- Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egal cu jumătate din diferența bazelor
- Triunghiurile formate din bazele unui trapez și segmentele diagonalelor până la punctul lor de intersecție sunt similare
- Triunghiuri formate din segmente ale diagonalelor unui trapez, ale căror laturi se află pe laturile laterale ale trapezului - egale ca mărime (au aceeași zonă)
- Dacă extindeți laturile trapezului spre baza mai mică, atunci acestea se vor intersecta într-un punct cu linia dreaptă care leagă punctele de mijloc ale bazelor.
- Un segment care leagă bazele unui trapez și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului este împărțit la acest punct într-o proporție egală cu raportul dintre lungimile bazelor trapezului.
- Un segment paralel cu bazele trapezului și trasat prin punctul de intersecție al diagonalelor este împărțit la jumătate cu acest punct, iar lungimea sa este egală cu 2ab/(a + b), unde a și b sunt bazele trapez
Proprietățile unui segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez
Să conectăm punctele medii ale diagonalelor trapezului ABCD, în urma căruia vom avea un segment LM.
Un segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez se află pe linia mediană a trapezului.
Acest segment paralel cu bazele trapezului.
Lungimea segmentului care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egală cu jumătate din diferența bazelor acestuia.
LM = (AD - BC)/2
sau
LM = (a-b)/2
Proprietățile triunghiurilor formate din diagonalele unui trapez
Triunghiuri care sunt formate din bazele unui trapez și punctul de intersecție al diagonalelor trapezului - sunt asemănătoare.
Triunghiurile BOC și AOD sunt similare. Deoarece unghiurile BOC și AOD sunt verticale, ele sunt egale.
Unghiurile OCB și OAD sunt unghiuri interne situate transversal cu drepte paralele AD și BC (bazele trapezului sunt paralele între ele) și o dreaptă secantă AC, prin urmare sunt egale.
Unghiurile OBC și ODA sunt egale din același motiv (în cruce internă).
Deoarece toate cele trei unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu unghiurile corespunzătoare ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt similare.
Ce rezultă din asta?
Pentru a rezolva probleme de geometrie, asemănarea triunghiurilor este utilizată după cum urmează. Dacă cunoaștem lungimile a două elemente corespondente ale triunghiurilor similare, atunci găsim coeficientul de asemănare (împărțim unul la celălalt). De unde lungimile tuturor celorlalte elemente sunt legate între ele prin exact aceeași valoare.
Proprietățile triunghiurilor situate pe partea laterală și diagonalele unui trapez
Luați în considerare două triunghiuri situate pe laturile laterale ale trapezului AB și CD. Acestea sunt triunghiuri AOB și COD. În ciuda faptului că dimensiunile laturilor individuale ale acestor triunghiuri pot fi complet diferite, dar ariile triunghiurilor formate din laturile laterale si punctul de intersectie al diagonalelor trapezului sunt egale, adică triunghiurile sunt egale ca mărime.
Dacă extindem laturile trapezului spre baza mai mică, atunci punctul de intersecție al laturilor va fi coincid cu o linie dreaptă care trece prin mijlocul bazelor.
Astfel, orice trapez poate fi extins într-un triunghi. În acest caz:
- Triunghiurile formate din bazele unui trapez cu un vârf comun în punctul de intersecție al laturilor extinse sunt similare
- Linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor trapezului este, în același timp, mediana triunghiului construit
Proprietățile unui segment care leagă bazele unui trapez
Dacă desenăm un segment ale cărui capete se află pe bazele unui trapez, care se află în punctul de intersecție a diagonalelor trapezului (KN), atunci raportul segmentelor sale constitutive de pe latura bazei la punctul de intersecție a diagonalelor (KO/ON) va fi egal cu raportul bazelor trapezului(BC/AD).
KO/ON = BC/AD
Această proprietate rezultă din asemănarea triunghiurilor corespunzătoare (vezi mai sus).
