व्याख्या १. पिरॅमिडचा पाया नियमित बहुभुज असल्यास त्याला नियमित म्हणतात आणि अशा पिरॅमिडचा वरचा भाग त्याच्या पायाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो.
व्याख्या २. जर पिरॅमिडचा पाया नियमित बहुभुज असेल आणि त्याची उंची पायाच्या मध्यभागी असेल तर त्याला नियमित म्हणतात.
नियमित पिरॅमिडचे घटक
- त्याच्या शिरोबिंदूपासून काढलेल्या बाजूच्या चेहऱ्याच्या उंचीला म्हणतात apothem. आकृतीमध्ये ते विभाग चालू म्हणून नियुक्त केले आहे
- बाजूच्या कडांना जोडणारा आणि पायाच्या समतलात न पडलेल्या बिंदूला म्हणतात पिरॅमिडचा वरचा भाग(ओ)
- ज्या त्रिकोणांची पायथ्याशी सामाईक बाजू असते आणि शिरोबिंदूंपैकी एक शिरोबिंदू असतात त्यांना असे म्हणतात. बाजूचे चेहरे(AOD, DOC, COB, AOB)
- पिरॅमिडच्या वरच्या भागातून त्याच्या पायाच्या समतलापर्यंत काढलेल्या लंबाच्या भागाला म्हणतात. पिरॅमिड उंची(ठीक आहे)
- पिरॅमिडचा कर्ण भाग- हा पायाचा वरचा आणि कर्णरेषेतून जाणारा विभाग आहे (AOC, BOD)
- ज्या बहुभुजात पिरॅमिड शिरोबिंदू नसतो त्याला म्हणतात पिरॅमिडचा पाया(अ ब क ड)
पायावर असल्यास योग्य पिरॅमिडत्रिकोण, चतुर्भुज इ. नंतर म्हणतात नियमित त्रिकोणी , चतुर्भुजइ.
त्रिकोणी पिरॅमिड म्हणजे टेट्राहेड्रॉन - टेट्राहेड्रॉन.
नियमित पिरॅमिडचे गुणधर्म
समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, वैयक्तिक घटकांचे गुणधर्म जाणून घेणे आवश्यक आहे, जे सहसा स्थितीत वगळले जातात, कारण असे मानले जाते की विद्यार्थ्याला हे अगदी सुरुवातीपासूनच माहित असले पाहिजे.
- बाजूच्या फासळ्यासमानआपापसात
- apothems समान आहेत
- बाजूचे चेहरे समान आहेतएकमेकांसह (त्याच वेळी, अनुक्रमे, त्यांचे क्षेत्र, बाजू आणि पाया समान आहेत), म्हणजेच ते समान त्रिकोण आहेत
- सर्व बाजूचे चेहरे एकरूप समद्विभुज त्रिकोण आहेत
- कोणत्याही नियमित पिरॅमिडमध्ये, तुम्ही त्याच्या सभोवतालच्या गोलाचे अंकलेखन आणि वर्णन करू शकता
- जर कोरलेल्या आणि परिक्रमा केलेल्या गोलाकारांची केंद्रे जुळत असतील, तर पिरॅमिडच्या शीर्षस्थानी असलेल्या समतल कोनांची बेरीज π आहे आणि त्यापैकी प्रत्येक अनुक्रमे π/n आहे, जेथे n ही मूळ बहुभुजाच्या बाजूंची संख्या आहे
- नियमित पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ बेस आणि एपोथेमच्या परिमितीच्या अर्ध्या गुणानुरूप असते
- नियमित पिरॅमिडच्या पायथ्याजवळ वर्तुळाची परिक्रमा केली जाऊ शकते (त्रिकोणाच्या परिमित वर्तुळाची त्रिज्या देखील पहा)
- सर्व बाजूचे चेहरे नियमित पिरॅमिडच्या बेस प्लेनसह समान कोन बनवतात
- बाजूच्या चेहऱ्याच्या सर्व उंची एकमेकांच्या समान आहेत
समस्या सोडविण्याच्या सूचना. वर सूचीबद्ध केलेल्या गुणधर्मांनी व्यावहारिक समाधानास मदत केली पाहिजे. जर तुम्हाला चेहऱ्यांचे झुकते कोन, त्यांची पृष्ठभाग इत्यादी शोधायचे असतील, तर सामान्य तंत्र म्हणजे संपूर्ण त्रिमितीय आकृती वेगळ्या सपाट आकृत्यांमध्ये विभाजित करणे आणि पिरॅमिडचे वैयक्तिक घटक शोधण्यासाठी त्यांचे गुणधर्म वापरणे, कारण अनेक घटक अनेक आकृत्यांसाठी सामान्य आहेत.
