10.1. Concepte generaleși definiții

Îndoiți- acesta este un tip de încărcare în care tija este încărcată cu momente în planuri care trec prin axa longitudinală a tijei.

O tijă care se îndoaie se numește grindă (sau cherestea). În viitor, vom lua în considerare grinzile rectilinii, a căror secțiune transversală are cel puțin o axă de simetrie.

Rezistența materialelor este împărțită în îndoire plată, oblică și complexă.

Îndoire plată– încovoiere, în care toate forțele de îndoire a grinzii se află într-unul din planurile de simetrie ale grinzii (în unul din planurile principale).

Planurile principale de inerție ale unei grinzi sunt planele care trec prin axele principale secțiuni transversaleși axa geometrică a fasciculului (axa x).

îndoire oblică– încovoiere, în care sarcinile acționează într-un singur plan care nu coincide cu planurile principale de inerție.

Îndoire complexă – încovoiere, în care sarcinile acționează în planuri diferite (arbitrare).

10.2. Determinarea forțelor interne de încovoiere

Să luăm în considerare două cazuri tipice de încovoiere: în primul, grinda cantilever este îndoită de un moment concentrat Mo; în al doilea - forța concentrată F.

Folosind metoda secțiunilor mentale și compunând ecuații de echilibru pentru părțile tăiate ale grinzii, determinăm forțele interne în ambele cazuri:

Ecuațiile de echilibru rămase sunt în mod evident identic egale cu zero.

Astfel, în cazul general al îndoirii plane în secțiunea unei grinzi, din șase forțe interne, apar două - moment de încovoiere Mz și forță tăietoare Qy (sau la încovoiere față de o altă axă principală - momentul încovoietor My și forța tăietoare Qz).

Mai mult, în conformitate cu cele două cazuri de încărcare luate în considerare, îndoirea plană poate fi împărțită în pură și transversală.

Curăță curbă– încovoiere plată, în care în secțiunile tijei, din șase forțe interne, ia naștere doar una – un moment încovoietor (vezi primul caz).

îndoire transversală– încovoiere, în care în secțiunile tijei, pe lângă momentul încovoietor intern, apare și o forță transversală (vezi al doilea caz).

Strict vorbind, să tipuri simple rezistența se aplică numai curba pură; îndoirea transversală este clasificată în mod convențional ca un tip simplu de rezistență, deoarece în majoritatea cazurilor (pentru grinzi suficient de lungi) efectul forței transversale poate fi neglijat la calcularea rezistenței.

Atunci când stabilim eforturile interne, vom adera următoarea regulă semne:

1) forța transversală Qy este considerată pozitivă dacă tinde să rotească elementul grinzii în cauză în sensul acelor de ceasornic;

2) momentul încovoietor Mz este considerat pozitiv dacă, la îndoirea unui element de grindă, fibrele superioare ale elementului sunt comprimate, iar fibrele inferioare sunt întinse (regula umbrelă).

Astfel, vom construi soluția problemei determinării forțelor interne la încovoiere după următorul plan: 1) în prima etapă, luând în considerare condițiile de echilibru ale structurii în ansamblu, determinăm, dacă este necesar, reacțiile necunoscute. a suporturilor (de observat că pentru o grindă cantilever reacțiile în încastre pot fi și nu se regăsesc dacă luăm în considerare grinda din capătul liber); 2) la a doua etapă, selectăm secțiuni caracteristice ale grinzii, luând drept limite ale secțiunilor punctele de aplicare a forțelor, punctele de modificare a formei sau dimensiunii grinzii, punctele de fixare a grinzii; 3) la a treia etapă, determinăm forțele interne în secțiunile grinzii, având în vedere condițiile de echilibru ale elementelor grinzii din fiecare secțiune.

10.3. Dependențe diferențiale în timpul îndoirii

Să stabilim câteva relații între forțele interne și sarcinile externe de încovoiere, precum și trăsături caracteristice diagramele Q și M, cunoașterea cărora va facilita construirea diagramelor și vă va permite să controlați corectitudinea acestora. Pentru comoditatea notării, vom nota: M≡Mz, Q≡Qy.

Să selectăm un element mic dx într-o secțiune a unui fascicul cu o sarcină arbitrară într-un loc în care nu există forțe și momente concentrate. Deoarece întregul fascicul este în echilibru, elementul dx va fi și el în echilibru sub acțiunea forțelor aplicate acestuia. forțe tăietoare, momentele încovoietoare și sarcina externă. Deoarece Q și M variază în general de-a lungul

axa grinzii, apoi forțele transversale Q și Q+dQ, precum și momentele încovoietoare M și M+dM, vor apărea în secțiunile elementului dx. Din starea de echilibru a elementului selectat obținem

Prima dintre cele două ecuații scrise dă condiția

Din a doua ecuație, neglijând termenul q dx (dx/2) ca mărime infinitezimală de ordinul doi, găsim

Considerând expresiile (10.1) și (10.2) împreună putem obține

Relațiile (10.1), (10.2) și (10.3) se numesc diferențiale dependențe ale lui D.I Zhuravsky în timpul îndoirii.

