पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाच्या समान. पिरॅमिडचे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे. वैयक्तिक माहितीचे संकलन आणि वापर

बाजूंची संख्या, बाजूची लांबी आणि अपोथेम प्रविष्ट करा:

पिरॅमिड व्याख्या

पिरॅमिडएक पॉलिहेड्रॉन आहे, जो बहुभुजावर आधारित आहे आणि त्याचे चेहरे त्रिकोण आहेत.

ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर

पिरॅमिडच्या काही घटकांच्या व्याख्येवर लक्ष देणे योग्य आहे.

तिला, इतर पॉलिहेड्राप्रमाणे, आहे बरगड्या. ते एका बिंदूवर एकत्र होतात, ज्याला म्हणतात शिखरपिरॅमिड एक अनियंत्रित बहुभुज त्याच्या पायथ्याशी असू शकतो. धारपायाच्या एका बाजूने आणि दोन जवळच्या कडांनी तयार केलेली भौमितिक आकृती म्हणतात. आमच्या बाबतीत, हा एक त्रिकोण आहे. उंचीपिरॅमिड हे विमानापासूनचे अंतर आहे ज्यामध्ये त्याचा पाया पॉलीहेड्रॉनच्या शीर्षस्थानी असतो. नियमित पिरॅमिडसाठी, आणखी एक संकल्पना आहे apothemपिरॅमिडच्या शीर्षापासून त्याच्या पायापर्यंत लंब आहे.

पिरॅमिडचे प्रकार

पिरॅमिडचे 3 प्रकार आहेत:

1. आयताकृती- ज्यामध्ये कोणतीही धार पायासह काटकोन बनवते.
2. योग्य- त्याचा पाया एक नियमित भौमितिक आकृती आहे, आणि बहुभुजाचा वरचा भाग हा बेसच्या मध्यभागी प्रक्षेपण आहे.
3. टेट्राहेड्रॉन- त्रिकोणांनी बनलेला पिरॅमिड. शिवाय, त्या प्रत्येकाला आधार म्हणून घेतले जाऊ शकते.

पिरॅमिड पृष्ठभाग क्षेत्र सूत्र

पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आणि पायाचे क्षेत्रफळ जोडा.

सर्वात सोपा म्हणजे नियमित पिरॅमिडचा मामला आहे, म्हणून आम्ही त्यास सामोरे जाऊ. अशा पिरॅमिडच्या एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढू. बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे:

S बाजू = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pएस बाजू​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p

l l l- पिरॅमिडचे अपोथेम;
pp pपिरॅमिडच्या पायाची परिमिती आहे.

पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभाग क्षेत्रः

S = S बाजू + S मुख्य S=S_(\text(side))+S_(\text(मुख्य))एस =एस बाजू​ + एस मुख्य​

S बाजू S_(\text(side)) एस बाजू​ - पिरॅमिडच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ;
S मुख्य S_(\text(मुख्य)) एस मुख्य​ पिरॅमिडच्या पायाचे क्षेत्रफळ आहे.

समस्येचे निराकरण करण्याचे उदाहरण.

उदाहरण

त्रिकोणी पिरॅमिडचे एकूण क्षेत्रफळ शोधा जर त्याचा एपोथेम 8 असेल (पहा), आणि पायावर 3 ची बाजू असलेला समभुज त्रिकोण असेल (पहा)

उपाय

L=8 l=8 l =8
a=3 a=3 a =3

पायाची परिमिती शोधा. आधार हा बाजू असलेला समभुज त्रिकोण असल्याने a a, नंतर त्याची परिमिती pp p(त्याच्या सर्व बाजूंची बेरीज):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p=a +a +a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

नंतर पिरॅमिडचे पार्श्व क्षेत्र:

S बाजू = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36एस बाजू​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p=2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (चौ. पहा.)

आता आपल्याला पिरॅमिडच्या पायाचे क्षेत्रफळ, म्हणजेच त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ सापडते. आमच्या बाबतीत, त्रिकोण समभुज आहे आणि त्याचे क्षेत्रफळ सूत्राद्वारे मोजले जाऊ शकते:

S मुख्य = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(main))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)एस मुख्य​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​

अ aत्रिकोणाची बाजू आहे.

