Višestrani trapez... Može biti proizvoljan, jednakokračan ili pravokutan. I u svakom slučaju, morate znati kako pronaći područje trapeza. Naravno, najlakše je zapamtiti osnovne formule. Ali ponekad je lakše koristiti onu koja je izvedena uzimajući u obzir sve značajke određene geometrijske figure.
Nekoliko riječi o trapezu i njegovim elementima
Svaki četverokut s dvije paralelne stranice može se nazvati trapezom. Općenito, one nisu jednake i nazivaju se bazama. Veći od njih je donji, a drugi je gornji.
Druge dvije strane su bočne. U proizvoljnom trapezu imaju različite duljine. Ako su jednaki, tada lik postaje jednakokračan.
Ako odjednom kut između bilo koje stranice i baze bude jednak 90 stupnjeva, tada je trapez pravokutan.
Sve ove značajke mogu pomoći u rješavanju problema kako pronaći područje trapeza.
Među elementima figure, koji mogu biti nezamjenjivi u rješavanju problema, možemo razlikovati sljedeće:
- visina, odnosno segment okomit na obje baze;
- srednja linija, koja ima na svojim krajevima sredinu strana.
Koja je formula za izračunavanje površine ako su poznate osnovice i visina?
Ovaj izraz je dat kao glavni jer je najčešće moguće znati te veličine čak i kada nisu eksplicitno zadane. Dakle, da biste razumjeli kako pronaći područje trapeza, morate dodati obje baze i podijeliti ih s dva. Dobivena vrijednost zatim se dalje množi s vrijednošću visine.
Ako baze označimo slovima a 1 i a 2, visinu - n, tada će formula za područje izgledati ovako:
S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * n.
Formula za izračunavanje površine, s obzirom na visinu i središnju liniju
Ako pažljivo pogledate prethodnu formulu, lako je vidjeti da jasno sadrži vrijednost srednje linije. Naime, zbroj baza podijeljen s dva. Neka srednja linija bude označena slovom l, tada će formula za područje postati:
S \u003d l * n.
Sposobnost pronalaženja područja po dijagonalama
Ova metoda će pomoći ako je poznat kut koji oni formiraju. Pretpostavimo da su dijagonale označene slovima d 1 i d 2, a kutovi između njih su α i β. Tada će formula za pronalaženje površine trapeza biti napisana na sljedeći način:
S \u003d ((d 1 * d 2) / 2) * sin α.
U ovom izrazu se lako može zamijeniti α sa β. Rezultat se neće promijeniti.
Kako saznati površinu ako su poznate sve strane figure?
Postoje i situacije kada su na ovoj slici točno poznate strane. Ova je formula glomazna i teška za pamćenje. Ali vjerojatno. Neka stranice imaju oznaku: u 1 i u 2, osnovica a 1 je veća od a 2. Tada formula površine ima sljedeći oblik:
S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (u 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + u 1 2 - u 2 2) / (2 * (a 1 - a 2) ) ] 2 ).
Metode za izračunavanje površine jednakokračnog trapeza
Prvi je povezan s činjenicom da se u njega može upisati krug. I, znajući njegov polumjer (označen je slovom r), kao i kut na bazi - γ, možete koristiti sljedeću formulu:
S \u003d (4 * r 2) / sin γ.
Posljednja opća formula, koja se temelji na poznavanju svih strana figure, znatno je pojednostavljena zbog činjenice da strane imaju istu vrijednost:
S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (u 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).
Metode za izračunavanje površine pravokutnog trapeza
Jasno je da je bilo što od navedenog prikladno za proizvoljnu figuru. Ali ponekad je korisno znati jednu značajku takvog trapeza. Leži u činjenici da je razlika kvadrata duljina dijagonala jednaka razlici koju čine kvadrati baza.
Često se zaborave formule za trapez, a zapamte izrazi za površine pravokutnika i trokuta. Tada možete primijeniti jednostavnu metodu. Podijeli trapez na dva lika ako je pravokutan ili na tri. Jedan će svakako biti pravokutnik, a drugi ili preostala dva će biti trokuti. Nakon izračuna površina ovih figura, ostaje ih samo zbrojiti.
Ovo je prilično jednostavan način za pronalaženje površine pravokutnog trapeza.
Što ako su poznate koordinate vrhova trapeza?
U ovom slučaju morat ćete upotrijebiti izraz koji vam omogućuje određivanje udaljenosti između točaka. Može se primijeniti tri puta: da bi se znale obje baze i jedna visina. I onda samo primijenite prvu formulu, koja je opisana malo više.
