
Pentru a vedea clar progresul rezolvării problemei, va trebui să efectuați o construcție suplimentară. Și anume, trageți o linie dreaptă care va fi paralelă cu latura AB. Punctele de intersecție ale acestei drepte cu AD sunt P, iar cu continuarea lui BC sunt X. Figura rezultată VHRA este un paralelogram. În plus, aria sa este egală cu cea necesară. Acest lucru se datorează faptului că triunghiurile care au fost obținute în timpul construcției suplimentare sunt egale. Aceasta rezultă din egalitatea laturii și a două unghiuri adiacente acesteia, unul vertical, celălalt întins transversal.
Puteți găsi aria unui paralelogram folosind o formulă care conține produsul laturii și înălțimea coborâtă pe acesta.
Astfel, aria trapezului este de 5 * 4 = 20 cm 2.
Răspuns: S = 20 cm 2.
Nr. 3. Stare. Elementele unui trapez isoscel au următoarele valori: baza inferioară - 14 cm, baza superioară - 4 cm, unghi ascuțit- 45º. Trebuie să-i calculezi aria.
Soluţie. Lăsați baza mai mică să fie desemnată BC. Înălțimea trasă din punctul B se va numi VH. Deoarece unghiul este de 45º, triunghiul ABH va fi dreptunghiular și isoscel. Deci AN=VN. În plus, AN este foarte ușor de găsit. Este egal cu jumătate din diferența de baze. Adică (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).
Se cunosc bazele, se calculează înălțimile. Puteți folosi prima formulă, care a fost discutată aici pentru un trapez arbitrar.
S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).
Răspuns: Suprafața necesară este de 45 cm 2.
Nr. 4. Stare. Există un trapez ABCD arbitrar. Punctele O și E sunt luate pe laturile sale laterale, astfel încât OE să fie paralel cu baza AD. Aria trapezului AOED este de cinci ori mai mare decât cea a OVSE. Calculați valoarea OE dacă sunt cunoscute lungimile bazelor.
Soluţie. Va trebui să desenați două drepte paralele AB: prima prin punctul C, intersecția sa cu OE este punctul T; al doilea prin E și punctul de intersecție cu AD va fi M.
Fie necunoscutul OE=x. Înălțimea trapezului mai mic OVSE este n 1, AOED mai mare este n 2.
Deoarece ariile acestor două trapeze sunt legate de la 1 la 5, putem scrie următoarea egalitate:
(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2
n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).
Înălțimile și laturile triunghiurilor sunt proporționale prin construcție. Prin urmare, putem scrie încă o egalitate:
n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a 1 - x).
În ultimele două intrări din partea stângă există valori egale, ceea ce înseamnă că putem scrie că (x + a 1) / (5(x + a 2)) este egal cu (x - a 2) / (a 1 - x).
Aici sunt necesare o serie de transformări. Mai întâi înmulțiți în cruce. Parantezele vor apărea pentru a indica diferența de pătrate, după aplicarea acestei formule veți obține o scurtă ecuație.
În ea trebuie să deschideți parantezele și să mutați toți termenii cu „x” necunoscut la partea stângă, și apoi luați rădăcina pătrată.
Răspuns: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).
La întrebarea simplă „Cum să găsești înălțimea unui trapez?” Există mai multe răspunsuri, toate pentru că pot fi date diferite valori de pornire. Prin urmare, formulele vor diferi.
Aceste formule pot fi memorate, dar nu sunt greu de derivat. Trebuie doar să aplicați teoremele învățate anterior.
Notații utilizate în formule
În toate notațiile matematice de mai jos, aceste lecturi ale literelor sunt corecte.
În datele sursă: toate părțile
Pentru a găsi înălțimea unui trapez în cazul general, va trebui să utilizați următoarea formulă:
n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). Numărul 1.
Nu cea mai scurtă, dar întâlnită și destul de rar în probleme. De obicei, puteți utiliza alte date.
Formula care vă va spune cum să găsiți înălțimea unui trapez isoscel în aceeași situație este mult mai scurtă:
n = √(c 2 - (a - c) 2 /4). Numărul 2.
