10.1. Opći pojmovi i definicije

saviti se- ovo je vrsta opterećenja u kojoj je šipka opterećena momentima u ravninama koje prolaze kroz uzdužnu os šipke.

Šipka koja radi na savijanje naziva se greda (ili greda). Ubuduće ćemo razmatrati ravne grede čiji presjek ima barem jednu os simetrije.

Kod otpora materijala savijanje je ravno, koso i složeno.

ravni zavoj- savijanje, kod kojeg sve sile koje savijaju gredu leže u jednoj od ravnina simetrije grede (u jednoj od glavnih ravnina).

Glavne ravnine tromosti grede su ravnine koje prolaze kroz glavne osi presjeci te geometrijska os grede (x-os).

kosi zavoj- savijanje, u kojem opterećenja djeluju u jednoj ravnini koja se ne podudara s glavnim ravninama tromosti.

Složeni zavoj - savijanje, u kojem opterećenja djeluju u različitim (proizvoljnim) ravninama.

10.2. Određivanje unutarnjih sila savijanja

Razmotrimo dva karakteristična slučaja savijanja: u prvom slučaju, konzolna greda je savijena koncentriranim momentom Mo; u drugom, koncentriranom silom F.

Metodom mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za presječene dijelove grede određujemo unutarnje sile u oba slučaja:

Ostale jednadžbe ravnoteže očito su identički jednake nuli.

Dakle, u općem slučaju ravnog savijanja u presjeku grede, od šest unutarnjih sila nastaju dvije - moment savijanja Mz i sila smicanja Qy (ili kod savijanja oko druge glavne osi - moment savijanja My i transverzalna sila Qz).

U ovom slučaju, u skladu s dva razmatrana slučaja opterećenja, ravno savijanje se može podijeliti na čisto i poprečno.

Čisti zavoj- ravno savijanje, kod kojeg samo jedna od šest unutarnjih sila nastaje u presjecima štapa - moment savijanja (vidi prvi slučaj).

poprečni zavoj- savijanje, u kojem se, osim unutarnjeg momenta savijanja, pojavljuje i poprečna sila u presjecima štapa (vidi drugi slučaj).

Strogo govoreći, do jednostavne vrste primjenjuje se samo otpor čisti zavoj; poprečno savijanje se uvjetno naziva jednostavnim vrstama otpora, jer se u većini slučajeva (za dovoljno duge grede) djelovanje poprečne sile može zanemariti u proračunima čvrstoće.

Pri određivanju unutarnjih sila pridržavat ćemo se sljedeće pravilo znakovi:

1) poprečna sila Qy smatra se pozitivnom ako nastoji rotirati razmatrani element grede u smjeru kazaljke na satu;

2) moment savijanja Mz smatra se pozitivnim ako su, kada je element grede savijen, gornja vlakna elementa komprimirana, a donja vlakna rastegnuta (pravilo kišobrana).

Dakle, rješenje problema određivanja unutarnjih sila tijekom savijanja bit će izgrađeno prema sljedećem planu: 1) u prvoj fazi, uzimajući u obzir uvjete ravnoteže konstrukcije kao cjeline, određujemo, ako je potrebno, nepoznate reakcije oslonaca (imajte na umu da za konzolnu gredu reakcije u ugradnji mogu biti i ne mogu se naći ako gredu promatramo sa slobodnog kraja); 2) u drugoj fazi odabiremo karakteristične dijelove grede, uzimajući kao granice presjeka točke primjene sila, točke promjene oblika ili dimenzija grede, točke pričvršćivanja grede; 3) u trećoj fazi određujemo unutarnje sile u presjecima grede, uzimajući u obzir uvjete ravnoteže za elemente grede u svakom od presjeka.

10.3. Diferencijalne ovisnosti kod savijanja

Ustanovimo neke odnose između unutarnjih sila i vanjskih opterećenja pri savijanju, kao i karakteristike dijagrami Q i M, čije će poznavanje olakšati konstrukciju dijagrama i omogućiti vam kontrolu njihove ispravnosti. Radi lakšeg označavanja, označit ćemo: M≡Mz, Q≡Qy.

Dodijelimo mali element dx u presjeku grede s proizvoljnim opterećenjem na mjestu gdje nema koncentriranih sila i momenata. Budući da je cijela greda u ravnoteži, element dx će također biti u ravnoteži pod djelovanjem sila koje djeluju na njega. poprečne sile, momenti savijanja i vanjsko opterećenje. Budući da Q i M općenito variraju

osi grede, tada će u presjecima elementa dx postojati poprečne sile Q i Q + dQ, kao i momenti savijanja M i M + dM. Iz uvjeta ravnoteže odabranog elementa dobivamo

Prva od dvije napisane jednadžbe daje uvjet

Iz druge jednadžbe, zanemarujući član q dx (dx/2) kao infinitezimalnu veličinu drugog reda, nalazimo

Razmatrajući izraze (10.1) i (10.2) zajedno možemo dobiti

Relacije (10.1), (10.2) i (10.3) nazivamo diferencijalnim ovisnosti D. I. Zhuravskog u savijanju.