Za ilustraciju ove metode može se dati primjer. Zadani su vrhovi s koordinatama A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Moramo znati područje figure.
Prije nego što pronađete površinu trapeza, morate izračunati duljine baza iz koordinata. Trebat će vam ova formula:
duljina segmenta = √((razlika prvih koordinata točaka) 2 + (razlika drugih koordinata točaka) 2 ).
Gornja baza označena je AB, što znači da će njezina duljina biti jednaka √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Donja baza je CD = √ ((10-1 ) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.
Sada morate nacrtati visinu od vrha do dna. Neka mu početak bude u točki A. Kraj segmenta bit će na donjoj bazi u točki s koordinatama (5; 1), neka to bude točka H. Duljina segmenta AN bit će jednaka √ ((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.
Ostaje samo zamijeniti dobivene vrijednosti u formuli za područje trapeza:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Zadatak je riješen bez mjernih jedinica jer nije navedeno mjerilo koordinatne mreže. Može biti milimetar ili metar.
Primjeri zadataka
Broj 1. Stanje. Poznat je kut između dijagonala proizvoljnog trapeza, jednak je 30 stupnjeva. Manja dijagonala ima vrijednost 3 dm, a druga je 2 puta veća od nje. Morate izračunati površinu trapeza.
Riješenje. Prvo morate saznati duljinu druge dijagonale, jer bez toga neće biti moguće izračunati odgovor. Izračunavanje je jednostavno, 3 * 2 = 6 (dm).
Sada trebate upotrijebiti odgovarajuću formulu za područje:
S \u003d ((3 * 6) / 2) * sin 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4,5 (dm 2). Problem riješen.
Odgovor: površina trapeza je 4,5 dm 2 .
Broj 2. Stanje. U trapezu ABCD osnovice su odsječke AD i BC. Točka E je središte stranice SD. Iz njega je povučena okomica na ravnu liniju AB, kraj tog segmenta označen je slovom H. Poznato je da su duljine dužina AB i EH 5 odnosno 4 cm. Potrebno je izračunati površinu trapez.
Riješenje. Prvo morate napraviti crtež. Budući da je vrijednost okomice manja od stranice na koju je povučena, trapez će biti malo produžen prema gore. Dakle, EH će biti unutar figure.
Da biste jasno vidjeli napredak u rješavanju problema, morat ćete izvršiti dodatnu konstrukciju. Naime, nacrtajte pravac koji će biti paralelan sa stranicom AB. Točke sjecišta ove linije s AD - P, a s nastavkom BC - X. Rezultirajuća figura VKhRA je paralelogram. Štoviše, njegova površina je jednaka potrebnoj. To je zbog činjenice da su trokuti koji su dobiveni tijekom dodatne konstrukcije jednaki. To proizlazi iz jednakosti strane i dvaju kutova uz nju, jedan je okomit, drugi leži poprečno.
Područje paralelograma možete pronaći pomoću formule koja sadrži produkt stranice i visine spuštene na nju.
Dakle, površina trapeza je 5 * 4 = 20 cm 2.
Odgovor: S \u003d 20 cm 2.
Broj 3. Stanje. Elementi jednakokračnog trapeza imaju sljedeća značenja: donja osnovica je 14 cm, gornja osnovica je 4 cm, oštar kut- 45º. Moramo izračunati njegovu površinu.
Riješenje. Neka manja baza bude BC. Visinu povučenu iz točke B zvat ćemo BH. Budući da je kut 45º, tada će trokut ABH ispasti pravokutan i jednakokračan. Dakle, AH=BH. A AN je vrlo lako pronaći. Jednak je polovici razlike baza. Odnosno, (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).
Osnove se znaju, visine se broje. Možete koristiti prvu formulu, koja je ovdje razmatrana za proizvoljni trapez.
S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).
Odgovor:Željena površina je 45 cm 2.
Broj 4. Stanje. Postoji proizvoljni trapez ABCD. Na njegovim stranicama uzete su točke O i E tako da je OE paralelna s osnovicom AD. Trapezoidna površina AOED-a je pet puta veća od površine CFE-a. Izračunajte vrijednost OE ako su poznate duljine osnovica.
Riješenje. Bit će potrebno nacrtati dvije ravne linije paralelne s AB: prva kroz točku C, njezino sjecište s OE - točkom T; drugi kroz E i točka sjecišta s AD bit će M.
