În calculul vectorial și aplicațiile sale mare valoare are o sarcină de descompunere constând în reprezentarea unui vector dat ca sumă a mai multor vectori numiți componente ale unui dat

vector. Această problemă, care are în general un număr infinit de soluții, devine complet definită dacă precizăm unele elemente ale vectorilor componente.

2. Exemple de descompunere.

Să luăm în considerare câteva cazuri foarte frecvente de descompunere.

1. Descompuneți un vector dat c în doi vectori componente dintre care unul, de exemplu a, este dat în mărime și direcție.

Problema se rezumă la determinarea diferenței dintre doi vectori. Într-adevăr, dacă vectorii sunt componente ale vectorului c, atunci egalitatea trebuie îndeplinită

De aici se determină al doilea vector component

2. Descompuneți vectorul dat c în două componente, dintre care una trebuie să se afle într-un plan dat și a doua trebuie să se afle pe o dreaptă dată a.

Pentru a determina vectorii componente, mutăm vectorul c astfel încât începutul său să coincidă cu punctul de intersecție al dreptei date cu planul (punctul O - vezi Fig. 18). De la sfârșitul vectorului c (punctul C) trasăm o linie dreaptă către

intersecție cu planul (B este punctul de intersecție), apoi din punctul C trasăm o dreaptă paralelă

Vectorii și vor fi cei doriti, adică desigur, expansiunea indicată este posibilă dacă linia dreaptă a și planul nu sunt paralele.

3. Dați trei vectori coplanari a, b și c, iar vectorii nu sunt coliniari. Este necesar să se descompună vectorul c în vectori

Să aducem toți cei trei vectori dați la un punct O. Apoi, datorită coplanarității lor, ei vor fi localizați în același plan. Folosind acest vector c ca diagonală, vom construi un paralelogram, ale cărui laturi sunt paralele cu liniile de acțiune ale vectorilor (Fig. 19). Această construcție este întotdeauna posibilă (cu excepția cazului în care vectorii sunt coliniari) și unică. Din fig. 19 este clar că

Dependența liniară și independența liniară a vectorilor.
Baza vectorilor. Sistem de coordonate afin

Există un cărucior cu bomboane de ciocolată în sală, iar fiecare vizitator de astăzi va primi un cuplu dulce - geometrie analitică cu algebră liniară. Acest articol va atinge simultan două secțiuni ale matematicii superioare și vom vedea cum ele coexistă într-un singur pachet. Ia o pauză, mănâncă un Twix! ... la naiba, ce grămadă de prostii. Deși, bine, nu voi înscrie, în cele din urmă, ar trebui să ai o atitudine pozitivă față de studiu.

Dependența liniară a vectorilor, independența vectorului liniar, baza de vectori iar alți termeni au nu doar o interpretare geometrică, ci, mai presus de toate, un sens algebric. Însuși conceptul de „vector” din punctul de vedere al algebrei liniare nu este întotdeauna vectorul „obișnuit” pe care îl putem reprezenta într-un plan sau în spațiu. Nu trebuie să cauți departe pentru o dovadă, încearcă să desenezi un vector de spațiu cu cinci dimensiuni . Sau vectorul vremii, pentru care tocmai am fost la Gismeteo: temperatura și respectiv presiunea atmosferică. Exemplul, desigur, este incorect din punctul de vedere al proprietăților spațiului vectorial, dar, cu toate acestea, nimeni nu interzice formalizarea acestor parametri ca vector. Respirația de toamnă...

Nu, nu am de gând să vă plictisesc cu teorie, spații vectoriale liniare, sarcina este să înţelege definiții și teoreme. Termenii noi (dependență liniară, independență, combinație liniară, bază etc.) se aplică tuturor vectorilor din punct de vedere algebric, dar se vor da exemple geometrice. Astfel, totul este simplu, accesibil și clar. Pe lângă problemele de geometrie analitică, vom lua în considerare și câteva probleme tipice de algebră. Pentru a stăpâni materialul, este indicat să vă familiarizați cu lecțiile Vectori pentru manechineŞi Cum se calculează determinantul?