आम्हाला मिळते:

S मुख्य = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_(\text(main))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\अंदाजे 3.9एस मुख्य​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (चौ. पहा.)

पूर्ण क्षेत्र:

S = S बाजू + S मुख्य ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_(\text(side))+S_(\text(main))\approx36+3.9=39.9एस =एस बाजू​ + एस मुख्य​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (चौ. पहा.)

उत्तर: 39.9 सेमी. चौ.

आणखी एक उदाहरण, थोडे अधिक क्लिष्ट.

उदाहरण

पिरॅमिडचा पाया 36 क्षेत्रफळ असलेला एक चौरस आहे (चौ. पहा). पॉलीहेड्रॉनचा एपोथेम पायाच्या बाजूच्या 3 पट असतो a a. या आकृतीचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

उपाय

S क्वाड = 36 S_(\text(quad))=36एस क्वाड​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ a

पायाची बाजू शोधा, म्हणजे चौरसाची बाजू. त्याचे क्षेत्रफळ आणि बाजूची लांबी संबंधित आहेतः

S क्वाड = a 2 S_(\text(quad))=a^2एस क्वाड​ = a 2
36=a2 36=a^2 3 6 = a 2
a=6 a=6 a =6

पिरॅमिडच्या पायाची परिमिती शोधा (म्हणजे चौरसाची परिमिती):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p=a +a +a +a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

एपोथेमची लांबी शोधा:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

आमच्या बाबतीत:

S क्वाड = S मुख्य S_(\text(quad))=S_(\text(मुख्य))एस क्वाड​ = एस मुख्य​

हे फक्त बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधणे बाकी आहे. सूत्रानुसार:

S बाजू = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216एस बाजू​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p=2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (चौ. पहा.)

पूर्ण क्षेत्र:

$एस={एस}^{\text{बाजू + एसमुख्य = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (चौ. पहा.)}}$

उत्तर: 252 सेमी चौ.

सिलेंडर हे दोन समांतर समतल आणि दंडगोलाकार पृष्ठभागाने बांधलेले भौमितिक शरीर आहे. लेखात, आम्ही सिलेंडरचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे याबद्दल बोलू आणि सूत्र वापरून, आम्ही उदाहरणार्थ अनेक समस्या सोडवू.

सिलेंडरमध्ये तीन पृष्ठभाग असतात: एक शीर्ष, एक तळ आणि बाजूची पृष्ठभाग.

सिलेंडरचा वरचा आणि खालचा भाग वर्तुळे आहेत आणि परिभाषित करणे सोपे आहे.

हे ज्ञात आहे की वर्तुळाचे क्षेत्रफळ πr 2 च्या बरोबरीचे आहे. म्हणून, दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र (सिलेंडरच्या वरच्या आणि खालच्या) πr 2 + πr 2 = 2πr 2 सारखे दिसेल.

सिलेंडरची तिसरी, बाजूची पृष्ठभाग, सिलेंडरची वक्र भिंत आहे. या पृष्ठभागाचे चांगले प्रतिनिधित्व करण्यासाठी, ओळखण्यायोग्य आकार मिळविण्यासाठी त्याचे रूपांतर करण्याचा प्रयत्न करूया. कल्पना करा की सिलिंडर हा एक सामान्य टिन कॅन आहे ज्याला वरचे झाकण आणि तळ नाही. चला बाजूच्या भिंतीवर जारच्या वरपासून खालपर्यंत एक उभ्या चीरा बनवूया (आकृतीतील पायरी 1) आणि परिणामी आकृती शक्य तितकी उघडण्याचा (सरळ) प्रयत्न करूया (चरण 2).

परिणामी जारच्या संपूर्ण प्रकटीकरणानंतर, आम्हाला एक परिचित आकृती दिसेल (चरण 3), हा एक आयत आहे. आयताचे क्षेत्रफळ मोजणे सोपे आहे. पण त्याआधी आपण काही क्षण मूळ सिलेंडरकडे परत जाऊ या. मूळ सिलेंडरचा शिरोबिंदू एक वर्तुळ आहे आणि आपल्याला माहित आहे की परिघ सूत्रानुसार मोजला जातो: L = 2πr. ते आकृतीमध्ये लाल रंगात चिन्हांकित केले आहे.

