В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.
Русский ученый, механик Н.Е. Жуковский
Весьма распространенными задачами на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием арифметической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо хорошо знать свойства арифметической прогрессии и иметь определенные навыки их применения.
Предварительно напомним основные свойства арифметической прогрессии и приведем наиболее важные формулы , связанные с этим понятием.
Определение. Числовая последовательность , в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и то же число , называется арифметической прогрессией. При этом число называется разностью прогрессии.
Для арифметической прогрессии справедливы формулы
, (1)
где . Формула (1) называется формулой общего члена арифметической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство арифметической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним арифметическим своих соседних членов и .
Отметим, что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «арифметической».
Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом:
(3)
Для вычисления суммы первых членов арифметической прогрессии обычно применяется формула
(5) где и .
Если принять во внимание формулу (1 ), то из формулы (5) вытекает
Если обозначить , то
где . Так как , то формулы (7) и (8) являются обобщением соответствующих формул (5) и (6).
В частности , из формулы (5) следует , что
К числу малоизвестных большинству учащихся относится свойство арифметической прогрессии, сформулированное посредством следующей теоремы.
Теорема. Если , то
Доказательство. Если , то
Теорема доказана.
Например , используя теорему , можно показать , что
Перейдем к рассмотрению типовых примеров решения задач на тему «Арифметическая прогрессия».
Пример 1. Пусть и . Найти .
Решение. Применяя формулу (6), получаем . Так как и , то или .
Пример 2. Пусть в три раза больше , а при делении на в частном получается 2 и в остатке 8. Определить и .
Решение. Из условия примера вытекает система уравнений
Так как , , и , то из системы уравнений (10) получаем
Решением данной системы уравнений являются и .
Пример 3. Найти , если и .
Решение. Согласно формуле (5) имеем или . Однако, используя свойство (9), получаем .
Так как и , то из равенства вытекает уравнение или .
Пример 4. Найти , если .
Решение. По формуле (5) имеем
Однако, используя теорему, можно записать
Отсюда и из формулы (11) получаем .
Пример 5 . Дано: . Найти .
Решение. Так как , то . Однако , поэтому .
Пример 6. Пусть , и . Найти .
Решение. Используя формулу (9), получаем . Поэтому, если , то или .
Так как и , то здесь имеем систему уравнений
Решая которую, получаем и .
Натуральным корнем уравнения является .
Пример 7. Найти , если и .
Решение. Так как по формуле (3) имеем, что , то из условия задачи вытекает система уравнений
Если подставить выражение во второе уравнение системы , то получим или .
Корнями квадратного уравнения являются и .
Рассмотрим два случая.
1. Пусть , тогда . Поскольку и , то .
В таком случае, согласно формуле (6), имеем
2. Если , то , и
Ответ: и .
Пример 8. Известно, что и . Найти .
Решение. Принимая во внимание формулу (5) и условие примера, запишем и .
Отсюда следует система уравнений
Если первое уравнение системы умножим на 2, а затем сложим его со вторым уравнением, то получим
Согласно формуле (9) имеем . В этой связи из (12) вытекает или .
Поскольку и , то .
Ответ: .
Пример 9. Найти , если и .
Решение. Поскольку , и по условию , то или .
Из формулы (5) известно , что . Так как , то .
Следовательно , здесь имеем систему линейных уравнений
Отсюда получаем и . Принимая во внимание формулу (8), запишем .
Пример 10. Решить уравнение .
Решение. Из заданного уравнения следует, что . Положим, что , , и . В таком случае .
Согласно формуле (1), можно записать или .
Так как , то уравнение (13) имеет единственный подходящий корень .
Пример 11. Найти максимальное значение при условии, что и .
Решение. Так как , то рассматриваемая арифметическая прогрессия является убывающей. В этой связи выражение принимает максимальное значение в том случае, когда является номером минимального положительного члена прогрессии.
Воспользуемся формулой (1) и тем фактом , что и . Тогда получим , что или .
Поскольку , то или . Однако в этом неравенстве наибольшее натуральное число , поэтому .
Если значения , и подставить в формулу (6), то получим .
Ответ: .
Пример 12. Определить сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на число 6 дают в остатке 5.
Решение. Обозначим через множество всех двузначных натуральных чисел, т.е. . Далее, построим подмножество , состоящее из тех элементов (чисел) множества , которые при делении на число 6 дают в остатке 5.
