U slučaju obračuna okrugli bar pod djelovanjem savijanja i torzije (sl. 34.3), potrebno je uzeti u obzir normalna i posmična naprezanja, budući da se maksimalne vrijednosti naprezanja u oba slučaja javljaju na površini. Proračun treba provesti prema teoriji čvrstoće, zamjenjujući složeno stanje naprezanja jednako opasnim jednostavnim.
Maksimalno torzijsko naprezanje u presjeku
Maksimalno naprezanje na savijanje u presjeku
Prema jednoj od teorija čvrstoće, ovisno o materijalu grede, izračunava se ekvivalentno naprezanje za opasni presjek i ispituje se čvrstoća grede pomoću dopuštenog naprezanja na savijanje za materijal grede.
Za okruglu gredu, momenti modula presjeka su sljedeći:
Pri proračunu prema trećoj teoriji čvrstoće, teoriji maksimalnih posmičnih naprezanja, ekvivalentno naprezanje izračunava se po formuli
Teorija je primjenjiva na plastične materijale.
Pri proračunu prema teoriji formirajuće energije, ekvivalentno naprezanje izračunava se formulom
Teorija je primjenjiva na duktilne i krte materijale.
teorija maksimalnih posmičnih naprezanja:
Ekvivalentni napon kada se izračunava prema teorije energije promjene oblika:
gdje je ekvivalentni moment.
Stanje čvrstoće
Primjeri rješavanja problema
Primjer 1 Za dano stanje naprezanja (sl. 34.4), koristeći hipotezu maksimalnih posmičnih naprezanja, izračunajte faktor sigurnosti ako je σ T = 360 N / mm 2.
1. Što karakterizira i kako se prikazuje stanje naprezanja u točki?
2. Koja mjesta i koji naponi se nazivaju glavnim?
3. Nabrojite vrste stresnih stanja.
4. Što karakterizira deformirano stanje u točki?
5. U kojim slučajevima se javljaju granična stanja naprezanja u duktilnim i lomljivim materijalima?
6. Što je ekvivalentni napon?
7. Objasnite svrhu teorija čvrstoće.
8. Napišite formule za izračun ekvivalentnih naprezanja u proračunima prema teoriji maksimalnih posmičnih naprezanja i teoriji energije deformacije. Objasnite kako ih koristiti.
PREDAVANJE 35
Tema 2.7. Proračun okrugle grede poprečni presjek s kombinacijom osnovnih deformacija
Poznavati formule za ekvivalentna naprezanja prema hipotezama o najvećim tangencijalnim naprezanjima i energiji deformacije.
Znati proračunati gredu kružnog presjeka na čvrstoću s kombinacijom osnovnih deformacija.
Formule za izračunavanje ekvivalentnih naprezanja
Ekvivalentno naprezanje prema hipotezi maksimalnih posmičnih naprezanja
Ekvivalentno naprezanje prema hipotezi energije deformacije
Stanje čvrstoće pod kombiniranim djelovanjem savijanja i torzije
gdje M EQ je ekvivalentni trenutak.
Ekvivalentni moment prema hipotezi maksimalnih posmičnih naprezanja
Ekvivalentni moment prema hipotezi o energiji promjene oblika
Značajka proračuna osovina
Većina osovina doživljava kombinaciju savijanja i torzijskih deformacija. Osovine su obično ravne šipke s okruglim ili prstenastim presjekom. Pri proračunu vratila ne uzimaju se u obzir posmična naprezanja od djelovanja poprečnih sila zbog njihove neznatnosti.
Proračuni se provode za opasne presjeke. Pri prostornom opterećenju vratila koristi se hipoteza o neovisnosti djelovanja sila i razmatraju se momenti savijanja u dvije međusobno okomite ravnine, a ukupni moment savijanja određuje se geometrijskim zbrajanjem.
Primjeri rješavanja problema
Primjer 1 U opasnom presjeku okrugle grede nastaju čimbenici unutarnje sile (Sl. 35.1) M x; M y; M z .
M x i moj- momenti savijanja u ravninama uoh i zOx odnosno; Mz- okretni moment. Provjeriti čvrstoću prema hipotezi najvećih posmičnih naprezanja, ako [ σ ] = 120 MPa. Početni podaci: M x= 0,9 kN m; M y = 0,8 kN m; Mz = 2,2 kN*m; d= 60 mm.
Riješenje
Gradimo dijagrame normalna naprezanja od djelovanja momenata savijanja oko osi Oh i OU te dijagram posmičnih naprezanja od torzije (sl. 35.2).
Maksimalni smični napon javlja se na površini. Najveća normalna naprezanja od trenutka M x javljaju se u točki ALI, maksimalna normalna naprezanja od trenutka moj u točki NA. Normalna naprezanja se zbrajaju jer se geometrijski zbrajaju momenti savijanja u međusobno okomitim ravninama.
Ukupni moment savijanja:
Izračunavamo ekvivalentni moment prema teoriji maksimalnih posmičnih naprezanja:
Stanje čvrstoće:
Modul presjeka: W oce in oe \u003d 0,1 60 3 \u003d 21600 mm 3.
Provjera snage:
Trajnost je zajamčena.
Primjer 2 Izračunajte potrebni promjer osovine iz uvjeta čvrstoće. Na osovini su postavljena dva kotača. Na kotače djeluju dvije obodne sile F t 1 = 1,2kN; F t 2= 2kN i dvije radijalne sile u vertikalnoj ravnini F r 1= 0,43 kN; F r 2 = 0,72 kN (sl. 35.3). Promjeri kotača su jednaki d1= 0,1 m; d2= 0,06 m.
Prihvatite za materijal osovine [ σ ] = 50 MPa.
Proračun se provodi prema hipotezi maksimalnih posmičnih naprezanja. Zanemarite težinu osovine i kotača.