जेव्हा सिलेंडरची बाजूची भिंत पूर्णपणे वाढविली जाते, तेव्हा आपण पाहतो की परिघ परिणामी आयताची लांबी बनतो. या आयताच्या बाजूंचा घेर (L = 2πr) आणि सिलेंडरची उंची (h) असेल. आयताचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूंच्या गुणाकाराइतके असते - S = लांबी x रुंदी = L x h = 2πr x h = 2πrh. परिणामी, आम्ही सिलेंडरच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्यासाठी एक सूत्र प्राप्त केले आहे.

सिलेंडरच्या बाजूकडील पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
एस बाजू = 2prh

सिलेंडरचे संपूर्ण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ

शेवटी, आपण तिन्ही पृष्ठभागांचे क्षेत्रफळ जोडल्यास, आपल्याला सिलेंडरच्या एकूण पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र मिळेल. सिलेंडरच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ सिलिंडरच्या वरच्या भागाच्या क्षेत्रफळाइतके असते + सिलेंडरच्या पायाचे क्षेत्रफळ + सिलेंडरच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ किंवा S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. कधीकधी ही अभिव्यक्ती समान सूत्र 2πr (r + h) द्वारे लिहिली जाते.

सिलेंडरच्या एकूण पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r ही सिलेंडरची त्रिज्या आहे, h ही सिलेंडरची उंची आहे

सिलेंडरच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोजण्याची उदाहरणे

वरील सूत्रे समजून घेण्यासाठी, उदाहरणे वापरून सिलेंडरच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढण्याचा प्रयत्न करूया.

1. सिलेंडरच्या पायाची त्रिज्या 2 आहे, उंची 3 आहे. सिलेंडरच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ निश्चित करा.

एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ सूत्रानुसार मोजले जाते: S बाजू. = 2prh

एस बाजू = 2 * 3.14 * 2 * 34.6 . एकूण मिळालेले रेटिंग: 990.

पिरॅमिड- बहुभुज आणि त्रिकोणांपासून बनलेल्या पॉलिहेड्रॉनच्या प्रकारांपैकी एक जे पायथ्याशी असते आणि त्याचे चेहरे असतात.

शिवाय, पिरॅमिडच्या शीर्षस्थानी (म्हणजे एका बिंदूवर), सर्व चेहरे एकत्र केले जातात.

पिरॅमिडच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्यासाठी, त्याच्या बाजूच्या पृष्ठभागावर अनेक त्रिकोण आहेत हे निश्चित करणे योग्य आहे. आणि आम्ही वापरून त्यांचे क्षेत्र सहजपणे शोधू शकतो

विविध सूत्रे. आम्हाला त्रिकोणांचा कोणता डेटा माहित आहे यावर अवलंबून, आम्ही त्यांचे क्षेत्र शोधत आहोत.

आम्ही काही सूत्रांची यादी करतो ज्याद्वारे तुम्ही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधू शकता:

1. S = (a*h)/2 . या प्रकरणात, आपल्याला त्रिकोणाची उंची माहित आहे h , जे बाजूला खाली केले जाते a .
2. S = a*b*sinβ . येथे त्रिकोणाच्या बाजू आहेत a , b , आणि त्यांच्यामधील कोन आहे β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . येथे त्रिकोणाच्या बाजू आहेत a, b, c . त्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या आहे आर .
4. S = (a*b*c)/4*R . त्रिकोणाभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या आहे आर .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . जर त्रिकोण काटकोन असेल तरच हे सूत्र लागू केले पाहिजे.
6. S = (a²*√3)/4 . आम्ही हे सूत्र समभुज त्रिकोणावर लागू करतो.

आपल्या पिरॅमिडचे चेहरे असलेल्या सर्व त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ मोजल्यानंतरच आपण त्याच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढू शकतो. हे करण्यासाठी, आपण वरील सूत्रांचा वापर करू.