Analiza dependențelor diferențiale de mai sus în timpul încovoierii ne permite să stabilim câteva caracteristici (reguli) pentru construirea diagramelor de momente de încovoiere și forțe transversale: a - în zonele în care nu există sarcină distribuită q, diagramele Q sunt limitate la linii drepte paralele cu baza , iar diagramele M sunt limitate la linii drepte înclinate; b – în zonele în care grinzii i se aplică o sarcină distribuită q, diagramele Q sunt limitate de drepte înclinate, iar diagramele M sunt limitate de parabole pătratice.

Mai mult, dacă construim diagrama M „pe o fibră întinsă”, atunci convexitatea parabolei va fi îndreptată în direcția acțiunii q, iar extremul va fi situat în secțiunea în care diagrama Q intersectează linia de bază; c – în secțiunile în care fasciculului i se aplică o forță concentrată, pe diagrama Q vor exista salturi de mărime și în direcția acestei forțe, iar pe diagrama M vor fi îndoituri, vârful îndreptat în direcția acțiunea acestei forțe; d – în secțiunile în care grinzii i se aplică un moment concentrat, nu vor exista modificări pe diagrama Q, iar pe diagrama M vor exista salturi în mărimea acestui moment; d – în zonele în care Q>0, momentul M crește, iar în zonele în care Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Tensiuni normale în timpul îndoirii pure a unei grinzi drepte

Să luăm în considerare cazul îndoirii în plan pur a unei grinzi și să obținem o formulă pentru determinarea tensiunilor normale pentru acest caz.

De reținut că în teoria elasticității este posibil să se obțină o dependență exactă pentru tensiunile normale în timpul îndoirii pure, dar dacă această problemă este rezolvată folosind metode de rezistență a materialelor, este necesar să se introducă câteva ipoteze.

Există trei astfel de ipoteze pentru îndoire:

a – ipoteza secțiunilor plate (ipoteza Bernoulli) – secțiunile plate înainte de deformare rămân plate după deformare, dar se rotesc doar față de o anumită linie, care se numește axa neutră a secțiunii grinzii. În acest caz, fibrele fasciculului aflate pe o parte a axei neutre se vor întinde, iar pe cealaltă, se vor comprima; fibrele situate pe axa neutră nu își schimbă lungimea;

b – ipoteza despre constanța tensiunilor normale - tensiunile care acționează la aceeași distanță y față de axa neutră sunt constante pe lățimea grinzii;

c – ipoteza despre absenţa presiunilor laterale – fibrele longitudinale adiacente nu se apasă unele pe altele.

Partea statică a problemei

Pentru a determina tensiunile în secțiunile transversale ale grinzii, luăm în considerare, în primul rând, laturile statice ale problemei. Folosind metoda secțiunilor mentale și compunând ecuații de echilibru pentru partea tăiată a grinzii, vom găsi forțele interne în timpul îndoirii. După cum sa arătat mai devreme, singura forță internă care acționează în secțiunea grinzii în timpul încovoierii pure este momentul încovoietor intern, ceea ce înseamnă că aici vor apărea tensiuni normale asociate cu acesta.

Vom găsi relația dintre forțele interne și tensiunile normale în secțiunea grinzii luând în considerare tensiunile pe aria elementară dA, identificate în secțiunea transversală A a grinzii în punctul cu coordonatele y și z (axa y este îndreptată în jos pentru comoditatea analizei):

După cum vedem, problema este nedeterminată static intern, deoarece natura distribuției tensiunilor normale pe secțiune este necunoscută. Pentru a rezolva problema, luați în considerare imaginea geometrică a deformațiilor.

Partea geometrică a problemei

Să luăm în considerare deformarea unui element de grindă de lungime dx, separat de o tijă de îndoire într-un punct arbitrar cu coordonata x. Ținând cont de ipoteza acceptată anterior a secțiunilor plane, după îndoirea secțiunii grinzii, se rotește față de axa neutră (n.o.) cu un unghi dϕ, în timp ce fibra ab, distanțată de axa neutră la o distanță y, se va transforma într-un arc de cerc a1b1, iar lungimea acestuia se va schimba cu o anumită dimensiune. Să reamintim aici că lungimea fibrelor situate pe axa neutră nu se modifică și, prin urmare, arcul a0b0 (a cărui rază de curbură se notează cu ρ) are aceeași lungime ca și segmentul a0b0 înainte de deformare a0b0=dx. .

Să găsim deformația liniară relativă εx a fibrei ab a fasciculului curbat.

La construirea diagrame ale momentelor încovoietoareM la constructorii acceptate: ordonate care exprimă la o anumită scară pozitiv valorile momentelor încovoietoare, puse deoparte întins fibre, adică - jos, A negativ - sus din axa fasciculului. Prin urmare, ei spun că constructorii construiesc diagrame pe fibre întinse. La mecanici valorile pozitive atât ale forței tăietoare, cât și ale momentului încovoietor sunt amânate Sus. Mecanicii desenează diagrame pe comprimat fibre.

Tensiuni principale la îndoire. Tensiuni echivalente.