Dependența liniară și independența vectorilor plani.
Baza plană și sistemul de coordonate afine

Luați în considerare avionul dvs birou de calculator(doar o masă, noptieră, podea, tavan, orice doriți). Sarcina va consta din următoarele acțiuni:

1) Selectați baza avionului. În linii mari, un blat de masă are o lungime și o lățime, deci este intuitiv că vor fi necesari doi vectori pentru a construi baza. Un vector nu este suficient, trei vectori sunt prea mult.

2) Bazat pe baza selectată setați sistemul de coordonate(grilă de coordonate) pentru a atribui coordonate tuturor obiectelor de pe tabel.

Nu fi surprins, la început explicațiile vor fi pe degete. Mai mult, pe a ta. Vă rugăm să plasați degetul arătător mâna stângă pe marginea mesei astfel încât să se uite la monitor. Acesta va fi un vector. Acum loc degetul mic mâna dreaptă pe marginea mesei în același mod - astfel încât să fie îndreptată spre ecranul monitorului. Acesta va fi un vector. Zâmbește, arăți grozav! Ce putem spune despre vectori? Vectori de date coliniare, ceea ce înseamnă liniar exprimate unul prin altul:
, bine, sau invers: , unde este un număr diferit de zero.

Puteți vedea o imagine a acestei acțiuni în clasă. Vectori pentru manechine, unde am explicat regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr.

Vor stabili degetele tale baza pe planul biroului computerului? Evident că nu. Vectorii coliniari călătoresc înainte și înapoi singur direcție, iar un plan are lungime și lățime.

Astfel de vectori se numesc dependent liniar.

Referinţă: Cuvintele „liniar”, „liniar” denotă faptul că în ecuațiile și expresiile matematice nu există pătrate, cuburi, alte puteri, logaritmi, sinusuri etc. Există doar expresii și dependențe liniare (gradul I).

Doi vectori plani dependent liniar dacă și numai dacă sunt coliniare.

Încrucișează-ți degetele pe masă, astfel încât să existe orice unghi între ele, altul decât 0 sau 180 de grade. Doi vectori planiliniar Nu dependente dacă și numai dacă nu sunt coliniare. Deci, baza este obținută. Nu trebuie să vă simțiți jenat că baza s-a dovedit a fi „deformată” cu vectori neperpendiculari de diferite lungimi. Foarte curând vom vedea că nu numai un unghi de 90 de grade este potrivit pentru construcția sa, și nu numai vectori unitari de lungime egală

Orice vector plan singura cale este extins în funcție de baza:
, unde sunt numerele reale. Numerele sunt numite coordonate vectorialeîn această bază.

Se mai spune că vectorprezentat ca combinație liniară vectori de bază. Adică expresia se numește descompunere vectorialăpe baza sau combinație liniară vectori de bază.

De exemplu, putem spune că vectorul este descompus de-a lungul unei baze ortonormale a planului, sau putem spune că este reprezentat ca o combinație liniară de vectori.

Să formulăm definirea bazei oficial: Baza avionului se numește pereche de vectori liniar independenți (necoliniari), , în timp ce orice un vector plan este o combinație liniară de vectori de bază.

Un punct esențial al definiției este faptul că vectorii sunt luați într-o anumită ordine. Bazele – acestea sunt două baze complet diferite! După cum se spune, nu poți înlocui degetul mic de la mâna stângă în locul degetului mic de la mâna dreaptă.