पिरॅमिडच्या बाजूकडील पृष्ठभागाच्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, कोणतीही अडचण उद्भवणार नाही: आपल्याला सर्व त्रिकोणांच्या क्षेत्रांची बेरीज शोधण्याची आवश्यकता आहे. चला हे सूत्राने व्यक्त करूया:

Sp = ΣSi

येथे सि पहिल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे आणि एस पी पिरॅमिडच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे.

एक उदाहरण पाहू. नियमित पिरॅमिड दिल्यास, त्याचे पार्श्व चेहरे अनेक समभुज त्रिकोणांनी तयार होतात,

« भूमिती हे आपल्या मानसिक क्षमता सुधारण्यासाठी सर्वात शक्तिशाली साधन आहे.».

गॅलिलिओ गॅलीली.

आणि चौरस हा पिरॅमिडचा पाया आहे. शिवाय, पिरॅमिडच्या काठाची लांबी 17 सेमी आहे. चला या पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधूया.

आम्ही असे तर्क करतो: आम्हाला माहित आहे की पिरॅमिडचे चेहरे त्रिकोण आहेत, ते समभुज आहेत. या पिरॅमिडच्या काठाची लांबी किती आहे हे देखील आपल्याला माहित आहे. हे खालीलप्रमाणे आहे की सर्व त्रिकोणांना समान बाजू आहेत, त्यांची लांबी 17 सेमी आहे.

या प्रत्येक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी तुम्ही खालील सूत्र वापरू शकता:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 सेमी²

चौरस पिरॅमिडच्या पायथ्याशी आहे हे आपल्याला माहित असल्याने, असे दिसून आले की आपल्याकडे चार समभुज त्रिकोण आहेत. याचा अर्थ असा की पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ खालील सूत्र वापरून सहजपणे मोजले जाऊ शकते: 125.137 cm² * 4 = 500.548 cm²

आमचे उत्तर खालीलप्रमाणे आहे: 500.548 cm² - हे या पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे.

गणिताच्या परीक्षेची तयारी करताना, विद्यार्थ्यांना बीजगणित आणि भूमितीचे ज्ञान व्यवस्थित करावे लागते. मी सर्व ज्ञात माहिती एकत्र करू इच्छितो, उदाहरणार्थ, पिरॅमिडचे क्षेत्रफळ कसे मोजायचे. शिवाय, पायापासून आणि बाजूच्या चेहऱ्यापासून संपूर्ण पृष्ठभागाच्या क्षेत्रापर्यंत. जर बाजूच्या चेहऱ्यांसह परिस्थिती स्पष्ट असेल, कारण ते त्रिकोण आहेत, तर आधार नेहमीच वेगळा असतो.

पिरॅमिडच्या पायाचे क्षेत्रफळ शोधताना काय करावे?

हे पूर्णपणे कोणतीही आकृती असू शकते: अनियंत्रित त्रिकोणापासून एन-गॉन पर्यंत. आणि हा आधार, कोनांच्या संख्येतील फरकाव्यतिरिक्त, नियमित आकृती किंवा चुकीचा असू शकतो. शाळकरी मुलांसाठी स्वारस्य असलेल्या USE कार्यांमध्ये, फक्त बेसवर योग्य आकृत्यांसह कार्ये आहेत. म्हणून, आम्ही फक्त त्यांच्याबद्दल बोलू.

काटकोन त्रिकोण

ते समभुज आहे. ज्यामध्ये सर्व बाजू समान आहेत आणि "a" अक्षराने दर्शविल्या जातात. या प्रकरणात, पिरॅमिडच्या पायाचे क्षेत्रफळ सूत्रानुसार मोजले जाते:

S = (a 2 * √3) / 4.

चौरस

त्याचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे सूत्र सर्वात सोपे आहे, येथे "a" पुन्हा बाजू आहे:

अनियंत्रित नियमित n-gon

बहुभुजाच्या बाजूला समान पदनाम आहे. कोपऱ्यांच्या संख्येसाठी, लॅटिन अक्षर n वापरला जातो.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

पार्श्व आणि एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोजताना पुढे कसे जायचे?

