În caz de calcul cherestea rotundă sub acțiunea de încovoiere și torsiune (Fig. 34.3), este necesar să se țină seama de solicitările normale și tangenţiale, deoarece valorile maxime ale tensiunii în ambele cazuri apar la suprafață. Calculul trebuie efectuat conform teoriei rezistenței, înlocuind starea complexă de stres cu una simplă la fel de periculoasă.
Efort maxim de torsiune in sectiune
Efort maxim de încovoiere în secțiune
Conform unei teorii a rezistenței, în funcție de materialul grinzii, se calculează solicitarea echivalentă pentru secțiunea periculoasă și se testează rezistența grinzii folosind efortul de încovoiere admisibil pentru materialul grinzii.
Pentru o grindă rotundă, momentele de rezistență în secțiune sunt următoarele:
Când se calculează conform celei de-a treia teorii a rezistenței, teoria efortului de forfecare maximă, efortul echivalent este calculat folosind formula
Teoria este aplicabilă materialelor plastice.
Când se calculează conform teoriei energiei de schimbare a formei, tensiunea echivalentă este calculată folosind formula
Teoria este aplicabilă materialelor ductile și casante.
Teoria tensiunii maxime de forfecare:
Tensiunea echivalentă atunci când este calculată conform teoria energiei de schimbare a formei:
unde este momentul echivalent.
Stare de forță
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. Pentru o stare de solicitare dată (Fig. 34.4), folosind ipoteza tensiunilor tangenţiale maxime, se calculează factorul de siguranţă dacă σ T = 360 N/mm 2.
1. Cum este caracterizată starea de stres într-un punct și cum este descrisă?
2. Ce zone și ce tensiuni se numesc cele principale?
3. Enumerați tipurile de stări tensionate.
4. Ce caracterizează starea deformată într-un punct?
5. În ce cazuri apar stări limitative de efort în materialele ductile și casante?
6. Ce este tensiunea echivalentă?
7. Explicați scopul teoriilor forței.
8. Scrieţi formule pentru calcularea tensiunilor echivalente în calcule folosind teoria tensiunilor tangenţiale maxime şi teoria energiei modificării formei. Explicați cum să le folosiți.
PRELEZA 35
Subiectul 2.7. Calculul lemnului rotund secţiune transversală cu o combinaţie de deformaţii de bază
Cunoașteți formulele pentru tensiuni echivalente bazate pe ipotezele celor mai mari tensiuni tangențiale și energia schimbării formei.
Să fie capabil să calculeze rezistența unei grinzi cu secțiune transversală rotundă sub o combinație de deformații de bază.
Formule de calcul a tensiunilor echivalente
Efort echivalent conform ipotezei tensiunii maxime de forfecare
Efort echivalent în funcție de ipoteza energiei modificării formei
Condiție de rezistență sub acțiunea combinată de îndoire și torsiune
Unde M EKV- moment echivalent.
Moment echivalent conform ipotezei tensiunilor tangenţiale maxime
Moment echivalent conform ipotezei energiei schimbării formei
Caracteristica de calcul a arborelui
Majoritatea arborilor experimentează o combinație de deformare la îndoire și la torsiune. De obicei, arborii sunt bare drepte cu o secțiune transversală rotundă sau inelară. La calcularea arborilor, solicitările tangenţiale din acţiunea forţelor transversale nu sunt luate în considerare din cauza nesemnificaţiei lor.
Calculele sunt efectuate pe secțiuni transversale periculoase. La încărcarea spațială a unui arbore, se utilizează ipoteza independenței acțiunii forțelor și momentele încovoietoare sunt considerate în două plane reciproc perpendiculare, iar momentul încovoietor total este determinat prin însumare geometrică.
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. Factorii de forță interni apar în secțiunea transversală periculoasă a unei grinzi rotunde (Fig. 35.1) M x; M y; Mz.
M xŞi M y- momentele încovoietoare în planuri oohŞi zOxîn consecinţă; M z- cuplu. Verificați rezistența utilizând ipoteza tensiunilor tangențiale maxime dacă [ σ ] = 120 MPa. Date inițiale: M x= 0,9 kN·m; M y = 0,8 kN·m; Mz = 2,2 kN*m; d= 60 mm.
Soluţie
Construim diagrame stres normal din acţiunea momentelor încovoietoare faţă de axe OhŞi Ohşi o diagramă a tensiunilor tăietoare datorate torsii (Fig. 35.2).
Tensiunea maximă de forfecare are loc la suprafață. Tensiuni normale maxime din moment M x apar la un moment dat O, tensiuni normale maxime din moment M y la punct ÎN. Tensiunile normale se adună deoarece momentele încovoietoare în planuri reciproc perpendiculare se adună geometric.
Momentul încovoietor total:
Calculăm momentul echivalent folosind teoria tensiunilor tangenţiale maxime:
Stare de forță:
Moment de rezistență în secțiune: W oce în oe = 0,1 60 3 = 21600 mm 3.
Verificarea puterii:
Durabilitatea este garantată.
Exemplul 2. Din condiția de rezistență, calculați diametrul arborelui necesar. Pe arbore sunt montate două roți. Două forțe circumferențiale acționează asupra roților F t 1 = 1,2 kN; Ft 2= 2kN și două forțe radiale în plan vertical F r 1= 0,43 kN; F r 2 = 0,72 kN (Fig. 35.3). Diametrele roților sunt, respectiv, egale d 1= 0,1 m; d 2= 0,06 m.
Acceptați materialul arborelui [ σ ] = 50MPa.
Calculul se efectuează conform ipotezei tensiunilor tangenţiale maxime. Neglijați greutatea arborelui și a roților.
Soluţie
Nota. Folosim principiul acțiunii independente a forțelor și întocmim diagrame de proiectare ale arborelui în planul vertical și orizontal. Determinăm separat reacțiile în suporturi în plan orizontal și vertical. Construim diagrame ale momentelor încovoietoare (Fig. 35.4). Sub influența forțelor circumferențiale, arborele se răsucește. Determinați cuplul care acționează asupra arborelui.