În cazul general al îndoirii directe în secțiunile transversale ale unei grinzi, normalŞi tangenteVoltaj. Aceste tensiuni variază atât pe lungimea cât și pe înălțimea grinzii.

Astfel, în cazul îndoirii, există starea de stres plană.

Să considerăm o diagramă în care grinda este încărcată cu forța P

Cel mai mare normal apar tensiuni în extrem, punctele cele mai îndepărtate de linia neutră și Nu există solicitări de forfecare în ele. Astfel, pentru extrem fibre tensiunile principale diferite de zero sunt tensiuni normaleîn secţiune transversală.

La nivelul liniei neutreîn secţiunea transversală a grinzii există cea mai mare tensiune de forfecare, O tensiunile normale sunt zero. înseamnă în fibre neutru strat tensiunile principale sunt determinate de valorile tensiunilor tangențiale.

În această schemă de proiectare, fibrele superioare ale grinzii vor fi întinse, iar cele inferioare vor fi comprimate. Pentru a determina tensiunile principale folosim expresia binecunoscuta:

Deplin analiza stresului Să ne imaginăm în imagine.

Analiza tensiunii de încovoiere

Tensiunea principală maximă σ 1 este pornit superior fibre extreme şi este egal cu zero pe fibrele inferioare cele mai exterioare. Tensiunea principală σ 3 are cea mai mare valoare absolută este pe fibrele inferioare.

Traiectoria tensiunilor principale depinde de tipul de sarcinăŞi metoda de asigurare a grinzii.

La rezolvarea problemelor este suficient separat verifica normalŞi tensiuni tangenţiale separat. Cu toate acestea, uneori cel mai stresant se dovedesc a fi intermediar fibre în care există atât tensiuni normale cât și forfecare. Acest lucru se întâmplă în secțiunile în care În același timp, atât momentul încovoietor, cât și forța tăietoare ating valori mari- aceasta poate fi în înglobarea unei grinzi cantilever, pe suportul unei grinzi cu cantilever, în secțiuni sub forță concentrată, sau în secțiuni cu lățimi în schimbare bruscă. De exemplu, într-o secțiune I cea mai periculoasă joncțiunea peretelui cu raftul- Sunt tensiuni semnificative atât normale, cât și de forfecare.

Materialul se află într-o stare de efort plană și este necesar verificați tensiunile echivalente.

Condiții de rezistență pentru grinzile din materiale plastice De treilea(teoria tensiunilor tangențiale maxime) Şi patrulea(teoria energiei schimbărilor de formă) teorii ale puterii.

De regulă, în grinzile laminate tensiunile echivalente nu depășesc tensiunile normale din fibrele cele mai exterioare și nu este necesară testarea specială. Un alt lucru - grinzi metalice compozite, care au peretele este mai subțire decât pentru profile laminate la aceeași înălțime. Grinzile compozite sudate din tablă de oțel sunt mai des folosite. Calculul unor astfel de grinzi pentru rezistență: a) selectarea secțiunii - înălțimea, grosimea, lățimea și grosimea coardelor grinzii; b) verificarea rezistenţei prin tensiuni normale şi tangenţiale; c) verificarea rezistenţei folosind tensiuni echivalente.

Determinarea tensiunilor tăietoare într-o secțiune în I. Să luăm în considerare secțiunea I-beam Sx = 96,9 cm3; Yx=2030 cm4; Q=200 kN

Pentru determinarea efortului de forfecare, se folosește formula,unde Q este forța tăietoare în secțiune, S x 0 este momentul static al părții de secțiune transversală situată pe o latură a stratului în care se determină tensiunile tangențiale, I x este momentul de inerție al întregului secțiune transversală, b este lățimea secțiunii în locul unde este determinată efortul de forfecare

Să calculăm maxim efort de forfecare:

Să calculăm momentul static pt raftul de sus:

Acum hai să calculăm efort de forfecare:

Construim diagrama tensiunii de forfecare:

Să luăm în considerare secțiunea transversală a unui profil standard în formă I-beamși definiți efort de forfecare, acționând paralel cu forța tăietoare:

Să calculăm momente statice cifre simple:

Această valoare poate fi calculată și altfel, folosindu-se de faptul că pentru secțiunile în I și jgheab este dat momentul static a jumătate de secțiune. Pentru a face acest lucru, este necesar să scădem din valoarea cunoscută a momentului static valoarea momentului static la dreapta. A 1 B 1:

Tensiunile tangențiale la joncțiunea flanșei și a peretelui se modifică spasmodic, pentru că ascuțit grosimea peretelui variază de la t st la b.

Diagramele tensiunilor tangențiale din pereții jgheabului, golurilor dreptunghiulare și alte secțiuni au aceeași formă ca și în cazul unei secțiuni în I. Formula include momentul static al părții umbrite a secțiunii în raport cu axa X, iar numitorul include lățimea secțiunii (netului) în stratul în care se determină efortul de forfecare.

Să determinăm tensiunile tangențiale pentru o secțiune circulară.

