एक अनेक बाजू असलेला ट्रॅपेझॉइड... तो अनियंत्रित, समद्विभुज किंवा आयताकृती असू शकतो. आणि प्रत्येक बाबतीत, आपल्याला ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र कसे शोधायचे हे माहित असणे आवश्यक आहे. अर्थात, मूलभूत सूत्रे लक्षात ठेवण्याचा सर्वात सोपा मार्ग. परंतु कधीकधी विशिष्ट भौमितिक आकृतीची सर्व वैशिष्ट्ये लक्षात घेऊन व्युत्पन्न केलेला वापरणे सोपे होते.
ट्रॅपेझॉइड आणि त्याच्या घटकांबद्दल काही शब्द
दोन समांतर बाजू असलेल्या कोणत्याही चौकोनाला ट्रॅपेझॉइड म्हटले जाऊ शकते. सर्वसाधारणपणे, ते समान नसतात आणि त्यांना बेस म्हणतात. त्यापैकी मोठा कमी आहे, आणि दुसरा वरचा आहे.
इतर दोन बाजू बाजूकडील आहेत. अनियंत्रित ट्रॅपेझॉइडमध्ये, त्यांची लांबी भिन्न असते. जर ते समान असतील तर आकृती समद्विभुज बनते.
जर अचानक कोणतीही बाजू आणि पाया यांच्यातील कोन 90 अंश असेल तर समलंब आयताकृती आहे.
ही सर्व वैशिष्ट्ये ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र कसे शोधायचे या समस्येचे निराकरण करण्यात मदत करू शकतात.
आकृतीच्या घटकांपैकी, जे समस्या सोडवण्यासाठी अपरिहार्य असू शकतात, आम्ही खालील फरक करू शकतो:
- उंची, म्हणजे, दोन्ही पायथ्याशी लंब असलेला विभाग;
- मध्य रेषा, ज्याच्या टोकाला बाजूंच्या मध्यभागी आहे.
पाया आणि उंची माहित असल्यास क्षेत्रफळ मोजण्याचे सूत्र काय आहे?
ही अभिव्यक्ती मुख्य म्हणून दिली जाते कारण हे प्रमाण स्पष्टपणे दिलेले नसतानाही बहुतेक वेळा जाणून घेणे शक्य असते. तर, ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे हे समजून घेण्यासाठी, तुम्हाला दोन्ही पाया जोडणे आणि त्यांना दोनने विभाजित करणे आवश्यक आहे. परिणामी मूल्य नंतर उंची मूल्याने गुणाकार केले जाते.
जर आपण बेसना 1 आणि a 2, उंची - n या अक्षरांसह नियुक्त केले तर क्षेत्राचे सूत्र असे दिसेल:
S \u003d (a 1 + a 2) / 2) * n.
क्षेत्रफळ मोजण्याचे सूत्र, त्याची उंची आणि मध्यरेषा दिली आहे
आपण मागील सूत्र बारकाईने पाहिल्यास, ते स्पष्टपणे मधल्या ओळीचे मूल्य समाविष्ट करते हे पाहणे सोपे आहे. म्हणजे, बेसची बेरीज दोन ने भागली. मधली ओळ l अक्षराने दर्शविली जाऊ द्या, नंतर क्षेत्राचे सूत्र होईल:
S \u003d l * n.
कर्णरेषेने क्षेत्रफळ शोधण्याची क्षमता
त्यांच्याद्वारे तयार केलेला कोन माहित असल्यास ही पद्धत मदत करेल. समजा कर्ण d 1 आणि d 2 या अक्षरांनी दर्शविले आहेत आणि त्यांच्यामधील कोन α आणि β आहेत. मग ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे याचे सूत्र खालीलप्रमाणे लिहिले जाईल:
S \u003d (d 1 * d 2) / 2) * sin α.
या अभिव्यक्तीमध्ये, एखादी व्यक्ती सहजपणे α ला β ने बदलू शकते. परिणाम बदलणार नाही.
आकृतीच्या सर्व बाजू ज्ञात असल्यास क्षेत्रफळ कसे शोधायचे?
अशा परिस्थिती देखील आहेत जेव्हा या आकृतीमध्ये नेमक्या बाजू ओळखल्या जातात. हे सूत्र अवजड आणि लक्षात ठेवणे कठीण आहे. पण बहुधा. बाजूंना पदनाम असू द्या: 1 आणि 2 मध्ये, बेस a 1 2 पेक्षा मोठा आहे. मग क्षेत्र सूत्र खालील फॉर्म घेते:
S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (1 2 मध्ये - [(a 1 - a 2) 2 + 1 2 मध्ये - 2 2 मध्ये) / (2 * (a 1 - a 2) ) ] २ )
समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ मोजण्याच्या पद्धती
प्रथम त्या वस्तुस्थितीशी संबंधित आहे की त्यात वर्तुळ कोरले जाऊ शकते. आणि, त्याची त्रिज्या (हे अक्षर r द्वारे दर्शविले जाते), तसेच पायावरील कोन - γ जाणून घेतल्यास, आपण खालील सूत्र वापरू शकता:
S \u003d (4 * r 2) / sin γ.
शेवटचे सामान्य सूत्र, जे आकृतीच्या सर्व बाजू जाणून घेण्यावर आधारित आहे, बाजूंचे मूल्य समान आहे या वस्तुस्थितीमुळे मोठ्या प्रमाणात सरलीकृत केले आहे:
S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).
आयताकृती ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राची गणना करण्याच्या पद्धती
हे स्पष्ट आहे की वरीलपैकी कोणतीही एक अनियंत्रित आकृतीसाठी योग्य आहे. परंतु कधीकधी अशा ट्रॅपेझॉइडच्या एका वैशिष्ट्याबद्दल जाणून घेणे उपयुक्त ठरते. हे खरं आहे की कर्णांच्या लांबीच्या चौरसांचा फरक पायाच्या चौरसांनी बनलेल्या फरकाइतका आहे.
बर्याचदा ट्रॅपेझॉइडची सूत्रे विसरली जातात, तर आयत आणि त्रिकोणाच्या क्षेत्रांसाठीच्या अभिव्यक्ती लक्षात ठेवल्या जातात. मग आपण एक सोपी पद्धत लागू करू शकता. ट्रॅपेझॉइड आयताकृती किंवा तीन असल्यास दोन आकृत्यांमध्ये विभाजित करा. एक निश्चितपणे एक आयत असेल, आणि दुसरा, किंवा उर्वरित दोन, त्रिकोण असतील. या आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना केल्यानंतर, ते जोडण्यासाठीच राहते.
आयताकृती ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ शोधण्याचा हा एक सोपा मार्ग आहे.
ट्रॅपेझॉइडच्या शिरोबिंदूंचे समन्वय माहित असल्यास काय करावे?