Нетрудно установить , что . Очевидно , что элементы множества образуют арифметическую прогрессию , в которой и .
Для установления мощности (числа элементов) множества положим, что . Так как и , то из формулы (1) следует или . Принимая во внимание формулу (5), получим .
Приведенные выше примеры решения задач ни в коем случае не могут претендовать на исчерпывающую полноту. Настоящая статья написана на основе анализа современных методов решения типовых задач на заданную тему. Для более глубокого изучения методов решения задач, связанных с арифметической прогрессией, целесообразно обратиться к списку рекомендуемой литературы.
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.
3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус , 2015. – 208 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Например, последовательность \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)… является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):
В этой прогрессии разность \(d\) положительна (равна \(3\)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими .
Однако \(d\) может быть и отрицательным числом. Например , в арифметической прогрессии \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разность прогрессии \(d\) равна минус шести.
И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше, чем предыдущий. Эти прогрессии называются убывающими .
Обозначение арифметической прогрессии
Прогрессию обозначают маленькой латинской буквой.
Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами).
Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.
Например, арифметическая прогрессия \(a_n = \left\{ 2; 5; 8; 11; 14…\right\}\) состоит из элементов \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и так далее.
Иными словами, для прогрессии \(a_n = \left\{2; 5; 8; 11; 14…\right\}\)
Решение задач на арифметическую прогрессию
В принципе, изложенной выше информации уже достаточно, чтобы решать практически любую задачу на арифметическую прогрессию (в том числе из тех, что предлагают на ОГЭ).
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана условиями \(b_1=7; d=4\). Найдите \(b_5\).
Решение:
Ответ: \(b_5=23\)
Пример (ОГЭ).
Даны первые три члена арифметической прогрессии: \(62; 49; 36…\) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:
|
Нам даны первые элементы последовательности и известно, что она – арифметическая прогрессия. То есть, каждый элемент отличается от соседнего на одно и то же число. Узнаем на какое, вычтя из следующего элемента предыдущий: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Теперь мы можем восстановить нашу прогрессию до нужного нам (первого отрицательного) элемента. |
|
|
Готово. Можно писать ответ. |
Ответ: \(-3\)
Пример (ОГЭ).
Даны несколько идущих подряд элементов арифметической прогрессии: \(…5; x; 10; 12,5...\) Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Решение:
|
|
Чтоб найти \(x\), нам нужно знать на сколько следующий элемент отличается от предыдущего, иначе говоря – разность прогрессии. Найдем ее из двух известных соседних элементов: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
А сейчас без проблем находим искомое: \(x=5+2,5=7,5\). |
|
|
Готово. Можно писать ответ. |
Ответ: \(7,5\).
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана следующими условиями: \(a_1=-11\); \(a_{n+1}=a_n+5\) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:
|
Нам нужно найти сумму первых шести членов прогрессии. Но мы не знаем их значений, нам дан только первый элемент. Поэтому сначала вычисляем значения по очереди, используя данное нам : \(n=1\); \(a_{1+1}=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Искомая сумма найдена. |
Ответ: \(S_6=9\).
Пример (ОГЭ).
В арифметической прогрессии \(a_{12}=23\); \(a_{16}=51\). Найдите разность этой прогрессии.
Решение:
Ответ: \(d=7\).
Важные формулы арифметической прогрессии
Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).
Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент \(b_5\), а триста восемьдесят шестой \(b_{386}\). Это что же, нам \(385\) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…
Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы \(n\) первых членов.
Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), где \(a_1\) – первый член прогрессии;
\(n\) – номер искомого элемента;
\(a_n\) – член прогрессии с номером \(n\).
Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.
Пример.
Арифметическая прогрессия задана условиями: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Найдите \(b_{246}\).
Решение:
Ответ: \(b_{246}=1850\).
Формула суммы n первых членов: \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\), где
\(a_n\) – последний суммируемый член;
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана условиями \(a_n=3,4n-0,6\). Найдите сумму первых \(25\) членов этой прогрессии.
Решение:
|
\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2 }\) \(\cdot 25\) |
Чтобы вычислить сумму первых двадцати пяти элементов, нам нужно знать значение первого и двадцать пятого члена. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Теперь найдем двадцать пятый член, подставив вместо \(n\) двадцать пять. |
|
|
\(n=25;\) \(a_{25}=3,4·25-0,6=84,4\) |
Ну, а сейчас без проблем вычисляем искомую сумму. |
|
|
\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\)
\(\cdot 25=\) |
Ответ готов. |
Ответ: \(S_{25}=1090\).
