Na temelju geometrijskog značenja integrala kao površine, možemo reći da je vjerojatnost ispunjenja nejednakosti jednaka površini krivocrtnog trapeza s osnovicom omeđen gore krivuljom (slika 6).

Budući da i na temelju formule (22)

Koristeći formulu (22), nalazimo kao derivaciju integrala s obzirom na gornju granicu varijable, uz pretpostavku da je gustoća distribucije kontinuirana**:

Imajte na umu da je za kontinuiranu slučajnu varijablu funkcija distribucije F(x) kontinuirano u bilo kojoj točki x, gdje je funkcija kontinuirana. To proizlazi iz činjenice da F(x) je diferencijabilna u tim točkama.

Na temelju formule (23), uz pretpostavku x 1 =x, imamo

Zbog kontinuiteta funkcije F(x) shvaćamo to

Stoga

Tako, vjerojatnost Ići, Što stalan slučajan veličina Može biti prihvatiti bilo koji odvojiti značenje X, jednako je nula.

Iz ovoga slijedi da događaji koji se sastoje u ispunjenju svake od nejednakosti

Imaju istu vjerojatnost, tj.

Doista, npr.

Komentar. Kao što znamo, ako je neki događaj nemoguć, tada je vjerojatnost njegovog pojavljivanja jednaka nuli. U klasičnoj definiciji vjerojatnosti, kada je broj ishoda testa konačan, vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako je vjerojatnost događaja jednaka nuli, tada je događaj nemoguć, jer mu u tom slučaju niti jedan od ishoda testa ne ide u prilog. U slučaju kontinuirane slučajne varijable, broj njezinih mogućih vrijednosti je beskonačan. Vjerojatnost da će ta vrijednost poprimiti bilo koju određenu vrijednost x 1 kao što smo vidjeli, jednaka je nuli. Međutim, iz ovoga ne slijedi da je ovaj događaj nemoguć, jer kao rezultat testa slučajna varijabla može, posebice, poprimiti vrijednost x 1 . Dakle, u slučaju kontinuirane slučajne varijable ima smisla govoriti o vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u interval, a ne o vjerojatnosti da će poprimiti određenu vrijednost.

Tako, na primjer, u proizvodnji valjka ne zanima nas vjerojatnost da će njegov promjer biti jednak nominalnoj vrijednosti. Za nas je bitna vjerojatnost da promjer valjka ne izađe iz tolerancije.

Primjer. Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable dana je kako slijedi:

Grafikon funkcije prikazan je na sl. 7. Odrediti vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja zadovoljava nejednakosti.Naći funkciju distribucije zadane slučajne varijable. ( Riješenje)

Sljedeća dva odlomka posvećena su distribucijama kontinuiranih slučajnih varijabli koje se često susreću u praksi - uniformnoj i normalnoj distribuciji.

* Funkcija se naziva kontinuiranom po komadu na cijeloj numeričkoj osi ako je kontinuirana na bilo kojem segmentu ili ima konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste.

** Pravilo diferenciranja integrala s promjenjivom gornjom granicom, izvedeno u slučaju konačne donje granice, ostaje važeće za integrale s beskonačnom donjom granicom. Doista,

Budući da integral

je konstantna vrijednost.

slučajne varijable

Pod slučajnim varijablama podrazumijevaju se numeričke karakteristike slučajnih događaja. Drugim riječima, slučajne varijable su numerički rezultati eksperimenata čije se vrijednosti ne mogu (u određenom trenutku) unaprijed predvidjeti.

Na primjer, sljedeće se količine mogu smatrati slučajnim:

2. Postotak dječaka među djecom rođenom u određenom rodilištu na određeni dan.

3. Broj i površina sunčevih pjega vidljivih na nekoj zvjezdarnici tijekom određenog dana.

4. Broj studenata koji su zakasnili na ovo predavanje.

5. Tečaj dolara na burzi (recimo, na MICEX), iako možda nije tako "slučajan", kako se čini stanovnicima.

6. Broj kvarova opreme određenog dana u određenom poduzeću.

Slučajne varijable se dijele na diskretne i kontinuirane ovisno o tome je li skup svih mogućih vrijednosti odgovarajuće karakteristike diskretan ili kontinuiran.

Ova je podjela prilično uvjetna, ali je korisna pri izboru odgovarajućih metoda istraživanja. Ako je broj mogućih vrijednosti slučajne varijable konačan ili usporediv sa skupom svih prirodnih brojeva (tj. može se prenumerirati), tada se slučajna varijabla PDF stvorena probnom verzijom FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com naziva diskretnom. Inače se naziva kontinuiranim, iako se zapravo, kao implicitno, pretpostavlja da zapravo kontinuirane slučajne varijable poprimaju svoje vrijednosti u nekom jednostavnom numeričkom intervalu (segmentu, intervalu). Na primjer, slučajne varijable bit će diskretne, gore navedene pod brojevima 4 i 6, i kontinuirane - pod brojevima 1 i 3 (točkasta područja). Ponekad slučajna varijabla ima mješoviti karakter. Takav je, na primjer, tečaj dolara (ili neke druge valute), koji zapravo uzima samo diskretan skup vrijednosti, ali ispada da je zgodno smatrati da je skup njegovih vrijednosti "kontinuiran".

Slučajne varijable mogu se specificirati na različite načine.

Diskretne slučajne varijable obično su zadane vlastitim zakonom raspodjele. Ovdje je svaka moguća vrijednost x1, x2,... slučajne varijable X pridružena vjerojatnosti p1,p2,... te vrijednosti. Rezultat je tablica koja se sastoji od dva reda:

Ovo je zakon raspodjele slučajne varijable.

Nemoguće je specificirati kontinuirane slučajne varijable zakonima distribucije, jer se, po samoj njihovoj definiciji, njihove vrijednosti ne mogu prenumerirati, pa je stoga dodjela u obliku tablice ovdje isključena. Međutim, za kontinuirane slučajne varijable postoji još jedan način određivanja (primjenjiv, usput, za diskretne varijable) - ovo je funkcija distribucije:

jednaka vjerojatnosti događaja , koja se sastoji u tome da slučajna varijabla X poprima vrijednost manju od zadanog broja x.

Često je umjesto funkcije distribucije zgodno koristiti drugu funkciju - gustoću distribucije f(x) distribucije slučajne varijable X. Također se ponekad naziva i diferencijalna funkcija distribucije, a F(x) u ovoj terminologiji naziva se funkcija integralne distribucije. Ove dvije funkcije međusobno određuju jedna drugu prema sljedećim formulama:

Ako je slučajna varijabla diskretna, tada koncept funkcije distribucije također ima smisla za nju, u ovom slučaju graf funkcije distribucije sastoji se od horizontalnih odjeljaka, od kojih se svaki nalazi iznad prethodnog za iznos jednak pi.

Važni primjeri diskretnih veličina su, na primjer, binomno raspodijeljene količine (Bernoullijeva distribucija), za koje je PDF izrađen uz FinePrint pdfFactory probna verzija http://www.fineprint.com

pk(1-p)n-k= !()!

gdje je p vjerojatnost jednog događaja (ponekad se uvjetno naziva “vjerojatnost uspjeha”). Ovako se distribuiraju rezultati niza uzastopnih homogenih testova (Bernoullijeva shema). Granični slučaj binomne distribucije (kako se broj pokušaja povećava) je Poissonova distribucija, za koju

pk=?k/k! exp(-?),

gdje je?>0 neki pozitivni parametar.

Najjednostavniji primjer kontinuirane distribucije je uniformna distribucija. Ima konstantnu gustoću distribucije na segmentu, jednaku 1 / (b-a), a izvan ovog segmenta, gustoća je 0.

Izuzetno važan primjer kontinuirane distribucije je normalna distribucija. Zadan je s dva parametra m i? (očekivanje i standardna devijacija - vidi dolje), njegova gustoća distribucije ima oblik:

1 exp(-(x-m)2/2?2)

Temeljna uloga normalne distribucije u teoriji vjerojatnosti objašnjava se činjenicom da se, na temelju teorema o središnjoj granici (CLT), zbroj velikog broja slučajnih varijabli koje su u paru neovisne (vidi dolje o konceptu neovisnosti slučajnih varijabli) ili slabo ovisne ispada približno raspodijeljen prema normalnom zakonu. Iz toga slijedi da se slučajna varijabla, čija je slučajnost uzrokovana superpozicijom velikog broja slučajnih čimbenika koji slabo ovise jedni o drugima, može smatrati približno normalno raspodijeljenom (bez obzira na to kako su raspodijeljeni čimbenici koji je čine). Drugim riječima, zakon normalne distribucije vrlo je univerzalan.