Am descoperit baza, dar nu este suficient să setați o grilă de coordonate și să atribuiți coordonate fiecărui element de pe biroul computerului. De ce nu este suficient? Vectorii sunt liberi și rătăcesc pe tot planul. Deci, cum atribui coordonatele acelor mici locuri murdare de pe masă rămase dintr-un weekend sălbatic? Este nevoie de un punct de plecare. Și un astfel de reper este un punct familiar tuturor - originea coordonatelor. Să înțelegem sistemul de coordonate:

Voi începe cu sistemul „școlar”. Deja în lecția introductivă Vectori pentru manechine Am evidențiat câteva diferențe între sistemul de coordonate dreptunghiular și baza ortonormală. Iată imaginea standard:

Când vorbesc despre sistem de coordonate dreptunghiular, atunci cel mai adesea înseamnă originea, axele de coordonate și scala de-a lungul axelor. Încercați să introduceți „sistem de coordonate dreptunghiulare” într-un motor de căutare și veți vedea că multe surse vă vor spune despre axele de coordonate familiare din clasa a 5-a-6-a și cum să reprezentați punctele pe un plan.

Pe de altă parte, se pare că un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi definit în termeni de bază ortonormală. Și asta este aproape adevărat. Formularea este următoarea:

origine, Și ortonormal baza este pusă Sistemul de coordonate plan cartezian dreptunghiular . Adică sistemul de coordonate dreptunghiular cu siguranta este definită de un singur punct și doi vectori ortogonali unitari. De aceea vezi desenul pe care l-am dat mai sus - în problemele geometrice, atât vectorii, cât și axele de coordonate sunt adesea (dar nu întotdeauna) desenate.

Cred că toată lumea înțelege că folosind un punct (origine) și o bază ortonormală ORICE PUNCT din avion și ORICE VECTOR din avion pot fi atribuite coordonate. Figurat vorbind, „totul dintr-un avion poate fi numerotat”.

Este necesar ca vectorii de coordonate să fie unitar? Nu, pot avea o lungime arbitrară diferită de zero. Luați în considerare un punct și doi vectori ortogonali de lungime arbitrară diferită de zero:

O astfel de bază se numește ortogonală. Originea coordonatelor cu vectori este definită de o grilă de coordonate, iar orice punct din plan, orice vector își are coordonatele într-o bază dată. De exemplu, sau. Inconvenientul evident este că vectorii de coordonate în caz general au lungimi diferite, altele decât unitate. Dacă lungimile sunt egale cu unitatea, atunci se obține baza ortonormală obișnuită.

! Nota : în baza ortogonală, precum și mai jos în bazele afine ale planului și spațiului, se consideră unități de-a lungul axelor CONDIŢIONAL. De exemplu, o unitate de-a lungul axei x conține 4 cm, o unitate de-a lungul axei ordonatelor conține 2 cm. Această informație este suficientă pentru a converti coordonatele „non-standard” în „centimetrii noștri obișnuiți”.

Și a doua întrebare, la care de fapt a primit deja răspuns, este dacă unghiul dintre vectorii de bază trebuie să fie egal cu 90 de grade? Nu! După cum afirmă definiția, vectorii de bază trebuie să fie numai necoliniare. În consecință, unghiul poate fi orice, cu excepția 0 și 180 de grade.

Un punct din avion numit origine, Și necoliniare vectori, , setat sistem de coordonate plan afin :

Uneori este numit un astfel de sistem de coordonate oblic sistem. Ca exemple, desenul prezintă puncte și vectori:

După cum înțelegeți, sistemul de coordonate afine este și mai puțin convenabil formulele pentru lungimile vectorilor și segmentelor, despre care am discutat în a doua parte a lecției, nu funcționează în el; Vectori pentru manechine, multe formule delicioase legate de produsul scalar al vectorilor. Dar sunt valabile regulile de adunare a vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr, formulele de împărțire a unui segment în acest sens, precum și alte tipuri de probleme pe care le vom lua în considerare în curând.

