वाकलेली विकृतीस्ट्रेट रॉडच्या अक्षाच्या वक्रतेमध्ये किंवा सरळ रॉडच्या सुरुवातीच्या वक्रता बदलण्यात (चित्र 6.1) समावेश होतो. बेंडिंग विकृतीचा विचार करताना वापरल्या जाणार्‍या मूलभूत संकल्पनांशी परिचित होऊ या.
बेंडिंग रॉड्स म्हणतात बीम.
स्वच्छयाला बेंड म्हणतात, ज्यामध्ये झुकणारा क्षण हा एकमात्र अंतर्गत बल घटक असतो जो बीमच्या क्रॉस विभागात उद्भवतो.
अधिक वेळा, रॉडच्या क्रॉस विभागात, वाकण्याच्या क्षणासह, एक ट्रान्सव्हर्स फोर्स देखील उद्भवते. अशा बेंडला ट्रान्सव्हर्स म्हणतात.
सपाट (सरळ)जेव्हा क्रॉस विभागात वाकण्याच्या क्षणाच्या क्रियेचे विमान मुख्य मध्यवर्ती अक्षांपैकी एकातून जाते तेव्हा त्याला बेंड म्हणतात क्रॉस सेक्शन.
येथे तिरकस वाकणेबेंडिंग मोमेंटच्या क्रियेचे प्लेन बीमच्या क्रॉस सेक्शनला एका रेषेने छेदते जे क्रॉस सेक्शनच्या कोणत्याही मुख्य मध्यवर्ती अक्षांशी जुळत नाही.
आम्ही शुद्ध प्लेन बेंडिंगच्या केससह वाकण्याच्या विकृतीचा अभ्यास सुरू करतो.
शुद्ध बेंडिंगमध्ये सामान्य ताण आणि ताण.
आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, क्रॉस विभागात शुद्ध फ्लॅट बेंडसह, सहा अंतर्गत बल घटकांपैकी, फक्त झुकणारा क्षण शून्य नसलेला असतो (चित्र 6.1, c):
लवचिक मॉडेल्सवर केलेले प्रयोग असे दर्शवतात की जर मॉडेलच्या पृष्ठभागावर रेषांचा ग्रिड लावला असेल (चित्र 6.1, अ), तर शुद्ध वाकल्याने ते खालीलप्रमाणे विकृत होईल (चित्र 6.1, b):
अ) रेखांशाच्या रेषा परिघाच्या बाजूने वक्र आहेत;
ब) क्रॉस सेक्शनचे आकृतिबंध सपाट राहतात;
c) विभागांच्या आराखड्याच्या रेषा रेखांशाच्या तंतूंना काटकोनात सर्वत्र छेदतात.
याच्या आधारे, असे गृहीत धरले जाऊ शकते की शुद्ध वाकताना, तुळईचे क्रॉस सेक्शन सपाट राहतात आणि फिरतात जेणेकरून ते बीमच्या वाकलेल्या अक्षापर्यंत सामान्य राहतील (वाकताना सपाट विभाग गृहितक).
तांदूळ. ६.१
रेखांशाच्या रेषांची लांबी (चित्र 6.1, b) मोजून असे आढळून येते की तुळईच्या वाकलेल्या विकृती दरम्यान वरचे तंतू लांब होतात आणि खालचे तंतू लहान होतात. अर्थात, असे तंतू शोधणे शक्य आहे, ज्याची लांबी अपरिवर्तित आहे. बीम वाकल्यावर त्यांची लांबी बदलत नाही अशा तंतूंचा संच म्हणतात तटस्थ स्तर (n.s). तटस्थ थर तुळईच्या क्रॉस सेक्शनला एका सरळ रेषेत छेदतो ज्याला म्हणतात तटस्थ रेषा (n. l.) विभाग.
क्रॉस विभागात उद्भवणार्या सामान्य ताणांची तीव्रता निर्धारित करणारे सूत्र प्राप्त करण्यासाठी, विकृत आणि विकृत नसलेल्या स्थितीतील बीमचा विभाग विचारात घ्या (चित्र 6.2).
तांदूळ. ६.२
दोन असीम क्रॉस सेक्शनद्वारे, आम्ही लांबीचा एक घटक निवडतो 
. विकृत करण्यापूर्वी, घटकास बांधणारा विभाग 
, एकमेकांना समांतर होते (चित्र 6.2, अ), आणि विकृत झाल्यानंतर ते काहीसे झुकले, एक कोन तयार करतात 
. वाकताना तटस्थ थरात पडलेल्या तंतूंची लांबी बदलत नाही 
. रेखाचित्राच्या समतल भागावरील तटस्थ थराच्या ट्रेसच्या वक्रतेची त्रिज्या अक्षराने दर्शवू. 
. आपण अनियंत्रित फायबरचे रेखीय विकृती निश्चित करू 
, अंतरावर 
तटस्थ थर पासून.
विकृतीनंतर या फायबरची लांबी (कमानाची लांबी 
) च्या बरोबरीचे आहे 
. हे लक्षात घेता की विकृतीपूर्वी सर्व तंतूंची लांबी समान होती 
, आम्ही प्राप्त फायबर परिपूर्ण वाढवणे
त्याची सापेक्ष विकृती 
हे उघड आहे 
, तटस्थ लेयरमध्ये पडलेल्या फायबरची लांबी बदललेली नाही. नंतर प्रतिस्थापन नंतर 
आम्हाला मिळते
(6.2)
म्हणून, सापेक्ष रेखांशाचा ताण तटस्थ अक्षापासून फायबरच्या अंतराच्या प्रमाणात आहे.
वाकताना अनुदैर्ध्य तंतू एकमेकांना दाबत नाहीत हे गृहितक आम्ही सादर करतो. या गृहीतकेनुसार, प्रत्येक फायबर अलगावमध्ये विकृत आहे, एक साधा ताण किंवा कॉम्प्रेशन अनुभवत आहे, ज्यामध्ये 
. विचारात घेऊन (6.2)
, (6.3)
म्हणजे, सामान्य ताण हे तटस्थ अक्षापासून विभागाच्या विचारात घेतलेल्या बिंदूंच्या अंतराच्या थेट प्रमाणात असतात.
झुकण्याच्या क्षणासाठी आम्ही अभिव्यक्तीमध्ये अवलंबन (6.3) बदलतो 
क्रॉस विभागात (6.1)
.
आठवले की अविभाज्य 
अक्षाबद्दलच्या विभागाच्या जडत्वाचा क्षण दर्शवतो 
.
(6.4)
अवलंबित्व (६.४) हा हूकचा झुकण्याचा नियम आहे, कारण तो विकृतीशी संबंधित आहे (तटस्थ थराची वक्रता 
) विभागात अभिनय करण्याच्या क्षणासह. काम 
झुकत असलेल्या विभागाची कडकपणा म्हणतात, N m 2.
(6.4) मध्ये (6.3) बदला
(6.5)
हे त्याच्या विभागातील कोणत्याही बिंदूवर बीमच्या शुद्ध बेंडिंगमध्ये सामान्य ताण निर्धारित करण्यासाठी इच्छित सूत्र आहे.
क्रॉस विभागात तटस्थ रेषा कोठे आहे हे स्थापित करण्यासाठी, आम्ही रेखांशाच्या बलासाठी अभिव्यक्तीमध्ये सामान्य ताणांचे मूल्य बदलतो. 
आणि झुकणारा क्षण 
कारण द 
,
;
(6.6)
(6.7)
समानता (6.6) दर्शवते की अक्ष 
- विभागाचा तटस्थ अक्ष - क्रॉस सेक्शनच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या मध्यभागी जातो.
समानता (6.7) हे दर्शवते 
आणि 
- विभागाचे मुख्य मध्यवर्ती अक्ष.
(6.5) नुसार, तटस्थ रेषेपासून सर्वात दूर असलेल्या तंतूंमध्ये सर्वात जास्त ताण येतो.
वृत्ती 
अक्षीय विभाग मॉड्यूलसचे प्रतिनिधित्व करते 
त्याच्या मध्यवर्ती अक्षाबद्दल 
, म्हणजे
अर्थ 
सर्वात सोप्या क्रॉस-सेक्शनसाठी खालील
आयताकृती क्रॉस सेक्शनसाठी
, (6.8)
कुठे 
- विभागाची बाजू अक्षावर लंब आहे 
;
- विभागाची बाजू अक्षाच्या समांतर 
;
गोल क्रॉस सेक्शनसाठी
, (6.9)
कुठे 
वर्तुळाकार क्रॉस सेक्शनचा व्यास आहे.