Problema dă: laturile laterale și unghiurile la baza inferioară
Se presupune că unghiul α este adiacent laturii cu denumirea „c”, respectiv, unghiul β este la latura d. Apoi formula pentru a afla înălțimea unui trapez va fi în formă generală:
n = c * sin α = d * sin β. Numărul 3.
Dacă cifra este isoscelă, atunci puteți folosi această opțiune:
n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. Numărul 4.
Cunoscute: diagonalele si unghiurile dintre ele
De obicei, aceste date sunt însoțite de alte cantități cunoscute. De exemplu, bazele sau linia de mijloc. Dacă sunt date motivele, atunci pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți înălțimea unui trapez, următoarea formulă va fi utilă:
n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a + b) sau n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a + b). Numărul 5.
Aceasta este pentru vedere generală cifre. Dacă este dat un isoscel, atunci notația se va schimba astfel:
n = (d 1 2 * sin γ) / (a + b) sau n = (d 1 2 * sin δ) / (a + b). Numărul 6.
Când problema se referă la linia mediană a unui trapez, formulele pentru găsirea înălțimii acestuia devin următoarele:
n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m sau n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Numărul 5a.
n = (d 1 2 * sin γ) / 2m sau n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Numărul 6a.
Dintre cantitățile cunoscute: zonă cu baze sau linie mediană
Acestea sunt probabil cele mai scurte și simple formule pentru a afla înălțimea unui trapez. Pentru o cifră arbitrară va fi așa:
n = 2S / (a + b). Numărul 7.
Este același, dar cu o linie de mijloc cunoscută:
n = S/m. Numărul 7a.
Destul de ciudat, pentru un trapez isoscel formulele vor arăta la fel.
Sarcini
nr 1. Pentru a determina unghiurile de la baza inferioară a trapezului.
Stare. Având în vedere un trapez isoscel a cărui latură este de 5 cm, bazele lui sunt de 6 și 12 cm. Trebuie să găsiți sinusul unui unghi ascuțit.
Soluţie. Pentru comoditate, ar trebui să introduceți o desemnare. Fie vârful din stânga jos A, iar restul în sensul acelor de ceasornic: B, C, D. Astfel, baza inferioară va fi desemnată AD, cea superioară - BC.
Este necesar să se deseneze înălțimi din vârfurile B și C. Punctele care indică capetele înălțimilor vor fi desemnate H 1 și, respectiv, H 2. Deoarece toate unghiurile din figura BCH 1 H 2 sunt unghiuri drepte, acesta este un dreptunghi. Aceasta înseamnă că segmentul H 1 H 2 are 6 cm.
Acum trebuie să luăm în considerare două triunghiuri. Sunt egale deoarece sunt dreptunghiulare cu aceleași ipotenuze și catete verticale. De aici rezultă că picioarele lor mai mici sunt egale. Prin urmare, ele pot fi definite ca coeficientul diferenței. Acesta din urmă se obține prin scăderea celui de sus din baza inferioară. Va fi împărțit la 2. Adică 12 - 6 trebuie împărțit la 2. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).
Acum din teorema lui Pitagora trebuie să găsiți înălțimea trapezului. Este necesar să găsiți sinusul unui unghi. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).
Folosind cunoștințele despre cum se găsește sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi cu unghi drept, putem scrie următoarea expresie: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.
Răspuns. Sinusul necesar este 0,8.
nr. 2. Pentru a afla înălțimea unui trapez folosind o tangentă cunoscută.
Stare. Pentru un trapez isoscel, trebuie să calculați înălțimea. Se știe că bazele sale sunt de 15 și 28 cm Tangenta unghiului ascuțit este dată: 11/13.
Soluţie. Desemnarea vârfurilor este aceeași ca în problema anterioară. Din nou, trebuie să desenați două înălțimi din colțurile superioare. Prin analogie cu soluția primei probleme, trebuie să găsiți AN 1 = N 2 D, care este definită ca diferența de 28 și 15 împărțită la doi. După calcule rezultă: 6,5 cm.
Deoarece tangenta este raportul a două catete, putem scrie următoarea egalitate: tan α = AH 1 / VN 1 . Mai mult, acest raport este egal cu 11/13 (conform condiției). Deoarece AN 1 este cunoscut, înălțimea poate fi calculată: ВН 1 = (11 * 6,5) / 13. Calcule simple da un rezultat de 5,5 cm.