Analiza gornjih diferencijalnih ovisnosti pri savijanju omogućuje nam da utvrdimo neke značajke (pravila) za konstruiranje dijagrama momenata savijanja i posmičnih sila: a - u područjima gdje nema raspodijeljenog opterećenja q, dijagrami Q ograničeni su na ravne linije paralelne s baza, a dijagrami M su nagnute ravne linije; b - u presjecima gdje se na gredu primjenjuje raspodijeljeno opterećenje q, Q dijagrami su ograničeni nagnutim ravnim linijama, a M dijagrami su ograničeni kvadratnim parabolama.

U ovom slučaju, ako dijagram M gradimo "na rastegnutom vlaknu", tada će konveksnost parabole biti usmjerena u smjeru djelovanja q, a ekstrem će se nalaziti u dijelu gdje dijagram Q siječe bazu crta; c - u presjecima gdje se na gredu primjenjuje koncentrirana sila, na Q dijagramu će biti skokovi za vrijednost iu smjeru ove sile, a na M dijagramu postoje pregibi, vrh usmjeren u tom smjeru sila; d - u presjecima gdje se na gredu primjenjuje koncentrirani moment, na Q dijagramu neće biti promjena, a na M dijagramu će biti skokova za vrijednost ovog momenta; e - u presjecima gdje je Q>0, moment M raste, a u presjecima gdje je Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalna naprezanja pri čistom savijanju ravne grede

Razmotrimo slučaj čistog planarnog savijanja grede i izvedimo formulu za određivanje normalnih naprezanja za taj slučaj.

Imajte na umu da je u teoriji elastičnosti moguće dobiti točnu ovisnost za normalna naprezanja pri čistom savijanju, ali ako se ovaj problem rješava metodama otpornosti materijala, potrebno je uvesti neke pretpostavke.

Postoje tri takve hipoteze za savijanje:

a - hipoteza ravnih presjeka (Bernoullijeva hipoteza) - presjeci su ravni prije deformacije i ostaju ravni nakon deformacije, ali se samo okreću oko određene linije, koja se naziva neutralna os presjeka grede. U tom će slučaju vlakna grede, koja leže s jedne strane neutralne osi, biti rastegnuta, a s druge strane komprimirana; vlakna koja leže na neutralnoj osi ne mijenjaju svoju duljinu;

b - hipoteza o postojanosti normalnih naprezanja - naprezanja koja djeluju na istoj udaljenosti y od neutralne osi konstantna su po širini grede;

c – hipoteza o nepostojanju bočnih pritisaka – susjedna uzdužna vlakna ne pritišću jedno drugo.

Statička strana problema

Za određivanje naprezanja u presjecima grede razmatramo prije svega statičke strane problema. Primjenom metode mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za odsječeni dio grede nalazimo unutrašnje sile pri savijanju. Kao što je ranije pokazano, jedina unutarnja sila koja djeluje u presjeku šipke pri čistom savijanju je unutarnji moment savijanja, što znači da će se ovdje pojaviti normalna naprezanja povezana s njim.

Odnos između unutarnjih sila i normalnih naprezanja u presjeku grede nalazimo uzimajući u obzir naprezanja na elementarnom području dA, odabranom u presjeku A grede u točki s koordinatama y i z (os y je usmjerena prema dolje radi lakšeg analize):

Kao što vidimo, problem je interno statički neodređen, budući da je nepoznata priroda raspodjele normalnih naprezanja po presjeku. Da biste riješili problem, razmotrite geometrijski uzorak deformacija.

Geometrijska strana problema

Razmotrimo deformaciju grednog elementa duljine dx odabranog iz šipke za savijanje u proizvoljnoj točki s koordinatom x. Uzimajući u obzir prethodno prihvaćenu hipotezu o ravnim presjecima, nakon savijanja presjeka grede zakrenuti će se u odnosu na neutralnu os (n.r.) za kut dϕ, dok će se vlakno ab, koje je udaljeno y od neutralne osi, okrenuti u kružni luk a1b1, a njegova duljina će se promijeniti za neku veličinu. Ovdje se prisjećamo da se duljina vlakana koja leže na neutralnoj osi ne mijenja, pa stoga luk a0b0 (čiji polumjer zakrivljenosti označavamo s ρ) ima istu duljinu kao segment a0b0 prije deformacije a0b0=dx.

Nađimo relativnu linearnu deformaciju εx vlakna ab zakrivljene grede.

Prilikom gradnje dijagrami momenata savijanjaM na graditelji prihvaćeno: ordinate koje se izražavaju u određenom mjerilu pozitivan vrijednosti momenata savijanja, ostaviti po strani rastegnut vlakna, tj. - dolje, A negativno - gore od osi grede. Stoga kažu da graditelji grade dijagrame na rastegnutim vlaknima. Mehanika iscrtavaju se pozitivne vrijednosti posmične sile i momenta savijanja gore. Mehanika gradi dijagrame na komprimiran vlakna.