संपूर्ण त्रिमितीय आकृती स्वतंत्र घटकांमध्ये खंडित करणे आवश्यक आहे - त्रिकोण, चौरस, विभाग. पुढे, प्लॅनिमेट्री कोर्समधील ज्ञान वैयक्तिक घटकांवर लागू करणे, जे उत्तर शोधणे मोठ्या प्रमाणात सुलभ करते.
योग्य पिरॅमिडसाठी सूत्रे
व्हॉल्यूम आणि पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी सूत्रे:
नोटेशन:
व्ही - पिरॅमिडची मात्रा
एस - बेस क्षेत्र
h - पिरॅमिडची उंची
Sb - बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ
a - अपोथेम (α सह गोंधळून जाऊ नये)
पी - बेस परिमिती
n - पायाभूत बाजूंची संख्या
b - बाजूच्या बरगडीची लांबी
α - पिरॅमिडच्या शीर्षस्थानी सपाट कोन
व्हॉल्यूम शोधण्यासाठी हे सूत्र वापरले जाऊ शकते फक्तच्या साठी योग्य पिरॅमिड:
, कुठे
व्ही - नियमित पिरॅमिडची मात्रा
h - नियमित पिरॅमिडची उंची
n ही नियमित बहुभुजाच्या बाजूंची संख्या आहे जी नियमित पिरॅमिडचा आधार आहे
a - नियमित बहुभुजाची बाजूची लांबी
योग्य कापलेला पिरॅमिड
जर आपण पिरॅमिडच्या पायथ्याशी समांतर एक विभाग काढला, तर या प्लॅन्स आणि बाजूच्या पृष्ठभागाच्या दरम्यान असलेल्या शरीराला म्हणतात. कापलेला पिरॅमिड. कापलेल्या पिरॅमिडसाठी हा विभाग त्याच्या पायांपैकी एक आहे.
बाजूच्या चेहऱ्याच्या उंचीला (जो समद्विद्विभुज ट्रॅपेझॉइड आहे) म्हणतात - नियमित कापलेल्या पिरॅमिडचे अपोथेम.
ज्या पिरॅमिडमधून तो मिळवला गेला तो बरोबर असल्यास कापलेला पिरॅमिड बरोबर असे म्हणतात.
- कापलेल्या पिरॅमिडच्या पायांमधील अंतर म्हणतात कापलेली पिरॅमिड उंची
- सर्व नियमित कापलेल्या पिरॅमिडचे चेहरेसमद्विभुज (समद्विभुज) ट्रॅपेझॉइड आहेत
नोट्स
हे देखील पहा:नियमित पिरॅमिडसाठी विशेष प्रकरणे (सूत्र):
येथे दिलेले सैद्धांतिक साहित्य कसे वापरावेआपल्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी:
चौकोनी पिरॅमिडपॉलीहेड्रॉनला पॉलिहेड्रॉन म्हणतात ज्याचा पाया चौरस आहे आणि सर्व बाजूंचे चेहरे समान समद्विभुज त्रिकोण आहेत.
