În această lecție vom trece în revistă principiile de bază ale teoriei și vom rezolva mai multe sarcini complexe pe tema „Paralelismul liniilor și planurilor”.
La începutul lecției, să ne amintim definiția dreptei paralele cu un plan și teorema care indică paralelismul unei drepte și a unui plan. Să ne amintim, de asemenea, definiția planurilor paralele și testul-teoremă pentru paralelismul planurilor. În continuare, să ne reamintim definiția dreptelor oblice și teorema de testare pentru liniile oblice, precum și teorema conform căreia prin oricare dintre liniile oblice poate fi trasat un plan paralel cu o altă dreaptă. Să tragem o concluzie din această teoremă - afirmația că două drepte oblice corespund unei singure perechi de plane paralele.
În continuare vom rezolva câteva probleme mai complexe folosind teoria repetată.
Tema: Paralelismul dreptelor și planurilor
Lecția: Revizuirea teoriei. Rezolvarea unor probleme mai complexe pe tema „Paralelismul dreptelor și planurilor”
În această lecție vom trece în revistă principiile de bază ale teoriei și vom rezolva probleme mai complexe pe această temă „Paralelismul liniilor și planurilor”.
Definiţie. O dreaptă și un plan se numesc paralele dacă nu au puncte comune.
Dacă o dreaptă care nu se află într-un plan dat este paralelă cu o dreaptă care se află în acest plan, atunci este paralelă cu planul dat.
Să fie dată o linie dreaptă Oși plan (Fig. 1). O linie dreaptă se află în plan b, care este paralelă cu linia O. Din paralelismul liniilor OŞi b rezultă că linia este paralelă O si avioane. 
1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general (nivel de bază şi de specialitate) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
Sarcinile 9, 10 p. 23
2. Trei drepte se intersectează în perechi. Poate orice plan să fie paralel cu toate aceste drepte?
3. Prin punctul M se poate trasa o singură dreaptă paralelă cu planele α și β. Aceste planuri sunt paralele?
4. Două trapeze au o linie mediană comună. Planul α trece prin bazele mai mici ale trapezelor, iar planul β trece prin bazele mai mari ale trapezelor. Planele α și β sunt paralele?
5. ABCD- patrulater. Punctul M se află în afara planului său. Punctele de mijloc ale segmentelor se află în același plan? MA, MV, MS, MD?
Pentru două linii în spațiu, sunt posibile patru cazuri:
Liniile drepte coincid;
Liniile sunt paralele (dar nu coincid);
Liniile se intersectează;
Liniile drepte se încrucișează, adică nu au puncte comune și nu sunt paralele.
Să luăm în considerare două moduri de a descrie linii drepte: ecuații canonice și ecuații generale. Fie dreptele L 1 și L 2 date prin ecuații canonice:
L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6,9)
Pentru fiecare linie din ecuațiile sale canonice determinăm imediat punctul de pe ea M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 și coordonatele a vectorilor de direcție s 1 = (l 1; m 1; n 1) pentru L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) pentru L 2.
Dacă liniile coincid sau sunt paralele, atunci vectorii lor de direcție s 1 și s 2 sunt coliniari, ceea ce este echivalent cu egalitatea rapoartelor coordonatelor acestor vectori:
l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2. (6,10)
Dacă liniile coincid, atunci vectorul M 1 M 2 este coliniar cu vectorii de direcție:
(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6,11)
Această dublă egalitate înseamnă, de asemenea, că punctul M2 aparține dreptei L1. În consecință, condiția ca liniile să coincidă este de a satisface egalitățile (6.10) și (6.11) simultan.
Dacă liniile se intersectează sau se intersectează, atunci vectorii lor de direcție sunt necoliniari, adică condiția (6.10) este încălcată. Liniile care se intersectează se află în același plan și, prin urmare, vectori s1, s2 şi M1M2 sunt coplanaredeterminant de ordinul trei, compus din coordonatele lor (vezi 3.2):
Condiția (6.12) este îndeplinită în trei din patru cazuri, deoarece pentru Δ ≠ 0 dreptele nu aparțin aceluiași plan și deci se intersectează.