बेंडिंगमधील सामान्य ताणांची ताकद स्थिती अशी लिहिली जाऊ शकते
(6.10)
सर्व प्राप्त सूत्रे सरळ रॉडच्या शुद्ध वाकण्याच्या बाबतीत प्राप्त होतात. ट्रान्सव्हर्स फोर्सची कृती ही वस्तुस्थिती दर्शवते की निष्कर्षांमधली गृहितके त्यांची शक्ती गमावतात. तथापि, गणनेचा सराव दर्शवितो की बीम आणि फ्रेम्सच्या ट्रान्सव्हर्स बेंडिंगच्या बाबतीत, जेव्हा विभागात, झुकण्याच्या क्षणाव्यतिरिक्त 
एक रेखांशाचा बल देखील आहे 
आणि कातरणे बल 
, तुम्ही शुद्ध वाकण्यासाठी दिलेली सूत्रे वापरू शकता. या प्रकरणात, त्रुटी क्षुल्लक असल्याचे बाहेर वळते.
सामान्य संकल्पना.
वाकलेली विकृतीसरळ रॉडच्या अक्षाच्या वक्रतेमध्ये किंवा सरळ रॉडच्या सुरुवातीच्या वक्रता बदलण्यात समावेश होतो(चित्र 6.1) . बेंडिंग विकृतीचा विचार करताना वापरल्या जाणार्‍या मूलभूत संकल्पनांशी परिचित होऊ या.
बेंडिंग रॉड्स म्हणतातबीम
स्वच्छ याला बेंड म्हणतात, ज्यामध्ये झुकणारा क्षण हा एकमात्र अंतर्गत बल घटक असतो जो बीमच्या क्रॉस विभागात उद्भवतो.
अधिक वेळा, रॉडच्या क्रॉस विभागात, वाकण्याच्या क्षणासह, एक ट्रान्सव्हर्स फोर्स देखील उद्भवते. अशा बेंडला ट्रान्सव्हर्स म्हणतात.
सपाट (सरळ) जेव्हा क्रॉस सेक्शनमधील बेंडिंग मोमेंटच्या क्रियेचे विमान क्रॉस सेक्शनच्या मुख्य मध्यवर्ती अक्षांमधून जाते तेव्हा त्याला बेंड म्हणतात.
एक तिरकस बेंड सह बेंडिंग मोमेंटच्या क्रियेचे प्लेन बीमच्या क्रॉस सेक्शनला एका रेषेने छेदते जे क्रॉस सेक्शनच्या कोणत्याही मुख्य मध्यवर्ती अक्षांशी जुळत नाही.
आम्ही शुद्ध प्लेन बेंडिंगच्या केससह वाकण्याच्या विकृतीचा अभ्यास सुरू करतो.
शुद्ध बेंडिंगमध्ये सामान्य ताण आणि ताण.
आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, क्रॉस विभागात शुद्ध फ्लॅट बेंडसह, सहा अंतर्गत बल घटकांपैकी, फक्त झुकणारा क्षण शून्य नसलेला असतो (चित्र 6.1, c):
; (6.1)
लवचिक मॉडेल्सवर केलेले प्रयोग दर्शवितात की जर मॉडेलच्या पृष्ठभागावर रेषांचा ग्रिड लागू केला असेल(चित्र 6.1, अ) , नंतर शुद्ध बेंडिंग अंतर्गत ते खालीलप्रमाणे विकृत आहे(चित्र 6.1, ब):
अ) रेखांशाच्या रेषा परिघाच्या बाजूने वक्र आहेत;
ब) क्रॉस सेक्शनचे आकृतिबंध सपाट राहतात;
c) विभागांच्या आराखड्याच्या रेषा रेखांशाच्या तंतूंना काटकोनात सर्वत्र छेदतात.
याच्या आधारे, असे गृहीत धरले जाऊ शकते की शुद्ध वाकताना, तुळईचे क्रॉस सेक्शन सपाट राहतात आणि फिरतात जेणेकरून ते बीमच्या वाकलेल्या अक्षापर्यंत सामान्य राहतील (वाकताना सपाट विभाग गृहितक).
तांदूळ. .
रेखांशाच्या रेषांची लांबी (चित्र 6.1, b) मोजून असे आढळून येते की तुळईच्या वाकलेल्या विकृती दरम्यान वरचे तंतू लांब होतात आणि खालचे तंतू लहान होतात. अर्थात, असे तंतू शोधणे शक्य आहे, ज्याची लांबी अपरिवर्तित आहे. बीम वाकल्यावर त्यांची लांबी बदलत नाही अशा तंतूंचा संच म्हणताततटस्थ स्तर (n.s). तटस्थ थर तुळईच्या क्रॉस सेक्शनला एका सरळ रेषेत छेदतो ज्याला म्हणताततटस्थ रेषा (n. l.) विभाग.
क्रॉस विभागात उद्भवणार्या सामान्य ताणांची तीव्रता निर्धारित करणारे सूत्र प्राप्त करण्यासाठी, विकृत आणि विकृत नसलेल्या स्थितीतील बीमचा विभाग विचारात घ्या (चित्र 6.2).
तांदूळ. .
दोन असीम क्रॉस सेक्शनद्वारे, आम्ही लांबीचा एक घटक निवडतो. विकृत होण्यापूर्वी, घटकास बांधणारे विभाग एकमेकांना समांतर होते (चित्र 6.2, अ), आणि विकृत झाल्यानंतर, ते कोन तयार करून काहीसे झुकले. वाकताना तटस्थ थरात पडलेल्या तंतूंची लांबी बदलत नाही. रेखाचित्राच्या समतल भागावरील तटस्थ थराच्या ट्रेसच्या वक्रतेची त्रिज्या एका अक्षराद्वारे निर्दिष्ट करूया. तटस्थ थरापासून काही अंतरावर असलेल्या अनियंत्रित फायबरचे रेखीय विकृती निश्चित करू.
विकृतीनंतर या फायबरची लांबी (कमानाची लांबी) समान आहे. विकृत होण्यापूर्वी सर्व तंतूंची लांबी सारखीच होती हे लक्षात घेता, आम्हाला समजले की फायबरचा परिपूर्ण विस्तार
त्याची सापेक्ष विकृती
साहजिकच, तटस्थ थरात पडलेल्या फायबरची लांबी बदललेली नाही. मग प्रतिस्थापनानंतर आम्हाला मिळते
(6.2)
त्यामुळे नातेवाईक रेखांशाचा विकृतीतटस्थ अक्षापासून फायबरच्या अंतराच्या प्रमाणात.
वाकताना अनुदैर्ध्य तंतू एकमेकांना दाबत नाहीत हे गृहितक आम्ही सादर करतो. या गृहीतकानुसार, प्रत्येक फायबर अलगावमध्ये विकृत आहे, ज्यावर एक साधा ताण किंवा कॉम्प्रेशन अनुभवत आहे. विचारात घेऊन (6.2)
, (6.3)
म्हणजे, सामान्य ताण हे तटस्थ अक्षापासून विभागाच्या विचारात घेतलेल्या बिंदूंच्या अंतराच्या थेट प्रमाणात असतात.
आम्ही क्रॉस सेक्शन (6.1) मधील झुकण्याच्या क्षणासाठी अभिव्यक्तीमध्ये अवलंबन (6.3) बदलतो.
लक्षात ठेवा की अविभाज्य हा अक्षाबद्दलच्या विभागाच्या जडत्वाचा क्षण आहे
किंवा
(6.4)
अवलंबित्व (6.4) हा वाकण्यासाठी हूकचा नियम आहे, कारण तो विभागातील कार्याच्या क्षणाशी विकृती (तटस्थ थराची वक्रता) संबंधित आहे. उत्पादनास विभागाचा झुकणारा कडकपणा म्हणतात, एनमी 2.
(6.4) मध्ये (6.3) बदला
(6.5)
हे त्याच्या विभागातील कोणत्याही बिंदूवर बीमच्या शुद्ध बेंडिंगमध्ये सामान्य ताण निर्धारित करण्यासाठी इच्छित सूत्र आहे.
च्या साठी क्रॉस विभागात तटस्थ रेषा कोठे आहे हे स्थापित करण्यासाठी, आम्ही रेखांशाच्या बल आणि झुकण्याच्या क्षणासाठी अभिव्यक्तीमध्ये सामान्य ताणांचे मूल्य बदलतो.
कारण,
नंतर
(6.6)
(6.7)
समानता (6.6) सूचित करते की अक्ष - विभागाचा तटस्थ अक्ष - क्रॉस सेक्शनच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रातून जातो.
समानता (6.7) दर्शविते आणि विभागाची मुख्य मध्यवर्ती अक्ष आहेत.
(6.5) नुसार, तटस्थ रेषेपासून सर्वात दूर असलेल्या तंतूंमध्ये सर्वात जास्त ताण येतो.