Să întocmim o diagramă de proiectare a arborelui (Fig. 35.4).
1. Cuplu pe arbore:
2. Considerăm cotul în două planuri: orizontal (pl. H) și vertical (pl. V).
În plan orizontal determinăm reacțiile în suport:
CUŞi ÎN:
 |
În plan vertical determinăm reacțiile în suport:
Determinați momentele încovoietoare în puncte C și B:
Momentele încovoietoare totale în puncte C și B:
La punctul ÎN aici acţionează şi momentul încovoietor maxim;
Calculăm diametrul arborelui în funcție de secțiunea cea mai încărcată.
3. Moment echivalent într-un punct ÎN conform celei de-a treia teorii a puterii
4. Determinați diametrul arborelui cu secțiune transversală circulară din condiția de rezistență
Rotunjim valoarea rezultată: d= 36 mm.
Nota. Când alegeți diametrele arborelui, utilizați gama standard de diametre (Anexa 2).
5. Definiți dimensiunile cerute un arbore cu o secțiune inelară cu c = 0,8, unde d este diametrul exterior al arborelui.
Diametrul unui arbore inelar poate fi determinat prin formula
Să acceptăm d = 42 mm.
Supraîncărcarea este nesemnificativă. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 mm.
Rotunjiți la valoare dBH= 33 mm.
6. Să comparăm costurile metalelor după aria secțiunii transversale a arborelui în ambele cazuri.
Aria secțiunii transversale a unui arbore solid
Zona secțiunii transversale a arborelui tubular
Aria secțiunii transversale a unui arbore solid este aproape de două ori mai mare decât a unui arbore inelar:
Exemplul 3. Determinați dimensiunile secțiunii transversale ale arborelui (Fig. 2.70, O) unitatea de control. Forța de tracțiune a pedalei P 3, forțe transmise de mecanism P 1, P 2, P 4. Material arbore - oțel StZ cu limită de curgere σ t = 240 N/mm 2, factor de siguranță necesar [ n] = 2,5. Calculul este efectuat folosind ipoteza energiei de schimbare a formei.
Soluţie
Să luăm în considerare echilibrul arborelui, introducând anterior forțele R1, R2, R3, R4 la punctele situate pe axa sa.
Transferul puterii P 1 paralel cu ei înșiși în puncte LAŞi E, este necesar să se adauge perechi de forțe cu momente egale cu momentele de forțe P 1 raportat la puncte LAŞi E, adică
Aceste perechi de forțe (momente) sunt prezentate în mod convențional în Fig. 2,70 , b sub formă de linii arcuite cu săgeți. La fel și la transferul de forțe R2, R3, R4 la puncte K, E, L, H trebuie să adăugați câteva forțe cu momente
Suporturile arborelui prezentate în Fig. 2.70, a, ar trebui considerate ca suporturi spațiale de balamale care împiedică mișcările în direcția axelor XŞi la(sistemul de coordonate selectat este prezentat în Fig. 2.70, b).
Profitând schema de calcul, prezentată în Fig. 2,70, V, să creăm ecuațiile de echilibru:
 |
 |
prin urmare, reacţiile de sprijin N / AŞi N V definite corect.
Diagrame de cuplu M zși momentele de încovoiere M y sunt prezentate în Fig. 2,70, G. Secțiunea din stânga punctului L este periculoasă.
Condiția de rezistență are forma:
unde este momentul echivalent conform ipotezei energiei schimbării formei
Diametrul exterior necesar arborelui
Luăm d = 45 mm, apoi d 0 = 0,8 * 45 = 36 mm.
Exemplul 4. Verificați rezistența arborelui intermediar (Fig. 2.71) al cutiei de viteze drepte dacă arborele transmite putere N= 12,2 kW la viteză n= 355 rpm. Arborele este realizat din oțel St5 cu limită de curgere σ t = 280 N/mm2. Factorul de siguranță necesar [ n] = 4. La calcul se aplică ipoteza celor mai mari tensiuni tangenţiale.
Nota. Eforturile districtuale P 1Şi R 2 se află într-un plan orizontal și sunt direcționate tangențial la cercurile roților dințate. Forțe radiale T 1Şi T 2 se află în plan vertical și sunt exprimate în termeni de forță circumferențială corespunzătoare, după cum urmează: T = 0,364R.
Soluţie
În fig. 2,71, O este prezentat un desen schematic al arborelui; în fig. 2.71, b prezintă schema arborelui și forțele care apar în angrenaj.
Să determinăm momentul transmis de arbore:
Evident, m = m 1 = m 2(momentele de torsiune aplicate arborelui, cu rotație uniformă, sunt egale ca mărime și opuse ca sens).
Să determinăm forțele care acționează asupra angrenajelor.
Forțe circulare:
Forțe radiale:
Luați în considerare echilibrul arborelui AB, după ce a adus forțe anterior P 1Şi R 2 la punctele situate pe axa arborelui.
Forța de transfer P 1 paralel cu sine până la un punct L, trebuie să adăugați câteva forțe cu un moment egal cu momentul de forță P 1 relativ la punct L, adică
Această pereche de forțe (moment) este prezentată în mod convențional în Fig. 2,71, V sub forma unei linii arcuite cu o săgeată. La fel și când transferați forța R 2 la obiect LA trebuie să atașați (adăugați) câteva forțe cu un moment
Suporturile arborelui prezentate în Fig. 2,71, O, ar trebui considerate ca suporturi spațiale balamale care împiedică mișcările liniare în direcțiile axelor XŞi la(sistemul de coordonate selectat este prezentat în Fig. 2.71, b).
Folosind schema de calcul prezentată în Fig. 2,71, G, să întocmim ecuațiile de echilibru pentru arborele în plan vertical:
Să creăm o ecuație de verificare:
prin urmare, reacțiile de sprijin în plan vertical sunt determinate corect.
Luați în considerare echilibrul arborelui în plan orizontal:
Să creăm o ecuație de verificare:
prin urmare, reacțiile de sprijin în plan orizontal sunt determinate corect.
