Uputa
Postoje četiri vrste matematičkih operacija: zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Stoga će biti četiri vrste primjera sa. Negativni brojevi unutar primjera su istaknuti kako ne bi došlo do zabune u matematičkoj operaciji. Na primjer, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) ili 34:(-17).
Dodatak. Ova akcija može izgledati ovako: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Zamjena radnje: prvo se otvore zagrade, znak "+" se obrne, zatim se od većeg (po modulu) broja "6" oduzme manja "3", nakon čega se odgovoru pripiše veći znak, tj. , "-".
2) -3+6=3. Ovaj se može napisati kao - ("6-3") ili po principu "oduzmi manje od većeg i odgovoru dodijeli znak većeg."
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Prilikom otvaranja, zamjena radnje zbrajanja oduzimanjem, zatim se moduli zbrajaju i rezultatu se daje znak minus.
Oduzimanje.1) 8-(-5)=8+5=13. Zagrade se otvaraju, predznak radnje se obrće i dobiva se primjer sabiranja.
2) -9-3=-12. Elementi primjera se zbrajaju i dobivaju zajednički znak "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Prilikom otvaranja zagrada predznak se ponovno mijenja u "+", zatim se manji broj oduzima od većeg broja i predznak većeg broja uzima se iz odgovora.
Množenje i dijeljenje.Pri izvođenju množenja ili dijeljenja znak ne utječe na samu operaciju. Kod množenja ili dijeljenja brojeva odgovoru se dodjeljuje predznak minus, ako su brojevi s istim predznakom, rezultat uvijek ima predznak plus 1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.
Izvori:
- stol s kontra
Kako odlučiti primjeri? Djeca se često obraćaju roditeljima s ovim pitanjem ako treba napraviti zadaću. Kako pravilno objasniti djetetu rješavanje primjera za zbrajanje i oduzimanje višeznamenkastih brojeva? Pokušajmo to shvatiti.
Trebat će vam
- 1. Udžbenik matematike.
- 2. Papir.
- 3. Ručka.
Uputa
Pročitajte primjer. Da biste to učinili, svaki multivalued je podijeljen u klase. Počevši od kraja broja, odbrojite tri znamenke i stavite točku (23.867.567). Podsjetimo da su prve tri znamenke od kraja broja do jedinica, sljedeće tri - do klase, a zatim postoje milijuni. Čitamo broj: dvadeset tri osam stotina šezdeset sedam tisuća šezdeset sedam.
Napiši primjer. Imajte na umu da su jedinice svake znamenke napisane striktno jedna ispod druge: jedinice ispod jedinica, desetice ispod desetica, stotine ispod stotina itd.
Izvršite zbrajanje ili oduzimanje. Počnite izvoditi akciju s jedinicama. Ispod kategorije s kojom je radnja izvršena upišite rezultat. Ako se pokazalo da je to broj (), tada na mjesto odgovora upisujemo jedinice, a jedinicama pražnjenja dodajemo broj desetica. Ako je broj jedinica bilo koje znamenke u manjem broju manji nego u oduzetom, uzimamo 10 jedinica sljedeće znamenke, izvodimo radnju.
Pročitajte odgovor.
Slični Videi
Bilješka
Zabranite djetetu korištenje kalkulatora, čak i za provjeru rješenja primjera. Zbrajanje se provjerava oduzimanjem, a oduzimanje zbrajanjem.
Ako dijete dobro nauči tehnike pismenih izračuna unutar 1000, tada radnje s višeznamenkastim brojevima izvedene analogijom neće uzrokovati poteškoće.
Organizirajte natjecanje za svoje dijete: koliko primjera može riješiti u 10 minuta. Takva obuka pomoći će automatizirati računalne tehnike.
Množenje je jedna od četiri osnovne matematičke operacije i osnova je mnogih složenijih funkcija. U ovom slučaju, zapravo, množenje se temelji na operaciji dodavanja: znanje o tome omogućuje vam da ispravno riješite bilo koji primjer.
Da bismo razumjeli bit operacije množenja, potrebno je uzeti u obzir da su u njoj uključene tri glavne komponente. Jedan od njih naziva se prvi faktor i predstavlja broj koji je podvrgnut operaciji množenja. Iz tog razloga ima i drugi, nešto rjeđi naziv - "multiplikator". Druga komponenta operacije množenja naziva se drugi faktor: to je broj kojim se množi množenik. Stoga se obje ove komponente nazivaju množiteljima, što naglašava njihov jednak status, kao i činjenicu da se mogu međusobno mijenjati: rezultat množenja se time neće promijeniti. Konačno, treća komponenta operacije množenja, koja iz nje proizlazi, zove se umnožak.
Redoslijed operacije množenja
Bit operacije množenja temelji se na jednostavnijoj računskoj operaciji -. Zapravo, množenje je zbrajanje prvog faktora, ili množenika, toliko puta da odgovara drugom faktoru. Na primjer, da biste pomnožili 8 sa 4, trebate zbrojiti broj 8 4 puta, što rezultira 32. Ova metoda, osim što omogućuje razumijevanje suštine operacije množenja, može se koristiti za provjeru dobivenog rezultata pri izračunu željenog proizvoda. Treba imati na umu da provjera nužno pretpostavlja da su pojmovi uključeni u zbrajanje isti i da odgovaraju prvom faktoru.Rješavanje primjera množenja
Dakle, da bi se riješilo , povezano s potrebom množenja, može biti dovoljno dodati traženi broj prvih faktora određeni broj puta. Takva metoda može biti prikladna za izvođenje gotovo svih izračuna povezanih s ovom operacijom. Istodobno, u matematici vrlo često postoje tipični, u kojima sudjeluju standardni jednoznamenkasti cijeli brojevi. Kako bi se olakšao njihov izračun, stvoreno je tzv. množenje koje uključuje potpuni popis umnožaka cijelih jednoznamenkastih brojeva, odnosno brojeva od 1 do 9. Dakle, nakon što naučite, možete znatno pojednostaviti postupak rješavanja primjera množenja, koji se temelji na korištenju takvih brojeva. Međutim, za više složene opcije morat ćete sami izvesti ovu matematičku operaciju.Slični Videi
Izvori:
- Množenje u 2019
Množenje je jedna od četiri osnovne računske operacije, koja se često koristi kako u školi tako iu školi Svakidašnjica. Kako možete brzo pomnožiti dva broja?
