आयताकृती ट्रॅपेझॉइडमध्ये, कर्ण परस्पर असतात. ट्रॅपेझॉइड कर्ण. उंचीच्या दृष्टीने ट्रॅपेझॉइडचे कर्ण शोधण्यासाठी सूत्रे

ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा खंड पायाच्या फरकाच्या अर्ध्या समान असतो
ट्रॅपेझॉइडच्या पायांद्वारे तयार केलेले त्रिकोण आणि त्यांच्या छेदनबिंदूपर्यंत कर्णांचे विभाग समान आहेत
ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या विभागांनी तयार केलेले त्रिकोण, ज्याच्या बाजू ट्रॅपेझॉइडच्या बाजूंवर असतात - समान क्षेत्र (समान क्षेत्र असते)
जर आपण ट्रॅपेझॉइडच्या बाजू लहान पायाच्या दिशेने वाढवल्या तर ते तळांच्या मध्यबिंदूंना जोडणाऱ्या सरळ रेषेने एका बिंदूवर छेदतील.
ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी जोडणारा आणि ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूमधून जाणारा विभाग या बिंदूने ट्रॅपेझॉइडच्या पायाच्या लांबीच्या गुणोत्तराच्या प्रमाणात विभागला जातो.
ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी समांतर असलेला आणि कर्णांच्या छेदनबिंदूमधून काढलेला एक खंड या बिंदूने दुभाजक केला जातो आणि त्याची लांबी 2ab / (a + b) आहे, जेथे a आणि b हे समलंबकाचे तळ आहेत.

ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या मध्यबिंदूंना जोडणाऱ्या सेगमेंटचे गुणधर्म

ट्रॅपेझॉइड ABCD च्या कर्णांचे मध्यबिंदू जोडा, परिणामी आपल्याकडे LM हा खंड असेल.
ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा रेषाखंड ट्रॅपेझियमच्या मध्यभागी स्थित आहे.

हा विभाग ट्रॅपेझियमच्या पायथ्याशी समांतर.

ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या मध्यबिंदूंना जोडणाऱ्या सेगमेंटची लांबी त्याच्या पायाच्या अर्ध्या-अंतराच्या बरोबरीची असते.

LM = (AD - BC)/2
किंवा
LM = (a-b)/2

ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांनी तयार केलेल्या त्रिकोणांचे गुणधर्म

ट्रॅपेझॉइडच्या पाया आणि ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूद्वारे तयार होणारे त्रिकोण - समान आहेत.
त्रिकोण BOC आणि AOD समान आहेत. BOC आणि AOD हे कोन उभे असल्यामुळे ते समान आहेत.
कोन OCB आणि OAD हे AD आणि BC समांतर रेषांवर अंतर्गत क्रॉसवाईज आहेत (ट्रॅपेझियमचे तळ एकमेकांना समांतर आहेत) आणि सीकंट रेषा AC, म्हणून, ते समान आहेत.
कोन OBC आणि ODA समान कारणास्तव समान आहेत (अंतर्गत क्रॉस-लायिंग).

एका त्रिकोणाचे तिन्ही कोन दुसर्‍या त्रिकोणाच्या संगत कोनांशी समान असल्यामुळे हे त्रिकोण सारखेच असतात.

यातून पुढे काय?

भूमितीतील समस्या सोडवण्यासाठी, त्रिकोणांची समानता खालीलप्रमाणे वापरली जाते. जर आपल्याला समान त्रिकोणाच्या दोन संबंधित घटकांची लांबी माहित असेल, तर आपल्याला समानता गुणांक सापडतो (आपण एकाला दुसऱ्याने विभाजित करतो). जिथून इतर सर्व घटकांची लांबी अगदी समान मूल्याने एकमेकांशी संबंधित आहेत.

ट्रॅपेझॉइडच्या पार्श्व बाजू आणि कर्णांवर पडलेले त्रिकोणांचे गुणधर्म

ट्रॅपेझॉइड एबी आणि सीडीच्या बाजूंना पडलेले दोन त्रिकोण विचारात घ्या. हे AOB आणि COD त्रिकोण आहेत. या त्रिकोणांच्या वैयक्तिक बाजूंचे आकार पूर्णपणे भिन्न असू शकतात हे असूनही, परंतु बाजूंनी बनलेल्या त्रिकोणांचे क्षेत्र आणि समलंब चौकोनाच्या कर्णांचे छेदनबिंदू हे आहेत, म्हणजे, त्रिकोण समान आहेत.

जर ट्रॅपेझॉइडच्या बाजू लहान पायाच्या दिशेने वाढवल्या गेल्या असतील तर बाजूंच्या छेदनबिंदूचा बिंदू असेल तळांच्या मध्यबिंदूंमधून जाणार्‍या सरळ रेषेशी एकरूप व्हा.