Diagrame de cuplu M zși momentele de încovoiere M xŞi M y sunt prezentate în Fig. 2,71, d.
Secțiunea este periculoasă LA(vezi Fig. 2.71, G,d). Moment echivalent conform ipotezei celor mai mari solicitări tangenţiale
Tensiuni echivalente conform ipotezei celor mai mari tensiuni tangențiale pentru un punct periculos al arborelui
Factorul de siguranță
care este semnificativ mai mult [ n] = 4, prin urmare, rezistența arborelui este asigurată.
La calcularea rezistenței arborelui nu a fost luată în considerare modificarea tensiunii în timp, motiv pentru care s-a obținut un factor de siguranță atât de semnificativ.
Exemplul 5. Determinați dimensiunile secțiunii transversale a grinzii (Fig. 2.72, O). Materialul grinzii este oțel 30XGS cu limite de curgere condiționată în tensiune și compresie σ o, 2р = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. factor de siguranță [ n] = 1,6.
Soluţie
Grinda lucrează sub acțiunea combinată a tensiunii (compresiei) și torsii. Cu o astfel de sarcină, în secțiunile transversale apar doi factori de forță interni: forța longitudinală și cuplul.
Diagrame ale forțelor longitudinale Nși cupluri M z prezentat în Fig. 2,72, b, c.În acest caz, determinați poziția secțiunii periculoase folosind diagrame NŞi M z imposibil, deoarece dimensiunile secțiunilor transversale ale secțiunilor grinzii sunt diferite. Pentru a determina poziția secțiunii periculoase, trebuie construite diagrame ale tensiunilor de forfecare normale și maxime de-a lungul lungimii grinzii.
Conform formulei
calculăm tensiunile normale în secțiunile transversale ale grinzii și construim o diagramă o (Fig. 2.72, G).
Conform formulei
Calculăm tensiunile tangenţiale maxime în secţiunile transversale ale grinzii şi construim o diagramă t tah(Fig* 2.72, d).
Punctele posibil periculoase sunt punctele de contur ale secțiunilor transversale ale secțiunilor ABŞi CD(vezi Fig. 2.72, O).
În fig. 2,72, e sunt prezentate diagrame σ Şi τ pentru secțiuni transversale de secțiune AB.
Să ne amintim că în acest caz (un fascicul de secțiune transversală rotundă funcționează sub acțiunea combinată a tensiunii, compresiei și torsii), toate punctele conturului secțiunii transversale sunt la fel de periculoase.
În fig. 2,72, şi
În fig. 2,72, h Diagramele a și t sunt prezentate pentru secțiuni transversale ale secțiunii CD.
În fig. 2,72, Şi sunt prezentate tensiunile de pe locurile originale în punctul periculos.
Principalele solicitări într-un punct periculos al unei secțiuni CD: 
Conform ipotezei de rezistență a lui Mohr, tensiunea echivalentă pentru punctul periculos al secțiunii luate în considerare este
Punctele de contur ale secțiunilor transversale ale secțiunii AB s-au dovedit a fi periculoase.
Condiția de rezistență are forma:
Exemplul 2.76. Determinați valoarea forței admisibile R din condiţia rezistenţei tijei Soare(Fig. 2.73 Materialul tijei este fontă cu o rezistență la tracțiune σ vr = 150 N/mm 2 și o rezistență la compresiune σ soare = 450 N/mm 2). Factorul de siguranță necesar [ n] = 5.
Nota.
Lemn spart ABC situat în plan orizontal, iar tija AB perpendicular pe Soare. Puterile R, 2R, 8R se află într-un plan vertical; rezistenţă 0,5 R, 1,6 R- orizontal si perpendicular pe tija Soare; rezistenţă 10R, 16R coincide cu axa tijei Soare; o pereche de forțe cu un moment m = 25Pd este situată într-un plan vertical perpendicular pe axa tijei Soare.
Soluţie
Să aducem putere Rși 0,5P la centrul de greutate al secțiunii transversale B.
Transferând forța P paralel cu sine în punctul B, trebuie să adăugați câteva forțe cu un moment egal cu momentul forței R relativ la punct ÎN, adică o pereche cu momentul m 1 = 10 Pd.
Rezistenţă 0,5R ne deplasăm de-a lungul liniei sale de acțiune până la punctul B.
Sarcini care acționează asupra tijei soare, prezentat în Fig. 2,74, O.
Construim diagrame ale factorilor de forță interni pentru tijă Soare. Sub încărcarea specificată a tijei, șase dintre ele apar în secțiunile sale transversale: forța longitudinală N, forțe tăietoare QxŞi Qy, cuplu Mz momente de încovoiere MxŞi Mu.
Diagrame N, Mz, Mx, Mu sunt prezentate în Fig. 2,74, b(ordonatele diagramelor sunt exprimate în termeni de RŞi d).
Diagrame QyŞi Qx nu construim, deoarece tensiunile tangențiale corespunzătoare forțelor transversale sunt mici.
În exemplul luat în considerare, poziția secțiunii periculoase nu este evidentă, probabil, secțiunea K (sfârșitul secțiunii eu) și S.
Tensiuni principale la punctul L:
Conform ipotezei de forță a lui Mohr, stresul echivalent pentru punctul L
Să determinăm mărimea și planul de acțiune al momentului încovoietor Mie în secțiunea C, prezentate separat în Fig. 2,74, d. Aceeași figură prezintă diagramele σ И, σ N, τ pentru secțiunea C.
Stresuri pe site-urile originale la punctul N(Fig. 2.74, e)
Principalele stresuri la un moment dat N:
Conform ipotezei de forță a lui Mohr, stresul echivalent pentru un punct N
Tensiuni pe locurile originale în punctul E (Fig. 2.74, şi):
Tensiuni principale la punctul E:
Conform ipotezei de rezistență a lui Mohr, stresul echivalent pentru punctul E
Ideea s-a dovedit a fi periculos L, pentru care
Condiția de rezistență are forma:
Testați întrebări și sarcini
1. Ce stare de solicitare apare în secțiunea transversală a arborelui sub acțiunea combinată de încovoiere și torsiune?
2. Scrieți condiția de rezistență pentru calculul arborelui.
3. Scrieți formule pentru calcularea momentului echivalent la calculul conform ipotezei tensiunilor tangenţiale maxime și ipotezei energiei de modificare a formei.