आधार हा एक नियमित आकृती असल्याने, पिरॅमिडचे सर्व चेहरे समान आहेत. शिवाय, त्यातील प्रत्येक समद्विभुज त्रिकोण आहे, कारण बाजूच्या कडा समान आहेत. नंतर, पिरॅमिडच्या पार्श्व क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, आपल्याला समान मोनोमिअल्सची बेरीज असलेले सूत्र आवश्यक आहे. अटींची संख्या बेसच्या बाजूंच्या संख्येद्वारे निर्धारित केली जाते.

समद्विभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ सूत्राद्वारे मोजले जाते ज्यामध्ये पायाचे अर्धे गुणाकार उंचीने गुणाकार केला जातो. पिरॅमिडमधील या उंचीला अपोथेम म्हणतात. त्याचे पदनाम "ए" आहे. पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी सामान्य सूत्र आहे:

S \u003d ½ P * A, जेथे P हा पिरॅमिडच्या पायाचा परिमिती आहे.

अशी परिस्थिती असते जेव्हा पायाच्या बाजू ज्ञात नसतात, परंतु बाजूच्या कडा (c) आणि त्याच्या शिरोबिंदूवरील सपाट कोन (α) दिले जातात. मग पिरॅमिडच्या पार्श्व क्षेत्राची गणना करण्यासाठी असे सूत्र वापरणे आवश्यक आहे:

S = n/2 * 2 sin α मध्ये .

कार्य #1

परिस्थिती.पिरॅमिडचे एकूण क्षेत्रफळ शोधा जर त्याचा पाया 4 सेमीच्या बाजूने असेल आणि एपोथेमचे मूल्य √3 सेमी असेल.

उपाय.आपल्याला बेसच्या परिमितीची गणना करून प्रारंभ करणे आवश्यक आहे. हा एक नियमित त्रिकोण असल्याने, नंतर P \u003d 3 * 4 \u003d 12 सेमी. अपोथेम ज्ञात असल्याने, आपण संपूर्ण पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ लगेच काढू शकता: ½ * 12 * √3 = 6 √3 सेमी 2.

पायथ्यावरील त्रिकोणासाठी, खालील क्षेत्र मूल्य प्राप्त केले जाईल: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 सेमी 2.

संपूर्ण क्षेत्र निश्चित करण्यासाठी, तुम्हाला दोन परिणामी मूल्ये जोडणे आवश्यक आहे: 6√3 + 4√3 = 10√3 सेमी 2.

उत्तर द्या. 10√3 सेमी2.

कार्य #2

परिस्थिती. एक नियमित चतुर्भुज पिरॅमिड आहे. पायाच्या बाजूची लांबी 7 मिमी आहे, बाजूची किनार 16 मिमी आहे. आपल्याला त्याचे पृष्ठभाग क्षेत्र माहित असणे आवश्यक आहे.

उपाय.पॉलीहेड्रॉन चतुर्भुज आणि नियमित असल्यामुळे त्याचा पाया चौरस आहे. बेस आणि बाजूच्या चेहर्याचे क्षेत्र जाणून घेतल्यावर, पिरॅमिडच्या क्षेत्राची गणना करणे शक्य होईल. चौरसाचे सूत्र वर दिले आहे. आणि बाजूच्या चेहऱ्यावर, त्रिकोणाच्या सर्व बाजू ओळखल्या जातात. म्हणून, आपण त्यांच्या क्षेत्रांची गणना करण्यासाठी हेरॉनचे सूत्र वापरू शकता.

पहिली गणना सोपी आहे आणि या संख्येकडे नेईल: 49 मिमी 2. दुसऱ्या मूल्यासाठी, आपल्याला अर्ध-परिमितीची गणना करणे आवश्यक आहे: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 मिमी. आता तुम्ही समद्विभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढू शकता: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 मिमी 2. असे फक्त चार त्रिकोण आहेत, म्हणून अंतिम संख्येची गणना करताना, आपल्याला 4 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

हे दिसून येते: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 मिमी 2.

उत्तर द्या. इच्छित मूल्य 267.576 मिमी 2 आहे.