Riješenje
Uputa. Koristimo načelo neovisnosti djelovanja sila, izrađujemo projektne sheme osovine u vertikalnoj i horizontalnoj ravnini. Reakcije u osloncima određujemo posebno u horizontalnoj i vertikalnoj ravnini. Gradimo dijagrame momenata savijanja (slika 35.4). Pod djelovanjem obodnih sila osovina se uvija. Odredite zakretni moment koji djeluje na osovinu.
Napravimo proračunsku shemu vratila (sl. 35.4).
1. Zakretni moment osovine:
2. Zavoj razmatramo u dvije ravnine: horizontalnoj (pl. H) i okomitoj (pl. V).
U horizontalnoj ravnini određujemo reakcije u nosaču:
IZ i NA:
 |
U okomitoj ravnini određujemo reakcije u nosaču:
Odrediti momente savijanja u točkama C i B:
Ukupni momenti savijanja u točkama C i B:
U točki NA maksimalni moment savijanja, ovdje također djeluje moment.
Proračun promjera osovine provodi se prema najopterećenijem dijelu.
3. Ekvivalentni moment u točki NA prema trećoj teoriji čvrstoće
4. Iz uvjeta čvrstoće odredite promjer osovine kružnog presjeka
Zaokružujemo dobivenu vrijednost: d= 36 mm.
Bilješka. Pri odabiru promjera osovine koristite standardni raspon promjera (Dodatak 2).
5. Definirajte tražene dimenzije osovina prstenastog presjeka pri c = 0,8, gdje je d vanjski promjer osovine.
Promjer prstenaste osovine može se odrediti formulom
Prihvatiti d= 42 mm.
Opterećenje je manje. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 mm.
Zaokruži na vrijednost dBH= 33 mm.
6. Usporedimo troškove metala prema površini poprečnog presjeka osovine u oba slučaja.
Površina poprečnog presjeka punog vratila
Površina poprečnog presjeka šuplje osovine
Površina poprečnog presjeka pune osovine je gotovo dvostruko veća od prstenaste osovine:
Primjer 3. Odredite dimenzije poprečnog presjeka osovine (Sl. 2.70, a) upravljački pogon. Sila povlačenja pedale P3, sile koje prenosi mehanizam P 1, R 2, R 4. Materijal osovine - StZ čelik s granicom tečenja σ t = 240 N/mm 2 , potrebnim faktorom sigurnosti [ n] = 2,5. Proračun se izvodi prema hipotezi o energiji promjene oblika.
Riješenje
Razmotrite ravnotežu osovine, nakon dovođenja sila R1, R2, R3, R4 na točke na svojoj osi.
Prijenos sila R 1 sami sebi paralelni u točke Do i E, potrebno je dodati parove sila s momentima jednakim momentima sila R 1 u odnosu na bodove Do i E, tj.
Ovi parovi sila (momenata) konvencionalno su prikazani na sl. 2.70 , b u obliku lučnih linija sa strelicama. Slično, kod prijenosa sila R 2, R 3, R 4 na bodove K, E, L, N trebate dodati parove sila s momentima
Ležajevi vratila prikazani na sl. 2.70, a, treba smatrati prostornim zglobnim nosačima koji sprječavaju kretanje u smjeru osi x i na(odabrani koordinatni sustav prikazan je na sl. 2.70, b).
Iskorištavati proračunska shema prikazano na sl. 2.70 u, sastavljamo jednadžbe ravnoteže:
 |
 |
dakle reakcije podrške NA i H B točno definiran.
Ploče momenta Mz i momenti savijanja moj prikazani su na sl. 2.70 G. Dio lijevo od točke L je opasan.
Uvjet čvrstoće ima oblik:
gdje je ekvivalentni moment prema hipotezi energije promjene oblika
Potreban vanjski promjer osovine
Prihvaćamo d \u003d 45 mm, zatim d 0 \u003d 0,8 * 45 \u003d 36 mm.
Primjer 4 Provjerite čvrstoću međuvratila (Sl. 2.71) čeonog zupčanika, ako vratilo prenosi snagu N= 12,2 kW pri brzini P= 355 o/min. Osovina je izrađena od čelika St5 s granicom razvlačenja σ t \u003d 280 N / mm 2. Potreban faktor sigurnosti [ n] = 4. Pri proračunu primijeniti hipotezu najvećih posmičnih naprezanja.
Uputa. Okružni napori R 1 i R 2 leže u horizontalnoj ravnini i usmjerene su duž tangenti na kružnice zupčanika. Radijalne sile T1 i T 2 leže u okomitoj ravnini i izražavaju se kroz odgovarajuću obodnu silu kako slijedi: T = 0,364R.
Riješenje
Na sl. 2.71, a prikazan je shematski crtež vratila; na sl. 2.71, b prikazuje dijagram vratila i sile koje nastaju u prijenosu.
Odredite moment koji prenosi vratilo:
Očito, m = m 1 = m 2(momenti uvijanja primijenjeni na osovinu, s ravnomjernom rotacijom, jednaki su po veličini i suprotnog smjera).
Odredite sile koje djeluju na zupčanike.
Okružni napori:
Radijalne sile:
Uzmite u obzir ravnotežu osovine AB, preddovođenje snaga R 1 i R 2 na točke koje leže na osi osovine.
Prijenos snage R 1 paralelan sa samim sobom do točke L, potrebno je dodati par sila s momentom jednakim momentu sile R 1 u odnosu na točku L, tj.
Ovaj par sila (moment) konvencionalno je prikazan na sl. 2.71, u u obliku lučne linije sa strelicom. Slično, kod prijenosa sile R 2 točno Do potrebno je pripojiti (dodati) par sila s momentom
Ležajevi vratila prikazani na sl. 2.71, a, treba smatrati prostornim zglobnim osloncima koji sprječavaju linearna pomicanja u smjerovima osi x i na(odabrani koordinatni sustav prikazan je na sl. 2.71, b).
Koristeći proračunsku shemu prikazanu na Sl. 2.71, G, sastavljamo jednadžbe ravnoteže za osovinu u vertikalnoj ravnini:
Napravimo testnu jednadžbu:
stoga su reakcije oslonca u vertikalnoj ravnini ispravno određene.