या प्रकरणात, आपल्याला एक अभिव्यक्ती वापरण्याची आवश्यकता असेल जी आपल्याला बिंदूंमधील अंतर निर्धारित करण्यास अनुमती देते. हे तीन वेळा लागू केले जाऊ शकते: दोन्ही पाया आणि एक उंची जाणून घेण्यासाठी. आणि नंतर फक्त पहिले सूत्र लागू करा, ज्याचे वर्णन थोडे वर केले आहे.
ही पद्धत स्पष्ट करण्यासाठी एक उदाहरण दिले जाऊ शकते. A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1) सह निर्देशांक दिलेले आहेत. आपल्याला आकृतीचे क्षेत्रफळ माहित असणे आवश्यक आहे.
तुम्हाला ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ शोधण्यापूर्वी, तुम्हाला निर्देशांकांमधून बेसच्या लांबीची गणना करणे आवश्यक आहे. आपल्याला या सूत्राची आवश्यकता असेल:
सेगमेंट लांबी = √((बिंदूंच्या पहिल्या निर्देशांकाचा फरक) 2 + (बिंदूंच्या दुसऱ्या निर्देशांकाचा फरक) 2 ).
वरच्या पायाला AB असे नियुक्त केले आहे, म्हणजे त्याची लांबी √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. खालची CD = √ (10-1) आहे. ) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.
आता आपल्याला वरपासून खालपर्यंत उंची काढण्याची आवश्यकता आहे. त्याची सुरुवात बिंदू A पासून होऊ द्या. विभागाचा शेवट निर्देशांक (5; 1) सह बिंदूच्या खालच्या पायावर असेल, तो बिंदू H असू द्या. AN खंडाची लांबी √ (5) च्या समान असेल -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.
हे फक्त ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्रासाठी सूत्रामध्ये परिणामी मूल्ये बदलण्यासाठी राहते:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
मापाच्या एककांशिवाय समस्या सोडवली जाते, कारण समन्वय ग्रिडचे प्रमाण निर्दिष्ट केलेले नाही. ते एकतर मिलिमीटर किंवा मीटर असू शकते.
कार्य उदाहरणे
क्रमांक 1. अट.अनियंत्रित ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांमधील कोन ज्ञात आहे, तो 30 अंशांच्या बरोबरीचा आहे. लहान कर्णाचे मूल्य 3 dm आहे आणि दुसरा त्याच्यापेक्षा 2 पट मोठा आहे. आपल्याला ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राची गणना करणे आवश्यक आहे.
उपाय.प्रथम आपल्याला दुसऱ्या कर्णाची लांबी शोधण्याची आवश्यकता आहे, कारण त्याशिवाय उत्तराची गणना करणे शक्य होणार नाही. त्याची गणना करणे सोपे आहे, 3 * 2 = 6 (dm).
आता तुम्हाला क्षेत्रासाठी योग्य सूत्र वापरण्याची आवश्यकता आहे:
S \u003d ((3 * 6) / 2) * sin 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4.5 (dm 2). समस्या सुटली.
उत्तर:ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ 4.5 dm 2 आहे.
क्रमांक 2. अट.ट्रॅपेझॉइड ABCD मध्ये, तळ AD आणि BC हे खंड आहेत. पॉइंट E हा बाजूच्या SD चा मध्यबिंदू आहे. त्यावरून AB या सरळ रेषेचा लंब काढला आहे, या खंडाचा शेवट H अक्षराने दर्शविला आहे. हे ज्ञात आहे की AB आणि EH ची लांबी अनुक्रमे 5 आणि 4 सेमी आहे. त्याचे क्षेत्रफळ काढणे आवश्यक आहे. ट्रॅपेझॉइड.
उपाय.प्रथम आपण एक रेखाचित्र तयार करणे आवश्यक आहे. लंबाचे मूल्य ज्या बाजूने काढले आहे त्या बाजूपेक्षा कमी असल्याने, ट्रॅपेझॉइड किंचित वरच्या दिशेने वाढविला जाईल. त्यामुळे EH आकृतीच्या आत असेल.
समस्येचे निराकरण करण्याची प्रगती स्पष्टपणे पाहण्यासाठी, आपल्याला अतिरिक्त बांधकाम करणे आवश्यक आहे. म्हणजे, बाजू AB ला समांतर असणारी रेषा काढा. AD - P सह या रेषेचे छेदनबिंदू आणि BC - X च्या निरंतरतेसह. परिणामी आकृती VKhRA समांतरभुज चौकोन आहे. शिवाय, त्याचे क्षेत्रफळ आवश्यकतेइतके आहे. हे अतिरिक्त बांधकामादरम्यान प्राप्त झालेले त्रिकोण समान आहेत या वस्तुस्थितीमुळे आहे. हे बाजूच्या समानतेवरून आणि त्याला लागून असलेल्या दोन कोनांवरून येते, एक उभा आहे, दुसरा आडवाडे आहे.
आपण एका सूत्राचा वापर करून समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ शोधू शकता ज्यामध्ये बाजूचे उत्पादन आणि त्यावर कमी केलेली उंची आहे.
अशा प्रकारे, ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ 5 * 4 = 20 सेमी 2 आहे.
उत्तर: S \u003d 20 सेमी 2.
क्रमांक 3. अट.समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडच्या घटकांचे खालील अर्थ आहेत: खालचा पाया 14 सेमी आहे, वरचा पाया 4 सेमी आहे, तीक्ष्ण कोपरा- 45º. आपल्याला त्याचे क्षेत्रफळ मोजावे लागेल.
उपाय.लहान पाया BC दर्शवू द्या. बिंदू B पासून काढलेल्या उंचीला BH म्हटले जाईल. कोन 45º असल्याने, ABH त्रिकोण काटकोन आणि समद्विभुज असेल. तर AH=BH. आणि AN शोधणे खूप सोपे आहे. हे तळांच्या अर्ध्या फरकाच्या समान आहे. म्हणजेच, (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (सेमी).
तळ ओळखले जातात, उंची मोजली जातात. आपण प्रथम सूत्र वापरू शकता, जे येथे एका अनियंत्रित ट्रॅपेझॉइडसाठी मानले गेले होते.
S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (सेमी 2).
उत्तर:इच्छित क्षेत्र 45 सेमी 2 आहे.
क्रमांक 4. अट.एक अनियंत्रित ट्रॅपेझॉइड एबीसीडी आहे. बिंदू O आणि E त्याच्या बाजूंनी घेतले आहेत, जेणेकरून OE AD च्या पायाशी समांतर असेल. AOED चे ट्रॅपेझॉइड क्षेत्र CFE पेक्षा पाच पट मोठे आहे. मूळ लांबी ज्ञात असल्यास OE चे मूल्य मोजा.
