Pe baza semnificației geometrice a integralei ca zonă, putem spune că probabilitatea de îndeplinire a inegalităților este egală cu aria unui trapez curbiliniu cu bază. , delimitat deasupra de curbă (Fig. 6).

Deoarece și pe baza formulei (22)

Folosind formula (22), găsim ca derivată a integralei față de limita superioară a variabilei, considerând densitatea distribuției ca fiind continuă**:

Rețineți că pentru o variabilă aleatoare continuă funcția de distribuție F(x) continuu in orice punct X, unde funcția este continuă. Aceasta rezultă din faptul că F(x) este diferențiabilă în aceste puncte.

Pe baza formulei (23), presupunând x 1 =x, avem

Datorita continuitatii functiei F(x)înţelegem asta

Prin urmare

Astfel, probabilitate Togo, Ce continuu aleatoriu magnitudinea Pot fi accepta orice separa sens X, egal cu zero.

Rezultă că evenimentele constând în îndeplinirea fiecăreia dintre inegalităţi

Au aceeași probabilitate, adică.

De fapt, de exemplu,

Comentariu. După cum știm, dacă un eveniment este imposibil, atunci probabilitatea să apară este zero. Cu definiția clasică a probabilității, atunci când numărul de rezultate ale testului este finit, propoziția inversă este valabilă și: dacă probabilitatea unui eveniment este zero, atunci evenimentul este imposibil, deoarece în acest caz niciunul dintre rezultatele testului nu îl favorizează. În cazul unei variabile aleatoare continue, numărul valorilor sale posibile este infinit. Probabilitatea ca această cantitate să capete o anumită valoare x 1 după cum am văzut, este egal cu zero. Cu toate acestea, nu rezultă din aceasta că acest eveniment este imposibil, deoarece în urma testului variabila aleatoare poate, în special, să ia valoarea x 1 . Prin urmare, în cazul unei variabile aleatoare continue, este logic să vorbim despre probabilitatea ca variabila aleatoare să cadă în interval, și nu despre probabilitatea ca aceasta să capete o anumită valoare.

Deci, de exemplu, când facem o rolă, nu ne interesează probabilitatea ca diametrul acestuia să fie egal cu valoarea nominală. Ceea ce este important pentru noi este probabilitatea ca diametrul rolei să se încadreze în intervalul de toleranță.

Exemplu. Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue este dată după cum urmează:

Graficul funcției este prezentat în Fig. 7. Determinați probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare care satisface inegalitățile. Aflați funcția de distribuție a unei variabile aleatoare date. ( Soluţie)

Următoarele două paragrafe sunt dedicate distribuțiilor de variabile aleatoare continue care sunt adesea întâlnite în practică - distribuții uniforme și normale.

* O funcție se numește continuă pe bucăți pe întreaga linie numerică dacă este fie continuă pe orice segment, fie are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel.

** Regula de diferențiere a unei integrale cu o limită superioară variabilă, derivată în cazul unei limite inferioare finite, rămâne valabilă pentru integralele cu o limită inferioară infinită. De fapt,

Din moment ce integrala

există o valoare constantă.

Variabile aleatorii

Variabile aleatorii înseamnă caracteristicile numerice ale evenimentelor aleatorii. Cu alte cuvinte, variabilele aleatoare sunt rezultate numerice ale experimentelor ale căror valori nu pot fi prezise (la un moment dat) în avans.

De exemplu, următoarele valori pot fi considerate aleatoare:

2. Procentul de băieți dintre copiii născuți într-o anumită maternitate într-o anumită zi.

3. Numărul și aria petelor solare vizibile la un anumit observator în timpul unei anumite zile.

4. Numărul de studenți care au întârziat la această prelegere.

5. Cursul de schimb al dolarului la bursă (să zicem, pe MICEX), deși poate să nu fie atât de „aleatoare” cum pare oamenilor obișnuiți.

6. Numărul de defecțiuni ale echipamentelor într-o anumită zi la o anumită întreprindere.

Variabilele aleatoare sunt împărțite în discrete și continue, în funcție de faptul că mulțimea tuturor valorilor posibile ale caracteristicii corespunzătoare este discretă sau continuă.

Această împărțire este mai degrabă arbitrară, dar utilă atunci când se alege metode adecvate de cercetare. Dacă numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare este finit sau comparabil cu setul tuturor numerelor naturale (adică poate fi renumerotat), atunci variabila aleatoare PDF creată cu versiunea de încercare FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com se numeste discret. Altfel, se numește continuu, deși de fapt se presupune implicit că variabilele aleatoare de fapt continue își iau valoarea într-un interval numeric simplu (segment, interval). De exemplu, variabilele aleatoare date mai sus sub numerele 4 și 6 vor fi discrete și continue – sub numerele 1 și 3 (zone spot). Uneori, o variabilă aleatorie are un caracter mixt. Acesta este, de exemplu, cursul de schimb al dolarului (sau al unei alte monede), care de fapt ia doar un set discret de valori, dar, în același timp, se dovedește a fi convenabil să luăm în considerare că setul valorilor sale este „continuu”.

Variabilele aleatoare pot fi specificate în diferite moduri.

Variabilele aleatoare discrete sunt de obicei specificate de legea lor de distribuție. Aici, fiecare valoare posibilă x1, x2,... a unei variabile aleatoare X este asociată cu probabilitatea p1,p2,... a acestei valori. Rezultatul este un tabel format din două rânduri:

Aceasta este legea distribuției unei variabile aleatoare.

Variabilele aleatoare continue nu pot fi specificate printr-o lege de distribuție, deoarece prin însăși definiția lor valorile nu pot fi renumerotate și, prin urmare, alocarea sub formă de tabel este exclusă aici. Cu toate acestea, pentru variabile aleatoare continue există o altă modalitate de specificare (aplicabilă, de altfel, pentru variabilele discrete) - aceasta este funcția de distribuție:

egală cu probabilitatea evenimentului, care este că variabila aleatoare X va lua o valoare mai mică decât un număr dat x.

Adesea, în locul funcției de distribuție, este convenabil să folosiți o altă funcție - densitatea f(x) a distribuției variabilei aleatoare X. Uneori este numită și funcție de distribuție diferențială, iar F(x) în această terminologie este numită funcție de distribuție cumulativă. Aceste două funcții se determină reciproc folosind următoarele formule:

Dacă variabila aleatoare este discretă, atunci pentru aceasta are sens și conceptul de funcție de distribuție în acest caz, graficul funcției de distribuție este format din secțiuni orizontale, fiecare dintre acestea fiind situată deasupra celei anterioare cu o sumă egală cu pi; .

Exemple importante de cantități discrete sunt, de exemplu, cantitățile distribuite binomial (distribuția Bernoulli), pentru care PDF creat cu versiunea de încercare FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com

n pk(1-p)n-k= !()!

unde p este probabilitatea unui eveniment individual (uneori se numește convențional „probabilitatea de succes”). Așa sunt distribuite rezultatele unei serii de teste omogene secvențiale (schema Bernoulli). Cazul limitativ al distribuției binomiale (pe măsură ce numărul de încercări crește) este distribuția Poisson, pentru care

pk=?k/k!exp(-?),

unde?>0 este un parametru pozitiv.

Cel mai simplu exemplu de distribuție continuă este distribuția uniformă. Are o densitate de distribuție constantă pe segment egală cu 1/(b-a), iar în afara acestui segment densitatea este 0.

Un exemplu extrem de important de distribuție continuă este distribuția normală. Este specificat de doi parametri m şi? (așteptări matematice și abatere standard - vezi mai jos), densitatea sa de distribuție are forma:

1 exp(-(x-m)2/2?2)

Rolul fundamental al distribuției normale în teoria probabilităților se explică prin faptul că, datorită Teoremei Limitei Centrale (CLT), suma unui număr mare de variabile aleatoare care sunt independente pe perechi (vezi mai jos pentru conceptul de independență a aleatoriei). variabile) sau slab dependente se dovedesc a fi aproximativ distribuite conform legii normale. Rezultă că o variabilă aleatoare, a cărei aleatorie este cauzată de impunerea unui număr mare de factori aleatori slab dependenți, poate fi considerată aproximativ ca fiind distribuită normal (indiferent de modul în care au fost distribuiți factorii care o compun). Cu alte cuvinte, legea distribuției normale este foarte universală.