Neka je nepoznata OE=x. Visina manjeg trapeza OVSE je n 1, većeg AOED je n 2.
Budući da se površine ova dva trapeza odnose kao 1 prema 5, možemo napisati sljedeću jednakost:
(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2
n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).
Visine i stranice trokuta su konstrukcijski proporcionalne. Stoga možemo napisati još jednu jednakost:
n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a 1 - x).
U posljednja dva unosa nalaze se jednake vrijednosti na lijevoj strani, što znači da možemo napisati da je (x + a 1) / (5 (x + a 2)) jednako (x - a 2) / (a 1 - x).
Ovdje je potreban niz transformacija. Prvo umnožite križ. Pojavit će se zagrade koje označavaju razliku kvadrata, nakon primjene ove formule dobit ćete kratku jednadžbu.
Treba otvoriti zagrade i premjestiti sve članove iz nepoznatog "x" u lijeva strana a zatim izvadite kvadratni korijen.
Odgovor: x \u003d √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).
Na jednostavno pitanje "Kako pronaći visinu trapeza?" postoji više odgovora, a sve zato što se mogu dati različiti inputi. Stoga će se formule razlikovati.
Ove formule se mogu zapamtiti, ali ih nije teško izvesti. Potrebno je samo primijeniti prethodno proučene teoreme.
Oznake koje se koriste u formulama
U svim matematičkim zapisima u nastavku, ova čitanja slova su točna.
U izvornim podacima: sve strane
Da biste pronašli visinu trapeza u općem slučaju, morate koristiti sljedeću formulu:
n \u003d √ (s 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2) / (2 (a - c))) 2). Broj 1.
Nije najkraći, ali je također prilično rijedak u zadacima. Obično možete koristiti druge podatke.
Formula koja vam govori kako pronaći visinu jednakokračnog trapeza u istoj situaciji mnogo je kraća:
n \u003d √ (s 2 - (a - c) 2 / 4). Broj 2.
Problem je dan: stranice i kutovi na donjoj bazi
Pretpostavlja se da je kut α susjedan stranici s oznakom "c", odnosno kut β stranici d. Tada će formula za pronalaženje visine trapeza, općenito, biti:
n \u003d c * sin α \u003d d * sin β. Broj 3.
Ako je lik jednakokračan, tada možete koristiti ovu opciju:
n \u003d c * sin α \u003d ((a - c) / 2) * tg α. Broj 4.
Poznato po: dijagonalama i kutovima između njih
Obično se tim podacima dodaju poznate količine. Na primjer, baze ili srednja linija. Ako su razlozi dati, tada je za odgovor na pitanje kako pronaći visinu trapeza korisna sljedeća formula:
n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / (a + c) ili n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / (a + c). Broj 5.
To je za opći pogled figure. Ako je dan jednakokračan, zapis će se transformirati na sljedeći način:
n \u003d (d 1 2 * sin γ) / (a + c) ili n = (d 1 2 * sin δ) / (a + c). Broj 6.
Kada se zadatak bavi srednjom crtom trapeza, tada formule za pronalaženje njegove visine postaju sljedeće:
n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m ili n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Broj 5a.
n = (d 1 2 * sin γ) / 2m ili n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Broj 6a.
Među poznatim veličinama: površina s bazama ili srednjom linijom
Ovo su možda najkraće i najjednostavnije formule za pronalaženje visine trapeza. Za proizvoljnu figuru to će biti ovako:
n \u003d 2S / (a + c). Broj 7.
To je isto, ali s dobro poznatom srednjom linijom:
n = S / m. Broj 7a.
Čudno, ali za jednakokračni trapez, formule će izgledati isto.
Zadaci
broj 1. Za određivanje kutova na donjoj osnovici trapeza.
Stanje. Zadan je jednakokračni trapez čija je stranica 5 cm.Osnovice su mu 6 i 12 cm.Potrebno je pronaći sinus oštrog kuta.
Riješenje. Radi praktičnosti treba uvesti notaciju. Neka donji lijevi vrh bude A, a svi ostali u smjeru kazaljke na satu: B, C, D. Tako će donja baza biti označena AD, gornja BC.
Potrebno je povući visine iz vrhova B i C. Točke koje označavaju krajeve visina označit ćemo H 1 odnosno H 2 . Kako su na slici BCH 1 H 2 svi kutovi pravi, to je pravokutnik. To znači da je segment H 1 H 2 6 cm.