Для суммы \(n\) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в \(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\) \(\cdot 25\) вместо \(a_n\) подставить формулу для него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получим:
Формула суммы n первых членов: \(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\)
\(\cdot n\), где
\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(d\) – разность прогрессии;
\(n\) – количество элементов в сумме.
Пример.
Найдите сумму первых \(33\)-ех членов арифметической прогрессии: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:
Ответ: \(S_{33}=-231\).
Более сложные задачи на арифметическую прогрессию
Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно ☺)
Пример (ОГЭ).
Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:
|
\(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\) \(\cdot n\) |
Задача очень похожа на предыдущую. Начинаем решать также: сначала найдем \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Теперь бы подставить \(d\) в формулу для суммы… и вот тут всплывает маленький нюанс – мы не знаем \(n\). Иначе говоря, не знаем сколько членов нужно будет сложить. Как это выяснить? Давайте думать. Мы прекратим складывать элементы тогда, когда дойдем до первого положительного элемента. То есть, нужно узнать номер этого элемента. Как? Запишем формулу вычисления любого элемента арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\) для нашего случая. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Нам нужно, чтоб \(a_n\) стал больше нуля. Выясним, при каком \(n\) это произойдет. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Делим обе части неравенства на \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac{19,3}{0,3}\) |
Переносим минус единицу, не забывая менять знаки |
|
|
\(n>\)\(\frac{19,3}{0,3}\) \(+1\) |
Вычисляем… |
|
|
\(n>65,333…\) |
…и выясняется, что первый положительный элемент будет иметь номер \(66\). Соответственно, последний отрицательный имеет \(n=65\). На всякий случай, проверим это. |
|
|
\(n=65;\) \(a_{65}=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Таким образом, нам нужно сложить первые \(65\) элементов. |
|
|
\(S_{65}=\)\(\frac{2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3}{2}\)
\(\cdot 65\) |
Ответ готов. |
Ответ: \(S_{65}=-630,5\).
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана условиями: \(a_1=-33\); \(a_{n+1}=a_n+4\). Найдите сумму от \(26\)-го до \(42\) элемента включительно.
Решение:
|
\(a_1=-33;\) \(a_{n+1}=a_n+4\) |
В этой задаче также нужно найти сумму элементов, но начиная не с первого, а с \(26\)-го. Для такого случая у нас формулы нет. Как решать? |
|
|
Для нашей прогрессии \(a_1=-33\), а разность \(d=4\) (ведь именно четверку мы добавляем к предыдущему элементу, чтоб найти следующий). Зная это, найдем сумму первых \(42\)-ух элементов. |
|
\(S_{42}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(42-1)4}{2}\)
\(\cdot 42=\) |
Теперь сумму первых \(25\)-ти элементов. |
|
\(S_{25}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(25-1)4}{2}\)
\(\cdot 25=\) |
Ну и наконец, вычисляем ответ. |
|
\(S=S_{42}-S_{25}=2058-375=1683\) |
Ответ: \(S=1683\).
Для арифметической прогрессии существует еще несколько формул, которые мы не рассматривали в данной статье ввиду их малой практической полезности. Однако вы без труда можете найти их .
В чём главная суть формулы?
Эта формула позволяет найти любой ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Разумеется, надо знать ещё первый член a 1 и разность прогрессии d , ну так без этих параметров конкретную прогрессию и не запишешь.
Заучить (или зашпаргалить) эту формулу мало. Надо усвоить её суть и поприменять формулу в различных задачках. Да ещё и не забыть в нужный момент, да...) Как не забыть - я не знаю. А вот как вспомнить, при необходимости, - точно подскажу. Тем, кто урок до конца осилит.)
Итак, разберёмся с формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Что такое формула вообще - мы себе представляем.) Что такое арифметическая прогрессия, номер члена, разность прогресии - доступно изложено в предыдущем уроке. Загляните, кстати, если не читали. Там всё просто. Осталось разобраться, что такое n-й член.
Прогрессию в общем виде можно записать в виде ряда чисел:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 - обозначает первый член арифметической прогрессии, a 3 - третий член, a 4 - четвёртый, и так далее. Если нас интересует пятый член, скажем, мы работаем с a 5 , если сто двадцатый - с a 120 .