Să punem împreună toate condițiile:
Poziția relativă a liniilor este caracterizată de numărul de soluții ale sistemului (6.13). Dacă liniile coincid, atunci sistemul are infinite de soluții. Dacă liniile se intersectează, atunci acest sistem are o soluție unică. În cazul paralelei sau încrucișării, nu există soluții directe. Ultimele două cazuri pot fi separate prin găsirea vectorilor de direcție ai liniilor. Pentru a face acest lucru, este suficient să calculați două opera de artă vectorială n 1 × n 2 și n 3 × n 4, unde n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Dacă vectorii rezultați sunt coliniari, atunci liniile date sunt paralele. Altfel, se încrucișează.
Exemplul 6.4.
Vectorul de direcție s 1 al dreptei L 1 se găsește folosind ecuațiile canonice ale acestei drepte: s 1 = (1; 3; -2). Vectorul de direcție s2 al dreptei L2 este calculat folosind produs vectorial vectori normali ai planelor, a căror intersecție este:
Deoarece s 1 = -s 2, atunci liniile sunt paralele sau coincid. Să aflăm care dintre aceste situații este realizată pentru aceste rânduri. Pentru a face acest lucru, înlocuim coordonatele punctului M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 în ecuațiile generale ale dreptei L 2 . Pentru prima dintre ele obținem 1 = 0. În consecință, punctul M 0 nu aparține dreptei L 2 și dreptele luate în considerare sunt paralele.
Unghiul dintre liniile drepte. Unghiul dintre două linii drepte poate fi găsit folosind vectori de direcție Drept Unghiul ascuțit dintre liniile drepte este egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție (Fig. 6.5) sau este suplimentar față de acesta dacă unghiul dintre vectorii de direcție este obtuz. Astfel, dacă pentru liniile L 1 și L 2 vectorii lor de direcție s x și s 2 sunt cunoscuți, atunci unghi ascuțitφ între aceste linii se determină prin produsul scalar:
cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |
De exemplu, să fie s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. Folosind formulele (2.9) și (2.14) pentru a calcula lungimea vectoruluiși produsul scalar în coordonate, obținem
Acest articol este despre linii paralele și linii paralele. În primul rând, este dată definiția dreptelor paralele pe un plan și în spațiu, sunt introduse notații, sunt date exemple și ilustrații grafice ale dreptelor paralele. În continuare, sunt discutate semnele și condițiile pentru paralelismul liniilor. În concluzie, sunt prezentate soluții la probleme tipice de demonstrare a paralelismului dreptelor, care sunt date de anumite ecuații ale unei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan și în spațiu tridimensional.
Navigare în pagină.
Linii paralele - informații de bază.
Definiţie.
Se numesc două drepte dintr-un plan paralel, dacă nu au puncte comune.
Definiţie.
Două linii din spațiul tridimensional sunt numite paralel, dacă se află în același plan și nu au puncte comune.
Vă rugăm să rețineți că clauza „dacă se află în același plan” din definiția dreptelor paralele în spațiu este foarte importantă. Să lămurim acest punct: două drepte din spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralele, ci se intersectează.
Iată câteva exemple de linii paralele. Marginile opuse ale foii de caiet se află pe linii paralele. Liniile drepte de-a lungul cărora planul peretelui casei intersectează planurile tavanului și podelei sunt paralele. Șinele de cale ferată pe teren plan pot fi considerate și linii paralele.
Pentru a indica linii paralele, utilizați simbolul „”. Adică, dacă liniile a și b sunt paralele, atunci putem scrie pe scurt a b.
Vă rugăm să rețineți: dacă liniile a și b sunt paralele, atunci putem spune că linia a este paralelă cu linia b și, de asemenea, că linia b este paralelă cu linia a.
Să rostim o afirmație care joacă un rol important în studiul dreptelor paralele pe un plan: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trece singura dreaptă paralelă cu cea dată. Această afirmație este acceptată ca fapt (nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei) și se numește axioma dreptelor paralele.