अशा प्रकारे, कोणताही ट्रॅपेझॉइड त्रिकोणापर्यंत वाढविला जाऊ शकतो. ज्यामध्ये:

विस्तारित बाजूंच्या छेदनबिंदूवर सामान्य शिरोबिंदू असलेल्या ट्रॅपेझॉइडच्या पायांद्वारे तयार केलेले त्रिकोण समान असतात
ट्रॅपेझॉइडच्या पायाच्या मध्यबिंदूंना जोडणारी सरळ रेषा, त्याच वेळी, बांधलेल्या त्रिकोणाचा मध्यबिंदू आहे

ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी जोडणाऱ्या सेगमेंटचे गुणधर्म

ट्रॅपेझॉइड (KN) च्या कर्णांच्या छेदनबिंदूवर असलेल्या ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी ज्याची टोके आहेत असा खंड काढल्यास, त्याच्या घटक विभागांचे पायाच्या बाजूपासून छेदनबिंदूपर्यंतचे गुणोत्तर कर्ण (KO/ON) ट्रॅपेझॉइडच्या पायाच्या गुणोत्तराप्रमाणे असेल(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

ही मालमत्ता संबंधित त्रिकोणांच्या समानतेवरून येते (वर पहा).

ट्रॅपेझॉइडच्या पायाशी समांतर असलेल्या सेगमेंटचे गुणधर्म

जर आपण ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी समांतर एक खंड काढला आणि ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूमधून जात असेल तर त्याचे खालील गुणधर्म असतील:

प्रीसेट अंतर (KM) ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूला दुभाजक करतो
लांबी कट करा, ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूमधून जाणे आणि पायथ्याशी समांतर, समान आहे KM = 2ab/(a + b)

ट्रॅपेझॉइडचे कर्ण शोधण्यासाठी सूत्रे

a, b- ट्रॅपेझॉइडचे तळ

c, d- ट्रॅपेझॉइडच्या बाजू

d1 d2- ट्रॅपेझॉइडचे कर्ण

α β - ट्रॅपेझॉइडच्या मोठ्या पायासह कोन

पायथ्यावरील पाया, बाजू आणि कोनांमधून ट्रॅपेझॉइडचे कर्ण शोधण्यासाठी सूत्रे

सूत्रांचा पहिला गट (1-3) ट्रॅपेझॉइड कर्णांच्या मुख्य गुणधर्मांपैकी एक प्रतिबिंबित करतो:

1. ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या चौरसांची बेरीज बाजूंच्या चौरसांच्या बेरजेशी आणि त्याच्या पायाच्या गुणाकाराच्या दुप्पट असते. ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांचा हा गुणधर्म स्वतंत्र प्रमेय म्हणून सिद्ध केला जाऊ शकतो

2 . हे सूत्र पूर्वीचे सूत्र बदलून मिळते. दुसऱ्या कर्णाचा चौरस समान चिन्हावर टाकला जातो, त्यानंतर अभिव्यक्तीच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंमधून वर्गमूळ काढले जाते.

3 . ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णाची लांबी शोधण्याचे हे सूत्र मागील प्रमाणेच आहे, या फरकाने अभिव्यक्तीच्या डाव्या बाजूला दुसरा कर्ण सोडला आहे.

सूत्रांचा पुढील गट (4-5) अर्थाने समान आहे आणि समान संबंध व्यक्त करतो.

जर तुम्हाला ट्रॅपेझॉइडचा मोठा पाया, एक बाजू आणि पायावरील कोन माहित असेल तर सूत्रांचा समूह (6-7) तुम्हाला ट्रॅपेझॉइडचा कर्ण शोधण्याची परवानगी देतो.

उंचीच्या दृष्टीने ट्रॅपेझॉइडचे कर्ण शोधण्यासाठी सूत्रे

नोंद. एटी हा धडाट्रॅपेझॉइड्सबद्दल भूमितीमधील समस्यांचे निराकरण दिले आहे. आपल्याला स्वारस्य असलेल्या प्रकारच्या भूमिती समस्येचे निराकरण न मिळाल्यास - फोरमवर एक प्रश्न विचारा.

एक कार्य.
ट्रॅपेझॉइड ABCD (AD | | BC) चे कर्ण O बिंदूला छेदतात. जर पाया AD = 24 सेमी, लांबी AO = 9 सेमी, लांबी OS = 6 सेमी असेल तर समलंब बिंदूच्या पायाभूत BC ची लांबी शोधा.

उपाय.
या कार्याचे निराकरण विचारधारेच्या दृष्टीने मागील कार्यांसारखेच आहे.