Răspuns.Înălțimea necesară este de 5,5 cm.
nr. 3. Pentru a calcula înălțimea folosind diagonalele cunoscute.
Stare. Despre trapez se știe că diagonalele sale sunt de 13 și 3 cm. Trebuie să aflați înălțimea acestuia dacă suma bazelor este de 14 cm.
Soluţie. Fie ca denumirea figurii să fie aceeași ca înainte. Să presupunem că AC este diagonala mai mică. Din vârful C trebuie să desenați înălțimea dorită și să o desemnați CH.
Acum trebuie să faceți o construcție suplimentară. Din colțul C trebuie să trasați o linie dreaptă paralelă cu diagonala mai mare și să găsiți punctul de intersecție cu continuarea laturii AD. Acesta va fi D 1. Rezultă un nou trapez, în interiorul căruia este desenat un triunghi ASD 1. Acesta este ceea ce este necesar pentru a rezolva în continuare problema.
Înălțimea dorită va fi și în triunghi. Prin urmare, puteți folosi formulele studiate într-un alt subiect. Înălțimea unui triunghi este definită ca produsul dintre numărul 2 și aria împărțită la latura de care este desenat. Și latura se dovedește a fi egală cu suma bazelor trapezului original. Aceasta provine din regula prin care s-a făcut construcția suplimentară.
În triunghiul luat în considerare, toate laturile sunt cunoscute. Pentru comoditate, introducem notația x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.
Acum puteți calcula aria folosind teorema lui Heron. Semiperimetrul va fi egal cu p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Apoi, formula pentru zonă după înlocuirea valorilor va arăta astfel: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).
Răspuns.Înălțimea este de 6√10 / 7 cm.
nr. 4. Pentru a găsi înălțimea pe părțile laterale.
Stare. Având în vedere un trapez, dintre care trei laturi sunt de 10 cm, iar a patra este de 24 cm. Trebuie să aflați înălțimea acestuia.
Soluţie. Deoarece cifra este isoscelă, veți avea nevoie de formula numărul 2. Trebuie doar să înlocuiți toate valorile în ea și să numărați. Va arata asa:
n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).
Răspuns. n = √51 cm.
Geometria este una dintre științele pe care oamenii le întâlnesc în practică aproape în fiecare zi. Printre diversitate forme geometrice Trapezul merită și el o atenție deosebită. Este o figură convexă cu patru laturi, dintre care două sunt paralele una cu cealaltă. Acestea din urmă se numesc baze, iar celelalte două se numesc laturi. Segmentul perpendicular pe baze și care determină dimensiunea spațiului dintre ele va fi înălțimea trapezului. Cum ii poti calcula lungimea?
Aflați înălțimea unui trapez arbitrar
Pe baza datelor inițiale, determinarea înălțimii unei figuri este posibilă în mai multe moduri.
Zona cunoscuta
Dacă lungimea laturilor paralele este cunoscută și este indicată și aria figurii, atunci pentru a determina perpendiculara dorită, puteți utiliza următoarea relație:
S=h*(a+b)/2,
h – valoarea dorită (înălțimea),
S – zona figurii,
a și b sunt laturi paralele între ele.
Din formula de mai sus rezultă că h=2S/(a+b).
Valoarea liniei mediane este cunoscută
Dacă printre datele inițiale, pe lângă aria trapezului (S), este cunoscută și lungimea liniei mediane (l), atunci o altă formulă este utilă pentru calcule. În primul rând, merită să clarificăm care este linia mediană pentru acest tip de patrulater. Termenul definește partea dreptei care leagă punctele medii ale laturilor laterale ale figurii.
Pe baza proprietății trapezului l=(a+b)/2,
l – linia mediană,
a, b – laturile bazei patrulaterului.
Prin urmare h=2S/(a+b)=S/l.
Sunt cunoscute 4 laturi ale figurii
În acest caz, teorema lui Pitagora va ajuta. După ce ați coborât perpendicularele pe baza laterală mai mare, utilizați-o pentru cele două triunghiuri dreptunghiulare rezultate. Expresia finală va arăta astfel:
h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2,
c și d – alte 2 părți.