Deoarece eforturile de forfecare la conturul secțiunii trebuie direcționate tangentă la contur, apoi la puncte OŞi ÎN la capetele oricărei coarde paralele cu diametrul AB, tensiunile de forfecare sunt direcționate perpendicular pe razele OAŞi OV. Prin urmare, direcții tensiuni tangențiale în puncte O, V, K converg la un moment dat N pe axa Y.

Momentul static al piesei tăiate:

Adică tensiunile de forfecare se modifică în funcție de parabolic lege si va fi maxima la nivelul liniei neutre, cand y 0 =0

Formula pentru determinarea tensiunii de forfecare (formula)

Luați în considerare o secțiune dreptunghiulară

La distanta y 0 din axa centrală desenăm secțiunea 1-1şi determinaţi tensiunile tangenţiale. Moment static zonă parte tăiată:

Trebuie avut în vedere că este fundamental indiferent, luați momentul static al zonei parte umbrită sau rămasă secţiune transversală. Ambele momente statice egal și opus în semn, deci lor sumă, care reprezintă momentul static al ariei întregii secțiuni raportat la linia neutră și anume axa centrală x, va fi egală cu zero.

Momentul de inerție al unei secțiuni dreptunghiulare:

Apoi efort de forfecare conform formulei

Variabila y 0 este inclusă în formula în doilea grade, adică tensiunile tangențiale într-o secțiune dreptunghiulară variază în funcție de legea parabolei pătrate.

Efort de forfecare a fost atins maxim la nivelul liniei neutre, i.e. Când y 0 =0:

, Unde A este aria întregii secțiuni.

Condiție de rezistență pentru tensiuni tangenţiale are forma:

, Unde S x 0– momentul static al părții de secțiune transversală situată pe o latură a stratului în care se determină eforturile de forfecare, eu x– momentul de inerție al întregii secțiuni transversale, b– lățimea secțiunii în locul unde este determinată efortul de forfecare, Q- forta laterala, τ - efort de forfecare, [τ] — efort tangenţial admisibil.

Această condiție de forță ne permite să producem trei tip de calcul (trei tipuri de probleme la calcularea rezistenței):

1. Calcul de verificare sau încercarea de rezistență pe baza tensiunilor tangențiale:

2. Selectarea lățimii secțiunii (pentru o secțiune dreptunghiulară):

3. Determinarea forței laterale admisibile (pentru o secțiune dreptunghiulară):

Pentru a determina tangente tensiuni, considerați o grindă încărcată cu forțe.

Sarcina de a determina tensiunile este întotdeauna static nedeterminatși necesită implicare geometricŞi fizic ecuații. Cu toate acestea, este posibil să acceptați așa ceva ipoteze despre natura distribuţiei stresului că sarcina va deveni definibil static.

Prin două secțiuni transversale infinit apropiate 1-1 și 2-2 selectăm element dz, Să o reprezentăm la scară mare, apoi să desenăm o secțiune longitudinală 3-3.

În secțiunile 1–1 și 2–2, tensiuni normale σ 1, σ 2, care sunt determinate de formulele binecunoscute:

Unde M - momentul încovoietor in sectiune transversala, dM - increment moment încovoietor la lungime dz

Forța lateralăîn secțiunile 1–1 și 2–2 este îndreptată de-a lungul axei centrale principale Y și, evident, reprezintă suma componentelor verticale ale tensiunilor tangenţiale interne distribuite pe secţiune. În rezistența materialelor este de obicei luată presupunerea distribuției lor uniforme pe lățimea secțiunii.

Pentru a determina magnitudinea tensiunilor tangențiale în orice punct al secțiunii transversale situat la distanță y 0 de pe axa neutră X, trageți un plan paralel cu stratul neutru (3-3) prin acest punct și îndepărtați elementul tăiat. Vom determina tensiunea care acționează în zona ABCD.

Să proiectăm toate forțele pe axa Z

Rezultanta forțelor longitudinale interne de-a lungul părții drepte va fi egală cu:

Unde A 0 – zona marginii fațadei, S x 0 – momentul static al părții tăiate în raport cu axa X. La fel și în partea stângă:

Ambele rezultate îndreptate unul către celălalt,întrucât elementul este în comprimat zona fasciculului. Diferența lor este echilibrată de forțele tangențiale de pe marginea inferioară a lui 3-3.

Să presupunem că efortul de forfecare τ distribuite pe lățimea secțiunii transversale a fasciculului b uniform. Această ipoteză este cu atât mai probabilă cu cât lățimea este mai mică în comparație cu înălțimea secțiunii. Apoi rezultanta fortelor tangentiale dT egală cu valoarea tensiunii înmulțită cu aria feței:

Hai să compunem acum ecuația de echilibru Σz=0:

sau de unde

Să ne amintim dependențe diferențiale, conform căruia Apoi obținem formula:

Această formulă se numește formule. Această formulă a fost obţinută în 1855. Aici S x 0 – momentul static al unei părți a secțiunii transversale, situat pe o parte a stratului în care sunt determinate tensiunile de forfecare, I x – momentul de inerțieîntreaga secțiune transversală, b – lățimea secțiuniiîn locul unde se determină efortul de forfecare, Q - forța tăietoareîn secţiune transversală.