Există mai multe caracteristici numerice care sunt convenabile de utilizat atunci când se studiază variabile aleatoare. Dintre acestea, evidențiem așteptarea matematică

egală cu valoarea medie a variabilei aleatoare, varianță

D(X)=M(X-M(X))2,

egală cu așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la valoarea medie și încă o valoare suplimentară, convenabilă în practică (de aceeași dimensiune ca variabila aleatoare inițială):

numită abatere standard. Vom presupune (fără a specifica acest lucru în continuare) că toate integralele scrise există (adică, converg pe întreaga axă numerică). După cum se știe, dispersia și abaterea standard caracterizează gradul de împrăștiere al unei variabile aleatorii în jurul valorii sale medii. Cu cât este mai mică variația PDF creată cu versiunea de încercare FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com, cu atât valorile variabilei aleatoare sunt mai strâns grupate în jurul valorii sale medii.

De exemplu, valoarea așteptată pentru o distribuție Poisson este ?, pentru o distribuție uniformă este egală cu (a+b)/2, iar pentru o distribuție normală este egală cu m. Varianta pentru distributia Poisson este egala cu?, pentru distributia uniforma (b-a)2/12, iar pentru distributia normala este egala cu?2. În cele ce urmează, vor fi utilizate următoarele proprietăți ale așteptării și dispersiei matematice:

1. M(X+Y)= M(X)+M(Y).

3. D(cX)=c2D(X), unde c este un număr constant arbitrar.

4. D(X+A)=D(A) pentru o constantă arbitrară (nealeatorie) valoare A.

Variabila aleatoare?=U-MU se numește centrată. Din proprietatea 1 rezultă că M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, adică valoarea sa medie este 0 (asta este legat de numele său). Mai mult, în virtutea proprietății 4 avem D(?)=D(U).

Există, de asemenea, o relație utilă care este convenabilă de utilizat în practică pentru calcularea varianței și a cantităților aferente:

5. D(X)=M(X2)-M(X)2

Variabilele aleatoare X și Y sunt numite independente dacă pentru valorile lor arbitrare x și, respectiv, evenimentele și sunt independente. De exemplu, rezultatele măsurării tensiunii în rețeaua electrică și creșterea inginerului șef energetic al întreprinderii vor fi independente (aparent...). Dar puterea acestei rețele electrice și salariul inginerului șef electric la întreprinderi nu mai pot fi întotdeauna considerate independente.

Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt independente, atunci sunt valabile și următoarele proprietăți (ceea ce poate să nu fie valabil pentru variabile aleatoare arbitrare):

5. M(XY)=M(X)M(Y).

6. D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Pe lângă variabilele aleatoare individuale X,Y,..., sunt studiate și sistemele de variabile aleatoare. De exemplu, o pereche (X,Y) de variabile aleatoare poate fi tratată ca o nouă variabilă aleatoare ale cărei valori sunt vectori bidimensionali. Sistemele cu un număr mai mare de variabile aleatoare, numite variabile aleatoare multidimensionale, pot fi considerate în mod similar. Sistemele de mărimi de acest fel sunt specificate și prin funcția lor de distribuție. De exemplu, pentru un sistem de două variabile aleatoare, această funcție are forma

F(x,y)=P,

adică este egală cu probabilitatea evenimentului ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât un număr dat x, iar variabila aleatoare Y să ia o valoare mai mică decât un număr dat y. Această funcție se mai numește și funcție de distribuție comună a variabilelor aleatoare X și Y. Puteți considera și vectorul mediu - un analog natural al așteptării matematice, dar în loc de dispersie trebuie să studiați mai multe caracteristici numerice numite momente de ordinul doi. Acestea sunt, în primul rând, două variații parțiale DX și DY PDF create cu versiunea de încercare FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com ale variabilelor aleatoare X și Y, considerate separat, și, în al doilea rând, momentul de covarianță, discutat mai detaliat mai jos .

Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt independente, atunci

F(x,y)=FX(x)FY(y)

Produsul funcțiilor de distribuție ale variabilelor aleatoare X și Y și, prin urmare, studiul unei perechi de variabile aleatoare independente se reduce în mare măsură la simpla studiere a X și Y separat.

Variabile aleatorii

Mai sus am luat în considerare experimentele ale căror rezultate sunt evenimente aleatorii. Cu toate acestea, este adesea nevoie de a reprezenta cantitativ rezultatele unui experiment sub forma unei anumite cantități, care se numește variabilă aleatorie. O variabilă aleatoare este al doilea (după un eveniment aleatoriu) principal obiect de studiu în teoria probabilității și oferă o modalitate mai generală de a descrie o experiență cu un rezultat aleatoriu decât un set de evenimente aleatoare.

Când luam în considerare experimentele cu rezultate aleatoare, aveam deja de-a face cu variabile aleatorii. Astfel, numărul de succese într-o serie de încercări este un exemplu de variabilă aleatorie. Alte exemple de variabile aleatoare sunt: ​​numărul de apeluri la o centrală telefonică pe unitatea de timp; timp de așteptare pentru următorul apel; numărul de particule cu o energie dată în sistemele de particule luate în considerare în fizica statistică; temperatura medie zilnică într-o zonă dată etc.

O variabilă aleatorie se caracterizează prin faptul că este imposibil să se prezică cu exactitate valoarea pe care o va lua, dar, pe de altă parte, setul valorilor sale posibile este de obicei cunoscut. Deci, pentru numărul de succese dintr-o succesiune de încercări, acest set este finit, deoarece numărul de succese poate lua valori. Setul de valori ale unei variabile aleatoare poate coincide cu semiaxa reală, ca în cazul timpului de așteptare etc.

Să luăm în considerare exemple de experimente cu un rezultat aleatoriu, pentru descrierea cărora sunt de obicei folosite evenimente aleatoare și să introducem o descriere echivalentă prin specificarea unei variabile aleatorii.

1). Lăsați ca rezultatul experienței să fie un eveniment sau eveniment. Atunci acest experiment poate fi asociat cu o variabilă aleatorie care ia două valori, de exemplu, și cu probabilități și, iar egalitățile au loc: și. Astfel, o experiență este caracterizată de două rezultate cu probabilități și, sau aceeași experiență este caracterizată de o variabilă aleatorie care ia două valori și cu probabilități și.

2). Luați în considerare experimentul de a arunca un zar. Aici, rezultatul experimentului poate fi unul dintre evenimente, unde - apariția unei părți cu un număr. Probabilități. Să introducem o descriere echivalentă a acestui experiment folosind o variabilă aleatorie care poate lua valori cu probabilități.

3). O secvență de încercări independente este caracterizată printr-un grup complet de evenimente incompatibile, unde este un eveniment constând din apariția succesului într-o serie de încercări; iar probabilitatea unui eveniment este determinată de formula Bernoulli, adică aici puteți introduce o variabilă aleatorie - numărul de succese, care ia valori cu probabilități. Astfel, o secvență de încercări independente este caracterizată de evenimente aleatoare cu probabilitățile lor sau o variabilă aleatoare cu probabilitățile a ceea ce ia valori.