Glavni naponi pri savijanju. Ekvivalentni naponi.

U općem slučaju izravnog savijanja u presjecima grede, normalan I tangentenapon. Ovi naponi razlikuju i po duljini i po visini grede.

Dakle, u slučaju savijanja, ravno stanje naprezanja.

Razmotrimo shemu u kojoj je greda opterećena silom P

Najveća normala naprezanja se javljaju u ekstremno, točke najudaljenije od neutralne crte, i kod njih nema posmičnih naprezanja. Dakle za ekstreman vlakna glavna naprezanja različita od nule su normalna naprezanja u presjeku.

U razini neutralne linije u presjeku grede nastaju najveći posmični naponi, A normalni naponi su nula. znači u vlaknima neutralan sloj glavni naponi određeni su vrijednostima posmičnih naprezanja.

U ovom modelu dizajna, gornja vlakna grede će biti istegnuta, a donja će biti komprimirana. Za određivanje glavnih naprezanja koristimo dobro poznati izraz:

puna analiza stanja naprezanja prisutan na slici.

Analiza stanja naprezanja pri savijanju

Najveće glavno naprezanje σ 1 Nalazi se vrh ekstremna vlakna i je jednak nuli na nižim ekstremnim vlaknima. Glavni napon σ 3 Ima najveća apsolutna vrijednost na donjim vlaknima.

Glavna trajektorija naprezanja ovisi o vrsta opterećenja I način fiksiranja grede.

Kod rješavanja problema je dovoljno odvojenoček normalan I odvojena smična naprezanja. Međutim, ponekad najstresnije isključiti srednji vlakna koja imaju i normalna i posmična naprezanja. To se događa u dijelovima gdje istovremeno i moment savijanja i poprečna sila dostižu velike vrijednosti- to može biti u ugradnji konzolne grede, na nosaču grede s konzolom, u dijelovima pod koncentriranom silom ili u dijelovima s naglo promjenjivom širinom. Na primjer, u I-presjeku, najopasniji spoj zida na policu- tamo su značajni i normalni i posmični naponi.

Materijal je u ravnom stanju naprezanja i zahtijeva ispitivanje ekvivalentnog napona.

Uvjeti čvrstoće greda od duktilnih materijala Po treći(teorije najvećih tangencijalnih naprezanja) I Četvrta(teorija energije promjena oblika) teorije čvrstoće.

U pravilu, u valjanim gredama, ekvivalentna naprezanja ne prelaze normalna naprezanja u krajnjim vanjskim vlaknima i nije potrebna posebna provjera. Druga stvar - kompozitne metalne grede, koji tanji zid nego kod valjanih profila na istoj visini. Češće se koriste zavarene spregnute grede od čeličnih limova. Proračun takvih greda na čvrstoću: a) izbor presjeka - visina, debljina, širina i debljina tetiva grede; b) ispitivanje čvrstoće za normalna i posmična naprezanja; c) provjera čvrstoće ekvivalentnim naprezanjima.

Određivanje posmičnih naprezanja u I-presjeku. Razmotrite odjeljak I-zraka. S x \u003d 96,9 cm3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Za određivanje posmičnog naprezanja koristi se formula, gdje je Q transverzalna sila u presjeku, S x 0 je statički moment dijela presjeka koji se nalazi s jedne strane sloja u kojem se određuju posmična naprezanja, I x je moment tromosti cijelog križa presjeka, b je širina presjeka na mjestu gdje se određuje posmično naprezanje

Izračunaj maksimum smično naprezanje:

Izračunajmo statički moment za najgornja polica:

Sada izračunajmo smična naprezanja:

Mi gradimo dijagram smičnih naprezanja:

Razmotrite dio standardnog profila u obrascu I-zraka i definirati smična naprezanja koja djeluje paralelno s poprečnom silom:

Izračunati statički momenti jednostavne figure:

Ova se vrijednost također može izračunati inače, koristeći se činjenicom da je za I-gredu i presjek korita statički moment polovice presjeka zadan u isto vrijeme. Za to je potrebno od poznate vrijednosti statičkog momenta oduzeti vrijednost statičkog momenta na liniji A 1 B 1:

Smična naprezanja na spoju prirubnice i zida se mijenjaju grčevito, jer oštar debljina stijenke se mijenja od t st prije b.

Dijagrami posmičnih naprezanja u stijenkama koritastih, šupljih pravokutnih i drugih presjeka imaju isti oblik kao i kod I-prosjeka. Formula uključuje statički moment osjenčanog dijela presjeka u odnosu na os X, a nazivnik je širina (neto) presjeka u sloju u kojem se određuje posmično naprezanje.

Odredimo posmična naprezanja za kružni presjek.

Budući da tangencijalni naponi na konturi presjeka moraju biti usmjereni tangenta na konturu, zatim na točkama A I U na krajevima bilo koje tetive paralelne s promjerom AB, smična naprezanja su usmjerena okomito na polumjere OA I OV. Stoga, pravcima smična naprezanja u točkama A, VC konvergirati u nekoj točki H na Y osi.