Iar concluzia este că cel mai convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine este sistemul dreptunghiular cartezian. De aceea, cel mai adesea trebuie să o vezi, draga mea. ...Totuși, totul în această viață este relativ - există multe situații în care un unghi oblic (sau altul, de exemplu, polar) sistemul de coordonate. Și umanoizilor le-ar putea plăcea astfel de sisteme =)

Să trecem la partea practică. Toate sarcinile această lecție valabil atât pentru sistemul de coordonate dreptunghiular cât şi pentru cazul general afin. Nu este nimic complicat aici, tot materialul este accesibil chiar și unui școlar.

Cum se determină coliniaritatea vectorilor plani?

Lucru tipic. Pentru doi vectori plani au fost coliniare, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționaleÎn esență, aceasta este o detaliere coordonată cu coordonată a relației evidente.

Exemplul 1

a) Verificați dacă vectorii sunt coliniari .
b) Vectorii formează o bază? ?

Soluţie:
a) Să aflăm dacă există pentru vectori coeficient de proporționalitate, astfel încât egalitățile să fie îndeplinite:

Cu siguranță vă voi spune despre versiunea „foppish” a aplicării acestei reguli, care funcționează destul de bine în practică. Ideea este să inventezi imediat proporția și să vezi dacă este corectă:

Să facem o proporție din rapoartele coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor:

Să scurtăm:
, astfel coordonatele corespunzătoare sunt proporționale, prin urmare,

Relația ar putea fi făcută invers, aceasta este o opțiune echivalentă:

Pentru autotest, puteți folosi faptul că vectorii coliniari sunt exprimați liniar unul prin celălalt. În acest caz, au loc egalitățile . Valabilitatea lor poate fi ușor verificată prin operații elementare cu vectori:

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Examinăm vectorii pentru coliniaritate . Să creăm un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , din a doua ecuație rezultă că , ceea ce înseamnă sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor nu sunt proporționale.

Concluzie: vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

O versiune simplificată a soluției arată astfel:

Să facem o proporție din coordonatele corespunzătoare ale vectorilor :
, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt independenți liniar și formează o bază.

De obicei, această opțiune nu este respinsă de recenzori, dar apare o problemă în cazurile în care unele coordonate sunt egale cu zero. Ca aceasta: . Sau cam asa: . Sau cam asa: . Cum să lucrezi prin proporție aici? (într-adevăr, nu poți împărți la zero). Din acest motiv am numit soluția simplificată „foppish”.

Răspuns: a), b) formă.

Un mic exemplu creativ pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 2

La ce valoare a parametrului sunt vectorii vor fi coliniari?

În soluția de probă, parametrul se găsește prin proporție.

Există o modalitate algebrică elegantă de a verifica coliniaritatea vectorilor. Să ne sistematizăm cunoștințele și să le adăugăm ca al cincilea punct:

Pentru doi vectori plani următoarele afirmații sunt echivalente:

2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coliniari;

+ 5) determinantul compus din coordonatele acestor vectori este diferit de zero.

Respectiv, următoarele afirmații opuse sunt echivalente:
1) vectorii sunt dependenți liniar;
2) vectorii nu formează o bază;
3) vectorii sunt coliniari;
4) vectorii pot fi exprimați liniar unul prin altul;
+ 5) determinantul compus din coordonatele acestor vectori este egal cu zero.

Chiar sper asta în acest momentînțelegi deja toți termenii și afirmațiile pe care le întâlnești.

Să aruncăm o privire mai atentă la noul, al cincilea punct: doi vectori plani sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:. Pentru a aplica această caracteristică, desigur, trebuie să fii capabil găsiți determinanți.

Să decidem Exemplul 1 în al doilea mod:

a) Să calculăm determinantul alcătuit din coordonatele vectorilor :
, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt coliniari.

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale :
, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

Răspuns: a), b) formă.

Arată mult mai compact și mai frumos decât o soluție cu proporții.

Cu ajutorul materialului luat în considerare, se poate stabili nu numai coliniaritatea vectorilor, ci și demonstrarea paralelismului segmentelor și liniilor drepte. Să luăm în considerare câteva probleme cu forme geometrice specifice.

