Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху кривой (рис. 6).

Так как, а на основании формулы (22)

Пользуясь формулой (22), найдем как производную интеграла по переменной верхней границе, считая плотность распределения непрерывной**:

Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х) непрерывна в любой точке х , где функция непрерывна. Это следует из того, что F(х) в этих точках дифференцируема.

На основании формулы (23), полагая x 1 =x , имеем

В силу непрерывности функции F(х) получим, что

Следовательно

Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю .

Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств

Имеют одинаковую вероятность, т.е.

В самом деле, например,

Замечание. Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При классическом определении вероятности, когда число исходов испытания конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания. В случае непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значение x 1 как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате испытания случайная величина может, в частности, принять значение x 1 . Поэтому в случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение.

Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска.

Пример. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

График функции представлен па рис. 7. Определить вероятность того, что случайная величина примет значение, удовлетворяющее неравенствам.Найти функцию распределения заданной случайной величины. (Решение )

Следующие два пункта посвящены часто встречающимся на практике распределениям непрерывных случайных величин -- равномерному и нормальному распределениям.

* Функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она на любом сегменте или непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва I рода.

** Правило дифференцирования интеграла с переменной верхней границей, выведенное в случае конечной нижней границы, остается справедливым и для интегралов с бесконечной нижней границей. В самом деле,

Так как интеграл

есть величина постоянная.

Случайные величины

Под случайными величинами понимают числовые характеристики случайных событий. Другими словами, случайные величины - это числовые результаты экспериментов, значения которых которые невозможно (в данное время) предсказать заранее.

Например, следующие величины можно рассматривать как случайные:

2. Процент мальчиков среди детей, родившихся в заданном роддоме в некоторый определенный день.

3. Число и площадь пятен на Солнце, видимых в некоторой обсерватории в течение определенного дня.

4. Число студентов, опоздавших на данную лекцию.

5. Курс доллара на бирже (скажем, на ММВБ), хотя может быть он и не так уж “случаен”, как это кажется обывателям.

6. Число отказов оборудования в заданный день на определенном предприятии.

Случайные величины делят на дискретные и непрерывные в зависимости от того, каково множество всех возможных значений соответствующей характеристики - дискретное или же непрерывное.

Это деление довольно условно, но полезно при выборе адекватных методов исследования. Если число возможных значений случайной величины конечно или сопоставимо с множеством всех натуральных чисел (т.е. может быть перенумеровано), то случайную величину PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com называют дискретной. В противном случае ее называют непрерывной, хотя на самом деле как бы неявно предполагается, что фактически непрерывные случайные величины принимают свои значение в некотором простом числовом помежутке (отрезке, интервале). Например, дискретными будут случайные величины, приведенные выше под номерами 4 и 6, а непрерывными - под номерами 1 и 3 (площади пятен). Иногда случайная величина имеет смешанный характер. Таков, например, курс доллара (или какой-то другой валюты), который фактически принимает лишь дискретный набор значений, но при этом оказывается удобным считать, что множество его значений «непрерывно».

Случайные величины можно задавать разными способами.

Дискретные случайные величины обычно задаются своим законом распределения. Тут каждому возможному значению x1, x2,... случайной величины X сопоставляется вероятность p1,p2,... этого значения. В результате образуется таблица, состоящая из двух строк:

Это и есть закон распределения случайной величины.

Непрерывные случайные величины законом распределения задать невозможно, так как по самому своему определению их значения невозможно перенумеровать и потому задание в виде таблицы тут исключается. Однако для непрерывных случайных величин есть другой способ задания (применимый, кстати, и для дискретных величин) - это функция распределения:

равная вероятности события , которое состоит в том, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного числа x.

Часто вместо функции распределения удобно использовать другую функцию - плотность f(x) распределения случайной величины X. Ее еще иногда называют дифференциальной функцией распределения, а F(x) в этой терминологии называется интегральной функцией распределния. Эти две функции взаимно определяют друг друга по следующим формулам:

Если случайная величина дискретна, то для нее понятие функции распределения тоже имеет смысл, в этом случай график функции распределения состоит из горизонтальных участков, каждый из которых расположен выше предыдущего на величину, равную pi.

Важными примерами дискретных величин являются, например, биномиально распределенные величины (распределение Бернулли), для которых PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

n pk(1-p)n-k= !()!

где p - вероятность отдельного события (ее иногда условно называют “вероятностью успеха”). Так распределены результаты серии последовательных однородных испытаний (схема Бернулли). Предельным случаем биномиального распределения (при увеличении числа испытаний) является распределение Пуассона, для которого

pk=?k/k!·exp(-?),

где?>0 некоторый положительный параметр.

Простейший пример непрерывного распределения - равномерное распределение. Оно на отрезке имеет постоянную плотность распределения, равную 1/(b-a), а вне этого отрезка плотность равна 0.