Statički moment odsječenog dijela:

Odnosno, posmični naponi se mijenjaju prema parabolični zakona i bit će maksimalan na razini neutralne linije kada y 0 =0

Formula za određivanje posmičnih naprezanja (formula)

Razmotrimo pravokutni presjek

Na daljinu na 0 izvući iz središnje osi odjeljak 1-1 te odrediti posmična naprezanja. Statički moment područje odrezani dio:

Treba imati na umu da temeljno ravnodušan, uzmite statički moment područja zasjenjena ili mirna poprečni presjek. Oba statička momenta jednaki i suprotni predznakom, pa su iznos, koji predstavlja statički moment površine cijelog presjeka u odnosu na neutralnu liniju, točnije središnju os x, bit će jednaka nula.

Moment inercije pravokutnog presjeka:

Zatim smična naprezanja prema formuli

Varijabla y 0 uključena je u formulu tijekom drugi stupnjeva, tj. smična naprezanja u pravokutnom presjeku variraju s zakon kvadratne parabole.

Dostignuti smični napon maksimum na razini neutralne linije, tj. Kada y 0 =0:

, Gdje A je područje cijelog odjeljka.

Uvjet čvrstoće za posmična naprezanja izgleda kao:

, Gdje S x 0 je statički moment dijela presjeka koji se nalazi s jedne strane sloja u kojem se određuju posmična naprezanja, ja x je moment tromosti cijelog presjeka, b- širina presjeka na mjestu gdje se određuje posmično naprezanje, Q- poprečna sila, τ - smično naprezanje, [τ] — dopušteni smični napon.

Ovo stanje čvrstoće omogućuje proizvodnju tri vrsta proračuna (tri vrste problema u analizi čvrstoće):

1. Proračun provjere ili ispitivanje čvrstoće za posmična naprezanja:

2. Odabir širine presjeka (za pravokutni presjek):

3. Određivanje dopuštene poprečne sile (za pravokutni presjek):

Za određivanje tangente naprezanja, razmotrite gredu opterećenu silama.

Zadatak određivanja naprezanja je uvijek statički neodređen i zahtijeva uključenost geometrijski I fizički jednadžbe. Međutim, može se uzeti hipoteze o prirodi raspodjele naprezanja da će zadatak postati statički određena.

Odabir dva beskonačno bliska presjeka 1-1 i 2-2 dz element, nacrtajte ga u velikom mjerilu, zatim nacrtajte uzdužni presjek 3-3.

U odjeljcima 1–1 i 2–2, normalni σ 1 , σ 2 naprezanja, koji se određuju dobro poznatim formulama:

Gdje M - moment savijanja u presjeku dM - prirast moment savijanja po duljini dz

Smična sila u presjecima 1–1 i 2–2 usmjeren je duž glavne središnje osi Y i, očito, predstavlja zbroj vertikalnih komponenti unutarnjih posmičnih naprezanja raspoređenih po presjeku. U čvrstoći materijala obično se uzima pretpostavka njihove ravnomjerne raspodjele po širini presjeka.

Za određivanje veličine posmičnih naprezanja u bilo kojoj točki poprečnog presjeka, koja se nalazi na udaljenosti na 0 s neutralne osi X povucite ravninu paralelnu s neutralnim slojem (3-3) kroz ovu točku i izvadite odsječni element. Odredit ćemo napon koji djeluje na mjesto ABSD.

Projicirajmo sve sile na Z os

Rezultanta unutarnjih uzdužnih sila duž desne strane bit će jednaka:

Gdje A 0 je površina lica fasade, S x 0 je statički moment odsječenog dijela u odnosu na os X. Slično na lijevoj strani:

Obje rezultante usmjerene jedna prema drugoj jer je element in komprimiran zona grede. Njihova razlika je uravnotežena tangencijalnim silama na donjoj plohi 3-3.

Hajdemo to pretvarati posmična naprezanja τ raspoređen po širini presjeka grede b ravnomjerno. Ova pretpostavka je vjerojatnija što je širina manja u odnosu na visinu presjeka. Zatim rezultanta tangencijalnih sila dT jednaka je vrijednosti naprezanja pomnoženoj s površinom lica:

Sastavite sada jednadžba ravnoteže Σz=0:

ili odakle

Prisjetimo se diferencijalne ovisnosti, prema kojem Tada dobivamo formulu:

Ova formula se zove formule. Ova formula je dobivena 1855. Ovdje S x 0 - statički moment dijela poprečnog presjeka, koji se nalazi s jedne strane sloja u kojem se određuju posmična naprezanja, I x - moment tromosti cijeli presjek b - širina presjeka gdje se određuje smični napon, Q - poprečna sila u odjeljku.

je uvjet čvrstoće na savijanje, Gdje

- najveći moment (modulo) iz dijagrama momenata savijanja; - modul aksijalnog presjeka, geometrijski karakteristika; - dopušteno naprezanje (σadm)

- maksimalno normalno naprezanje.