Exemplul 3

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că un patrulater este un paralelogram.

Dovada: Nu este nevoie să creați un desen în problemă, deoarece soluția va fi pur analitică. Să ne amintim definiția paralelogramului:
Paralelogram Un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi se numește.

Astfel, este necesar să se dovedească:
1) paralelismul laturilor opuse și;
2) paralelismul laturilor opuse și.

Demonstrăm:

1) Găsiți vectorii:

2) Găsiți vectorii:

Rezultatul este același vector („conform școlii” - vectori egali). Coliniaritatea este destul de evidentă, dar este mai bine să formalizezi decizia clar, cu aranjament. Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale:
, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt coliniari și .

Concluzie: Laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele în perechi, ceea ce înseamnă că este un paralelogram prin definiție. Q.E.D.

Cifre mai bune și diferite:

Exemplul 4

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că un patrulater este un trapez.

Pentru o formulare mai riguroasă a dovezii, este mai bine, desigur, să obțineți definiția unui trapez, dar este suficient să vă amintiți pur și simplu cum arată.

Aceasta este o sarcină pe care o puteți rezolva singur. Soluție completă la sfârșitul lecției.

Și acum este timpul să trecem încet din avion în spațiu:

Cum se determină coliniaritatea vectorilor spațiali?

Regula este foarte asemănătoare. Pentru ca doi vectori spațiali să fie coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționale.

Exemplul 5

Aflați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:

A) ;
b)
V)

Soluţie:
a) Să verificăm dacă există un coeficient de proporționalitate pentru coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

Sistemul nu are soluție, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

„Simplificat” se formalizează prin verificarea proporției. În acest caz:
– coordonatele corespunzătoare nu sunt proporționale, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

Răspuns: vectorii nu sunt coliniari.

b-c) Acestea sunt puncte pentru o decizie independentă. Încercați-l în două moduri.

Există o metodă pentru verificarea coliniarității vectorilor spațiali printr-un determinant de ordinul trei, această metodă este tratată în articol Produs vectorial al vectorilor.

Similar cazului plan, instrumentele luate în considerare pot fi folosite pentru a studia paralelismul segmentelor spațiale și al liniilor drepte.

Bun venit la a doua secțiune:

Dependența liniară și independența vectorilor în spațiul tridimensional.
Baza spațială și sistemul de coordonate afine

Multe dintre modelele pe care le-am examinat în avion vor fi valabile și pentru spațiu. Am încercat să minimizez notele de teorie, deoarece partea leului din informații a fost deja mestecată. Cu toate acestea, vă recomand să citiți cu atenție partea introductivă, deoarece vor apărea termeni și concepte noi.

Acum, în loc de planul biroului computerului, explorăm spațiul tridimensional. În primul rând, să-i creăm baza. Cineva este acum în interior, cineva este în aer liber, dar în orice caz, nu putem scăpa de trei dimensiuni: lățime, lungime și înălțime. Prin urmare, pentru a construi o bază, vor fi necesari trei vectori spațiali. Unul sau doi vectori nu sunt de ajuns, al patrulea este de prisos.

Și din nou ne încălzim pe degete. Vă rugăm să ridicați mâna și să o întindeți în direcții diferite degetul mare, index și degetul mijlociu . Aceștia vor fi vectori, arată în direcții diferite, au lungimi diferite și au unghiuri diferite între ei. Felicitări, baza spațiului tridimensional este gata! Apropo, nu este nevoie să le demonstrezi profesorilor, oricât de tare ai răsuci degetele, dar nu se poate scăpa de definiții =)

În continuare, să întrebăm problemă importantă, oricare trei vectori formează o bază a spațiului tridimensional? Vă rugăm să apăsați ferm trei degete pe partea de sus a biroului computerului. Ce s-a întâmplat? Trei vectori sunt localizați în același plan și, aproximativ vorbind, am pierdut una dintre dimensiuni - înălțimea. Astfel de vectori sunt coplanareși, este destul de evident că baza spațiului tridimensional nu este creată.