Sada moramo razmotriti dva trokuta. Jednaki su jer su pravokutni s istom hipotenuzom i okomitim katetama. Iz ovoga slijedi da su im i manje noge jednake. Stoga se mogu definirati kao kvocijent razlike. Potonji se dobiva oduzimanjem gornje od donje baze. Bit će podijeljeno s 2. To jest, 12 - 6 mora biti podijeljeno s 2. AN 1 \u003d H 2 D \u003d 3 (cm).
Sada, iz Pitagorinog teorema, trebate pronaći visinu trapeza. Potrebno je pronaći sinus kuta. VN 1 \u003d √ (5 2 - 3 2) \u003d 4 (cm).
Koristeći znanje o tome kako se sinus oštrog kuta nalazi u trokutu s pravim kutom, možemo napisati sljedeći izraz: sin α \u003d BH 1 / AB \u003d 0,8.
Odgovor.Željeni sinus je 0,8.
broj 2. Naći visinu trapeza iz poznate tangente.
Stanje. Za jednakokračni trapez morate izračunati visinu. Poznato je da su njegove osnovice 15 i 28 cm.Zadan je tangens oštrog kuta: 11/13.
Riješenje. Oznaka vrhova je ista kao u prethodnom zadatku. Opet morate nacrtati dvije visine iz gornjih uglova. Po analogiji s rješenjem prvog zadatka, trebate pronaći AH 1 = H 2 D, koji su definirani kao razlika između 28 i 15, podijeljena s dva. Nakon izračuna, ispada: 6,5 cm.
Budući da je tangenta omjer dva kraka, možemo napisati sljedeću jednakost: tg α \u003d AN 1 / VN 1. Štoviše, ovaj omjer je jednak 11/13 (po uvjetu). Budući da je AH 1 poznat, visina se može izračunati: HH 1 \u003d (11 * 6,5) / 13. Jednostavni izračuni daju rezultat od 5,5 cm.
Odgovor.Željena visina je 5,5 cm.
Broj 3. Za izračunavanje visine iz poznatih dijagonala.
Stanje. Za trapez je poznato da su mu dijagonale 13 i 3 cm.Trebate saznati njegovu visinu ako je zbroj osnovica 14 cm.
Riješenje. Neka oznaka figure bude ista kao i prije. Pretpostavimo da je AC manja dijagonala. Iz vrha C potrebno je nacrtati željenu visinu i označiti je CH.
Sada moramo napraviti dodatnu izgradnju. Iz kuta C potrebno je povući ravnu liniju paralelnu s većom dijagonalom i pronaći točku njezinog sjecišta s nastavkom stranice AD. Bit će D 1 . Ispostavilo se da je novi trapez, unutar kojeg je nacrtan trokut ASD 1. To je ono što je potrebno za daljnje rješavanje problema.
Željena visina također će biti ista u trokutu. Stoga možete koristiti formule proučavane u drugoj temi. Visina trokuta definirana je kao umnožak broja 2 i površine podijeljen sa stranom na koju je povučen. I ispada da je strana jednaka zbroju baza izvornog trapeza. To proizlazi iz pravila po kojem se izvodi dogradnja.
U trokutu koji se razmatra poznate su sve strane. Radi praktičnosti uvodimo oznaku x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.
Sada možete izračunati površinu koristeći Heronov teorem. Polu-opseg će biti jednak p \u003d (x + y + z) / 2 \u003d (3 + 13 + 14) / 2 \u003d 15 (cm). Tada će formula za područje nakon zamjene vrijednosti izgledati ovako: S \u003d √ (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) \u003d 6 √10 (cm 2 ).
Odgovor. Visina je 6√10 / 7 cm.
broj 4. Da biste pronašli visinu na stranama.
Stanje. Zadan je trapez čije su tri stranice 10 cm, a četvrta 24 cm. Trebate saznati njegovu visinu.
Riješenje. Budući da je lik jednakokračan, potrebna je formula broj 2. Samo trebate zamijeniti sve vrijednosti u nju i brojati. Izgledat će ovako:
n \u003d √ (10 2 - (10 - 24) 2 / 4) \u003d √51 (cm).
Odgovor. h = √51 cm.
