este un paralelogram în care toate laturile sunt egale, atunci i se aplică aceleași formule ca și pentru un paralelogram, inclusiv formula pentru găsirea ariei prin produsul înălțimii și laturilor.
Aria unui romb poate fi găsită cunoscând și diagonalele acestuia. Diagonalele împart rombul în patru triunghiuri dreptunghiulare absolut identice. Dacă le sortăm pentru a obține un dreptunghi, atunci lungimea și lățimea acestuia vor fi egale cu o diagonală întreagă și jumătate din a doua diagonală. Prin urmare, aria unui romb se găsește prin înmulțirea diagonalelor rombului, reduse cu două (ca aria dreptunghiului rezultat).
Dacă aveți la dispoziție doar un unghi și o latură, atunci puteți folosi diagonala ca asistent și o puteți desena opus unghiului cunoscut. Apoi va împărți rombul în două triunghiuri congruente, ale căror zone se vor aduna pentru a ne oferi aria rombului. Aria fiecărui triunghi va fi egală cu jumătate din produsul pătratului laturii și sinusul unghiului cunoscut, ca aria unui triunghi isoscel. Deoarece există două astfel de triunghiuri, coeficienții sunt redusi, lăsând doar latura celei de-a doua puteri și sinusul:
Dacă înscrieți un cerc în interiorul unui romb, atunci raza acestuia se va raporta la latura la un unghi de 90°, ceea ce înseamnă că de două ori raza va fi egală cu înălțimea rombului. Înlocuind în locul înălțimii h=2r în formula anterioară, obținem aria S=ha=2ra
Dacă, împreună cu raza cercului înscris, nu este dată o latură, ci un unghi, atunci trebuie mai întâi să găsiți latura desenând înălțimea în așa fel încât să obțineți un triunghi dreptunghic cu un unghi dat. Apoi latura a poate fi găsită din relații trigonometrice folosind formula 
. Înlocuind această expresie în aceeași formulă standard pentru aria unui romb, obținem 
este un paralelogram în care toate laturile sunt egale.
Un romb cu unghiuri drepte se numește pătrat și este considerat un caz special al unui romb. Puteți găsi zona unui romb în diverse moduri, folosind toate elementele sale - laturi, diagonale, înălțime. Formula clasică pentru aria unui romb este de a calcula valoarea prin înălțime.
Un exemplu de calcul al ariei unui romb folosind această formulă este foarte simplu. Trebuie doar să înlocuiți datele și să calculați suprafața.
Aria unui romb prin diagonale
Diagonalele unui romb se intersectează în unghi drept și sunt împărțite în jumătate în punctul de intersecție.
Formula pentru aria unui romb în funcție de diagonalele sale este produsul dintre diagonalele sale împărțit la 2.
Să ne uităm la un exemplu de calcul al ariei unui romb folosind diagonale. Să ni se dea un romb cu diagonale
d1 =5 cm și d2 =4. Să găsim zona. 
Formula pentru zona unui romb prin laturi implică și utilizarea altor elemente. Dacă un cerc este înscris într-un romb, atunci aria figurii poate fi calculată din laturi și raza acesteia:
Un exemplu de calcul al ariei unui romb prin laturi este, de asemenea, foarte simplu. Trebuie doar să calculați raza cercului înscris. Poate fi derivat din teorema lui Pitagora și folosind formula.
Aria unui romb prin latură și unghi
Formula pentru aria unui romb în ceea ce privește latura și unghiul este folosită foarte des.
Să ne uităm la un exemplu de calcul al ariei unui romb folosind o latură și un unghi.
Sarcină: Dat un romb ale cărui diagonale sunt d1 =4 cm, d2 =6 cm. Unghi ascuțit este egal cu α = 30°. Găsiți aria figurii folosind latura și unghiul.
Mai întâi, să găsim partea rombului. Pentru aceasta folosim teorema lui Pitagora. Știm că în punctul de intersecție diagonalele bisectează și formează un unghi drept. Prin urmare: 
Să înlocuim valorile:
Acum știm latura și unghiul. Să găsim zona: 
Aria unei figuri geometrice- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței limitată de conturul închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.