Razmotrite ravnotežu osovine u vodoravnoj ravnini:
Napravimo testnu jednadžbu:
stoga su reakcije oslonca u horizontalnoj ravnini ispravno određene.
Ploče momenta Mz i momenti savijanja M x i moj prikazani su na sl. 2.71, d.
Opasan je dio Do(vidi sl. 2.71, G,d). Ekvivalentni moment prema hipotezi najvećih posmičnih naprezanja
Ekvivalentno naprezanje prema hipotezi najvećih posmičnih naprezanja za opasnu točku osovine
faktor sigurnosti
što je mnogo više [ n] = 4, dakle, čvrstoća osovine je osigurana.
Pri proračunu osovine na čvrstoću nije uzeta u obzir promjena naprezanja tijekom vremena, zbog čega je dobiven tako značajan faktor sigurnosti.
Primjer 5 Odredite dimenzije poprečnog presjeka grede (Sl. 2.72, a). Materijal grede je čelik 30XGS s uvjetnim granicama razvlačenja na vlak i pritisak σ o, 2p = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Faktor sigurnosti [ n] = 1,6.
Riješenje
Šipka radi na kombiniranom djelovanju napetosti (kompresije) i torzije. Pod takvim opterećenjem u poprečnim presjecima nastaju dva faktora unutarnje sile: uzdužna sila i okretni moment.
Dijagrami uzdužnih sila N i okretni moment Mz prikazano na sl. 2.72, b, c. U tom slučaju odredite položaj opasnog dijela prema dijagramima N i Mz nemoguće, budući da su dimenzije poprečnih presjeka dijelova grede različite. Za određivanje položaja opasnog presjeka potrebno je nacrtati grafike normalnih i maksimalnih posmičnih naprezanja po duljini grede.
Prema formuli
izračunavamo normalna naprezanja u presjecima grede i gradimo dijagram o (sl. 2.72, G).
Prema formuli
izračunavamo maksimalne posmične naprezanja u presjecima grede i crtamo dijagram t max(riža* 2,72, e).
Vjerojatno su opasne konturne točke poprečnih presjeka presjeka AB i CD(vidi sl. 2.72, a).
Na sl. 2.72, e prikazane su parcele σ i τ za presjeke presjeka AB.
Podsjetimo da su u ovom slučaju (greda okruglog presjeka radi na kombiniranom djelovanju napetosti - kompresije i torzije) sve točke konture presjeka jednako opasne.
Na sl. 2.72, i
Na sl. 2.72, h prikazani su dijagrami a i t za presjeke presjeka CD.
Na sl. 2.72, i prikazana su naprezanja na početnim jastučićima na opasnom mjestu.
Glavna naprezanja na opasnoj točki mjesta CD: 
Prema Mohrovoj hipotezi čvrstoće, ekvivalentno naprezanje za opasnu točku presjeka koji se razmatra je
Konturne točke poprečnih presjeka presjeka AB pokazale su se opasnima.
Uvjet čvrstoće ima oblik:
Primjer 2.76. Odredite dopuštenu vrijednost sile R od stanja čvrstoće štapa Sunce(Slika 2.73) Materijal štapa je lijevano željezo vlačne čvrstoće σ vr = 150 N/mm 2 i tlačne čvrstoće σ sun = 450 N/mm 2. Potreban faktor sigurnosti [ n] = 5.
Uputa.
Slomljeno drvo ABC koji se nalazi u vodoravnoj ravnini, a štap AB okomito na Sunce. Snage R, 2R, 8R leže u vertikalnoj ravnini; snaga 0,5 R, 1,6 R- vodoravno i okomito na šipku Sunce; snaga 10R, 16R podudaraju se s osi štapa Sunce; par sila s momentom m = 25Pd nalazi se u vertikalnoj ravnini okomitoj na os štapa Sunce.
Riješenje
Donesimo snagu R i 0,5P prema težištu presjeka B.
Prenoseći silu P paralelno sa sobom na točku B, moramo dodati par sila s momentom jednakim momentu sile R u odnosu na točku NA, tj. par s momentom m 1 = 10 Pd.
Snaga 0,5 R kretati se duž svoje linije djelovanja do točke B.
Opterećenja koja djeluju na štap Sunce, prikazano na sl. 2.74 a.
Gradimo dijagrame unutarnjih faktora sile za štap Sunce. Pod navedenim opterećenjem štapa u njegovim presjecima nastaje ih šest: uzdužna sila N, poprečne sile Qx i qy, okretni moment mz momenti savijanja Mx i Mu.
Parcele N, Mz, Mx, Mu prikazani su na sl. 2.74 b(ordinate dijagrama su izražene u smislu R i d).
Parcele Qy i Qx ne gradimo, budući da su posmična naprezanja koja odgovaraju poprečnim silama mala.
U primjeru koji razmatramo položaj opasne dionice nije očit. Vjerojatno su opasne dionice K (kraj dionice ja) i S.
Glavna naprezanja u točki L:
Prema Mohrovoj hipotezi čvrstoće, ekvivalentno naprezanje za točku L
Odredimo veličinu i ravninu djelovanja momenta savijanja Mi u presjeku C, posebno prikazanom na sl. 2.74 d. Ista slika prikazuje dijagrame σ I, σ N , τ za odjeljak C.
Naprezanja na početnim mjestima u točki H(Sl. 2.74, e)
Glavni naponi u točki H:
Prema Mohrovoj hipotezi o čvrstoći, ekvivalentno naprezanje za točku H
Naprezanja na početnim mjestima u točki E (sl. 2.74, i):
Glavna naprezanja u točki E:
Prema Mohrovoj hipotezi čvrstoće, ekvivalentno naprezanje za točku E
Opasna točka L za koji
Uvjet čvrstoće ima oblik:
Kontrolna pitanja i zadaci
1. Koje stanje naprezanja se javlja u presjeku vratila pod zajedničkim djelovanjem savijanja i torzije?
2. Napišite uvjet čvrstoće za proračun vratila.
3. Napišite formule za izračun ekvivalentnog momenta pri proračunu hipoteze o maksimalnom posmičnom naprezanju i hipoteze o energiji deformacije.
