Cum se construiește o linie dreaptă pe planul de coordonate. Construcția de linii și zone pe planul de coordonate. Zona dintre linii

Să arătăm cum se transformă liniile dacă semnul modulului este introdus în ecuația pentru specificarea dreptei.

Să avem ecuația F(x;y)=0(*)

· Ecuația F(|x|;y)=0 specifică o dreaptă simetrică față de ordonată. Dacă această dreaptă, dată de ecuația (*), a fost deja construită, atunci lăsăm o parte a dreptei la dreapta axei ordonatelor și apoi o completăm simetric la stânga.

· Ecuația F(x;|y|)=0 specifică o dreaptă simetrică față de axa absciselor. Dacă această linie, dată de ecuația (*), a fost deja construită, atunci lăsăm o parte din linie deasupra axei x și apoi o completăm simetric de jos.

· Ecuația F(|x|;|y|)=0 specifică o dreaptă simetrică față de axele de coordonate. Dacă linia dată de ecuația (*) a fost deja construită, atunci lăsăm o parte din linie în primul trimestru și apoi o completăm în mod simetric.

Luați în considerare următoarele exemple

Exemplul 1.

Să avem o dreaptă dată de ecuația:

(1), unde a>0, b>0.

Construiți drepte date de ecuațiile:

Soluţie:

Mai întâi, vom construi linia originală, iar apoi, folosind recomandările, vom construi liniile rămase.

(1)

(2)

-o

(3)

-b

-o

(5)

-b

Exemplul 5

Desenați pe planul de coordonate aria definită de inegalitate:

Soluţie:

Mai întâi construim granița regiunii, dată de ecuația:

| (5)

În exemplul anterior, avem două linii paralele care împart planul de coordonate în două zone:

Zona dintre linii

Zona din afara liniilor.

Pentru a ne selecta zona, să luăm un punct de control, de exemplu, (0;0) și să îl înlocuim în această inegalitate: 0≤1 (corect)® aria dintre linii, inclusiv chenarul.

Vă rugăm să rețineți că, dacă inegalitatea este strictă, atunci granița nu este inclusă în regiune.

Să salvăm acest cerc și să construim unul care este simetric față de axa ordonatelor. Să salvăm acest cerc și să construim unul care este simetric față de axa absciselor. Să salvăm acest cerc și să construim unul care este simetric față de axa absciselor. și axele ordonate. Ca rezultat, obținem 4 cercuri. Rețineți că centrul cercului este în primul sfert (3;3), iar raza este R=3.

-3

Două drepte de coordonate reciproc perpendiculare care se intersectează în punctul O - originea referinței, formă sistem de coordonate dreptunghiular, numit și sistem de coordonate carteziene.
Se numește planul pe care este ales sistemul de coordonate plan de coordonate. Liniile de coordonate sunt numite axele de coordonate. Axa orizontală este axa absciselor (Ox), axa verticală este axa ordonatelor (Oy).
Axele de coordonate împart planul de coordonate în patru părți - sferturi. Numerele de serie ale sferturilor sunt de obicei numărate în sens invers acelor de ceasornic.
Orice punct din planul de coordonate este specificat de coordonatele sale - abscisa si ordonata. De exemplu, A(3; 4). Citiți: punctul A cu coordonatele 3 și 4. Aici 3 este abscisa, 4 este ordonata.

I. Construcția punctului A(3; 4).

Abscisă 3 arată că de la începutul numărătorii inverse - punctele O trebuie mutate la dreapta 3 segment de unitate, apoi puneți-l 4 segment de unitate și pune un punct.

Acesta este punctul A(3; 4).

Construcția punctului B(-2; 5).

De la zero ne deplasăm la stânga 2 un singur segment și apoi în sus 5 segmente unice.

Să punem capăt ÎN.

De obicei este luat un segment de unitate 1 celulă.

II. Construiți puncte în planul de coordonate xOy:

A (-3; 1);B(-1;-2);

C(-2:4);D (2; 3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Determinați coordonatele punctelor construite: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);B(-2; 0);

C(3; 4);D (6; 5);

F (0; -3);K (5; -2).