गुणोत्तर हे त्याच्या मध्य अक्षाशी संबंधित अक्षीय विभाग मॉड्यूलस आहे, याचा अर्थ
सर्वात सोप्या क्रॉस सेक्शनचे मूल्य खालीलप्रमाणे आहे:
आयताकृती क्रॉस सेक्शनसाठी
, (6.8)
विभागाची बाजू अक्षाला लंब कोठे आहे;
विभागाची बाजू अक्षाच्या समांतर आहे;
गोल क्रॉस सेक्शनसाठी
, (6.9)
गोलाकार क्रॉस सेक्शनचा व्यास कुठे आहे.
बेंडिंगमधील सामान्य ताणांची ताकद स्थिती अशी लिहिली जाऊ शकते
(6.10)
सर्व प्राप्त सूत्रे सरळ रॉडच्या शुद्ध वाकण्याच्या बाबतीत प्राप्त होतात. ट्रान्सव्हर्स फोर्सची कृती ही वस्तुस्थिती दर्शवते की निष्कर्षांमधली गृहितके त्यांची शक्ती गमावतात. तथापि, गणनेचा सराव दर्शवितो की बीम आणि फ्रेम्सच्या ट्रान्सव्हर्स बेंडिंगच्या बाबतीत, जेव्हा झुकण्याच्या क्षणाव्यतिरिक्त, रेखांशाचा बल आणि एक ट्रान्सव्हर्स फोर्स देखील या विभागात कार्य करतात, तेव्हा आपण शुद्ध वाकण्यासाठी दिलेली सूत्रे वापरू शकता. या प्रकरणात, त्रुटी क्षुल्लक असल्याचे बाहेर वळते.
ट्रान्सव्हर्स फोर्स आणि झुकता क्षणांचे निर्धारण.
आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, बीमच्या क्रॉस सेक्शनमध्ये फ्लॅट ट्रान्सव्हर्स बेंडिंगसह, दोन अंतर्गत शक्ती घटक उद्भवतात.
स्टॅटिक्सच्या समतोल समीकरणांचे संकलन करून बीम सपोर्ट्स (चित्र 6.3, अ) च्या प्रतिक्रियांचे निर्धारण आणि निर्धारण करण्यापूर्वी.
विभागांची पद्धत निश्चित करणे आणि लागू करणे. आम्हाला स्वारस्य असलेल्या ठिकाणी, आम्ही बीमचा एक मानसिक विभाग बनवू, उदाहरणार्थ, डाव्या समर्थनापासून काही अंतरावर. चला बीमच्या भागांपैकी एक टाकून देऊ, उदाहरणार्थ, उजवा भाग, आणि डाव्या बाजूचा समतोल विचारात घ्या (चित्र 6.3, बी). आम्ही बीम भागांच्या परस्परसंवादाची जागा अंतर्गत शक्तींसह करू आणि.
चला स्थापित करूया खालील नियमसाठी चिन्हे आणि:
- विभागातील अनुप्रस्थ बल धनात्मक असते जर त्याचे वेक्टर विचारात घेतलेल्या विभागाला घड्याळाच्या दिशेने फिरवतात;
- विभागातील झुकणारा क्षण सकारात्मक असतो जर यामुळे वरच्या तंतूंचे कॉम्प्रेशन होते.
तांदूळ. .
ही शक्ती निश्चित करण्यासाठी, आम्ही दोन समतोल समीकरणे वापरतो:
1. ; ; .
2. ;
अशा प्रकारे,
अ) तुळईच्या क्रॉस सेक्शनमधील ट्रान्सव्हर्स फोर्स हे सेक्शनच्या एका बाजूला काम करणाऱ्या सर्व बाह्य फोर्सच्या सेक्शनच्या ट्रान्सव्हर्स अक्षावरील प्रोजेक्शनच्या बीजगणितीय बेरीजच्या संख्यात्मकदृष्ट्या समान आहे;
b) तुळईच्या क्रॉस विभागात वाकणारा क्षण हा दिलेल्या विभागाच्या एका बाजूला कार्य करणार्‍या बाह्य शक्तींच्या क्षणांच्या बीजगणितीय बेरीज (विभागाच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्राशी संबंधित) संख्यात्मकदृष्ट्या समान असतो.
व्यावहारिक गणनांमध्ये, ते सहसा खालील द्वारे मार्गदर्शन केले जातात:
- जर ए बाह्य भारमानल्या गेलेल्या विभागाच्या सापेक्ष बीमला घड्याळाच्या दिशेने फिरवण्याची प्रवृत्ती आहे, (चित्र 6.4, b) नंतर त्याच्या अभिव्यक्तीमध्ये एक सकारात्मक संज्ञा देते.
- जर बाह्य भार विचारात घेतलेल्या विभागाच्या सापेक्ष एक क्षण निर्माण करतो, ज्यामुळे बीमच्या वरच्या तंतूंचे कॉम्प्रेशन होते (चित्र 6.4, अ), तर या विभागातील अभिव्यक्तीमध्ये ते एक सकारात्मक संज्ञा देते.
तांदूळ. .
बीममध्ये आकृत्यांचे बांधकाम.
दुहेरी तुळईचा विचार करा(चित्र 6.5, अ) . एका बिंदूवर एकाेंद्रित क्षणाने, एका बिंदूवर एकाग्र शक्तीने आणि एका विभागात एकसमान वितरित तीव्रतेच्या भाराने बीमवर क्रिया केली जाते.
आम्ही समर्थन प्रतिक्रिया परिभाषित करतो आणि(चित्र 6.5, ब) . परिणामी वितरित लोड समान आहे, आणि त्याची कृतीची ओळ विभागाच्या मध्यभागी जाते. बिंदूंच्या संदर्भात क्षणांची समीकरणे तयार करू.
बिंदू A पासून काही अंतरावर असलेल्या एका विभागात असलेल्या अनियंत्रित विभागात अनुप्रस्थ बल आणि झुकणारा क्षण ठरवू.(चित्र 6.5, c) .
(चित्र 6.5, ड). अंतर () मध्ये बदलू शकते.
ट्रान्सव्हर्स फोर्सचे मूल्य विभागाच्या समन्वयावर अवलंबून नसते, म्हणून, विभागाच्या सर्व विभागांमध्ये, आडवा बल समान असतात आणि आकृती आयतासारखी दिसते. झुकणारा क्षण
झुकणारा क्षण रेखीय बदलतो. प्लॉटच्या सीमांसाठी आकृतीचे निर्देशांक ठरवू.
बिंदूपासून काही अंतरावर असलेल्या एका विभागात असलेल्या अनियंत्रित विभागात अनुप्रस्थ बल आणि झुकण्याचा क्षण ठरवूया.(चित्र 6.5, ई). अंतर () मध्ये बदलू शकते.
अनुप्रस्थ बल रेखीय बदलते. साइटच्या सीमा परिभाषित करा.
झुकणारा क्षण
या विभागातील वाकलेल्या क्षणांची आकृती पॅराबोलिक असेल.
बेंडिंग मोमेंटचे अत्यंत मूल्य निर्धारित करण्यासाठी, आम्ही सेक्शनच्या अॅब्सिसासह झुकण्याच्या क्षणाचे व्युत्पन्न शून्याशी समान करतो:
येथून
समन्वय असलेल्या विभागासाठी, झुकण्याच्या क्षणाचे मूल्य असेल
परिणामी, आम्हाला ट्रान्सव्हर्स फोर्सचे आकृती प्राप्त होते(Fig. 6.5, e) आणि झुकण्याचे क्षण (Fig. 6.5, g).
वाकणे मध्ये भिन्न अवलंबित्व.
(6.11)
(6.12)
(6.13)
हे अवलंबित्व आपल्याला झुकणारे क्षण आणि कातरणे बलांच्या आकृत्यांची काही वैशिष्ट्ये स्थापित करण्यास अनुमती देतात:
एच वितरीत भार नसलेल्या भागात, आकृती आकृतीच्या शून्य रेषेच्या समांतर सरळ रेषांपुरती मर्यादित असते आणि सामान्य प्रकरणातील आकृत्या कलते सरळ रेषा असतात..
एच ज्या भागात तुळईवर एकसमान वितरीत भार लागू केला जातो, आकृती कलते सरळ रेषांनी मर्यादित असते आणि आकृती भाराच्या दिशेच्या विरुद्ध दिशेला तोंड करून चतुर्भुज पॅराबोलासद्वारे मर्यादित असते..
एटी विभाग, जेथे, आकृतीची स्पर्शिका आकृतीच्या शून्य रेषेच्या समांतर आहे.
एच आणि क्षेत्र जेथे, क्षण वाढते; ज्या भागात, क्षण कमी होतो.