उपाय. AB च्या समांतर दोन सरळ रेषा काढणे आवश्यक आहे: प्रथम बिंदू C द्वारे, त्याचे OE सह छेदनबिंदू - बिंदू T; E पासून दुसरा आणि AD सह छेदनबिंदू M असेल.
अज्ञात OE=x द्या. लहान ट्रॅपेझॉइड OVSE ची उंची n 1 आहे, मोठ्या AOED n 2 आहे.
या दोन ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र 1 ते 5 असे संबंधित असल्याने, आपण खालील समानता लिहू शकतो:
(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2
n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).
त्रिकोणांची उंची आणि बाजू बांधकामात आनुपातिक आहेत. म्हणून, आम्ही दुसरी समानता लिहू शकतो:
n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a 1 - x).
डाव्या बाजूला शेवटच्या दोन नोंदींमध्ये समान मूल्ये आहेत, याचा अर्थ असा की आपण (x + a 1) / (5 (x + a 2)) हे (x - a 2) / (a 1 - x).
येथे अनेक परिवर्तने आवश्यक आहेत. प्रथम क्रॉस गुणाकार. चौकोनातील फरक दर्शविणारे कंस दिसतील, हे सूत्र लागू केल्यानंतर तुम्हाला एक लहान समीकरण मिळेल.
त्याला कंस उघडणे आवश्यक आहे आणि अज्ञात "x" वरून सर्व अटी हलवाव्या लागतील डावी बाजूआणि नंतर वर्गमूळ घ्या.
उत्तर द्या: x \u003d √ (a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).
एका साध्या प्रश्नासाठी "ट्रॅपेझॉइडची उंची कशी शोधायची?" अनेक उत्तरे आहेत, सर्व कारण भिन्न इनपुट दिले जाऊ शकतात. म्हणून, सूत्रे भिन्न असतील.
ही सूत्रे लक्षात ठेवली जाऊ शकतात, परंतु ते मिळवणे कठीण नाही. केवळ पूर्वी अभ्यासलेली प्रमेये लागू करणे आवश्यक आहे.
सूत्रांमध्ये वापरलेली नोटेशन
खालील सर्व गणिती नोटेशन्समध्ये, अक्षरांचे हे वाचन योग्य आहेत.
मूळ डेटामध्ये: सर्व बाजू
सामान्य प्रकरणात ट्रॅपेझॉइडची उंची शोधण्यासाठी, आपल्याला खालील सूत्र वापरण्याची आवश्यकता आहे:
n \u003d √ (s 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2) / (2 (a - c))) 2).क्रमांक १.
सर्वात लहान नाही, परंतु ते कार्यांमध्ये देखील दुर्मिळ आहे. तुम्ही सहसा इतर डेटा वापरू शकता.
समान परिस्थितीत समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडची उंची कशी शोधावी हे सांगणारे सूत्र खूपच लहान आहे:
n \u003d √ (s 2 - (a - c) 2 / 4).क्रमांक 2.
समस्या दिली आहे: खालच्या पायावर बाजू आणि कोपरे
असे गृहीत धरले जाते की कोन α हा पदनाम "c" सह बाजूस लागून आहे, अनुक्रमे कोन β ते बाजू d आहे. मग ट्रॅपेझॉइडची उंची कशी शोधायची याचे सूत्र, सर्वसाधारणपणे, असे असेल:
n \u003d c * sin α \u003d d * sin β.क्रमांक 3.
जर आकृती समद्विभुज असेल तर तुम्ही हा पर्याय वापरू शकता:
n \u003d c * sin α \u003d ((a - c) / 2) * tg α.क्रमांक 4.
यासाठी ओळखले जाते: कर्ण आणि त्यांच्यामधील कोन
या डेटामध्ये सामान्यतः ज्ञात प्रमाण जोडले जातात. उदाहरणार्थ, बेस किंवा मधली रेषा. जर कारणे दिलेली असतील तर ट्रॅपेझॉइडची उंची कशी शोधायची या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, खालील सूत्र उपयुक्त आहे:
n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / (a + c) किंवा n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / (a + c).क्रमांक 5.
साठी आहे सामान्य दृश्यआकडे समद्विभुज दिले असल्यास, रेकॉर्ड खालीलप्रमाणे बदलले जाईल:
n \u003d (d 1 2 * sin γ) / (a + c) किंवा n \u003d (d 1 2 * sin δ) / (a + c).क्रमांक 6.
जेव्हा कार्य ट्रॅपेझॉइडच्या मध्यरेषेशी संबंधित असते, तेव्हा त्याची उंची शोधण्याची सूत्रे खालीलप्रमाणे बनतात:
n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m किंवा n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m.क्रमांक 5a.
n = (d 1 2 * sin γ) / 2m किंवा n = (d 1 2 * sin δ) / 2m.क्रमांक 6 अ.
ज्ञात प्रमाणांमध्ये: बेस किंवा मिडलाइन असलेले क्षेत्र
ट्रॅपेझॉइडची उंची कशी शोधावी यासाठी ही कदाचित सर्वात लहान आणि सोपी सूत्रे आहेत. अनियंत्रित आकृतीसाठी, हे असे असेल:
n \u003d 2S / (a + c).क्रमांक 7.
हे समान आहे, परंतु सुप्रसिद्ध मध्य रेषेसह:
n = S/m.क्रमांक 7a.
विचित्रपणे पुरेसे आहे, परंतु समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडसाठी, सूत्रे समान दिसतील.
कार्ये
क्रमांक १. ट्रॅपेझॉइडच्या खालच्या पायथ्यावरील कोन निश्चित करण्यासाठी.
परिस्थिती.समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड दिलेला आहे, ज्याची बाजू 5 सेमी आहे. तिचे तळ 6 आणि 12 सेमी आहेत. तीव्र कोनाची साइन शोधण्यासाठी ते आवश्यक आहे.
उपाय.सोयीसाठी, एक नोटेशन सादर केले पाहिजे. खालचा डावा शिरोबिंदू A असू द्या, बाकी सर्व घड्याळाच्या दिशेने: B, C, D. अशा प्रकारे, खालच्या पायाला AD, वरचा एक BC असे नाव दिले जाईल.
शिरोबिंदू B आणि C पासून उंची काढणे आवश्यक आहे. उंचीच्या टोकांना सूचित करणारे बिंदू अनुक्रमे H 1 आणि H 2 असे नियुक्त केले जातील. BCH 1 H 2 या आकृतीमध्ये सर्व कोन बरोबर असल्याने, तो एक आयत आहे. याचा अर्थ H 1 H 2 हा खंड 6 सें.मी.