А как обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии, с любым номером? Очень просто! Вот так:
a n
Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буквой n скрываются сразу все номера членов: 1, 2, 3, 4, и так далее.
И что нам даёт такая запись? Подумаешь, вместо цифры буковку записали...
Эта запись даёт нам мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Используя обозначение a n , мы можем быстро найти любой член любой арифметической прогрессии. И ещё кучу задач по прогрессии решить. Сами дальше увидите.
В формуле n-го члена арифметической прогрессии:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1 - первый член арифметической прогрессии;
n - номер члена.
Формула связывает ключевые параметры любой прогрессии: a n ; a 1 ; d и n . Вокруг этих параметров и крутятся все задачки по прогрессии.
Формула n-го члена может использоваться и для записи конкретной прогрессии. Например, в задаче может быть сказано, что прогрессия задана условием:
a n = 5 + (n-1)·2.
Такая задачка может и в тупик поставить... Нет ни ряда, ни разности... Но, сравнивая условие с формулой, легко сообразить, что в этой прогрессии a 1 =5, а d=2.
А бывает ещё злее!) Если взять то же условие: a n = 5 + (n-1)·2, да раскрыть скобки и привести подобные? Получим новую формулу:
a n = 3 + 2n.
Это Только не общая, а для конкретной прогрессии. Вот здесь и таится подводный камень. Некоторые думают, что первый член - это тройка. Хотя реально первый член - пятёрка... Чуть ниже мы поработаем с такой видоизменённой формулой.
В задачах на прогрессию встречается ещё одно обозначение - a n+1 . Это, как вы догадались, "эн плюс первый" член прогрессии. Смысл его прост и безобиден.) Это член прогрессии, номер которого больше номера n на единичку. Например, если в какой-нибудь задаче мы берём за a n пятый член, то a n+1 будет шестым членом. И тому подобное.
Чаще всего обозначение a n+1 встречается в рекуррентных формулах. Не пугайтесь этого страшного слова!) Это просто способ выражения члена арифметической прогрессии через предыдущий. Допустим, нам дана арифметическая прогрессия вот в таком виде, с помощью рекуррентной формулы:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвёртый - через третий, пятый - через четвёртый, и так далее. А как посчитать сразу, скажем двадцатый член, a 20 ? А никак!) Пока 19-й член не узнаем, 20-й не посчитать. В этом и есть принципиальное отличие рекуррентной формулы от формулы n-го члена. Рекуррентная работает только через предыдущий член, а формула n-го члена - через первый и позволяет сразу находить любой член по его номеру. Не просчитывая весь ряд чисел по порядочку.
В арифметической прогрессии рекуррентную формулу легко превратить в обычную. Посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти, если надо, первый член a 1 , записать формулу в обычном виде, да и работать с ней. В ГИА подобные задания частенько встречаются.
Применение формулы n-го члена арифметической прогрессии.
Для начала рассмотрим прямое применение формулы. В конце предыдущего урока была задачка:
Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.
Эту задачку можно безо всяких формул решить, просто исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять, да прибавлять... Часок-другой.)
А по формуле решение займёт меньше минуты. Можете засекать время.) Решаем.
В условиях приведены все данные для использования формулы: a 1 =3, d=1/6. Остаётся сообразить, чему равно n. Не вопрос! Нам надо найти a 121 . Вот и пишем:
Прошу обратить внимание! Вместо индекса n появилось конкретное число: 121. Что вполне логично.) Нас интересует член арифметической прогрессии номер сто двадцать один. Вот это и будет наше n. Именно это значение n = 121 мы и подставим дальше в формулу, в скобки. Подставляем все числа в формулу и считаем:
a 121 = 3 + (121-1)·1/6 = 3+20 = 23
Вот и все дела. Так же быстро можно было бы найти и пятьсот десятый член, и тысяча третий, любой. Ставим вместо n нужный номер в индексе у буквы "a" и в скобках, да и считаем.
Напомню суть: эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Решим задание похитрее. Пусть нам попалась такая задачка:
Найдите первый член арифметической прогрессии (a n), если a 17 =-2; d=-0,5.
Если возникли затруднения, подскажу первый шаг. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии! Да-да. Руками запишите, прямо в тетрадке:
| a n = a 1 + (n-1)d |
А теперь, глядя на буквы формулы, соображаем, какие данные у нас есть, а чего не хватает? Имеется d=-0,5, имеется семнадцатый член... Всё? Если считаете, что всё, то задачу не решите, да...