— starea de rezistență la încovoiere, Unde

- momentul maxim (modulo) din diagrama momentelor încovoietoare; - momentul axial de rezistenta al sectiunii, geometric caracteristică; - efort admisibil (σ adm)

- tensiune maximă normală.

Dacă calculul se efectuează conform metoda stării limită, apoi în loc de tensiunea admisă, intrăm în calcul rezistența de proiectare a materialului R.

Tipuri de calcule de rezistență la încovoiere

1. Verifica calculul sau testarea rezistenței utilizând solicitări normale

2. Proiecta calcul sau selectarea secțiunii

3. Definiție admisibile sarcină (definiție capacitatea de ridicareși sau operațional purtător capabilități)

La derivarea formulei de calcul a tensiunilor normale, luăm în considerare cazul încovoierii, când forțele interne în secțiunile grinzii se reduc doar la moment de încovoiere, A forța tăietoare se dovedește a fi zero. Acest caz de îndoire se numește îndoire pură. Luați în considerare secțiunea din mijloc a fasciculului, care este supusă unei îndoiri pure.

Când este încărcată, fasciculul se îndoaie astfel încât Fibrele inferioare se alungesc, iar cele superioare se scurtează.

Deoarece o parte din fibrele fasciculului este întinsă, iar o parte este comprimată și are loc trecerea de la tensiune la compresie lin, fără sărituri, V medie o parte a fasciculului este localizată un strat ale cărui fibre doar se îndoaie, dar nu suferă nici tensiune, nici compresie. Acest strat se numește neutru strat. Se numește linia de-a lungul căreia stratul neutru intersectează secțiunea transversală a fasciculului linie neutră sau axa neutră secțiuni. Liniile neutre sunt înșirate pe axa fasciculului. Linie neutră este linia în care tensiunile normale sunt zero.

Rămân liniile trasate pe suprafața laterală a fasciculului perpendicular pe ax plat la îndoire. Aceste date experimentale fac posibilă fundamentarea concluziilor formulelor ipoteza secțiunilor plane (conjectura). Conform acestei ipoteze, secțiunile grinzii sunt plate și perpendiculare pe axa acesteia înainte de a se îndoi, rămân plate și se dovedesc a fi perpendiculare pe axa curbă a grinzii atunci când este îndoită.

Ipoteze pentru derivarea formulelor normale ale tensiunii: 1) Ipoteza secțiunilor plane este îndeplinită. 2) Fibrele longitudinale nu se apasă unele pe altele (ipoteza fără presiune) și, prin urmare, fiecare dintre fibre se află într-o stare de tensiune sau compresie uniaxială. 3) Deformațiile fibrelor nu depind de poziția lor de-a lungul lățimii secțiunii transversale. În consecință, tensiunile normale, care se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii, rămân aceleași de-a lungul lățimii. 4) Fasciculul are cel puțin un plan de simetrie și toate forțele externe se află în acest plan. 5) Materialul grinzii respectă legea lui Hooke, iar modulul de elasticitate în tensiune și compresie este același. 6) Relația dintre dimensiunile grinzii este de așa natură încât aceasta funcționează în condiții de îndoire plană fără deformare sau răsucire.

Să considerăm un fascicul de secțiune transversală arbitrară, dar având o axă de simetrie. Moment de încovoiere reprezintă momentul rezultant al forțelor normale interne, care apar pe suprafețe infinit de mici și poate fi exprimat în integrală formă: (1), unde y este brațul forței elementare în raport cu axa x

Formula (1) exprimă static parte a problemei de îndoire a unei grinzi drepte, dar de-a lungul ei la un moment de încovoiere cunoscut Este imposibil să se determine tensiunile normale până când se stabilește legea distribuției lor.

Să selectăm grinzile din secțiunea din mijloc și să luăm în considerare secțiune de lungime dz, supus la îndoire. Să-l descriem la scară mărită.

Secțiuni care limitează aria dz, paralele între ele până la deformare, iar după aplicarea sarcinii se rotesc în jurul liniilor lor neutre cu un unghi . Lungimea segmentului de fibre a stratului neutru nu se va modifica.și va fi egal cu: , unde este asta raza de curbură axa curbată a fasciculului. Dar orice altă fibră mincinoasă mai jos sau mai sus strat neutru, își va schimba lungimea. Să calculăm alungirea relativă a fibrelor situate la distanţa y de stratul neutru. Alungirea relativă este raportul dintre deformarea absolută și lungimea inițială, atunci:

Să reducem și să aducem termeni similari, apoi obținem: (2) Această formulă exprimă geometric parte a problemei de îndoire pură: Deformațiile fibrelor sunt direct proporționale cu distanța lor față de stratul neutru.

Acum să trecem la stresuri, adică vom lua în considerare fizic partea a sarcinii. în conformitate cu ipoteza de non-presiune folosim fibre sub tensiune-compresiune axiala: apoi, tinand cont de formula (2) avem (3), aceste. stres normal la îndoire de-a lungul înălțimii secțiunii distribuite liniar. Pe fibrele cele mai exterioare, tensiunile normale ating valoarea maximă, iar la centrul de greutate al secțiunii sunt egale cu zero. Să înlocuim (3) în ecuație (1) și scoatem fracția din semnul integral ca valoare constantă, atunci avem . Dar expresia este momentul de inerție axial al secțiunii față de axa x - eu x. Dimensiunea sa cm 4, m 4

Apoi ,unde (4), unde este curbura axei curbe a grinzii și este rigiditatea secțiunii grinzii în timpul îndoirii.