4). Cu toate acestea, nu pentru fiecare experiment cu un rezultat aleatoriu există o corespondență atât de simplă între o variabilă aleatoare și un set de evenimente aleatoare. De exemplu, luați în considerare un experiment în care un punct este aruncat la întâmplare pe un segment. Aici este firesc să se introducă o variabilă aleatoare - coordonata pe segmentul în care se încadrează punctul. Astfel, putem vorbi despre un eveniment aleatoriu, unde este numărul de. Cu toate acestea, probabilitatea acestui eveniment. Puteți face acest lucru diferit - împărțiți segmentul într-un număr finit de segmente disjunctive și luați în considerare evenimente aleatoare constând în faptul că o variabilă aleatoare ia valori din interval. Atunci probabilitățile sunt cantități finite. Cu toate acestea, această metodă are și un dezavantaj semnificativ, deoarece segmentele sunt selectate în mod arbitrar. Pentru a elimina acest dezavantaj, luați în considerare segmente de formă în care variabila. Atunci probabilitatea corespunzătoare este o funcție a argumentului. Acest lucru complică descrierea matematică a variabilei aleatoare, dar în același timp descrierea (29.1) devine unică, iar ambiguitatea în alegerea segmentelor este eliminată.

Pentru fiecare dintre exemplele luate în considerare, este ușor de definit un spațiu de probabilitate, unde este spațiul evenimentelor elementare, este algebra evenimentelor (submulțimii) și este probabilitatea definită pentru oricare. De exemplu, în ultimul exemplu, - este algebra tuturor segmentelor conținute în.

Exemplele luate în considerare conduc la următoarea definiție a unei variabile aleatoare.

Fie un spațiu de probabilitate. O variabilă aleatorie este o funcție reală cu o singură valoare, definită pe, pentru care setul de evenimente elementare din formă este un eveniment (adică aparține) pentru fiecare număr real.

Astfel, definiția cere ca pentru fiecare real o mulțime, iar această condiție asigură că pentru fiecare este definită probabilitatea unui eveniment. Acest eveniment este de obicei notat printr-o intrare mai scurtă.

Funcția de distribuție a probabilității

Funcția se numește funcție de distribuție a probabilității unei variabile aleatoare.

Funcția este uneori numită pe scurt - funcția de distribuție și, de asemenea, legea integrală a distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare. O funcție este o caracteristică completă a unei variabile aleatoare, adică este o descriere matematică a tuturor proprietăților unei variabile aleatoare și nu există o modalitate mai detaliată de a descrie aceste proprietăți.

Să notăm următoarea caracteristică importantă a definiției (30.1). Adesea, o funcție este definită diferit:

Conform (30.1), funcția este continuă. Această problemă va fi discutată mai detaliat mai jos. Dacă folosim definiția (30.2), atunci - este continuă în stânga, ceea ce este o consecință a aplicării inegalității stricte în relația (30.2). Funcțiile (30.1) și (30.2) sunt descrieri echivalente ale unei variabile aleatoare, deoarece nu contează definiția folosită atât la studierea problemelor teoretice, cât și la rezolvarea problemelor. Pentru certitudine, în cele ce urmează vom folosi doar definiția (30.1).

Să luăm în considerare un exemplu de construire a unui grafic al unei funcții. Fie ca variabila aleatoare să ia valori, cu probabilități, și. Astfel, această variabilă aleatorie ia și alte valori în afară de cele indicate cu probabilitate zero:, pentru orice,. Sau, după cum se spune, o variabilă aleatoare nu poate lua alte valori decât. Să fie pentru certitudine. Să găsim valorile funcției pentru intervalele: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). Pe primul interval, deci funcția de distribuție. 2). Dacă, atunci. În mod evident evenimente aleatorii și incompatibile, așadar, după formula de adunare a probabilităților. Potrivit condiției, evenimentul este imposibil și, a. De aceea. 3). Să fie atunci. Aici este primul termen, iar al doilea, deoarece evenimentul este imposibil. Astfel, pentru oricine îndeplinește condiția. 4). Să fie atunci. 5). Dacă, atunci. 6) Când avem. 7) Dacă, atunci. Rezultatele calculului sunt prezentate în Fig. 30.1 graficul unei funcții. La punctele de întrerupere se indică continuitatea funcției din dreapta.

Proprietățile de bază ale funcției de distribuție a probabilității

Să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcției de distribuție, reieșind direct din definiție:

1. Să introducem notația:. Apoi rezultă din definiție. Aici expresia este considerată ca un eveniment imposibil cu probabilitate zero.

2. Lasă-l. Apoi rezultă din definiția funcției. Un eveniment aleatoriu este de încredere și probabilitatea sa este egală cu unu.

3. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu constând în faptul că o variabilă aleatoare ia o valoare din intervalul la este determinată prin funcție de următoarea egalitate

Pentru a demonstra această egalitate, luați în considerare relația.

Evenimentele și sunt incompatibile, prin urmare, conform formulei de adunare a probabilităților din (31.3) rezultă că și coincide cu formula (31.2), întrucât și.

4. Funcția este nedescrescătoare. Pentru dovada, sa ne uitam la. În acest caz, egalitatea (31.2) este valabilă. Partea sa stângă se datorează faptului că probabilitatea ia valori din interval. Prin urmare, partea dreaptă a egalității (31.2) este nenegativă:, sau. Această egalitate se obține cu condiția, prin urmare, este o funcție nedescrescătoare.

5. Funcția este continuă în fiecare punct, adică.

unde este orice secvență care tinde spre dreapta, adică Şi.

Pentru a demonstra acest lucru, să reprezentăm funcția ca:

Acum, pe baza axiomei aditivității numărabile a probabilității, expresia dintre paranteze este egală, dovedind astfel continuitatea corectă a funcției.

Astfel, fiecare funcție de distribuție a probabilității are proprietăți 1-5. Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă îndeplinește condițiile 1-5, atunci poate fi considerată ca o funcție de distribuție a unei variabile aleatoare.

Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare discrete

O variabilă aleatoare se numește discretă dacă mulțimea valorilor sale este finită sau numărabilă.

Pentru o descriere probabilistică completă a unei variabile aleatoare discrete care ia valori, este suficient să se specifice probabilitățile ca variabila aleatoare să ia o valoare. Dacă și sunt date, atunci funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare discrete poate fi reprezentată ca:

Aici însumarea se realizează asupra tuturor indicilor care îndeplinesc condiția.

Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare discrete este uneori reprezentată prin așa-numita funcție de salt unitar.

În acest caz, ea ia forma dacă variabila aleatoare ia un set finit de valori, iar limita superioară de însumare din (32.4) este setată să fie egală dacă variabila aleatoare ia un set numărabil de valori.

Un exemplu de construire a unui grafic al funcțiilor de distribuție a probabilității ale unei variabile aleatoare discrete a fost luat în considerare la punctul 30.

Densitatea distribuției probabilităților

Fie ca o variabilă aleatorie să aibă o funcție de distribuție a probabilității diferențiabilă, atunci funcția se numește densitatea distribuției de probabilitate (sau densitatea de probabilitate) a variabilei aleatoare, iar variabila aleatoare se numește variabilă aleatoare continuă.

Să luăm în considerare proprietățile de bază ale densității de probabilitate.

Din definiția derivatei rezultă egalitatea:

Conform proprietăților funcției, egalitatea este valabilă. Prin urmare (33.2) ia forma:

Această relație explică numele funcției. Într-adevăr, conform (33.3), funcția este probabilitatea pe unitatea de interval în punctul, deoarece. Astfel, densitatea de probabilitate definită prin relația (33.3) este similară cu definițiile densităților altor mărimi cunoscute în fizică, cum ar fi densitatea de curent, densitatea materiei, densitatea de sarcină etc.

2. Deoarece este o funcție nedescrescătoare, derivata sa este o funcție nenegativă:

3. Rezultă din (33.1), întrucât. Astfel, egalitatea este adevărată

4. Deoarece, rezultă din relația (33.5)

O egalitate numită condiție de normalizare. Partea sa stângă este probabilitatea unui anumit eveniment.

5. Lăsați apoi să urmeze din (33.1)

Această relație este importantă pentru aplicații deoarece permite să se calculeze probabilitatea prin funcția de densitate a probabilității sau prin funcția de distribuție a probabilității. Dacă o punem, atunci relația (33.6) decurge din (33.7).