Temelj najsloženijih matematičkih izračuna četiri su osnovne računske operacije: oduzimanje, zbrajanje, množenje i dijeljenje. U isto vrijeme, unatoč njihovoj neovisnosti, te se operacije, nakon detaljnijeg ispitivanja, pokazuju međusobno povezanima. Takav odnos postoji, na primjer, između zbrajanja i množenja.
Operacija množenja brojeva
Tri su glavna elementa uključena u operaciju množenja. Prvi od njih, koji se obično naziva prvi faktor ili množenik, je broj koji će biti podvrgnut operaciji množenja. Drugi, koji se naziva drugi faktor, je broj kojim će se prvi faktor pomnožiti. Konačno, rezultat izvršene operacije množenja najčešće se naziva umnožak.Treba imati na umu da se bit operacije množenja zapravo temelji na zbrajanju: za njegovu provedbu potrebno je zbrojiti određeni broj prvih faktora, a broj članova u tom zbroju mora biti jednak drugom faktoru. Osim za izračun umnoška dva faktora koja se razmatraju, ovaj se algoritam također može koristiti za provjeru dobivenog rezultata.
Primjer rješavanja zadatka množenja
Razmotrite rješenja problema množenja. Pretpostavimo da je prema uvjetima zadatka potrebno izračunati umnožak dvaju brojeva među kojima je prvi faktor 8, a drugi 4. Sukladno definiciji operacije množenja, to zapravo znači da potrebno je 4 puta dodati broj 8. Rezultat je 32 - ovo je proizvod koji se smatra brojevima, odnosno rezultat njihovog množenja.Osim toga, treba imati na umu da se na operaciju množenja primjenjuje takozvani komutativni zakon, koji utvrđuje da promjena mjesta faktora u izvornom primjeru neće promijeniti njegov rezultat. Dakle, možete dodati broj 4 8 puta, što rezultira istim umnoškom - 32.
Tablica množenja
Jasno je da riješiti na ovaj način veliki broj primjeri iste vrste prilično je dosadan zadatak. Kako bi se olakšao ovaj zadatak, izumljeno je tzv. Zapravo, to je popis umnožaka cijelih pozitivnih jednoznamenkastih brojeva. Jednostavno rečeno, tablica množenja je zbirka rezultata međusobnog množenja od 1 do 9. Nakon što ste naučili ovu tablicu, više ne možete pribjegavati množenju kad god trebate riješiti primjer za takve proste brojeve, već jednostavno zapamtite njegov rezultat.Slični Videi
U ovoj lekciji naučit ćemo što je negativan broj i koji se brojevi nazivaju suprotnim. Također ćemo naučiti kako zbrajati negativne i pozitivne brojeve (brojeve s različitim predznacima) te analizirati nekoliko primjera zbrajanja brojeva s različitim predznacima.
Pogledajte ovaj zupčanik (vidi sliku 1).
Riža. 1. Satni zupčanik
Ovo nije strelica koja izravno pokazuje vrijeme, a ne brojčanik (vidi sl. 2). Ali bez ovog detalja, sat ne radi.
Riža. 2. Zupčanik unutar sata
Što znači slovo Y? Ništa osim zvuka Y. Ali bez toga mnoge riječi neće "raditi". Na primjer, riječ "miš". Isto tako i negativni brojevi: oni ne pokazuju nikakav iznos, ali bez njih bi mehanizam izračuna bio mnogo teži.
Znamo da su zbrajanje i oduzimanje jednake operacije i da se mogu izvoditi bilo kojim redoslijedom. Izravnim redoslijedom možemo izračunati: , ali nema načina da počnemo s oduzimanjem, budući da se još nismo dogovorili, ali ono što je .
Jasno je da povećanje broja za, a zatim smanjenje za znači, kao rezultat, smanjenje za tri. Zašto ne označiti ovaj predmet i računati ga na ovaj način: dodati znači oduzeti. Zatim .
Broj može značiti, na primjer, jabuke. Novi broj ne predstavlja nikakvu stvarnu količinu. Samo po sebi ne znači ništa, kao slovo Y. To je samo novi alat za pojednostavljivanje izračuna.
Imenujmo nove brojeve negativan. Sada možemo oduzeti veći broj od manjeg broja. Tehnički, i dalje trebate oduzeti manji broj od većeg broja, ali stavite znak minus u odgovor: .
Pogledajmo još jedan primjer: 
. Možete raditi sve radnje zaredom:.
Međutim, lakše je oduzeti treći broj od prvog broja, a zatim dodati drugi broj:
Negativni brojevi mogu se definirati i na drugi način.
Za svaki prirodni broj, na primjer, uvedimo novi broj, koji označavamo i utvrdimo da ima sljedeće svojstvo: zbroj broja i jednak je : .