Geometrija je jedna od znanosti s čijom se upotrebom u praksi čovjek susreće gotovo svakodnevno. Među raznim geometrijskim oblicima, trapezoid zaslužuje posebnu pozornost. To je konveksna figura s četiri strane, od kojih su dvije paralelne jedna s drugom. Potonji se nazivaju baze, a preostale dvije strane. Segment okomit na baze i određivanje veličine razmaka između njih bit će visina trapeza. Kako možete izračunati njegovu duljinu?
Odredite visinu proizvoljnog trapeza
Na temelju početnih podataka, određivanje visine figure moguće je na nekoliko načina.
Poznato područje
Ako je poznata duljina paralelnih stranica, a također je naznačeno područje figure, tada se za određivanje tražene okomice može koristiti sljedeći odnos:
S=h*(a+b)/2,
h je željena vrijednost (visina),
S je površina figure,
a i b su stranice međusobno paralelne.
Iz gornje formule slijedi h=2S/(a+b).
Vrijednost središnje linije je poznata
Ako je među početnim podacima, osim površine trapeza (S), poznata i duljina njegove srednje crte (l), tada je druga formula korisna za izračune. Prvo, vrijedi razjasniti što je srednja linija za ovu vrstu četverokuta. Pojam definira dio ravne crte koji povezuje sredine strana figure.
Na temelju svojstava trapeza l=(a+b)/2,
l - središnja linija,
a, b su stranice-osnovke četverokuta.
Stoga je h=2S/(a+b)=S/l.
Poznate su 4 strane figure
U ovom slučaju pomoći će Pitagorin teorem. Spustivši okomice na veliku bočnu bazu, upotrijebite je za dva rezultirajuća pravokutna trokuta. Konačni izraz će izgledati ovako:
h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 ,
c i d su 2 druge strane.
Kutovi na bazi
Ako imate podatke o osnovnom kutu, koristite trigonometrijske funkcije.
h = c*sinα = d*sinβ,
α i β su uglovi na osnovici četverokuta,
c i d su njegove stranice.
Dijagonale lika i kutovi koje sijeku
Duljina dijagonale je duljina segmenta koji povezuje suprotne vrhove figure. Označimo ove veličine simbolima d1 i d2, a kutove između njih γ i φ. Zatim:
h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,
h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,
a i b su osnovne stranice figure,
d1 i d2 su dijagonale trapeza,
γ i φ su kutovi između dijagonala.
Visina figure i polumjer kružnice koja je u nju upisana
Kao što slijedi iz definicije ove vrste kruga, on dodiruje svaku bazu u 1 točki, koja je dio jedne ravne linije. Stoga, udaljenost između njih - promjer - željena visina figure. A budući da je promjer dvostruko veći od radijusa, tada:
h = 2 * r,
r je polumjer kružnice koja je upisana u zadani trapez.
Odredite visinu jednakokračnog trapeza
- Kao što slijedi iz teksta, karakteristična karakteristika jednakokračnog trapeza je jednakost njegovih stranica. Stoga, da biste pronašli visinu figure, koristite formulu za određivanje ove vrijednosti u slučaju kada su strane trapeza poznate.
Dakle, ako je c \u003d d, tada je h \u003d √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2 \u003d √c 2 - (a-b) 2 / 4,
a, b - bočne baze četverokuta,
c = d su njegove stranice.
- U prisutnosti veličine kutova koje tvore dvije strane (baza i stranica), visina trapeza određena je sljedećim omjerom:
h = c*sinα,
h = s * tgα *cosα = s * tgα * (b - a)/2c = tgα * (b-a)/2,
α je kut pri dnu figure,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d su njegove stranice.
- Ako su dane vrijednosti dijagonala figure, tada će se izraz za određivanje visine figure promijeniti, jer d1 = d2:
h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,
h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.
Postoji mnogo načina za pronalaženje površine trapeza. Obično nastavnik matematike zna nekoliko metoda za njegovo izračunavanje, zadržimo se na njima detaljnije:
1) 
, gdje su AD i BC osnovice, a BH visina trapeza. Dokaz: nacrtajmo dijagonalu BD i izrazimo površine trokuta ABD i CDB preko poluproizvoda njihovih baza i visine:
, gdje je DP vanjska visina u
Ove jednakosti zbrajamo član po član i s obzirom da su visine BH i DP jednake, dobivamo:
Izbacimo to iz zagrade
Q.E.D.
Posljedica iz formule za površinu trapeza:
Kako je poluzbir osnovica jednak MN - središnjica trapeza, onda
2) Primjena opće formule za površinu četverokuta.