आता आपल्याला दोन त्रिकोणांचा विचार करावा लागेल. ते समान कर्ण आणि उभ्या पायांसह आयताकृती असल्यामुळे समान आहेत. यावरून असे दिसून येते की त्यांचे लहान पाय देखील समान आहेत. म्हणून, त्यांना फरकाचा भाग म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते. नंतरचे खालच्या पायथ्यापासून वरचे वजा करून प्राप्त केले जाते. ते 2 ने भागले जाईल. म्हणजेच, 12 - 6 ला 2 ने भागले पाहिजे. AN 1 \u003d H 2 D \u003d 3 (cm).
आता, पायथागोरियन प्रमेयावरून, आपल्याला ट्रॅपेझॉइडची उंची शोधण्याची आवश्यकता आहे. कोनाची साइन शोधणे आवश्यक आहे. VN 1 \u003d √ (5 2 - 3 2) \u003d 4 (सेमी).
काटकोन असलेल्या त्रिकोणामध्ये तीव्र कोनाचे साइन कसे स्थित आहे याचे ज्ञान वापरून, आपण खालील अभिव्यक्ती लिहू शकतो: sin α \u003d BH 1 / AB \u003d 0.8.
उत्तर द्या.इच्छित साइन 0.8 आहे.
क्रमांक 2. ज्ञात स्पर्शिकेवरून ट्रॅपेझॉइडची उंची शोधण्यासाठी.
परिस्थिती.समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडसाठी, आपल्याला उंचीची गणना करणे आवश्यक आहे. हे ज्ञात आहे की त्याचे तळ 15 आणि 28 सेमी आहेत. तीव्र कोनाची स्पर्शिका दिली आहे: 11/13.
उपाय.शिरोबिंदूंचे पदनाम मागील समस्येप्रमाणेच आहे. पुन्हा, आपल्याला वरच्या कोपऱ्यातून दोन उंची काढण्याची आवश्यकता आहे. पहिल्या समस्येच्या समाधानाशी साधर्म्य करून, तुम्हाला AH 1 = H 2 D शोधणे आवश्यक आहे, जे 28 आणि 15 मधील फरक म्हणून परिभाषित केले आहे, दोनने भागले आहे. गणना केल्यानंतर, ते बाहेर वळते: 6.5 सेमी.
स्पर्शिका हे दोन पायांचे गुणोत्तर असल्याने, आपण खालील समानता लिहू शकतो: tg α \u003d AN 1 / VN 1. शिवाय, हे प्रमाण 11/13 (अटीनुसार) च्या बरोबरीचे आहे. AH 1 ज्ञात असल्याने, उंचीची गणना केली जाऊ शकते: HH 1 \u003d (11 * 6.5) / 13. साधी गणना 5.5 सेमी परिणाम देते.
उत्तर द्या.इच्छित उंची 5.5 सेमी आहे.
क्रमांक 3. ज्ञात कर्णांवरून उंची मोजणे.
परिस्थिती.ट्रॅपेझॉइडबद्दल हे ज्ञात आहे की त्याचे कर्ण 13 आणि 3 सेमी आहेत. जर पायाची बेरीज 14 सेमी असेल तर तुम्हाला त्याची उंची शोधणे आवश्यक आहे.
उपाय.आकृतीचे पदनाम पूर्वीसारखेच असू द्या. समजा AC हा लहान कर्ण आहे. शिरोबिंदू C वरून, आपल्याला इच्छित उंची काढण्याची आणि त्यास CH नियुक्त करण्याची आवश्यकता आहे.
आता आपल्याला अतिरिक्त बांधकाम करण्याची आवश्यकता आहे. C कोनातून, तुम्हाला मोठ्या कर्णाच्या समांतर एक सरळ रेषा काढायची आहे आणि बाजू AD च्या निरंतरतेसह त्याच्या छेदनबिंदूचा बिंदू शोधणे आवश्यक आहे. ते डी 1 असेल. हे एक नवीन ट्रॅपेझॉइड बनले, ज्याच्या आत एक त्रिकोण ASD 1 काढला आहे. समस्येचे निराकरण करण्यासाठी ते आवश्यक आहे.
त्रिकोणामध्ये इच्छित उंची देखील समान असेल. म्हणून, तुम्ही दुसर्‍या विषयात अभ्यासलेली सूत्रे वापरू शकता. त्रिकोणाची उंची ही संख्या 2 आणि क्षेत्रफळाचे गुणाकार म्हणून परिभाषित केली जाते, ज्या बाजूने तो काढला जातो. आणि बाजू मूळ ट्रॅपेझॉइडच्या बेसच्या बेरीजच्या समान असल्याचे दिसून येते. हे त्या नियमातून येते ज्याद्वारे अतिरिक्त बांधकाम केले जाते.
विचाराधीन त्रिकोणामध्ये, सर्व बाजू ज्ञात आहेत. सोयीसाठी, आम्ही नोटेशन x = 3 सेमी, y = 13 सेमी, z = 14 सेमी सादर करतो.
आता तुम्ही हेरॉनचे प्रमेय वापरून क्षेत्रफळ काढू शकता. अर्ध-परिमिती p \u003d (x + y + z) / 2 \u003d (3 + 13 + 14) / 2 \u003d 15 (सेमी) च्या समान असेल. मग मूल्ये बदलल्यानंतर क्षेत्राचे सूत्र असे दिसेल: S \u003d √ (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) \u003d 6 √10 (cm 2) ).
उत्तर द्या.उंची 6√10 / 7 सेमी आहे.
क्रमांक 4. बाजूंची उंची शोधण्यासाठी.
परिस्थिती.ट्रॅपेझॉइड दिलेला आहे, ज्याच्या तीन बाजू 10 सेमी आहेत आणि चौथी 24 सेमी आहे. तुम्हाला त्याची उंची शोधणे आवश्यक आहे.
उपाय.आकृती समद्विभुज असल्याने, सूत्र क्रमांक 2 आवश्यक आहे. तुम्हाला फक्त त्यातील सर्व मूल्ये बदलणे आणि मोजणे आवश्यक आहे. हे असे दिसेल:
n \u003d √ (10 2 - (10 - 24) 2 / 4) \u003d √51 (सेमी).
उत्तर द्या. h = √51 सेमी.
भूमिती हे शास्त्रांपैकी एक आहे, ज्याच्या वापराने एखाद्या व्यक्तीला जवळजवळ दररोज सामोरे जावे लागते. भौमितिक आकारांच्या विविधतेमध्ये, ट्रॅपेझॉइड विशेष लक्ष देण्यास पात्र आहे. ही चार बाजू असलेली उत्तल आकृती आहे, ज्यापैकी दोन एकमेकांना समांतर आहेत. नंतरचे तळ म्हणतात, आणि उर्वरित दोन बाजू म्हणतात. पायथ्याशी लंब असलेला विभाग आणि त्यामधील अंतराचा आकार निर्धारित करणे ही ट्रॅपेझॉइडची उंची असेल. आपण त्याची लांबी कशी मोजू शकता?