Ako se izračun temelji na metoda graničnog stanja, tada se u proračun umjesto dopuštenog naprezanja uvodi proračunska otpornost materijala R.

Vrste proračuna čvrstoće na savijanje

1. Provjeravanje proračun ili provjera čvrstoće normalnog naprezanja

2. Projekt obračun ili odabir odjeljka

3. Definicija dopuštena opterećenja (definicija kapacitet dizanja i ili operativni prijevoznik sposobnosti)

Prilikom izvođenja formule za izračunavanje normalnih naprezanja, razmotrite takav slučaj savijanja, kada se unutarnje sile u presjecima grede svode samo na moment savijanja, A transverzalna sila je nula. Ovaj slučaj savijanja naziva se čisto savijanje. Zamislite srednji dio grede koji prolazi kroz čisto savijanje.

Pri opterećenju greda se savija tako da se donja se vlakna izdužuju, a gornja skraćuju.

Budući da su neka vlakna grede rastegnuta, a neka stisnuta, dolazi do prijelaza iz napetosti u kompresiju glatko, bez skokova, V sredini dio grede je sloj čija se vlakna samo savijaju, ali ne doživljavaju ni napetost ni kompresiju. Takav se sloj naziva neutralan sloj. Linija po kojoj se neutralni sloj siječe s presjekom grede naziva se neutralna linija ili neutralna os odjeljci. Na osi grede nanizane su neutralne linije. neutralna linija je linija u kojoj normalni naponi su nula.

Linije povučene na bočnoj površini grede okomito na os ostaju ravan pri savijanju. Ovi eksperimentalni podaci omogućuju izvođenje formula hipoteza ravnih presjeka (hipoteza). Prema ovoj hipotezi, presjeci grede su ravni i okomiti na svoju os prije savijanja, ostaju ravni i postaju okomiti na savijenu os grede kada se savija.

Pretpostavke za izvođenje formula za normalno naprezanje: 1) Hipoteza ravnih presjeka je ispunjena. 2) Uzdužna vlakna ne pritišću jedno drugo (hipoteza o netlaku) i stoga je svako od vlakana u stanju jednoosne napetosti ili kompresije. 3) Deformacije vlakana ne ovise o njihovom položaju po širini presjeka. Posljedično, normalna naprezanja, koja se mijenjaju po visini presjeka, ostaju ista po širini. 4) Greda ima najmanje jednu ravninu simetrije i sve vanjske sile leže u toj ravnini. 5) Materijal grede pokorava se Hookeovom zakonu, a modul elastičnosti na napetost i pritisak je isti. 6) Omjeri između dimenzija grede su takvi da radi u uvjetima ravnog savijanja bez savijanja ili uvijanja.

Razmotrimo gredu proizvoljnog presjeka, ali koja ima os simetrije. Moment savijanja predstavlja rezultantni moment unutarnjih normalnih sila nastaju na beskonačno malim površinama i mogu se izraziti u terminima sastavni oblik: (1), gdje je y krak elementarne sile u odnosu na os x

Formula (1) izražava statički strana problema savijanja ravne šipke, ali duž nje prema poznatom momentu savijanja nemoguće je odrediti normalna naprezanja dok se ne utvrdi zakon njihove raspodjele.

Odaberite grede u srednjem dijelu i razmislite dionica duljine dz, podložni savijanju. Povećajmo ga.

Sekcije koje ograničavaju sekciju dz, međusobno paralelni prije deformacije, i nakon primjene opterećenja okrenuti svoje neutralne linije pod kutom . Duljina segmenta vlakana neutralnog sloja neće se promijeniti. i bit će jednako: , gdje je radijus zakrivljenosti zakrivljena os grede. Ali bilo koje drugo vlakno laže ispod ili iznad neutralni sloj, promijenit će svoju duljinu. Izračunaj relativno produljenje vlakana koja se nalaze na udaljenosti y od neutralnog sloja. Relativno istezanje je omjer apsolutne deformacije prema izvornoj duljini, zatim:

Smanjujemo za i smanjujemo slične članove, tada dobivamo: (2) Ova formula izražava geometrijski strana čistog problema savijanja: deformacije vlakana izravno su proporcionalne njihovoj udaljenosti od neutralnog sloja.

Sada prijeđimo na naglašava, tj. razmotrit ćemo fizički stranu zadatka. u skladu s pretpostavka bez pritiska vlakna se koriste u aksijalnoj napetosti-kompresiji: tada, uzimajući u obzir formulu (2) imamo (3), oni. normalna naprezanja kod savijanja po visini presjeka raspoređuju se po linearnom zakonu. Na ekstremnim vlaknima normalna naprezanja postižu najveću vrijednost, au težištu su presjeci jednaki nuli. Zamjena (3) u jednadžbu (1) i uzmemo razlomak iz znaka integrala kao konstantnu vrijednost, tada imamo . Ali izraz je aksijalni moment tromosti presjeka oko x-osi - ja x. Njegova dimenzija cm 4, m 4

Zatim ,gdje (4) , gdje je zakrivljenost savijene osi grede, a je krutost presjeka grede tijekom savijanja.