Površina četverokuta je polovica umnoška dijagonala pomnoženih sa sinusom kuta između njih
Da bismo to dokazali, dovoljno je podijeliti trapez na 4 trokuta, izraziti površinu svakog u smislu "polovice umnoška dijagonala i sinusa kuta između njih" (uzima se kao kut , dodajte rezultirajuće izraze, stavite ga izvan zagrade i rastavite ovu zagradu na faktore pomoću metode grupiranja kako biste dobili njegovu jednakost s izrazom. Odavde
3) Metoda dijagonalnog pomaka
Ovo je moj naslov. U školskim udžbenicima učitelj matematike neće pronaći takav naslov. Opis tehnike može se naći samo u dodatnim tutorijalima kao primjer rješavanja problema. Napominjem da većina zanimljivih i korisne činjenice planimetry math tutors otvoren studentima u procesu obavljanja praktični rad. To je krajnje neoptimalno, jer ih učenik treba odvojiti u zasebne teoreme i nazvati ih "velikim imenima". Jedan od njih je "dijagonalni pomak". o cemu se radi 
Povucimo ravnu crtu paralelnu s AC kroz vrh B sve dok se ne presječe s donjom osnovicom u točki E. U tom slučaju će četverokut EBCA biti paralelogram (po definiciji) pa je stoga BC=EA i EB=AC. Sada se bavimo prvom jednakošću. Imamo:
Imajte na umu da trokut BED, čija je površina jednaka površini trapeza, ima nekoliko drugih izvanrednih svojstava:
1) Njegova površina je jednaka površini trapeza
2) Njegova jednakokračnost se pojavljuje istovremeno s jednakokračicom samog trapeza
3) Njegov gornji kut u vrhu B jednak je kutu između dijagonala trapeza (što se vrlo često koristi u zadacima) 
4) Njegova središnja BK jednaka je udaljenosti QS između polovišta osnovica trapeza. Nedavno sam naišao na korištenje ovog svojstva kada sam pripremao studenta za Mekhmat Moskovskog državnog sveučilišta koristeći Tkachukov udžbenik, verzija iz 1973. (zadatak je dan na dnu stranice).
Specijalni učitelji matematike.
Ponekad predlažem zadatke na vrlo lukav način pronalaženja kvadrata trapeza. Pripisujem to posebnim potezima, jer ih mentor u praksi rijetko koristi. Ako se trebate pripremiti za ispit iz matematike samo u dijelu B, ne možete čitati o njima. Za druge, reći ću vam više. Ispada da je površina trapeza dvostruko veća od površine trokuta s vrhovima na krajevima jedne i sredini druge strane, odnosno ABS trokuta na slici: 
Dokaz: nacrtajte visine SM i SN u trokutima BCS i ADS i izrazite zbroj površina tih trokuta:
Kako je točka S polovište CD, onda (dokažite sami) Nađimo zbroj površina trokuta:
Budući da se pokazalo da je ovaj iznos jednak polovici površine trapeza, onda - njegovoj drugoj polovici. Ch.t.d.
U riznicu posebnih poteza učitelja uvrstio bih oblik izračuna površine jednakokračnog trapeza duž njegovih stranica: gdje je p poluopseg trapeza. Neću dati dokaz. U suprotnom, vaš učitelj matematike će ostati bez posla :). Dođi na nastavu!
Zadaci za područje trapeza:
Bilješka profesora matematike: Donji popis nije metodološka potpora temi, to je samo mali izbor zanimljivih zadataka za gore navedene metode.
1) Donja baza jednakokračnog trapeza je 13, a gornja 5. Nađite površinu trapeza ako je njegova dijagonala okomita na bočnu stranu.
2) Odredite površinu trapeza ako su mu osnovice 2cm i 5cm, a stranice 2cm i 3cm.
3) U jednakokračnom trapezu veća baza je 11, stranica je 5, a dijagonala je Nađi površinu trapeza.
4) Dijagonala jednakokračnog trapeza je 5, a srednja crta 4. Odredite površinu.
5) U jednakokračnom trapezu osnovice su 12 i 20, a dijagonale su međusobno okomite. Izračunajte površinu trapeza
6) Dijagonala jednakokračnog trapeza s donjom osnovicom zatvara kut. Odredite površinu trapeza ako je njegova visina 6 cm.
7) Površina trapeza je 20, a jedna od njegovih stranica je 4 cm. Pronađite udaljenost do njega od sredine suprotne strane.