4. Kako se pri proračunu okna odabire opasni presjek?
Pod savijanjem se podrazumijeva vrsta opterećenja pri kojoj se u poprečnim presjecima grede javljaju momenti savijanja. Ako je moment savijanja u presjeku jedini faktor sile, tada se savijanje naziva čistim. Ako uz moment savijanja u poprečnim presjecima grede nastaju i poprečne sile, tada se zavoj naziva poprečnim.
Pretpostavlja se da moment savijanja i poprečna sila leže u jednoj od glavnih ravnina grede (pretpostavljamo da je ta ravnina ZOY). Takav zavoj naziva se ravnim.
U svim dolje razmatranim slučajevima dolazi do ravnog poprečnog savijanja greda.
Da bi se izračunala čvrstoća ili krutost grede, potrebno je znati čimbenike unutarnje sile koji nastaju u njezinim presjecima. U tu svrhu grade se dijagrami poprečnih sila (epure Q) i momenata savijanja (M).
Kod savijanja, pravocrtna os grede je savijena, neutralna os prolazi kroz težište presjeka. Za određenost, pri izgradnji dijagrama poprečnih sila momenata savijanja, uspostavljamo pravila znakova za njih. Pretpostavimo da će se moment savijanja smatrati pozitivnim ako je element grede savijen s konveksnošću prema dolje, tj. na način da su mu stisnuta vlakna na vrhu.
Ako trenutak savija gredu s izbočinom prema gore, tada će se ovaj trenutak smatrati negativnim.
Pozitivne vrijednosti momenata savijanja tijekom iscrtavanja iscrtavaju se, kao i obično, u smjeru Y osi, što odgovara iscrtavanju na komprimiranom vlaknu.
Stoga se pravilo znakova za dijagram momenata savijanja može formulirati na sljedeći način: ordinate momenata ucrtavaju se sa strane slojeva grede.
Moment savijanja u presjeku jednak je zbroju momenata u odnosu na ovaj dio svih sila koje se nalaze na jednoj strani (bilo kojoj) presjeka.
Da bismo odredili poprečne sile (Q), uspostavljamo pravilo predznaka: poprečna sila se smatra pozitivnom ako vanjska sila nastoji rotirati odrezani dio grede u smjeru kazaljke na satu. strelica u odnosu na točku osi koja odgovara nacrtanom presjeku.
Poprečna sila (Q) u proizvoljnom presjeku grede brojčano je jednaka zbroju projekcija na os y vanjskih sila koje djeluju na njen krnji dio.
Razmotrite nekoliko primjera crtanja poprečnih sila momenata savijanja. Sve su sile okomite na os greda, pa je horizontalna komponenta reakcije nula. Deformirana os grede i sile leže u glavnoj ravnini ZOY.
Duljina grede je stegnuta lijevim krajem i opterećena koncentriranom silom F i momentom m=2F.
Konstruiramo dijagrame poprečnih sila Q i momenata savijanja M iz.
U našem slučaju, nema ograničenja nametnutih gredi s desne strane. Stoga, kako se ne bi određivale reakcije potpore, preporučljivo je uzeti u obzir ravnotežu desnog odsječenog dijela grede. Zadana greda ima dva područja opterećenja. Granice presjeka-presjeci u kojima djeluju vanjske sile. 1 dionica - NE, 2 - VA.
Izvodimo proizvoljni presjek u presjeku 1 i razmatramo ravnotežu desnog presjeka dužine Z 1.
Iz uvjeta ravnoteže slijedi:
Q=F; M izlaz = -fz 1 ()
Smična sila je pozitivna, jer vanjska sila F nastoji rotirati odrezani dio u smjeru kazaljke na satu. Trenutak savijanja smatra se negativnim, jer savija razmatrani dio grede konveksitetom prema gore.
Pri sastavljanju jednadžbi ravnoteže mentalno popravljamo mjesto presjeka; iz jednadžbi () proizlazi da poprečna sila u presjeku I ne ovisi o Z 1 i da je konstantna vrijednost. Pozitivna sila Q=F se mjeri prema gore od središnje linije grede, okomito na nju.
Moment savijanja ovisi o Z 1 .
Kada je Z 1 = O M od = O na Z 1 = M od =
Dobivena vrijednost () odlaže se prema dolje, tj. dijagram M iz izgrađen je na komprimiranom vlaknu.
Prijeđimo na drugi dio
Odsječemo presjek II na proizvoljnoj udaljenosti Z 2 od slobodnog desnog kraja grede i razmotrimo ravnotežu odsječenog dijela duljine Z 2. Promjena posmične sile i momenta savijanja na temelju uvjeta ravnoteže može se izraziti sljedećim jednadžbama:
Q=FM od = - FZ 2 +2F
Veličina i predznak transverzalne sile nije se promijenio.
Veličina momenta savijanja ovisi o Z 2 .
Na Z 2 = M iz =, na Z 2 =
Pokazalo se da je moment savijanja pozitivan, kako na početku presjeka II tako i na njegovom kraju. U presjeku II greda se savija ispupčenjem prema dolje.
Odvojite na ljestvici veličinu momenata do središnje crte grede (tj. dijagram je izgrađen na komprimiranom vlaknu). Najveći moment savijanja javlja se u presjeku gdje je primijenjen vanjski moment m i jednak je u apsolutnoj vrijednosti
Imajte na umu da se preko duljine grede, gdje Q ostaje konstantan, moment savijanja M mijenja linearno i na dijagramu je predstavljen kosim ravnim linijama. Iz dijagrama Q i M iz vidi se da u presjeku gdje djeluje vanjska poprečna sila dijagram Q ima skok za vrijednost te sile, a dijagram M iz ima prelom. U dijelu gdje se primjenjuje vanjski moment savijanja, Miz dijagram ima skok za vrijednost tog momenta. To se ne odražava na Q dijagramu. Iz dijagrama M iz vidimo da
max M van =
stoga je opasna dionica izrazito blizu s lijeve strane tzv.