Broj ćemo nazvati negativnim, a brojeve i - suprotnim. Tako smo dobili beskonačan broj novih brojeva, npr.
Suprotno od broja;
Suprotno od ;
Suprotno od ; 
Suprotno od ;
Oduzmite veći broj od manjeg broja: Dodajmo ovom izrazu: . Imamo nulu. Međutim, prema svojstvu: broj koji zbraja pet daje nulu označava se minus pet:. Stoga se izraz može označiti kao .
Svaki pozitivni broj ima broj blizanac, koji se razlikuje samo po tome što mu prethodi znak minus.Takvi se brojevi nazivaju suprotan(Pogledajte sliku 3).
Riža. 3. Primjeri suprotnih brojeva
Svojstva suprotnih brojeva
1. Zbroj suprotnih brojeva jednak je nuli:.
2. Ako od nule oduzmete pozitivan broj, rezultat će biti suprotan negativan broj: .
1. Oba broja mogu biti pozitivna, a već ih znamo zbrajati: .
2. Oba broja mogu biti negativna.
Već smo prošli kroz zbrajanje takvih brojeva u prethodnoj lekciji, ali ćemo se pobrinuti da razumijemo što s njima. Na primjer: .
Da biste pronašli ovaj zbroj, zbrojite suprotne pozitivne brojeve i stavite znak minus.
3. Jedan broj može biti pozitivan, a drugi negativan.
Dodatak negativnog broja možemo zamijeniti, ako nam odgovara, oduzimanjem pozitivnog:.
Još jedan primjer: . Ponovno napišite zbroj kao razliku. Od manjeg broja možete oduzeti veći broj tako da od većeg oduzmete manji broj, ali stavljate znak minus.
Pojmovi se mogu međusobno mijenjati: .
Još jedan sličan primjer: .
U svim slučajevima rezultat je oduzimanje.
Kako bismo ukratko formulirali ova pravila, prisjetimo se još jednog pojma. Suprotni brojevi, naravno, nisu međusobno jednaki. Ali bilo bi čudno ne primijetiti da imaju nešto zajedničko. Ovo uobičajeno smo nazvali modul broja. Modul suprotnih brojeva je isti: za pozitivan broj jednak je samom broju, a za negativan je suprotan, pozitivan. Na primjer: , .
Da biste zbrojili dva negativna broja, zbrojite njihov modul i stavite znak minus:
Za zbrajanje negativnog i pozitivnog broja potrebno je od većeg modula oduzeti manji modul i staviti predznak broja uz veći modul:
Oba broja su negativna, stoga zbrojite njihove module i stavite znak minus:
Dva broja s različitim predznakom, dakle, od modula broja (veći modul) oduzimamo modul broja i stavljamo znak minus (predznak broja s većim modulom):
Dva broja s različitim predznakom, dakle, od modula broja (veći modul) oduzimamo modul broja i stavljamo znak minus (predznak broja s velikim modulom): .
Dva broja s različitim predznakom, dakle, oduzmite modul broja od modula broja (veći modul) i stavite znak plus (predznak broja s velikim modulom): .
Pozitivno i negativni brojevi povijesno drugačiju ulogu.
Prvo smo uveli prirodne brojeve za brojanje objekata:
Zatim smo uveli druge pozitivne brojeve - razlomke, za brojanje necijelih veličina, dijelova: .
Negativni brojevi pojavili su se kao alat za pojednostavljenje izračuna. Nije bilo toga da u životu postoje neke količine koje ne možemo prebrojati, a izmislili smo negativne brojeve.
Odnosno, negativni brojevi nisu potjecali iz stvarnog svijeta. Pokazalo se da su toliko prikladni da su se na nekim mjestima koristili u životu. Na primjer, često čujemo o negativna temperatura. U ovom slučaju nikada ne nailazimo na negativan broj jabuka. Koja je razlika?
Razlika je u tome što se u stvarnom životu negativne vrijednosti koriste samo za usporedbu, a ne za količine. Ako je u hotelu bio opremljen podrum i tamo je pušteno dizalo, tada da bi se ostavilo uobičajeno numeriranje običnih katova, može se pojaviti minus prvi kat. Ovaj minus jedan znači samo jedan kat ispod razine zemlje (vidi sliku 1).
Riža. 4. Minus prvi i minus drugi kat
Negativna temperatura je negativna samo u usporedbi s nulom, koju je odabrao autor ljestvice Anders Celsius. Postoje i druge ljestvice i tu ista temperatura možda više nije negativna.
Istodobno, razumijemo da je nemoguće promijeniti početnu točku tako da ne bude pet, nego šest jabuka. Tako se u životu pozitivnim brojevima određuju količine (jabuke, kolač).
Također ih koristimo umjesto imena. Svaki telefon bi mogao dobiti svoje ime, ali je broj imena ograničen, a brojeva nema. Zato koristimo telefonske brojeve. Također za naručivanje (stoljeće za stoljećem).
Negativni brojevi u životu se koriste u posljednjem značenju (minus prvi kat ispod nule i prvi katovi)
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. "Gimnazija", 2006. (monografija).
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. Moskva: Obrazovanje, 1989.
- Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za tečaj matematike 5.-6. M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Vodič za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: udžbenik Sugovornik za 5.-6 Srednja škola. M .: Obrazovanje, Biblioteka nastavnika matematike, 1989.
- Math-prosto.ru ().
- youtube().
- School-assistant.ru ().
- Allforchildren.ru ().
Domaća zadaća
U ovoj lekciji ćemo naučiti zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva, kao i pravila za njihovo zbrajanje i oduzimanje.