Să înlocuim expresia rezultată curbură (4)în exprimare (3) și primim formula pentru calcularea tensiunilor normale în orice punct al secțiunii transversale: (5)

Că. maxim apar tensiuni în punctele cele mai îndepărtate de linia neutră. Atitudine (6) numit momentul axial al rezistenței secțiunii. Dimensiunea sa cm 3, m 3. Momentul de rezistență caracterizează influența formei și dimensiunii secțiunii transversale asupra mărimii tensiunii.

Apoi tensiuni maxime: (7)

Condiție de rezistență la încovoiere: (8)

Când apare îndoirea transversală nu numai tensiuni normale, ci și forfecare, pentru că disponibil forță tăietoare. Tensiunea de forfecare complică imaginea deformării, ele duc la curbură secțiuni transversale ale fasciculului, rezultând în se încalcă ipoteza secţiunilor plane. Cu toate acestea, cercetările arată că distorsiunile introduse de solicitările de forfecare usor afectează tensiunile normale calculate prin formula (5) . Astfel, la determinarea tensiunilor normale în cazul încovoierii transversale Teoria îndoirii pure este destul de aplicabilă.

Linie neutră. Întrebare despre poziția liniei neutre.

În timpul îndoirii nu există nicio forță longitudinală, așa că putem scrie Să înlocuim aici formula pentru tensiunile normale (3) și primim Deoarece modulul de elasticitate longitudinal al materialului grinzii nu este egal cu zero, iar axa curbată a grinzii are o rază de curbură finită, rămâne să presupunem că această integrală este momentul static al zonei secțiunea transversală a fasciculului în raport cu linia neutră-axa x , și, din moment ce este egal cu zero, apoi linia neutră trece prin centrul de greutate al secțiunii.

Condiția (absența momentului forțelor interne în raport cu linia câmpului) va da sau luând în considerare (3) . Din aceleași motive (vezi mai sus) . In integrand - momentul de inerție centrifugal al secțiunii față de axele x și y este zero, ceea ce înseamnă că aceste axe sunt principal și central si machiaza direct colţ. Prin urmare, Forța și liniile neutre dintr-o curbă dreaptă sunt reciproc perpendiculare.

Avand instalat pozitia liniei neutre, usor de construit diagrama tensiunilor normale de-a lungul înălțimii secțiunii. Ei liniar caracterul este determinat ecuația de gradul I.

Natura diagramei σ pentru secțiuni simetrice în raport cu linia neutră, M<0

Forțele care acționează perpendicular pe axa grinzii și situate într-un plan care trece prin această axă provoacă o deformare numită încovoiere transversală. Dacă planul de acţiune al forţelor menţionate – planul principal, apoi are loc o îndoire transversală dreaptă (plată). În caz contrar, îndoirea se numește transversal oblic. O grindă care este supusă predominant îndoirii se numește grindă 1 .

În esență, îndoirea transversală este o combinație de îndoire pură și forfecare. În legătură cu curbura secțiunilor transversale din cauza distribuției neuniforme a forfecelor de-a lungul înălțimii, se pune întrebarea cu privire la posibilitatea utilizării formulei normale a tensiunii σ X, derivat pentru îndoire pură pe baza ipotezei secțiunilor plane.

1 O grindă cu o singură travă, având la capete, respectiv, un suport cilindric fix și unul cilindric mobil în direcția axei grinzii, se numește simplu. Se numește o grindă cu un capăt prins și celălalt liber consolă. Se numește o grindă simplă având una sau două părți atârnând peste un suport consolă.

Dacă, în plus, secțiunile sunt luate departe de locurile în care se aplică sarcina (la o distanță nu mai mică de jumătate din înălțimea secțiunii grinzii), atunci se poate presupune, ca și în cazul îndoirii pure, ca fibrele să nu exercite presiune unele asupra altora. Aceasta înseamnă că fiecare fibră experimentează tensiune sau compresie uniaxiale.

Sub acțiunea unei sarcini distribuite, forțele transversale din două secțiuni adiacente vor diferi cu o sumă egală cu qdx. Prin urmare, curbura secțiunilor va fi, de asemenea, ușor diferită. În plus, fibrele vor exercita presiune unele asupra altora. Un studiu amănunțit al problemei arată că dacă lungimea fasciculului l destul de mare în comparație cu înălțimea sa h (l/ h> 5), atunci chiar și cu o sarcină distribuită, acești factori nu au un efect semnificativ asupra tensiunilor normale în secțiune transversală și, prin urmare, pot să nu fie luați în considerare în calculele practice.

a b c

Orez. 10.5 Fig. 10.6

În secțiuni sub sarcini concentrate și în apropierea acestora, distribuția lui σ X se abate de la legea liniară. Această abatere, care este de natură locală și nu este însoțită de o creștere a tensiunilor cele mai mari (în fibrele cele mai exterioare), nu este de obicei luată în considerare în practică.