Za gredu prikazanu na slici 13, a, konstruirajte dijagrame poprečnih sila i momenata savijanja. Duljina grede je opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem intenziteta q(KN/cm).
Na nosaču A (fiksni zglob) doći će do vertikalne reakcije R a (horizontalna reakcija je nula), a na nosaču B (pokretni zglob) dolazi do vertikalne reakcije R v.
Odredimo okomite reakcije oslonaca sastavljanjem jednadžbe momenata u odnosu na oslonce A i B.
Provjerimo ispravnost definicije reakcije:
oni. reakcije podrške su ispravno definirane.
Zadana greda ima dva presjeka opterećenja: Presjek I - AC.
Dionica II - SI.
Na prvom presjeku a, u trenutnom presjeku Z 1, iz uvjeta ravnoteže odsječenog dijela imamo
Jednadžba momenata savijanja na 1 presjeku grede:
Moment iz reakcije R a savija gredu u presjeku 1, konveksno prema dolje, pa se moment savijanja iz reakcije Ra uvodi u jednadžbu s predznakom plus. Opterećenje qZ 1 savija gredu konveksitetom prema gore, pa se moment iz nje uvodi u jednadžbu s predznakom minus. Moment savijanja mijenja se prema zakonu kvadratne parabole.
Stoga je potrebno utvrditi postoji li ekstrem. Između transverzalne sile Q i momenta savijanja postoji diferencijalna ovisnost koju ćemo dalje analizirati
Kao što znate, funkcija ima ekstremum gdje je derivacija jednaka nuli. Stoga, da bi se odredilo pri kojoj će vrijednosti Z 1 moment savijanja biti ekstreman, potrebno je jednadžbu poprečne sile izjednačiti s nulom.
Budući da transverzalna sila u ovom presjeku mijenja predznak s plusa na minus, moment savijanja u tom presjeku bit će maksimalan. Ako Q promijeni predznak s minusa na plus, tada će moment savijanja u ovom dijelu biti minimalan.
Dakle, moment savijanja pri
je maksimum.
Stoga gradimo parabolu na tri točke
Kada je Z 1 \u003d 0 M od \u003d 0
Drugi presjek smo odrezali na udaljenosti Z 2 od nosača B. Iz uvjeta ravnoteže desnog odsječenog dijela grede imamo:
Kada je Q=const,
moment savijanja će biti:
na, na, tj. M OD
mijenja se linearno.
Greda na dva nosača, koja ima raspon jednak 2 i lijevu konzolu s duljinom, opterećena je kao što je prikazano na slici 14, a., Gdje je q (Kn / cm) linearno opterećenje. Nosač A je zakretno fiksiran, oslonac B je pomični valjak. Građevinske parcele Q i M od.
Rješenje problema treba započeti određivanjem reakcija oslonaca. Iz uvjeta da je zbroj projekcija svih sila na os Z jednak nuli, slijedi da je horizontalna komponenta reakcije na oslonac A 0.
Za provjeru koristimo jednadžbu
Jednadžba ravnoteže je zadovoljena, stoga su reakcije ispravno izračunate. Okrećemo se definiciji čimbenika unutarnje sile. Određena greda ima tri područja opterećenja:
- 1 odjeljak - SA,
- 2. odjeljak - AD,
- 3 odjeljak - DV.
Izrezali smo 1 dio na udaljenosti Z 1 od lijevog kraja grede.
na Z 1 \u003d 0 Q \u003d 0 M FROM \u003d 0
na Z 1 \u003d Q \u003d -q M IZ \u003d
Tako se na dijagramu poprečnih sila dobiva kosa pravac, a na dijagramu momenata savijanja parabola čiji se vrh nalazi na lijevom kraju grede.
U presjeku II (a Z 2 2a), za određivanje unutarnjih faktora sile, razmotrite ravnotežu lijevog odsječenog dijela grede duljine Z 2 . Iz uvjeta ravnoteže imamo:
Transverzalna sila u ovom presjeku je konstantna.
Na odjeljak III()
Iz dijagrama vidimo da se najveći moment savijanja javlja u presjeku pod djelovanjem sile F i jednak je. Ovaj dio će biti najopasniji.
Na dijagramu M od postoji skok na nosaču B, jednak vanjskom momentu primijenjenom u ovom dijelu.
Razmatrajući gore konstruirane dijagrame, nije teško uočiti određenu pravilnu povezanost između dijagrama momenata savijanja i dijagrama poprečnih sila. Dokažimo to.
Derivacija transverzalne sile po duljini grede jednaka je modulu intenziteta opterećenja.
Odbacivanjem vrijednosti višeg reda malenosti, dobivamo:
oni. transverzalna sila je derivacija momenta savijanja po duljini grede.
Uzimajući u obzir dobivene diferencijalne ovisnosti, možemo napraviti opći zaključci. Ako je greda opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem intenziteta q=const, očito je da će funkcija Q biti linearna, a M od - kvadratna.
Ako je greda opterećena koncentriranim silama ili momentima, tada je u razmacima između točaka njihova djelovanja intenzitet q=0. Stoga je Q=const, a M from je linearna funkcija od Z. U točkama djelovanja koncentriranih sila dijagram Q doživljava skok za vrijednost vanjske sile, au dijagramu M from dolazi do odgovarajućeg loma. (praznina u izvedenici).
Na mjestu primjene vanjskog momenta savijanja postoji praznina u dijagramu momenta, jednaka veličini primijenjenom momentu.
Ako je Q>0, tada M iz raste, a ako je Q<0, то М из убывает.