Podsjetimo se da su cijeli brojevi pozitivni i negativni brojevi, kao i broj 0. Na primjer, sljedeći brojevi su cijeli brojevi:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Pozitivni brojevi su laki i . Nažalost, to se ne može reći za negativne brojeve, koji mnoge početnike zbunjuju svojim minusima ispred svake znamenke. Kao što praksa pokazuje, pogreške učinjene zbog negativnih brojeva najviše uzrujavaju učenike.
Sadržaj lekcijePrimjeri cjelobrojnog zbrajanja i oduzimanja
Prvo što treba naučiti je zbrajati i oduzimati cijele brojeve pomoću koordinatne crte. Nije potrebno crtati koordinatnu liniju. Dovoljno je to zamisliti u svojim mislima i vidjeti gdje su negativni brojevi, a gdje pozitivni.
Razmotrimo najjednostavniji izraz: 1 + 3. Vrijednost ovog izraza je 4:
Ovaj primjer se može razumjeti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke gdje se nalazi broj 1, morate se pomaknuti tri koraka udesno. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi broj 4. Na slici možete vidjeti kako se to događa:
Znak plus u izrazu 1 + 3 nam govori da se trebamo pomaknuti udesno u smjeru povećanja brojeva.
Primjer 2 Nađimo vrijednost izraza 1 − 3.
Vrijednost ovog izraza je −2
Ovaj primjer se opet može razumjeti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke gdje se nalazi broj 1, morate se pomaknuti tri koraka ulijevo. Kao rezultat toga, naći ćemo se na točki gdje se nalazi negativni broj −2. Slika pokazuje kako se to događa:
Znak minus u izrazu 1 − 3 govori nam da se trebamo pomaknuti ulijevo u smjeru pada brojeva.
Općenito, moramo zapamtiti da ako se izvrši dodavanje, tada se moramo pomaknuti udesno u smjeru povećanja. Ako se izvrši oduzimanje, tada se morate pomaknuti ulijevo u smjeru smanjenja.
Primjer 3 Odredi vrijednost izraza −2 + 4
Vrijednost ovog izraza je 2
Ovaj primjer se opet može razumjeti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke na kojoj se nalazi negativni broj -2, morate se pomaknuti četiri koraka udesno. Kao rezultat toga, naći ćemo se u točki gdje se nalazi pozitivni broj 2.
Vidi se da smo se od točke u kojoj se nalazi negativan broj −2 pomaknuli udesno za četiri koraka i završili na točki u kojoj se nalazi pozitivan broj 2.
Znak plus u izrazu -2 + 4 nam govori da se trebamo pomaknuti udesno u smjeru povećanja brojeva.
Primjer 4 Odredi vrijednost izraza −1 − 3
Vrijednost ovog izraza je −4
Ovaj se primjer opet može riješiti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke gdje se nalazi negativni broj −1 potrebno je pomaknuti se tri koraka ulijevo. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi negativni broj -4
Vidi se da smo se pomaknuli od točke u kojoj se nalazi negativni broj −1 do lijeva strana tri koraka, i završila na mjestu gdje se nalazi negativni broj −4.
Znak minus u izrazu -1 - 3 nam govori da se trebamo pomaknuti ulijevo u smjeru pada brojeva.
Primjer 5 Odredi vrijednost izraza −2 + 2
Vrijednost ovog izraza je 0
Ovaj primjer se može riješiti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke gdje se nalazi negativni broj −2 potrebno je pomaknuti se dva koraka udesno. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi broj 0
Vidi se da smo se od točke u kojoj se nalazi negativni broj −2 pomaknuli udesno za dva koraka i završili na točki u kojoj se nalazi broj 0.
Znak plus u izrazu -2 + 2 nam govori da se trebamo pomaknuti udesno u smjeru povećanja brojeva.
Pravila za zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva
Za zbrajanje ili oduzimanje cijelih brojeva uopće nije potrebno svaki put zamisliti koordinatnu liniju, a kamoli je nacrtati. Pogodnije je koristiti gotova pravila.
Pri primjeni pravila potrebno je paziti na predznak operacije i predznake brojeva koji se zbrajaju ili oduzimaju. To će odrediti koje pravilo primijeniti.
Primjer 1 Odredi vrijednost izraza −2 + 5
Ovdje se pozitivan broj dodaje negativnom broju. Drugim riječima, provodi se zbrajanje brojeva s različitim predznacima. −2 je negativno, a 5 je pozitivno. Za takve slučajeve vrijedi sljedeće pravilo:
Za zbrajanje brojeva s različitim predznacima potrebno je od većeg modula oduzeti manji modul, a ispred odgovora staviti znak broja čiji je modul veći.
Dakle, da vidimo koji je modul veći:
Modul od 5 je veći od modula od −2. Pravilo zahtijeva oduzimanje manjeg od većeg modula. Dakle, od 5 moramo oduzeti 2, a ispred dobivenog odgovora staviti znak broja čiji je modul veći.
Broj 5 ima veći modul, pa će predznak ovog broja biti u odgovoru. Odnosno, odgovor će biti pozitivan:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Obično se piše kraće: −2 + 5 = 3
Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza 3 + (−2)
Ovdje se, kao u prethodnom primjeru, zbrajaju brojevi s različitim predznacima. 3 je pozitivno, a -2 negativno. Imajte na umu da je broj -2 u zagradama kako bi izraz bio jasniji. Ovaj izraz je puno lakše razumjeti od izraza 3+−2.