Zamijenite dobiveni izraz zakrivljenost (4) u izraz (3) i dobiti formula za izračunavanje normalnih naprezanja u bilo kojoj točki poprečnog presjeka: (5)

Da. maksimum nastaju stresovi u točkama koje su najudaljenije od neutralne crte. Stav (6) nazvao modul aksijalnog presjeka. Njegova dimenzija cm 3, m 3. Moment otpora karakterizira utjecaj oblika i dimenzija poprečnog presjeka na veličinu naprezanja.

Zatim maksimalni naponi: (7)

Uvjet čvrstoće na savijanje: (8)

Prilikom poprečnog savijanja ne samo normalna, već i posmična naprezanja, jer dostupno sila smicanja. Posmična naprezanja komplicirati sliku deformacije, dovode do zakrivljenost presjeci grede, uslijed čega narušena je hipoteza ravnih presjeka. Međutim, studije pokazuju da izobličenja uvedena posmičnim naprezanjima malo utječu na normalna naprezanja izračunata formulom (5) . Dakle, pri određivanju normalnih naprezanja u slučaju poprečnog savijanja sasvim je primjenjiva teorija čistog savijanja.

Neutralna linija. Pitanje o položaju neutralne linije.

Kod savijanja nema uzdužne sile pa možemo pisati Ovdje zamijenite formulu za normalna naprezanja (3) i dobiti Budući da modul elastičnosti materijala grede nije jednak nuli, a savijena os grede ima konačan polumjer zakrivljenosti, ostaje pretpostaviti da je ovaj integral statički moment područja presjek grede u odnosu na neutralnu os x , i od jednaka je nuli, tada neutralna linija prolazi kroz težište presjeka.

Uvjet (odsutnost momenta unutarnjih sila u odnosu na liniju polja) će dati ili uzimajući u obzir (3) . Iz istih razloga (vidi gore) . U integrandu - centrifugalni moment tromosti presjeka oko x i y osi je nula, pa su ove sjekire glavni i središnji i našminkati se ravno kutak. Stoga, strujni i neutralni vod u ravnom zavoju međusobno su okomiti.

Postavljanjem položaj neutralne linije, lako se gradi dijagram normalnog naprezanja po visini presjeka. Nju linearni karakter je određen jednadžba prvog stupnja.

Priroda dijagrama σ za simetrične presjeke u odnosu na neutralnu liniju, M<0

Sile koje djeluju okomito na os grede i smještene u ravnini koja prolazi kroz tu os uzrokuju deformaciju tzv. poprečni zavoj. Ako ravnina djelovanja spomenutih sila – glavna ravnina, tada postoji ravni (ravni) poprečni zavoj. U suprotnom, zavoj se naziva kosi poprečni. Greda koja je pretežno podložna savijanju naziva se greda 1 .

U biti poprečno savijanje je kombinacija čistog savijanja i smicanja. U vezi sa zakrivljenošću poprečnih presjeka zbog neravnomjerne raspodjele smicanja po visini, postavlja se pitanje mogućnosti primjene formule za normalno naprezanje σ x izvedeno za čisto savijanje na temelju hipoteze ravnih presjeka.

1 Greda s jednim rasponom, koja na krajevima ima jedan cilindrični fiksni oslonac i jedan cilindrični pomični u smjeru osi grede, naziva se jednostavan. Greda s jednim fiksiranim krajem i drugim slobodnim krajem naziva se konzola. Jednostavna greda koja ima jedan ili dva dijela koji vise preko nosača naziva se konzola.

Ako se, osim toga, presjeci uzimaju daleko od točaka primjene opterećenja (na udaljenosti koja nije manja od polovice visine presjeka grede), tada se, kao u slučaju čistog savijanja, može pretpostaviti da vlakna ne vrše pritisak jedno na drugo. To znači da svako vlakno doživljava jednoosnu napetost ili kompresiju.

Pod djelovanjem raspodijeljenog opterećenja, poprečne sile u dva susjedna presjeka će se razlikovati za iznos jednak qdx. Stoga će zakrivljenost sekcija također biti malo drugačija. Osim toga, vlakna će vršiti pritisak jedno na drugo. Pažljivo proučavanje pitanja pokazuje da ako je duljina grede l prilično velik u usporedbi s njegovom visinom h (l/ h> 5), onda čak i kod raspodijeljenog opterećenja ti čimbenici nemaju značajan utjecaj na normalna naprezanja u presjeku i stoga se ne mogu uzeti u obzir u praktičnim proračunima.

a B C

Riža. 10.5 Sl. 10.6

U dionicama pod koncentriranim opterećenjem iu njihovoj blizini raspodjela σ x odstupa od linearnog zakona. Ovo odstupanje, koje je lokalne prirode i nije popraćeno povećanjem najvećih naprezanja (u ekstremnim vlaknima), obično se u praksi ne uzima u obzir.

Dakle, s poprečnim savijanjem (u ravnini hu) normalna naprezanja izračunavaju se po formuli

σ x= – [Mz(x)/Iz]g.