एटी तुळईवर केंद्रित बल लागू केलेले विभाग, आकृतीवर लागू केलेल्या बलांच्या विशालतेवर उडी असतील आणि आकृतीवर फ्रॅक्चर होतील.
ज्या विभागात केंद्रित क्षण बीमवर लागू केले जातात, तेथे या क्षणांच्या विशालतेनुसार आकृतीमध्ये उडी मारल्या जातील.
आकृतीचे निर्देशांक आकृतीच्या स्पर्शिकेच्या उताराच्या स्पर्शिकेच्या प्रमाणात आहेत.
वाकणे
वाकण्याबद्दल मूलभूत संकल्पना
जेव्हा बाह्य भार लागू केला जातो तेव्हा बीम लाइन (त्याचा अक्ष) द्वारे सरळपणा किंवा मूळ आकार गमावल्याने वाकणे विकृती दर्शविली जाते. या प्रकरणात, कातरणे विकृतीच्या विरूद्ध, बीम रेषा सहजतेने त्याचे आकार बदलते.
हे पाहणे सोपे आहे की झुकण्याचा प्रतिकार केवळ बीमच्या क्रॉस-सेक्शनल एरिया (बीम, रॉड इ.) द्वारेच नव्हे तर या विभागाच्या भौमितिक आकाराद्वारे देखील प्रभावित होतो.
शरीर (बीम, बार, इ.) कोणत्याही अक्षाच्या सापेक्ष वाकलेले असल्याने, या अक्षाच्या सापेक्ष शरीर विभागाच्या जडत्वाच्या अक्षीय क्षणाच्या विशालतेमुळे झुकणारा प्रतिकार प्रभावित होतो.
तुलना करण्यासाठी, टॉर्शन विकृती दरम्यान, शरीराचा विभाग ध्रुव (बिंदू) च्या सापेक्ष वळणाच्या अधीन असतो, म्हणून, या विभागाच्या जडत्वाचा ध्रुवीय क्षण टॉर्शन प्रतिरोधनावर परिणाम करतो.
अनेक संरचनात्मक घटक वाकण्यावर कार्य करू शकतात - एक्सल, शाफ्ट, बीम, गियर दात, लीव्हर, रॉड इ.
सामग्रीच्या प्रतिकारामध्ये, अनेक प्रकारचे बेंड मानले जातात:
- बीमवर लागू केलेल्या बाह्य भाराच्या स्वरूपावर अवलंबून, ते वेगळे करतात शुद्ध बेंडआणि आडवा वाकणे;
- बीमच्या अक्षाशी संबंधित बेंडिंग लोडच्या क्रियेच्या प्लेनच्या स्थानावर अवलंबून - सरळ वाकणेआणि तिरकस वाकणे.
शुद्ध आणि ट्रान्सव्हर्स बीम वाकणे
शुद्ध बेंड हा एक प्रकारचा विकृती आहे ज्यामध्ये बीमच्या कोणत्याही क्रॉस विभागात फक्त वाकणारा क्षण येतो ( तांदूळ 2).
शुद्ध वाकण्याचे विकृत रूप, उदाहरणार्थ, अक्षातून जाणार्‍या विमानातील एका सरळ तुळईवर आकारमानात समान आणि चिन्हाच्या विरुद्ध असलेल्या बलांच्या दोन जोड्या लागू केल्या गेल्यास घडेल. मग फक्त झुकणारे क्षण बीमच्या प्रत्येक विभागात कार्य करतील.
बारवर ट्रान्सव्हर्स फोर्स लावल्यामुळे बेंड घडल्यास ( तांदूळ 3), तर अशा बेंडला ट्रान्सव्हर्स म्हणतात. या प्रकरणात, ट्रान्सव्हर्स फोर्स आणि बेंडिंग मोमेंट दोन्ही बीमच्या प्रत्येक विभागात कार्य करतात (ज्या भागावर बाह्य भार लागू केला जातो तो विभाग वगळता).
जर बीममध्ये सममितीचा किमान एक अक्ष असेल आणि भारांच्या क्रियेचे विमान त्याच्याशी जुळत असेल तर थेट वाकणे होते, जर ही स्थिती पूर्ण झाली नाही तर तिरकस वाकणे होते.
वाकण्याच्या विकृतीचा अभ्यास करताना, आपण मानसिकदृष्ट्या कल्पना करू की बीम (बीम) मध्ये अक्षाच्या समांतर असंख्य रेखांशाचा तंतू असतात.
विकृतीची कल्पना करणे सरळ वाकणे, आम्ही रबर बारसह एक प्रयोग करू, ज्यावर अनुदैर्ध्य आणि आडवा रेषांचा ग्रिड लागू केला जातो. 
अशा बारला थेट बेंडच्या अधीन केल्यास, एखाद्याच्या लक्षात येईल की ( तांदूळ एक):
विकृत झाल्यावर आडवा रेषा सरळ राहतील, परंतु एकमेकांच्या कोनात वळतील;
- तुळईचे विभाग अवतल बाजूने आडवा दिशेने विस्तृत होतील आणि बहिर्वक्र बाजूने अरुंद होतील;
- रेखांशाच्या सरळ रेषा वक्र असतील.
या अनुभवावरून असा निष्कर्ष काढता येतो की:
शुद्ध बेंडिंगसाठी, सपाट विभागांचे गृहितक वैध आहे;
- उत्तल बाजूला पडलेले तंतू ताणलेले आहेत, अवतल बाजूला ते संकुचित आहेत आणि त्यांच्या दरम्यानच्या सीमेवर तंतूंचा एक तटस्थ थर आहे जो त्यांची लांबी न बदलता फक्त वाकतो.
तंतूंचा दाब नसल्याची गृहीतकता योग्य असल्याचे गृहीत धरून, असा युक्तिवाद केला जाऊ शकतो की तुळईच्या क्रॉस विभागात शुद्ध वाकल्याने, केवळ सामान्य तन्य आणि संकुचित ताण उद्भवतात, जे विभागावर असमानपणे वितरीत केले जातात.
क्रॉस सेक्शनच्या प्लेनसह तटस्थ लेयरच्या छेदनबिंदूची ओळ म्हणतात तटस्थ अक्ष. हे स्पष्ट आहे की तटस्थ अक्षावरील सामान्य ताण शून्याच्या समान आहेत.
झुकणारा क्षण आणि कातरणे बल
सैद्धांतिक यांत्रिकीवरून ओळखल्याप्रमाणे, बीमच्या समर्थन प्रतिक्रिया संपूर्ण बीमसाठी स्थिर समतोल समीकरणे संकलित करून आणि सोडवून निर्धारित केल्या जातात. सामग्रीच्या प्रतिरोधकतेच्या समस्यांचे निराकरण करताना आणि बारमधील अंतर्गत शक्तीचे घटक निश्चित करताना, आम्ही पट्ट्यांवर कार्य करणार्‍या बाह्य भारांसह बंधांच्या प्रतिक्रिया विचारात घेतल्या.
अंतर्गत बल घटक निर्धारित करण्यासाठी, आम्ही विभाग पद्धत वापरतो आणि आम्ही फक्त एका ओळीने बीमचे चित्रण करू - अक्ष ज्यावर सक्रिय आणि प्रतिक्रियाशील शक्ती लागू केल्या जातात (बंधांचे भार आणि प्रतिक्रिया).
दोन प्रकरणांचा विचार करा:
1. तुळईवर दोन समान आणि विरुद्ध शक्तींच्या जोड्या लागू केल्या जातात.
विभाग 1-1 च्या डावीकडे किंवा उजवीकडे स्थित असलेल्या बीमच्या भागाचा समतोल लक्षात घेऊन (चित्र 2), आम्ही पाहतो की सर्व क्रॉस विभागात फक्त एक वाकणारा क्षण M आहे आणि बाह्य क्षणाच्या समान आहे. अशा प्रकारे, हे शुद्ध झुकण्याचे प्रकरण आहे.
झुकणारा क्षण हा तुळईच्या क्रॉस विभागात कार्य करणार्‍या अंतर्गत सामान्य शक्तींच्या तटस्थ अक्षांबद्दल परिणामी क्षण आहे.
लक्षात घ्या की झुकणारा क्षण आहे भिन्न दिशाबीमच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंसाठी. हे झुकण्याच्या क्षणाचे चिन्ह निश्चित करण्यासाठी स्थिरतेच्या चिन्हांच्या नियमाची अनुपयुक्तता दर्शवते.
2. अक्षावर लंब असलेल्या सक्रिय आणि प्रतिक्रियाशील शक्ती (बंधांचे भार आणि प्रतिक्रिया) बीमवर लागू होतात (तांदूळ 3). डाव्या आणि उजव्या बाजूस असलेल्या बीम भागांचा समतोल लक्षात घेता, आपण पाहतो की वाकणारा क्षण M ने क्रॉस विभागात कार्य केले पाहिजे. आणि
आणि कातरणे बल प्र.