Astfel, cu îndoire transversală (în plan xy) tensiunile normale se calculează folosind formula

σ X= – [M z(x)/Iz]y.

Dacă desenăm două secțiuni adiacente pe o secțiune a grinzii care este liberă de sarcină, atunci forța transversală în ambele secțiuni va fi aceeași și, prin urmare, curbura secțiunilor va fi aceeași. În acest caz, orice bucată de fibră ab(Fig. 10.5) se va muta într-o nouă poziție a"b", fără a suferi o alungire suplimentară și, prin urmare, fără a modifica valoarea tensiunii normale.

Să determinăm tensiunile tangențiale în secțiune transversală prin tensiunile lor pereche care acționează în secțiunea longitudinală a grinzii.

Selectați un element de lungime din lemn dx(Fig. 10.7 a). Să desenăm o secțiune orizontală la distanță la din axa neutră z, împărțind elementul în două părți (Fig. 10.7) și luați în considerare echilibrul părții superioare, care are o bază

lăţime b. În conformitate cu legea împerecherii tensiunilor tangențiale, tensiunile care acționează în secțiunea longitudinală sunt egale cu tensiunile care acționează în secțiunea transversală. Ținând cont de acest lucru, în ipoteza că solicitările de forfecare în șantier b distribuit uniform, folosind condiția ΣХ = 0, obținem:

N * - (N * +dN *)+

unde: N * este rezultanta forțelor normale σ în secțiunea transversală din stânga a elementului dx în zona „decupată” A * (Fig. 10.7 d):

unde: S = - momentul static al părții „decupate” a secțiunii transversale (zona umbrită în Fig. 10.7 c). Prin urmare, putem scrie:

Apoi putem scrie:

Această formulă a fost obținută în secolul al XIX-lea de către savantul și inginerul rus D.I. Zhuravsky și îi poartă numele. Și deși această formulă este aproximativă, deoarece face media tensiunii pe lățimea secțiunii, rezultatele calculelor obținute din aceasta sunt în bună concordanță cu datele experimentale.

Pentru a determina tensiunile de forfecare la un punct arbitrar de secțiune transversală situat la o distanță y de axa z, ar trebui:

Determinați din diagramă mărimea forței transversale Q care acționează în secțiune;

Calculați momentul de inerție I z al întregii secțiuni;

Desenați un plan paralel cu planul prin acest punct xzși determinați lățimea secțiunii b;

Calculați momentul static al zonei tăiate S în raport cu axa centrală principală zși înlocuiți valorile găsite în formula Zhuravsky.

Să determinăm, ca exemplu, tensiunile tangenţiale într-o secţiune transversală dreptunghiulară (Fig. 10.6, c). Moment static în jurul axei z părțile secțiunii de deasupra liniei 1-1, pe care se determină tensiunea, se vor scrie sub forma:

Se schimbă conform legii parabolei pătrate. Lățimea secțiunii V pentru că o grindă dreptunghiulară este constantă, atunci legea modificării tensiunilor tangenţiale în secţiune va fi şi parabolică (Fig. 10.6, c). La y = și y = − tensiunile tangenţiale sunt nule, iar pe axa neutră z ele ating cea mai mare valoare.

Pentru o grindă cu secțiune transversală circulară pe axa neutră avem.

Clasificarea tipurilor de îndoire a tijei

Îndoiți Acest tip de deformare se numește în care momentele încovoietoare apar în secțiunile transversale ale tijei. O tijă care se îndoaie se numește de obicei grindă. Dacă momentele de încovoiere sunt singurii factori interni de forță în secțiuni transversale, atunci tija are experiențe curba curata. Dacă momentele de încovoiere apar împreună cu forțele transversale, atunci se numește o astfel de încovoiere transversal.

Grinzile, osiile, arborii și alte părți structurale funcționează pentru îndoire.

Să introducem câteva concepte. Se numește planul care trece prin una dintre axele centrale principale ale secțiunii și axa geometrică a tijei planul principal. Se numește planul în care acționează sarcinile externe, determinând îndoirea fasciculului plan de forță. Linia de intersecție a planului forței cu planul secțiunii transversale al tijei se numește linie electrică.În funcție de poziția relativă a forței și de planurile principale ale grinzii, se distinge îndoirea dreaptă sau oblică. Dacă planul forței coincide cu unul dintre planurile principale, atunci tija experimentează curba dreaptă(Fig. 5.1, O), dacă nu se potrivește - oblic(Fig. 5.1, b).

Orez. 5.1. Îndoirea tijei: O- Drept; b- oblic

Din punct de vedere geometric, îndoirea tijei este însoțită de o modificare a curburii axei tijei. Axa inițial dreaptă a tijei devine curbată atunci când este îndoită. În cazul îndoirii directe, axa curbă a tijei se află în planul forței, în cazul îndoirii oblice, se află într-un plan diferit de planul forței.