4. Cum este selectată secțiunea periculoasă la calculul arborelui?
Prin încovoiere înțelegem un tip de încărcare în care momentele încovoietoare apar în secțiunile transversale ale grinzii. Dacă momentul încovoietor în secțiune este singurul factor de forță, atunci îndoirea se numește pură. Dacă, împreună cu momentul încovoietor, în secțiunile transversale ale grinzii apar și forțe transversale, atunci încovoierea se numește transversală.
Se presupune că momentul încovoietor și forța tăietoare se află într-unul dintre planurile principale ale grinzii (să presupunem că acest plan este ZOY). Acest tip de îndoire se numește plat.
În toate cazurile considerate mai jos, există o îndoire transversală plană a grinzilor.
Pentru a calcula o grindă pentru rezistență sau rigiditate, este necesar să cunoașteți factorii de forță interni care apar în secțiunile sale. În acest scop, se construiesc diagrame ale forțelor transversale (diagrama Q) și momentelor încovoietoare (M).
La îndoire, axa dreaptă a grinzii este îndoită; axa neutră trece prin centrul de greutate al secțiunii. Pentru siguranță, atunci când construim diagrame de forțe transversale și momente încovoietoare, vom stabili reguli de semn pentru acestea. Să presupunem că momentul încovoietor va fi considerat pozitiv dacă elementul grinzii se îndoaie convex în jos, adică. în aşa fel încât fibrele sale comprimate să fie în partea superioară.
Dacă momentul îndoaie fasciculul cu o convexă în sus, atunci acest moment va fi considerat negativ.
La construirea unei diagrame, valorile pozitive ale momentelor încovoietoare sunt trasate, ca de obicei, în direcția axei Y, ceea ce corespunde construcției unei diagrame pe o fibră comprimată.
Prin urmare, regula semnelor pentru diagrama momentelor încovoietoare poate fi formulată astfel: ordonatele momentelor sunt trasate din partea straturilor grinzii.
Momentul încovoietor într-o secțiune este egal cu suma momentelor relativ la această secțiune a tuturor forțelor situate pe o parte (oricare) a secțiunii.
Pentru a determina forțele transversale (Q), stabilim o regulă de semn: forța transversală este considerată pozitivă dacă forța externă tinde să rotească partea tăiată a fasciculului în fiecare oră. săgeata relativă la punctul axei care corespunde secțiunii desenate.
Forța transversală (Q) într-o secțiune transversală arbitrară a unei grinzi este numeric egală cu suma proiecțiilor pe axa forțelor externe aplicate părții sale trunchiate.
Să luăm în considerare câteva exemple de construcție a diagramelor de forțe transversale și momente încovoietoare. Toate forțele sunt perpendiculare pe axa grinzilor, deci componenta orizontală a reacției este zero. Axa deformată a fasciculului și forțele se află în planul principal ZOY.
O grindă de lungime este prinsă la capătul său stâng și încărcată cu o forță concentrată F și un moment m=2F.
Să construim diagrame ale forțelor transversale Q și ale momentelor încovoietoare M din.
În cazul nostru, nu există conexiuni pe grinda din partea dreaptă. Prin urmare, pentru a nu determina reacțiile de sprijin, este recomandabil să se ia în considerare echilibrul părții tăiate din dreapta a grinzii. Grinda dată are două secțiuni de încărcare. Limitele secțiunilor de secțiune în care se aplică forțe externe. Secțiunea 1 - NE, 2 - VA.
Efectuăm o secțiune arbitrară în secțiunea 1 și luăm în considerare echilibrul părții tăiate din dreapta a lungimii Z 1.
Din starea de echilibru rezultă:
Q=F; M out = -FZ 1 ()
Forța tăietoare este pozitivă deoarece forța externă F tinde să rotească partea tăiată în sensul acelor de ceasornic. Momentul încovoietor este considerat negativ, deoarece îndoaie partea din grinda în cauză cu convexa în sus.
Când întocmim ecuații de echilibru, fixăm mental locația secțiunii; din ecuațiile () rezultă că forța transversală din secțiunea I nu depinde de Z 1 și este o valoare constantă. Graficăm forța pozitivă Q=F pe o scară în sus de la linia centrală a fasciculului, perpendicular pe aceasta.
Momentul încovoietor depinde de Z 1.
Când Z 1 =O M din =O când Z 1 = M din =
Punem în jos valoarea rezultată (), adică diagrama M din este construită pe o fibră comprimată.
Să trecem la a doua secțiune
Tăiem secțiunea II la o distanță arbitrară Z 2 de capătul drept liber al grinzii și luăm în considerare echilibrul părții tăiate de lungime Z 2 . Modificarea forței tăietoare și a momentului încovoietor pe baza condițiilor de echilibru poate fi exprimată prin următoarele ecuații:
Q=FM de la = - FZ 2 +2F
Mărimea și semnul forței tăietoare nu s-au schimbat.
Mărimea momentului încovoietor depinde de Z 2 .
Când Z 2 = M din =, când Z 2 =
Momentul încovoietor s-a dovedit a fi pozitiv, atât la începutul secțiunii II, cât și la sfârșitul acesteia. În secțiunea II, fasciculul se îndoaie convex în jos.