Postoji nekoliko numeričkih karakteristika koje su prikladne za korištenje pri proučavanju slučajnih varijabli. Među njima izdvajamo matematičko očekivanje

jednaka srednjoj vrijednosti slučajne varijable, varijance

D(X)=M(X-M(X))2,

jednaka matematičkom očekivanju kvadrata odstupanja slučajne varijable od srednje vrijednosti i još jedna dodatna vrijednost prikladna u praksi (iste dimenzije kao izvorna slučajna varijabla):

naziva standardna devijacija. Pretpostavit ćemo (bez daljnjeg navođenja ovoga) da svi napisani integrali postoje (tj. konvergiraju na cijeloj realnoj osi). Kao što je poznato, varijanca i standardna devijacija karakteriziraju stupanj disperzije slučajne varijable oko njezine srednje vrijednosti. Što je manja disperzija, to su vrijednosti slučajne varijable bliže njezinoj srednjoj vrijednosti.

Na primjer, srednja vrijednost za Poissonovu distribuciju je ?, za uniformnu distribuciju je (a+b)/2, a za normalnu distribuciju je m. Varijanca za Poissonovu distribuciju je ?, za jednoliku distribuciju (b-a)2/12, a za normalnu distribuciju je ?2. U nastavku će se koristiti sljedeća svojstva matematičkog očekivanja i varijance:

1. M(X+Y)= M(X)+M(Y).

3. D(cX)=c2D(X), gdje je c proizvoljan konstantan broj.

4. D(X+A)=D(A) za proizvoljnu konstantnu (neslučajnu) vrijednost A.

Slučajna varijabla?=U-MU naziva se centriranom. Iz svojstva 1 slijedi da je M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, odnosno njegova prosječna vrijednost je 0 (ovdje mu je naziv). Štoviše, zbog svojstva 4, imamo D(?)=D(U).

Također postoji korisna relacija koju je zgodno koristiti u praksi za izračunavanje varijance i povezanih količina:

5. D(X)=M(X2)-M(X)2

Slučajne varijable X i Y nazivaju se neovisnima ako su za njihove proizvoljne vrijednosti x odnosno y događaji i neovisni. Na primjer, rezultati mjerenja napona u elektroenergetskoj mreži i rast glavnog inženjera energetike poduzeća bit će neovisni (očigledno ...). Ali kapacitet ove elektroenergetske mreže i plaća glavnog inženjera energetike u poduzećima više se ne mogu uvijek smatrati neovisnima.

Ako su slučajne varijable X i Y neovisne, tada vrijede i sljedeća svojstva (koja ne moraju vrijediti za proizvoljne slučajne varijable):

5. M(XY)=M(X)M(Y).

6. D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Osim pojedinačnih slučajnih varijabli X,Y,... proučavaju se i sustavi slučajnih varijabli. Na primjer, par (X,Y) slučajnih varijabli može se smatrati novom slučajnom varijablom čije su vrijednosti dvodimenzionalni vektori. Slično se mogu razmatrati sustavi većeg broja slučajnih varijabli, koji se nazivaju višedimenzionalne slučajne varijable. Takvi sustavi veličina zadani su i njihovom funkcijom raspodjele. Na primjer, za sustav dviju slučajnih varijabli ova funkcija ima oblik

F(x,y)=P,

odnosno jednaka je vjerojatnosti događaja da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od zadanog broja x, a slučajna varijabla Y manja od zadanog broja y. Ova se funkcija također naziva zajedničkom funkcijom distribucije slučajnih varijabli X i Y. Također možete uzeti u obzir prosječni vektor - prirodni analog matematičkog očekivanja, ali umjesto varijance, morate proučavati nekoliko numeričkih karakteristika, koje se nazivaju trenuci drugog reda. To su, prvo, dvije djelomične varijance DX i DY PDF stvorene s FinePrint pdfFactory probnom verzijom http://www.fineprint.com slučajnih varijabli X i Y, koje se razmatraju odvojeno, i, drugo, trenutak kovarijance, o kojem se detaljnije raspravlja u nastavku.

Ako su slučajne varijable X i Y neovisne, tada

F(x,y)=FX(x)FY(y)

Umnožak funkcija distribucije slučajnih varijabli X i Y, pa prema tome i proučavanje para nezavisnih slučajnih varijabli, u mnogim se aspektima svodi jednostavno na odvojeno proučavanje X i Y.

slučajne varijable

Gore su razmatrani eksperimenti čiji su rezultati slučajni događaji. Međutim, često postaje potrebno rezultate eksperimenta kvantitativno prikazati u obliku određene veličine, koja se naziva slučajna varijabla. Slučajna varijabla je drugi (nakon slučajnog događaja) glavni predmet proučavanja teorije vjerojatnosti i pruža općenitiji način opisivanja iskustva sa slučajnim ishodom od skupa slučajnih događaja.

Uzimajući u obzir eksperimente sa slučajnim ishodom, već smo imali posla sa slučajnim varijablama. Dakle, broj uspjeha u nizu pokušaja primjer je slučajne varijable. Drugi primjeri slučajnih varijabli su: broj poziva na telefonskoj centrali u jedinici vremena; vrijeme čekanja na sljedeći poziv; broj čestica s određenom energijom u sustavima čestica razmatranih u statističkoj fizici; prosječna dnevna temperatura u određenom području itd.

Slučajnu varijablu karakterizira činjenica da je nemoguće točno predvidjeti njezinu vrijednost koju će uzeti, ali s druge strane, skup njezinih mogućih vrijednosti obično je poznat. Dakle, za broj uspjeha u nizu pokušaja, ovaj skup je konačan, budući da broj uspjeha može poprimiti vrijednosti. Skup vrijednosti slučajne varijable može se podudarati s stvarnom poluosi, kao u slučaju vremena čekanja itd.

Razmotrimo primjere eksperimenata sa slučajnim ishodom, koji se obično opisuju slučajnim događajima, i uvedimo ekvivalentan opis specificiranjem slučajne varijable.

1). Neka rezultat iskustva bude događaj ili događaj. Tada se ovaj eksperiment može povezati sa slučajnom varijablom koja ima dvije vrijednosti, na primjer, i s vjerojatnostima i, štoviše, jednakosti se odvijaju: i. Dakle, iskustvo karakteriziraju dva ishoda s vjerojatnostima i, ili isto iskustvo karakterizira slučajna varijabla koja ima dvije vrijednosti i s vjerojatnostima i.

2). Razmotrimo eksperiment s bacanjem kocke. Ovdje ishod eksperimenta može biti jedan od događaja, gdje je gubitak lica s brojem. vjerojatnosti. Uvedimo ekvivalentan opis ovog eksperimenta koristeći slučajnu varijablu koja može poprimiti vrijednosti s vjerojatnostima.

3). Niz neovisnih testova karakterizira potpuna skupina nekompatibilnih događaja, gdje je događaj koji se sastoji u pojavi uspjeha u nizu eksperimenata; štoviše, vjerojatnost događaja određena je Bernoullijevom formulom, tj. Ovdje možete unijeti slučajnu varijablu - broj uspjeha, koji uzima vrijednosti s vjerojatnostima. Dakle, niz neovisnih pokusa karakteriziraju slučajni događaji s njihovim vjerojatnostima ili slučajna varijabla s vjerojatnostima koje poprimaju vrijednosti.