Dakle, primjenjujemo pravilo zbrajanja brojeva s različitim predznacima. Kao i u prethodnom primjeru, oduzimamo manji modul od većeg modula i ispred odgovora stavljamo predznak broja čiji je modul veći:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
Modul broja 3 veći je od modula broja −2, pa smo od 3 oduzeli 2, a ispred odgovora stavili predznak većeg modula broja. Broj 3 ima veći modul, pa se predznak tog broja stavlja u odgovor. Odnosno, odgovor je da.
Obično se piše kraće 3 + (−2) = 1
Primjer 3 Odredi vrijednost izraza 3 − 7
U ovom izrazu, veći broj se oduzima od manjeg broja. U tom slučaju vrijedi sljedeće pravilo:
Za oduzimanje većeg broja od manjeg broja potrebno je od većeg broja oduzeti manji broj, a ispred dobivenog odgovora staviti minus.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
Postoji mala smetnja u ovom izrazu. Podsjetimo se da se znak jednakosti (=) stavlja između vrijednosti i izraza kada su međusobno jednaki.
Vrijednost izraza 3 − 7 je, kako smo saznali, −4. To znači da sve transformacije koje ćemo izvesti u ovom izrazu moraju biti jednake −4
Ali vidimo da se izraz 7 − 3 nalazi na drugom stupnju, koji nije jednak −4.
Da bi se ispravila ova situacija, izraz 7 − 3 mora se staviti u zagradu i staviti minus ispred te zagrade:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
U ovom slučaju, jednakost će se promatrati u svakoj fazi:
Nakon što je izraz procijenjen, zagrade se mogu ukloniti, što smo i učinili.
Dakle, da budemo precizniji, rješenje bi trebalo izgledati ovako:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Ovo pravilo se može napisati pomoću varijabli. Izgledat će ovako:
a − b = − (b − a)
Velik broj zagrada i znakova operacije može otežati rješavanje naizgled vrlo jednostavnog zadatka, pa je svrsishodnije takve primjere naučiti kratko pisati, npr. 3 − 7 = − 4.
Zapravo, zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva svodi se na samo zbrajanje. To znači da ako želite oduzimati brojeve, ovu operaciju možete zamijeniti zbrajanjem.
Dakle, upoznajmo se s novim pravilom:
Oduzeti jedan broj od drugog znači dodati umanjeniku broj koji će biti suprotan oduzetom.
Na primjer, razmotrite najjednostavniji izraz 5 − 3. U početnim fazama učenja matematike stavili smo znak jednakosti i zapisali odgovor:
Ali sada napredujemo u učenju pa se trebamo prilagoditi novim pravilima. Novo pravilo kaže da oduzeti jedan broj od drugog znači dodati umanjeniku broj koji će se oduzeti.
Koristeći izraz 5 − 3 kao primjer, pokušajmo razumjeti ovo pravilo. Umanjenik u ovom izrazu je 5, a umanjenik 3. Pravilo kaže da za oduzimanje 3 od 5 morate 5 dodati takav broj koji će biti nasuprot 3. Suprotan broj za broj 3 je −3. Pišemo novi izraz:
I već znamo kako pronaći vrijednosti za takve izraze. Ovo je zbrajanje brojeva s različitim predznacima, o čemu smo ranije govorili. Za zbrajanje brojeva s različitim predznacima oduzimamo manji modul od većeg modula, a ispred dobivenog odgovora stavljamo znak broja čiji je modul veći:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
Modul od 5 je veći od modula od −3. Dakle, oduzeli smo 3 od 5 i dobili 2. Broj 5 ima veći modul pa je predznak tog broja stavljen u odgovor. Odnosno, odgovor je pozitivan.
U početku ne uspijevaju svi brzo zamijeniti oduzimanje zbrajanjem. To je zbog činjenice da se pozitivni brojevi pišu bez znaka plus.
Na primjer, u izrazu 3 − 1 znak minus koji označava oduzimanje je znak operacije i ne odnosi se na nju. Jedinica je u ovom slučaju pozitivan broj i ima svoj znak plus, ali ga mi ne vidimo, jer se plus ne piše ispred pozitivnih brojeva.
I tako, radi jasnoće, ovaj izraz se može napisati na sljedeći način:
(+3) − (+1)
Radi praktičnosti, brojevi sa svojim predznacima su u zagradama. U ovom slučaju, zamjena oduzimanja sa zbrajanjem je mnogo lakša.
U izrazu (+3) − (+1) taj se broj oduzima (+1), a suprotni broj je (−1).
Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem i umjesto oduzimača (+1) zapišimo suprotan broj (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Daljnji izračun neće biti težak.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
Na prvi pogled, činilo bi se koja je svrha ovih dodatnih gesta, ako možete starom dobrom metodom staviti znak jednakosti i odmah napisati odgovor 2. Zapravo, ovo pravilo će nam pomoći više puta.
Riješimo prethodni primjer 3 − 7 pomoću pravila oduzimanja. Prvo dovedimo izraz u jasan oblik, stavljajući svaki broj sa svojim znakovima.
Tri ima znak plus jer je to pozitivan broj. Minus koji označava oduzimanje ne odnosi se na sedam. Sedam ima znak plus jer je pozitivan broj:
Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Daljnji izračun nije težak:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Primjer 7 Odredi vrijednost izraza −4 − 5
Pred nama je opet operacija oduzimanja. Ova se operacija mora zamijeniti zbrajanjem. Umanjeniku (−4) dodamo broj nasuprot oduzetom (+5). Suprotan broj za subtrahend (+5) je broj (−5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Došli smo u situaciju da trebamo zbrajati negativne brojeve. Za takve slučajeve vrijedi sljedeće pravilo:
Za zbrajanje negativnih brojeva potrebno je zbrojiti njihove module, a ispred dobivenog odgovora staviti minus.