Reprezentăm pe o scară mărimea momentelor de-a lungul liniei centrale a fasciculului (adică, diagrama este construită pe o fibră comprimată). Cel mai mare moment încovoietor are loc în secțiunea în care se aplică un moment exterior m și valoarea sa absolută este egală cu
Rețineți că pe lungimea grinzii, unde Q rămâne constant, momentul încovoietor M se modifică liniar și este reprezentat pe diagramă prin drepte înclinate. Din diagramele Q și M din se vede clar că în secțiunea în care se aplică o forță transversală externă, diagrama Q are un salt de mărimea acestei forțe, iar diagrama M din are o îndoire. În secțiunea în care se aplică un moment încovoietor extern, diagrama Miz are un salt cu valoarea acestui moment. Acest lucru nu este reflectat în diagrama Q. Din diagrama M vedem că
max M din =
prin urmare, secțiunea periculoasă este extrem de aproape pe partea stângă de așa-numita.
Pentru grinda prezentată în Fig. 13, a, construiți diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare. Pe lungimea sa, grinda este încărcată cu o sarcină uniform distribuită cu intensitatea q(KN/cm).
La suportul A (balama fixă), va avea loc o reacție verticală R a (reacția orizontală este zero), iar la suportul B (o articulație mobilă), va avea loc o reacție verticală R v.
Să determinăm reacțiile verticale ale suporturilor compunând o ecuație de momente relativ la suporturile A și B.
Să verificăm corectitudinea definiției reacției:
aceste. reactiile de suport sunt determinate corect.
Grinda dată are două secțiuni de încărcare: Secțiunea I - AC.
Sectiunea II - NE.
În prima secțiune a, în secțiunea curentă Z 1, din starea de echilibru a părții tăiate avem
Ecuația momentelor încovoietoare pe 1 secțiune a grinzii:
Momentul din reacția R a îndoaie grinda în secțiunea 1, cu partea convexă în jos, astfel încât momentul încovoietor din reacția Ra este introdus în ecuație cu semnul plus. Sarcina qZ 1 îndoaie fasciculul cu convexitatea în sus, astfel încât momentul de la acesta este introdus în ecuație cu semnul minus. Momentul încovoietor variază conform legii parabolei pătrate.
Prin urmare, este necesar să aflăm dacă există un extremum. Între forță tăietoare Q și momentul încovoietor există o relație diferențială, a cărei analiză ne vom opri în continuare
După cum știți, o funcție are un extrem în care derivata este zero. În consecință, pentru a determina la ce valoare a lui Z 1 momentul încovoietor va fi extrem, este necesar să egalăm ecuația forței transversale cu zero.
Deoarece forța transversală își schimbă semnul de la plus la minus într-o secțiune dată, momentul încovoietor în această secțiune va fi maxim. Dacă Q își schimbă semnul de la minus la plus, atunci momentul încovoietor în această secțiune va fi minim.
Deci, momentul încovoietor la
este maximul.
Prin urmare, construim o parabolă folosind trei puncte
Când Z 1 =0 M de la =0
Tăiem a doua secțiune la distanța Z 2 de suportul B. Din starea de echilibru a părții tăiate din dreapta a grinzii avem:
Când valoarea Q=const,
momentul încovoietor va fi:
la, la, i.e. M DIN
variază după o lege liniară.
O grindă pe două suporturi, având o deschidere de 2 și o consolă din stânga de lungime, este încărcată așa cum se arată în Fig. 14, a., unde q(KN/cm) este sarcina liniară. Suportul A este staționar cu balamale, suportul B este o rolă mobilă. Construiți diagrame ale lui Q și M din.
Rezolvarea problemei ar trebui să înceapă cu determinarea reacțiilor suporturilor. Din condiția ca suma proiecțiilor tuturor forțelor de pe axa Z să fie egală cu zero, rezultă că componenta orizontală a reacției la suportul A este egală cu 0.
Pentru a verifica folosim ecuația
Ecuația de echilibru este satisfăcută, prin urmare, reacțiile sunt calculate corect. Să trecem la definirea factorilor interni de putere. O grindă dată are trei secțiuni de încărcare:
- Sectiunea I - SA,
- Secțiunea 2 - AD,
- Secțiunea 3 - Orientul Îndepărtat.
Să tăiem 1 secțiune la o distanță Z 1 de capătul din stânga grinzii.
la Z 1 =0 Q=0 M IZ =0
la Z 1 = Q= -q M FROM =
Astfel, pe diagrama forțelor transversale se obține o dreaptă înclinată, iar pe diagrama momentelor încovoietoare se obține o parabolă, al cărei vârf este situat la capătul stâng al grinzii.
În secțiunea II (a Z 2 2a), pentru a determina factorii de forță interni, luăm în considerare echilibrul părții tăiate din stânga a grinzii cu lungimea Z 2. Din starea de echilibru avem:
Forța tăietoare în această zonă este constantă.
În secțiunea III()
Din diagramă vedem că cel mai mare moment încovoietor are loc în secțiunea sub forța F și este egal cu. Această secțiune va fi cea mai periculoasă.
În diagrama M din care există un șoc la sprijinul B, egal cu momentul exterior aplicat în această secțiune.
Privind diagramele construite mai sus, este ușor de observat o anumită legătură naturală între diagramele momentelor încovoietoare și diagramele forțelor transversale. Să demonstrăm.
Derivata forței tăietoare de-a lungul lungimii grinzii este egală cu modulul intensității sarcinii.
Renunțând la cantitatea de ordin superior al micimii, obținem:
aceste. forța tăietoare este derivata momentului încovoietor de-a lungul lungimii grinzii.
Ținând cont de dependențele diferențiale obținute, putem face concluzii generale. Dacă fasciculul este încărcat cu o sarcină uniform distribuită de intensitate q=const, evident, funcția Q va fi liniară, iar M va fi pătratică.
Dacă fasciculul este încărcat cu forțe sau momente concentrate, atunci în intervalele dintre punctele de aplicare a acestora intensitatea q=0. În consecință, Q = const, iar M din este o funcție liniară a lui Z. În punctele de aplicare a forțelor concentrate, diagrama Q suferă un salt de mărimea forței externe, iar în diagrama M dintr-o îndoire corespunzătoare (discontinuitate în derivat) apare.