Proprietățile unui segment paralel cu bazele unui trapez
Dacă trasăm un segment paralel cu bazele trapezului și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului, atunci acesta va avea următoarele proprietăți:
- Distanța specificată (KM) traversată de punctul de intersecție al diagonalelor trapezului
- Lungimea secțiunii care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului și paralel cu bazele este egal cu KM = 2ab/(a + b)
Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez
a, b- baze trapezoidale
CD- laturile trapezului
d1 d2- diagonalele unui trapez
α β - unghiuri cu baza mai mare a trapezului
Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin baze, laturi și unghiuri de la bază
Primul grup de formule (1-3) reflectă una dintre principalele proprietăți ale diagonalelor trapezoidale:
1. Suma pătratelor diagonalelor unui trapez este egală cu suma pătratelor laturilor plus de două ori produsul bazelor sale. Această proprietate a diagonalelor trapezoidale poate fi demonstrată ca o teoremă separată
2 . Această formulă se obține prin transformarea formulei anterioare. Pătratul celei de-a doua diagonale este aruncat prin semnul egal, după care rădăcina pătrată este extrasă din partea stângă și dreaptă a expresiei.
3 . Această formulă de găsire a lungimii diagonalei unui trapez este similară cu cea anterioară, cu diferența că o altă diagonală rămâne în partea stângă a expresiei
Următorul grup de formule (4-5) au sens similar și exprimă o relație similară.
Grupul de formule (6-7) vă permite să găsiți diagonala unui trapez dacă se cunosc baza mai mare a trapezului, o latură și unghiul de la bază.
Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin înălțime
Sarcină.
Diagonalele trapezului ABCD (AD | | BC) se intersectează în punctul O. Aflați lungimea bazei BC a trapezului dacă baza AD = 24 cm, lungimea AO = 9 cm, lungimea OS = 6 cm.
Soluţie.
Soluția la această problemă este absolut identică în ideologie cu problemele anterioare.
Triunghiurile AOD și BOC sunt similare în trei unghiuri - AOD și BOC sunt verticale, iar unghiurile rămase sunt egale pe perechi, deoarece sunt formate prin intersecția unei linii și a două linii paralele.
Întrucât triunghiurile sunt similare, toate dimensiunile lor geometrice sunt legate între ele, la fel ca dimensiunile geometrice ale segmentelor AO și OC cunoscute nouă în funcție de condițiile problemei. Adică
AO/OC = AD/BC
9 / 6 = 24 / î.Hr
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Răspuns: 16 cm
Sarcina .
În trapezul ABCD se știe că AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Găsiți aria trapezului. 
Soluție.
Pentru a găsi înălțimea unui trapez de la vârfurile bazei mai mici B și C, coborâm două înălțimi la baza mai mare. Deoarece trapezul este inegal, notăm lungimea AM = a, lungimea KD = b ( a nu se confunda cu notația din formulă găsirea ariei unui trapez). Deoarece bazele trapezului sunt paralele și am scăzut două înălțimi perpendiculare pe baza mai mare, atunci MBCK este un dreptunghi.
Mijloace
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Triunghiurile DBM și ACK sunt dreptunghiulare, deci unghiurile lor drepte sunt formate de altitudinile trapezului. Să notăm înălțimea trapezului cu h. Apoi, după teorema lui Pitagora
H2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Şi
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Să luăm în considerare că a = 16 - b, apoi în prima ecuație
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Să substituim valoarea pătratului înălțimii în a doua ecuație obținută folosind teorema lui Pitagora. Primim:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Deci KD = 12
Unde
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Aflați aria unui trapez prin înălțimea sa și jumătate din suma bazelor sale
, unde a b - baza trapezului, h - înălțimea trapezului
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2
Răspuns: aria trapezului este de 80 cm2.
Dacă diagonalele dintr-un trapez isoscel sunt perpendiculare, următorul material teoretic va fi util în rezolvarea problemei.
1. Dacă diagonalele dintr-un trapez isoscel sunt perpendiculare, înălțimea trapezului este egală cu jumătate din suma bazelor.
Să trasăm o dreaptă CF paralelă cu BD prin punctul C și să extindem dreapta AD până se intersectează cu CF.
Patrulaterul BCFD este un paralelogram (BC∥ DF ca bază a unui trapez, BD∥ CF prin construcție). Deci CF=BD, DF=BC și AF=AD+BC.
Triunghiul ACF este dreptunghic (dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă dreaptă). Deoarece într-un trapez isoscel diagonalele sunt egale și CF = BD, atunci CF = AC, adică triunghiul ACF este isoscel cu baza AF. Aceasta înseamnă că înălțimea sa CN este și mediana. Și întrucât mediana unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză este egală cu jumătate din aceasta, atunci
ce este in vedere generală poate fi scris ca
unde h este înălțimea trapezului, a și b sunt bazele acestuia.