8) Dijagonala jednakokračnog trapeza dijeli ga na trokute s površinama 6 i 14. Odredite visinu ako je stranica 4.
9) U trapezu, dijagonale su 3 i 5, a segment koji povezuje središta baza je 2. Nađite površinu trapeza (Mehmat MSU, 1970).
Odabrao sam ne najviše izazovne zadatke(ne bojte se mehmeta!) uz očekivanje mogućnosti njihovog samostalnog rješavanja. Odlučite se za zdravlje! Ako se trebate pripremiti za ispit iz matematike, tada bez sudjelovanja formule površine trapeza u ovom procesu mogu nastati ozbiljni problemi čak i kod zadatka B6, a još više kod C4. Ne započinjajte temu i u slučaju bilo kakvih poteškoća zatražite pomoć. Učitelj matematike uvijek će vam rado pomoći.
Kolpakov A.N.
Učitelj matematike u Moskvi, priprema za ispit u Stroginu.
Praksa prošlogodišnjih USE i GIA pokazuje da geometrijski problemi stvaraju poteškoće mnogim studentima. Lako ćete se nositi s njima ako zapamtite sve potrebne formule i vježbate rješavanje problema.
U ovom ćete članku vidjeti formule za pronalaženje površine trapeza, kao i primjere problema s rješenjima. Isti ti mogu naići na KIM-ovima na ispitima za svjedodžbu ili na olimpijadama. Stoga ih pažljivo tretirajte.
Što trebate znati o trapezu?
Za početak, podsjetimo se toga trapez zove se četverokut, u kojega su dvije nasuprotne stranice, zovu se i osnovice, paralelne, a druge dvije nisu.
U trapezu se može i izostaviti visina (okomito na osnovicu). Nacrtana je srednja linija - to je ravna linija koja je paralelna s bazama i jednaka je polovici njihovog zbroja. Kao i dijagonale koje se mogu presijecati, tvoreći oštre i tupe kutove. Ili, u nekim slučajevima, pod pravim kutom. Osim toga, ako je trapez jednakokračan, u njega se može upisati kružnica. I opišite krug oko njega.
Formule površine trapeza
Prvo, razmotrite standardne formule za pronalaženje površine trapeza. Načini izračunavanja površine jednakokračnih i krivuljastih trapeza bit će razmotreni u nastavku.
Dakle, zamislite da imate trapez s bazama a i b, u kojem je visina h spuštena na veću osnovicu. Izračunavanje površine figure u ovom slučaju je jednostavno. Samo trebate podijeliti s dva zbroj duljina baza i pomnožiti dobiveno s visinom: S = 1/2(a + b)*h.
Uzmimo drugi slučaj: pretpostavimo da trapez osim visine ima središnju liniju m. Poznata nam je formula za određivanje duljine srednje crte: m = 1/2(a + b). Stoga s pravom možemo pojednostaviti formulu za područje trapeza na sljedeći oblik: S = m * h. Drugim riječima, da biste pronašli područje trapeza, trebate pomnožiti srednju liniju s visinom.
Razmotrimo još jednu opciju: u trapezu su nacrtane dijagonale d 1 i d 2 koje se ne sijeku pod pravim kutom α. Da biste izračunali površinu takvog trapeza, trebate prepoloviti proizvod dijagonala i pomnožiti ono što dobijete sa sinusom kuta između njih: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Sada razmotrite formulu za pronalaženje područja trapeza ako se ništa ne zna o njemu, osim duljina svih njegovih strana: a, b, c i d. Ovo je glomazna i komplicirana formula, ali bit će korisno zapamtiti je za svaki slučaj: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.
Usput, gornji primjeri vrijede i za slučaj kada vam je potrebna formula površine pravokutni trapez. Ovo je trapez, čija strana graniči s bazama pod pravim kutom.
Jednakokračni trapez
Trapez čije su stranice jednake naziva se jednakokračan. Razmotrit ćemo nekoliko varijanti formule za područje jednakokračnog trapeza.
Prva opcija: za slučaj kada je unutar jednakokračnog trapeza upisana kružnica polumjera r, a bočna stranica i veća osnovica tvore šiljasti kut α. U trapez se može upisati kružnica pod uvjetom da je zbroj duljina njegovih osnovica jednak zbroju duljina stranica.
Površina jednakokračnog trapeza izračunava se na sljedeći način: pomnožite kvadrat polumjera upisane kružnice s četiri i sve podijelite s sinα: S = 4r 2 /sinα. Druga formula površine je poseban slučaj za opciju kada je kut između velike baze i stranice 30 0: S = 8r2.