Ako na presjeku štapa koji je slobodan od opterećenja nacrtamo dva susjedna presjeka, tada će poprečna sila u oba presjeka biti ista, što znači da će i zakrivljenost presjeka biti ista. U ovom slučaju, bilo koji komad vlakana ab(Sl.10.5) će se pomaknuti na novu poziciju a"b", bez podvrgavanja dodatnom istezanju, i stoga bez promjene veličine normalnog naprezanja.

Odredimo posmična naprezanja u presjeku preko njihovih parnih naprezanja koja djeluju u uzdužnom presjeku grede.

Odaberite s trake element s duljinom dx(Slika 10.7 a). Nacrtajmo horizontalni presjek na daljinu na od neutralne osi z, dijeleći element na dva dijela (sl. 10.7) i razmotrite ravnotežu gornjeg dijela, koji ima bazu

širina b. U skladu sa zakonom sparivanja posmičnih naprezanja, naprezanja koja djeluju u uzdužnom presjeku jednaka su naprezanjima koja djeluju u poprečnom presjeku. Imajući to na umu, pod pretpostavkom da posmična naprezanja na mjestu b ravnomjerno raspoređen, koristimo uvjet ΣX = 0, dobivamo:

N * - (N * +dN *)+

gdje je: N * - rezultanta normalnih sila σ u lijevom presjeku elementa dx unutar "odsječnog" područja A * (Sl. 10.7 d):

gdje je: S \u003d - statički moment "odsječenog" dijela poprečnog presjeka (osjenčano područje na slici 10.7 c). Stoga možemo napisati:

Tada možete napisati:

Ovu formulu je u 19. stoljeću dobio ruski znanstvenik i inženjer D.I. Zhuravsky i nosi njegovo ime. Iako je ova formula približna, budući da daje prosjek naprezanja po širini presjeka, rezultati izračuna dobiveni pomoću nje dobro se slažu s eksperimentalnim podacima.

Da bi se odredila posmična naprezanja u proizvoljnoj točki presjeka udaljenoj na udaljenosti y od osi z, treba:

Iz dijagrama odredite veličinu poprečne sile Q koja djeluje u presjeku;

Izračunajte moment tromosti I z cijelog presjeka;

Kroz ovu točku nacrtajte ravninu paralelnu s ravninom xz i odrediti širinu presjeka b;

Izračunajte statički moment granične površine S u odnosu na glavnu središnju os z i zamijenite pronađene vrijednosti u Zhuravskyjevu formulu.

Definirajmo, kao primjer, smična naprezanja u pravokutnom presjeku (slika 10.6, c). Statički moment oko osi z dijelove presjeka iznad crte 1-1, na kojima se određuje naprezanje, pišemo u obliku:

Mijenja se po zakonu kvadratne parabole. Širina presjeka V za pravokutnu gredu konstantan, tada će zakon promjene posmičnih naprezanja u presjeku također biti paraboličan (slika 10.6, c). Za y = i y = − tangencijalna naprezanja jednaka su nuli, a na neutralnoj osi z dosežu svoju najvišu točku.

Za gredu s kružnim presjekom na neutralnoj osi imamo

Klasifikacija vrsta savijanja šipke

saviti se naziva se ova vrsta deformacije, kod koje se u poprečnim presjecima štapa javljaju momenti savijanja. Šipka koja radi na savijanje naziva se greda. Ako su momenti savijanja jedini čimbenici unutarnje sile u presjecima, tada štap doživljava čisti zavoj. Ako se momenti savijanja javljaju zajedno s poprečnim silama, tada se takav zavoj naziva poprečni.

Grede, osovine, osovine i drugi konstrukcijski detalji rade na savijanju.

Uvedimo neke pojmove. Ravnina koja prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osi presjeka i geometrijsku os štapa naziva se glavna ravnina. Poziva se ravnina u kojoj djeluju vanjska opterećenja, uzrokujući savijanje grede pogonski avion. Crta presjeka ravnine sila s ravninom presjeka štapa naziva se Dalekovod. Ovisno o relativnom položaju snage i glavne ravnine grede, razlikuje se ravni ili kosi zavoj. Ako se ravnina sile poklapa s jednom od glavnih ravnina, tada štap doživljava ravni zavoj(Sl. 5.1, A), ako ne odgovara - kosi(Sl. 5.1, b).

Riža. 5.1. Savijanje šipke: A- ravno; b- koso

S geometrijskog gledišta, savijanje štapa prati promjena zakrivljenosti osi štapa. Prvobitno pravocrtna os štapa postaje zakrivljena kada se savije. Kod izravnog savijanja, savijena os štapa leži u ravnini sile, kod kosog savijanja, u ravnini koja nije ravnina sile.

Promatrajući savijanje gumene šipke, uočava se da je dio njezinih uzdužnih vlakana istegnut, a drugi dio stisnut. Očito, između istegnutih i stisnutih vlakana šipke nalazi se sloj vlakana koja ne doživljavaju ni napetost ni kompresiju, tzv. neutralni sloj. Linija presjeka neutralnog sloja štapa s ravninom njegovog presjeka naziva se linija neutralnog odsjeka.