Pentru cazul spațiului, teorema este valabilă: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă se dovedește cu ușurință folosind axioma de mai sus a liniilor paralele (demonstrația ei o puteți găsi în manualul de geometrie pentru clasele 10-11, care este enumerat la sfârșitul articolului în lista de referințe).
Pentru cazul spațiului, teorema este valabilă: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă poate fi dovedită cu ușurință folosind axioma liniilor paralele de mai sus.
Paralelismul liniilor - semne și condiții de paralelism.
Un semn de paralelism al liniilor este o condiție suficientă pentru ca liniile să fie paralele, adică o condiție a cărei îndeplinire garantează ca liniile să fie paralele. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a stabili faptul că liniile sunt paralele.
Există și condiții necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor pe un plan și în spațiul tridimensional.
Să explicăm sensul expresiei „condiție necesară și suficientă pentru linii paralele”.
Ne-am ocupat deja de condiția suficientă pentru liniile paralele. Și ce este „ conditie necesara paralelismul liniilor”? Din denumirea „necesar” este clar că îndeplinirea acestei condiții este necesară pentru liniile paralele. Cu alte cuvinte, dacă nu este îndeplinită condiția necesară pentru linii paralele, atunci liniile nu sunt paralele. Astfel, condiție necesară și suficientă pentru linii paralele este o condiție a cărei îndeplinire este atât necesară, cât și suficientă pentru liniile paralele. Adică, pe de o parte, acesta este un semn de paralelism al liniilor și, pe de altă parte, aceasta este o proprietate pe care o au liniile paralele.
Înainte de a formula o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul liniilor, este indicat să amintim mai multe definiții auxiliare.
Linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre două drepte necoincidente date.
Când două drepte se intersectează cu o transversală, se formează opt drepte nedezvoltate. Așa-numitul culcat în cruce, corespunzătorŞi unghiuri unilaterale. Să le arătăm în desen.
Teorema.
Dacă două drepte dintr-un plan sunt intersectate de o transversală, atunci pentru ca ele să fie paralele este necesar și suficient ca unghiurile care se intersectează să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 grade.
Să arătăm o ilustrare grafică a acestei condiții necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor pe un plan.
Poți găsi dovezi ale acestor condiții pentru paralelismul liniilor în manualele de geometrie pentru clasele 7-9.
Rețineți că aceste condiții pot fi utilizate și în spațiul tridimensional - principalul lucru este că cele două linii și secanta se află în același plan.
Iată câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra paralelismul dreptelor.
Teorema.
Dacă două drepte dintr-un plan sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele. Dovada acestui criteriu rezultă din axioma dreptelor paralele.
Există o condiție similară pentru liniile paralele în spațiul tridimensional.
Teorema.
Dacă două linii din spațiu sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele. Dovada acestui criteriu este discutată în lecțiile de geometrie din clasa a X-a.
Să ilustrăm teoremele enunțate.
Să prezentăm o altă teoremă care ne permite să demonstrăm paralelismul dreptelor pe un plan.
Teorema.
Dacă două drepte dintr-un plan sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele.
Există o teoremă similară pentru liniile din spațiu.
Teorema.
Dacă două drepte din spațiul tridimensional sunt perpendiculare pe același plan, atunci ele sunt paralele.
Să desenăm imagini corespunzătoare acestor teoreme.
Toate teoremele, criteriile și condițiile necesare și suficiente formulate mai sus sunt excelente pentru a demonstra paralelismul dreptelor folosind metodele geometriei. Adică, pentru a demonstra paralelismul a două drepte date, trebuie să arătați că acestea sunt paralele cu o a treia dreaptă sau să arătați egalitatea unghiurilor încrucișate etc. Multe probleme similare sunt rezolvate în lecțiile de geometrie în liceu. Cu toate acestea, trebuie remarcat că în multe cazuri este convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor pe un plan sau în spațiul tridimensional. Să formulăm condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor care sunt specificate într-un sistem de coordonate dreptunghiular.
Paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular.
În acest paragraf al articolului vom formula condiţii necesare şi suficiente pentru liniile paraleleîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular, în funcție de tipul de ecuații care definesc aceste linii, și vom oferi și soluții detaliate la problemele caracteristice.
Să începem cu condiția paralelismului a două drepte pe un plan în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy. Dovada lui se bazează pe definiția vectorului de direcție al unei linii și definiția vectorului normal al unei drepte pe un plan.
Teorema.
Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele într-un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorii normali ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorul direcție al unei linii să fie perpendicular pe normal vector al celei de-a doua linii.
Evident, condiția de paralelism a două drepte pe un plan se reduce la (vectori de direcție ai dreptelor sau vectori normali ai liniilor) sau la (vector de direcție a unei linii și vector normal a celei de-a doua drepte). Astfel, dacă și sunt vectori de direcție ai dreptelor a și b, și 
Şi 
sunt vectori normali ai dreptelor a și respectiv b, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor a și b se va scrie ca 
, sau 
, sau , unde t este un număr real. La rândul lor, coordonatele ghidajelor și (sau) vectorilor normali ai liniilor a și b sunt găsite folosind ecuațiile cunoscute ale dreptelor.
În special, dacă linia dreaptă a în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan definește o ecuație generală a dreptei de forma 
, și linia dreaptă b - 
, atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonate și, respectiv, iar condiția pentru paralelismul dreptelor a și b se va scrie ca .
Dacă linia a corespunde ecuației unei linii cu un coeficient unghiular de forma și linia b-, atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonatele și, iar condiția de paralelism a acestor drepte ia forma 
. În consecință, dacă liniile dintr-un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt paralele și pot fi specificate prin ecuații de drepte cu coeficienți unghiulari, atunci coeficienții unghiulari ai dreptelor vor fi egali. Și invers: dacă liniile necoincidente pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular pot fi specificate prin ecuații ale unei linii cu coeficienți unghiulari egali, atunci astfel de linii sunt paralele.
Dacă o dreaptă a și o dreaptă b într-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt determinate de ecuațiile canonice ale unei drepte pe un plan de forma 
Şi 
, sau ecuații parametrice ale unei linii drepte pe un plan al formei 
Şi 
în consecință, vectorii de direcție ai acestor drepte au coordonatele și , iar condiția de paralelism a dreptelor a și b se scrie ca .
Să ne uităm la soluții pentru mai multe exemple.
Exemplu.
Sunt liniile paralele? 
Și?
Soluţie.
Să rescriem ecuația unei linii în segmente sub forma unei ecuații generale a unei linii: 
. Acum putem vedea că este vectorul normal al dreptei , a este vectorul normal al dreptei. Acești vectori nu sunt coliniari, deoarece nu există un număr real t pentru care egalitatea ( 
). În consecință, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe un plan nu este îndeplinită, prin urmare, dreptele date nu sunt paralele.
Răspuns:
Nu, liniile nu sunt paralele.
Exemplu.
Sunt drepte și paralele?
Soluţie.
Să reducem ecuația canonică a unei drepte la ecuația unei drepte cu coeficient unghiular: . Evident, ecuațiile dreptelor și nu sunt aceleași (în acest caz, liniile date ar fi aceleași) și coeficienții unghiulari ai dreptelor sunt egali, prin urmare, liniile originale sunt paralele.
Liniile drepte se află în același plan. dacă 1) se intersectează 2) sunt paralele.
Pentru ca dreptele L 1: și L 2: să aparțină aceluiași plan astfel încât vectorii M 1 M 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) și q 2 =(l2;m2;n2) au fost coplanari. Adică, conform condiției de coplanaritate a trei vectori, produsul mixt M 1 M 2 ·s 1 ·s 2 =Δ==0 (8)
Deoarece condiția de paralelism a două drepte are forma: apoi pentru intersecția dreptelor L 1 și L 2 , astfel încât acestea să îndeplinească condiția (8) și să fie încălcată cel puțin una dintre proporții.