Unghiuri la bază
Dacă aveți date despre unghiurile de bază, utilizați funcții trigonometrice.
h = c* sinα = d*sinβ,
α și β sunt unghiurile de la baza patrulaterului,
c și d sunt laturile sale.
Diagonalele unei figuri și unghiurile pe care le intersectează
Lungimea diagonalei este lungimea segmentului care leagă vârfurile opuse ale figurii. Să notăm aceste mărimi cu simbolurile d1 și d2, iar unghiurile dintre ele cu γ și φ. Apoi:
h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,
h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,
a și b sunt laturile de bază ale figurii,
d1 și d2 - diagonale trapezoidale,
γ și φ sunt unghiurile dintre diagonale.
Înălțimea figurii și raza cercului care este înscris în ea
După cum rezultă din definiția acestui tip de cerc, acesta atinge fiecare bază în 1 punct, care fac parte dintr-o linie dreaptă. Prin urmare, distanța dintre ele este diametrul - înălțimea dorită a figurii. Și deoarece diametrul este de două ori mai mare decât raza, atunci:
h = 2 * r,
r este raza cercului care este înscris în acest trapez.
Aflați înălțimea unui trapez isoscel
- După cum rezultă din formulare, o caracteristică distinctivă a unui trapez isoscel este egalitatea laturilor sale laterale. Prin urmare, pentru a afla înălțimea unei figuri, utilizați formula pentru determinarea acestei valori în cazul în care laturile trapezului sunt cunoscute.
Deci, dacă c = d, atunci h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b – laturile bazei patrulaterului,
c = d – laturile sale.
- Dacă există unghiuri formate din două laturi (bază și latură), înălțimea trapezului este determinată de următorul raport:
h = c* sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,
α – unghi la baza figurii,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d – laturile sale.
- Dacă sunt date valorile diagonalelor figurii, atunci expresia pentru găsirea înălțimii figurii se va schimba, deoarece d1 = d2:
h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,
h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.
Există multe modalități de a găsi aria unui trapez. De obicei, un profesor de matematică cunoaște mai multe metode de calcul, să le analizăm mai detaliat:
1) 
, unde AD și BC sunt bazele, iar BH este înălțimea trapezului. Demonstrație: trageți diagonala BD și exprimați ariile triunghiurilor ABD și CDB prin jumătatea produsului dintre bazele și înălțimile lor:
, unde DP este înălțimea exterioară în
Să adăugăm aceste egalități termen cu termen și ținând cont de faptul că înălțimile BH și DP sunt egale, obținem:
Să-l scoatem din paranteze
Q.E.D.
Corolar al formulei pentru aria unui trapez:
Deoarece jumătatea sumei bazelor este egală cu MN - linia mediană a trapezului, atunci
2) Aplicarea formulei generale pentru aria unui patrulater.
Aria unui patrulater este egală cu jumătate din produsul diagonalelor înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele
Pentru a demonstra acest lucru, este suficient să împărțiți trapezul în 4 triunghiuri, să exprimați aria fiecăruia în termeni de „jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele” (luat ca unghi, adăugați rezultatul rezultat expresii, scoate-le din paranteză și factorizează această paranteză folosind metoda de grupare pentru a obține egalitatea cu expresia
3) Metoda deplasării în diagonală
Acesta este numele meu. Un tutore de matematică nu va întâlni o astfel de rubrică în manualele școlare. O descriere a tehnicii poate fi găsită doar în adițional manuale ca exemplu de rezolvare a unei probleme. Observ că cele mai multe dintre cele mai interesante și fapte utile tutorii de matematică dezvăluie planimetria elevilor în procesul de performanță munca practica. Acest lucru este extrem de suboptim, deoarece elevul trebuie să le izoleze în teoreme separate și să le numească „nume mari”. Una dintre acestea este „deplasarea în diagonală”. Despre ce vorbim? 