În punctul în care se aplică momentul încovoietor extern, se observă un decalaj în diagrama momentului, egală ca mărime cu momentul aplicat.
Dacă Q>0, atunci M crește, iar dacă Q<0, то М из убывает.
Dependențe diferențiale sunt folosite pentru a verifica ecuațiile compilate pentru a construi diagramele Q și M din, precum și pentru a clarifica aspectul acestor diagrame.
Momentul încovoietor se modifică conform legii unei parabole, a cărei convexitate este întotdeauna îndreptată spre sarcina externă.
În cazul calculării unei grinzi rotunde sub acțiunea de încovoiere și torsiune (Fig. 34.3), este necesar să se ia în considerare tensiunile normale și tangenţiale, deoarece valorile maxime ale tensiunii în ambele cazuri apar la suprafață. Calculul trebuie efectuat conform teoriei rezistenței, înlocuind starea complexă de stres cu una simplă la fel de periculoasă.
Efort maxim de torsiune in sectiune
Efort maxim de încovoiere în secțiune
Conform unei teorii a rezistenței, în funcție de materialul grinzii, se calculează solicitarea echivalentă pentru secțiunea periculoasă și se testează rezistența grinzii folosind efortul de încovoiere admisibil pentru materialul grinzii.
Pentru o grindă rotundă, momentele de rezistență în secțiune sunt următoarele:
Când se calculează conform celei de-a treia teorii a rezistenței, teoria efortului de forfecare maximă, efortul echivalent este calculat folosind formula
Teoria este aplicabilă materialelor plastice.
Când se calculează conform teoriei energiei de schimbare a formei, tensiunea echivalentă este calculată folosind formula
Teoria este aplicabilă materialelor ductile și casante.
Teoria tensiunii maxime de forfecare:
Tensiunea echivalentă atunci când este calculată conform teoria energiei de schimbare a formei:
unde este momentul echivalent.
Stare de forță
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. Pentru o stare de solicitare dată (Fig. 34.4), folosind ipoteza tensiunilor tangenţiale maxime, se calculează factorul de siguranţă dacă σ T = 360 N/mm 2.
Testați întrebări și sarcini
1. Cum este caracterizată starea de stres într-un punct și cum este descrisă?
2. Ce zone și ce tensiuni se numesc cele principale?
3. Enumerați tipurile de stări tensionate.
4. Ce caracterizează starea deformată într-un punct?
5. În ce cazuri apar stări limitative de efort în materialele ductile și casante?
6. Ce este tensiunea echivalentă?
7. Explicați scopul teoriilor forței.
8. Scrieţi formule pentru calcularea tensiunilor echivalente în calcule folosind teoria tensiunilor tangenţiale maxime şi teoria energiei modificării formei. Explicați cum să le folosiți.
PRELEZA 35
Subiectul 2.7. Calculul unei grinzi de secțiune transversală rotundă cu o combinație de deformații de bază
Cunoașteți formulele pentru tensiuni echivalente bazate pe ipotezele celor mai mari tensiuni tangențiale și energia schimbării formei.
Să fie capabil să calculeze rezistența unei grinzi cu secțiune transversală rotundă sub o combinație de deformații de bază.
Introducere.
Îndoirea este un tip de deformare caracterizat prin curbura (modificarea curburii) a axei sau a suprafeței mijlocii a unui obiect deformabil (grindă, grindă, placă, înveliș etc.) sub influența forțelor externe sau a temperaturii. Încovoierea este asociată cu apariția momentelor încovoietoare în secțiunile transversale ale grinzii. Dacă din cei șase factori de forță interni din secțiunea transversală a unei grinzi, doar un moment încovoietor este diferit de zero, încovoierea se numește pură:
Dacă în secțiunile transversale ale unei grinzi, pe lângă momentul încovoietor, există și o forță transversală, încovoierea se numește transversală:
În practica inginerească, se ia în considerare și un caz special de îndoire - I longitudinal. ( orez. 1, c), caracterizată prin flambajul tijei sub acţiunea forţelor de compresiune longitudinale. Acțiunea simultană a forțelor direcționate de-a lungul axei tijei și perpendicular pe aceasta determină îndoire longitudinal-transversală ( orez. 1, G).
Orez. 1. Îndoirea grinzii: a - curat: b - transversal; c - longitudinal; g - longitudinal-transversal.
O grindă care se îndoaie se numește grindă. Îndoirea se numește plată dacă axa grinzii rămâne o linie plată după deformare. Planul de amplasare a axei curbe a grinzii se numește plan de îndoire. Planul de acțiune al forțelor de sarcină se numește plan de forță. Dacă planul forței coincide cu unul dintre planurile principale de inerție ale secțiunii transversale, îndoirea se numește drept. (În caz contrar, apare îndoirea oblică). Planul principal de inerție al secțiunii transversale este planul format de una dintre axele principale ale secțiunii transversale cu axa longitudinală a grinzii. În îndoirea dreaptă plană, planul de îndoire și planul forței coincid.
Problema torsiunii și îndoirii unei grinzi (problema Saint-Venant) este de mare interes practic. Aplicarea teoriei îndoirii, stabilită de Navier, constituie o ramură extinsă a mecanicii structurale și are o importanță practică enormă, deoarece servește drept bază pentru calcularea dimensiunilor și verificarea rezistenței diferitelor părți ale structurilor: grinzi, poduri, elemente de mașină etc.
ECUAȚII DE BAZĂ ȘI PROBLEME ALE TEORIEI ELASTICITĂȚII
§ 1. ecuaţii de bază
În primul rând, vom oferi un rezumat general al ecuațiilor de bază pentru problemele de echilibru ale unui corp elastic, care formează conținutul secțiunii teoriei elasticității, numită de obicei statica unui corp elastic.
Starea deformată a unui corp este complet determinată de tensorul câmpului de deformare sau câmpul de deformare Componentele tensorului de deformare sunt legate de deplasări prin dependențe diferențiale Cauchy:
(1)
Componentele tensorului de deformare trebuie să satisfacă dependențele diferențiale Saint-Venant:
care sunt condiţii necesare şi suficiente pentru integrabilitatea ecuaţiilor (1).