Secțiuni: Matematică

Clasă: 6

Tip de lecție: lectie de generalizare si sistematizare a cunostintelor.

Metode: verbal, vizual, pereche, munca independenta, sondaj frontal, control și evaluare

Echipament: tablă interactivă, carduri pentru munca independentă

Ţintă: consolida abilitățile de a găsi coordonatele punctelor marcate și de a construi puncte în funcție de coordonatele date.

Obiectivele lecției:

Educațional:

generalizarea cunoștințelor și abilităților elevilor pe tema „Planul de coordonate”;
controlul intermediar al cunoștințelor și aptitudinilor elevilor.

Educațional:

dezvoltarea abilităților de calcul ale elevilor;
dezvoltare gândire logică;
dezvoltarea vorbirii și a perspectivei elevilor cu competențe matematice;
dezvoltarea abilităților de muncă independentă.

Educațional:

insuflarea disciplinei în organizarea muncii în clasă;
favorizarea preciziei la executarea construcţiilor.

Structura lecției:

Moment organizatoric.
Verificarea temelor.
Actualizarea cunoștințelor de bază.
Diagnosticarea dobândirii cunoștințelor și abilităților elevilor.
Rezumând lecția.
Teme pentru acasă.

PROGRESUL LECȚIEI

1. Moment organizatoric

Astăzi vom repeta ceea ce am tratat pe parcursul mai multor lecții. Amintiți-vă ce am făcut la clasă, ce subiecte am studiat, ce v-a interesat cel mai mult, ce vă amintiți, ce a rămas de neînțeles la tema „Planul coordonatelor. Construirea unui punct din coordonatele sale.” Sarcina noastră: să repetam, să generalizăm, să sistematizăm cunoștințele pe tema „Planul de coordonate”.

2. Verificarea temelor

Acum hai să verificăm cum ai făcut teme pentru acasă. Folosind coordonatele date, a trebuit să construiești o figură, conectând punctele adiacente între ele așa cum ai construit. Ca rezultat al finalizării lucrării, ar trebui să aveți o cifră:

3. Actualizarea cunoștințelor de bază

Sarcina „Rezolvați cuvintele încrucișate” vă va ajuta să vă amintiți conceptele de bază ale subiectului „Planul de coordonate”.
Pe ecran tablă interactivă Apare un puzzle de cuvinte încrucișate și elevii sunt rugați să o rezolve.

1. Două drepte de coordonate formează o coordonată ... (plan)
2. Liniile de coordonate sunt coordonate... (axe)
3. Ce unghi se formează când liniile de coordonate se intersectează? (direct)
4. Care este numele unei perechi de numere care determină poziția unui punct pe un plan? (coordona)
5. Care este numele primei coordonate? (abscisă)
6. Cum se numește a doua coordonată? (ordonată)
7. Care este numele segmentului de la 0 la 1? (unitate)
8. În câte părți este împărțit planul de coordonate prin linii de coordonate? (patru)

4. Diagnosticarea asimilării de cunoștințe și abilități de către elevi

Marcați punctele pe planul de coordonate:

A(-3; 0); B(2; -3); C(-4; 2); D(0; 4); E(1; 3); O(0; 0)

Acum să trecem la construirea unei figuri folosind puncte din planul de coordonate Sunt date coordonatele punctelor. Construiți o figură, conectând punctele adiacente între ele pe măsură ce construiți.

Munca independentă.
(verificare prin verificare reciprocă)

Opțiunea 1.

(2; 9),
(3; 8),
(4; 9),
(5; 7),
(7; 6),
(6; 5),
(8; 3),
(8; 4),
(9; 4),
(9; -1),
(5; -2),
(5; -1),
(2; 2),
(4; -6),
(1; -6),
(0; -3),
(-4; -2),
(-4; -6),
(-7; -6),
(-7; 2),
(-8; 5),
(-5; 2),
(0; 2),
(2; 9).

Ochi: (3; 5).

Opțiunea 2.