Dakle, zbrojimo module brojeva, kako pravilo nalaže, a ispred dobivenog odgovora stavimo minus:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Unos s modulima treba staviti u zagrade i staviti minus ispred tih zagrada. Dakle, dajemo minus, koji bi trebao biti ispred odgovora:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Rješenje za ovaj primjer može se napisati kraće:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
ili još kraće:
−4 − 5 = −9
Primjer 8 Odredi vrijednost izraza −3 − 5 − 7 − 9
Dovedimo izraz do jasnog oblika. Ovdje su svi brojevi osim broja −3 pozitivni, pa će imati predznake plus:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Zamijenimo oduzimanja sa zbrajanjem. Svi minusi, osim minusa ispred trojke, preći će u pluseve, a svi pozitivni brojevi u suprotnosti:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Sada primijenite pravilo za zbrajanje negativnih brojeva. Za zbrajanje negativnih brojeva potrebno je zbrojiti njihove module i staviti minus ispred dobivenog odgovora:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Rješenje ovog primjera može se napisati kraće:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
ili još kraće:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Primjer 9 Odredi vrijednost izraza −10 + 6 − 15 + 11 − 7
Dovedimo izraz u jasan oblik:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Ovdje postoje dvije operacije: zbrajanje i oduzimanje. Zbrajanje ostaje nepromijenjeno, a oduzimanje se zamjenjuje zbrajanjem:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Promatrajući, izvodit ćemo svaku radnju redom, na temelju prethodno proučenih pravila. Unosi s modulima mogu se preskočiti:
Prva akcija:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
Druga radnja:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Treća radnja:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Četvrta akcija:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Dakle, vrijednost izraza −10 + 6 − 15 + 11 − 7 je −15
Bilješka. Nije potrebno dovoditi izraz u jasan oblik stavljanjem brojeva u zagrade. Kada se navikavate na negativne brojeve, ova se radnja može preskočiti jer oduzima vrijeme i može biti zbunjujuća.
Dakle, za zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva morate zapamtiti sljedeća pravila:
Pridružite se našoj novoj grupi Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama
U ovom ćemo članku detaljno pogledati kako cjelobrojno zbrajanje. Prvo ćemo formirati Generalna ideja o zbrajanju cijelih brojeva, a da vidimo što je zbrajanje cijelih brojeva na koordinatnoj liniji. Ovo znanje će nam pomoći da formuliramo pravila za zbrajanje pozitivnih, negativnih i cijelih brojeva s različitim predznacima. Ovdje ćemo detaljno analizirati primjenu pravila zbrajanja pri rješavanju primjera i naučiti kako provjeriti dobivene rezultate. U zaključku članka govorit ćemo o zbrajanju triju ili više cijelih brojeva.
Navigacija po stranici.
Razumijevanje zbrajanja cijelih brojeva
Navedimo primjere zbrajanja cijelih suprotnih brojeva. Zbroj brojeva −5 i 5 je nula, zbroj 901+(−901) je nula, a zbroj suprotnih cijelih brojeva 1,567,893 i −1,567,893 također je nula.
Zbrajanje proizvoljnog cijelog broja i nule
Upotrijebimo koordinatni pravac da shvatimo što je rezultat zbrajanja dva cijela broja od kojih je jedan jednak nuli.
Dodavanje proizvoljnog cijelog broja a nuli znači pomicanje jediničnih odsječaka iz ishodišta na udaljenost a. Dakle, nalazimo se u točki s koordinatom a. Stoga je rezultat zbrajanja nule i proizvoljnog cijelog broja zbrojeni cijeli broj.
S druge strane, dodavanje nule proizvoljnom cijelom broju znači pomicanje od točke čija je koordinata zadana danim cijelim brojem na udaljenost nula. Drugim riječima, ostat ćemo na početnoj točki. Stoga je rezultat zbrajanja proizvoljnog cijelog broja i nule zadani cijeli broj.
Tako, zbroj dva cijela broja, od kojih je jedan nula, jednak je drugom cijelom broju. Konkretno, nula plus nula je nula.
Navedimo neke primjere. Zbroj cijelih brojeva 78 i 0 je 78; rezultat zbrajanja nule i −903 je −903 ; također 0+0=0 .
Provjera rezultata zbrajanja
Nakon zbrajanja dva cijela broja, korisno je provjeriti rezultat. Već znamo da je za provjeru rezultata zbrajanja dva prirodna broja potrebno od dobivenog zbroja oduzeti bilo koji od članova i treba dobiti još jedan član. Provjera rezultata zbrajanja cijelih brojeva izvedeno na sličan način. Ali oduzimanje cijelih brojeva svodi se na dodavanje umanjeniku broja suprotnog od broja koji se oduzima. Dakle, da biste provjerili rezultat zbrajanja dva cijela broja, potrebno je rezultirajućem zbroju dodati broj nasuprot bilo kojem od članova i trebao bi se dobiti drugi izraz.
Pogledajmo primjere s provjerom rezultata zbrajanja dvaju cijelih brojeva.
Primjer.
Zbrajanjem dva cijela broja 13 i −9 dobiven je broj 4, provjerite rezultat.
Riješenje.
Dodajmo dobivenom zbroju 4 broj -13, suprotan članu 13, i vidimo hoćemo li dobiti još jedan član -9.
Dakle, izračunajmo zbroj 4+(−13) . Ovo je zbroj cijelih brojeva sa suprotnim predznacima. Moduli članova su 4 odnosno 13. Član čiji je modul veći ima znak minus koji pamtimo. Sada oduzimamo od većeg modula oduzimamo manji: 13−4=9 . Ostaje staviti memorirani znak minus ispred dobivenog broja, imamo -9.