Starea tensionată a corpului este determinată de tensorul câmpului de stres 
Șase componente independente ale unui tensor simetric ()
trebuie să satisfacă trei ecuații de echilibru diferențial:
Componentele tensorului tensiunii Şi miscarile conectate prin șase ecuații ale legii lui Hooke:
În unele cazuri, ecuațiile legii lui Hooke trebuie utilizate sub forma unei formule
,
(5)
Ecuațiile (1)-(5) sunt ecuațiile de bază ale problemelor statice din teoria elasticității. Uneori, ecuațiile (1) și (2) se numesc ecuații geometrice, ecuații ( 3) sunt ecuații statice, iar ecuațiile (4) sau (5) sunt ecuații fizice. La ecuațiile de bază care determină starea unui corp liniar elastic în punctele sale interne de volum, este necesar să se adauge condiții pe suprafața sa. Aceste condiții se numesc condiții la limită. Ele sunt determinate fie de forțele de suprafață exterioare date sau mișcări specificate puncte de pe suprafața corpului. În primul caz, condițiile la limită sunt exprimate prin egalitate:
unde sunt componentele vectoriale t forta de suprafata, - componente ale vectorului unitar n, îndreptată de-a lungul normalului exterioară la suprafață în punctul în cauză.
În al doilea caz, condițiile la limită sunt exprimate prin egalitate
Unde 
- functii specificate la suprafata.
Condițiile limită pot fi, de asemenea, de natură mixtă, atunci când sunt pe o parte forțele de suprafață exterioare sunt specificate pe suprafața corpului iar pe de alta parte suprafața corpului are deplasări:
Sunt posibile și alte tipuri de condiții la limită. De exemplu, pe o anumită zonă a suprafeței corpului, sunt specificate doar unele componente ale vectorului de deplasare și, în plus, nu sunt specificate toate componentele vectorului forță de suprafață.
§ 2. principalele probleme de statică a unui corp elastic
În funcție de tipul condițiilor la limită, se disting trei tipuri de probleme statice de bază în teoria elasticității.
Sarcina principală a primului tip este de a determina componentele tensorului câmpului de stres în cadrul zonei , ocupat de corp, și componenta vectorului de mișcare a punctelor din interiorul zonei și puncte de suprafață corpuri în funcție de forțele de masă date și forțele de suprafață
Cele nouă funcții necesare trebuie să îndeplinească ecuațiile de bază (3) și (4), precum și condițiile la limită (6).
Sarcina principală a celui de-al doilea tip este de a determina mișcările puncte din interiorul zonei și componenta tensorului câmpului de stres conform forțelor de masă date și conform mișcărilor specificate pe suprafața corpului.
Caracteristicile pe care le cauți Şi trebuie să îndeplinească ecuațiile de bază (3) și (4) și condițiile la limită (7).
Rețineți că condițiile la limită (7) reflectă cerința pentru continuitatea funcțiilor definite la hotar corp, adică atunci când punctul intern tinde la un punct de la suprafață, funcția ar trebui să tindă la o valoare dată la un punct dat de pe suprafață.
Problema principală a celui de-al treilea tip sau problemă mixtă este aceea a forțelor de suprafață date pe o parte a suprafeței corpului și în funcție de deplasări date pe o altă parte a suprafeței corpului și, de asemenea, în general, în funcție de forțele de masă date se cere determinarea componentelor tensorului de efort si deplasare , satisfacerea ecuațiilor de bază (3) și (4) când sunt îndeplinite condiții mixte la limită (8).
După obținerea soluției la această problemă, este posibil să se determine, în special, forțele conexiunilor asupra , care trebuie aplicat în puncte ale suprafeței pentru a realiza deplasări specificate pe această suprafață și este, de asemenea, posibil să se calculeze deplasările punctelor de suprafață . Cursuri >> Industrie, producție
Lungime cherestea, Asta cherestea deformat. Deformare cheresteaînsoţit simultan... lemn, polimer etc. Când îndoi cherestea culcat pe doi suporti... îndoi va fi caracterizat de o săgeată de deviere. În acest caz, efortul de compresiune în partea concavă cherestea ...
Avantajele lipitului cheresteaîn construcții joase
Rezumat >> ConstrucțieRezolvat prin folosirea profilate lipite cherestea. Lemn stratificat lipit in portanta... nu se ondula sau curbe. Acest lucru se datorează lipsei de combustibil pentru... transport. 5. Suprafață lipită cherestea, realizat cu respectarea tuturor tehnologice...
Această combinație de factori de forță interni este tipică atunci când se calculează arbori. Problema este plată, deoarece conceptul de „îndoire oblică” pentru un fascicul cu secțiune transversală circulară, în care orice axă centrală este cea principală, nu este aplicabil. În cazul general al forțelor externe, un astfel de fascicul experimentează o combinație următoarele tipuri deformare: drept încovoiere transversală, torsiune și tensiune centrală (compresie). În fig. Figura 11.5 prezintă o grindă încărcată cu forțe externe care provoacă toate cele patru tipuri de deformare.
Diagramele de forță internă vă permit să identificați secțiunile periculoase, iar diagramele de stres vă ajută să identificați punctele periculoase din aceste secțiuni. Tensiunile tangenţiale din forţele transversale ating maximul pe axa grinzii şi sunt nesemnificative pentru o grindă de secţiune transversală solidă şi pot fi neglijate în comparaţie cu tensiunile tangenţiale de la torsiune, care ating maximul în punctele periferice (punctul B).
O secțiune periculoasă este înglobarea, unde în același timp există mare valoare forțe longitudinale și transversale, momente de încovoiere și cuplu.
Punctul periculos din această secțiune va fi punctul în care σ x și τ xy ating o valoare semnificativă (punctul B). În acest moment, efortul normal cel mai mare de la încovoiere și forfecarea de la torsiune, precum și efortul normal de la întindere, acţionează
După ce au determinat tensiunile principale folosind formula:
găsim σ roșu =
(când se utilizează criteriul celor mai mari tensiuni tangenţiale m = 4, când se utilizează criteriul energiei specifice a modificării formei m = 3).