Чрезвычайно важным примером непрерывного распределения является нормальное распределение. Оно задается двумя параметрами m и? (математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением - см. ниже), его плотность распределения имеет вид:

1 exp(-(x-m)2/2?2)

Фундаментальная роль нормального распределения в теории вероятностей объясняется тем, что в силу Центральной Предельной Теоремы (ЦПТ) сумма большого числа случайных величин, которые являются попарно независимыми (о понятии независимости случайных величин см. ниже) или слабо зависимыми, оказывается приближенно распределенной по нормальному закону. Отсюда следует, что случайная величина, случайность которой вызвана наложением большого числа слабо зависимых между собой случайных факторов, может рассматриваться приближенно как распределенная нормально (в независимости от того, как были распределены слагающие ее факторы). Другими словами - нормальный закон распределения весьма универсален.

Имеется несколько числовых характеристик, которые удобно использовать при изучении случайных величин. Среди них выделим математическое ожидание

равное среднему значению случайной величины, дисперсию

D(X)=M(X-M(X))2,

равную математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от среднего значения, и еще одну, удобную на практике дополнительную величину (той же размерности, что и исходная случайная величина):

называемую среднеквадратичным отклонением. Будем предполагать (не оговаривая этого в дальнейшем), что все выписанные интегралы существуют (т.е. сходятся на всей числовой оси). Как известно, дисперсия и среднеквадратичное отклонение характеризуют степень рассеяния случайной величины вокруг ее среднего значения. Чем PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com меньше дисперсия, тем более тесно группируются значения случайной величины вокруг ее среднего значения.

Например, математическое ожидание для распределение Пуассона равно?, для равномерного распределения оно равно (a+b)/2, а для нормального распределения оно равно m. Дисперсия для распределения Пуассона равна?, для равномерного распределения (b-a)2/12, а для нормального распределения равна?2. В дальнейшем будут использоваться следующие свойства математического ожидания и дисперсии:

1. M(X+Y)= M(X)+M(Y).

3. D(cX)=c2D(X), где c - произвольное постоянное число.

4. D(X+A)=D(A) для произвольной постоянной (неслучайной)величины A.

Случайная величина?=U-MU называется центрированной. Из свойства 1 вытекает, что M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, то есть ее среднее значение равно 0 (с этим и связано ее название). При этом в силу свойства 4 имеем D(?)=D(U).

Имеется также полезное соотношение, которое удобно использовать на практике для вычисления дисперсии и связаных с нею величин:

5. D(X)=M(X2)-M(X)2

Случайные величины X и Y называются независимыми, если для произвольных их значений x и y соответственно события и независимы. Например, независимы будут (по видимому...) результаты измерения напряжения в электросети и рост главного энергетика предприятия. А вот мощность этой электросети и зарплату главного энергетика на предприятиях уже не всегда можно считать независимыми.

Если случайные величины X и Y независимы, то имеют место и следующие свойства (которые для произвольных случайных величин могут не выполняться):

5. M(XY)=M(X)M(Y).

6. D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Кроме отдельных случайных величин X,Y,... изучаются и системы случайных величин. Например, пара (X,Y) случайных величин может рассматриваться как новая случайная величина, значения которой являются двумерными векторами. Аналогично можно рассматривать и системы большего числа случайных величин, называемые многомерными случайными величинами. Такого рода системы величин тоже задаются своей функцией распределения. Например, для системы двух случайных величин эта функция имеет вид

F(x,y)=P,

то есть она равна вероятности события, заключающегося в том, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного числа x, а случайная величина Y - меньшее заданного числа y. Эту функцию называют еще функцией совместного распределения случайных величин X и Y. Также можно рассматривать средний вектор - естественный аналог математического ожидания, а вот вместо дисперсии приходится изучать уже несколько числовых характеристик, называемых моментами второго порядка. Это, во-первых, две частные дисперсии DX и DY PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com случайных величин X и Y, рассматриваемых по-отдельности, а, во-вторых, ковариационный момент, более подробно рассмотренный ниже.

Если случайные величины X и Y независимы, то

F(x,y)=FX(x)FY(y)

Произведение функций распределения случайных величин X и Y и потому изучение пары независимых случайных величин сводится во многом просто к изучению X и Y по отдельности.

Случайные величины

Выше рассматривались эксперименты, результаты которых являются случайными событиями. Однако часто возникает необходимость количественного представления результатов эксперимента в виде некоторой величины, которая называется случайной величиной. Случайная величина является вторым (после случайного события) основным объектом изучения теории вероятностей и обеспечивает более общий способ описания опыта со случайным исходом, чем совокупность случайных событий.

Рассматривая эксперименты со случайным исходом, мы уже имели дело со случайными величинами. Так, число успехов в серии из испытаний - пример случайной величины. Другими примерами случайных величин являются: число вызовов на телефонной станции за единицу времени; время ожидания очередного вызова; число частиц с заданной энергией в системах частиц, рассматриваемых в статистической физике; средняя суточная температура в данной местности и т.д.