अनियंत्रित ट्रॅपेझॉइडची उंची शोधा
प्रारंभिक डेटावर आधारित, आकृतीची उंची निर्धारित करणे अनेक मार्गांनी शक्य आहे.
ज्ञात क्षेत्र
जर समांतर बाजूंची लांबी ज्ञात असेल आणि आकृतीचे क्षेत्रफळ देखील सूचित केले असेल, तर इच्छित लंब निर्धारित करण्यासाठी खालील संबंध वापरले जाऊ शकतात:
S=h*(a+b)/2,
h हे इच्छित मूल्य (उंची) आहे,
S हे आकृतीचे क्षेत्रफळ आहे,
a आणि b एकमेकांना समांतर बाजू आहेत.
हे h=2S/(a+b) या वरील सूत्रावरून येते.
मिडलाइनचे मूल्य ज्ञात आहे
जर प्रारंभिक डेटामध्ये, ट्रॅपेझॉइड (एस) च्या क्षेत्राव्यतिरिक्त, त्याच्या मध्यरेखा (एल) ची लांबी देखील ज्ञात असेल, तर दुसरे सूत्र गणनासाठी उपयुक्त आहे. प्रथम, या प्रकारच्या चतुर्भुजासाठी मधली रेषा काय आहे हे स्पष्ट करणे योग्य आहे. हा शब्द आकृतीच्या बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा सरळ रेषेचा भाग परिभाषित करतो.
ट्रॅपेझॉइड l=(a+b)/2 च्या गुणधर्मांवर आधारित,
l - मध्यरेखा,
a, b हे चतुर्भुजाच्या बाजू-पाया आहेत.
म्हणून h=2S/(a+b)=S/l.
आकृतीच्या 4 बाजू ज्ञात आहेत
या प्रकरणात, पायथागोरियन प्रमेय मदत करेल. लंब मोठ्या बाजूच्या पायावर कमी केल्यावर, दोन परिणामी काटकोन त्रिकोणांसाठी वापरा. अंतिम अभिव्यक्ती असे दिसेल:
h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 ,
c आणि d या 2 इतर बाजू आहेत.
पायथ्याशी कोपरे
तुमच्याकडे बेस अँगल डेटा असल्यास, त्रिकोणमितीय फंक्शन्स वापरा.
h = c*sinα = d*sinβ,
α आणि β हे चौकोनाच्या पायथ्याशी असलेले कोपरे आहेत,
c आणि d या त्याच्या बाजू आहेत.
आकृतीचे कर्ण आणि ते छेदणारे कोन
कर्णाची लांबी ही आकृतीच्या विरुद्ध शिरोबिंदूंना जोडणाऱ्या खंडाची लांबी असते. हे प्रमाण d1 आणि d2 या चिन्हांद्वारे आणि γ आणि φ मधील कोनांनी दर्शवू. मग:
h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,
h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,
a आणि b या आकृतीच्या पायाभूत बाजू आहेत,
d1 आणि d2 हे ट्रॅपेझॉइडचे कर्ण आहेत,
γ आणि φ हे कर्णांमधील कोन आहेत.
आकृतीची उंची आणि त्यात कोरलेली वर्तुळाची त्रिज्या
या प्रकारच्या वर्तुळाच्या व्याख्येवरून खालीलप्रमाणे, ते प्रत्येक पायाला 1 बिंदूवर स्पर्श करते, जे एका सरळ रेषेचे भाग आहेत. म्हणून, त्यांच्यातील अंतर - व्यास - आकृतीची इच्छित उंची. आणि व्यास त्रिज्या दुप्पट असल्याने, नंतर:
h = 2 * r,
r ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे जी दिलेल्या ट्रॅपेझॉइडमध्ये कोरलेली आहे.
समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडची उंची शोधा
- शब्दांकनावरून खालीलप्रमाणे, समद्विभुज समलंबाचे एक विशिष्ट वैशिष्ट्य म्हणजे त्याच्या बाजूंची समानता. म्हणून, आकृतीची उंची शोधण्यासाठी, ट्रॅपेझॉइडच्या बाजू ज्ञात असताना हे मूल्य निर्धारित करण्यासाठी सूत्र वापरा.
तर, जर c \u003d d, तर h \u003d √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2 \u003d √c 2 - (a-b) 2 / 4,
a, b - चतुर्भुजाचे बाजू-पाया,
c = d या त्याच्या बाजू आहेत.
- दोन बाजूंनी (पाया आणि बाजू) तयार केलेल्या कोनांच्या विशालतेच्या उपस्थितीत, ट्रॅपेझॉइडची उंची खालील गुणोत्तराने निर्धारित केली जाते:
h = c*sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b - a)/2c = tgα * (b-a)/2,
α हा आकृतीच्या पायथ्याशी असलेला कोन आहे,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d या त्याच्या बाजू आहेत.
- जर आकृतीच्या कर्णांची मूल्ये दिली असतील, तर आकृतीची उंची शोधण्याची अभिव्यक्ती बदलेल, कारण d1 = d2:
h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,
h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.
ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र शोधण्याचे बरेच मार्ग आहेत. सामान्यत: गणिताच्या शिक्षकाला त्याची गणना करण्याच्या अनेक पद्धती माहित असतात, चला त्याबद्दल अधिक तपशीलवार विचार करूया:
1) 
, जेथे AD आणि BC हे तळ आहेत आणि BH ही ट्रॅपेझॉइडची उंची आहे. पुरावा: एक कर्ण BD काढा आणि ABD आणि CDB त्रिकोणांचे क्षेत्र त्यांच्या पाया आणि उंचीच्या अर्ध्या गुणानुरूप व्यक्त करा:
, जेथे DP ही बाह्य उंची आहे
आम्ही या समानता टर्म टर्मनुसार जोडतो आणि, BH आणि DP ची उंची समान असल्यास, आम्हाला मिळते:
चला कंसातून बाहेर काढूया
Q.E.D.
ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्रासाठी सूत्राचा परिणाम:
पायाची अर्धी बेरीज MN च्या बरोबरीची असल्याने - ट्रॅपेझॉइडची मध्यरेषा, नंतर
2) चौकोनाच्या क्षेत्रफळासाठी सामान्य सूत्राचा वापर.
चतुर्भुजाचे क्षेत्रफळ हे कर्णांच्या गुणाकाराच्या गुणाकाराच्या निम्मे गुणाकार त्यांच्यामधील कोनाच्या साइनने असते.