कार्य #3

परिस्थिती. नियमित चतुर्भुज पिरॅमिडसाठी, आपल्याला क्षेत्राची गणना करणे आवश्यक आहे. त्यामध्ये चौरसाची बाजू 6 सेमी आणि उंची 4 सेमी आहे.

उपाय.परिमिती आणि एपोथेमच्या उत्पादनासह सूत्र वापरणे हा सर्वात सोपा मार्ग आहे. प्रथम मूल्य शोधणे सोपे आहे. दुसरा जरा अवघड आहे.

आपल्याला पायथागोरियन प्रमेय लक्षात ठेवावा लागेल आणि विचार करावा लागेल की ते पिरॅमिड आणि एपोथेमच्या उंचीने बनते, जे कर्ण आहे. दुसरा पाय चौरसाच्या अर्ध्या बाजूच्या समान आहे, कारण पॉलिहेड्रॉनची उंची त्याच्या मध्यभागी येते.

इच्छित एपोथेम (काटक त्रिकोणाचे कर्ण) √(3 2 + 4 2) = 5 (सेमी) आहे.

आता आपण इच्छित मूल्याची गणना करू शकता: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

उत्तर द्या. 96 सेमी2.

कार्य #4

परिस्थिती.त्याच्या पायाची योग्य बाजू 22 मिमी आहे, बाजूच्या फासळ्या 61 मिमी आहेत. या पॉलीहेड्रॉनच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ किती आहे?

उपाय.त्यातील तर्क समस्या क्रमांक २ मध्ये वर्णन केल्याप्रमाणेच आहे. फक्त तेथे पायथ्याशी चौरस असलेला पिरॅमिड देण्यात आला होता आणि आता तो षटकोनी आहे.

सर्व प्रथम, बेसचे क्षेत्रफळ वरील सूत्र वापरून मोजले जाते: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 सेमी 2.

आता तुम्हाला समद्विभुज त्रिकोणाचा अर्ध-परिमिती शोधणे आवश्यक आहे, जो पार्श्व चेहरा आहे. (22 + 61 * 2): 2 = 72 सेमी. हेरॉन सूत्र वापरून अशा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजणे बाकी आहे आणि नंतर त्यास सहा ने गुणाकार करा आणि त्यास जोडा पाया.

हेरॉन सूत्र वापरून गणना: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 सेमी 2. पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ देणारी गणना: 660 * 6 \u003d 3960 सेमी 2. संपूर्ण पृष्ठभाग शोधण्यासाठी त्यांना जोडणे बाकी आहे: 5217.47≈5217 सेमी 2.

उत्तर द्या.पाया - 726√3 सेमी 2, बाजूचा पृष्ठभाग - 3960 सेमी 2, संपूर्ण क्षेत्रफळ - 5217 सेमी 2.

आपण कोणत्या आकाराला पिरॅमिड म्हणतो? प्रथम, तो एक पॉलिहेड्रॉन आहे. दुसरे म्हणजे, या पॉलिहेड्रॉनच्या पायथ्याशी एक अनियंत्रित बहुभुज आहे आणि पिरॅमिडच्या बाजूंना (बाजूचे चेहरे) एका सामान्य शिरोबिंदूवर एकत्रितपणे त्रिकोणाचे स्वरूप असणे आवश्यक आहे. आता, संज्ञा हाताळल्यानंतर, पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे ते शोधूया.

हे स्पष्ट आहे की अशा भौमितिक शरीराच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ बेस आणि त्याच्या संपूर्ण पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रांच्या बेरजेने बनलेले असते.

पिरॅमिडच्या पायाचे क्षेत्रफळ मोजत आहे

गणना सूत्राची निवड आपल्या पिरॅमिडच्या पायथ्याशी असलेल्या बहुभुजाच्या आकारावर अवलंबून असते. ते बरोबर असू शकते, म्हणजे, समान लांबीच्या बाजूंनी, किंवा चुकीचे. चला दोन्ही पर्यायांचा विचार करूया.

पायावर एक नियमित बहुभुज आहे

शालेय अभ्यासक्रमावरून हे ज्ञात आहे:

• चौरसाचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूच्या चौरसाच्या लांबीइतके असेल;
• समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ तीनच्या वर्गमूळाच्या 4 पटीने भागलेल्या त्याच्या बाजूच्या चौरसाइतके असते.