4). Međutim, ni za jedno iskustvo sa slučajnim ishodom ne postoji tako jednostavna korespondencija između slučajne varijable i skupa slučajnih događaja. Na primjer, razmotrite eksperiment u kojem je točka nasumično bačena na liniju. Ovdje je prirodno uvesti slučajnu varijablu - koordinatu na segmentu u kojem se nalazi točka. Dakle, možemo govoriti o slučajnom događaju, gdje je broj. Međutim, vjerojatnost ovog događaja. Možete učiniti drugačije - podijelite segment na konačan broj segmenata koji se ne presijecaju i razmotrite slučajne događaje, koji se sastoje u činjenici da slučajna varijabla uzima vrijednosti iz intervala. Tada su vjerojatnosti konačne. Međutim, ova metoda ima i značajan nedostatak jer se segmenti biraju proizvoljno. Kako bi se otklonio ovaj nedostatak, segmenti obrasca u kojima se razmatra varijabla. Tada je odgovarajuća vjerojatnost funkcija argumenta. Time se komplicira matematički opis slučajne varijable, ali ujedno opis (29.1) postaje jedini, a dvosmislenost izbora segmenata otklanja se.

Za svaki od razmatranih primjera lako je odrediti prostor vjerojatnosti, gdje je prostor elementarnih događaja, je algebra događaja (podskupova), je li vjerojatnost definirana za bilo koji. Na primjer, u posljednjem primjeru, - je algebra svih segmenata sadržanih u.

Razmotreni primjeri dovode do sljedeće definicije slučajne varijable.

Neka je prostor vjerojatnosti. Slučajna varijabla je realna funkcija s jednom vrijednosti definirana na, za koju je skup elementarnih događaja oblika događaj (tj. pripada) za svaki realni broj.

Dakle, definicija zahtijeva da za svaki realni skup, a ovaj uvjet osigurava da je vjerojatnost događaja definirana za svaki. Taj se događaj obično označava kraćim zapisom.

Funkcija distribucije vjerojatnosti

Funkcija se naziva funkcija distribucije vjerojatnosti slučajne varijable.

Funkcija se ponekad naziva kratko - funkcija distribucije, a također - integralni zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable. Funkcija je cjelovita karakteristika slučajne varijable, odnosno ona je matematički opis svih svojstava slučajne varijable i ne postoji detaljniji način da se ta svojstva opisuju.

Napominjemo sljedeću važnu značajku definicije (30.1). Često se funkcija definira drugačije:

Prema (30.1), funkcija je desna kontinuirana. Ovo će pitanje biti detaljnije razmotreno u nastavku. Ako se pak koristi definicija (30.2), tada je - kontinuirana lijevo, što je posljedica primjene stroge nejednakosti u relaciji (30.2). Funkcije (30.1) i (30.2) su ekvivalentni opisi slučajne varijable, budući da nije važno koju definiciju koristiti i pri proučavanju teorijskih pitanja i pri rješavanju problema. Radi određenosti, u nastavku ćemo koristiti samo definiciju (30.1).

Razmotrimo primjer crtanja grafa funkcije. Neka slučajna varijabla ima vrijednosti, štoviše, s vjerojatnostima. Dakle, ova slučajna varijabla uzima druge vrijednosti osim onih naznačenih s nultom vjerojatnošću:, za bilo koji,. Ili, kako kažu, slučajna varijabla ne može poprimiti druge vrijednosti. Neka za određenost. Odredite vrijednosti funkcije za iz intervala: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). Na prvom intervalu, dakle funkcija distribucije. 2). Ako tada. Očito slučajni događaji i nekompatibilni su, dakle, prema formuli za zbrajanje vjerojatnosti. Po uvjetu, događaj je nemoguć i, a. Zato. 3). Neka, dakle. Ovdje prvi termin, a drugi, jer je događaj nemoguć. Dakle, za sve koji zadovoljavaju uvjet. 4). Neka, dakle. 5). Ako tada. 6) Kada imamo. 7) Ako, onda. Rezultati proračuna prikazani su na sl. 30.1 graf funkcije. U točkama diskontinuiteta označen je kontinuitet funkcije s desne strane.

Osnovna svojstva funkcije distribucije vjerojatnosti

Razmotrite glavna svojstva funkcije distribucije, koja izravno proizlaze iz definicije:

1. Uvedimo oznaku:. Zatim iz definicije proizlazi. Ovdje se izraz tretira kao nemoguć događaj s nultom vjerojatnošću.

2. Neka. Tada slijedi iz definicije funkcije. Slučajni događaj je izvjestan i njegova je vjerojatnost jednaka jedinici.

3. Vjerojatnost slučajnog događaja, koja se sastoji u činjenici da slučajna varijabla uzima vrijednost iz intervala na određena je kroz funkciju sljedećom jednakošću

Da bismo dokazali ovu jednakost, razmotrimo relaciju.

Događaji i su nedosljedni, stoga, prema formuli za zbrajanje vjerojatnosti, iz (31.3) slijedi da se i podudara s formulom (31.2), budući da i.

4. Funkcija je neopadajuća. Pogledajmo dokaz. U tom slučaju vrijedi jednakost (31.2). Njegova lijeva strana, budući da vjerojatnost uzima vrijednosti iz intervala. Stoga je i desna strana jednakosti (31.2) nenegativna:, ili. Ova jednakost je dobivena pod uvjetom, dakle, da je neopadajuća funkcija.

5. Funkcija je desna kontinuirana u svakoj točki, tj.

gdje je bilo koji niz koji teži udesno, tj. I.

Da bismo to dokazali, predstavit ćemo funkciju u obliku:

Sada, na temelju aksioma prebrojive aditivnosti vjerojatnosti, izraz u vitičastim zagradama je jednak, dakle, što dokazuje pravi kontinuitet funkcije.

Dakle, svaka funkcija distribucije vjerojatnosti ima svojstva 1-5. Obratna tvrdnja je također istinita: ako zadovoljava uvjete 1-5, tada se može smatrati distribucijskom funkcijom neke slučajne varijable.

Funkcija distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable

Slučajna varijabla se naziva diskretnom ako je skup njenih vrijednosti konačan ili prebrojiv.

Za potpuni probabilistički opis diskretne slučajne varijable koja poprima vrijednosti, dovoljno je specificirati vjerojatnosti da slučajna varijabla poprima vrijednost. Ako su dani i, tada se funkcija distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable može predstaviti kao:

Ovdje se zbrajanje provodi po svim indeksima koji zadovoljavaju uvjet.

Funkcija distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable ponekad se predstavlja u terminima takozvane funkcije jediničnog skoka.

U ovom slučaju, ona poprima oblik ako slučajna varijabla poprimi konačan skup vrijednosti, a pretpostavlja se da je gornja granica zbrajanja u (32.4) jednaka ako slučajna varijabla poprimi prebrojiv skup vrijednosti.

Primjer konstruiranja grafa funkcija distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable razmatran je u odjeljku 30.

Gustoća vjerojatnosti

Neka slučajna varijabla ima diferencijabilnu funkciju distribucije vjerojatnosti, tada se funkcija naziva gustoća distribucije vjerojatnosti (ili gustoća vjerojatnosti) slučajne varijable, a slučajna varijabla se naziva kontinuirana slučajna varijabla.

Razmotrimo osnovna svojstva gustoće vjerojatnosti.

Definicija derivacije implicira jednakost:

Prema svojstvima funkcije dolazi do jednakosti. Stoga (33.2) ima oblik:

Ova relacija objašnjava naziv funkcije. Doista, prema (33.3), funkcija je vjerojatnost po jedinici intervala, u točki, budući da. Dakle, gustoća vjerojatnosti definirana relacijom (33.3) slična je definicijama gustoća drugih veličina poznatih u fizici, kao što su gustoća struje, gustoća materije, gustoća naboja itd.

2. Budući da je neopadajuća funkcija, onda je njezin izvod nenegativna funkcija:

3. Iz (33.1) proizlazi jer. Dakle, jednakost

4. Budući da iz relacije (33.5) slijedi

Jednakost, koja se naziva uvjetom normalizacije. Njegova lijeva strana je vjerojatnost određenog događaja.

5. Neka, tada iz (33.1) slijedi

Ovaj odnos je važan za aplikacije jer vam omogućuje izračunavanje vjerojatnosti u smislu gustoće vjerojatnosti ili u smislu funkcije distribucije vjerojatnosti. Ako postavimo, onda relacija (33.6) slijedi iz (33.7).

Na sl. 33.1 prikazuje primjere grafova funkcije distribucije i gustoće vjerojatnosti.