हे सिद्ध करण्यासाठी, ट्रॅपेझॉइडला 4 त्रिकोणांमध्ये विभाजित करणे पुरेसे आहे, प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ "कर्णांचे अर्धे गुणाकार आणि त्यांच्यामधील कोनाचे साइन" या संदर्भात व्यक्त करणे पुरेसे आहे (ते कोन म्हणून घेतले जाते. , परिणामी अभिव्यक्ती जोडा, त्यास कंसाच्या बाहेर टाका आणि अभिव्यक्तीमध्ये समानता मिळविण्यासाठी ग्रुपिंग पद्धती वापरून या कंसाचे घटकांमध्ये विघटन करा. येथून
3) कर्ण शिफ्ट पद्धत
हे माझे शीर्षक आहे. शालेय पाठ्यपुस्तकांमध्ये, गणिताच्या शिक्षकाला असे शीर्षक सापडणार नाही. समस्येचे निराकरण करण्याचे उदाहरण म्हणून तंत्राचे वर्णन केवळ अतिरिक्त ट्यूटोरियलमध्ये आढळू शकते. मी लक्षात ठेवा की सर्वात मनोरंजक आणि उपयुक्त तथ्येप्लॅनिमेट्री गणिताचे ट्यूटर विद्यार्थ्यांसाठी करण्याच्या प्रक्रियेत खुले आहेत व्यावहारिक काम. हे अत्यंत सबऑप्टिमल आहे, कारण विद्यार्थ्याने त्यांना वेगळ्या प्रमेयांमध्ये वेगळे करणे आणि त्यांना "मोठी नावे" म्हणणे आवश्यक आहे. यापैकी एक म्हणजे “डायगोनल शिफ्ट”. हे कशाबद्दल आहे? 
बिंदू E वर खालच्या पायाला छेदत नाही तोपर्यंत शिरोबिंदू B मधून AC ला समांतर सरळ रेषा काढू या. या प्रकरणात, EBCA हा चौकोन समांतरभुज चौकोन असेल (व्याख्यानुसार) आणि म्हणून BC=EA आणि EB=AC. आम्ही आता पहिल्या समानतेशी संबंधित आहोत. आमच्याकडे आहे:
लक्षात घ्या की त्रिकोण BED, ज्याचे क्षेत्रफळ ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राएवढे आहे, त्यात इतर अनेक उल्लेखनीय गुणधर्म आहेत:
1) त्याचे क्षेत्रफळ ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राएवढे आहे
२) त्याचा समद्विबाहु समद्विभुज समद्विबाहु समद्विबाहु एकाच वेळी होतो
3) शिरोबिंदू B वरील त्याचा वरचा कोन ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांमधील कोनाइतका आहे (जे बर्याचदा समस्यांमध्ये वापरले जाते) 
4) त्याचा मध्यक BK समलंब चौकोनाच्या तळांच्या मध्यबिंदूंमधील अंतर QS च्या समान आहे. मॉस्को स्टेट युनिव्हर्सिटीच्या मेखमतसाठी ताकाचुकचे पाठ्यपुस्तक, 1973 ची आवृत्ती (हे कार्य पृष्ठाच्या तळाशी दिलेले आहे) वापरून तयार करताना या मालमत्तेचा वापर मला अलीकडेच आढळला.
गणिताचे शिक्षक विशेष.
कधीकधी मी ट्रॅपेझॉइडचा चौरस शोधण्याच्या अत्यंत अवघड मार्गाने कार्ये प्रस्तावित करतो. मी त्याचे श्रेय विशेष चालींना देतो, कारण सराव मध्ये शिक्षक क्वचितच त्यांचा वापर करतात. जर तुम्हाला गणिताच्या परीक्षेची तयारी फक्त भाग B मध्ये करायची असेल तर तुम्ही त्याबद्दल वाचू शकत नाही. इतरांसाठी, मी तुम्हाला अधिक सांगेन. असे दिसून आले की ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या दुप्पट आहे ज्याच्या एका बाजूच्या टोकाला शिरोबिंदू आहेत आणि दुसऱ्याच्या मध्यभागी आहेत, म्हणजेच आकृतीमध्ये त्रिकोण ABS: 
पुरावा: BCS आणि ADS त्रिकोणांमध्ये SM आणि SN उंची काढा आणि या त्रिकोणांच्या क्षेत्रांची बेरीज व्यक्त करा:
बिंदू S हा CD चा मध्यबिंदू असल्याने (स्वतःला सिद्ध करा). त्रिकोणांच्या क्षेत्रांची बेरीज शोधूया:
ही रक्कम ट्रॅपेझॉइडच्या अर्ध्या क्षेत्राच्या बरोबरीने निघाली असल्याने, नंतर - त्याचा दुसरा अर्धा. Ch.t.d.
मी समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूने ट्यूटरच्या विशेष चालीच्या कोषात मोजण्याचे स्वरूप समाविष्ट करू: जेथे p हा ट्रॅपेझॉइडचा अर्धा परिमिती आहे. मी पुरावा देणार नाही. अन्यथा, तुमचा गणिताचा शिक्षक कामाबाहेर जाईल :). वर्गात या!
ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्रासाठी कार्ये:
गणिताच्या शिक्षकाची नोंद: खाली दिलेली यादी ही विषयाला पद्धतशीर समर्थन नाही, ती वरील पद्धतींसाठी मनोरंजक कार्यांची फक्त एक छोटी निवड आहे.
1) समद्विभुज समलंबाचा खालचा पाया 13 आहे आणि वरचा भाग 5 आहे. समलंब समलंबाचा कर्ण बाजूस लंब असल्यास त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
2) ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ शोधा जर त्याचा पाया 2cm आणि 5cm असेल आणि त्याच्या बाजू 2cm आणि 3cm असतील.
3) समद्विभुज समलंबामध्ये, मोठा पाया 11 आहे, बाजू 5 आहे आणि कर्ण आहे समलंब समलंबाचे क्षेत्रफळ शोधा.
4) समद्विभुज समलंबाचा कर्ण 5 आहे आणि मध्यरेखा 4 आहे. क्षेत्रफळ शोधा.
5) समद्विभुज समलंबामध्ये, पाया 12 आणि 20 असतात आणि कर्ण परस्पर लंब असतात. ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राची गणना करा
6) समद्विभुज समलंबाचा कर्ण त्याच्या खालच्या पायासह एक कोन बनवतो. ट्रॅपेझॉइडची उंची 6 सेमी असल्यास त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
7) ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ 20 आहे आणि त्याची एक बाजू 4 सेमी आहे. विरुद्ध बाजूच्या मध्यभागी ते अंतर शोधा.
8) समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडचा कर्ण 6 आणि 14 क्षेत्रांसह त्रिकोणांमध्ये विभागतो. जर बाजू 4 असेल तर उंची शोधा.
9) ट्रॅपेझॉइडमध्ये, कर्ण 3 आणि 5 आहेत, आणि तळांच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा विभाग 2 आहे. ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ शोधा (मॉस्को स्टेट युनिव्हर्सिटीचे मेखमत, 1970).