परंतु कोणत्याही नियमित बहुभुज (Sn) चे क्षेत्रफळ मोजण्यासाठी एक सामान्य सूत्र देखील आहे: तुम्हाला या बहुभुज (P) च्या परिमितीचे मूल्य त्यात कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याने गुणाकार करणे आवश्यक आहे (r), आणि नंतर निकालाला दोन ने विभाजित करा: Sn=1/2P*r .

पाया एक अनियमित बहुभुज आहे.

त्याचे क्षेत्रफळ शोधण्याची योजना म्हणजे प्रथम संपूर्ण बहुभुज त्रिकोणांमध्ये विभागणे, त्यातील प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ हे सूत्र वापरून काढणे: 1/2a * h (जेथे a हा त्रिकोणाचा पाया आहे, h ही उंची आहे. या बेसवर खाली केले), सर्व परिणाम जोडा.

पिरॅमिडच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ

आता पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करूया, म्हणजे. त्याच्या सर्व बाजूंच्या क्षेत्रांची बेरीज. येथे 2 पर्याय देखील आहेत.

1. आम्हाला एक अनियंत्रित पिरॅमिड द्या, म्हणजे. ज्याचा पाया अनियमित बहुभुज आहे. मग आपण प्रत्येक चेहर्याचे क्षेत्र स्वतंत्रपणे मोजले पाहिजे आणि परिणाम जोडा. पिरॅमिडच्या बाजू, व्याख्येनुसार, केवळ त्रिकोण असू शकतात, गणना वर नमूद केलेल्या सूत्रावर आधारित आहे: S=1/2a*h.
2. आमचे पिरॅमिड योग्य असू द्या, म्हणजे. त्याच्या पायथ्याशी एक नियमित बहुभुज आहे आणि पिरॅमिडच्या शीर्षस्थानाचा प्रक्षेपण त्याच्या मध्यभागी आहे. नंतर, बाजूच्या पृष्ठभागाच्या (Sb) क्षेत्रफळाची गणना करण्यासाठी, आधार बहुभुज (P) च्या परिमितीच्या अर्ध्या गुणाकार आणि बाजूची उंची (h) शोधणे पुरेसे आहे (सर्व चेहऱ्यांसाठी समान) : Sb \u003d 1/2 P * h. बहुभुजाची परिमिती त्याच्या सर्व बाजूंच्या लांबी जोडून निर्धारित केली जाते.

नियमित पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ त्याच्या पायाचे क्षेत्रफळ संपूर्ण पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाच्या क्षेत्रासह एकत्रित करून आढळते.

उदाहरणे

उदाहरणार्थ, अनेक पिरॅमिड्सच्या पृष्ठभागाची बीजगणितीय गणना करू.

त्रिकोणी पिरॅमिडचे पृष्ठभाग क्षेत्र

अशा पिरॅमिडच्या पायथ्याशी एक त्रिकोण आहे. So \u003d 1 / 2a * h या सूत्रानुसार, आपल्याला पायाचे क्षेत्रफळ सापडते. आम्ही पिरॅमिडच्या प्रत्येक चेहऱ्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी समान सूत्र लागू करतो, त्रिकोणी आकार देखील असतो आणि आम्हाला 3 क्षेत्रे मिळतात: S1, S2 आणि S3. पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ सर्व क्षेत्रांची बेरीज आहे: Sb \u003d S1 + S2 + S3. बाजू आणि पायाचे क्षेत्र जोडून, ​​आम्हाला इच्छित पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मिळते: Sp \u003d So + Sb.

चौकोनी पिरॅमिडचे पृष्ठभाग क्षेत्र

पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ ही 4 संज्ञांची बेरीज आहे: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, यापैकी प्रत्येकाची गणना त्रिकोण क्षेत्र सूत्र वापरून केली जाते. आणि बेसचे क्षेत्रफळ शोधावे लागेल, चतुर्भुज आकारावर अवलंबून - योग्य किंवा अनियमित. पायाचे क्षेत्रफळ आणि दिलेल्या पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ जोडून पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ पुन्हा मिळवले जाते.