यावरून असे दिसून येते की विचाराधीन प्रकरणात, केवळ झुकण्याच्या क्षणाशी संबंधित सामान्य ताणच नाही तर क्रॉस सेक्शनच्या बिंदूंवर ट्रान्सव्हर्स फोर्स अॅक्टशी संबंधित स्पर्शिक ताण देखील आहेत.
ट्रान्सव्हर्स फोर्स बीमच्या क्रॉस सेक्शनमधील अंतर्गत स्पर्शिक शक्तींचा परिणाम आहे.
बीमच्या डाव्या आणि उजव्या भागांसाठी शिअर फोर्सची विरुद्ध दिशा असते याकडे आपण लक्ष देऊ या, जे कातरणे बलाचे चिन्ह निश्चित करताना स्थिर चिन्हांच्या नियमाची अनुपयुक्तता दर्शवते.
वाकणे, ज्यामध्ये झुकणारा क्षण आणि तुळईच्या क्रॉस विभागात ट्रान्सव्हर्स फोर्स कार्य करतात, त्याला ट्रान्सव्हर्स म्हणतात.
बलांच्या सपाट प्रणालीच्या कृतीसह समतोल असलेल्या बीमसाठी, कोणत्याही बिंदूशी संबंधित सर्व सक्रिय आणि प्रतिक्रियाशील शक्तींच्या क्षणांची बीजगणितीय बेरीज शून्य असते; म्हणून, विभागाच्या डावीकडील बीमवर कार्य करणार्‍या बाह्य शक्तींच्या क्षणांची बेरीज संख्यात्मकदृष्ट्या विभागाच्या उजवीकडे बीमवर कार्य करणार्‍या सर्व बाह्य शक्तींच्या क्षणांच्या बेरजेइतकी असते.
अशा प्रकारे, तुळई विभागातील वाकणारा क्षण हा तुळईवर उजवीकडे किंवा डावीकडे क्रिया करणार्‍या सर्व बाह्य शक्तींच्या विभागाच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्राविषयीच्या क्षणांच्या बीजगणितीय बेरजेइतका असतो..
अक्षाला लंब असलेल्या बलांच्या समतल प्रणालीच्या (म्हणजे समांतर शक्तींची प्रणाली) क्रिया अंतर्गत समतोल असलेल्या बीमसाठी, सर्व बाह्य शक्तींची बीजगणितीय बेरीज शून्य असते; म्हणून, विभागाच्या डावीकडील बीमवर कार्य करणार्‍या बाह्य शक्तींची बेरीज ही विभागाच्या उजवीकडे असलेल्या बीमवर कार्य करणार्‍या बलांच्या बीजगणितीय बेरीजच्या संख्यात्मकदृष्ट्या समान आहे.
अशा प्रकारे, तुळई विभागातील आडवा बल हे विभागाच्या उजवीकडे किंवा डावीकडे कार्य करणार्‍या सर्व बाह्य बलांच्या बीजगणितीय बेरजेइतके असते..
बेंडिंग मोमेंट आणि ट्रान्सव्हर्स फोर्सची चिन्हे स्थापित करण्यासाठी स्टॅटिक्सच्या चिन्हांचे नियम अस्वीकार्य असल्याने, आम्ही त्यांच्यासाठी चिन्हांचे इतर नियम स्थापित करू, म्हणजे: बीम उत्तल वरच्या दिशेने, नंतर विभागातील झुकणारा क्षण नकारात्मक मानला जातो ( आकृती 4a).
जर बाहेरील शक्तींचा बेरीज पडला असेल डावी बाजूविभागातून, परिणामी वरच्या दिशेने निर्देशित केले जाते, नंतर विभागातील अनुप्रस्थ बल सकारात्मक मानले जाते, जर परिणामी खालच्या दिशेने निर्देशित केले असेल, तर विभागातील अनुप्रस्थ बल नकारात्मक मानले जाते; विभागाच्या उजवीकडे असलेल्या बीमच्या भागासाठी, ट्रान्सव्हर्स फोर्सची चिन्हे विरुद्ध असतील ( तांदूळ 4ब). या नियमांचा वापर करून, एखाद्याने मानसिकदृष्ट्या बीमचा भाग कठोरपणे क्लॅम्प केलेला आहे आणि जोडणी टाकून दिली आहे आणि प्रतिक्रियांनी बदलली आहे अशी कल्पना केली पाहिजे.
पुन्हा एकदा, आम्ही लक्षात घेतो की बाँड्सच्या प्रतिक्रिया निश्चित करण्यासाठी, स्टॅटिक्सच्या चिन्हांचे नियम वापरले जातात आणि झुकण्याच्या क्षणाची चिन्हे आणि ट्रान्सव्हर्स फोर्स निश्चित करण्यासाठी, सामग्रीच्या प्रतिकाराच्या चिन्हांचे नियम वापरले जातात.
वाकलेल्या क्षणांच्या संकेतांच्या नियमाला कधीकधी "पाऊस नियम" असे म्हटले जाते, याचा अर्थ असा की खाली फुगवटा झाल्यास, एक फनेल तयार होतो ज्यामध्ये पावसाचे पाणी टिकून राहते (चिन्ह सकारात्मक असते), आणि उलट - जर खाली असेल तर भारांच्या क्रियेने तुळई एका कमानीमध्ये वरच्या दिशेने वाकते, त्यावरील पाणी उशीर करत नाही (वाकण्याच्या क्षणांचे चिन्ह नकारात्मक आहे).
"वाकणे" विभागाची सामग्री:
kN/m तीव्रतेच्या वितरीत भाराने लोड केलेल्या कॅन्टिलिव्हर बीमसाठी आणि एकाग्र क्षण kN m (Fig. 3.12) साठी, हे आवश्यक आहे: कातरणे आणि वाकलेल्या क्षणांचे आकृती तयार करण्यासाठी, परवानगीयोग्य ठिकाणी वर्तुळाकार क्रॉस सेक्शनचा बीम निवडा. सामान्य ताण kN/cm2 आणि अनुज्ञेय कातरणे ताण kN/cm2 वर कातरणे ताणानुसार बीमची ताकद तपासा. बीम परिमाणे मी; मी; मी
डायरेक्ट ट्रान्सव्हर्स बेंडिंगच्या समस्येसाठी डिझाइन योजना
तांदूळ. ३.१२
"डायरेक्ट ट्रान्सव्हर्स बेंडिंग" ची समस्या सोडवणे
समर्थन प्रतिक्रियांचे निर्धारण
एम्बेडमेंटमधील क्षैतिज प्रतिक्रिया शून्य आहे, कारण z-अक्षाच्या दिशेने बाह्य भार बीमवर कार्य करत नाहीत.
आम्ही एम्बेडमेंटमध्ये उद्भवणार्या उर्वरित प्रतिक्रियात्मक शक्तींचे दिशानिर्देश निवडतो: चला अनुलंब प्रतिक्रिया निर्देशित करू, उदाहरणार्थ, खाली, आणि क्षण - घड्याळाच्या दिशेने. त्यांची मूल्ये स्टॅटिक्सच्या समीकरणांवरून निर्धारित केली जातात:
ही समीकरणे संकलित करताना, घड्याळाच्या उलट दिशेने फिरताना आपण क्षण सकारात्मक मानतो आणि बलाचा प्रक्षेपण सकारात्मक असेल तर त्याची दिशा y अक्षाच्या सकारात्मक दिशेशी जुळते.
पहिल्या समीकरणातून आपल्याला समाप्तीचा क्षण सापडतो:
दुसऱ्या समीकरणातून - अनुलंब प्रतिक्रिया:
आम्हाला मिळाले सकारात्मक मूल्येटर्मिनेशनमधील क्षण आणि उभ्या प्रतिक्रिया सूचित करतात की आम्ही त्यांच्या दिशानिर्देशांचा अंदाज लावला आहे.
तुळईच्या फास्टनिंग आणि लोडिंगच्या स्वरूपानुसार, आम्ही त्याची लांबी दोन भागात विभागतो. या प्रत्येक विभागाच्या सीमारेषेसोबत, आम्ही चार क्रॉस सेक्शन्सची रूपरेषा काढतो (चित्र 3.12 पहा), ज्यामध्ये आम्ही विभागांच्या पद्धती (ROZU) द्वारे कातरणे आणि झुकण्याच्या क्षणांची मूल्ये मोजू.