मी सर्वात जास्त निवडले नाही आव्हानात्मक कार्ये(मेखमतला घाबरू नका!) त्यांच्या स्वतंत्र समाधानाच्या शक्यतेच्या अपेक्षेने. आरोग्याचा निर्णय घ्या! जर तुम्हाला गणितातील परीक्षेची तयारी करायची असेल, तर या प्रक्रियेत ट्रॅपेझॉइड एरिया फॉर्म्युलाचा सहभाग न घेता, टास्क B6 आणि त्याहूनही अधिक C4 सह गंभीर समस्या उद्भवू शकतात. विषय सुरू करू नका आणि काही अडचणी आल्यास मदतीसाठी विचारा. गणिताचा शिक्षक तुम्हाला मदत करण्यात नेहमीच आनंदी असतो.
कोल्पाकोव्ह ए.एन.
मॉस्कोमधील गणिताचे शिक्षक, Strogino मध्ये परीक्षेची तयारी.
गेल्या वर्षीच्या USE आणि GIA च्या सरावावरून असे दिसून येते की भूमितीच्या समस्यांमुळे अनेक विद्यार्थ्यांना अडचणी येतात. आपण सर्व आवश्यक सूत्रे लक्षात ठेवल्यास आणि समस्या सोडवण्याचा सराव केल्यास आपण त्यांच्याशी सहजपणे सामना करू शकता.
या लेखात, आपण ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र शोधण्यासाठी सूत्रे पहाल, तसेच निराकरणासह समस्यांची उदाहरणे पहा. प्रमाणपत्र परीक्षा किंवा ऑलिम्पियाडमध्ये KIM मध्ये तेच तुम्हाला भेटू शकतात. म्हणून, त्यांच्याशी काळजीपूर्वक उपचार करा.
ट्रॅपेझॉइडबद्दल आपल्याला काय माहित असणे आवश्यक आहे?
सुरुवातीला, हे लक्षात ठेवूया ट्रॅपीझचतुर्भुज म्हणतात, ज्यामध्ये दोन विरुद्ध बाजू, त्यांना बेस देखील म्हणतात, समांतर आहेत आणि इतर दोन नाहीत.
ट्रॅपेझॉइडमध्ये, उंची (बेसला लंब) देखील वगळली जाऊ शकते. मधली रेषा काढली आहे - ही एक सरळ रेषा आहे जी पायथ्याशी समांतर आहे आणि त्यांच्या बेरीजच्या अर्ध्या समान आहे. तसेच कर्ण जे एकमेकांना छेदू शकतात, तीव्र आणि स्थूल कोन तयार करतात. किंवा, काही प्रकरणांमध्ये, काटकोनात. याव्यतिरिक्त, ट्रॅपेझॉइड समद्विभुज असल्यास, त्यात एक वर्तुळ कोरले जाऊ शकते. आणि त्याभोवती असलेल्या वर्तुळाचे वर्णन करा.
ट्रॅपेझियम क्षेत्र सूत्रे
प्रथम, ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी मानक सूत्रांचा विचार करा. समद्विभुज आणि वक्र ट्रॅपेझॉइड्सचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे मार्ग खाली विचारात घेतले जातील.
तर, कल्पना करा की तुमच्याकडे बेस a आणि b असलेले ट्रॅपेझॉइड आहे, ज्यामध्ये h ही उंची मोठ्या पायावर कमी केली जाते. या प्रकरणात आकृतीचे क्षेत्रफळ मोजणे सोपे आहे. तुम्हाला फक्त बेसच्या लांबीची बेरीज दोनने भागायची आहे आणि उंचीने काय होते ते गुणाकार करणे आवश्यक आहे: S = 1/2(a + b)*h.
चला आणखी एक केस घेऊ: समजा की उंची व्यतिरिक्त, ट्रॅपेझॉइडमध्ये मध्य रेखा m आहे. मिडलाइनची लांबी शोधण्याचे सूत्र आपल्याला माहित आहे: m = 1/2(a + b). म्हणून, आम्ही ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राचे सूत्र खालील फॉर्ममध्ये योग्यरित्या सुलभ करू शकतो: S = m * h. दुस-या शब्दात, ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला मध्यरेषा उंचीने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.
चला आणखी एका पर्यायाचा विचार करूया: कर्ण d 1 आणि d 2 एका ट्रॅपेझॉइडमध्ये काढले आहेत, जे α काटकोनात छेदत नाहीत. अशा ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला कर्णांचे उत्पादन अर्धे करणे आवश्यक आहे आणि त्यांच्या दरम्यानच्या कोनाच्या पापाने तुम्हाला जे मिळेल ते गुणाकार करणे आवश्यक आहे: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
आता ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ शोधण्याचे सूत्र विचारात घ्या, जर त्याच्या सर्व बाजूंच्या लांबीशिवाय त्याबद्दल काहीही माहित नसेल: a, b, c आणि d. हे एक अवजड आणि क्लिष्ट सूत्र आहे, परंतु हे लक्षात ठेवणे आपल्यासाठी उपयुक्त ठरेल अशा परिस्थितीत: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.
तसे, जेव्हा तुम्हाला क्षेत्र सूत्राची आवश्यकता असेल तेव्हा वरील उदाहरणे केससाठी देखील सत्य आहेत आयताकृती ट्रॅपेझॉइड. हे ट्रॅपेझॉइड आहे, ज्याची बाजू उजव्या कोनात तळांना जोडते.
समद्विभुज ट्रॅपेझियम
ट्रॅपेझॉइड ज्याच्या बाजू समान असतात त्याला समद्विभुज म्हणतात. समद्विद्विभुज ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्रफळाच्या सूत्राच्या अनेक प्रकारांचा आपण विचार करू.
पहिला पर्याय: r त्रिज्या असलेले वर्तुळ समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडच्या आत कोरलेले असते आणि पार्श्व बाजू आणि मोठा पाया एक तीव्र कोन α बनवतात तेव्हा. एक वर्तुळ ट्रॅपेझॉइडमध्ये कोरले जाऊ शकते बशर्ते की त्याच्या पायाच्या लांबीची बेरीज बाजूंच्या लांबीच्या बेरजेइतकी असेल.
समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे मोजले जाते: कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याचा चौरस चार ने गुणा आणि ते सर्व sinα ने विभाजित करा: S = 4r 2 /sinα. दुसरा एरिया फॉर्म्युला पर्यायासाठी एक विशेष केस आहे जेव्हा मोठा पाया आणि बाजू यांच्यातील कोन 30 0 असतो: S = 8r2.
दुसरा पर्याय: यावेळी आपण समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड घेतो, ज्यामध्ये, त्याव्यतिरिक्त, कर्ण d 1 आणि d 2 काढले जातात, तसेच उंची h. ट्रॅपेझॉइडचे कर्ण परस्पर लंब असल्यास, उंची पायाच्या बेरीजच्या अर्धी असते: h = 1/2(a + b). हे जाणून घेतल्यास, तुम्हाला आधीच परिचित असलेल्या ट्रॅपेझॉइड क्षेत्र सूत्राचे या फॉर्ममध्ये रूपांतर करणे सोपे आहे: S = h2.