(2; 4),
(2; 6),
(0; 6),
(-1; 7),
(-1; 9),
(1; 11),
(2; 11),
(2,5; 12),
(3; 11),
(3,5; 12),
(5; 10),
(5; 9),
(8; 8),
(6; 8),
(4; 7),
(4; 5),
(5; 5),
(7; 3),
(7; -1),
(5; -3),
(0; -4),
(-3; -4),
(-9; -1),
(-9; 7),
(-6; 2),
(0; 2),
(2; 4).

Aripa:
(2; 2),
(2; -2),
(-4; 0),

Ochi:
(2; 9).

5. Rezumând lecția

Întrebări pentru studenți:

1) Ce este un plan de coordonate?
2) Cum se numesc axele de coordonate OX și OU?
3) Ce unghi se formează când liniile de coordonate se intersectează?
4) Cum se numește o pereche de numere care determină poziția unui punct pe un plan?
5) Care este numele primului număr?
6) Cum se numește al doilea număr?

6. Tema pentru acasă

P(-1,5; 10),
(-1,5; 11),
(-2; 12),
(-3; 12),
(-3,5; 11),
(-3,5; 10),
(-5; 12),
(-9; 14),
(-14; 15),
(-12; 10),
(-10; 8),
(-8; 7),
(-4; 6),
(-6; 6),
(-9; 5),
(-12; 3),
(-14; 0),
(-14; -2),
(-12; -2),
(-7; -1),
(-3; 3),
(-4; 1),
(-3; 0),
(-4; -1),
(-2,5; -2),
(-1; -1),
(-2; 0),
(-1; 1),

(-2; 3),
(2; -1),
(7; -2),
(9; -2),
(9; 0),
(7; 3),
(4; 5),
(1; 6),
(-1; 6),
(3; 7),
(5; 8),
(7; 10),
(9; 15),
(4; 14),
(0; 12),
(-1,5; 10).
P (-3,5; 10),
(-4; 6),
(-3; 3),
P (-1,5; 10),
(-1; 6),
(-2; 3).

(-2; 11),
(-3; 11)

§ 1 Sistemul de coordonate: definiție și modalitate de construcție

În această lecție ne vom familiariza cu conceptele de „sistem de coordonate”, „plan de coordonate”, „axe de coordonate” și vom învăța cum să construim puncte pe un plan folosind coordonatele.

Să luăm o dreaptă de coordonate x cu punctul de origine O, o direcție pozitivă și un segment unitar.

Prin originea coordonatelor, punctul O al dreptei de coordonate x, trasăm o altă linie de coordonate y, perpendiculară pe x, setăm direcția pozitivă în sus, segmentul unitar este același. Astfel, am construit un sistem de coordonate.

Să dăm o definiție:

Două drepte de coordonate reciproc perpendiculare care se intersectează într-un punct, care este originea coordonatelor fiecăreia dintre ele, formează un sistem de coordonate.

§ 2 Axa de coordonate și planul de coordonate

Liniile drepte care formează un sistem de coordonate se numesc axe de coordonate, fiecare având propriul nume: linia de coordonate x este axa absciselor, linia de coordonate y este axa ordonatelor.

Planul pe care este selectat sistemul de coordonate se numește plan de coordonate.

Sistemul de coordonate descris se numește dreptunghiular. Este adesea numit sistemul de coordonate carteziene în onoarea filozofului și matematicianului francez René Descartes.

Fiecare punct de pe planul de coordonate are două coordonate, care pot fi determinate prin scăderea perpendicularelor din punctul de pe axa de coordonate. Coordonatele unui punct dintr-un plan sunt o pereche de numere, dintre care primul număr este abscisa, al doilea număr este ordonata. Abscisa este perpendiculară pe axa x, ordonata este perpendiculară pe axa y.

Să marchem punctul A pe planul de coordonate și să desenăm perpendiculare din acesta pe axele sistemului de coordonate.

De-a lungul perpendicularei pe axa absciselor (axa x), determinăm abscisa punctului A, este egală cu 4, ordonata punctului A - de-a lungul perpendicularei pe axa ordonatelor (axa y) este 3. Coordonatele din punctul nostru sunt 4 și 3. A (4;3). Astfel, coordonatele pot fi găsite pentru orice punct din planul de coordonate.