Formulele ariei triunghiulare
- Formula pentru aria unui triunghi după latură și înălțime
Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură - Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumferitor
- Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului înscris
Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris. unde S este aria triunghiului,
- lungimile laturilor triunghiului,
- înălțimea triunghiului,
- unghiul dintre laturi și,
- raza cercului înscris,
R - raza cercului circumscris,
Formule de suprafață pătrată
- Formula pentru aria unui pătrat cu lungimea laturii
Suprafata patrata egal cu pătratul lungimii laturii sale. - Formula pentru aria unui pătrat de-a lungul lungimii diagonalei
Suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.S= 1 2 2 unde S este aria pătratului,
- lungimea laturii pătratului,
- lungimea diagonalei pătratului.
Formula zonei dreptunghiulare
- Aria unui dreptunghi egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale
unde S este aria dreptunghiului,
- lungimile laturilor dreptunghiului.
Formule cu arii de paralelogram
- Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe lungimea și înălțimea laturii
Aria unui paralelogram - Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe două laturi și unghiul dintre ele
Aria unui paralelogram este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.a b sin α
unde S este aria paralelogramului,
- lungimile laturilor paralelogramului,
- lungimea înălțimii paralelogramului,
- unghiul dintre laturile paralelogramului.
Formule pentru aria unui romb
- Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și înălțimea laturii
Zona unui romb egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură. - Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și unghiul laturii
Zona unui romb este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului. - Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimile diagonalelor sale
Zona unui romb egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale. unde S este aria rombului,
- lungimea laturii rombului,
- lungimea înălțimii rombului,
- unghiul dintre laturile rombului,
1, 2 - lungimile diagonalelor.
Formule ale zonei trapezoidale
- Formula lui Heron pentru trapez
Unde S este aria trapezului,
- lungimile bazelor trapezului,
- lungimile laturilor trapezului,
Un romb este o figură specială în geometrie. Datorită proprietăților sale speciale, nu există una, ci mai multe formule care pot fi folosite pentru a calcula aria unui romb. Care sunt aceste proprietăți și care sunt cele mai comune formule pentru găsirea zonei acestei figuri? Să ne dăm seama.
Ce figură geometrică se numește romb?
Înainte de a afla care este zona unui romb, merită să aflați ce fel de figură este.
Din vremea geometriei euclidiene, un romb este un patrulater simetric, toate cele patru laturi sunt egale în lungime și paralele în perechi.
Originea termenului
Numele acestei figuri a ajuns la majoritatea limbi moderne din greacă, prin mijlocirea latinei. „Progenitorul” cuvântului „romb” a fost substantivul grecesc ῥόμβος (tamburin). Deși le este greu pentru locuitorii secolului XX, obișnuiți cu tamburele rotunde, să le imagineze într-o formă diferită, elenii au aceste instrumente muzicaleîn mod tradițional, acestea nu erau rotunde, ci în formă de diamant.
În majoritatea limbilor moderne, acest termen matematic este folosit ca în latină: rombus. Cu toate acestea, în engleză Uneori romburile sunt numite diamant (diamant sau diamant). Această figură a primit această poreclă datorită formei sale speciale, care amintește de bijuterie. De regulă, un termen similar nu este folosit pentru toate romburi, ci numai pentru cele în care unghiul de intersecție al celor două laturi este egal cu șaizeci sau patruzeci și cinci de grade.
Această cifră a fost menționată pentru prima dată în scrierile unui matematician grec care a trăit în primul secol. noua era- Stârcul Alexandriei.
Ce proprietăți are această figură geometrică?
Pentru a găsi zona unui romb, în primul rând trebuie să știți ce caracteristici are această zonă. figură geometrică.
În ce condiții un paralelogram este un romb?