वक्र ट्रापेझॉइडच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
चला समजून घेऊन सुरुवात करूया: वक्र ट्रापेझॉइड म्हणजे काय. एका समन्वय अक्षाची कल्पना करा आणि सतत आणि नकारात्मक नसलेल्या फंक्शनच्या आलेखाची कल्पना करा जे x-अक्षावरील दिलेल्या विभागामध्ये चिन्ह बदलत नाही. फंक्शन y \u003d f (x) च्या आलेखाद्वारे वक्र ट्रापेझॉइड तयार होतो - शीर्षस्थानी, x अक्ष - तळाशी (सेगमेंट) आणि बाजूंनी - बिंदू a आणि b आणि आलेख दरम्यान काढलेल्या सरळ रेषा कार्याचे.
वरील पद्धती वापरून अशा नॉन-स्टँडर्ड आकृतीचे क्षेत्रफळ काढणे अशक्य आहे. येथे तुम्हाला गणितीय विश्लेषण लागू करणे आणि अविभाज्य वापरणे आवश्यक आहे. अर्थात, न्यूटन-लेबनिझ सूत्र - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). या फॉर्म्युलामध्ये, F हे निवडलेल्या मध्यांतरावरील आपल्या फंक्शनचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे. आणि कर्व्हिलिनियर ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ दिलेल्या सेगमेंटवर अँटीडेरिव्हेटिव्हच्या वाढीशी संबंधित आहे.
कार्य उदाहरणे
ही सर्व सूत्रे तुमच्या डोक्यात अधिक चांगली करण्यासाठी, ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ शोधण्याच्या समस्यांची काही उदाहरणे येथे आहेत. आपण प्रथम स्वत: समस्या सोडवण्याचा प्रयत्न केल्यास उत्तम होईल, आणि त्यानंतरच आपल्याला मिळालेले उत्तर तयार समाधानासह तपासा.
कार्य #1:ट्रॅपेझॉइड दिले. त्याचा मोठा पाया 11 सेमी आहे, लहान 4 सेमी आहे. ट्रॅपेझियममध्ये कर्ण आहेत, एक 12 सेमी लांब, दुसरा 9 सेमी लांब.
उपाय: ट्रॅपेझॉइड एएमआरएस तयार करा. रेषा RX ला शिरोबिंदू P मधून काढा म्हणजे ती कर्ण MC च्या समांतर असेल आणि रेखा AC ला X बिंदूवर छेदते. तुम्हाला त्रिकोण APX मिळेल.
आम्ही या फेरफारच्या परिणामी प्राप्त झालेल्या दोन आकृत्यांचा विचार करू: त्रिकोण APX आणि समांतरभुज चौकोन CMPX.
समांतरभुज चौकोनाबद्दल धन्यवाद, आपण शिकतो की PX = MC = 12 cm आणि CX = MP = 4 cm. ARCH त्रिकोणाची बाजू AX कुठे काढता येईल: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 सेमी.
आपण हे देखील सिद्ध करू शकतो की त्रिकोण ARCH काटकोन आहे (हे करण्यासाठी, पायथागोरियन प्रमेय लागू करा - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). आणि त्याचे क्षेत्रफळ काढा: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 सेमी 2.
पुढे, तुम्हाला हे सिद्ध करावे लागेल की त्रिकोण AMP आणि PCX क्षेत्रफळात समान आहेत. आधार MP आणि CX (आधीपासूनच वर सिद्ध) बाजूंची समानता असेल. आणि आपण या बाजूंनी कमी करता त्या उंची देखील - ते एएमआरएस ट्रॅपेझॉइडच्या उंचीइतके आहेत.
हे सर्व तुम्हाला S AMPC \u003d S APX \u003d 54 सेमी 2 असे ठासून सांगण्याची अनुमती देईल.
कार्य #2:ट्रॅपेझॉइड KRMS दिले. O आणि E बिंदू त्याच्या पार्श्व बाजूंवर स्थित आहेत, तर OE आणि KS समांतर आहेत. हे देखील ज्ञात आहे की ट्रॅपेझॉइड ORME आणि OXE चे क्षेत्रफळ 1:5 च्या प्रमाणात आहेत. PM = a आणि KS = b. तुम्हाला OE शोधण्याची आवश्यकता आहे.
ऊत्तराची: RK च्या समांतर M बिंदूमधून एक रेषा काढा आणि OE सह त्याच्या छेदनबिंदूचा बिंदू T म्हणून नियुक्त करा. A हा KS च्या पायासह RK च्या समांतर बिंदू E मधून काढलेल्या रेषेच्या छेदनबिंदूचा बिंदू आहे.
आणखी एक नोटेशन ओळखू या - OE = x. तसेच त्रिकोण TME साठी h 1 आणि त्रिकोण AEC साठी h 2 उंची (आपण स्वतंत्रपणे या त्रिकोणांची समानता सिद्ध करू शकता).
आपण असे गृहीत धरू की b > a. ट्रॅपेझॉइड्स ORME आणि OXE चे क्षेत्र 1:5 प्रमाणे संबंधित आहेत, जे आम्हाला खालील समीकरण काढण्याचा अधिकार देते: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. चला रूपांतर करू आणि मिळवू: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * (b + x) / (x + a)).
त्रिकोण TME आणि AEC समान असल्याने, आपल्याकडे h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). दोन्ही नोंदी एकत्र करा आणि मिळवा: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
अशा प्रकारे, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
निष्कर्ष
भूमिती हे विज्ञान सर्वात सोपे नाही, परंतु आपण निश्चितपणे परीक्षेच्या कार्यांना सामोरे जाण्यास सक्षम असाल. तयारीसाठी फक्त थोडा संयम लागतो. आणि, अर्थातच, सर्व आवश्यक सूत्रे लक्षात ठेवा.
ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ मोजण्यासाठी आम्ही सर्व सूत्रे एकाच ठिकाणी एकत्रित करण्याचा प्रयत्न केला जेणेकरून तुम्ही परीक्षेची तयारी करता तेव्हा आणि सामग्रीची पुनरावृत्ती करता तेव्हा तुम्ही त्यांचा वापर करू शकता.
मध्ये या लेखाबद्दल तुमच्या वर्गमित्रांना आणि मित्रांना नक्की सांगा सामाजिक नेटवर्कमध्ये. युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन आणि GIA साठी आणखी चांगले ग्रेड असू द्या!
blog.site, सामग्रीच्या पूर्ण किंवा आंशिक कॉपीसह, स्त्रोताचा दुवा आवश्यक आहे.