त्रिकोण AOD आणि BOC तीन कोनांमध्ये समान आहेत - AOD आणि BOC हे उभ्या आहेत, आणि उर्वरित कोन जोडीने समान आहेत, कारण ते एक रेषा आणि दोन समांतर रेषांच्या छेदनबिंदूद्वारे तयार होतात.

त्रिकोण सारखेच असल्याने, त्यांची सर्व भौमितिक परिमाणे एकमेकांशी संबंधित आहेत, कारण AO आणि OC या खंडांची भौमितीय परिमाणे आपल्याला समस्येच्या स्थितीनुसार ज्ञात आहेत. ते आहे

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / B.C.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

उत्तर द्या: 16 सेमी

एक कार्य.
ट्रॅपेझॉइड ABCD मध्ये हे ज्ञात आहे की AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र शोधा.

उपाय .
लहान बेस B आणि C च्या शिरोबिंदूंमधून ट्रॅपेझॉइडची उंची शोधण्यासाठी, आम्ही मोठ्या पायावर दोन उंची कमी करतो. ट्रॅपेझॉइड असमान असल्याने, आम्ही लांबी AM = a, लांबी KD = b ( सूत्रातील चिन्हांसह गोंधळ होऊ नयेट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र शोधणे). ट्रॅपेझॉइडचे तळ समांतर असल्याने आणि आम्ही मोठ्या पायाला लंब असलेल्या दोन उंची वगळल्या आहेत, तर MBCK हा आयत आहे.

म्हणजे
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

DBM आणि ACK त्रिकोण काटकोन आहेत, म्हणून त्यांचे काटकोन ट्रॅपेझियमच्या उंचीने तयार होतात. ट्रॅपेझॉइडची उंची h म्हणून दर्शवू. मग पायथागोरियन प्रमेयाने

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
आणि
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

पहिल्या समीकरणात नंतर a \u003d 16 - b विचारात घ्या
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

पायथागोरियन प्रमेयाने मिळवलेल्या दुसऱ्या समीकरणामध्ये आपण उंचीच्या चौरसाचे मूल्य बदलतो. आम्हाला मिळते:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = १२

अशा प्रकारे, KD = 12
कुठे
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ त्याची उंची आणि पायाच्या अर्ध्या बेरीजचा वापर करून शोधा
, जेथे b - समलंब चौकोनाचे तळ, h - समलंब बिंदूची उंची
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 सेमी 2

उत्तर द्या: ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ 80 सेमी 2 आहे.

समद्विभुज समलंब मधील कर्ण लंब असल्यास, खालील सैद्धांतिक सामग्री समस्या सोडवण्यासाठी उपयुक्त ठरेल.

1. समद्विभुज समलंबामध्ये कर्ण लंब असल्यास, समलंब समलंबाची उंची पायाच्या बेरीजच्या अर्धी असते.

BD च्या समांतर बिंदू C मधून CF रेषा काढू आणि CF ला छेदत नाही तोपर्यंत रेषा AD वाढवू.

चतुर्भुज BCFD हा समांतरभुज चौकोन आहे (BC∥ DF समलंब चौकोनाचा पाया म्हणून, BD∥ CF बांधकामानुसार). तर CF=BD, DF=BC आणि AF=AD+BC.

त्रिकोण ACF काटकोन आहे (जर एखादी रेषा दोन समांतर रेषांपैकी एकाला लंब असेल तर ती दुसऱ्या रेषेला देखील लंब असते). समद्विभुज समलंब मधील कर्ण समान असल्याने, आणि CF=BD, नंतर CF=AC, म्हणजेच त्रिकोण ACF हा बेस AF सह समद्विभुज आहे. म्हणून, त्याची उंची CN देखील मध्यक आहे. आणि कर्णाकडे काढलेल्या काटकोन त्रिकोणाचा मध्यभाग त्याच्या अर्ध्या बरोबर असल्याने

काय मध्ये सामान्य दृश्यम्हणून लिहिले जाऊ शकते

जेथे h ही ट्रॅपेझॉइडची उंची आहे, a आणि b हे त्याचे तळ आहेत.

2. समद्विभुज समलंबामध्ये कर्ण लंब असल्यास, त्याची उंची मध्यरेषेइतकी असते.

ट्रॅपेझॉइड m ची मध्यरेषा पायाच्या बेरीजच्या अर्ध्या समान असल्याने

3. समद्विभुज समलंबामध्ये कर्ण लंब असल्यास, समलंब समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ समलंब चौकोनाच्या उंचीच्या चौरसाइतके असते (किंवा पायाच्या अर्ध्या बेरीजचा चौरस, किंवा मध्यरेषेचा चौरस) ).

ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ सूत्राद्वारे आढळते

आणि उंची, पायाची अर्धी बेरीज आणि लंब कर्ण असलेल्या समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडची मध्यरेषा एकमेकांच्या समान आहेत:

4. समद्विद्विभुज समलंब मधील कर्ण लंब असल्यास, त्याच्या कर्णाचा वर्ग पायाच्या बेरीजच्या अर्ध्या चौरसाइतका, तसेच उंचीच्या चौरसाच्या दुप्पट आणि मध्यरेषेच्या चौरसाच्या दुप्पट असतो.

उत्तल चतुर्भुजाचे क्षेत्रफळ त्याच्या कर्णांमधून आणि सूत्र वापरून त्यांच्यामधील कोनातून शोधले जाऊ शकते.

पुन्हा, पायथागोरियन त्रिकोण :))) मोठ्या पायापासून छेदनबिंदूपर्यंतच्या मोठ्या कर्णाचा तुकडा x ने दर्शविला, तर समान कोन असलेल्या काटकोन त्रिकोणांच्या स्पष्ट समानतेवरून ते पुढे येते. x / 64 = 36 / x, म्हणून x = 48; 48/64 = 3 / 4, म्हणून पाया, कर्ण आणि पायाला लंब असलेल्या बाजूंनी तयार केलेले सर्व काटकोन त्रिकोण 3,4,5 बाजू असलेल्या त्रिकोणासारखे आहेत. अपवाद म्हणजे कर्णांचे तुकडे आणि तिरकस बाजूंनी बनलेला त्रिकोण, परंतु आम्हाला त्यात रस नाही :). (स्पष्टपणे सांगायचे तर, प्रश्नातील समानता ही कोनांची फक्त दुसरी NAMED त्रिकोणमितीय फंक्शन्स आहे :) मोठ्या कर्ण आणि मोठ्या पायामधील कोनाची स्पर्शिका आपल्याला आधीच माहित आहे, ती 3/4 आहे, म्हणून साइन 3/5 आहे, आणि कोसाइन 4/5 आहे :)) तुम्ही लगेच लिहू शकता

उत्तरे. खालचा पाया 80 आहे, ट्रॅपेझॉइडची उंची 60 असेल आणि वरची 45 असेल. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

संबंधित कार्ये:

1. प्रिझमचा पाया एक त्रिकोण आहे, ज्याची एक बाजू 2 सेमी आहे, आणि इतर दोन प्रत्येकी 3 सेमी आहेत. बाजूकडील किनार 4 सेमी आहे आणि बेस प्लेनसह 45 चा कोन बनवते. एखाद्याची धार शोधा समान घन.

2. झुकलेल्या प्रिझमचा पाया बाजू a असलेला समभुज त्रिकोण आहे; बाजूचा एक चेहरा पायाच्या समतलाला लंब आहे आणि समभुज चौकोन आहे ज्याचा लहान कर्ण c आहे. प्रिझमची मात्रा शोधा.

3. झुकलेल्या प्रिझममध्ये, पाया हा काटकोन त्रिकोण आहे ज्याचे कर्ण c, एक आहे तीक्ष्ण कोपरा 30, बाजूची बरगडीबरोबर आणि बेस प्लेनसह 60 चा कोन बनवतो. प्रिझमची मात्रा शोधा.

1. चौकोनाचा कर्ण 10 सेमी असल्यास त्याची बाजू शोधा

2. समद्विभुज समलंबामध्ये, स्थूल कोन 4 सेमी पायापेक्षा 135 अंश कमी आहे आणि उंची 2 सेमी आहे, समलंब समलंबाचे क्षेत्रफळ शोधा?

3. ट्रॅपेझॉइडची उंची एका पायापेक्षा 3 पट जास्त आहे, परंतु इतर अर्ध्या आहे. ट्रॅपेझॉइडचे तळ आणि उंची शोधा जर ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ 168 सेमी वर्ग असेल तर?

4. ABC त्रिकोणामध्ये, कोन A = कोनात = 75 अंश. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 36 सेमी वर्ग असल्यास BC शोधा.

1. AB आणि CD बाजू असलेल्या ट्रॅपेझॉइड ABCD मध्ये, कर्ण O बिंदूला छेदतात

a) ABD आणि ACD त्रिकोणाच्या क्षेत्रांची तुलना करा

b) ABO आणि CDO त्रिकोणाच्या क्षेत्रांची तुलना करा

c) OA*OB=OC*OD हे सिद्ध करा

2. पाया समद्विभुज त्रिकोण 4:3 बाजूशी संबंधित आहे, आणि पायथ्याशी काढलेली उंची 30 सेमी आहे. ही उंची पायावरील कोनाच्या दुभाजकाने भागलेली विभाग शोधा.

3. रेखा AM -वर्तुळाची स्पर्शिका, या वर्तुळाची AB- जीवा. कोन MAB हे कोन MAB च्या आत असलेल्या चाप AB च्या अर्ध्याने मोजले जाते हे सिद्ध करा.