În fig. Figura 33.1 prezintă exemple de funcții de distribuție și grafice de densitate de probabilitate.

Rețineți că densitatea distribuției de probabilitate poate avea mai multe maxime. Valoarea argumentului la care densitatea are un maxim se numește modul de distribuție a variabilei aleatoare. Dacă densitatea are mai multe moduri, se numește multimodală.

Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete

distribuție densitate de probabilitate discretă

Lăsați variabila aleatoare să ia valori cu probabilități. Atunci funcția sa de distribuție a probabilității este unde este funcția de salt al unității. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare poate fi determinată din funcția de distribuție a acesteia, ținând cont de egalitate. Cu toate acestea, dificultăți matematice apar în acest caz datorită faptului că funcția de salt unitar inclusă în (34.1) are o discontinuitate de primul fel la. Prin urmare, nu există o derivată a funcției într-un punct.

Pentru a depăși această complexitate, este introdusă funcția -. Funcția de salt al unității poate fi reprezentată prin funcția - prin următoarea egalitate:

Apoi, formal, derivata și densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete sunt determinate din relația (34.1) ca derivată a funcției:

Funcția (34.4) are toate proprietățile unei densități de probabilitate. Să ne uităm la un exemplu. Fie ca o variabilă aleatorie discretă să ia valori cu probabilități și fie,. Apoi, probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia o valoare din segment poate fi calculată pe baza proprietăților generale ale densității folosind formula:

Aici, deoarece punctul singular al funcției determinat de condiție este situat în interiorul domeniului de integrare la, iar la punctul singular este situat în afara domeniului de integrare. Astfel.

Pentru funcția (34.4) este îndeplinită și condiția de normalizare:

Rețineți că în matematică, o notație a formei (34.4) este considerată incorectă (incorectă), iar notația (34.2) este considerată corectă. Acest lucru se datorează faptului că - este o funcție cu un argument zero și se spune că nu există. Pe de altă parte, în (34.2) funcția este conținută sub integrală. Mai mult, partea dreaptă a lui (34.2) este o valoare finită pentru orice, i.e. integrala funcţiei - există. În ciuda acestui fapt, în fizică, tehnologie și alte aplicații ale teoriei probabilităților, este adesea folosită reprezentarea densității în forma (34.4), care, în primul rând, permite obținerea de rezultate corecte folosind proprietăți - funcții și, în al doilea rând, are o evidentă fizică. interpretare.

Exemple de densități și funcții de distribuție a probabilității

35.1. Se spune că o variabilă aleatorie este distribuită uniform pe un interval dacă densitatea sa de distribuție a probabilității

unde este numărul determinat din condiția de normalizare:

Înlocuirea lui (35.1) în (35.2) conduce la egalitate, a cărei soluție are forma:.

Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare distribuite uniform poate fi găsită folosind formula (33.5), care determină prin densitate:

În fig. Figura 35.1 prezintă grafice ale funcțiilor și o variabilă aleatoare distribuită uniform.

35.2. O variabilă aleatoare se numește normală (sau gaussiană) dacă densitatea distribuției sale de probabilitate este:

unde sunt numerele numite parametrii funcției. Când funcția își ia valoarea maximă:. Parametrul are semnificația lățimii efective. Pe lângă această interpretare geometrică, parametrii au și o interpretare probabilistică, despre care vom discuta mai târziu.

Din (35.4) urmează expresia funcției de distribuție a probabilității

unde este funcția Laplace. În fig. 35.2 prezintă grafice ale funcțiilor și o variabilă aleatorie normală. Notația este adesea folosită pentru a indica faptul că o variabilă aleatoare are o distribuție normală cu parametri.

35.3. O variabilă aleatorie are o funcție de densitate de probabilitate Cauchy dacă

Această densitate corespunde funcției de distribuție

35.4. Se spune că o variabilă aleatorie este distribuită conform unei legi exponențiale dacă densitatea sa de distribuție a probabilității are forma:

Să determinăm funcția de distribuție a probabilității. Când rezultă din (35.8). Dacă, atunci

35.5. Distribuția de probabilitate Rayleigh a unei variabile aleatoare este determinată de o densitate a formei

Această densitate corespunde unei funcții de distribuție a probabilității at și egală cu at.

35.6. Să luăm în considerare exemple de construcție a funcției de distribuție și a densității unei variabile aleatoare discrete. Fie variabila aleatoare numărul de succese dintr-o succesiune de încercări independente. Apoi variabila aleatoare ia valori cu o probabilitate determinată de formula lui Bernoulli:

unde, sunt probabilitățile de succes și eșec într-un experiment. Astfel, funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare are forma

unde este funcția de salt al unității. De aici densitatea distribuției:

unde este funcția delta.

Variabile aleatoare singulare

Pe lângă variabilele aleatoare discrete și continue, există și așa-numitele variabile aleatoare singulare. Aceste variabile aleatoare se caracterizează prin faptul că funcția lor de distribuție a probabilității este continuă, dar punctele de creștere formează un set de măsură zero. Punctul de creștere al unei funcții este valoarea argumentului acesteia astfel încât derivata.

Astfel, aproape peste tot în domeniul definirii funcției. O funcție care îndeplinește această condiție este numită și singulară. Un exemplu de funcție de distribuție singulară este curba Cantor (Fig. 36.1), care este construită după cum urmează. Se bazează pe și pe. Apoi intervalul este împărțit în trei părți egale (segmente) și valoarea este determinată pentru segmentul interior - ca o jumătate de sumă a valorilor deja determinate în cele mai apropiate segmente la dreapta și la stânga. În acest moment, funcția este definită pentru, valoarea sa și pentru cu o valoare. Jumătatea acestor valori este egală cu și determină valoarea pe segmentul interior. Apoi se iau în considerare segmentele și fiecare dintre ele este împărțit în trei segmente egale, iar funcția este determinată pe segmentele interne ca jumătate de sumă a valorilor funcției date cele mai apropiate de dreapta și stânga. Astfel, când funcția este ca o jumătate de sumă a numerelor și. La fel și la funcția interval. Funcția este apoi definită pe intervalul pe care etc.

Documente similare

Variabile aleatorii. Funcția și densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete. Variabile aleatoare singulare. Așteptările matematice ale unei variabile aleatorii. inegalitatea lui Cebyshev. Momente, cumulante și funcție caracteristică.

rezumat, adăugat la 12.03.2007


Concepte de teoria probabilităților și statistică matematică, aplicarea lor în practică. Definiția unei variabile aleatoare. Tipuri și exemple de variabile aleatoare. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete. Legile distribuției unei variabile aleatoare continue.

rezumat, adăugat 25.10.2015


Probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să cadă într-un interval dat. Reprezentarea grafică a funcției de distribuție a unei variabile aleatoare. Determinarea probabilității ca un produs luat la întâmplare să îndeplinească standardul. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete.

test, adaugat 24.01.2013


Variabile aleatoare discrete și distribuțiile lor. Formula probabilității totale și formula Bayes. Proprietăți generale ale așteptărilor matematice. Varianta unei variabile aleatoare. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare. Definiția clasică a probabilității.

test, adaugat 13.12.2010


Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue, densitatea distribuției de probabilitate a sistemului. Covarianta. Coeficientul de corelare.

munca de laborator, adaugat 19.08.2002


Caracteristicile distribuției funcționează ca cea mai universală caracteristică a unei variabile aleatorii. Descrierea proprietăților sale, reprezentarea lor folosind interpretarea geometrică. Regularități de calcul a probabilității de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.

prezentare, adaugat 11.01.2013


Determinarea probabilităților diferitelor evenimente folosind formula lui Bernoulli. Întocmirea legii de distribuție a unei variabile aleatoare discrete, calcularea așteptării matematice, a dispersiei și a abaterii standard a variabilei aleatoare, a densităților de probabilitate.

test, adaugat 31.10.2013


Folosind formula lui Bernoulli pentru a afla probabilitatea producerii unui eveniment. Trasarea unui grafic al unei variabile aleatoare discrete. Aşteptări matematice şi proprietăţi ale funcţiei de distribuţie integrală. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue.

test, adaugat 29.01.2014


Teoria probabilității și modele ale fenomenelor aleatorii de masă. Inegalitatea și teorema lui Cebyșev. Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii. Densitatea de distribuție și transformata Fourier. Funcția caracteristică a unei variabile aleatoare gaussiene.

rezumat, adăugat 24.01.2011


Calculul așteptărilor matematice, varianței, funcției de distribuție și abaterii standard a unei variabile aleatoare. Legea distribuției unei variabile aleatoare. Definiția clasică a probabilității unui eveniment. Găsirea densității de distribuție.