Diferencijalne ovisnosti koriste se za provjeru jednadžbi sastavljenih za crtanje Q i M, kao i za pojašnjenje oblika ovih dijagrama.
Moment savijanja mijenja se prema zakonu parabole, čija je konveksnost uvijek usmjerena prema vanjskom opterećenju.
U slučaju izračuna okrugle šipke pod djelovanjem savijanja i torzije (slika 34.3), potrebno je uzeti u obzir normalna i posmična naprezanja, budući da se maksimalne vrijednosti naprezanja u oba slučaja javljaju na površini. Proračun treba provesti prema teoriji čvrstoće, zamjenjujući složeno stanje naprezanja jednako opasnim jednostavnim.
Maksimalno torzijsko naprezanje u presjeku
Maksimalno naprezanje na savijanje u presjeku
Prema jednoj od teorija čvrstoće, ovisno o materijalu grede, izračunava se ekvivalentno naprezanje za opasni presjek i ispituje se čvrstoća grede pomoću dopuštenog naprezanja na savijanje za materijal grede.
Za okruglu gredu, momenti modula presjeka su sljedeći:
Pri proračunu prema trećoj teoriji čvrstoće, teoriji maksimalnih posmičnih naprezanja, ekvivalentno naprezanje izračunava se po formuli
Teorija je primjenjiva na plastične materijale.
Pri proračunu prema teoriji formirajuće energije, ekvivalentno naprezanje izračunava se formulom
Teorija je primjenjiva na duktilne i krte materijale.
teorija maksimalnih posmičnih naprezanja:
Ekvivalentni napon kada se izračunava prema teorije energije promjene oblika:
gdje je ekvivalentni moment.
Stanje čvrstoće
Primjeri rješavanja problema
Primjer 1 Za dano stanje naprezanja (sl. 34.4), koristeći hipotezu maksimalnih posmičnih naprezanja, izračunajte faktor sigurnosti ako je σ T = 360 N / mm 2.
Kontrolna pitanja i zadaci
1. Što karakterizira i kako se prikazuje stanje naprezanja u točki?
2. Koja mjesta i koji naponi se nazivaju glavnim?
3. Nabrojite vrste stresnih stanja.
4. Što karakterizira deformirano stanje u točki?
5. U kojim slučajevima se javljaju granična stanja naprezanja u duktilnim i lomljivim materijalima?
6. Što je ekvivalentni napon?
7. Objasnite svrhu teorija čvrstoće.
8. Napišite formule za izračun ekvivalentnih naprezanja u proračunima prema teoriji maksimalnih posmičnih naprezanja i teoriji energije deformacije. Objasnite kako ih koristiti.
PREDAVANJE 35
Tema 2.7. Proračun šipke kružnog presjeka s kombinacijom osnovnih deformacija
Poznavati formule za ekvivalentna naprezanja prema hipotezama o najvećim tangencijalnim naprezanjima i energiji deformacije.
Znati proračunati gredu kružnog presjeka na čvrstoću s kombinacijom osnovnih deformacija.
Uvod.
Savijanje je vrsta deformacije koju karakterizira zakrivljenost (promjena zakrivljenosti) osi ili srednje površine deformabilnog objekta (šipka, greda, ploča, ljuska itd.) pod utjecajem vanjskih sila ili temperature. Savijanje je povezano s pojavom momenata savijanja u presjecima grede. Ako je samo jedan od šest unutarnjih faktora sile u presjeku grede različit od nule, savijanje se naziva čistim:
Ako uz moment savijanja u poprečnim presjecima grede djeluje i poprečna sila, zavoj se naziva poprečnim:
U inženjerskoj praksi razmatra se i poseban slučaj savijanja - uzdužni I. ( riža. jedan, c), karakteriziran izvijanjem štapa pod djelovanjem uzdužnih tlačnih sila. Istodobno djelovanje sila usmjerenih duž osi štapa i okomito na nju uzrokuje uzdužno-poprečno savijanje ( riža. jedan, G).
Riža. 1. Savijanje grede: a - čisto: b - poprečno; u - uzdužno; g - uzdužno-poprečno.
Šipka koja se savija naziva se greda. Zavoj se naziva ravnim ako os grede ostaje ravna linija nakon deformacije. Ravnina zakrivljene osi grede naziva se ravnina savijanja. Ravnina djelovanja sila opterećenja naziva se ravnina sila. Ako se ravnina sile poklapa s jednom od glavnih ravnina tromosti poprečnog presjeka, zavoj se naziva ravnim. (Inače dolazi do kosog zavoja). Glavna tromost poprečnog presjeka je ravnina koju čini jedna od glavnih osi poprečnog presjeka s uzdužnom osi grede. Kod ravnog ravnog savijanja ravnina savijanja i ravnina sile se podudaraju.
Problem torzije i savijanja grede (problem Saint-Venant) od velikog je praktičnog interesa. Primjena teorije savijanja koju je postavio Navier predstavlja opsežnu granu građevinske mehanike i od velike je praktične važnosti, jer služi kao osnova za proračun dimenzija i provjeru čvrstoće raznih dijelova konstrukcija: greda, mostova, strojnih elemenata. itd.
OSNOVNE JEDNADŽBE I PROBLEMI TEORIJE ELASTIČNOSTI
§ 1. osnovne jednadžbe
Najprije dajemo opći sažetak osnovnih jednadžbi za probleme ravnoteže elastičnog tijela, koje čine sadržaj dijela teorije elastičnosti, koji se obično naziva statika elastičnog tijela.
Deformirano stanje tijela u potpunosti je određeno tenzorom polja deformacija ili poljem pomaka Komponente tenzora deformacija povezani su s pomacima diferencijalnim Cauchyjevim ovisnostima:
(1)
Komponente tenzora deformacije moraju zadovoljiti Saint-Venantove diferencijalne ovisnosti:
koji su nužni i dovoljni uvjeti integrabilnosti jednadžbi (1).