У нас ещё имеется номер n ! В условии a 17 =-2 спрятаны два параметра. Это и значение семнадцатого члена (-2), и его номер (17). Т.е. n=17. Эта "мелочь" часто проскакивает мимо головы, а без неё, (без "мелочи", а не головы!) задачу не решить. Хотя... и без головы тоже.)
Теперь можно просто тупо подставить наши данные в формулу:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Ах да, a 17 нам известно, это -2. Ну ладно, подставим:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Получится ответ: a 1 = 6.
Такой приём - запись формулы и простая подстановка известных данных - здорово помогает в простых заданиях. Ну, надо, конечно, уметь выражать переменную из формулы, а что делать!? Без этого умения математику можно вообще не изучать...
Ещё одна популярная задачка:
Найдите разность арифметической прогрессии (a n), если a 1 =2; a 15 =12.
Что делаем? Вы удивитесь, пишем формулу!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Соображаем, что нам известно: a 1 =2; a 15 =12; и (специально выделю!) n=15. Смело подставляем в формулу:
12=2 + (15-1)d
Считаем арифметику.)
12=2 + 14d
d =10/14 = 5/7
Это правильный ответ.
Так, задачи на a n , a 1 и d порешали. Осталось научиться номер находить:
Число 99 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 =12; d=3. Найти номер этого члена.
Подставляем в формулу n-го члена известные нам величины:
a n = 12 + (n-1)·3
На первый взгляд, здесь две неизвестные величины: a n и n. Но a n - это какой-то член прогрессии с номером n ... И этот член прогрессии мы знаем! Это 99. Мы не знаем его номер n, так этот номер и требуется найти. Подставляем член прогрессии 99 в формулу:
99 = 12 + (n-1)·3
Выражаем из формулы n , считаем. Получим ответ: n=30.
А теперь задачка на ту же тему, но более творческая):
Определите, будет ли число 117 членом арифметической прогрессии (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Опять пишем формулу. Что, нет никаких параметров? Гм... А глазки нам зачем дадены?) Первый член прогрессии видим? Видим. Это -3,6. Можно смело записать: a 1 =-3,6. Разность d можно из ряда определить? Легко, если знаете, что такое разность арифметической прогрессии:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, самое простое сделали. Осталось разобраться с неизвестным номером n и непонятным числом 117. В предыдущей задачке хоть было известно, что дан именно член прогрессии. А здесь и того не знаем... Как быть!? Ну, как быть, как быть... Включить творческие способности!)
Мы предположим, что 117 - это, всё-таки, член нашей прогрессии. С неизвестным номером n . И, точно как в предыдущей задаче, попробуем найти этот номер. Т.е. пишем формулу (да-да!)) и подставляем наши числа:
117 = -3,6 + (n-1)·1,2
Опять выражаем из формулы n , считаем и получаем:
Опаньки! Номер получился дробный! Сто один с половиной. А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Какой вывод сделаем? Да! Число 117 не является членом нашей прогрессии. Оно находится где-то между сто первым и сто вторым членом. Если бы номер получился натуральным, т.е. положительным целым, то число было бы членом прогрессии с найденным номером. А в нашем случае, ответ задачи будет: нет.
Задача на основе реального варианта ГИА:
Арифметическая прогрессия задана условием:
a n = -4 + 6,8n
Найти первый и десятый члены прогрессии.
Здесь прогрессия задана не совсем привычным образом. Формула какая-то... Бывает.) Однако, эта формула (как я писал выше) - тоже формула n-го члена арифметической прогрессии! Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру.
Ищем первый член. Тот, кто думает. что первый член - минус четыре, фатально ошибается!) Потому, что формула в задаче - видоизменённая. Первый член арифметической прогрессии в ней спрятан. Ничего, сейчас отыщем.)
Так же, как и в предыдущих задачах, подставляем n=1 в данную формулу:
a 1 = -4 + 6,8·1 = 2,8
Вот! Первый член 2,8, а не -4!
Аналогично ищем десятый член:
a 10 = -4 + 6,8·10 = 64
Вот и все дела.
А теперь, тем кто дочитал до этих строк, - обещанный бонус.)
Предположим, в сложной боевой обстановке ГИА или ЕГЭ, вы подзабыли полезную формулу n-го члена арифметической прогрессии. Что-то припоминается, но неуверенно как-то... То ли n там, то ли n+1, то ли n-1... Как быть!?