Fie specificată o variabilă aleatoare continuă X de către funcția de distribuție F(X) . Să presupunem că toate valorile posibile ale variabilei aleatoare aparțin segmentului [ O, B].

Definiţie. Așteptări matematice o variabilă aleatoare continuă X, ale cărei valori posibile aparțin segmentului, se numește integrală definită

Dacă valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt luate în considerare pe întreaga axă numerică, atunci așteptarea matematică se găsește prin formula:

În acest caz, desigur, se presupune că integrala improprie converge.

Definiţie. Varianta a unei variabile aleatoare continue este așteptarea matematică a pătratului abaterii acesteia.

Prin analogie cu varianța unei variabile aleatoare discrete, pentru a calcula practic varianța, se utilizează formula:

Definiţie. Abaterea standard Denumită rădăcină pătrată a varianței.

Definiţie. Modă M0 al unei variabile aleatoare discrete se numește valoarea sa cea mai probabilă. Pentru o variabilă aleatoare continuă, modul este valoarea variabilei aleatoare la care densitatea de distribuție are un maxim.

Dacă poligonul de distribuție pentru o variabilă aleatoare discretă sau curba de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă are două sau mai multe maxime, atunci o astfel de distribuție se numește Bimodal sau Multimodal.

Dacă o distribuție are un minim, dar nu un maxim, atunci este numită Antimodal.

Definiţie. Median MD al unei variabile aleatoare X este valoarea acesteia în raport cu care este la fel de probabil să se obțină o valoare mai mare sau mai mică a variabilei aleatoare.

Geometric, mediana este abscisa punctului în care aria limitată de curba de distribuție este împărțită la jumătate.

Rețineți că dacă distribuția este unimodală, atunci modul și mediana coincid cu așteptarea matematică.

Definiţie. Momentul de pornire Despre K O variabilă aleatoare X este așteptarea matematică a valorii X K.

Pentru o variabilă aleatoare discretă: .

.

Momentul inițial de ordinul întâi este egal cu așteptarea matematică.

Definiţie. Moment central Despre K variabila aleatoare X este așteptarea matematică a valorii

Pentru o variabilă aleatoare discretă: .

Pentru o variabilă aleatoare continuă: .

Momentul central de ordinul întâi este întotdeauna zero, iar momentul central de ordinul doi este egal cu dispersia. Momentul central de ordinul trei caracterizează asimetria distribuției.

Definiţie. Se numește raportul dintre momentul central de ordinul al treilea și deviația standard și a treia putere Coeficient de asimetrie.

Definiţie. Pentru a caracteriza vârful și planeitatea distribuției, o cantitate numită Exces.

Pe lângă cantitățile luate în considerare, se mai folosesc așa-numitele momente absolute:

Moment de pornire absolut: .

Moment central absolut: .

Momentul central absolut de ordinul întâi se numește Abaterea medie aritmetică.

Exemplu. Pentru exemplul discutat mai sus, determinați așteptarea matematică și varianța variabilei aleatoare X.

Exemplu.Într-o urnă sunt 6 bile albe și 4 negre. O minge este scoasă din ea de cinci ori la rând și de fiecare dată bila îndepărtată este returnată înapoi și bilele sunt amestecate. Luând numărul de bile albe extrase ca variabilă aleatoare X, se întocmește o lege de distribuție pentru această valoare, se determină așteptarea matematică și dispersia acesteia.

Deoarece bilele din fiecare experiment revin și sunt amestecate, testele pot fi considerate independente (rezultatul experimentului anterior nu afectează probabilitatea apariției sau neapariției unui eveniment într-un alt experiment).

Astfel, probabilitatea ca o minge albă să apară în fiecare experiment este constantă și egală cu

Astfel, în urma a cinci încercări consecutive, mingea albă poate să nu apară deloc, sau să apară o dată, de două ori, de trei, de patru sau de cinci ori.

Pentru a elabora o lege de distribuție, trebuie să găsiți probabilitățile fiecăruia dintre aceste evenimente.

1) Bila albă nu a apărut deloc:

2) Bila albă a apărut o dată:

3) Bila albă va apărea de două ori: .

4) Bila albă va apărea de trei ori:

Variabile aleatorii.

În matematică magnitudinea este denumirea generală a diferitelor caracteristici cantitative ale obiectelor și fenomenelor. Lungimea, suprafața, temperatura, presiunea etc. sunt exemple de cantități diferite.

O cantitate care ia diferit se numesc valori numerice sub influența unor circumstanțe aleatorii variabilă aleatoare. Exemple de variabile aleatoare: 1) numărul de pacienți care așteaptă să vadă un medic, 2) dimensiunile exacte ale organelor interne ale oamenilor etc.

Există variabile aleatoare discrete și continue.

Variabila aleatoare se numește discretă, dacă acceptă doar anumite valori separate care pot fi setate și enumerate.

Exemple:

1) numărul de studenți din audiență – poate fi doar un număr întreg pozitiv:

0,1,2,3,4….. 20…..

2) numărul care apare pe fața de sus la aruncarea unui zar - poate lua numai valori întregi de la 1 la 6.

3) frecvența relativă de lovire a țintei cu 10 lovituri - valorile acesteia:

0; 0,1; 0,2; 0,3 ….. 1

4) numărul de evenimente care au loc în aceleași perioade de timp: ritmul cardiac, numărul de apeluri la ambulanță pe oră, numărul de operații pe lună cu un rezultat fatal etc.

Variabila aleatoare se numește continuă dacă poate lua orice valori într-un anumit interval, care uneori are limite clar definite, iar dacă nu sunt cunoscute, atunci se consideră că valorile variabilei aleatoare X se află în interval (-¥; ¥).. Aleatoriu continuu variabilele includ, de exemplu, temperatura, presiunea, greutatea și înălțimea oamenilor, dimensiunea celulelor sanguine, pH-ul sângelui etc.

Conceptul de variabilă aleatoare joacă un rol decisiv în teoria probabilității moderne, care a dezvoltat tehnici speciale pentru trecerea de la evenimente aleatoare la variabile aleatoare.

Dacă o variabilă aleatoare depinde de timp, atunci putem vorbi despre un proces aleatoriu.

3.1. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

Pentru a oferi o descriere completă a unei variabile aleatoare discrete, este necesar să se indice toate valorile posibile ale acesteia și probabilitățile acestora.

Se numește corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete și probabilitățile acestora legea distribuţiei acestei cantităţi.

Să notăm valorile posibile ale variabilei aleatoare X cu xi, iar probabilitățile corespunzătoare cu pi*. Atunci legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete poate fi specificată în trei moduri: sub forma unui tabel, grafic sau formulă.

1. În tabel, care se numește aproape de distribuție, Toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete X și valorile de probabilitate corespunzătoare P(X) sunt enumerate:

Tabelul 3.1.

X

În acest caz, suma tuturor probabilităților pi trebuie să fie egală cu unu ( starea de normalizare):

рi = p1 + p2 +...+pn=

2. Grafic- sub forma unei linii întrerupte, care se numește de obicei poligon de distribuție(Fig. 3.1). Aici, toate valorile posibile ale variabilei aleatoare Xi sunt reprezentate de-a lungul axei orizontale, iar probabilitățile corespunzătoare pi sunt reprezentate de-a lungul axei verticale.