Stanje naprezanja tijela određeno je tenzorom polja naprezanja 
Šest neovisnih komponenti simetričnog tenzora ()
mora zadovoljiti tri diferencijalne jednadžbe ravnoteže:
Komponente tenzora naprezanja i istisnina povezani su sa šest jednadžbi Hookeovog zakona:
U nekim slučajevima, jednadžbe Hookeovog zakona moraju se koristiti u obliku formule
,
(5)
Jednadžbe (1)-(5) su osnovne jednadžbe statičkih problema u teoriji elastičnosti. Ponekad se jednadžbe (1) i (2) nazivaju geometrijske jednadžbe, jednadžbe ( 3) - statičke jednadžbe, a jednadžbe (4) ili (5) - fizikalne jednadžbe. Osnovnim jednadžbama koje određuju stanje linearnoelastičnog tijela u njegovim unutarnjim volumenskim točkama potrebno je dodati uvjete na njegovoj površini, koji se nazivaju rubni uvjeti. Određene su ili zadanim vanjskim površinskim silama ili zadanih pokreta točke površine tijela. U prvom slučaju, rubni uvjeti su izraženi jednakošću:
gdje su komponente vektora t površinska čvrstoća, su komponente jediničnog vektora P, usmjerena duž vanjske normale na površinu u točki koja se razmatra.
U drugom slučaju rubni uvjeti su izraženi jednakošću
gdje 
su funkcije definirane na površini.
Rubni uvjeti mogu biti i mješoviti, kada su na jednom dijelu vanjske površinske sile dane su na površinu tijela a s druge strane dati su pomaci površine tijela:
Moguće su i druge vrste rubnih uvjeta. Na primjer, na određenom dijelu površine tijela navedene su samo neke komponente vektora pomaka, a osim toga nisu navedene ni sve komponente vektora površinske sile.
§ 2. Glavni problemi statike elastičnog tijela
Ovisno o vrsti rubnih uvjeta, razlikuju se tri vrste osnovnih statičkih problema teorije elastičnosti.
Glavni problem prvog tipa je određivanje komponenti tenzora polja naprezanja unutar regije , koju zauzima tijelo, i komponenta vektora pomaka točaka unutar područja i površinske točke tijela prema zadanim silama mase i površinske sile
Željenih devet funkcija mora zadovoljiti osnovne jednadžbe (3) i (4), kao i rubne uvjete (6).
Glavna zadaća druge vrste je određivanje pomaka točke unutar područja i komponenta tenzora polja naprezanja prema zadanim masovnim silama a prema zadanim pomacima na površini tijela.
Tražite značajke i moraju zadovoljiti osnovne jednadžbe (3) i (4) i rubne uvjete (7).
Napominjemo da rubni uvjeti (7) odražavaju zahtjev za kontinuitetom definiranih funkcija na granici tijelo, tj. kada unutarnja točka teži nekoj točki na površini, funkciji treba težiti zadanoj vrijednosti na danoj točki na površini.
Glavni problem trećeg tipa ili mješoviti problem je taj da s obzirom na površinske sile na jednom dijelu površine tijela i prema zadanim pomacima na drugom dijelu površine tijela i također, općenito govoreći, prema zadanim silama tijela potrebno je odrediti komponente tenzora naprezanja i pomaka , zadovoljavajući osnovne jednadžbe (3) i (4) pod mješovitim rubnim uvjetima (8).
Dobivši rješenje ovog problema, moguće je odrediti, posebice, sile veza na , koje je potrebno primijeniti na točkama površine da bi se ostvarili zadani pomaci na ovoj površini, a moguće je izračunati i pomake točaka površine. . Predmet >> Industrija, proizvodnja
Po dužini drvena građa, onda greda deformiran. Deformacija drvena građa u pratnji istovremeno ... drvo, polimer, itd. Kada saviti se drvena građa počiva na dva oslonca... saviti se karakterizirat će se strelicom otklona. U tom slučaju tlačna naprezanja u konkavnom dijelu drvena građa ...
Prednosti lijepljenih drvena građa u niskoj gradnji
Sažetak >> KonstrukcijaRješeno kada se koristi lijepljeni profilirani drvena građa. Lamelirano drvo u nosivom... , ne uvija se ili zavoja. To je zbog nedostatka ... prijevoza goriva. 5. Površinski zalijepljen drvena građa izrađena u skladu sa svim tehnološkim...
Ova kombinacija čimbenika unutarnje sile tipična je u proračunu osovina. Zadatak je ravan, jer koncept "kosog zavoja" za gredu okruglog presjeka, u kojoj je bilo koja središnja os glavna, nije primjenjiv. U općem slučaju djelovanja vanjskih sila, takva šipka doživljava kombinaciju sljedećih vrsta deformacija: izravne poprečno savijanje, torzija i središnja napetost (kompresija). Na sl. 11.5 prikazuje gredu opterećenu vanjskim silama koje uzrokuju sve četiri vrste deformacija.
Dijagrami unutarnjih sila omogućuju vam da identificirate opasne dijelove, a dijagrami naprezanja - opasne točke u tim dijelovima. Posmična naprezanja od poprečnih sila postižu svoj maksimum na osi grede i beznačajna su za gredu punog presjeka i mogu se zanemariti, u usporedbi s posmičnim naprezanjima od torzije, koja postižu svoj maksimum na rubnim točkama (točka B).
Opasan je odjeljak u ugradnji, gdje u isto vrijeme imaju veliki značaj uzdužne i poprečne sile, momenti savijanja i torzije.
Opasna točka u ovom dijelu bit će točka u kojoj σ x i τ xy postižu značajnu vrijednost (točka B). U ovoj točki najveće normalno naprezanje od savijanja i posmično naprezanje od torzije, kao i normalno naprezanje od napetosti
Odredivši glavna naprezanja formulom:
nalazimo σ crveno =
(pri korištenju kriterija najvećih posmičnih naprezanja m = 4, pri korištenju kriterija specifične energije promjene oblika m = 3).