Imajte na umu da gustoća distribucije vjerojatnosti može imati nekoliko maksimuma. Vrijednost argumenta pri kojoj gustoća ima maksimum naziva se način distribucije slučajne varijable. Ako gustoća ima više od jednog moda, onda se naziva multimodalna.

Gustoća vjerojatnosti diskretne slučajne varijable

distribucija diskretna gustoća vjerojatnosti

Neka slučajna varijabla ima vrijednosti s vjerojatnostima. Tada je njegova funkcija distribucije vjerojatnosti gdje je funkcija jediničnog skoka. Gustoću vjerojatnosti slučajne varijable moguće je odrediti njezinom funkcijom distribucije, uzimajući u obzir jednakost. Međutim, u ovom slučaju nastaju matematičke poteškoće zbog činjenice da funkcija jediničnog skoka u (34.1) ima diskontinuitet prve vrste na. Dakle, izvod funkcije ne postoji u točki.

Da bi se prevladala ova složenost, uvedena je -funkcija. Funkcija jediničnog skoka može se prikazati u terminima -funkcije sljedećom jednakošću:

Tada se formalno derivacija i gustoća vjerojatnosti diskretne slučajne varijable određuju iz relacije (34.1) kao derivacija funkcije:

Funkcija (34.4) ima sva svojstva gustoće vjerojatnosti. Razmotrite primjer. Neka diskretna slučajna varijabla ima vrijednosti s vjerojatnostima i neka . Tada se vjerojatnost - da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz segmenta može izračunati na temelju općih svojstava gustoće prema formuli:

Ovdje, budući da je singularna točka funkcije određena uvjetom unutar integracijskog područja na, a singularna točka je izvan integracijskog područja. Tako.

Funkcija (34.4) također zadovoljava uvjet normalizacije:

Imajte na umu da se u matematici zapis oblika (34.4) smatra netočnim (neispravnim), a zapis (34.2) ispravnim. To je zbog činjenice da -funkcija s nula argumentom, i reći da ne postoji. S druge strane, u (34.2) -funkcija je sadržana ispod integrala. U ovom slučaju, desna strana (34.2) je konačna vrijednost za bilo koji, tj. integral -funkcije postoji. Unatoč tome, u fizici, inženjerstvu i drugim primjenama teorije vjerojatnosti često se koristi prikaz gustoće u obliku (34.4), koji, prvo, omogućuje dobivanje točnih rezultata primjenom svojstava - funkcija, a drugo, ima očitu fizikalnu interpretaciju.

Primjeri gustoća i distribucija vjerojatnosti

35.1. Slučajnu varijablu nazivamo jednolično raspodijeljenom na segmentu ako je njezina gustoća distribucije vjerojatnosti

gdje je broj određen iz uvjeta normalizacije:

Zamjenom (35.1) u (35.2) dolazi se do jednakosti čije relativno rješenje ima oblik:.

Funkcija distribucije vjerojatnosti jednoliko raspodijeljene slučajne varijable može se pronaći formulom (33.5), koja određuje kroz gustoću:

Na sl. 35.1 prikazani su grafovi funkcija i jednoliko raspoređena slučajna varijabla.

35.2. Slučajna varijabla se naziva normalnom (ili Gaussovom) ako je njezina gustoća distribucije vjerojatnosti:

gdje su brojevi koji se nazivaju parametri funkcije. Kada funkcija dobije najveću vrijednost:. Parametar ima značenje efektivne širine. Osim ove geometrijske interpretacije, parametri imaju i probabilističku interpretaciju, o čemu će biti riječi kasnije.

Iz (35.4) slijedi izraz za funkciju distribucije vjerojatnosti

gdje je Laplaceova funkcija. Na sl. Prikazani su 35.2 grafovi funkcija i normalna slučajna varijabla. Za označavanje da slučajna varijabla ima normalnu distribuciju s parametrima i često se koristi notacija.

35.3. Slučajna varijabla ima Cauchyjevu gustoću vjerojatnosti ako

Ova gustoća odgovara funkciji raspodjele

35.4. Slučajna varijabla se naziva eksponencijalno distribuiranom ako njezina gustoća distribucije vjerojatnosti ima oblik:

Definirajmo njegovu funkciju distribucije vjerojatnosti. Jer iz (35.8) slijedi. Ako tada

35.5. Rayleighova distribucija vjerojatnosti slučajne varijable određena je gustoćom oblika

Ova gustoća odgovara funkciji distribucije vjerojatnosti at i jednaka at.

35.6. Razmotrimo primjere konstruiranja funkcije distribucije i gustoće diskretne slučajne varijable. Neka je slučajna varijabla broj uspjeha u nizu neovisnih pokušaja. Tada slučajna varijabla poprima vrijednosti s vjerojatnošću koja je određena Bernoullijevom formulom:

gdje su vjerojatnosti uspjeha i neuspjeha u jednom eksperimentu. Dakle, funkcija distribucije vjerojatnosti slučajne varijable ima oblik

gdje je jedinica skok funkcija. Otuda gustoća distribucije:

gdje je delta funkcija.

Singularne slučajne varijable

Osim diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, postoje i tzv. singularne slučajne varijable. Ove slučajne varijable karakterizira činjenica da je njihova funkcija distribucije vjerojatnosti kontinuirana, ali točke rasta čine skup nulte mjere. Točka rasta funkcije je vrijednost njenog argumenta tako da derivacija.

Dakle, gotovo svugdje u domeni funkcije. Funkcija koja zadovoljava ovaj uvjet naziva se i singularna. Primjer singularne funkcije distribucije je Cantorova krivulja (slika 36.1), koja se konstruira na sljedeći način. Oslanja se na i dalje. Zatim se interval podijeli na tri jednaka dijela (segmenta) i odredi vrijednost za unutarnji segment - kao poluzbroj već određenih vrijednosti na najbližim segmentima desno i lijevo. Trenutno je definirana funkcija za, njezina vrijednost i za s vrijednošću. Poluzbroj ovih vrijednosti jednak je i određuje vrijednost na unutarnjem segmentu. Zatim se razmatraju segmenti i, svaki od njih se dijeli na tri jednaka segmenta i na unutarnjim segmentima se definira funkcija kao poluzbroj zadanih vrijednosti funkcije najbliže desno i lijevo. Dakle, za funkciju - kao poluzbroj brojeva i. Slično na intervalnoj funkciji. Tada se funkcija definira na intervalu, na kojem itd.

Slični dokumenti

slučajne varijable. Funkcija i gustoća distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable. Singularne slučajne varijable. Matematičko očekivanje slučajne varijable. Čebiševljeva nejednakost. Momenti, kumulante i karakteristična funkcija.

sažetak, dodan 03.12.2007


Pojmovi teorije vjerojatnosti i matematičke statistike, njihova primjena u praksi. Definicija slučajne varijable. Vrste i primjeri slučajnih varijabli. Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable. Zakoni distribucije kontinuirane slučajne varijable.

sažetak, dodan 25.10.2015


Vjerojatnost pogađanja slučajne varijable X u zadanom intervalu. Iscrtavanje funkcije distribucije slučajne varijable. Utvrđivanje vjerojatnosti da nasumično odabran proizvod zadovoljava standard. Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable.

test, dodan 24.01.2013


Diskretne slučajne varijable i njihove distribucije. Formula potpune vjerojatnosti i Bayesova formula. Opća svojstva matematičkog očekivanja. Disperzija slučajne varijable. Funkcija distribucije slučajne varijable. Klasična definicija vjerojatnosti.

kontrolni rad, dodano 13.12.2010


Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable, gustoća distribucije vjerojatnosti sustava. kovarijanca. Koeficijent korelacije.

laboratorijski rad, dodan 19.08.2002


Značajke funkcije distribucije kao najuniverzalnije karakteristike slučajne varijable. Opis njegovih svojstava, njihov prikaz uz pomoć geometrijske interpretacije. Obrasci izračuna vjerojatnosti distribucije diskretne slučajne varijable.

prezentacija, dodano 01.11.2013


Određivanje vjerojatnosti različitih događaja pomoću Bernoullijeve formule. Sastavljanje zakona distribucije diskretne slučajne varijable, izračunavanje matematičkog očekivanja, varijance i standardne devijacije slučajne varijable, gustoće vjerojatnosti.

kontrolni rad, dodano 31.10.2013


Korištenje Bernoullijeve formule za određivanje vjerojatnosti događanja događaja. Iscrtavanje diskretne slučajne varijable. Matematičko očekivanje i svojstva funkcije integralne distribucije. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable.

test, dodan 29.01.2014


Teorija vjerojatnosti i pravilnosti masovnih slučajnih pojava. Nejednakost i Čebiševljev teorem. Numeričke karakteristike slučajne varijable. Gustoća distribucije i Fourierova transformacija. Karakteristična funkcija Gaussove slučajne varijable.

sažetak, dodan 24.01.2011


Izračun matematičkog očekivanja, varijance, funkcije distribucije i standardne devijacije slučajne varijable. Zakon raspodjele slučajne varijable. Klasična definicija vjerojatnosti događaja. Određivanje gustoće distribucije.