3. Analitic- sub forma unei formule: De exemplu, dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este egală cu p, atunci probabilitatea unei rateuri cu o lovitură este q = 1 – p, iar probabilitatea de a lovi ținta de 1 dată cu n lovituri este dată de formula: P(n) = qn-1×p,

3.2. Legea distribuției unei variabile aleatoare continue. Densitatea distribuției probabilităților.

Pentru variabilele aleatoare continue, este imposibil să se aplice legea distribuției în formele prezentate mai sus, deoarece o variabilă continuă are un set nenumărat („nenumărabil”) de valori posibile care umple complet un anumit interval. Prin urmare, este imposibil să creați un tabel care să enumere toate valorile sale posibile sau să construiți un poligon de distribuție. În plus, probabilitatea unei anumite valori este foarte mică (aproape de 0). În același timp, diferite zone (intervale) ale valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue nu sunt de obicei la fel de probabile. Astfel, și aici există o anumită lege a distribuției, deși nu în sensul anterior.

Să luăm în considerare o variabilă aleatoare continuă X, ale cărei valori posibile umple complet un anumit interval (a, b)*. Drept distribuții de probabilitate a unei astfel de valori ar trebui să ne permită să găsim probabilitatea ca valoarea ei să se încadreze în orice interval dat (x1, x2) aflat în interiorul (a, b*) (Fig. 3.2.)

Această probabilitate este notată cu P(x1<Х< х2), или Р(х1 £ Х £ х2).

Să luăm în considerare mai întâi interval foarte mic valori de la x la (x + Dx) (vezi Fig. 3.2.) Probabilitatea mică dP ca variabila aleatoare X să ia o anumită valoare din acest interval mic (x, x + Dx) va fi proporțională cu valoarea acestui intervalul Dx: dР ~ Dх, sau, introducând coeficientul de proporționalitate f, care el însuși poate depinde de x, obținem:

dP = f(x) × Dx. (3,2)

Funcția pe care am introdus-o aici f(x) numit densitatea distribuției de probabilitate variabila aleatoare X sau, pe scurt, densitatea de probabilitate (densitatea distribuției). Ecuația (3.2) poate fi considerată ca o ecuație diferențială și atunci probabilitatea de lovire a fost condusă. rangurile X în intervalul (x1, x2) este egal cu:

P (x1< Х < х2) = f(x) dx. (3.3)

Grafic, această probabilitate P (x1< Х < х2) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой f(x)și drepte X = x1 și X = x2 (vezi fig. 3.3), care rezultă din sensul geometric al integralei definite (3.3). Curba f(x) in acest caz se numeste curba de distributie.

Din (3.3) este clar că dacă funcția este cunoscută f(x), apoi prin modificarea limitelor de integrare, puteți găsi probabilitatea pentru orice intervale de interes. Prin urmare este atribuirea de funcții f(x) determină complet legea distribuției pentru variabile aleatoare continue X.

Pentru densitatea distribuției de probabilitate f(x) trebuie să fie satisfăcută starea de normalizare sub forma:

f(x)dx = 1, (3.4)

dacă se știe că toate valorile lui X se află în intervalul (a, b) sau sub forma:

f(x) dx = 1, (3,5)

dacă limitele intervalului pentru valorile X nu sunt cunoscute cu precizie. Condițiile pentru normalizarea densității de probabilitate (3.4) sau (3.5) sunt o consecință a faptului că valorile variabilei aleatoare X în mod fiabil se află în (a, b) sau (-¥, +¥). Din (3.4) și (3.5) rezultă că Aria figurii delimitată de curba de distribuție și de axa x este întotdeauna egală cu 1.

Rezultatele prezentate în paragrafele 3.1 și 3.2 arată că legile distribuției lor oferă o descriere completă a variabilelor aleatoare discrete sau continue.

Cu toate acestea, în multe situații practic semnificative folosesc așa-numitele caracteristici numerice variabile aleatoare, al căror scop principal este de a exprima într-o formă concisă cele mai semnificative trăsături ale distribuției lor. Este important ca acești parametri să reprezinte valori specifice (constante)., care poate fi evaluată folosind datele obținute în experimente. Aceste evaluări sunt efectuate de așa-numita „Statistică descriptivă”.

În teoria probabilităților și statistica matematică, sunt folosite destul de multe caracteristici diferite, aici le considerăm pe cele mai frecvent utilizate. Numai pentru unele dintre ele sunt date formulele prin care se calculează valorile lor, în alte cazuri, vom lăsa calculele pe seama computerului.

3.3.1 Caracteristicile poziției: așteptare matematică, mod, mediană.

Ele caracterizează poziția unei variabile aleatoare pe axa numerică, adică indică unele dintre valorile sale importante care caracterizează distribuția altor valori. Dintre acestea, cel mai important rol îl joacă așteptarea matematică M(X).

O). Matematic așteptare M(X) variabila aleatoare X este un analog probabilist al mediei sale aritmetice.

Pentru o variabilă aleatorie discretă, aceasta se calculează prin formula:

М(Х) = х1р1 + х2р2 + … + хnрn = = , (3.6)

iar în cazul unei variabile aleatoare continue M(X) sunt determinate de formulele:

M(X) = sau M(X) = (3,7)

unde f(x) este densitatea de probabilitate, dP= f(x)dx este elementul de probabilitate (analog cu pi) pentru un interval mic Dx (dx).

Exemplu. Calculați valoarea medie a unei variabile aleatoare continue care are o distribuție uniformă pe intervalul (a, b).

Soluţie: Cu o distribuție uniformă, densitatea de probabilitate pe intervalul (a, b) este constantă, adică f(x) = fo = const, iar în afara (a, b) este egală cu zero, iar din condiția de normalizare (4.3) găsim valoarea lui f0:

F0= f0 × x | = (b-a)f0 , de unde

M(X) = | = = (a + b).

Astfel, așteptarea matematică M(X) coincide cu mijlocul intervalului (a, b), definind , adică = M(X) = .

B). Modul Mo(X) al unei variabile aleatoare discrete sună-o valoarea cel mai probabil(Fig. 3.4, a), a continuu- sens X, la care densitate probabilități maxim(Fig. 3.4, b).

V). O altă caracteristică a postului este median (Meh) distribuția unei variabile aleatoare.

Median Blană) o variabilă aleatoare se numește valoarea ei X, care împarte întreaga distribuție în două părți la fel de probabile. Cu alte cuvinte, pentru o variabilă aleatorie aceeași probabil accepta valori mai puțin decât mine (X) sau mai mult Eu(X): P(X< Ме) = Р(Х >Eu) = .

Prin urmare, mediana poate fi calculată din ecuația:

(3.8)

Grafic, mediana este valoarea unei variabile aleatoare a cărei ordonată se împarte pătrat, limitat de curba de distribuție, la jumătate (S1 = S2) (Fig. 3.4, c). Această caracteristică este de obicei folosită numai pentru variabile aleatoare continue, deși poate fi definit formal pentru X discret.

Dacă M(X), Mo(X) și Me(X) coincid, atunci se numește distribuția variabilei aleatoare simetric, altfel - asimetric.

Caracteristici de împrăștiere– dispersia și abaterea standard (deviația pătrată medie).

DispersiaD (X) variabila aleatoare X este definită ca așteptarea matematică a abaterii pătrate a lui X aleatoare de la așteptarea sa matematică M(X):

D(X) = M2, (3,9)

sau D (X) = M (X2) – a)

Prin urmare pentru discret varianța variabilei aleatoare este calculată folosind formulele:

D(X) = [хi – М(Х)]2 рi sau D(X) = Хi2 рi –

iar pentru o valoare continuă distribuită în intervalul (a, b):

a pentru intervalul (-∞,∞):

D (X) = 2 f(x)dx sau D (X) = x2 f(x)dx –

Dispersia caracterizează dispersia medie, împrăștierea valorilor variabilei aleatoare X în raport cu așteptarea sa matematică. Cuvântul „dispersie” în sine înseamnă „împrăștiere”.