Zamjenom izraza σ α i τ xy dobivamo:
ili uzimajući u obzir da je W p =2 W z , A= (vidi 10.4),
Ako je osovina savijena u dvije međusobno okomite ravnine, tada umjesto M z vrijedi M tot =
Smanjeno naprezanje σ red ne smije premašiti dopušteno naprezanje σ adm , određeno tijekom ispitivanja u linearnom stanju naprezanja, uzimajući u obzir faktor sigurnosti. Za zadane dimenzije i dopuštena naprezanja provodi se verifikacijski izračun. Dimenzije potrebne za osiguranje sigurne čvrstoće nalaze se iz uvjeta
11.5. Proračun beztrenutnih ljuski revolucije
Strukturni elementi naširoko se koriste u inženjerstvu, koji se, s gledišta proračuna čvrstoće i krutosti, mogu pripisati tankim školjkama. Uobičajeno je da se ljuska smatra tankom ako je omjer njezine debljine prema ukupnoj veličini manji od 1/20. Za tanke ljuske primjenjiva je hipoteza izravnih normala: segmenti normale na srednju površinu ostaju ravni i nerastegljivi nakon deformacije. U tom slučaju postoji linearna raspodjela deformacija i, posljedično, normalnih naprezanja (za male elastične deformacije) po debljini ljuske.
Površina ljuske dobiva se rotacijom ravne krivulje oko osi koja leži u ravnini krivulje. Ako se krivulja zamijeni ravnom linijom, tada kada se okreće paralelno s osi, dobiva se kružna cilindrična ljuska, a kada se okreće pod kutom prema osi, ona je konusna.
U projektnim shemama, školjka je predstavljena svojom središnjom površinom (na jednakoj udaljenosti od prednjih). Srednja ploha se obično povezuje s krivolinijskim ortogonalnim koordinatnim sustavom Ө i φ. Kut θ () određuje položaj paralele crte presjeka srednje površine s ravninom koja prolazi normalno na os rotacije.
sl.11.6 11.7
Kroz normalu sa sredinom površine možete povući puno ravnina koje će biti normalne na nju i oblikovati linije s različitim polumjerima zakrivljenosti u presjecima s njom. Dva od ovih radijusa imaju ekstremne vrijednosti. Pravci kojima odgovaraju nazivaju se linijama glavnih zakrivljenosti. Jedna od linija je meridijan, označavamo njegov radijus zakrivljenosti r1. Polumjer zakrivljenosti druge krivulje je r2(središte zakrivljenosti leži na osi rotacije). Centri radijusa r1 i r2 mogu se podudarati (kuglasta ljuska), ležati na jednoj ili na suprotnim stranama srednje plohe, jedno od središta može ići u beskonačnost (cilindrične i stožaste ljuske).
Pri sastavljanju osnovnih jednadžbi sile i pomaka, pozivamo se na normalne presjeke ljuske u ravninama glavnih zakrivljenosti. Navijajmo za unutarnje napore. Razmotrimo infinitezimalni element ljuske (sl. 11.6) izrezan dvjema susjednim meridionalnim ravninama (s kutovima θ i θ + dθ) i dvije susjedne paralelne kružnice normalne na os rotacije (s kutovima φ i φ + dφ). Kao sustav osi projekcija i momenata biramo pravokutni sustav osi x, g, z. Os g usmjerena tangencijalno na meridijan, os z- normalno.
Zbog osne simetrije (opterećenje P=0) na element će djelovati samo normalne sile. N φ - linearna meridionalna sila usmjerena tangencijalno na meridijan: N θ - linearna prstenasta sila usmjerena tangencijalno na kružnicu. Jednadžba ΣX=0 prelazi u identitet. Projicirajmo sve sile na os z:
2N θ r 1 dφsinφ+r o dθdφ+P z r 1 dφr o dθ=0.
Ako zanemarimo infinitezimalnu vrijednost višeg reda ()r o dθ dφ i podijelimo jednadžbu s r 1 r o dφ dθ, tada uzimajući u obzir da dobivamo jednadžbu koja pripada P. Laplaceu:
Umjesto jednadžbe ΣY=0 za razmatrani element, sastaviti ćemo jednadžbu ravnoteže za gornji dio ljuske (sl. 11.6). Projiciramo sve sile na os rotacije:
gdje je: R v - vertikalna projekcija rezultantne vanjske sile koja djeluje na odsječeni dio ljuske. Tako,
Zamjenom vrijednosti N φ u Laplaceovu jednadžbu, nalazimo N θ. Određivanje sila u ljusci vrtnje prema bezmomentnoj teoriji statički je odrediv problem. To je postalo moguće zahvaljujući činjenici da smo odmah postulirali zakon varijacije naprezanja po debljini ljuske - smatrali smo ih konstantnima.
U slučaju sferne kupole imamo r 1 = r 2 = r i r o = r. Ako je opterećenje zadano kao intenzitet P na horizontalnoj projekciji ljuske, zatim
Dakle, kupola je jednoliko stisnuta u meridionalnom smjeru. Komponente površinskog opterećenja duž normale z jednak je P z =P. Zamjenjujemo vrijednosti N φ i P z u Laplaceovu jednadžbu i pronalazimo iz nje:
Tlačne sile prstena postižu maksimum na vrhu kupole pri φ = 0. Pri φ = 45 º - N θ =0; pri φ > 45- N θ =0 postaje vlačna i dostiže maksimum pri φ = 90.
Horizontalna komponenta meridionalne sile je:
Razmotrimo primjer izračuna bezmomentalne ljuske. Glavni cjevovod ispunjen je plinom čiji je tlak jednak R.
Ovdje r 1 \u003d R, r 2 \u003d iu skladu s prethodno prihvaćenom pretpostavkom da su naprezanja ravnomjerno raspoređena po debljini δ školjke
gdje je: σ m - normalna meridionalna naprezanja, i
σ t - obodna (latitudinalna, prstenasta) normalna naprezanja.