Să trasăm o dreaptă paralelă cu AC prin vârful B până când se intersectează cu baza inferioară în punctul E. În acest caz, patrulaterul EBCA va fi un paralelogram (prin definiție) și deci BC=EA și EB=AC. Prima egalitate este importantă pentru noi acum. Avem:
Rețineți că triunghiul BED, a cărui zonă este egală cu aria trapezului, are câteva proprietăți mai remarcabile:
1) Aria sa este egală cu aria trapezului
2) Isoscelul său apare simultan cu isoscelul trapezului însuși
3) Unghiul său superior la vârful B este egal cu unghiul dintre diagonalele trapezului (care este foarte des folosit în probleme) 
4) Mediana sa BK este egală cu distanța QS dintre punctele medii ale bazelor trapezului. Am întâlnit recent utilizarea acestei proprietăți atunci când pregăteam un student pentru mecanică și matematică la Universitatea de Stat din Moscova folosind manualul lui Tkachuk, versiunea 1973 (problema este dată în partea de jos a paginii).
Tehnici speciale pentru un profesor de matematică.
Uneori propun probleme folosind un mod foarte complicat de a găsi zona unui trapez. O clasific ca fiind o tehnică specială pentru că în practică tutorul le folosește extrem de rar. Dacă aveți nevoie de pregătire pentru examenul de stat unificat la matematică numai în partea B, nu trebuie să citiți despre ele. Pentru alții, vă spun mai departe. Se pare că aria unui trapez este de două ori mai mare decât aria unui triunghi cu vârfuri la capetele unei laturi și la mijlocul celeilalte, adică triunghiul ABS din figură: 
Dovada: trageți înălțimile SM și SN în triunghiuri BCS și ADS și exprimați suma ariilor acestor triunghiuri:
Deoarece punctul S este punctul de mijloc al CD, atunci (demonstrați-l singuri) Să găsim suma ariilor triunghiurilor:
Deoarece această sumă s-a dovedit a fi egală cu jumătate din aria trapezului, apoi a doua jumătate a acestuia. etc.
În colecția de tehnici speciale a profesorului, aș include forma de calcul a ariei unui trapez isoscel de-a lungul laturilor sale: unde p este semiperimetrul trapezului. Nu voi da dovada. În caz contrar, profesorul tău de matematică va rămâne fără loc de muncă :). Vino la clasa!
Probleme pe zona unui trapez:
Nota profesorului de matematică: Lista de mai jos nu este un acompaniament metodologic al subiectului, este doar o mică selecție de sarcini interesante bazate pe tehnicile discutate mai sus.
1) Baza inferioară a unui trapez isoscel este 13, iar cea superioară este 5. Aflați aria trapezului dacă diagonala sa este perpendiculară pe latură.
2) Aflați aria unui trapez dacă bazele lui sunt de 2 cm și 5 cm, iar laturile sale sunt de 2 cm și 3 cm.
3) Într-un trapez isoscel, baza mai mare este 11, latura este 5, iar diagonala este Aflați aria trapezului.
4) Diagonala unui trapez isoscel este 5, iar linia mediană este 4. Aflați aria.
5) Într-un trapez isoscel, bazele sunt 12 și 20, iar diagonalele sunt reciproc perpendiculare. Calculați aria unui trapez
6) Diagonala unui trapez isoscel formează un unghi cu baza sa inferioară. Aflați aria trapezului dacă înălțimea lui este de 6 cm.
7) Aria trapezului este de 20, iar una dintre laturile sale este de 4 cm Găsiți distanța de la mijlocul părții opuse.
8) Diagonala unui trapez isoscel îl împarte în triunghiuri cu ariile de 6 și 14. Aflați înălțimea dacă latura laterală este 4.
9) Într-un trapez, diagonalele sunt egale cu 3 și 5, iar segmentul care leagă punctele medii ale bazelor este egal cu 2. Aflați aria trapezului (Mekhmat MSU, 1970).
Nu l-am ales pe cel mai bun sarcini complexe(nu vă fie teamă de departamentul de mecanică și matematică!) cu așteptarea că acestea pot fi rezolvate independent. Decide pentru sanatatea ta! Dacă aveți nevoie de pregătire pentru examenul de stat unificat la matematică, atunci fără participarea formulei pentru zona unui trapez în acest proces, pot apărea probleme serioase chiar și cu problema B6 și cu atât mai mult cu C4. Nu începe subiectul și în caz de dificultăți, cere ajutor. Un profesor de matematică este întotdeauna bucuros să vă ajute.
Kolpakov A.N.
Profesor de matematică la Moscova, pregătirea pentru examenul de stat unificat la Strogino.