Случайная величина характерна тем, что невозможно точно предсказать ее значение, которое она примет, но с другой стороны, множество ее возможных значений обычно известно. Так для числа успехов в последовательности из испытаний это множество конечно, поскольку число успехов может принимать значения. Множество значений случайной величины, может совпадать с вещественной полуосью, как в случае времени ожидания и т.д.

Рассмотрим примеры экспериментов со случайным исходом, для описания которых обычно применяются случайные события и введем эквивалентное описание с помощью задания случайной величины.

1). Пусть результатом опыта может быть событие или событие. Тогда этому эксперименту можно поставить в соответствие случайную величину, которая принимает два значения, например, и с вероятностями и, причем имеют место равенства: и. Таким образом, опыт характеризуется двумя исходами ис вероятностями и, или этот же опыт характеризуется случайной величиной, принимающей два значения и с вероятностями и.

2). Рассмотрим опыт с бросанием игральной кости. Здесь исходом опыта может быть одно из событий, где - выпадение грани с номером. Вероятности,. Введем эквивалентное описание этого опыта с помощью случайной величины, которая может принимать значения с вероятностями.

3). Последовательность независимых испытаний характеризуется полной группой несовместных событий, где - событие, состоящее в появлении успехов в серии из опытов; причем вероятность события определяется формулой Бернули, т.е.. Здесь можно ввести случайную величину - число успехов, которая принимает значения с вероятностями. Таким образом, последовательность независимых испытаний характеризуется случайными событиями с их вероятностями или случайной величиной с вероятностями того, что принимает значения.

4). Однако, не для всякого опыта со случайным исходом существует столь простое соответствие между случайной величиной и совокупностью случайных событий. К примеру, рассмотрим эксперимент, в котором точка наугад бросается на отрезок. Здесь естественно ввести случайную величину - координату на отрезке, в которую попадает точка. Таким образом, можно говорить о случайном событии, где - число из. Однако вероятность этого события. Можно поступить иначе - отрезок разбить на конечное число непересекающихся отрезков и рассматривать случайные события, состоящие в том, что случайная величина принимает значения из интервала. Тогда вероятности - конечные величины. Однако и этот способ имеет существенный недостаток, поскольку отрезки выбираются произвольным образом. Для того, чтобы устранить этот недостаток рассматривают отрезки вида, где переменная. Тогда соответствующая вероятность является функцией аргумента. Это усложняет математическое описание случайной величины, но при этом описание (29.1) становится единственным, устраняется неоднозначность выбора отрезков.

Для каждого из рассмотренных примеров несложно определить вероятностное пространство, где - пространство элементарных событий, - - алгебра событий (подмножеств), - вероятность, определенная для любого. Например, в последнем примере, - - алгебра всех отрезков, содержащихся в.

Рассмотренные примеры приводят к следующему определению случайной величины.

Пусть - вероятностное пространство. Случайной величиной называется однозначная действительная функция, определенная на, для которой множество элементарных событий вида является событием (т.е. принадлежат) для каждого действительного числа.

Таким образом, в определении требуется, чтобы для каждого вещественного множество, и это условие гарантирует, что для каждого определена вероятность события. Это событие принято обозначать более краткой записью.

Функция распределения вероятностей

Функция называется функцией распределения вероятностей случайной величины.

Функция иногда называется кратко - функция распределения, а также - интегральным законом распределения вероятностей случайной величины. Функция является полной характеристикой случайной величины, то есть представляет собой математическое описание всех свойств случайной величины и более детального способа описания этих свойств не существует.

Отметим следующую важную особенность определения (30.1). Часто функцию определяют иначе:

Согласно (30.1) функция является непрерывной справа. Этот вопрос подробнее будет рассмотрен ниже. Если же использовать определение (30.2), то - непрерывна слева, что является следствием применения строгого неравенства в соотношении (30.2). Функции (30.1) и (30.2) представляют собой эквивалентные описания случайной величины, поскольку не имеет значения каким определением пользоваться как при изучении теоретических вопросов, так и при решении задач. Для определенности в дальнейшем будем использовать только определение (30.1).

Рассмотрим пример построения графика функции. Пусть случайная величина принимает значения, с вероятностями, причем. Таким образом, другие значения кроме указанных данная случайная величина принимает с нулевой вероятностью:, для любого,. Или как говорят, других значений кроме, случайная величина не может принимать. Пусть для определенности. Найдем значения функции для из интервалов: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). На первом интервале, поэтому функция распределения. 2). Если, то. Очевидно случайные события и несовместны, поэтому по формуле сложения вероятностей. По условию событие невозможное и, а. Поэтому. 3). Пусть, тогда. Здесь первое слагаемое, а второе, поскольку событие - невозможное. Таким образом для любого, удовлетворяющего условию. 4). Пусть, тогда. 5). Если, то. 6) При имеем. 7) Если, то. Результаты вычислений представлены на рис. 30.1 графиком функции. В точках разрыва, указана непрерывность функции справа.