या पॉलिहेड्रॉनमध्ये अनेक भिन्न गुणधर्म आहेत:
- त्याच्या बाजूच्या फासळ्या आणि समीप डायहेड्रल कोन एकमेकांना समान आहेत;
- बाजूच्या चेहर्याचे क्षेत्र समान आहेत;
- नियमित चतुर्भुज पिरॅमिडच्या पायथ्याशी एक चौरस आहे;
- पिरॅमिडच्या माथ्यावरून घसरलेली उंची पायाच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूला छेदते.
हे सर्व गुणधर्म शोधणे सोपे करतात. तथापि, बर्याचदा, त्याव्यतिरिक्त, पॉलिहेड्रॉनच्या व्हॉल्यूमची गणना करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, चतुर्भुज पिरॅमिडच्या व्हॉल्यूमसाठी सूत्र लागू करा:
म्हणजेच, पिरॅमिडची मात्रा पिरॅमिडच्या उंचीच्या आणि पायाच्या क्षेत्रफळाच्या उत्पादनाच्या एक तृतीयांश एवढी आहे. ते त्याच्या समान बाजूंच्या गुणाकाराच्या समान असल्याने, आम्ही लगेचच खंड अभिव्यक्तीमध्ये चौरस क्षेत्र सूत्र प्रविष्ट करतो.
चतुर्भुज पिरॅमिडची मात्रा मोजण्याचे उदाहरण विचारात घ्या.
चौकोनी पिरॅमिड देऊ या, ज्याच्या पायथ्याशी a = 6 सेमी बाजू असलेला चौरस आहे. पिरॅमिडची बाजू b = 8 सेमी आहे. पिरॅमिडची मात्रा शोधा. 
दिलेल्या पॉलिहेड्रॉनची मात्रा शोधण्यासाठी, आपल्याला त्याच्या उंचीची लांबी आवश्यक आहे. म्हणून, पायथागोरियन प्रमेय लागू करून आपण ते शोधू. प्रथम, कर्णाच्या लांबीची गणना करूया. निळ्या त्रिकोणामध्ये ते कर्ण असेल. हे देखील लक्षात ठेवण्यासारखे आहे की चौरसाचे कर्ण एकमेकांच्या बरोबरीचे आहेत आणि छेदनबिंदूवर अर्ध्या भागात विभागलेले आहेत: 
आता लाल त्रिकोणातून आपल्याला h आवश्यक असलेली उंची सापडते. ते समान असेल: 
आवश्यक मूल्ये बदला आणि पिरॅमिडची उंची शोधा:
आता, उंची जाणून घेतल्यास, आम्ही पिरॅमिडच्या व्हॉल्यूमसाठी सूत्रातील सर्व मूल्ये बदलू शकतो आणि आवश्यक मूल्याची गणना करू शकतो:
अशाप्रकारे, काही सोपी सूत्रे जाणून घेतल्याने, आम्ही नियमित चतुर्भुज पिरॅमिडची मात्रा मोजू शकलो. हे मूल्य क्यूबिक युनिट्समध्ये मोजले जाते हे विसरू नका.
तुमची गोपनीयता आमच्यासाठी महत्त्वाची आहे. या कारणास्तव, आम्ही एक गोपनीयता धोरण विकसित केले आहे जे आम्ही तुमची माहिती कशी वापरतो आणि संचयित करतो याचे वर्णन करते. कृपया आमचे गोपनीयता धोरण वाचा आणि तुम्हाला काही प्रश्न असल्यास आम्हाला कळवा.
वैयक्तिक माहितीचे संकलन आणि वापर
वैयक्तिक माहिती डेटाचा संदर्भ देते ज्याचा वापर एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीला ओळखण्यासाठी किंवा त्याच्याशी संपर्क साधण्यासाठी केला जाऊ शकतो.
तुम्ही आमच्याशी संपर्क साधता तेव्हा तुम्हाला तुमची वैयक्तिक माहिती देण्यास सांगितले जाऊ शकते.
आम्ही कोणत्या प्रकारची वैयक्तिक माहिती गोळा करू शकतो आणि आम्ही अशी माहिती कशी वापरू शकतो याची काही उदाहरणे खाली दिली आहेत.
आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती गोळा करतो:
- तुम्ही साइटवर अर्ज सबमिट करता तेव्हा आम्ही तुमचे नाव, फोन नंबर, पत्ता यासह विविध माहिती गोळा करू शकतो ईमेलइ.
आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:
- आमच्याद्वारे गोळा केले वैयक्तिक माहितीआम्हाला तुमच्याशी संपर्क साधण्याची आणि तुम्हाला अनन्य ऑफर, जाहिराती आणि इतर इव्हेंट्स आणि आगामी कार्यक्रमांबद्दल माहिती देण्यास अनुमती देते.
- वेळोवेळी, आम्ही तुम्हाला महत्त्वाच्या सूचना आणि संदेश पाठवण्यासाठी तुमची वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
- आम्ही प्रदान करत असल्‍या सेवा सुधारण्‍यासाठी आणि तुम्हाला आमच्या सेवांसंबंधी शिफारशी प्रदान करण्यासाठी ऑडिट, डेटा विश्‍लेषण आणि विविध संशोधन करण्यासाठी आम्ही अंतर्गत उद्देशांसाठी वैयक्तिक माहिती देखील वापरू शकतो.
- तुम्ही बक्षीस सोडत, स्पर्धा किंवा तत्सम प्रोत्साहन प्रविष्ट केल्यास, आम्ही अशा कार्यक्रमांचे व्यवस्थापन करण्यासाठी तुम्ही प्रदान केलेली माहिती वापरू शकतो.
तृतीय पक्षांना प्रकटीकरण
आम्ही तुमच्याकडून प्राप्त माहिती तृतीय पक्षांना उघड करत नाही.
अपवाद:
- आवश्यक असल्यास - कायद्यानुसार, न्यायालयीन आदेशानुसार, कायदेशीर कार्यवाहीमध्ये आणि / किंवा सार्वजनिक विनंत्या किंवा रशियन फेडरेशनच्या प्रदेशातील राज्य संस्थांच्या विनंत्यांवर आधारित - आपली वैयक्तिक माहिती उघड करा. सुरक्षा, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा इतर सार्वजनिक हिताच्या हेतूंसाठी असे प्रकटीकरण आवश्यक किंवा योग्य आहे हे आम्ही निर्धारित केल्यास आम्ही तुमच्याबद्दलची माहिती देखील उघड करू शकतो.
- पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्री झाल्यास, आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारीकडे हस्तांतरित करू शकतो.
वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण
तुमच्या वैयक्तिक माहितीचे नुकसान, चोरी आणि गैरवापर, तसेच अनधिकृत प्रवेश, प्रकटीकरण, बदल आणि विनाश यापासून संरक्षण करण्यासाठी आम्ही - प्रशासकीय, तांत्रिक आणि भौतिक यासह - खबरदारी घेतो.
कंपनी स्तरावर तुमची गोपनीयता राखणे
तुमची वैयक्तिक माहिती सुरक्षित आहे याची खात्री करण्यासाठी, आम्ही आमच्या कर्मचार्‍यांना गोपनीयता आणि सुरक्षा पद्धती संप्रेषण करतो आणि गोपनीयता पद्धतींची काटेकोरपणे अंमलबजावणी करतो.