Спокойствие! Эту формулку легко вывести. Не очень строго, но для уверенности и правильного решения точно хватит!) Для вывода достаточно помнить элементарный смысл арифметической прогрессии и иметь пару-тройку минут времени. Нужно просто нарисовать картинку. Для наглядности.
Рисуем числовую ось и отмечаем на ней первый. второй, третий и т.п. члены. И отмечаем разность d между членами. Вот так:
Смотрим на картинку и соображаем: чему равняется второй член? Второй одно d :
a 2 =a 1 +1 ·d
Чему равняется третий член? Третий член равняется первый член плюс два d .
a 3 =a 1 +2 ·d
Улавливаете? Я не зря некоторые слова выделяю жирным шрифтом. Ну ладно, ещё один шаг).
Чему равняется четвёртый член? Четвёртый член равняется первый член плюс три d .
a 4 =a 1 +3 ·d
Пора сообразить, что количество промежутков, т.е. d , всегда на один меньше, чем номер искомого члена n . Т.е., до номера n, количество промежутков будет n-1. Стало быть, формула будет (без вариантов!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Вообще, наглядные картинки очень помогают решать многие задачи в математике. Не пренебрегайте картинками. Но если уж картинку нарисовать затруднительно, то... только формула!) Кроме того, формула n-го члена позволяет подключить к решению весь мощный арсенал математики - уравнения, неравенства, системы и т.д. Картинку-то в уравнение не вставишь...
Задания для самостоятельного решения.
Для разминки:
1. В арифметической прогрессии (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Найти a 3 .
Подсказка: по картинке задача решается секунд за 20... По формуле - сложнее получается. Но для освоения формулы - полезнее.) В Разделе 555 эта задачка решена и по картинке, и по формуле. Почувствуйте разницу!)
А это - уже не разминка.)
2. В арифметической прогрессии (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Найти a 3 .
Что, неохота картинку рисовать?) Ещё бы! Уж лучше по формуле, да...
3. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сто двадцать пятый член этой прогрессии.
В этом задании прогрессия задана рекуррентным способом. Но считать до сто двадцать пятого члена... Не всем такой подвиг под силу.) Зато формула n-го члена по силам каждому!
4. Дана арифметическая прогрессия (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.
5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.
6. Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно -2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a 14 .
Не самая простая задачка, да...) Здесь способ "на пальцах" не прокатит. Придётся формулы писать да уравнения решать.
Ответы (в беспорядке):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Получилось? Это приятно!)
Не всё получается? Бывает. Кстати, в последнем задании есть один тонкий момент. Внимательность при чтении задачи потребуется. И логика.
Решение всех этих задач подробно разобрано в Разделе 555. И элемент фантазии для четвёртой, и тонкий момент для шестой, и общие подходы для решения всяких задач на формулу n-го члена - всё расписано. Рекомендую.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Тип урока: изучение нового материала.
Цели урока:
- расширение и углубление представлений учащихся о задачах, решаемых с использованием арифметической прогрессии; организация поисковой деятельности учащихся при выводе формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии;
- развитие умений самостоятельно приобретать новые знания, использовать для достижения поставленной задачи уже полученные знания;
- выработка желания и потребности обобщать полученные факты, развитие самостоятельности.
Задачи:
- обобщить и систематизировать имеющиеся знания по теме “Арифметическая прогрессия”;
- вывести формулы для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии;
- научить применять полученные формулы при решении различных задач;
- обратить внимание учащихся на порядок действий при нахождении значения числового выражения.
Оборудование:
- карточки с заданиями для работы в группах и парах;
- оценочный лист;
- презентация “Арифметическая прогрессия”.
I. Актуализация опорных знаний.
1. Самостоятельная работа в парах.
1-й вариант:
Дайте определение арифметической прогрессии. Запишите рекуррентную формулу, с помощью которой задается арифметическая прогрессия. Приветите пример арифметической прогрессии и укажите её разность.
2-й вариант:
Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Найдите 100-й член
арифметической прогрессии {a n
}: 2, 5, 8 …
В это время два ученика на обратной стороне доски готовят ответы на эти же
вопросы.
Учащиеся оценивают работу партнера, сверяя с доской. (Листочки с ответами
сдают).
2. Игровой момент.
Задание 1.
Учитель. Я задумала некоторую арифметическую прогрессию. Задайте мне только два вопроса, чтобы после ответов вы быстро смогли бы назвать 7-й член этой прогрессии. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Вопросы учащихся.