Neka je kontinuirana slučajna varijabla X dana funkcijom distribucije F(x) . Pretpostavimo da sve moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu [ A, B].

Definicija. matematičko očekivanje kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju segmentu, naziva se određeni integral

Ako se moguće vrijednosti slučajne varijable razmatraju na cijeloj osi brojeva, tada se matematičko očekivanje nalazi formulom:

U ovom slučaju, naravno, pretpostavlja se da nepravi integral konvergira.

Definicija. disperzija kontinuirana slučajna varijabla naziva se matematičko očekivanje kvadrata njenog odstupanja.

Po analogiji s varijancom diskretne slučajne varijable, za praktični izračun varijance koristi se sljedeća formula:

Definicija. Standardna devijacija Zove se kvadratni korijen varijance.

Definicija. Moda M0 diskretne slučajne varijable naziva se njezina najvjerojatnija vrijednost. Za kontinuiranu slučajnu varijablu mod je vrijednost slučajne varijable pri kojoj gustoća distribucije ima maksimum.

Ako poligon distribucije za diskretnu slučajnu varijablu ili krivulja distribucije za kontinuiranu slučajnu varijablu ima dva ili više maksimuma, tada se takva distribucija naziva Dualni modal ili Multimodalni.

Ako distribucija ima minimum, ali ne i maksimum, tada se naziva Antimodalni.

Definicija. Medijan MD slučajne varijable X je njezina vrijednost u odnosu na koju je jednako vjerojatno da će se dobiti veća ili manja vrijednost slučajne varijable.

Geometrijski, medijan je apscisa točke u kojoj je površina omeđena krivuljom distribucije podijeljena na pola.

Imajte na umu da ako je distribucija unimodalna, tada se mod i medijan podudaraju s matematičkim očekivanjem.

Definicija. Početni trenutak Narudžba K Slučajna varijabla X je matematičko očekivanje vrijednosti X K.

Za diskretnu slučajnu varijablu: .

.

Početni moment prvog reda jednak je matematičkom očekivanju.

Definicija. Središnji trenutak Narudžba K slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje vrijednosti

Za diskretnu slučajnu varijablu: .

Za kontinuiranu slučajnu varijablu: .

Središnji moment prvog reda uvijek je jednak nuli, a središnji moment drugog reda jednak je disperziji. Središnji moment trećeg reda karakterizira asimetričnost distribucije.

Definicija. Omjer središnjeg momenta trećeg reda i standardne devijacije u trećem stupnju naziva se Koeficijent asimetrije.

Definicija. Za karakterizaciju oštrine i spljoštenosti raspodjele, veličina tzv kurtosis.

Uz razmatrane količine koriste se i tzv. apsolutni momenti:

Apsolutni početni trenutak: .

Apsolutni središnji trenutak: .

Apsolutni središnji moment prvog reda naziva se Odstupanje aritmetičke sredine.

Primjer. Za gore razmatrani primjer odredite matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable X.

Primjer. Urna sadrži 6 bijelih i 4 crne kugle. Iz nje se pet puta uzastopce vadi kuglica, a svaki put se izvađena kuglica vraća natrag i kuglice se miješaju. Uzimajući broj izvučenih bijelih kuglica kao slučajnu varijablu X, nacrtajte zakon raspodjele te količine, odredite njezino matematičko očekivanje i varijancu.

Budući da se kuglice u svakom pokusu vraćaju natrag i miješaju, pokusi se mogu smatrati neovisnima (rezultat prethodnog pokusa ne utječe na vjerojatnost pojavljivanja ili nepojavljivanja događaja u drugom pokusu).

Dakle, vjerojatnost da se bijela kuglica pojavi u svakom eksperimentu je konstantna i jednaka

Dakle, kao rezultat pet uzastopnih pokušaja, bijela kuglica se možda uopće neće pojaviti, pojaviti se jednom, dvaput, tri, četiri ili pet puta.

Da biste sastavili zakon distribucije, morate pronaći vjerojatnosti svakog od ovih događaja.

1) Bijela kuglica se uopće nije pojavila:

2) Bijela kuglica se pojavila jednom:

3) Bijela kuglica će se pojaviti dva puta: .

4) Bijela kuglica će se pojaviti tri puta:

slučajne varijable.

U matematici veličina je zajednički naziv za različite kvantitativne karakteristike objekata i pojava. Duljina, površina, temperatura, tlak itd. primjeri su raznih veličina.

Vrijednost koja uzima različite numeričke vrijednosti pod utjecajem slučajnih okolnosti, tzv nasumična varijabla. Primjeri slučajnih varijabli: 1) broj pacijenata koji čekaju na pregled liječniku, 2) točne dimenzije unutarnjih organa ljudi itd.

Postoje diskretne i kontinuirane slučajne varijable.

Slučajna varijabla se naziva diskretnom ako prihvaća samo određene različite vrijednosti koje se mogu postaviti i nabrojati.

Primjeri:

1) broj učenika u publici – može biti samo cijeli pozitivan broj:

0,1,2,3,4….. 20…..

2) broj koji se pojavljuje na gornjoj strani prilikom bacanja kocke može imati samo cjelobrojne vrijednosti od 1 do 6.

3) relativna učestalost pogađanja cilja s 10 hitaca - njene vrijednosti:

0; 0,1; 0,2; 0,3 ….. 1

4) broj događaja koji se događaju u istim vremenskim intervalima: puls, broj poziva hitne pomoći na sat, broj operacija mjesečno sa smrtnim ishodom itd.

Slučajna varijabla se naziva kontinuiranom ako može prihvatiti bilo koji vrijednosti unutar određenog intervala, koji ponekad ima oštro definirane granice, a ako one nisu poznate, tada se smatra da se vrijednosti slučajne varijable X nalaze u intervalu (-¥; ¥).Kontinuirane slučajne varijable uključuju npr. temperaturu, tlak, težinu i visinu ljudi, veličinu krvnih stanica, pH krvi itd.

Koncept slučajne varijable igra odlučujuću ulogu u modernoj teoriji vjerojatnosti, koja je razvila posebne tehnike za prijelaz sa slučajnih događaja na slučajne varijable.

Ako slučajna varijabla ovisi o vremenu, onda možemo govoriti o slučajnom procesu.

3.1. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable

Da bismo dali potpuni opis diskretne slučajne varijable, potrebno je navesti sve njene moguće vrijednosti i njihove vjerojatnosti.

Poziva se podudarnost između mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable i njihovih vjerojatnosti zakon raspodjele ove veličine.

Označimo moguće vrijednosti slučajne varijable H s hi, a odgovarajuće vjerojatnosti s ri*. Tada se zakon raspodjele diskretne slučajne varijable može specificirati na tri načina: u obliku tablice, grafikona ili formule.

1. Stol, koji se zove blizu distribucije, navedene su sve moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable X i vjerojatnosti P(X) koje odgovaraju tim vrijednostima:

Tablica 3.1.

x

U tom slučaju zbroj svih vjerojatnosti pi trebao bi biti jednak jedan ( stanje normalizacije):

pi = p1 + p2 +...+pn=

2. Grafički- u obliku isprekidane linije, koja se obično naziva distribucijski poligon(sl.3.1). Ovdje su sve moguće vrijednosti slučajne varijable Xi iscrtane duž vodoravne osi, a odgovarajuće vjerojatnosti pi su iscrtane duž okomite osi.