Dar dispersia D(X) are dimensiunea pătratului unei variabile aleatoare, ceea ce este foarte incomod atunci când se estimează dispersia în aplicații fizice, biologice, medicale și alte aplicații. Prin urmare, de obicei folosesc un alt parametru, a cărui dimensiune coincide cu dimensiunea lui X. Aceasta pătrat mediu abatere variabila aleatoare X, care se notează cu s(X):

s(X) = (3.13)

Deci, așteptări matematice, mod, mediană, varianță și abatere standard sunt cele mai folosite caracteristicile numerice ale distribuțiilor de variabile aleatoare, fiecare dintre acestea, după cum sa arătat, exprimă o proprietate caracteristică a acestei distribuții.

3.4. Legea distribuției normale a variabilelor aleatoare

Legea distribuției normale(Legea lui Gauss) joacă un rol extrem de important în teoria probabilității. În primul rând, aceasta este legea distribuției variabilelor aleatoare continue cel mai des întâlnită în practică. În al doilea rând, el este extrem drept, în sensul că în anumite condiţii o abordează alte legi de distribuţie.

Legea normală distribuția este caracterizată de următoarea formulă pentru densitatea de probabilitate:

, (3.13)

Aici x sunt valorile curente ale variabilei aleatoare X și M(X) și s- așteptarea sa matematică și abaterea standard, care determină complet funcția f(x). Astfel, dacă o variabilă aleatoare este distribuită conform unei legi normale, atunci este suficient să cunoaștem doar doi parametri numerici: M(X) și s, pentru a cunoaște pe deplin legea distribuției sale (3.13). Se numește graficul funcției (3.13). curba normala distributie(curba gaussiana). Are o formă simetrică în raport cu ordonata x = M(X). Densitatea maximă de probabilitate, egală cu „, corespunde așteptării matematice `X = M(X), iar pe măsură ce ne îndepărtăm de ea, densitatea de probabilitate f(x) scade simetric, apropiindu-se treptat de zero (Fig. Modificarea valorii a lui M(X) din (3.13) nu modifică forma curbei normale, ci doar duce la deplasarea acesteia de-a lungul axei absciselor. Valoarea M(X) este numită și centrul de împrăștiere și abaterea standard. s caracterizează lăţimea curbei de distribuţie (vezi Fig. 3.6).

Odata cu cresterea s ordonata maximă a curbei scade, iar curba în sine devine mai plată, întinzându-se de-a lungul axei absciselor, în timp ce cu o scădere s curba se întinde în sus în timp ce simultan se comprimă din lateral (Fig. 6).

Desigur, pentru orice valoare a lui M(X) și s, aria delimitată de curba normală și axa X rămâne egală cu 1 (condiția de normalizare):

f(x) dx = 1 sau f(x) dx =

Distribuția normală este simetrică, deci M(X) = Mo(X) = Me(X).

Probabilitatea ca valorile variabilei aleatoare X să se încadreze în intervalul (x1,x2), adică P (x1< Х< x2) равна

P (x1< Х < x2) = . (3.15)

În practică, întâlnim adesea problema de a găsi probabilitatea ca valorile unei variabile aleatoare distribuite normal să se încadreze într-un interval simetric în raport cu M(X). În special, să luăm în considerare următoarea problemă, care este importantă din punct de vedere practic. Să trasăm segmentele egale cu s, 2s și 3s din M(X) la dreapta și la stânga (Fig. 7) și luăm în considerare rezultatul calculării probabilității ca X să cadă în intervalele corespunzătoare:

P (M(X) - s < Х < М(Х) + s) = 0,6827 = 68,27%. (3.16)

P (M(X) - 2s< Х < М(Х) + 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (3.17)

P (M(X) - 3s< Х < М(Х) + 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (3.18)

Din (3.18) rezultă că valorile unei variabile aleatoare X distribuite normal cu parametrii M(X) și s cu probabilitate P = 99,73% se află în intervalul M(X) ± 3s, altfel aproape toate valorile posibile din această variabilă aleatoare se încadrează în mărimile acestui interval. Această metodă de estimare a intervalului de valori posibile ale unei variabile aleatoare este cunoscută sub numele de „regula celor trei sigma”.

Exemplu. Se știe că pentru oameni, pH-ul sângelui este o valoare distribuită în mod normal, cu o valoare medie (așteptări matematice) de 7,4 și o abatere standard de 0,2. Determinați intervalul de valori posibile pentru acest parametru.

Soluţie: Pentru a răspunde la această întrebare, vom folosi „regula celor trei sigma”. Cu o probabilitate de 99,73%, se poate afirma că intervalul valorilor pH-ului pentru oameni este de 7,4 ± 3·0,2, adică 6,8÷8.

* Dacă valorile exacte ale limitelor intervalului sunt necunoscute, atunci luați în considerare intervalul (-¥, + ¥).

VARIABILE ALEATORII UNICOMENSIONALE

Conceptul de variabilă aleatoare. Variabile aleatoare discrete și continue. Funcția de distribuție a probabilității și proprietățile acesteia. Densitatea distribuției probabilității și proprietățile acesteia. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare: așteptarea matematică, dispersia și proprietățile acestora, abaterea standard, modul și mediana; momente inițiale și centrale, asimetrie și curtoză.

1. Conceptul de variabilă aleatoare.

Aleatoriu este o cantitate care, în urma testării, capătă una sau alta (dar doar una) valoare posibilă, cunoscută dinainte, variind de la test la test și în funcție de circumstanțe aleatorii. Spre deosebire de un eveniment aleatoriu, care este o caracteristică calitativă a unui rezultat de testare aleatoriu, o variabilă aleatoare caracterizează rezultatul testului din punct de vedere cantitativ. Exemplele de variabile aleatoare includ dimensiunea piesei de prelucrat, eroarea rezultatului măsurării oricărui parametru al unui produs sau al mediului. Dintre variabilele aleatoare întâlnite în practică, se pot distinge două tipuri principale: variabilele discrete și cele continue.

Discret este o variabilă aleatorie care ia un set de valori numărabile finit sau infinit. De exemplu, rata de lovituri cu trei lovituri; numărul de produse defecte într-un lot de bucăți; numarul de apeluri primite la centrala telefonica in timpul zilei; numărul de defecțiuni ale elementelor dispozitivului într-o anumită perioadă de timp atunci când se testează fiabilitatea acestuia; numărul de lovituri până la prima lovitură asupra țintei etc.

Continuu este o variabilă aleatoare care poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit. Evident, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit. De exemplu, o eroare la măsurarea razei radar; timpul de funcționare al microcircuitului; eroarea de fabricație a pieselor; concentrația de sare în apa de mare etc.

Variabilele aleatoare sunt de obicei notate cu literele , etc., iar valorile lor posibile - etc. Pentru a specifica o variabilă aleatoare, nu este suficient să enumerați toate valorile posibile ale acesteia. De asemenea, este necesar să se știe cât de des pot apărea anumite dintre valorile sale ca urmare a testelor în aceleași condiții, adică este necesar să se stabilească probabilitățile de apariție a acestora. Setul tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare ale acestora constituie distribuția variabilei aleatoare.

2. Legile distribuției variabilelor aleatoare.

Legea distribuției O variabilă aleatoare este orice corespondență între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare. Se spune că o variabilă aleatorie respectă o lege de distribuție dată. Sunt numite două variabile aleatoare independent, dacă legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valori posibile a luat cealaltă cantitate. În caz contrar, variabilele aleatoare sunt apelate dependente. Sunt numite mai multe variabile aleatoare independent reciproc, dacă legile de distribuție a oricărui număr dintre ele nu depind de ce valori posibile au luat celelalte cantități.