- Чему равен шестой член прогрессии и чему равна разность?
- Чему равен восьмой член прогрессии и чему равна разность?
Если вопросов больше не последует, то учитель может стимулировать их – “запрет” на d (разность), то есть не разрешается спрашивать чему равна разность. Можно задать вопросы: чему равен 6-й член прогрессии и чему равен 8-й член прогрессии?
Задание 2.
На доске записано 20 чисел: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Учитель стоит спиной к доске. Ученики называют номер числа, а учитель мгновенно называет само число. Объясните, как мне это удается?
Учитель помнит формулу n-го члена a n = 3n – 2 и, подставляя задаваемые значения n, находит соответствующие значения a n .
II. Постановка учебной задачи.
Предлагаю решить старинную задачу, относящуюся ко II-му тысячелетию до нашей эры, найденную в египетских папирусах.
Задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность между каждым человеком и его соседом равняется 1/8 меры”.
- Как эта задача связана с темой арифметическая прогрессия? (Каждый следующий получает на 1/8 меры больше, значит разность d=1/8, 10 человек, значит n=10.)
- А что, по-вашему мнению, означает число 10 мер? (Сумма всех членов прогрессии.)
- Что ещё необходимо знать, чтобы было легко и просто разделить ячмень согласно условию задачи? (Первый член прогрессии.)
Задача урока – получение зависимости суммы членов прогрессии от их числа, первого члена и разности, и проверка того, верно ли в древности решали поставленную задачу.
Прежде чем сделать вывод формулы, посмотрим, как решали задачу древние египтяне.
А решали её следующим образом:
1) 10 мер: 10 = 1 мера – средняя доля;
2) 1 мера ∙ = 2 меры – удвоенная средняя
доля.
Удвоенная средняя
доля – это сумма долей 5-го и 6-го человек.
3) 2 меры – 1/8 меры = 1 7/8 меры – удвоенная доля пятого человека.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – доля пятого; и так далее можно найти долю каждого
предыдущего и последующего человека.
Получим последовательность:
III. Решение поставленной задачи.
1. Работа в группах
I-я группа: Найти сумму 20 последовательных натуральных чисел: S 20 =(20+1)∙10 =210.
В общем виде
II-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 (Легенда о маленьком Гауссе).
S 100 = (1+100)∙50 = 5050
Вывод:
III-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 21.
Решение: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Вывод:
IV-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 101.
Вывод:
Этот метод решения рассмотренных задач называется “Метод Гаусса”.
2. Каждая группа представляет решение задачи на доске.
3. Обобщение предложенных решений для произвольной арифметической прогрессии:
a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 ,
a n .
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 +
a n-2 + a n-1 + a n .
Найдем эту сумму рассуждая аналогично:
4. Решили мы поставленную задачу? (Да.)
IV. Первичное осмысление и применение полученных формул при решении задач.
1. Проверка решения старинной задачи по формуле.
2. Применение формулы при решении различных задач.
3. Упражнения на формирование умения применения формулы при решении задач.
А) №613
Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;
(а n): 1, 2, 3, …, 1500
Найти: S 1500
Решение:
, а 1
= 1, а 1500 = 1500,
Б) Дано: (а n) –
арифметическая прогрессия;
(а n): 1, 2, 3, …
S n = 210
Найти: n
Решение:
V. Самостоятельная работа с взаимопроверкой.
Денис поступил на работу курьером. В первый месяц его зарплата составила 200 рублей, в каждый последующий она повышалась на 30 рублей. Сколько всего он заработал за год?
Дано: (а n) –
арифметическая прогрессия;
а 1 = 200, d=30, n=12
Найти: S 12
Решение:
Ответ: 4380 рублей получил Денис за год.
VI. Инструктаж по домашнему заданию.
- п. 4.3 – выучить вывод формулы .
- №№ 585, 623 .
- Составить задачу, которая решалась бы с использованием формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.
VII. Подведение итогов урока.
1. Оценочный лист
2. Продолжи предложения
- Сегодня на уроке я узнал …
- Изученные формулы …
- Я считаю что …
3. Сможешь ли ты найти сумму чисел от 1 до 500? Каким методом будешь решать эту задачу?
Список литературы.
1. Алгебра, 9-й класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Под ред. Г.В. Дорофеева. М.: “Просвещение”, 2009.