Основные свойства функции распределения вероятностей

Рассмотрим основные свойства функции распределения, следующие непосредственно из определения:

1. Введем обозначение:. Тогда из определения следует. Здесь выражение рассматривается как невозможное событие с нулевой вероятностью.

2. Пусть. Тогда из определения функции следует. Случайное событие является достоверным и его вероятность равна единице.

3. Вероятность случайного события, состоящего в том, что случайная величина принимает значение из интервала при определяется через функцию следующим равенством

Для доказательства этого равенства рассмотрим соотношение.

События и несовместны, поэтому по формуле сложения вероятностей из (31.3) следует, что и совпадает с формулой (31.2), поскольку и.

4. Функция является неубывающей. Для доказательства рассмотрим. При этом справедливо равенство (31.2). Его левая часть, поскольку вероятность принимает значения из интервала. Поэтому и правая часть равенства (31.2) неотрицательна:, или. Это равенство получено при условии, поэтому - неубывающая функция.

5. Функция непрерывна справа в каждой точке, т.е.

где - любая последовательность, стремящаяся к справа, т.е. и.

Для доказательства представим функцию в виде:

Теперь на основании аксиомы счетной аддитивности вероятности выражение в фигурных скобках равно, таким образом, что и доказывает непрерывность справа функции.

Таким образом, каждая функция распределения вероятностей обладает свойствами 1-5. Верно и обратное утверждение: если, удовлетворяет условиям 1-5,то она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.

Для полного вероятностного описания дискретной случайной величины, принимающей значения, достаточно задать вероятности того, что случайная величина принимает значение. Если заданы и, тогда функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины можно представить в виде:

Здесь суммирование ведется по всем индексам, удовлетворяющим условию.

Функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины иногда представляют через так называемую функцию единичного скачка.

При этом принимает вид, если случайная величина принимает конечное множество значений, и верхний предел суммирования в (32.4) полагается равным, если случайная величина принимает счетное множество значений.

Пример построения графика функций распределения вероятностей дискретной случайной величины был рассмотрен в п.30.

Плотность распределения вероятностей

Пусть случайная величина имеет дифференцируемую функцию распределению вероятностей, тогда функция называется плотностью распределения вероятностей (или плотностью вероятности) случайной величины, а случайная величина - непрерывной случайной величиной.

Рассмотрим основные свойства плотности вероятности.

Из определения производной следует равенство:

Согласно свойствам функции имеет место равенство. Поэтому (33.2) принимает вид:

Это соотношение объясняет название функции. Действительно, согласно (33.3) функция - это вероятность, приходящаяся на единицу интервала, в точке, поскольку. Таким образом, плотность вероятности, определяемая соотношением (33.3), аналогична определениям плотностей других величин, известных в физике, таких как плотность тока, плотность вещества, плотность заряда и т.д.

2. Поскольку - неубывающая функция, то ее производная - функция неотрицательная:

3. Из (33.1) следует, поскольку. Таким образом, справедливо равенство

4. Поскольку, то из соотношения (33.5) следует

Равенство, которое называется условием нормировки. Его левая часть - это вероятность достоверного события.

5. Пусть, тогда из (33.1) следует

Это соотношение имеет важное значение для приложений, поскольку позволяет вычислить вероятность через плотность вероятности или через функцию распределения вероятностей. Если положить, то из (33.7) следует соотношение (33.6).

На рис. 33.1 представлены примеры графиков функции распределения и плотности вероятностей.

Отметим, что плотность распределения вероятности может иметь несколько максимумов. Значение аргумента, при котором плотность имеет максимум называется модой распределения случайной величины. Если плотность имеет более одной моды, то называется многомодальной.

Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины

распределение дискретный вероятность плотность

Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями,. Тогда ее функция распределения вероятностей где - функция единичного скачка. Определить плотность вероятности случайной величины по ее функции распределения можно с учетом равенства. Однако при этом возникают математические сложности, связанные с тем, что функция единичного скачка, входящая в (34.1), имеет разрыв первого рода при. Поэтому в точке не существует производная функции.

Для преодоления этой сложности вводится -функция. Функцию единичного скачка можно представить через -функцию следующим равенством:

Тогда формально производная и плотность вероятности дискретной случайной величины определяется из соотношения (34.1) как производная функции:

Функция (34.4) обладает всеми свойствами плотности вероятности. Рассмотрим пример. Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями, и пусть,. Тогда вероятность - того, что случайная величина примет значение из отрезка может быть вычислена, исходя из общих свойств плотности по формуле:

Здесь, поскольку особая точка - функции, определяемая условием, находится внутри области интегрирования при, а при особая точка находится вне области интегрирования. Таким образом.