După cum știți, fiecare romb este un paralelogram, dar nu orice paralelogram este un romb. Pentru a afirma cu exactitate că figura prezentată este într-adevăr un romb, și nu un simplu paralelogram, trebuie să corespundă uneia dintre cele trei caracteristici principale care disting un romb. Sau toate trei deodată.
- Diagonalele unui paralelogram se intersectează la un unghi de nouăzeci de grade.
- Diagonalele împart unghiurile în două, acționând ca bisectoare.
- Nu numai laturile paralele, ci și adiacente au aceeași lungime. Aceasta, apropo, este una dintre principalele diferențe dintre un romb și un paralelogram, deoarece a doua figură are doar laturi paralele care sunt egale în lungime, dar nu și cele adiacente.
În ce condiții un romb este un pătrat?
Conform proprietăților sale, în unele cazuri un romb poate deveni simultan un pătrat. Pentru a confirma clar această afirmație, pur și simplu rotiți pătratul în orice direcție cu patruzeci și cinci de grade. Figura rezultată va fi un romb, fiecare dintre unghiurile căruia este egal cu nouăzeci de grade.
De asemenea, pentru a confirma că pătratul este un romb, puteți compara caracteristicile acestor figuri: în ambele cazuri, toate laturile sunt egale, iar diagonalele sunt bisectoare și se intersectează la un unghi de nouăzeci de grade.
Cum să aflați aria unui romb folosind diagonalele sale
ÎN lumea modernă Pe Internet puteți găsi aproape toate materialele pentru a efectua calculele necesare. Astfel, există o mulțime de resurse echipate cu programe pentru calcularea automată a ariei unei anumite figuri. Mai mult, dacă (ca și în cazul unui romb) există mai multe formule pentru aceasta, atunci este posibil să alegeți care este cel mai convenabil de utilizat. Cu toate acestea, în primul rând, trebuie să puteți calcula singur aria unui romb fără ajutorul unui computer și să navigați prin formule. Sunt multe pentru romb, dar cele mai faimoase dintre ele sunt patru.
Una dintre cele mai simple și mai comune modalități de a afla zona acestei figuri este dacă aveți informații despre lungimea diagonalelor sale. Dacă problema are aceste date, atunci puteți aplica următoarea formulă pentru a găsi aria: S = KM x LN/2 (KM și LN sunt diagonalele rombului KLMN).
Puteți verifica fiabilitatea acestei formule în practică. Să presupunem că un romb KLMN are lungimea uneia dintre diagonalele sale KM - 10 cm, iar a doua LN - 8 cm Apoi înlocuim aceste date în formula de mai sus și obținem următorul rezultat: S = 10 x 8/ 2 =. 40 cm 2.
Formula pentru calcularea ariei unui paralelogram
Există o altă formulă. După cum sa menționat mai sus în definiția unui romb, acesta nu este doar un patrulater, ci și un paralelogram și are toate caracteristicile acestei figuri. În acest caz, pentru a-i găsi aria, este destul de recomandabil să folosiți formula folosită pentru un paralelogram: S = KL x Z. În acest caz, KL este lungimea laturii paralelogramului (romb), iar Z este lungimea înălțimii trasate pe această parte.
În unele probleme, lungimea laturii nu este prevăzută, dar se cunoaște perimetrul rombului. Deoarece formula pentru găsirea acesteia a fost indicată mai sus, o puteți folosi pentru a afla lungimea laturii. Deci, perimetrul figurii este de 10 cm Lungimea laturii poate fi găsită inversând formula perimetrului și împărțind 10 la 4. Rezultatul va fi de 2,5 cm - aceasta este lungimea dorită a laturii rombului.
Acum merită să încercați să înlocuiți acest număr în formulă, știind că lungimea înălțimii trasate în lateral este, de asemenea, egală cu 2,5 cm. Acum, să încercăm să punem aceste valori în formula de mai sus pentru aria lui paralelogram. Se pare că aria rombului este S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.