विभाग 1. बीमची उजवी बाजू मानसिकरित्या टाकून देऊ. त्याची क्रिया उर्वरित डाव्या बाजूला कटिंग फोर्स आणि झुकण्याच्या क्षणाने बदलूया. त्यांच्या मूल्यांची गणना करण्याच्या सोयीसाठी, आम्ही आमच्याद्वारे टाकून दिलेल्या बीमची उजवी बाजू कागदाच्या तुकड्याने बंद करतो, पत्रकाच्या डाव्या काठाला विचाराधीन विभागासह संरेखित करतो.
लक्षात ठेवा की कोणत्याही क्रॉस विभागात उद्भवणाऱ्या कातरणे बलाने आपण विचार करत असलेल्या (म्हणजे दृश्यमान) बीमच्या भागावर कार्य करणाऱ्या सर्व बाह्य शक्ती (सक्रिय आणि प्रतिक्रियाशील) समतोल राखणे आवश्यक आहे. म्हणून, कातरणे बल हे आपण पाहत असलेल्या सर्व बलांच्या बीजगणितीय बेरजेइतकेच असले पाहिजे.
आपण कातरण्याच्या शक्तीसाठी संकेतांचा नियम देखील देऊ या: बाह्य शक्ती बीमच्या मानल्या जाणार्‍या भागावर कार्य करते आणि घड्याळाच्या दिशेने असलेल्या भागाच्या सापेक्ष या भागाला "फिरवण्यास" प्रवृत्त करते, ज्यामुळे विभागात सकारात्मक कातरणे बल निर्माण होते. अशा बाह्य बलाचा बीजगणितीय योगामध्ये अधिक चिन्ह असलेल्या व्याख्येसाठी समावेश केला जातो.
आमच्या बाबतीत, आम्ही फक्त समर्थनाची प्रतिक्रिया पाहतो, जी बीमचा दृश्यमान भाग पहिल्या विभागाच्या (कागदाच्या तुकड्याच्या काठाशी संबंधित) घड्याळाच्या उलट दिशेने फिरवते. म्हणून
kN
कोणत्याही विभागातील वाकण्याच्या क्षणाने बाह्य शक्तींनी तयार केलेल्या क्षणाचा समतोल राखला पाहिजे जो आपण विचाराधीन विभागाच्या संदर्भात पाहतो. म्हणून, विचाराधीन विभागाच्या सापेक्ष (दुसर्‍या शब्दात, कागदाच्या तुकड्याच्या काठाशी सापेक्ष) आम्ही विचार करत असलेल्या बीमच्या भागावर कार्य करणार्‍या सर्व प्रयत्नांच्या क्षणांच्या बीजगणितीय बेरजेइतकी आहे. या प्रकरणात, बहिर्गोलतेसह बीमचा मानला जाणारा भाग खाली वाकलेला बाह्य भार या विभागात सकारात्मक झुकणारा क्षण निर्माण करतो. आणि अशा लोडद्वारे तयार केलेला क्षण अधिक चिन्हासह व्याख्येसाठी बीजगणितीय बेरीजमध्ये समाविष्ट केला जातो.
आम्ही दोन प्रयत्न पाहतो: प्रतिक्रिया आणि समाप्तीचा क्षण. तथापि, कलम 1 च्या संदर्भात शक्तीचा हात शून्य आहे. म्हणून
kN m
आम्ही अधिक चिन्ह घेतले कारण प्रतिक्रियात्मक क्षण बीमच्या दृश्यमान भागाला उत्तलतेसह खाली वाकवतो.
विभाग 2. पूर्वीप्रमाणे, आम्ही तुळईच्या संपूर्ण उजव्या बाजूला कागदाच्या तुकड्याने झाकून टाकू. आता, पहिल्या विभागाच्या विपरीत, बलाला खांदा आहे: m. म्हणून
kN; kN m
विभाग 3. बीमच्या उजव्या बाजूला बंद करणे, आम्हाला आढळते
kN;
विभाग 4. बीमच्या डाव्या बाजूला पानासह बंद करूया. मग
kN m
kN m
.
सापडलेल्या मूल्यांच्या आधारे, आम्ही कातरणे बल (चित्र 3.12, b) आणि झुकण्याचे क्षण (चित्र 3.12, c) तयार करतो.
अनलोड केलेल्या विभागांतर्गत, शिअर फोर्सचा आकृती तुळईच्या अक्षाच्या समांतर चालतो, आणि वितरित लोड q अंतर्गत, वरच्या दिशेने झुकलेल्या सरळ रेषेसह. आकृतीवरील समर्थन प्रतिक्रियेखाली या प्रतिक्रियेच्या मूल्याने, म्हणजे 40 kN ने खाली उडी मारली जाते.
झुकण्याच्या क्षणांच्या आकृतीवर, आम्ही समर्थन प्रतिक्रियेखाली ब्रेक पाहतो. फ्रॅक्चर कोन समर्थनाच्या प्रतिक्रियेकडे निर्देशित केला जातो. वितरित लोड q अंतर्गत, आकृती चतुर्भुज पॅराबोलासह बदलते, ज्याचा बहिर्वक्र भाराकडे निर्देशित केला जातो. आकृतीवरील विभाग 6 मध्ये एक टोक आहे, कारण या ठिकाणी कातरणे शक्तीचा आकृती येथे शून्य मूल्यातून जातो.
बीमच्या क्रॉस सेक्शनचा आवश्यक व्यास निश्चित करा
सामान्य तणावासाठी सामर्थ्य स्थितीचे स्वरूप आहे:
,
वाकताना बीमच्या प्रतिकाराचा क्षण कोठे आहे. गोलाकार क्रॉस सेक्शनच्या तुळईसाठी, ते समान आहे:
.
सर्वात मोठ्या निरपेक्ष मूल्यासह झुकणारा क्षण बीमच्या तिसऱ्या विभागात येतो: 
kN सेमी
मग आवश्यक बीम व्यास सूत्राद्वारे निर्धारित केला जातो
सेमी.
आम्ही मिमी स्वीकारतो. मग
kN/cm2 kN/cm2.
"ओव्हरव्होल्टेज" आहे
,
काय परवानगी आहे.
आम्ही सर्वोच्च स्पर्शिक ताणांसाठी बीमची ताकद तपासतो
बीमच्या क्रॉस विभागात उद्भवणारे सर्वात मोठे कातरणे गोल विभाग, सूत्रानुसार गणना केली जाते
,
क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र कोठे आहे.
प्लॉटनुसार, कातरणे बलाचे सर्वात मोठे बीजगणित मूल्य समान आहे 
kN मग
kN/cm2 kN/cm2,
म्हणजेच, सामर्थ्य आणि कातरणे तणावाची स्थिती पूर्ण केली जाते, शिवाय, मोठ्या फरकाने.
समस्येचे निराकरण करण्याचे उदाहरण "डायरेक्ट ट्रान्सव्हर्स बेंडिंग" क्रमांक 2
डायरेक्ट ट्रान्सव्हर्स बेंडिंगसाठी समस्या उदाहरणाची स्थिती
kN/m तीव्रतेच्या वितरित लोडसह लोड केलेल्या हिंग्ड बीमसाठी, एक केंद्रित बल kN आणि एक केंद्रित क्षण kN m (चित्र 3.13), त्याला कातरणे बल आणि झुकणारा क्षण रेखाचित्रे प्लॉट करणे आणि आय-बीम क्रॉस सेक्शन निवडणे आवश्यक आहे. स्वीकार्य सामान्य ताण kN/cm2 आणि अनुज्ञेय कातरणे ताण kN/cm2 सह. बीम स्पॅन मी.
सरळ बेंडसाठी कार्याचे उदाहरण - एक डिझाइन योजना
 |
तांदूळ. ३.१३
सरळ बेंड समस्येच्या उदाहरणाचे निराकरण
समर्थन प्रतिक्रियांचे निर्धारण
दिलेल्या पिव्होटली समर्थित बीमसाठी, तीन समर्थन प्रतिक्रिया शोधणे आवश्यक आहे: , आणि . केवळ उभ्या भार त्याच्या अक्षाला लंब असलेल्या तुळईवर कार्य करत असल्याने, स्थिर हिंग्ड सपोर्ट A ची क्षैतिज प्रतिक्रिया शून्याच्या बरोबरीची आहे: .
अनुलंब प्रतिक्रियांचे दिशानिर्देश आणि अनियंत्रितपणे निवडले जातात. चला, उदाहरणार्थ, दोन्ही उभ्या प्रतिक्रिया वरच्या दिशेने निर्देशित करू. त्यांच्या मूल्यांची गणना करण्यासाठी, आम्ही स्टॅटिक्सची दोन समीकरणे तयार करतो:
लक्षात ठेवा की परिणामी रेखीय भार, लांबी l च्या एका भागावर समान रीतीने वितरीत केला जातो, तो समान असतो, म्हणजे, या भाराच्या आकृतीच्या क्षेत्रफळाइतका असतो आणि तो या आकृतीच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रस्थानी लागू केला जातो, म्हणजे, लांबीच्या मध्यभागी.