Practica Examenului de stat unificat și a examenului de stat de anul trecut arată că problemele de geometrie provoacă dificultăți pentru mulți școlari. Le poți face față cu ușurință dacă memorezi toate formulele necesare și exersezi rezolvarea problemelor.
În acest articol veți vedea formule pentru găsirea zonei unui trapez, precum și exemple de probleme cu soluții. Puteți întâlni aceleași în KIM-uri în timpul examenelor de certificare sau la olimpiade. Prin urmare, tratați-le cu atenție.
Ce trebuie să știi despre trapez?
Pentru început, să ne amintim asta trapez se numește patrulater în care două laturi opuse, numite și baze, sunt paralele, iar celelalte două nu.
Într-un trapez, înălțimea (perpendiculară pe bază) poate fi, de asemenea, coborâtă. Se trasează linia de mijloc - aceasta este o linie dreaptă paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma lor. La fel și diagonalele care se pot intersecta, formând unghiuri acute și obtuze. Sau, în unele cazuri, în unghi drept. În plus, dacă trapezul este isoscel, în el poate fi înscris un cerc. Și descrie un cerc în jurul lui.
Formule ale zonei trapezoidale
În primul rând, să ne uităm la formulele standard pentru găsirea ariei unui trapez. Vom lua în considerare modalități de a calcula aria trapezelor isoscele și curbilinii mai jos.
Deci, imaginați-vă că aveți un trapez cu bazele a și b, în care înălțimea h este coborâtă la baza mai mare. Calcularea suprafeței unei figuri în acest caz este la fel de ușor ca decojirea perelor. Trebuie doar să împărțiți suma lungimilor bazelor cu două și să înmulțiți rezultatul cu înălțimea: S = 1/2(a + b)*h.
Să luăm un alt caz: să presupunem că într-un trapez, pe lângă înălțime, există o linie de mijloc m. Cunoaștem formula pentru aflarea lungimii dreptei din mijloc: m = 1/2(a + b). Prin urmare, putem simplifica pe bună dreptate formula pentru aria unui trapez la următorul tip: S = m* h. Cu alte cuvinte, pentru a găsi aria unui trapez, trebuie să înmulțiți linia centrală cu înălțimea.
Să luăm în considerare o altă opțiune: trapezul conține diagonalele d 1 și d 2, care nu se intersectează în unghi drept α. Pentru a calcula aria unui astfel de trapez, trebuie să împărțiți produsul diagonalelor cu două și să înmulțiți rezultatul cu păcatul unghiului dintre ele: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Acum luați în considerare formula pentru găsirea ariei unui trapez dacă nu se știe nimic despre acesta, cu excepția lungimii tuturor laturilor sale: a, b, c și d. Aceasta este o formulă greoaie și complexă, dar vă va fi util să o amintiți pentru orice eventualitate: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Apropo, exemplele de mai sus sunt valabile și pentru cazul în care aveți nevoie de formula pentru aria unui trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez, a cărui latură se învecinează cu bazele în unghi drept.
Trapez isoscel
Un trapez ale cărui laturi sunt egale se numește isoscel. Vom lua în considerare mai multe opțiuni pentru formula pentru aria unui trapez isoscel.
Prima opțiune: pentru cazul în care un cerc cu raza r este înscris în interiorul unui trapez isoscel, iar latura și baza mai mare formează un unghi ascuțit α. Un cerc poate fi înscris într-un trapez cu condiția ca suma lungimilor bazelor sale să fie egală cu suma lungimilor laturilor.
Aria unui trapez isoscel se calculează după cum urmează: înmulțiți pătratul razei cercului înscris cu patru și împărțiți totul cu sinα: S = 4r2/sinα. O altă formulă de zonă este un caz special pentru opțiunea când unghiul dintre baza mare și latură este 30 0: S = 8r2.
A doua opțiune: de data aceasta luăm un trapez isoscel, în care în plus sunt desenate diagonalele d 1 și d 2, precum și înălțimea h. Dacă diagonalele unui trapez sunt reciproc perpendiculare, înălțimea este jumătate din suma bazelor: h = 1/2(a + b). Știind acest lucru, este ușor să transformați formula pentru zona unui trapez care vă este deja familiar în această formă: S = h 2.