Trebuie remarcat faptul că vectorii coplanari nu trebuie să se afle în același plan, ei pot fi în planuri paralele (doar nu face asta cu degetele, doar Salvador Dali a făcut asta =)).

Definiţie: se numesc vectorii coplanare, dacă există un plan cu care sunt paralele. Este logic să adăugăm aici că dacă un astfel de plan nu există, atunci vectorii nu vor fi coplanari.

Trei vectori coplanari sunt întotdeauna dependenți liniar, adică sunt exprimate liniar unul prin celălalt. Pentru simplitate, să ne imaginăm din nou că se află în același plan. În primul rând, vectorii nu sunt doar coplanari, ci pot fi și coliniari, apoi orice vector poate fi exprimat prin orice vector. În al doilea caz, dacă, de exemplu, vectorii nu sunt coliniari, atunci al treilea vector este exprimat prin ei într-un mod unic: (și de ce este ușor de ghicit din materialele din secțiunea anterioară).

Este adevărat și invers: trei vectori necoplanari sunt întotdeauna liniar independenți, adică nu sunt în niciun fel exprimate unul prin altul. Și, evident, doar astfel de vectori pot sta la baza spațiului tridimensional.

Definiţie: Baza spațiului tridimensional se numește un triplu de vectori liniar independenți (necoplanari), luate într-o anumită ordine, și orice vector de spațiu singura cale este descompusă pe o bază dată, unde sunt coordonatele vectorului din această bază

Permiteți-mi să vă reamintesc că putem spune și că vectorul este reprezentat sub formă combinație liniară vectori de bază.

Conceptul de sistem de coordonate este introdus exact în același mod ca în cazul unui punct și oricare trei vectori liniar independenți sunt suficiente:

origine, Și necoplanare vectori, luate într-o anumită ordine, setat sistem de coordonate afine al spațiului tridimensional :

Desigur, grila de coordonate este „oblică” și incomodă, dar, cu toate acestea, sistemul de coordonate construit ne permite cu siguranta determinați coordonatele oricărui vector și coordonatele oricărui punct din spațiu. Similar unui plan, unele formule pe care le-am menționat deja nu vor funcționa în sistemul de coordonate afine al spațiului.

Cel mai familiar și convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine, așa cum toată lumea presupune, este sistem de coordonate spațiale dreptunghiulare:

Un punct din spațiu numit origine, Și ortonormal baza este pusă Sistemul de coordonate spațiu dreptunghiular cartezian . Poza cunoscută:

Înainte de a trece la sarcinile practice, să sistematizăm din nou informațiile:

Pentru trei vectori spațiali următoarele afirmații sunt echivalente:
1) vectorii sunt liniar independenți;
2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coplanari;
4) vectorii nu pot fi exprimați liniar unul prin altul;
5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Cred că afirmațiile opuse sunt de înțeles.

Dependența/independența liniară a vectorilor spațiali este în mod tradițional verificată folosind un determinant (punctul 5). Sarcinile practice rămase vor fi de natură clar algebrică. Este timpul să închideți bastonul de geometrie și să mânuiți bâta de baseball de algebră liniară:

Trei vectori ai spațiului sunt coplanare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero: .

Vă atrag atenția asupra unui mic nuanță tehnică: coordonatele vectorilor pot fi scrise nu numai în coloane, ci și în rânduri (valoarea determinantului nu se va schimba din aceasta - vezi proprietățile determinanților). Dar este mult mai bine în coloane, deoarece este mai benefic pentru rezolvarea unor probleme practice.

Pentru acei cititori care au uitat puțin metodele de calculare a determinanților, sau poate au puține cunoștințe despre acestea, recomand una dintre cele mai vechi lecții ale mele: Cum se calculează determinantul?