Prilikom provjere dobili smo broj jednak drugom pojmu, dakle, izvorni iznos je ispravno izračunat.-19 . Budući da smo dobili broj jednak drugom članu, zbrajanje brojeva −35 i −19 izvedeno je ispravno.
Zbrajanje triju ili više cijelih brojeva
Do ove točke smo govorili o zbrajanju dva cijela broja. Drugim riječima, razmatrali smo zbrojeve koji se sastoje od dva člana. Međutim, asocijativno svojstvo zbrajanja cijelih brojeva omogućuje nam jedinstveno određivanje zbroja tri, četiri ili više cijelih brojeva.
Na temelju svojstava zbrajanja cijelih brojeva možemo ustvrditi da zbroj tri, četiri i tako dalje brojeva ne ovisi o načinu na koji su postavljene zagrade koje označavaju redoslijed izvođenja radnji, kao ni o redoslijed pojmova u zbroju. Ove tvrdnje potkrijepili smo kada smo govorili o zbrajanju tri ili više prirodnih brojeva. Za cijele brojeve svi argumenti su potpuno isti i nećemo se ponavljati.0+(−101) +(−17)+5 . Nakon toga stavljanjem zagrada na bilo koji dopušteni način ipak dobivamo broj −113 .
Odgovor:
5+(−17)+0+(−101)=−113 .
Bibliografija.
- Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. Razred 6: udžbenik za obrazovne ustanove.
formiranje znanja o pravilu zbrajanja brojeva s različitim predznacima, sposobnost njegove primjene u najjednostavnijim slučajevima;
razvoj vještina uspoređivanja, identificiranja obrazaca, generaliziranja;
odgoj odgovornog odnosa prema odgojno-obrazovnom radu.
Oprema: multimedijski projektor, platno.
Vrsta lekcije: lekcija učenje novog gradiva.
TIJEKOM NASTAVE
1. Organizacijski trenutak.
Stanite uspravno
Tiho su sjeli.
Sada je zvono zazvonilo
Započnimo našu lekciju.
momci! Danas imamo goste na našoj lekciji. Okrenimo se prema njima i nasmiješimo se jedni drugima. Dakle, započinjemo našu lekciju.
slajd 2- Epigraf lekcije: „Tko ništa ne primjećuje, taj ništa ne uči.
Tko ništa ne uči uvijek kuka i dosađuje se.
Roman Sef (dječji pisac)
slatko 3 - Predlažem da igrate obrnutu igru. Pravila igre: trebate riječi podijeliti u dvije skupine: dobitak, laž, toplina, dao, istina, dobro, gubitak, uzeo, zlo, hladno, pozitivno, negativno.
Mnogo je kontradikcija u životu. Uz njihovu pomoć definiramo okolnu stvarnost. Za našu lekciju trebam potonje: pozitivno - negativno.
O čemu govorimo u matematici kada koristimo ove riječi? (O brojevima.)
Veliki Pitagora je rekao: "Brojevi vladaju svijetom." Predlažem da razgovaramo o najmisterioznijim brojevima u znanosti - brojevima s različitim predznacima. - Negativni brojevi pojavili su se u znanosti kao suprotnost pozitivnim. Njihov put u znanost bio je težak, jer čak ni mnogi znanstvenici nisu podržavali ideju o njihovom postojanju.
Koje pojmove i količine ljudi mjere pozitivnim i negativnim brojevima? (naboji elementarnih čestica, temperatura, gubici, visina i dubina itd.)
slajd 4- Riječi suprotne po značenju - antonimi (tablica).
2. Postavljanje teme lekcije.
Slajd 5 (rad sa tablicom) Koje ste brojeve naučili u prethodnim lekcijama?
– Koje zadatke vezane uz pozitivne i negativne brojeve možete riješiti?
- Pozornost na ekran. (Slajd 5)
Koji su brojevi u tablici?
- Imenovati vodoravno zapisane module brojeva.
– Navedite najveći broj, navedite broj s najvećim modulom.
- Odgovorite na ista pitanja za brojeve napisane okomito.
– Podudaraju li se uvijek najveći broj i broj s najvećim modulom?
Nađi zbroj pozitivnih brojeva, zbroj negativnih brojeva.
- Formulirati pravilo zbrajanja pozitivnih brojeva i pravilo zbrajanja negativnih brojeva.
Koje brojeve preostaje zbrojiti?
- Možete li ih sastaviti?
Znate li pravilo zbrajanja brojeva s različitim predznacima?
- Formulirajte temu lekcije.
- Koji je tvoj cilj? .Zamisli što ćemo danas? (Odgovori djece). Danas se nastavljamo upoznavati s pozitivnim i negativnim brojevima. Tema naše lekcije je "Zbrajanje brojeva s različitim predznacima." A naš cilj: učiti bez grešaka, zbrajati brojeve s različitim predznacima. Zapišite datum i temu lekcije u svoju bilježnicu..
3. Rad na temi lekcije.
slajd 6.– Pomoću ovih pojmova na ekranu pronađite rezultate zbrajanja brojeva s različitim predznacima.
Koji su brojevi rezultat zbrajanja pozitivnih brojeva, a koji negativnih brojeva?
Koji su brojevi rezultat zbrajanja brojeva s različitim predznacima?
Što određuje predznak zbroja brojeva s različitim predznacima? (Slajd 5)
– Iz člana s najvećim modulom.
“To je kao da povlačite uže. Najjači pobjeđuje.