Для функции (34.4) также выполняется условие нормировки:

Отметим, что в математике запись вида (34.4) считается некорректной (неправильной), а запись (34.2) - корректной. Это обусловлено тем, что -функция при нулевом аргументе, и говорят, что не существует. С другой стороны, в (34.2)-функция содержится под интегралом. При этом правая часть (34.2) - конечная величина для любого, т.е. интеграл от -функции существует. Несмотря на это в физике, технике и других приложениях теории вероятностей часто используется представление плотности в виде (34.4), которое, во-первых, позволяет получать верные результаты, применяя свойства - функции, и во-вторых, имеет очевидную физическую интерпретацию.

Примеры плотностей и функций распределения вероятностей

35.1. Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке, если ее плотность распределения вероятностей

где - число, определяемое из условия нормировки:

Подстановка (35.1) в (35.2) приводит к равенству, решение которого относительно имеет вид:.

Функция распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины может быть найдена по формуле (33.5), определяющей через плотность:

На рис. 35.1 представлены графики функций и равномерно распределенной случайной величины.

35.2. Случайная величина называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей:

где, - числа, называемые параметрами функции. При функция принимает свое максимальное значение:. Параметр имеет смысл эффективной ширины. Кроме этой геометрической интерпретации параметры, имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем.

Из (35.4) следует выражение для функции распределения вероятностей

где - функция Лапласа. На рис. 35.2 представлены графики функций и нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и часто используется запись.

35.3. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей Коши, если

Этой плотности соответствует функция распределения

35.4. Случайная величина называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

Определим ее функцию распределения вероятностей. При из (35.8) следует. Если, то

35.5. Релеевское распределение вероятностей случайной величины определяется плотностью вида

Этой плотности соответствует функция распределения вероятностей при и равная при.

35.6. Рассмотрим примеры построения функции распределения и плотности дискретной случайной величины. Пусть случайная величина - это число успехов в последовательности из независимых испытаний. Тогда случайная величина принимает значения, с вероятностью, которая определяется формулой Бернулли:

где, - вероятности успеха и неуспеха в одном опыте. Таким образом, функция распределения вероятностей случайной величины имеет вид

где - функция единичного скачка. Отсюда плотность распределения:

где - дельта-функция.

Сингулярные случайные величины

Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют еще так называемые сингулярные случайные величины. Эти случайные величины характеризуются тем, что их функция распределения вероятностей - непрерывна, но точки роста образуют множество нулевой меры. Точкой роста функции называется значение ее аргумента такое, что производная.

Таким образом, почти всюду на области определения функции. Функцию, удовлетворяющую этому условию, также называют сингулярной. Примером сингулярной функции распределения является кривая Кантора (рис. 36.1), которая строится следующим образом. Полагается при и при. Затем интервал разбивается на три равных части (сегмента) и для внутреннего сегмента определяется значение - как полусумма уже определенных значений на ближайших сегментах справа и слева. На данный момент функция определена для, ее значение, и для со значением. Полусумма этих значений равна и определяет значение на внутреннем сегменте. Затем рассматриваются отрезки и, каждый из них разбивается на три равных сегмента и функция определяется на внутренних сегментах как полусумма ближайших справа и слева заданных значений функции. Таким образом, при функция - как полусумма чисел и. Аналогично на интервале функция. Затем функция определяется на интервале, на котором и т.д.

Подобные документы

Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. Сингулярные случайные величины. Математическое ожидание случайной величины. Неравенство Чебышева. Моменты, кумулянты и характеристическая функция.

реферат , добавлен 03.12.2007


Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины.

реферат , добавлен 25.10.2015


Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.

контрольная работа , добавлен 24.01.2013


Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.

контрольная работа , добавлен 13.12.2010


Функция распределения непрерывной случайной величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей системы. Ковариация. Коэффициент корреляции.

лабораторная работа , добавлен 19.08.2002


Особенности функции распределения как самой универсальной характеристики случайной величины. Описание ее свойств, их представление с помощью геометрической интерпретации. Закономерности вычисления вероятности распределения дискретной случайной величины.

презентация , добавлен 01.11.2013


Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.

контрольная работа , добавлен 31.10.2013


Использование формулы Бернулли для нахождения вероятности происхождения события. Построение графика дискретной случайной величины. Математическое ожидание и свойства интегральной функции распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины.

контрольная работа , добавлен 29.01.2014


Теория вероятностей и закономерности массовых случайных явлений. Неравенство и теорема Чебышева. Числовые характеристики случайной величины. Плотность распределения и преобразование Фурье. Характеристическая функция гауссовской случайной величины.

реферат , добавлен 24.01.2011


Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения F (X ) . Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [A , B ].

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Определение. Средним квадратичным отклонением Называется квадратный корень из дисперсии.