Exemplul 6

Verificați dacă următorii vectori formează baza spațiului tridimensional:

Soluţie: De fapt, întreaga soluție se rezumă la calcularea determinantului.

a) Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale (determinantul este dezvăluit în prima linie):

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar (nu coplanari) și formează baza spațiului tridimensional.

Răspuns: acești vectori formează o bază

b) Acesta este un punct de decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Există și sarcini creative:

Exemplul 7

La ce valoare a parametrului vor fi vectorii coplanari?

Soluţie: Vectorii sunt coplanari dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele acestor vectori este egal cu zero:

În esență, trebuie să rezolvați o ecuație cu un determinant. Ne aruncăm pe zerouri ca zmeele pe jerboas - cel mai bine este să deschidem determinantul în a doua linie și să scăpăm imediat de minusuri:

Efectuăm simplificări suplimentare și reducem problema la cea mai simplă ecuație liniară:

Răspuns: la

Este ușor să verificați aici, pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea rezultată în determinantul original și să vă asigurați că , deschizând-o din nou.

În concluzie, vom lua în considerare o altă problemă tipică, care este de natură mai algebrică și este inclusă în mod tradițional într-un curs de algebră liniară. Este atât de comun încât merită propriul subiect:

Demonstrați că 3 vectori formează baza spațiului tridimensional
și găsiți coordonatele celui de-al 4-lea vector în această bază

Exemplul 8

Se dau vectori. Arătați că vectorii formează o bază în spațiul tridimensional și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Soluţie: În primul rând, să ne ocupăm de condiție. După condiție, sunt dați patru vectori și, după cum puteți vedea, ei au deja coordonate într-o anumită bază. Care este această bază nu ne interesează. Și următorul lucru este de interes: trei vectori pot forma o nouă bază. Și prima etapă coincide complet cu soluția din Exemplul 6, este necesar să se verifice dacă vectorii sunt cu adevărat independenți liniar:

Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale:

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar și formează baza spațiului tridimensional.

! Important : coordonate vectoriale Neapărat notează în coloane determinant, nu în șiruri. În caz contrar, va exista confuzie în algoritmul de soluție ulterioară.

Bază(greaca veche βασις, bază) - un set de vectori dintr-un spațiu vectorial astfel încât orice vector din acest spațiu poate fi reprezentat în mod unic ca o combinație liniară de vectori din această mulțime - vectori de bază

O bază în spațiul Rn este orice sistem din n-vectori liniar independenţi. Fiecare vector din R n care nu este inclus în bază poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază, i.e. răspândit pe bază.
Fie baza spațiului R n și . Atunci există numere λ 1, λ 2, …, λ n astfel încât .
Coeficienții de expansiune λ 1, λ 2, ..., λ n se numesc coordonate vectoriale în baza B. Dacă baza este dată, atunci coeficienții vectoriali sunt determinați în mod unic.

Comentariu. În fiecare n-spațiu vectorial dimensional, puteți alege un număr infinit de baze diferite. În baze diferite, același vector are coordonate diferite, dar sunt unice în baza aleasă. Exemplu. Extinde vectorul în baza sa.
Soluţie. . Să înlocuim coordonatele tuturor vectorilor și să efectuăm acțiuni asupra lor:

Echivalând coordonatele, obținem un sistem de ecuații:

Hai sa o rezolvam: .
Astfel, obținem descompunerea: .
În bază, vectorul are coordonatele .

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține secțiunii:

Concept de vector. Operații liniare pe vectori

Un vector este un segment direcționat care are o anumită lungime, adică un segment de o anumită lungime care are unul dintre punctele sale limită.