Observând îndoirea unei tije de cauciuc, puteți observa că o parte din fibrele sale longitudinale sunt întinse, iar cealaltă parte este comprimată. Evident, între fibrele întinse și comprimate ale tijei există un strat de fibre care nu suferă nici tensiune, nici compresie - așa-numita strat neutru. Se numește linia de intersecție a stratului neutru al tijei cu planul secțiunii sale transversale linie de secțiune neutră.

De regulă, sarcinile care acționează asupra unei grinzi pot fi clasificate în unul din trei tipuri: forțe concentrate R, momente concentrate M sarcini distribuite de intensitate ts(Fig. 5.2). Partea I a grinzii situată între suporturi se numește in zbor, partea II a grinzii situată pe o parte a suportului - consolă.

îndoire dreaptă- acesta este un tip de deformare în care în secțiunile transversale ale tijei apar doi factori de forță interni: momentul încovoietor și forța transversală.

Curăță curbă- acesta este un caz special de încovoiere directă, în care în secțiunile transversale ale tijei apare doar un moment de încovoiere, iar forța transversală este zero.

Un exemplu de îndoire pură - o secțiune CD pe tija AB. Moment de încovoiere este cantitatea Pa o pereche de forțe externe care provoacă îndoire. De la echilibrul părții tijei din stânga secțiunii transversale mn rezultă că forţele interne distribuite pe această secţiune sunt echivalente static cu momentul M, egal și opus momentului încovoietor Pa.

Pentru a găsi distribuția acestor forțe interne pe secțiunea transversală, este necesar să se ia în considerare deformarea tijei.

În cel mai simplu caz, tija are un plan longitudinal de simetrie și este supusă acțiunii perechilor de forțe exterioare de îndoire situate în acest plan. Apoi îndoirea va avea loc în același plan.

Axa tijei nn 1 este o linie care trece prin centrele de greutate ale secțiunilor sale transversale.

Fie ca secțiunea transversală a tijei să fie un dreptunghi. Să desenăm două linii verticale pe marginile sale mmŞi pp. La îndoire, aceste linii rămân drepte și se rotesc astfel încât să rămână perpendiculare pe fibrele longitudinale ale tijei.

O altă teorie a îndoirii se bazează pe presupunerea că nu numai linii mmŞi pp, dar toată secțiunea transversală plană a tijei rămâne, după îndoire, plată și normală cu fibrele longitudinale ale tijei. Prin urmare, în timpul îndoirii, secțiunile transversale mmŞi pp rotiți unul față de celălalt în jurul axelor perpendiculare pe planul de îndoire (planul de desenare). În acest caz, fibrele longitudinale de pe partea convexă suferă tensiune, iar fibrele de pe partea concavă experimentează compresie.

Suprafata neutra- Aceasta este o suprafață care nu suferă deformare la îndoire. (Acum este situat perpendicular pe desen, axa deformată a tijei nn 1 aparține acestei suprafețe).

Axa neutră a secțiunii- aceasta este intersecția unei suprafețe neutre cu orice secțiune transversală (acum situată și perpendicular pe desen).

Lasă o fibră arbitrară să fie la distanță y de pe o suprafață neutră. ρ – raza de curbură a axei curbe. Punct O– centrul de curbură. Să tragem o linie n 1 s 1 paralel mm.ss 1– alungirea absolută a fibrei.

Elongaţie εx fibre

De aici rezultă că deformarea fibrelor longitudinale proporțională cu distanța y de la suprafața neutră și invers proporțională cu raza de curbură ρ .

Alungirea longitudinală a fibrelor laturii convexe a tijei este însoțită de îngustarea laterală, iar scurtarea longitudinală a laturii concave este expansiunea laterală, ca și în cazul întinderii și compresiei simple. Din această cauză, aspectul tuturor secțiunilor transversale se modifică, laturile verticale ale dreptunghiului devin înclinate. Deformare laterală z:

μ – Raportul lui Poisson.

Datorită acestei distorsiuni, toate liniile drepte în secțiune transversală sunt paralele cu axa z, sunt îndoite astfel încât să rămână normale față de laturile laterale ale secțiunii. Raza de curbură a acestei curbe R va fi mai mult decât ρ în acelaşi sens ca ε x în valoare absolută este mai mare decât ε z și obținem

Aceste deformații ale fibrelor longitudinale corespund solicitărilor

Tensiunea din orice fibră este proporțională cu distanța acesteia față de axa neutră n 1 n 2. Poziția axei neutre și raza de curbură ρ – două necunoscute în ecuația pentru σ x – poate fi determinat din condiția ca forțele distribuite pe orice secțiune transversală formează o pereche de forțe care echilibrează momentul extern M.

Toate cele de mai sus sunt valabile si daca tija nu are un plan longitudinal de simetrie in care actioneaza momentul incovoietor, atata timp cat momentul incovoietor actioneaza in planul axial, care contine unul dintre cele doua axele principale secţiune transversală. Aceste avioane sunt numite planurile principale de îndoire.

Când există un plan de simetrie și momentul încovoietor acționează în acest plan, deviația are loc tocmai în el. Momentele forțelor interne în raport cu axa z echilibrează momentul exterior M. Momente de efort în jurul axei y sunt distruse reciproc.