3. Analitički- u obliku formule: Na primjer, ako je vjerojatnost pogotka mete jednim hicem jednaka R, tada je vjerojatnost promašaja jednim hicem q \u003d 1 - p, a. vjerojatnost pogađanja mete 1 put u n hitaca daje se formulom: P(n) = qn-1×p,

3.2. Zakon raspodjele kontinuirane slučajne varijable. Gustoća distribucije vjerojatnosti.

Za kontinuirane slučajne varijable nemoguće je primijeniti zakon distribucije u gore navedenim oblicima, budući da kontinuirana varijabla ima nebrojiv ("nebrojiv") skup mogućih vrijednosti koje u potpunosti ispunjavaju određeni interval. Stoga je nemoguće napraviti tablicu u kojoj su navedene sve njegove moguće vrijednosti ili izgraditi distribucijski poligon. Osim toga, vjerojatnost bilo koje određene vrijednosti je vrlo mala (blizu 0). Istovremeno, različita područja (intervali) mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable obično nisu jednako vjerojatna. Dakle, i ovdje postoji određeni zakon raspodjele, ali ne u onom nekadašnjem smislu.

Razmotrimo kontinuiranu slučajnu varijablu X, čije moguće vrijednosti u potpunosti ispunjavaju određeni interval (a, b)*. Zakon distribucije vjerojatnosti takva bi nam vrijednost trebala omogućiti da pronađemo vjerojatnost da njezina vrijednost padne u bilo koji zadani interval (x1, x2) koji leži unutar (a, b *) (Slika 3.2.)

Ta se vjerojatnost označava s P(x1<Х< х2), или Р(х1 £ Х £ х2).

Prvo razmislite vrlo kratak interval vrijednosti od x do (x + Dx) (vidi sliku 3.2.) Mala vjerojatnost dP da će slučajna varijabla X uzeti neku vrijednost iz ovog malog intervala (x, x + Dx) bit će proporcionalna vrijednosti ovog intervala Dx: dP ~ Dx, ili, uvodeći faktor proporcionalnosti f, koji i sam može ovisiti o x, dobivamo:

dR = f(h) × Dh. (3.2)

Funkcija koju smo ovdje predstavili f(x) nazvao gustoća vjerojatnosti slučajna varijabla X ili, ukratko, gustoća vjerojatnosti (gustoća distribucije). Jednadžba (3.2) se može smatrati diferencijalnom jednadžbom, a zatim je dana vjerojatnost pogotka. rang X u intervalu (x1, x2) jednak je:

P (x1< Х < х2) = f(x) dx. (3.3)

Grafički, ova vjerojatnost P (x1< Х < х2) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой f(x) i ravnih linija X = x1 i X = x2 (vidi sl.3.3), što slijedi iz geometrijskog značenja određenog integrala (3.3). Zavoj f(x) to se zove distribucijska krivulja.

Iz (3.3) se vidi da ako funkcija f(x), tada se promjenom granica integracije može pronaći vjerojatnost za bilo koje intervale od interesa. Iz tog razloga definicija funkcije f(x) u potpunosti određuje zakon distribucije za kontinuirane slučajne varijable X.

Za gustoću distribucije vjerojatnosti mora biti zadovoljena f(x). stanje normalizacije kao:

f(x)dx = 1, (3.4)

ako je poznato da sve vrijednosti X leže u intervalu (a, b), odnosno u obliku:

f(h) dh = 1, (3.5)

ako granice intervala za vrijednosti X nisu točno poznate. Uvjeti za normalizaciju gustoće vjerojatnosti (3.4) ili (3.5) posljedica su činjenice da su vrijednosti slučajne varijable X pouzdano leže unutar (a, b) ili (-¥, +¥). Iz (3.4) i (3.5) slijedi da površina figure omeđena krivuljom distribucije i x-osom uvijek je jednaka 1.

Rezultati prikazani u paragrafima 3.1 i 3.2 pokazuju da zakoni njihove distribucije daju potpuni opis diskretnih ili kontinuiranih slučajnih varijabli.

Međutim, u mnogim praktično značajnim situacijama tzv numeričke karakteristike slučajne varijable, čija je glavna svrha da u komprimiranom obliku izraze najznačajnija obilježja njihove distribucije. Važno je da su ti parametri specifične (konstantne) vrijednosti, što se može procijeniti pomoću podataka dobivenih u eksperimentima. Tim se procjenama bavi takozvana "deskriptivna statistika".

U teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici koristi se dosta različitih karakteristika, a ovdje ćemo razmotriti one koje se najčešće koriste. Samo za neke od njih koriste se formule za izračunavanje njihovih vrijednosti, u ostalim slučajevima izračune prepuštamo računalu.

3.3.1 Karakteristike položaja: matematičko očekivanje, mod, medijan.

Oni karakteriziraju položaj slučajne varijable na brojčanoj osi, tj. ukazuju na neke od njezinih važnih vrijednosti koje karakteriziraju distribuciju drugih vrijednosti. Među njima najvažniju ulogu ima matematičko očekivanje M(X).

A). Matematički očekivanje M(X) slučajna varijabla X je probabilistički analog svoje aritmetičke sredine.

Za diskretnu slučajnu varijablu izračunava se po formuli:

M(H) = h1r1 + h2r2 + … + hnrn = = , (3.6)

au slučaju kontinuirane slučajne varijable M(X) određuju se formulama:

M(X) = ili M(X) = (3.7)

gdje je f(x) gustoća vjerojatnosti, dP= f(x)dx je element vjerojatnosti (analogno pi) za mali interval Dx (dx).

Primjer. Izračunajte prosječnu vrijednost kontinuirane slučajne varijable koja ima jednoliku raspodjelu na intervalu (a, b).

Riješenje: Kod jednolike raspodjele gustoća vjerojatnosti na intervalu (a, b) je konstantna, tj. f(x) = fo = const, a izvan (a, b) jednaka je nuli, te iz uvjeta normalizacije (4.3) nalazimo vrijednost f0:

F0= f0 × x | = (b-a)f0 , odakle

M(X) = | = = (a + b).

Dakle, matematičko očekivanje M(X) koincidira sa sredinom intervala (a, b), što određuje , tj. = M(X) = .

B). Način Mo(X) diskretne slučajne varijable nazovi je najvjerojatnija vrijednost(Slika 3.4, a), i stalan- značenje x, na kojem gustoća vjerojatnosti maksimum(Slika 3.4, b).

V). Druga značajka položaja je medijan (Mi) distribucija slučajne varijable.

Medijan Krzno) slučajna varijabla se naziva njezina vrijednost x, koji cijelu distribuciju dijeli na dva jednakovjerojatna dijela. Drugim riječima, za slučajnu varijablu jednako vjerojatno prihvatiti vrijednosti manje ja (X) ili više Ja(X): P(X< Ме) = Р(Х >Ja) = .

Stoga se medijan može izračunati iz jednadžbe:

(3.8)

Grafički, medijan je vrijednost slučajne varijable čija ordinata dijeli kvadrat, ograničen krivuljom distribucije, na pola (S1 \u003d S2) (Sl. 3.4, c). Ova se značajka obično koristi samo za kontinuirane slučajne varijable, iako se može formalno definirati za diskretni X.

Ako se M(X), Mo(X) i Me(X) podudaraju, tada se distribucija slučajne varijable naziva simetričan, inače - asimetričan.

Karakteristike raspršivanja– varijanca i standardna devijacija (korijen srednje kvadratne devijacije).

DisperzijaD (x) slučajna varijabla X je definirana kao matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajnog X od njegovog matematičkog očekivanja M(X):

D (X) = M 2 , (3.9)

ili D (X) = M (X2) - a)

Stoga, za diskretna slučajne varijable, disperzija se izračunava po formulama:

D(X) = [hi – M(H)]2 pi, ili D(X) = hi2 pi –

i za kontinuiranu vrijednost raspoređenu u intervalu (a, b):

a za interval (-∞,∞):

D (X) \u003d 2 f (x) dx, ili D (X) \u003d x2 f (x) dx -

Disperzija karakterizira prosječnu disperziju, disperziju vrijednosti slučajne varijable X u odnosu na njezino matematičko očekivanje. Sama riječ "disperzija" znači "raspršenje".