Dacă ai nevoie material suplimentar pe acest subiect, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material v-a fost util, îl puteți salva pe pagina dvs. în rețelele sociale:

Baza spațiului ei numesc un astfel de sistem de vectori în care toți ceilalți vectori din spațiu pot fi reprezentați ca o combinație liniară de vectori incluși în bază.
În practică, toate acestea sunt implementate destul de simplu. Baza, de regulă, este verificată pe un plan sau în spațiu, iar pentru aceasta trebuie să găsiți determinantul unei matrice de ordinul doi, al treilea compusă din coordonate vectoriale. Mai jos sunt scrise schematic condiţiile în care vectorii formează o bază

La extinde vectorul b în vectori de bază
e,e...,e[n] este necesar să se găsească coeficienții x, ..., x[n] pentru care combinația liniară a vectorilor e,e...,e[n] este egală cu vector b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Pentru a face acest lucru, ecuația vectorială ar trebui convertită în sistem ecuații liniareși găsiți soluții. Acest lucru este, de asemenea, destul de simplu de implementat.
Se numesc coeficienții găsiți x, ..., x[n]. coordonatele vectorului b în bază e,e...,e[n].
Să trecem la partea practică a subiectului.

Descompunerea unui vector în vectori de bază

Sarcina 1. Verificați dacă vectorii a1, a2 formează o bază pe plan

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Rezolvare: Compunem un determinant din coordonatele vectorilor și îl calculăm

Determinantul nu este zero, prin urmare vectorii sunt independenți liniar, ceea ce înseamnă că formează o bază.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Rezolvare: Se calculează determinantul format din vectori

Determinantul este egal cu 13 (nu este egal cu zero) - de aici rezultă că vectorii a1, a2 sunt o bază pe plan.

---=================---

Să luăm în considerare exemple tipice din programul MAUP la disciplina „Matematică superioară”.

Sarcina 2. Arătați că vectorii a1, a2, a3 formează baza unui spațiu vectorial tridimensional și extindeți vectorul b conform acestei baze (utilizați metoda lui Cramer când rezolvați un sistem de ecuații algebrice liniare).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Rezolvare: În primul rând, luați în considerare sistemul de vectori a1, a2, a3 și verificați determinantul matricei A

construit pe vectori nenuli. Matricea conține un element zero, deci este mai potrivit să se calculeze determinantul ca program în prima coloană sau în al treilea rând.

În urma calculelor, am constatat că determinantul este diferit de zero, prin urmare vectorii a1, a2, a3 sunt liniar independenți.
Prin definiție, vectorii formează o bază în R3. Să scriem graficul vectorului b pe baza

Vectorii sunt egali atunci când coordonatele lor corespunzătoare sunt egale.
Prin urmare, din ecuația vectorială obținem un sistem de ecuații liniare

Să rezolvăm SLAE metoda lui Cramer. Pentru a face acest lucru, scriem sistemul de ecuații sub forma

Principalul determinant al unui SLAE este întotdeauna egal cu determinantul compus din vectori de bază

Prin urmare, în practică nu se numără de două ori. Pentru a găsi determinanți auxiliari, punem o coloană de termeni liberi în locul fiecărei coloane a determinantului principal. Determinanții se calculează folosind regula triunghiului



Să substituim determinanții găsiți în formula lui Cramer



Deci, expansiunea vectorului b în termeni de bază are forma b=-4a1+3a2-a3. Coordonatele vectorului b din baza a1, a2, a3 vor fi (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Soluție: Verificăm vectorii pentru o bază - compunem un determinant din coordonatele vectorilor și îl calculăm

Prin urmare, determinantul nu este egal cu zero vectorii formează o bază în spațiu. Rămâne de găsit orarul vectorului b prin această bază. Pentru a face acest lucru, scriem ecuația vectorială

și se transformă într-un sistem de ecuații liniare

Scriem ecuația matriceală

În continuare, pentru formulele lui Cramer găsim determinanți auxiliari



Aplicam formulele lui Cramer



Deci un vector dat b are un program prin doi vectori de bază b=-2a1+5a3, iar coordonatele sale din bază sunt egale cu b(-2,0, 5).