;
kN
आम्ही तपासतो: .
लक्षात ठेवा की ज्या बलांची दिशा y-अक्षाच्या सकारात्मक दिशेशी जुळते ते अधिक चिन्हासह या अक्षावर प्रक्षेपित (प्रक्षेपित) केले जातात:
ते अचुक आहे.
आम्ही कातरणे शक्ती आणि वाकणे क्षणांचे आकृती तयार करतो
आम्ही तुळईची लांबी वेगळ्या विभागात मोडतो. या विभागांच्या सीमा एकाग्र शक्ती (सक्रिय आणि/किंवा प्रतिक्रियाशील) लागू करण्याचे बिंदू आहेत, तसेच वितरित लोडच्या सुरूवातीस आणि समाप्तीशी संबंधित बिंदू आहेत. आमच्या समस्येत अशी तीन क्षेत्रे आहेत. या विभागांच्या सीमारेषेसह, आम्ही सहा क्रॉस सेक्शन्सची रूपरेषा काढतो, ज्यामध्ये आम्ही कातरणे आणि झुकण्याच्या क्षणांची मूल्ये मोजू (चित्र 3.13, अ).
विभाग 1. बीमची उजवी बाजू मानसिकरित्या टाकून देऊ. या विभागात उद्भवणारे कातरणे आणि झुकण्याच्या क्षणाची गणना करण्याच्या सोयीसाठी, आम्ही कागदाच्या तुकड्याने आमच्याद्वारे टाकून दिलेला तुळईचा भाग बंद करतो, कागदाच्या तुकड्याच्या डाव्या काठाला विभागाशी संरेखित करतो.
बीम विभागातील शिअरिंग फोर्स हे आपण पाहत असलेल्या सर्व बाह्य शक्तींच्या (सक्रिय आणि प्रतिक्रियाशील) बीजगणितीय बेरजेइतके असते. या प्रकरणात, आम्ही समर्थन आणि रेखीय लोड q ची प्रतिक्रिया पाहतो, जे अमर्यादपणे लहान लांबीवर वितरीत केले जाते. परिणामी रेखीय भार शून्य आहे. म्हणून
kN
प्लसचे चिन्ह घेतले जाते कारण बल पहिल्या विभागाच्या (कागदाच्या तुकड्याच्या काठावर) तुळईच्या दृश्यमान भागाला घड्याळाच्या दिशेने फिरवते.
तुळईच्या विभागातील वाकणारा क्षण विचाराधीन विभागाच्या सापेक्ष (म्हणजे कागदाच्या तुकड्याच्या काठाशी सापेक्ष) आपण पाहत असलेल्या सर्व शक्तींच्या क्षणांच्या बीजगणितीय बेरजेइतका असतो. आम्ही समर्थन आणि रेखीय लोड q ची प्रतिक्रिया पाहतो, जे अमर्यादपणे लहान लांबीवर वितरीत केले जाते. तथापि, शक्तीचा लाभ शून्य आहे. परिणामी रेखीय भार देखील शून्य समान आहे. म्हणून
विभाग 2. पूर्वीप्रमाणे, आम्ही तुळईच्या संपूर्ण उजव्या बाजूला कागदाच्या तुकड्याने झाकून टाकू. आता आपण प्रतिक्रिया आणि भार q लांबीच्या भागावर कार्य करताना पाहतो. परिणामी रेखीय भार समान आहे. च्या लांबीसह विभागाच्या मध्यभागी जोडलेले आहे. म्हणून
लक्षात ठेवा की झुकण्याच्या क्षणाचे चिन्ह निश्चित करताना, आम्ही सर्व वास्तविक समर्थन फास्टनिंग्जमधून दिसणारा तुळईचा भाग मानसिकरित्या सोडतो आणि विचाराधीन विभागात चिमटा घेतल्यासारखी कल्पना करतो (म्हणजेच, तुकड्याच्या डाव्या काठावर. कागद मानसिकदृष्ट्या आमच्याद्वारे कठोर सील म्हणून दर्शविला जातो).
विभाग 3. चला उजवा भाग बंद करूया. मिळवा
विभाग 4. आम्ही बीमच्या उजव्या बाजूला पानासह बंद करतो. मग
आता, गणनेची शुद्धता नियंत्रित करण्यासाठी, तुळईच्या डाव्या बाजूला कागदाच्या तुकड्याने झाकून टाकू. आपण एकाग्र बल P, उजव्या आधाराची प्रतिक्रिया आणि रेखीय भार q, अनंत लहान लांबीवर वितरीत केलेले पाहतो. परिणामी रेखीय भार शून्य आहे. म्हणून
kN m
म्हणजेच, सर्वकाही योग्य आहे.
विभाग 5. तरीही बीमच्या डाव्या बाजूला बंद करा. आहे
kN;
kN m
विभाग 6. बीमच्या डाव्या बाजूला पुन्हा बंद करूया. मिळवा
kN;
सापडलेल्या मूल्यांच्या आधारे, आम्ही कातरणे बल (चित्र 3.13, b) आणि झुकण्याचे क्षण (चित्र 3.13, c) तयार करतो.
आम्हाला खात्री आहे की अनलोड केलेल्या विभागाखाली कातरणे बल आकृती तुळईच्या अक्षाच्या समांतर चालते आणि वितरित लोड q अंतर्गत - खाली उतार असलेल्या सरळ रेषेत. आकृतीवर तीन उडी आहेत: प्रतिक्रियेखाली - 37.5 kN ने वर, प्रतिक्रियेखाली - 132.5 kN ने वर आणि P फोर्स अंतर्गत - 50 kN ने खाली.
झुकण्याच्या क्षणांच्या आकृतीवर, आम्ही एकाग्र बल P अंतर्गत आणि समर्थन प्रतिक्रियांच्या खाली ब्रेक पाहतो. फ्रॅक्चर कोन या शक्तींकडे निर्देशित केले जातात. q तीव्रतेच्या वितरित लोड अंतर्गत, आकृती चतुर्भुज पॅराबोलासह बदलते, ज्याचा बहिर्वक्रता भाराकडे निर्देशित केला जातो. एकाग्र केलेल्या क्षणाखाली 60 kN m ची उडी असते, म्हणजेच त्या क्षणाच्या विशालतेनुसार. आकृतीवरील विभाग 7 मध्ये एक टोक आहे, कारण या विभागासाठी कातरणे शक्तीचा आकृती शून्य मूल्य () मधून जातो. विभाग 7 पासून डाव्या समर्थनापर्यंतचे अंतर निश्चित करूया.
रॉडच्या क्रॉस विभागात थेट शुद्ध बेंडिंगसह, फक्त एक बल घटक असतो - झुकणारा क्षण एम एक्स(आकृती क्रं 1). कारण Q y \u003d dM x / dz \u003d 0,नंतर Mx=const आणि शुद्ध डायरेक्ट बेंडिंग लक्षात येऊ शकते जेव्हा बारच्या शेवटच्या भागात लागू केलेल्या फोर्सच्या जोडीने बार लोड केला जातो. झुकण्याच्या क्षणापासून एम एक्सव्याख्येनुसार अक्षाबद्दलच्या अंतर्गत शक्तींच्या क्षणांच्या बेरजेइतके आहे ओहया व्याख्येतून पुढे येणाऱ्या स्टॅटिक्सच्या समीकरणाने ते सामान्य ताणांशी जोडलेले आहे
प्रिझमॅटिक रॉडच्या शुद्ध थेट वाकण्याच्या सिद्धांताचा परिसर तयार करूया. हे करण्यासाठी, आम्ही कमी-मॉड्यूलस सामग्रीपासून बनवलेल्या रॉडच्या मॉडेलच्या विकृतीचे विश्लेषण करतो, ज्याच्या बाजूच्या पृष्ठभागावर रेखांशाचा आणि आडवा स्क्रॅचचा ग्रिड लागू केला जातो (चित्र 2). आडवा जोखीम, जेव्हा रॉड शेवटच्या विभागात लागू केलेल्या बलांच्या जोडीने वाकलेला असतो, वक्र अनुदैर्ध्य जोखमींना सरळ आणि लंबवत राहतो, यामुळे आम्हाला असा निष्कर्ष काढता येतो की विमान विभाग गृहीतके,जे, लवचिकता सिद्धांताच्या पद्धतींद्वारे या समस्येचे निराकरण दर्शविते म्हणून, एक गृहितक बनणे बंद होते, अचूक तथ्य विमान विभागांचा कायदा.रेखांशाच्या जोखमींमधील अंतरांमधील बदलाचे मोजमाप करून, आम्ही अनुदैर्ध्य तंतूंच्या गैर-दबावांच्या गृहीतकेच्या वैधतेबद्दल निष्कर्षापर्यंत पोहोचतो.