Druga opcija: ovaj put uzimamo jednakokračni trapez, u kojem su osim toga nacrtane dijagonale d 1 i d 2, kao i visina h. Ako su dijagonale trapeza međusobno okomite, visina je polovica zbroja osnovica: h = 1/2(a + b). Znajući ovo, lako je pretvoriti formulu površine trapeza koja vam je već poznata u ovaj oblik: S = h2.
Formula za područje krivuljastog trapeza
Počnimo s razumijevanjem: što je zakrivljeni trapez. Zamislimo koordinatnu os i graf kontinuirane i nenegativne funkcije f koja ne mijenja predznak unutar zadanog segmenta na x-osi. Krivuljasti trapez formiran je grafom funkcije y \u003d f (x) - na vrhu, osi x - na dnu (segment), a sa strane - ravnim linijama povučenim između točaka a i b i grafikona funkcije.
Nemoguće je izračunati površinu takve nestandardne figure pomoću gore navedenih metoda. Ovdje trebate primijeniti matematičku analizu i koristiti integral. Naime, Newton-Leibnizova formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). U ovoj formuli F je antiderivacija naše funkcije na odabranom intervalu. A površina krivocrtnog trapeza odgovara prirastu antiderivacije na danom segmentu.
Primjeri zadataka
Kako bi vam sve ove formule bile bolje u glavi, evo nekoliko primjera problema za pronalaženje površine trapeza. Najbolje bi bilo da prvo sami pokušate riješiti probleme, a tek onda dobiveni odgovor provjerite gotovim rješenjem.
Zadatak #1: Zadan je trapez. Njegova veća baza je 11 cm, a manja 4 cm. Trapez ima dijagonale od kojih je jedna duga 12 cm, a druga 9 cm.
Rješenje: Izgradite trapez AMRS. Povucite pravac RX kroz vrh P tako da bude paralelan s dijagonalom MC i siječe pravac AC u točki X. Dobili ste trokut APX.
Razmotrit ćemo dvije figure dobivene kao rezultat ovih manipulacija: trokut APX i paralelogram CMPX.
Zahvaljujući paralelogramu saznajemo da je PX = MC = 12 cm i CX = MP = 4 cm. Gdje možemo izračunati stranicu AX trokuta ARCH: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.
Također možemo dokazati da je trokut ARCH pravokutan (da biste to učinili, primijenite Pitagorin teorem - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). I izračunajte njegovu površinu: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.
Zatim morate dokazati da su trokuti AMP i PCX jednake površine. Osnova će biti jednakost strana MP i CX (već dokazano gore). A također i visine koje spuštate na te strane - jednake su visini AMRS trapeza.
Sve ovo će vam omogućiti da tvrdite da je S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.
Zadatak #2: Zadan je trapez KRMS. Točke O i E nalaze se na njegovim bočnim stranicama, a OE i KS su paralelne. Također je poznato da su površine trapeza ORME i OXE u omjeru 1:5. PM = a i KS = b. Morate pronaći OE.
Rješenje: Nacrtajte pravac kroz točku M paralelno s RK, a točku njegovog sjecišta s OE označite kao T. A - točku presjeka pravca povučenog kroz točku E paralelno s RK s osnovicom KS.
Uvedimo još jednu oznaku - OE = x. Kao i visina h 1 za trokut TME i visina h 2 za trokut AEC (sličnost ovih trokuta možete samostalno dokazati).
Pretpostavit ćemo da je b > a. Površine trapeza ORME i OXE odnose se kao 1:5, što nam daje pravo da sastavimo sljedeću jednadžbu: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Transformirajmo i dobijemo: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).
Budući da su trokuti TME i AEC slični, imamo h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Kombinirajte oba unosa i dobijte: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Dakle, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Zaključak
Geometrija nije najlakša znanost, ali sigurno ćete se snaći s ispitnim zadacima. Potrebno je samo malo strpljenja u pripremi. I, naravno, zapamtite sve potrebne formule.
Potrudili smo se na jednom mjestu prikupiti sve formule za izračunavanje površine trapeza kako biste ih mogli koristiti kada pripremate ispite i ponavljate gradivo.
Obavezno recite svojim kolegama i prijateljima o ovom članku u u društvenim mrežama. Neka bude više dobrih ocjena za Jedinstveni državni ispit i GIA!
blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, veza na izvor je obavezna.