Alte moduri de a calcula aria unui romb
Cei care au stăpânit deja sinusurile și cosinusurile pot folosi formule care le conțin pentru a găsi aria unui romb. Un exemplu clasic este următoarea formulă: S = KM 2 x Sin KLM. În acest caz, aria figurii este egală cu produsul celor două laturi ale rombului înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele. Și deoarece toate laturile dintr-un romb sunt aceleași, este mai ușor să pătrați imediat o latură, așa cum s-a arătat în formulă.
Verificăm această schemă în practică, și nu doar pentru un romb, ci pentru un pătrat, care, după cum știți, are toate unghiurile drepte, ceea ce înseamnă că sunt egale cu nouăzeci de grade. Să presupunem că una dintre laturi are 15 cm. Se știe și că sinusul unui unghi de 90° egal cu unu. Apoi, conform formulei, S = 15 x 15 x Sin 90° = 255x1 = 255 cm 2.
În plus față de cele de mai sus, în unele cazuri se utilizează o altă formulă, folosind sinusul pentru a determina aria unui romb: S = 4 x R 2 /Sin KLM. în acest exemplu de realizare, este utilizată raza unui cerc înscris într-un romb. Se ridică la puterea pătratului și se înmulțește cu patru. Și întregul rezultat este împărțit la sinusul unghiului cel mai apropiat de figura înscrisă.
De exemplu, pentru simplitatea calculelor, să luăm din nou un pătrat (sinusul unghiului său va fi întotdeauna egal cu unu). Raza cercului înscris în el este de 4,4 cm Apoi aria rombului va fi calculată după cum urmează: S = 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° = 77,44 cm 2.
Formulele de mai sus pentru găsirea razei unui romb sunt departe de a fi singurele de acest fel, dar sunt cele mai ușor de înțeles și de efectuat calcule.
Un romb este un caz special de paralelogram. Este o figură pătrangulară plată în care toate laturile sunt egale. Această proprietate determină că romburile au laturi opuse paralele și unghiuri opuse egale. Diagonalele unui romb se intersectează în unghi drept, punctul lor de intersecție se află în mijlocul fiecărei diagonale, iar unghiurile din care ies sunt împărțite în jumătate. Adică, diagonalele unui romb sunt bisectoare ale unghiurilor. Pe baza definițiilor de mai sus și a proprietăților enumerate ale romburilor, aria lor poate fi determinată în diferite moduri.
1. Dacă ambele diagonale ale unui romb AC și BD sunt cunoscute, atunci aria rombului poate fi determinată ca jumătate din produsul diagonalelor.
S = ½ ∙ A.C. ∙ BD
unde AC, BD sunt lungimea diagonalelor rombului.
Pentru a înțelege de ce este așa, puteți potrivi mental un dreptunghi într-un romb, astfel încât laturile acestuia din urmă să fie perpendiculare pe diagonalele rombului. Devine evident că aria rombului va fi egală cu jumătate din aria dreptunghiului înscris în acest fel în romb, a cărui lungime și lățime vor corespunde cu dimensiunea diagonalelor rombului.
2. Prin analogie cu un paralelipiped, aria unui romb poate fi găsită ca produs al laturii sale și al înălțimii perpendicularei din partea opusă coborâtă pe o latură dată.
S = a ∙ h
unde a este latura rombului;
h este înălțimea perpendicularei coborâte pe o latură dată.
3. Aria unui romb este, de asemenea, egală cu pătratul laturii sale înmulțit cu sinusul unghiului α.
S = a 2 ∙ păcat α
unde a este latura rombului;
α este unghiul dintre laturi.
4. De asemenea, aria unui romb poate fi găsită prin latura sa și raza cercului înscris în el.
S=2 ∙ o ∙ r
unde a este latura rombului;
r este raza cercului înscris în romb.
Cuvântul romb provine din grecescul antic rombus, care înseamnă „tamburin”. În acele vremuri, tamburinele aveau de fapt formă de romb, și nu rotunde, așa cum suntem obișnuiți să le vedem acum. Din aceeași perioadă, a apărut și numele costumului de cărți „diamante”. Diamante foarte late diverse tipuri folosit în heraldică.