- apothem- नियमित पिरॅमिडच्या बाजूच्या चेहऱ्याची उंची, जी त्याच्या वरून काढलेली असते (याव्यतिरिक्त, एपोथेम लंबाची लांबी असते, जी नियमित बहुभुजाच्या मध्यभागी पासून त्याच्या बाजूंच्या 1 पर्यंत कमी केली जाते);
- बाजूचे चेहरे (ASB, BSC, CSD, DSA) - त्रिकोण जे शीर्षस्थानी एकत्र होतात;
- बाजूच्या फासळ्या ( ए.एस , बी.एस , सी.एस , डी.एस. ) - बाजूच्या चेहऱ्याच्या सामान्य बाजू;
- पिरॅमिडचा वरचा भाग (v. S) - बाजूच्या कडांना जोडणारा एक बिंदू आणि जो बेसच्या समतलात नसतो;
- उंची ( SO ) - लंबाचा एक विभाग, जो पिरॅमिडच्या वरच्या भागातून त्याच्या पायाच्या समतल भागावर काढला जातो (अशा खंडाचे टोक पिरॅमिडच्या शीर्षस्थानी आणि लंबाचा पाया असेल);
- पिरॅमिडचा कर्ण भाग- पिरॅमिडचा विभाग, जो वरच्या आणि बेसच्या कर्णातून जातो;
- पाया (अ ब क ड) हा एक बहुभुज आहे ज्याचा पिरॅमिडचा वरचा भाग संबंधित नाही.
पिरॅमिड गुणधर्म.
1. जेव्हा सर्व बाजूच्या कडा समान आकाराच्या असतात, तेव्हा:
- पिरॅमिडच्या पायथ्याजवळ वर्तुळाचे वर्णन करणे सोपे आहे, तर पिरॅमिडचा वरचा भाग या वर्तुळाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जाईल;
- बाजूच्या फासळ्या बेस प्लेनसह समान कोन बनवतात;
- याव्यतिरिक्त, संभाषण देखील सत्य आहे, म्हणजे जेव्हा बाजूच्या कडा बेस प्लेनसह समान कोन बनवतात, किंवा जेव्हा पिरॅमिडच्या पायथ्याजवळ वर्तुळाचे वर्णन केले जाऊ शकते आणि पिरॅमिडचा वरचा भाग या वर्तुळाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जाईल, तेव्हा पिरॅमिडच्या सर्व बाजूच्या कडांना समान आकार.
2. जेव्हा बाजूच्या चेहऱ्यांना समान मूल्याच्या पायाच्या समतलाकडे झुकण्याचा कोन असतो, तेव्हा:
- पिरॅमिडच्या पायथ्याजवळ, वर्तुळाचे वर्णन करणे सोपे आहे, तर पिरॅमिडचा वरचा भाग या वर्तुळाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जाईल;
- बाजूच्या चेहऱ्याची उंची समान लांबीची आहे;
- बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ पायाच्या परिमितीचे उत्पादन आणि बाजूच्या चेहऱ्याची उंची आहे.
3. जर पिरॅमिडचा पाया बहुभुज असेल ज्याभोवती वर्तुळाचे वर्णन करता येईल (आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती) असेल तर पिरॅमिडच्या जवळ गोलाचे वर्णन केले जाऊ शकते. गोलाच्या मध्यभागी विमानांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू असेल जो पिरॅमिडच्या कडांच्या मध्यबिंदूंमधून त्यांना लंब असेल. या प्रमेयावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की गोलाचे वर्णन कोणत्याही त्रिकोणी आणि कोणत्याही नियमित पिरॅमिडभोवती केले जाऊ शकते.
4. पिरॅमिडच्या अंतर्गत डायहेड्रल कोनांचे दुभाजक विमान 1ल्या बिंदूला (एक आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती) छेदत असल्यास एक गोल पिरॅमिडमध्ये कोरला जाऊ शकतो. हा बिंदू गोलाचे केंद्र बनेल.
सर्वात सोपा पिरॅमिड.
पिरॅमिडच्या पायाच्या कोपऱ्यांच्या संख्येनुसार, ते त्रिकोणी, चतुर्भुज इत्यादींमध्ये विभागलेले आहेत.
पिरॅमिड होईल त्रिकोणी, चौकोनी, आणि असेच, जेव्हा पिरॅमिडचा पाया एक त्रिकोण, एक चतुर्भुज असतो आणि असेच. त्रिकोणी पिरॅमिड म्हणजे टेट्राहेड्रॉन - टेट्राहेड्रॉन. चतुर्भुज - पेंटाहेड्रॉन वगैरे.