Ali varijanca D(X) ima dimenziju kvadrata slučajne varijable, što je vrlo nezgodno kada se procjenjuje širenje u fizičkim, biološkim, medicinskim i drugim primjenama. Stoga se obično koristi drugi parametar čija se dimenzija podudara s dimenzijom X. Ovo korijen znači kvadrat odstupanje slučajna varijabla X, koja je označena s(X) :

s(X) = (3.13)

Dakle, srednja vrijednost, način, medijan, varijanca i standardna devijacija najviše se koriste numeričke karakteristike distribucija slučajnih varijabli od kojih svaka, kao što je pokazano, izražava neko karakteristično svojstvo te distribucije.

3.4. Normalni zakon raspodjele slučajnih varijabli

Zakon normalne distribucije(Gaussov zakon) igra izuzetno važnu ulogu u teoriji vjerojatnosti. Prvo, ovo je najčešći zakon raspodjele kontinuiranih slučajnih varijabli u praksi. Drugo, on je ograničavajući zakona, u smislu da mu se pod određenim uvjetima približavaju drugi zakoni raspodjele.

normalno pravo distribuciju karakterizira sljedeća formula za gustoću vjerojatnosti:

, (3.13)

Ovdje su x trenutne vrijednosti slučajne varijable X, a M(X) i s- njezino matematičko očekivanje i standardna devijacija, koji u potpunosti određuju funkciju f(x). Dakle, ako je slučajna varijabla raspodijeljena prema normalnom zakonu, tada je dovoljno znati samo dva numerička parametra: M(X) i su potpunosti upoznati zakon njegove raspodjele (3.13). Graf funkcije (3.13) zove se normalna krivulja distribucija(Gaussova krivulja). Ima simetričan oblik u odnosu na ordinatu x = M(X). Maksimalna gustoća vjerojatnosti, jednaka ", odgovara matematičkom očekivanju `X = M (X), a kako se udaljavate od nje, gustoća vjerojatnosti f (x) simetrično opada, postupno se približava nuli (sl. Promjena vrijednosti M (X) u (3.13) ne mijenja oblik normalne krivulje, već samo dovodi do njezina pomaka duž osi apscise. Vrijednost M (X) također se naziva centar raspršenja i standardna devijacija s karakterizira širinu krivulje distribucije (vidi sl.3.6) .

S povećanjem s maksimalna ordinata krivulje se smanjuje, a sama krivulja postaje ravnija, protežući se duž osi apscise, dok s smanjenjem s krivulja se proteže prema gore, istovremeno se skupljajući sa strane (slika 6).

Naravno, za bilo koju vrijednost M(X) i s, područje ograničeno normalnom krivuljom i X osi ostaje jednako 1 (uvjet normalizacije):

f(x) dx = 1, ili f(x) dx =

Normalna distribucija je simetrična, pa je M(X) = Mo(X) = Me(X).

Vjerojatnost da vrijednosti slučajne varijable X padnu u interval (x1,x2), tj. P (x1< Х< x2) равна

R(x1< Х < x2) = . (3.15)

U praksi se često susrećemo s problemom pronalaženja vjerojatnosti da će vrijednosti normalno raspodijeljene slučajne varijable pasti u interval koji je simetričan u odnosu na M(X). Osobito razmotrimo sljedeći problem, koji je važan s primijenjenog gledišta. Odvojimo segmente jednake s, 2s i 3s od M(X) desno i lijevo (slika 7) i razmotrimo rezultat izračuna vjerojatnosti da X padne u odgovarajuće intervale:

P (M(X) - s < Х < М(Х) + s) = 0,6827 = 68,27%. (3.16)

P (M(X) - 2s< Х < М(Х) + 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (3.17)

P (M(X) - 3 s< Х < М(Х) + 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (3.18)

Iz (3.18) slijedi da vrijednosti normalno raspodijeljene slučajne varijable X s parametrima M(X) i s leže u intervalu M(X) ± 3s s vjerojatnošću R = 99,73%, inače gotovo sve moguće vrijednosti ove slučajne varijable padaju u ovaj interval. Ovaj način procjene raspona mogućih vrijednosti slučajne varijable poznat je kao "pravilo tri sigme".

Primjer. Poznato je da je pH ljudske krvi normalno raspoređena vrijednost s prosječnom vrijednošću (očekivanjem) od 7,4 i standardnom devijacijom od 0,2. Definirajte raspon mogućih vrijednosti za ovaj parametar.

Riješenje: Za odgovor na ovo pitanje koristit ćemo se "pravilom tri sigme". S vjerojatnošću od 99,73%, može se tvrditi da je raspon pH vrijednosti za osobu 7,4 ± 3 0,2, tj. 6,8 ÷ 8.

* Ako su točne vrijednosti granica intervala nepoznate, tada razmotrite interval (-¥, + ¥).

JEDNODIMENZIONALNE SLUČAJNE VARIJABLE

Pojam slučajne varijable. Diskretne i kontinuirane slučajne varijable. Funkcija distribucije vjerojatnosti i njezina svojstva. Gustoća distribucije vjerojatnosti i njezina svojstva. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli: matematičko očekivanje, disperzija i njihova svojstva, standardna devijacija, mod i medijan; početni i središnji momenti, asimetrija i kurtoza.

1. Pojam slučajne varijable.

Slučajno naziva se veličina koja, kao rezultat ispitivanja, poprima jednu ili drugu (ali samo jednu) moguću vrijednost, unaprijed poznatu, mijenjajući se od ispitivanja do ispitivanja i ovisno o slučajnim okolnostima. Za razliku od slučajnog događaja, koji je kvalitativna karakteristika slučajnog rezultata ispitivanja, slučajna varijabla karakterizira rezultat testa kvantitativno. Primjeri slučajne varijable su veličina obratka, pogreška u rezultatu mjerenja bilo kojeg parametra proizvoda ili okoliša. Među slučajnim varijablama koje se susreću u praksi mogu se razlikovati dvije glavne vrste: diskretne varijable i kontinuirane varijable.

Diskretna je slučajna varijabla koja poprima konačan ili beskonačan prebrojiv skup vrijednosti. Na primjer, učestalost pogodaka s tri udarca; broj neispravnih proizvoda u seriji komada; broj poziva pristiglih na telefonsku centralu tijekom dana; broj kvarova elemenata uređaja u određenom vremenskom razdoblju pri ispitivanju pouzdanosti; broj hitaca prije prvog pogotka u metu itd.

stalan je slučajna varijabla koja može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Očito je da je broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable beskonačan. Na primjer, pogreška u mjerenju dometa radara; vrijeme rada čipa; pogreška u proizvodnji dijelova; koncentracija soli u morskoj vodi itd.

Slučajne varijable obično se označavaju slovima i sl., a njihove moguće vrijednosti - itd. Za navođenje slučajne varijable nije dovoljno navesti sve njene moguće vrijednosti. Također je potrebno znati koliko često se jedna ili druga njegova vrijednost može pojaviti kao rezultat ispitivanja pod istim uvjetima, tj. potrebno je postaviti vjerojatnosti njihovog pojavljivanja. Skup svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti čini distribuciju slučajne varijable.

2. Zakoni raspodjele slučajne varijable.

zakon distribucije Slučajna varijabla je bilo koja podudarnost između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti. Kaže se da se slučajna varijabla pridržava zadanog zakona distribucije. Pozivaju se dvije slučajne varijable nezavisna, ako zakon raspodjele jednog od njih ne ovisi o mogućim vrijednostima koje je poprimila druga vrijednost. Inače se pozivaju slučajne varijable ovisan. Poziva se nekoliko slučajnih varijabli međusobno nezavisni, ako zakoni raspodjele bilo kojeg broja njih ne ovise o mogućim vrijednostima koje su poprimile druge količine.