2. Dacă diagonalele unui trapez isoscel sunt perpendiculare, atunci înălțimea acestuia este egală cu linia mediană.
Deoarece linia mediană a trapezului m este egală cu jumătate din suma bazelor, atunci
3. Dacă diagonalele unui trapez isoscel sunt perpendiculare, atunci aria trapezului este egală cu pătratul înălțimii trapezului (sau pătratul semisumei bazelor sau pătratul liniei mediane ).
Deoarece aria unui trapez este găsită prin formula
iar înălțimea, jumătate din suma bazelor și linia de mijloc a unui trapez isoscel cu diagonale perpendiculare sunt egale între ele:
4. Dacă diagonalele dintr-un trapez isoscel sunt perpendiculare, atunci pătratul diagonalei acestuia este egal cu jumătate din pătratul sumei bazelor, precum și cu dublul pătratului înălțimii și de două ori cu pătratul liniei mediane.
Deoarece aria unui patrulater convex poate fi găsită prin diagonalele sale și unghiul dintre ele folosind formula
Din nou triunghiul lui Pitagora :))) Dacă o bucată din diagonala mare de la baza mare până la punctul de intersecție este desemnată x, atunci din asemănarea evidentă a triunghiurilor dreptunghice cu unghiuri egale rezultă.x/64 = 36/x, deci x = 48;48/64 = 3/ 4, deci TOATE triunghiurile dreptunghiulare formate din baze, diagonale și o latură perpendiculară pe bază sunt asemănătoare cu un triunghi cu laturile 3,4,5. Singura excepție este un triunghi format din bucăți de diagonale și o latură oblică, dar nu ne interesează :). (Pentru a fi clar, asemănarea în cauză este doar funcții trigonometrice ale unghiurilor NUMITE ALTER:) știm deja tangenta unghiului dintre diagonala majoră și baza majoră, este egală cu 3/4, ceea ce înseamnă că sinusul este egal cu 3/5, iar cosinusul este 4 /5:)) Puteți scrie imediat
Răspunsuri. Baza inferioară este de 80, înălțimea trapezului va fi de 60, iar cea de sus va fi de 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)
Sarcini similare:
1. Baza prismei este un triunghi, din care o latură este de 2 cm, iar celelalte două sunt de 3 cm. Muchia laterală este de 4 cm și face un unghi de 45 cu planul bazei a unui cub egal.
2. Baza prismei înclinate este un triunghi echilateral cu latura a; una dintre fețele laterale este perpendiculară pe planul bazei și este un romb, a cărui diagonală mai mică este egală cu c. Aflați volumul prismei.
3. Într-o prismă înclinată, baza este un triunghi dreptunghic, a cărui ipotenuză este egală cu c, unu unghi ascuțit 30, coastă laterală egal cu k și face un unghi de 60 cu planul bazei Aflați volumul prismei.
1. Aflați latura pătratului dacă diagonala lui este de 10 cm
2. Într-un trapez isoscel, unghiul obtuz este de 135 de grade, baza este de 4 cm și înălțimea este de 2 cm, găsiți aria trapezului?
3. Înălțimea trapezului este de 3 ori mai mare decât una dintre baze, dar jumătate decât cealaltă. Aflați bazele trapezului și înălțimea dacă aria trapezului este de 168 cm pătrați?
4. B triunghiul ABC unghi A = La unghi = 75 de grade. Aflați BC dacă aria triunghiului este de 36 cm pătrați.
1. Într-un trapez ABCD cu laturile AB și CD, diagonalele se intersectează în punctul O
a) Comparați ariile triunghiurilor ABD și ACD
b) Comparați ariile triunghiurilor ABO și CDO
c) Demonstrați că OA*OB=OC*OD
2. Baza unui triunghi isoscel este legată de latură ca 4:3, iar înălțimea trasată la bază este de 30 cm Aflați segmentele în care bisectoarea unghiului de la bază împarte această înălțime.
3. Linia AM este tangentă la un cerc, AB este o coardă a acestui cerc. Demonstrați că unghiul MAB este măsurat cu jumătate din arcul AB situat în interiorul unghiului MAB.