Înlocuind expresiile σ α și τ xy, obținem:
sau ținând cont de faptul că W р =2 W z, A= (vezi 10.4),
Dacă arborele experimentează îndoirea în două plane reciproc perpendiculare, atunci în formula în loc de M z este necesar să se înlocuiască M tot =
Tensiunea redusă σ red nu trebuie să depășească solicitarea admisibilă σ adm determinată în timpul încercării într-o stare de efort liniară, ținând cont de factorul de siguranță. Pentru dimensiunile date și solicitările admise, se efectuează un calcul de verificare Dimensiunile necesare pentru a asigura rezistența sigură sunt găsite din stare
11.5. Calculul cochiliilor de rotație fără moment
În tehnologie, sunt utilizate pe scară largă elementele structurale care, din punct de vedere al calculelor de rezistență și rigiditate, pot fi clasificate ca învelișuri subțiri. Este în general acceptat că o coajă este subțire dacă raportul dintre grosimea sa și dimensiunea totală este mai mic de 1/20. Pentru cochilii subțiri se aplică ipoteza normalelor drepte: segmentele normale până la suprafața mijlocie rămân drepte și inextensibile după deformare. În acest caz, există o distribuție liniară a deformațiilor și, prin urmare, tensiuni normale (la deformații elastice mici) pe grosimea carcasei.
Suprafața cochiliei se obține prin rotirea unei curbe plane în jurul unei axe situate în planul curbei. Dacă curba este înlocuită cu o linie dreaptă, atunci când se rotește paralel cu axa, se obține o carcasă cilindrică circulară, iar când este rotită în unghi față de axă, se obține o înveliș conic.
În schemele de calcul, carcasa este reprezentată de suprafața sa mijlocie (echidistantă de suprafețele frontale). Suprafața mediană este de obicei asociată cu un sistem de coordonate ortogonal curbiliniu Ө și φ. Unghiul θ () determină poziția paralelei cu linia de intersecție a suprafeței mijlocii cu un plan care trece normal pe axa de rotație.
Fig.11.6 Fig. 11.7
Prin normala spre mijlocul suprafeței, puteți desena multe plane care vor fi normale cu aceasta și, în secțiuni cu aceasta, puteți forma linii cu diferite raze de curbură. Două dintre aceste raze au valori extreme. Liniile cărora le corespund se numesc linii de curbură principală. Una dintre linii este un meridian, raza sa de curbură este notă cu r 1. Raza de curbură a celei de-a doua curbe – r 2(centrul de curbură se află pe axa de rotație). Centrele de rază r 1Şi r 2 poate coincide (cochilie sferică), se află pe una sau mai multe laturi ale suprafeței mijlocii, unul dintre centre poate merge la infinit (cochilii cilindrice și conice).
Când elaborăm ecuațiile de bază, relaționăm forțele și deplasările la secțiunile normale ale cochiliei în planurile curburelor principale. Să creăm ecuații pentru eforturile interne. Să considerăm un element de înveliș infinitezimal (Fig. 11.6), decupat de două plane meridionale adiacente (cu unghiuri θ și θ+dθ) și două cercuri paralele adiacente normale pe axa de rotație (cu unghiuri φ și φ+dφ). Ca sistem de axe și momente de proiecție, alegem un sistem dreptunghiular de axe x, y, z. Axă yîndreptat tangențial la meridian, ax z- conform normalului.
Datorita simetriei axiale (sarcina P=0), asupra elementului vor actiona doar forte normale. N φ - forța liniară meridională direcționată tangențial la meridian: N θ - forța inelară liniară îndreptată tangențial la cerc. Ecuația ΣХ=0 devine o identitate. Să proiectăm toate forțele pe axă z:
2N θ r 1 dφsinφ+r o dθdφ+P z r 1 dφr o dθ=0.
Dacă neglijăm mărimea infinitezimală de ordin superior ()r o dθ dφ și împărțim ecuația la r 1 r o dφ dθ, atunci ținând cont că obținem o ecuație datorată lui P. Laplace:
În loc de ecuația ΣY=0 pentru elementul luat în considerare, vom compune o ecuație de echilibru pentru partea superioară a învelișului (Fig. 11.6). Să proiectăm toate forțele pe axa de rotație:
ude: R v - proiecția verticală a forțelor externe rezultante aplicate părții tăiate a carcasei. Aşa,
Înlocuind valorile lui N φ în ecuația Laplace, găsim N θ. Determinarea forțelor dintr-o carcasă de rotație conform teoriei fără moment este o problemă definibilă static. Acest lucru a devenit posibil ca urmare a faptului că am postulat imediat legea modificărilor tensiunii de-a lungul grosimii cochiliei - le-am considerat constante.
În cazul unui dom sferic, avem r 1 = r 2 = r și r o = r. Dacă sarcina este specificată ca intensitate P apoi pe proiecția orizontală a carcasei
Astfel, în direcția meridională, domul este uniform comprimat. Componentele sarcinii de suprafață de-a lungul normalului z este egal cu P z =P. Înlocuim valorile lui N φ și P z în ecuația Laplace și aflăm din aceasta:
Forțele inelare de compresiune ating maximul în vârful cupolei la φ = 0. La φ = 45 º - N θ =0; la φ > 45-N θ =0 devine la tracțiune și atinge un maxim la φ = 90.
Componenta orizontală a forței meridionale este egală cu:
Să luăm în considerare un exemplu de calcul al unui shell fără moment. Conducta principală este umplută cu gaz a cărui presiune este egală cu R.
Aici r 1 = R, r 2 = a în conformitate cu ipoteza acceptată anterior că tensiunile sunt distribuite uniform pe toată grosimea δ coajă
unde: σ m - tensiuni meridionale normale, și
σ t - tensiuni normale circumferenţiale (latitudinale, inelare).