§ 3 Construirea unui punct pe un plan

Cum se construiește un punct pe un plan cu coordonate date, de ex. Folosind coordonatele unui punct din plan, determinați-i poziția? În acest caz, efectuăm acțiunile în ordine inversă. Pe axele de coordonate găsim puncte corespunzătoare coordonatelor date, prin care trasăm drepte perpendiculare pe axele x și y. Punctul de intersecție al perpendicularelor va fi cel dorit, adică. un punct cu coordonate date.

Să terminăm sarcina: construim punctul M (2;-3) pe planul de coordonate.

Pentru a face acest lucru, găsiți un punct cu coordonata 2 pe axa x și desenați acest punct drept perpendicular pe axa x. Pe axa ordonatelor găsim un punct cu coordonata -3, prin el trasăm o dreaptă perpendiculară pe axa y. Punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare va fi punctul dat M.

Acum să ne uităm la câteva cazuri speciale.

Să marchem punctele A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) pe planul de coordonate.

Abcisele acestor puncte sunt egale cu 0. Figura arată că toate punctele sunt pe axa ordonatelor.

În consecință, punctele ale căror abscise sunt egale cu zero se află pe axa ordonatelor.

Să schimbăm coordonatele acestor puncte.

Rezultatul va fi A (2;0), B (-3;0) C (4; 0). În acest caz, toate ordonatele sunt egale cu 0, iar punctele sunt pe axa x.

Aceasta înseamnă că punctele ale căror ordonate sunt egale cu zero se află pe axa absciselor.

Să ne uităm la încă două cazuri.

Pe planul de coordonate, marcați punctele M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

Este ușor de observat că toate abscisele punctelor sunt aceleași. Dacă aceste puncte sunt conectate, obțineți o dreaptă paralelă cu axa ordonatelor și perpendiculară pe axa absciselor.

Concluzia sugerează de la sine: punctele care au aceeași abscisă se află pe aceeași linie dreaptă, care este paralelă cu axa ordonatelor și perpendiculară pe axa absciselor.

Dacă schimbați coordonatele punctelor M, N, P, obțineți M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Ordonatele punctelor vor fi aceleași. În acest caz, dacă legați aceste puncte, obțineți o dreaptă paralelă cu axa absciselor și perpendiculară pe axa ordonatelor.

Astfel, punctele care au aceeași ordonată se află pe aceeași dreaptă paralelă cu axa absciselor și perpendiculară pe axa ordonatelor.

În această lecție v-ați familiarizat cu conceptele de „sistem de coordonate”, „plan de coordonate”, „axe de coordonate - axa absciselor și axa ordonatelor”. Am învățat cum să găsim coordonatele unui punct pe un plan de coordonate și am învățat cum să construim puncte pe plan folosind coordonatele acestuia.

Lista literaturii folosite:

Matematică. Clasa a 6-a: planuri de lecție pentru manualul lui I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-compilator L.A. Topilina. – Mnemosyne, 2009.
Matematică. Clasa a VI-a: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyna, 2013.
Matematică. clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov și alții/editat de G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Academia Rusă de Științe, Academia Rusă de Educație. - M.: „Iluminismul”, 2010
Manual de matematică - http://lyudmilanik.com.ua
Ghidul elevului pentru liceu http://shkolo.ru

Un sistem de coordonate dreptunghiular este o pereche de linii de coordonate perpendiculare, numite axe de coordonate, care sunt plasate astfel încât să se intersecteze la origine.

Desemnarea axelor de coordonate prin literele x și y este în general acceptată, dar literele pot fi oricare. Dacă sunt folosite literele x și y, atunci planul este numit planul xy. Diferitele aplicații pot folosi alte litere decât x și y și, așa cum se arată în figurile de mai jos, există avion UVŞi ts-avion.

Pereche comandată

Prin pereche ordonată de numere reale, înțelegem două numere reale într-o anumită ordine. Fiecare punct P din planul de coordonate poate fi asociat cu o pereche unică ordonată de numere reale prin trasarea a două drepte prin P: una perpendiculară pe axa x și cealaltă perpendiculară pe axa y.