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare poate fi specificată sub forma unui tabel, sub forma unei funcții de distribuție sau sub forma unei densități de distribuție. Un tabel care conține valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare este cea mai simplă formă de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare:

O atribuire tabelară a legii distribuției poate fi utilizată numai pentru o variabilă aleatoare discretă cu un număr finit de valori posibile. Forma tabelară de specificare a legii unei variabile aleatoare se mai numește și serie de distribuție.

Pentru claritate, seria de distribuție este prezentată grafic. Când sunt afișate grafic într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt reprezentate de-a lungul axei absciselor, iar probabilitățile corespunzătoare sunt reprezentate de-a lungul axei ordonatelor. Apoi construiesc puncte și le conectează cu segmente drepte. Cifra rezultată se numește poligon de distribuție(Fig. 5). Trebuie amintit că conectarea vârfurilor ordonatelor se face numai din motive de claritate, deoarece în intervalele dintre și, și, etc., o variabilă aleatorie nu poate lua valori, prin urmare probabilitățile de apariție a acesteia în aceste intervale sunt egale cu zero.

Un poligon de distribuție, ca și o serie de distribuție, este una dintre formele de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. Ele pot avea forme foarte diferite, dar toate au o proprietate comună: suma ordonatelor vârfurilor poligonului de distribuție, care este suma probabilităților tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare, este întotdeauna egală cu unul. Această proprietate rezultă din faptul că toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare formează un grup complet de evenimente incompatibile, a căror sumă a probabilităților este egală cu unu.

Definiţie. O variabilă aleatorie este o valoare numerică a cărei valoare depinde de rezultatul elementar particular care a avut loc ca urmare a unui experiment cu un rezultat aleatoriu. Setul tuturor valorilor pe care le poate lua o variabilă aleatoare se numește setul de valori posibile ale acestei variabile aleatoare.

Variabile aleatorii înseamnă: X, Y 1, Z i; ξ , η 1, μi, iar valorile lor posibile sunt x 3, y 1k, z ij.

Exemplu. Într-un experiment cu aruncarea unui zar o dată, variabila aleatoare este numărul X puncte scăzute. Set de valori posibile ale unei variabile aleatorii X arata ca

{x 1 =1, x 2 =2, …, x 6 =6}.

Avem următoarea corespondență între rezultatele elementare ω și valori ale variabilelor aleatoare X:

Adică fiecare rezultat elementar ωi, i=1, …, 6, este potrivit cu numărul i.

Exemplu. Moneda este aruncată până când apare prima „stemă”. În acest experiment, puteți introduce, de exemplu, următoarele variabile aleatoare: X- numărul de aruncări până la prima apariție a unei „steme” cu multe valori posibile ( 1, 2, 3, … ) Și Y- numărul de „cifre” desenate înainte de prima apariție a „stemei”, cu multe semnificații posibile {0, 1, 2, …} (este clar ca X=Y+1). În acest experiment, spațiul rezultatelor elementare Ω poate fi identificat cu multe

{G, TsG, TsTsG, …, Ts…TsG, …},

și rezultatul elementar ( Ts...TsG) se potrivește cu numărul m+1 sau m, Unde m- numărul de repetări ale literei „C”.

Definiţie. Funcția scalară X(ω), definită pe spațiul rezultatelor elementare, se numește o variabilă aleatoare dacă pentru oricare x∈ R (ω:X(ω)< x} este un eveniment.

Funcția de distribuție a variabilelor aleatoare

Pentru a studia proprietățile probabilistice ale unei variabile aleatoare, trebuie să cunoașteți o regulă care vă permite să găsiți probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare dintr-un subset al valorilor sale. Orice astfel de regulă se numește legea distribuției probabilității sau distribuția unei variabile aleatoare.

Legea generală de distribuție inerentă tuturor variabilelor aleatoare este funcția de distribuție.

Definiţie. Funcția de distribuție (probabilitate) a unei variabile aleatoare X apelați funcția F(x), a cărui valoare la punct x egal cu probabilitatea evenimentului (X< x} , adică un eveniment format din acele și numai acele rezultate elementare ω , pentru care X(ω)< x :

F(x) = P(X< x} .

De obicei se spune că valoarea distribuției funcționează într-un punct x este egală cu probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua o valoare mai mică decât x.

Teorema. Funcția de distribuție satisface următoarele proprietăți:

Forma tipică a funcției de distribuție.

Variabile aleatoare discrete

Definiţie. Variabila aleatoare X se numește discret dacă mulțimea valorilor sale posibile este finită sau numărabilă.

Definiţie. Aproape de distribuția (probabilitatea) unei variabile aleatoare discrete X este un tabel format din două linii: linia de sus listează toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare, iar linia de jos listează probabilitățile p i =P\(X=x i \) că variabila aleatoare va lua aceste valori.

Pentru a verifica corectitudinea tabelului, se recomandă însumarea probabilităților p i. În virtutea axiomei normalizării:

Folosind seria de distribuție a unei variabile aleatoare discrete, puteți construi funcția de distribuție a acesteia F(x). Lasă X- , specificat prin seria sa de distribuție, și x 1< x 2 < … < x n . Apoi pentru toată lumea x ≤ x 1 eveniment (X< x} este imposibil, așadar, prin definiție F(x)=0. Dacă x 1< x≤ x 2 , apoi evenimentul (X< x} constă din acele şi numai acele rezultate elementare pentru care X(ω)=x 1. Prin urmare, F(x)=p 1. La fel, când x 2< x ≤ x 3 eveniment (X< x} constă din rezultate elementare ω , pentru care fie X(ω)=x 1, sau X(ω)=x 2, adică (X< x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Prin urmare, F(x)=p 1 +p 2 etc. La x > x n eveniment (X< x} sigur, atunci F(x)=1.

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete poate fi specificată și analitic sub forma unei formule sau grafic. De exemplu, distribuția unei matrițe este descrisă de formula

P(X=i) = 1/6, i=1, 2, …, 6.

Câteva variabile aleatoare discrete

Distribuție binomială. Variabilă aleatorie discretă X este distribuit conform legii binomiale dacă ia valorile 0, 1, 2, …, nîn conformitate cu distribuția dată de formula lui Bernoulli:

Această distribuție nu este altceva decât distribuția numărului de succese X V n teste folosind schema Bernoulli cu o probabilitate de succes pși eșecuri q=1-p.

Distribuția Poisson. Variabilă aleatorie discretă X este distribuit conform legii lui Poisson dacă ia valori întregi nenegative cu probabilități

Unde λ > 0 - Parametrul de distribuție Poisson.

Distribuția Poisson este numită și legea evenimentelor rare, deoarece apare întotdeauna acolo unde se efectuează un număr mare de încercări, în fiecare dintre ele există o probabilitate scăzută de apariție a unui eveniment „rar”.

În conformitate cu legea lui Poisson, de exemplu, numărul de apeluri primite în timpul zilei la centrala telefonică este distribuit; numărul de meteoriți care au căzut într-o anumită zonă; numărul de particule degradate în timpul dezintegrarii radioactive a unei substanțe.

Distribuția geometrică. Să ne uităm din nou la schema lui Bernoulli. Lasă X- numarul de teste care trebuie efectuate inainte sa apara primul succes. Apoi X- variabilă aleatoare discretă luând valori 0, 1, 2, …, n, ... Să determinăm probabilitatea evenimentului (X=n).

• X=0, dacă succesul are loc la primul test, prin urmare, P(X=0)=p.
• X=1, dacă eșecul apare la primul test și succesul în al doilea, atunci P(X=1)=qp.
• X=2, dacă în primele două teste există eșec, iar în al treilea - succes, atunci P(X=2)=q 2 p.
• Continuând procedura, obținem P(X=i)=q i p, i=0, 1, 2, …

  O variabilă aleatoare cu o astfel de serie de distribuție se numește distribuită conform unei legi geometrice.