U pravilu, opterećenja koja djeluju na gredu mogu se pripisati jednoj od tri vrste: koncentrirane sile R, koncentrirane trenutke M intenzitet raspodijeljenih opterećenja c(Slika 5.2). Dio I grede, koji se nalazi između nosača, naziva se raspon, dio II grede, koji se nalazi na jednoj strani nosača, - konzola.

ravni zavoj- ovo je vrsta deformacije u kojoj se u poprečnim presjecima štapa pojavljuju dva faktora unutarnje sile: moment savijanja i poprečna sila.

Čisti zavoj- ovo je poseban slučaj izravnog savijanja, u kojem se u poprečnim presjecima štapa javlja samo moment savijanja, a poprečna sila je nula.

Primjer čistog savijanja - zaplet CD na šipku AB. Moment savijanja je vrijednost Godišnje par vanjskih sila koje uzrokuju savijanje. Iz ravnoteže dijela štapa lijevo od presjeka mn slijedi da su unutarnje sile raspoređene po ovom presjeku statički ekvivalentne momentu M, jednak i suprotan momentu savijanja Godišnje.

Da bismo pronašli raspodjelu ovih unutarnjih sila po presjeku, potrebno je uzeti u obzir deformaciju šipke.

U najjednostavnijem slučaju, štap ima uzdužnu ravninu simetrije i podvrgnut je djelovanju vanjskih parova sila savijanja koji se nalaze u ovoj ravnini. Tada će se savijanje dogoditi u istoj ravnini.

osovina šipke nn 1 je pravac koji prolazi kroz težišta njegovih presjeka.

Neka je poprečni presjek štapa pravokutnik. Na njegovim stranama nacrtajte dvije okomite crte mm I str. Kada su savijene, ove linije ostaju ravne i okreću se tako da ostaju okomite na uzdužna vlakna štapa.

Daljnja teorija savijanja temelji se na pretpostavci da ne samo linije mm I str, ali cijeli ravni presjek štapa ostaje ravan nakon savijanja i normalan na uzdužna vlakna štapa. Stoga se kod savijanja presjeci mm I str međusobno rotirati oko osi okomitih na ravninu savijanja (ravninu crtanja). U tom slučaju, uzdužna vlakna na konveksnoj strani doživljavaju napetost, a vlakna na konkavnoj strani doživljavaju kompresiju.

neutralna površina je površina koja ne doživljava deformacije tijekom savijanja. (Sada se nalazi okomito na crtež, deformiranu os šipke nn 1 pripada ovoj površini).

Neutralna presječna os- ovo je sjecište neutralne površine s bilo kojom s bilo kojim poprečnim presjekom (sada se također nalazi okomito na crtež).

Neka je proizvoljno vlakno udaljeno g s neutralne površine. ρ je radijus zakrivljenosti zakrivljene osi. Točka O je centar zakrivljenosti. Povucimo crtu n 1 s 1 paralelno mm.ss 1 je apsolutno izduženje vlakna.

Relativno proširenje ε x vlakna

Iz toga slijedi da deformacija uzdužnih vlakana proporcionalno udaljenosti g od neutralne površine i obrnuto proporcionalan polumjeru zakrivljenosti ρ .

Uzdužno izduživanje vlakana konveksne strane štapa prati bočno suženje, a uzdužno skraćivanje konkavne strane - bočno proširenje, kao u slučaju jednostavnog istezanja i skupljanja. Zbog toga se mijenja izgled svih presjeka, okomite stranice pravokutnika postaju zakošene. Bočna deformacija z:

μ - Poissonov omjer.

Kao rezultat ove distorzije, sve ravne linije presjeka paralelne su s osi z, savijeni su tako da ostanu normalni na strane presjeka. Polumjer zakrivljenosti ove krivulje R bit će više od ρ na isti način kao ε x je veći u apsolutnoj vrijednosti od ε z , i dobivamo

Ove deformacije uzdužnih vlakana odgovaraju naprezanjima

Napon u bilo kojem vlaknu proporcionalan je njegovoj udaljenosti od neutralne osi. n 1 n 2. Položaj neutralne osi i radijus zakrivljenosti ρ su dvije nepoznanice u jednadžbi za σ x - može se odrediti iz uvjeta da sile raspoređene po bilo kojem presjeku tvore par sila koji uravnotežuje vanjski moment M.

Sve navedeno vrijedi i ako štap nema uzdužnu ravninu simetrije u kojoj djeluje moment savijanja, sve dok moment savijanja djeluje u aksijalnoj ravnini, koja sadrži jedan od dva glavne osi poprečni presjek. Ovi avioni se zovu glavne ravnine savijanja.

Kada postoji ravnina simetrije i moment savijanja djeluje u toj ravnini, u njoj dolazi do otklona. Momenti unutarnjih sila oko osi z uravnotežiti vanjski moment M. Momenti napora u odnosu na os g međusobno se uništavaju.