De exemplu, dacă luăm (a,b)=(4,3), atunci pe banda de coordonate

A construi un punct P(a,b) înseamnă a determina un punct cu coordonatele (a,b) pe planul de coordonate. De exemplu, în figura de mai jos sunt reprezentate diferite puncte.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, axele de coordonate împart planul în patru regiuni numite cadrane. Sunt numerotate în sens invers acelor de ceasornic cu cifre romane, așa cum se arată în figură.

Definiția unui grafic

Programa ecuația cu două variabile x și y este mulțimea de puncte de pe planul xy ale căror coordonate sunt membre ale mulțimii de soluții ale acestei ecuații

Exemplu: desenați un grafic cu y = x 2

Deoarece 1/x este nedefinit când x=0, putem reprezenta numai puncte pentru care x ≠0

Exemplu: Găsiți toate intersecțiile cu axe
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x

Fie y = 0, apoi 3x = 6 sau x = 2

este interceptarea x dorită.

După ce am stabilit că x=0, aflăm că punctul de intersecție al axei y este punctul y=3.

În acest fel puteți rezolva ecuația (b) și soluția pentru (c) este dată mai jos

interceptarea x

Fie y = 0

1/x = 0 => x nu poate fi determinat, adică nu există intersecție cu axa y

Fie x = 0

y = 1/0 => y este de asemenea nedefinit, => nicio intersecție cu axa y

În figura de mai jos, punctele (x,y), (-x,y), (x,-y) și (-x,-y) reprezintă colțurile dreptunghiului.

Un grafic este simetric față de axa x dacă pentru fiecare punct (x,y) de pe grafic, punctul (x,-y) este, de asemenea, un punct de pe grafic.

Un grafic este simetric față de axa y dacă pentru fiecare punct de pe grafic (x,y), punctul (-x,y) aparține și el graficului.

Un grafic este simetric față de centrul coordonatelor dacă pentru fiecare punct (x,y) din grafic, punctul (-x,-y) aparține de asemenea acestui grafic.

Definiţie:

Programa funcții pe planul de coordonate este definit ca graficul ecuației y = f(x)

Graficul f(x) = x + 2

Exemplul 2. Trasează graficul f(x) = |x|

Graficul coincide cu linia y = x pentru x > 0 și cu linia y = -x

pentru x< 0 .

graficul lui f(x) = -x

Combinând aceste două grafice obținem

graficul f(x) = |x|

Exemplul 3: Trasează un grafic

t(x) = (x 2 - 4)/(x - 2) =

= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Prin urmare, această funcție poate fi scrisă ca

y = x + 2 x ≠ 2

Graficul h(x)= x 2 - 4 Sau x - 2

graficul y = x + 2 x ≠ 2

Exemplul 4: Trasează un grafic

Grafice ale funcțiilor cu deplasare

Să presupunem că graficul funcției f(x) este cunoscut

Apoi putem găsi graficele

y = f(x) + c - graficul funcției f(x), deplasat

UP c valori

y = f(x) - c - graficul funcției f(x), deplasat

JOS cu valorile c

y = f(x + c) - graficul funcției f(x), deplasat

LEFT cu valorile c

y = f(x - c) - graficul funcției f(x), deplasat

Chiar după valorile c

Exemplul 5: Construire

graficul y = f(x) = |x - 3| + 2

Să mutăm graficul y = |x| 3 valori la DREAPTA pentru a obține graficul

Să mutăm graficul y = |x - 3| UP 2 valori pentru a obține graficul y = |x - 3| + 2

Trasează un grafic

y = x 2 - 4x + 5

Să transformăm ecuația dată după cum urmează, adăugând 4 la ambele părți:

y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4

y = (x - 2) 2 + 1

Aici vedem că acest grafic poate fi obținut prin mutarea graficului lui y = x 2 la dreapta cu 2 valori, deoarece x este 2, și în sus cu 1 valoare, deoarece +1.

y = x 2 - 4x + 5