विकृतीच्या आधी आणि नंतर अनुदैर्ध्य आणि आडवा स्क्रॅचची ऑर्थोगोनॅलिटी (सपाट विभागांच्या कायद्याच्या क्रियेचे प्रतिबिंब म्हणून) रॉडच्या आडवा आणि अनुदैर्ध्य विभागांमध्ये शिफ्ट्स, शिअर स्ट्रेसची अनुपस्थिती देखील सूचित करते.
आकृती क्रं 1.अंतर्गत प्रयत्न आणि तणाव यांच्यातील संबंध 
अंजीर.2.शुद्ध बेंडिंग मॉडेल
अशाप्रकारे, प्रिझमॅटिक रॉडचे शुद्ध थेट वाकणे एकअक्षीय ताण किंवा ताणांद्वारे अनुदैर्ध्य तंतूंच्या कॉम्प्रेशनमध्ये कमी होते (इंडेक्स जीनंतर वगळले). या प्रकरणात, तंतूंचा काही भाग तणाव झोनमध्ये आहे (चित्र 2 मध्ये, हे खालचे तंतू आहेत), आणि दुसरा भाग कॉम्प्रेशन झोन (वरच्या तंतू) मध्ये आहे. हे झोन तटस्थ थराने वेगळे केले जातात (p-p),त्याची लांबी बदलत नाही, ज्याचे ताण शून्यासारखे असतात. वर तयार केलेल्या पूर्वतयारी लक्षात घेऊन आणि रॉडची सामग्री रेखीय लवचिक आहे असे गृहीत धरून, म्हणजे या प्रकरणात हुकच्या कायद्याचे स्वरूप आहे: , आम्ही तटस्थ स्तराची वक्रता (-वक्रतेची त्रिज्या) आणि सामान्य ताणांसाठी सूत्रे काढतो. आम्ही प्रथम लक्षात घेतो की प्रिझमॅटिक रॉडच्या क्रॉस सेक्शनची स्थिरता आणि झुकण्याचा क्षण (M x = const),रॉडच्या लांबीच्या बाजूने तटस्थ थराच्या वक्रतेच्या त्रिज्येची स्थिरता सुनिश्चित करते (चित्र 3, a), तटस्थ थर (n—n)वर्तुळाच्या कमानीने वर्णन केले आहे.
थेट शुद्ध वाकण्याच्या स्थितीत प्रिझमॅटिक रॉडचा विचार करा (चित्र 3, अ) उभ्या अक्षांबद्दल सममितीय क्रॉस सेक्शनसह OU.ही स्थिती अंतिम परिणामावर परिणाम करणार नाही (सरळ वाकणे शक्य होण्यासाठी, अक्षाचा योगायोग सह अरेक्रॉस सेक्शनच्या जडत्वाचा मुख्य अक्ष, जो सममितीचा अक्ष आहे). अक्ष बैलतटस्थ थर वर ठेवा, स्थिती ज्याआगाऊ माहित नाही.
a) डिझाइन योजना, b) ताण आणि ताण
अंजीर.3.तुळईच्या शुद्ध बेंडचा तुकडालांबीच्या रॉडमधून कापलेल्या घटकाचा विचार करा dz, जे अंजीर मध्ये स्पष्टतेच्या हितासाठी विकृत प्रमाणांसह स्केलवर दर्शविले आहे. ३, b. घटकाची विकृती, त्याच्या बिंदूंच्या सापेक्ष विस्थापनाद्वारे निर्धारित केली जात असल्याने, घटकाच्या शेवटच्या विभागांपैकी एक निश्चित मानला जाऊ शकतो. लहानपणा लक्षात घेता, आम्ही असे गृहीत धरतो की क्रॉस सेक्शनचे बिंदू, जेव्हा या कोनातून फिरवले जातात तेव्हा ते आर्क्सच्या बाजूने फिरत नाहीत, तर संबंधित स्पर्शिकेच्या बाजूने जातात.
रेखांशाच्या फायबरच्या सापेक्ष विकृतीची गणना करूया एबी,द्वारे तटस्थ थर पासून विभक्त येथे:
त्रिकोणांच्या समानतेपासून C00 1आणि 0 1 BB 1त्याचे अनुसरण करते
रेखांशाचा विरूपण तटस्थ स्तरापासून अंतराचे एक रेखीय कार्य असल्याचे दिसून आले, जे विमान विभागांच्या कायद्याचा थेट परिणाम आहे.
हे सूत्र योग्य नाही व्यावहारिक वापर, कारण त्यात दोन अज्ञात आहेत: तटस्थ थराची वक्रता आणि तटस्थ अक्षाची स्थिती ओह, ज्यामधून समन्वय मोजला जातो yहे अज्ञात निश्चित करण्यासाठी, आम्ही स्टॅटिक्सची समतोल समीकरणे वापरतो. प्रथम अनुदैर्ध्य बल शून्याच्या बरोबरीची आवश्यकता व्यक्त करते
या समीकरणामध्ये अभिव्यक्ती (2) बदलणे
आणि हे लक्षात घेऊन, आम्हाला ते मिळते
या समीकरणाच्या डाव्या बाजूला असलेला अविभाज्य हा तटस्थ अक्षाच्या रॉड क्रॉस सेक्शनचा स्थिर क्षण आहे अरे,जे केवळ मध्य अक्षाच्या सापेक्ष शून्याच्या समान असू शकते. म्हणून, तटस्थ अक्ष ओहक्रॉस सेक्शनच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रातून जातो.
दुसरे स्थिर समतोल समीकरण म्हणजे वाकण्याच्या क्षणाशी सामान्य ताणांशी संबंधित (जे सहजपणे बाह्य शक्तींच्या संदर्भात व्यक्त केले जाऊ शकते आणि म्हणून दिलेले मूल्य मानले जाते). बंडल समीकरणासाठी अभिव्यक्ती बदलत आहे. व्होल्टेज, आम्हाला मिळते:
आणि ते दिले 
कुठे जे एक्सअक्षाबद्दल जडत्वाचा मुख्य मध्यवर्ती क्षण आहे अरे,तटस्थ थराच्या वक्रतेसाठी, आम्हाला सूत्र मिळते
अंजीर.4.सामान्य ताण वितरण
जे प्रथम 1773 मध्ये एस. कुलॉम्ब यांनी मिळवले होते. झुकण्याच्या क्षणाची चिन्हे जुळण्यासाठी एम एक्सआणि सामान्य ताण, वजा चिन्ह सूत्र (5) च्या उजव्या बाजूला ठेवले आहे, पासून M x >0येथे सामान्य ताण y>0 आकुंचनशील असल्याचे दिसून आले. तथापि, व्यावहारिक गणनेमध्ये, चिन्हांच्या औपचारिक नियमाचे पालन न करता, ताण मॉड्यूलो निर्धारित करणे आणि अर्थानुसार चिन्ह ठेवणे अधिक सोयीचे आहे. सामान्य ताणप्रिझमॅटिक रॉडच्या शुद्ध बेंडिंगसाठी निर्देशांकांचे एक रेखीय कार्य आहे येथेआणि पोहोचा सर्वोच्च मूल्येतटस्थ अक्षापासून सर्वात दूर असलेल्या तंतूंमध्ये (चित्र 4), उदा.
येथे एक भौमितिक वैशिष्ट्य सादर केले आहे, ज्याचे परिमाण m 3 आहे आणि त्याला म्हणतात वाकताना प्रतिकाराचा क्षण.दिलेल्या साठी पासून एम एक्सविद्युतदाब कमाल?जितके कमी तितके जास्त प x,प्रतिकाराचा क्षण आहे भौमितिक वैशिष्ट्यक्रॉस-सेक्शनल वाकण्याची ताकद.क्रॉस सेक्शनच्या सर्वात सोप्या फॉर्मसाठी प्रतिकाराच्या क्षणांची गणना करण्याची उदाहरणे देऊ. आयताकृती क्रॉस सेक्शनसाठी (चित्र 5, a) आमच्याकडे आहे J x \u003d bh 3 / 12, y कमाल = h/2आणि W x = J x /y कमाल = bh 2/6.त्याचप्रमाणे वर्तुळासाठी (चित्र 5 ,ए जे एक्स =d4 /64, ymax=d/2) आम्हाला मिळते प x =d3/32, वर्तुळाकार कंकणाकृती विभागासाठी (चित्र 5, मध्ये),कोणता