Определение. Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется Двухмодальным или Многомодальным .

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется Антимодальным .

Определение. Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Определение. Начальным моментом Порядка K Случайной величины Х называется математическое ожидание величины ХK .

Для дискретной случайной величины: .

.

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

Определение. Центральным моментом Порядка K случайной величины Х называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется Коэффициентом асимметрии .

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая Эксцессом .

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

Абсолютный начальный момент: .

Абсолютный централь Ный момент: .

Абсолютный центральный момент первого порядка называется Средним арифметическим отклонением .

Пример. Для рассмо Ренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Пример. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.

Т. к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом опыте).

Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна

Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз.

Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий.

1) Белый шар не появился вовсе:

2) Белый шар появился один раз:

3) Белый шар появиться два раза: .

4) Белый шар появиться три раза:

Случайные величины.

В математике величина – это общее название различных количественных характеристик предметов и явлений. Длина, площадь, температура, давление и т. д. – примеры различных величин.

Величина, которая принимает различные числовые значения под влия­нием случайных обстоятельств, называется случайной величиной . Примеры случайных величин: 1) число больных, ожидающих приема у врача, 2) точные размеры внутренних органов людей и т. д.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной , если она принимает только определенные отделенные друг от друга значения, которые можно установить и перечислить.

Примеры :

1) число студентов в аудитории – может быть только целым положительным числом:

0,1,2,3,4….. 20…..

2) цифра, которая появляется на верхней грани при бросании игральной кости – может принимать лишь целые значения от 1 до 6.

3) относительная частота попадания в цель при 10 выстрелах - ее значения:

0; 0,1; 0,2; 0,3 ….. 1

4) число событий, происходящих за одинаковые промежутки времени: частота пульса, число вызовов скорой помощи за час, количество операций в месяц с летальным исходом и т. д.

Случайная величина называется непрерывной , если она может принимать любые значения внутри некоторого интервала, который иногда имеет резко выраженные границы, а есди они не известны, то считают, что значения случайной величины Х лежат в интервале (-¥; ¥).. К непрерывным случайным величинам относятся, например, температура, давление, вес и рост людей, размеры форменных элементов крови, рН крови и т. п.

Понятие случайной величины играет определяющую роль в современной теории вероятностей, разработавшей специальные приемы перехода от случайных событий к случайным величинам.

Если случайная величина зависит от времени, то можно говорить о случайном процессе.

3.1. Закон распределения дискретной случайной величины

Чтобы дать полную характеристику дискретной случайной величины необходимо указать все ее возможные значения и их вероятности.

Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения этой величины .

Обозначим возможные значения случайной величины Х через хi, а соответствующие им вероятности через рi* . Тогда закон распределения дискретной случайной величины можно задать тремя способами: в виде таблицы, графика или формулы.

1. В таблице , которая называется рядом распределения, перечисляются все возможные значения дискретной случайной величины Х и соответствующие этим значениям вероятности Р(Х):

Таблица 3.1.

Х

При этом сумма всех вероятностей рi должна быть равна единице (условие нормировки ):

рi = p1 + p2 +...+pn=

2. Графически – в виде ломаной линии, которую принято называть многоугольником распределения (рис.3.1). Здесь по горизонтальной оси откладывают все возможные значения случайной величины Хi, а по вертикальной оси – соответствующие им вероятности рi.

3. Аналитически - в виде формулы: Например, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р, то вероятность промаха при одном выстреле q = 1 – р, а.вероятность поражения цели 1 раз при n выстрелах дается формулой: Р(n) = qn-1×p,

3.2. Закон распределения непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятности.

Для непрерывных случайных величин невозможно применить закон распределения в формах, приведенных выше, т. к. непрерывная величина имеет бесчисленное («несчетное») множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый интервал. Поэтому составить таблицу, в которой были бы перечислены все ее возможные значения, или построить многоугольник распределения нельзя. Кроме того, вероятность какого-либо ее конкретного значения очень мала (близка к 0). Вместе с тем, различные области (интервалы) возможных значений непрерывной случайной величины обычно не являются одинаково вероятными. Таким образом, и здесь есть некий закон распределения, хотя и не в прежнем смысле.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой сплошь заполняют некоторый интервал (а, b)*. Закон распределения вероятностей такой величины должен позволить найти вероятность попадания ее значения в любой заданный интервал (х1, х2), лежащий внутри (а, b*) (рис.3.2.)

Эту вероятность обозначают Р(х1 <Х< х2), или Р(х1 £ Х £ х2).