Slajd 7- Igrajmo se. Zamislite da vučete uže. . Učitelj, nastavnik, profesor. Suparnici se obično susreću na natjecanjima. A danas ćemo s vama posjetiti nekoliko turnira. Prvo što nas očekuje je finale natjecanja u potezanju konopa. Tu su Ivan Minusov na broju -7 i Petr Plusov na broju +5. Što mislite tko će pobijediti? Zašto? Dakle, Ivan Minusov je pobijedio, stvarno se pokazao jačim od svog protivnika, i uspio ga je odvući na svoje negativna strana samo dva koraka.
Slajd 8.- . A sada ćemo posjetiti i druga natjecanja. Evo finala natjecanja u streljaštvu. Najbolji u ovoj disciplini bili su Minus Troikin s tri baloni i Plus Chetverikov, koji ima četiri baloni. A evo dečki, što mislite, tko će biti pobjednik?
Slajd 9- Natjecanja su pokazala da pobjeđuje najjači. Dakle, kod zbrajanja brojeva s različitim predznacima: -7 + 5 = -2 i -3 + 4 = +1. Dečki, kako se zbrajaju brojevi s različitim predznacima? Učenici nude vlastite mogućnosti.
Učitelj formulira pravilo, daje primjere.
10 + 12 = +(12 – 10) = +2
4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4
Učenici tijekom demonstracije mogu komentirati rješenje koje se pojavljuje na slajdu.
Slajd 10- Učitelju, igrajmo još jednu igru "Morska bitka". Neprijateljski brod se približava našoj obali, mora se izbaciti i potopiti. Za ovo imamo pištolj. Ali da biste pogodili cilj, morate napraviti točne izračune. Što ćeš sad vidjeti. Spreman? Onda samo naprijed! Ne dajte se omesti, primjeri se mijenjaju točno nakon 3 sekunde. Jesu li svi spremni?
Učenici naizmjence izlaze do ploče i računaju primjere koji se pojavljuju na slajdu. - Navedite korake za dovršetak zadatka.
slajd 11- Rad u udžbeniku: str.180 str.33, pročitati pravilo zbrajanja brojeva s različitim predznacima. Komentari na pravilo.
- Koja je razlika između pravila predloženog u udžbeniku i algoritma koji ste sastavili? Razmotrite primjere u udžbeniku s komentarom.
slajd 12- Učitelj-Sada dečki, popijmo eksperiment. Ali ne kemijski, nego matematički! Uzmite brojeve 6 i 8, znak plus i minus i sve dobro promiješajte. Uzmimo četiri primjera-iskustva. Napravi ih u svoju bilježnicu. (dva učenika odlučuju na krilima ploče, zatim se provjeravaju odgovori). Koji se zaključci mogu izvući iz ovog eksperimenta?(Uloga znakova). Napravimo još 2 eksperimenta. , ali sa svojim brojevima (jedna osoba izlazi na ploču). Izmišljajmo brojeve jedni drugima i provjerimo rezultate pokusa (međusobna provjera).
slajd 13 .- Pravilo se prikazuje na ekranu u obliku stiha. .
4. Utvrđivanje teme lekcije.
Slajd 14 - Učitelj - "Sve vrste znakova su potrebne, sve vrste znakova su važne!" Sada, dečki, podijelit ćemo se s vama u dva tima. Dječaci će biti u timu Djeda Božićnjaka, a djevojčice u timu Sunca. Vaš je zadatak, bez preračunavanja primjera, odrediti u kojem će od njih biti negativni, a u kojem pozitivni odgovori i prepisati slova tih primjera u bilježnicu. Dječaci su negativni, a djevojčice pozitivne (kartice se izdaju iz aplikacije). U tijeku je samoprovjera.
Dobro napravljeno! Imate odličan osjećaj za znakove. To će vam pomoći da završite sljedeći zadatak
Slajd 15 - Fizkulminutka. -10, 0,15,18, -5,14,0, -8, -5 itd. (negativni brojevi - čučanj, pozitivni brojevi - povlačenje, skok)
slajd 16-Riješi samostalno 9 primjera (zadatak na karticama u aplikaciji). 1 osoba na ploči. Napravite samotestiranje. Odgovori se prikazuju na ekranu, učenici ispravljaju pogreške u svojim bilježnicama. Dignite ruke tko je u pravu. (Ocjene se daju samo za dobro i odličan rezultat)
Slajd 17- Pravila nam pomažu da pravilno riješimo primjere. Ponovimo ih Na ekranu algoritam za zbrajanje brojeva s različitim predznacima.
5. Organizacija samostalnog rada.
Slajd 18-FRontalni rad kroz igru "Pogodi riječ"(zadatak na karticama u aplikaciji).
Slajd 19 - Trebali biste dobiti ocjenu za igru - "pet"
Slajd 20-A sada, pozor. Domaća zadaća. Domaća zadaća vam ne bi trebala biti teška.
Slajd 21 - Zakoni zbrajanja u fizikalnim pojavama. Smislite primjere zbrajanja brojeva s različitim predznacima i pitajte ih jedni druge. Što ste novo naučili? Jesmo li postigli svoj cilj?
Slajd 22 - Dakle, lekcija je gotova, rezimirajmo sada. Odraz. Nastavnik komentira i ocjenjuje lekciju.
Slajd 23 - Hvala na pozornosti!
Želim vam da imate više pozitive i manje negativnosti u svom životu, želim vam reći, hvala vam na vašem aktivnom radu. Mislim da ćete lako primijeniti ono što ste naučili u sljedećim lekcijama. Lekcija je gotova. Hvala svima puno. Doviđenja!