Exemplu. Explorați pozițiile relative ale liniilor:
Vectorul direcție al dreptei L 1 – q 1 =(1;3;-2). Linia L 2 este definită ca intersecția a 2 plane α 1: x-y-z+1=0; a 2: x+y+2z-2=0. Deoarece linia L 2 se află în ambele plane, atunci ea și, prin urmare, vectorul său de direcție, este perpendicular pe normale n 1 Şi n 2 . Prin urmare, vectorul direcție s 2 este produsul încrucișat al vectorilor n 1 Şi n 2 , adică q 2 =n 1 X n 2 ==-i-3j+2k.
Că. s 1 =-s 2 , Aceasta înseamnă că liniile sunt fie paralele, fie coincidente.
Pentru a verifica dacă liniile drepte coincid, înlocuim coordonatele punctului M 0 (1;2;-1)L 1 în ecuațiile generale L 2: 1-2+2+1=0 - egalități incorecte, adică. punctul M 0 L 2,
prin urmare liniile sunt paralele.
Distanța de la un punct la o dreaptă.
Distanța de la punctul M 1 (x 1;y 1;z 1) la dreapta L, dată de ecuația canonică L: poate fi calculată folosind produsul vectorial.
Din ecuația canonică a dreptei rezultă că punctul M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L, și vectorul direcție al dreptei q=(l;m;n)
Să construim un paralelogram folosind vectori qŞi M 0 M 1 . Atunci distanța de la punctul M 1 la dreapta L este egală cu înălțimea h a acestui paralelogram. Deoarece S=| q x M 0 M 1 |=h| q|, atunci
h= 
(9)
Distanța dintre două linii drepte în spațiu.
L 1: și L 2:
1) L 1 L 2 .
d= 
2) L 1 și L 2 – traversare
d= 
Poziția relativă a unei linii drepte și a unui plan în spațiu.
Pentru localizarea unei linii drepte și a unui plan în spațiu, sunt posibile 3 cazuri:
o linie dreaptă și un plan se intersectează într-un punct;
linia dreaptă și planul sunt paralele;
linia dreaptă se află în plan.
Fie ca linia dreaptă să fie dată de ecuația sa canonică, iar planul – de general
α: Ах+Бу+Сz+D=0
Ecuațiile dreptei dau punctul M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L și vectorul direcție q=(l;m;n), iar ecuația plană este un vector normal n=(A;B;C).
1. Intersecția unei drepte și a unui plan.
Dacă o dreaptă și un plan se intersectează, atunci vectorul de direcție al dreptei q nu este paralelă cu planul α și, prin urmare, nu este ortogonală cu vectorul normal al planului n. Aceste. produsul lor punctual nq≠0 sau, prin coordonatele lor,
Am+Bn+Cp≠0 (10)
Să determinăm coordonatele punctului M - punctele de intersecție ale dreptei L și planului α.
Să trecem de la ecuația canonică a dreptei la cea parametrică: , tR
Să substituim aceste relații în ecuația planului
A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0
A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – sunt cunoscute, să găsim parametrul t:
t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0
dacă Am+Bn+Cp≠0, atunci ecuația are o soluție unică care determină coordonatele punctului M:
t M = -→ (11)
Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan. Condiții de paralelism și perpendicularitate.
Unghiul φ dintre dreapta L :
cu vector ghid q=(l;m;n) și plan
: Ах+Ву+Сz+D=0 cu vector normal n=(A;B;C) variază de la 0˚ (în cazul unei linii paralele și al unui plan) la 90˚ (în cazul unei drepte și al unui plan perpendicular). (Unghiul dintre vector qși proiecția sa pe planul α).
– unghiul dintre vectori qŞi n.
Deoarece unghiul dintre dreapta L și planul este complementar unghiului , atunci sin φ=sin(-)=cos =- (se consideră valoarea absolută deoarece unghiul φ este acut sin φ=sin( -) sau sin φ =sin(+) în funcție de direcția dreptei L)