Formula pentru aria unui trapez curbat
Să începem prin a ne da seama ce este un trapez curbat. Imaginează-ți o axă de coordonate și un grafic al unei funcții continue și nenegative f care nu își schimbă semnul într-un anumit segment de pe axa x. Un trapez curbiliniu este format din graficul funcției y = f(x) - în partea de sus, axa x este în partea de jos (segment), iar pe laturi - linii drepte trasate între punctele a și b și graficul lui functia.
Este imposibil să se calculeze aria unei astfel de figuri nestandard folosind metodele de mai sus. Aici trebuie să aplicați analiza matematică și să utilizați integrala. Și anume: formula Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). În această formulă, F este antiderivată a funcției noastre pe segmentul selectat. Și aria unui trapez curbiliniu corespunde creșterii antiderivatei pe un anumit segment.
Exemple de probleme
Pentru a face toate aceste formule mai ușor de înțeles în capul tău, iată câteva exemple de probleme pentru găsirea zonei unui trapez. Cel mai bine va fi dacă încercați mai întâi să rezolvați singur problemele și abia apoi să comparați răspunsul primit cu soluția gata făcută.
Sarcina #1: Dat un trapez. Baza sa mai mare este de 11 cm, cea mai mică este de 4 cm. Trapezul are diagonale, una de 12 cm lungime, a doua de 9 cm.
Rezolvare: Construiți un AMRS trapez. Desenați o dreaptă РХ prin vârful P astfel încât să fie paralelă cu diagonala MC și să intersecteze dreapta AC în punctul X. Veți obține un triunghi APХ.
Vom lua în considerare două figuri obținute în urma acestor manipulări: triunghiul APX și paralelogramul CMRX.
Datorită paralelogramului, aflăm că PX = MC = 12 cm și CX = MR = 4 cm. De unde putem calcula latura AX a triunghiului ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
De asemenea, putem demonstra că triunghiul APX este dreptunghic (pentru a face acest lucru, aplică teorema lui Pitagora - AX 2 = AP 2 + PX 2). Și calculează-i aria: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
În continuare, va trebui să demonstrați că triunghiurile AMP și PCX sunt egale ca suprafață. Baza va fi egalitatea părților MR și CX (deja demonstrată mai sus). Și, de asemenea, înălțimile pe care le coborâți pe aceste laturi - sunt egale cu înălțimea trapezului AMRS.
Toate acestea vă vor permite să spuneți că S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Sarcina #2: Este dat trapezul KRMS. Pe laturile sale laterale sunt punctele O și E, în timp ce OE și KS sunt paralele. De asemenea, se știe că zonele trapezelor ORME și OKSE sunt în raport de 1:5. RM = a și KS = b. Trebuie să găsiți OE.
Rezolvare: Desenați o dreaptă paralelă cu RK prin punctul M și desemnați punctul său de intersecție cu OE ca T. A este punctul de intersecție al dreptei trasate prin punctul E paralel cu RK cu baza KS.
Să mai introducem o notație - OE = x. Și, de asemenea, înălțimea h 1 pentru triunghiul TME și înălțimea h 2 pentru triunghiul AEC (puteți demonstra independent asemănarea acestor triunghiuri).
Vom presupune că b > a. Aricele trapezelor ORME și OKSE sunt în raportul 1:5, ceea ce ne dă dreptul de a crea următoarea ecuație: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Să transformăm și să obținem: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Deoarece triunghiurile TME și AEC sunt similare, avem h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Să combinăm ambele intrări și să obținem: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Astfel, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Concluzie
Geometria nu este cea mai ușoară dintre științe, dar cu siguranță poți face față întrebărilor de la examen. Este suficient să arăți puțină perseverență în pregătire. Și, bineînțeles, amintiți-vă de toate formulele necesare.
Am încercat să colectăm toate formulele pentru calcularea ariei unui trapez într-un singur loc, astfel încât să le puteți folosi atunci când vă pregătiți pentru examene și revizuiți materialul.
Asigurați-vă că le spuneți colegilor și prietenilor despre acest articol. rețelele sociale. Să fie mai multe note bune la examenul de stat unificat și la examenele de stat!
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.