Zakon raspodjele slučajne varijable može se dati u obliku tablice, u obliku funkcije razdiobe, u obliku gustoće razdiobe. Tablica koja sadrži moguće vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerojatnosti najjednostavniji je oblik specificiranja zakona raspodjele slučajne varijable:

Tabelarna dodjela zakona distribucije može se koristiti samo za diskretnu slučajnu varijablu s konačnim brojem mogućih vrijednosti. Tablični oblik specificiranja zakona slučajne varijable također se naziva serija distribucije.

Radi jasnoće, serija distribucije prikazana je grafički. U grafičkom prikazu u pravokutnom koordinatnom sustavu sve moguće vrijednosti slučajne varijable ucrtane su duž apscisne osi, a pripadajuće vjerojatnosti ucrtane su duž ordinatne osi. Zatim izgradite točke i povežite ih ravnim segmentima. Dobivena figura zove se distribucijski poligon(slika 5). Treba imati na umu da se spajanje vrhova ordinata radi samo radi jasnoće, budući da u intervalima između i, i itd. slučajna varijabla ne može poprimiti vrijednosti, stoga su vjerojatnosti njezina pojavljivanja u tim intervalima jednake nuli.

Poligon distribucije, kao i serija distribucije, jedan je od oblika zadavanja zakona distribucije diskretne slučajne varijable. Mogu imati vrlo različite oblike, ali svi imaju jedno zajedničko svojstvo: zbroj ordinata vrhova distribucijskog poligona, koji je zbroj vjerojatnosti svih mogućih vrijednosti slučajne varijable, uvijek je jednak jedan. Ovo svojstvo proizlazi iz činjenice da sve moguće vrijednosti slučajne varijable tvore potpunu skupinu nekompatibilnih događaja, čiji je zbroj vjerojatnosti jednak jedan.

Definicija. Slučajna varijabla je numerička vrijednost čija vrijednost ovisi o tome koji se elementarni ishod dogodio kao rezultat eksperimenta sa slučajnim ishodom. Skup svih vrijednosti koje slučajna varijabla može poprimiti naziva se skup mogućih vrijednosti za tu slučajnu varijablu.

Slučajne varijable označavaju: x, Y 1, Zi; ξ , η 1, μ i, a njihove moguće vrijednosti su x 3, y 1k, zij.

Primjer. U eksperimentu s jednim bacanjem kocke slučajna varijabla je broj x pali bodovi. Skup mogućih vrijednosti slučajne varijable x ima oblik

{x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x 6 \u003d 6}.

Imamo sljedeću korespondenciju između elementarnih ishoda ω i vrijednosti slučajne varijable x:

Odnosno, za svaki elementarni ishod ω i, i=1, …, 6, dodijeljen je broj ja.

Primjer. Novčić se baca do prve pojave "grba". U ovom eksperimentu možete unijeti, na primjer, sljedeće slučajne varijable: x- broj bacanja prije prvog pojavljivanja "grba" s mnogo mogućih vrijednosti ( 1, 2, 3, … ) I Y- broj "znamenki" koje su ispale prije prvog pojavljivanja "grba", s više mogućih vrijednosti {0, 1, 2, …} (to je jasno X=Y+1). U ovom eksperimentu prostor elementarnih ishoda Ω može se identificirati s mnogima

{G, CG, CG, …, C…CG, …},

i elementarni ishod ( Ts … TsG) dodijeljen je broju m+1 ili m, Gdje m- broj ponavljanja slova "C".

Definicija. skalarna funkcija X(ω), dan na prostoru elementarnih ishoda, naziva se slučajna varijabla ako za bilo koji x ∈ R (ω:X(ω)< x} je događaj.

Funkcija distribucije slučajne varijable

Za proučavanje vjerojatnosnih svojstava slučajne varijable potrebno je poznavati pravilo koje vam omogućuje da pronađete vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz podskupa svojih vrijednosti. Svako takvo pravilo naziva se zakon distribucije vjerojatnosti ili distribucija slučajne varijable.

Opći zakon distribucije svojstven svim slučajnim varijablama je funkcija distribucije.

Definicija. Funkcija distribucije (vjerojatnosti) slučajne varijable x pozvati funkciju F(x), čija je vrijednost u točki x jednaka vjerojatnosti događaja (X< x} , odnosno događaj koji se sastoji od tih i samo tih elementarnih ishoda ω , za koji X(ω)< x :

F(x) = P(X< x} .

Obično se kaže da je vrijednost funkcije distribucije u točki x jednaka je vjerojatnosti da slučajna varijabla x poprima vrijednost manju od x.

Teorema. Funkcija raspodjele zadovoljava sljedeća svojstva:

Tipičan oblik funkcije distribucije.

Diskretne slučajne varijable

Definicija. Slučajna vrijednost x naziva se diskretnim ako je skup njegovih mogućih vrijednosti konačan ili prebrojiv.

Definicija. Skorašnja distribucija (vjerojatnosti) diskretne slučajne varijable x nazovite tablicu koja se sastoji od dva retka: gornji red ispisuje sve moguće vrijednosti ​​slučajne varijable, a donji red ispisuje vjerojatnosti p i =P\(X=x i \) da slučajna varijabla poprima te vrijednosti.

Za provjeru ispravnosti tablice preporuča se zbrojiti vjerojatnosti pi. Na temelju aksioma normalizacije:

Na temelju niza distribucije diskretne slučajne varijable može se konstruirati njezina funkcija distribucije F(x). Neka x- , prema seriji distribucije, i x 1< x 2 < … < x n . Zatim za sve x ≤ x 1 događaj (X< x} nemoguće je, dakle, po definiciji F(x)=0. Ako x 1< x≤ x 2 , zatim događaj (X< x} sastoji se od onih i samo onih elementarnih ishoda za koje X(ω)=x 1. Stoga, F(x)=p 1. Slično tome, kada x2< x ≤ x 3 događaj (X< x} sastoji se od elementarnih ishoda ω , za koje bilo X(ω)=x 1, ili X(ω)=x2, to je (X< x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Stoga, F(x)=p1 +p2 itd. Na x > xn događaj (X< x} naravno, onda F(x)=1.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable može se zadati i analitički u obliku neke formule ili grafički. Na primjer, raspodjela kocke opisana je formulom

P(X=i) = 1/6, i=1, 2, …, 6.

Neke diskretne slučajne varijable

Binomna distribucija. Diskretna slučajna varijabla x raspodijeljena po binomnom zakonu ako poprima vrijednosti 0, 1, 2, ..., n u skladu s raspodjelom danom Bernoullijevom formulom:

Ova raspodjela nije ništa drugo nego raspodjela broja uspjeha x V n testovi prema Bernoullijevoj shemi s vjerojatnošću uspjeha str i neuspjeh q=1-p.

Poissonova distribucija. Diskretna slučajna varijabla x raspodijeljen prema Poissonovom zakonu ako uzima nenegativne cjelobrojne vrijednosti s vjerojatnostima

Gdje λ > 0 je parametar Poissonove distribucije.

Poissonova distribucija naziva se i zakon rijetkih događaja, budući da se uvijek pojavljuje tamo gdje se izvodi veliki broj pokusa, u svakom od kojih se "rijedak" događaj dogodi s malom vjerojatnošću.

U skladu s Poissonovim zakonom, distribuira se, na primjer, broj primljenih poziva tijekom dana na telefonskoj centrali; broj meteorita koji su pali na određeno područje; broj raspadnutih čestica u radioaktivnom raspadu tvari.

Geometrijska raspodjela. Razmotrimo ponovno Bernoullijevu shemu. Neka x je broj pokušaja koje treba obaviti prije nego što se dogodi prvi uspjeh. Zatim x- diskretna slučajna varijabla koja ima vrijednosti 0, 1, 2, …, n, … Odredite vjerojatnost događaja (X=n).

• X=0, ako prvi pokušaj uspije, dakle, P(X=0)=p.
• X=1 Ako prvi pokušaj propadne, a drugi uspije, onda P(X=1)=qp.
• X=2, ako u prva dva pokušaja - neuspjeh, au trećem - uspjeh, onda P(X=2)=q 2 str.
• Nastavljajući postupak, dobivamo P(X=i)=q i p, i=0, 1, 2, …

  Slučajna varijabla s takvim nizom raspodjele naziva se raspodijeljenom prema geometrijskom zakonu.