Рассмотрим сначала очень малый интервал значений от х до (х + Dх) (см. рис.3.2.) Малая вероятность dР того, что случайная величина Х примет какое-то значение из этого малого интервала (х, х + Dх), будет пропорциональной величине этого интервала Dх: dР ~ Dх, или, вводя коэффициент пропорциональности f, который сам может зависеть от х, получаем:

dР = f(х) × Dх. (3.2)

Введенная нами здесь функция f(х) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х или, короче, плотностью вероятности (плотностью распределения). Уравнение (3.2) можно рассматривать как дифференциальное уравнение и тогда вероятность попадания вели. чины Х в интервал (х1, х2) равна:

Р (х1< Х < х2) = f(х) dх. (3.3)

Графически эта вероятность Р (х1< Х < х2) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой f(х) и прямыми Х = х1 и Х = х2 (см. Рис.3.3), что следует из геометрического смысла определенного интеграла (3.3). Кривая f(х) при этом называется кривой распределения.

Из (3.3) видно, что если известна функция f(х), то изменяя пределы интегрирования, можно найти вероятность для любых интересующих интервалов. Поэтому именно задание функции f(х) полностью определяет закон распределения для непрерывных случайных величин Х.

Для плотности распределения вероятности f(х) должно выполняться условие нормировки в виде:

f(х) dх = 1, (3.4)

если известно, что все значения Х лежат в интервале (а, b), или в виде:

f(х) dх = 1, (3.5)

если границы интервала для значений Х точно неизвестны. Условия нормировки плотности вероятности (3.4) или (3.5) являются следствием того, что значения случайной величины Х достоверно лежат в пределах (а, b) или (-¥, +¥). Из (3.4) и (3.5) следует, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, всегда равна 1.

Результаты, изложенные в параграфах 3.1 и 3.2, показывают, что полную характеристику о дискретной или непрерывной случайных величинах дают законы их распределения.

Однако во многих практически значимых ситуациях пользуются так называемыми числовыми характеристиками случайных величин, главное назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности их распределения. Важно, что эти параметры представляют собой конкретные (постоянные) значения , которые можно оценивать с помощью полученных в опытах данных. Этими оценками занимается так называемая «Описательная статистика».

В теории вероятностей и математической статистике используется достаточно много различных характеристик, здесь мы рассматриваем наиболее часто употребляемые. Лишь для части из них приведены формулы, по которым рассчитываются их значения, в остальных случаях вычисления оставим компьютеру.

3.3.1.Характеристики положения : математическое ожидание, мода, медиана.

Именно они характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т. е. указывают некоторые важные ее значения, которые характеризуют распределение остальных значений. Среди них важнейшую роль играет математическое ожидание М(Х).

а). Математическое ожидание М(Х) случайной величины Х является вероятностным аналогом ее среднего арифметического .

Для дискретной случайной величины оно вычисляется по формуле:

М(Х) = х1р1 + х2р2 + … + хnрn = = , (3.6)

а в случае непрерывной случайной величины М(Х) определяются формулами:

М(Х) = или М(Х) = (3.7)

где f(x) – плотность вероятности, dP= f(x)dx – элемент вероятности (аналог pi) для малого интервала Dx (dx).

Пример. Вычислите среднее значение непрерывной случайной величины, имеющей на отрезке (a, b) равномерное распределение.

Решение : При равномерном распределении плотность вероятности на интервале (a, b) постоянна, т. е. f(х) = fo = const, а вне (a, b) равна нулю, и из условия нормировки (4.3) найдем значение f0:

F0= f0 × x | = (b-a)f0 , откуда

M(X) = | = = (a + b).

Таким образом, математическое ожидание М(Х) совпадает с серединой интервала (a, b), определяющей , т. е. = M(X) = .

Б). Модой Мо(Х) дискретной случайной величины называют ее наиболее вероятное значение (рис.3.4, а), а непрерывной – значение Х , при котором плотность вероятности максимальна (рис.3.4,б).

в). Еще одна характеристика положения – медиана (Ме ) распределения случайной величины.

Медианой Ме(Х) случайной величины называют такое ее значение Х , которое делит все распределение на две равновероятные части. Другими словами для случайной величины одинаково вероятно принять значения меньше Ме (Х) или больше Ме(Х) : Р(Х < Ме) = Р(Х > Ме) = .

Поэтому медиану можно вычислить из уравнения:

(3.8)

Графически медиана – это значение случайной величины, ордината которой делит площадь , ограниченную кривой распределения, пополам (S1 = S2) (рис.3.4,в). Этой характеристикой обычно пользуются только для непрерывных случайных величин, хотя формально ее можно определить и для дискретных Х.

Если М(Х), Мо(Х) и Ме(Х) совпадают, то распределение случайной величины называют симметричным , в противном случае – асимметричным .

Характеристики рассеяния – дисперсия и стандартное отклонение (среднее квадратичное отклонение).

Дисперсия D (X ) случайной величины Х определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной Х от ее математического ожидания М(Х):

D (X) = M 2 , (3.9)

или D (X) = M (X2) – а)

Поэтому для дискретной случайной величины диперсия вычисляется по формулам:

D(X) = [хi – М(Х)]2 рi, или D(X) = хi2 рi –

а для непрерывной величины, распределенной в интервале (a, b):

a для интервала (-∞,∞):

D (X) = 2 f(x)dx, или D (X) =х2 f(x)dx –

Дисперсия характеризует среднее рассеяние, разбросанность значений случайной величины Х относительно ее математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеяние».

Но дисперсия D(Х) имеет размерность квадрата случайной величины, что весьма неудобно при оценке разброса в физических, биологических, медицинских и др. приложениях. Поэтому обычно пользуются другим параметром, размерность которого совпадает с размерностью Х. Это среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, которое обозначают s (Х) :

s (Х) = (3.13)

Итак, математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия и среднее квадратичное отклонение являются наиболее употребляемыми числовыми характеристиками распределений случайных величин, каждая из которых, как было показано, выражает какое-нибудь характерное свойство этого распределения.

3.4. Нормальный закон распределения случайных величин

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Во-первых, это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения непрерывных случайных величин. Во-вторых, он является предельным законом, в том смысле, что к нему при определенных условиях приближаются другие законы распределения.

Нормальный закон распределения характеризуется следующей формулой для плотности вероятности:

, (3.13)

Здесь х - текущие значения случайной величины X, а М(X) и s - ее математическое ожидание и стандартное отклонение, которые полностью определяют функцию f(x). Таким образом, если случайная величина распределена по нормальному закону, то достаточно знать только два числовых параметра: М(Х) и s , чтобы полностью знать закон ее распределения (3.13). График функции (3.13) называется нормальной кривой распределения (кривой Гаусса). Он имеет симметричный вид относительно ординаты х = М(Х). Максимальная плотность вероятности, равная » , соответствует математическому ожиданию `Х=М(Х), и по мере удаления от нее плотность вероятности f(х) симметрично спадает, постепенно приближась к нулю (рис. Изменение значения М(Х) в (3.13) не меняет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси абсцисс. Величина М(Х) называется также центром рассеяния, а среднеквадратичное отклонение s характеризует ширину кривой распределения (см. Рис.3.6) .

С возрастанием s максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, растягиваясь вдоль оси абсцисс, тогда как при уменьшении s кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (рис. 6).

Естественно, что при любых значениях М(Х) и s площадь, ограниченная нормальной кривой и осью Х, остается равной 1 (условие нормировки):

f(х) dх = 1, или f(х) dх =

Нормальное распределение симметрично, поэтому М(Х) = Мо(Х) = Ме(Х).

Вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал (x1,x2), т. е. Р (x1 < Х< x2) равна

Р (x1 < Х < x2) = . (3.15)

На практике часто встречается задача нахождения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно М(Х). В частности, рассмотрим следующую, важную в прикладном отношении задачу. Отложим от М(Х) вправо и влево отрезки равные s, 2s и 3s (рис. 7) и рассмотрим результат вычисления вероятности попадания Х в соответствующие интервалы:

Р (М(Х) - s < Х < М(Х) + s ) = 0,6827 = 68,27%. (3.16)

Р (М(Х) - 2s < Х < М(Х) + 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (3.17)

Р (М(Х) - 3s < Х < М(Х) + 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (3.18)

Из (3.18) следует, что значения нормально распределенной случайной величины Х с параметрами М(Х) и s с вероятностью Р = 99,73% лежат в интервале М(Х) ± 3s, иначе в этот интервал попадают практически все возможные значения данной случайной величины. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен как «правило трех сигм».

Пример. Известно, что для человека рН крови является нормально распределенной величиной со средним значением (математическим ожиданием) 7,4 и стандартным отклонением 0,2. Определите диапазон возможных значений этого параметра.

Решение: Для ответа на этот вопрос воспользуемся “правилом трех сигм”. С вероятностью равной 99,73% можно утверждать, что диапазон значений рН для человека составляет 7,4 ± 3·0,2, т. е 6,8÷8.

* Если точные значения границ интервала неизвестны, то рассматривают интервал (-¥, + ¥).

ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства. Плотность распределения вероятности и ее свойства. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и их свойства, среднее квадратическое отклонение, мода и медиана; начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс.

1. Понятие случайной величины.

Случайной называется величина, которая принимает в результате испытаний то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее известное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. В отличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно. Примерами случайной величины могут служить размер обрабатываемой детали, погрешность результата измерения какого-либо параметра изделия или среды. Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, можно выделить два основных типа: дискретные величины и непрерывные.

Дискретной называется такая случайная величина, которая принимает конечное или бесконечное счетное множество значений. Например, частота попаданий при трех выстрелах; число дефектных изделий в партии из штук; число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток; число отказов элементов прибора за определенный промежуток времени при испытании его на надежность; число выстрелов до первого попадания в цель и т. д.

Непрерывной называется такая случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например, ошибка при измерении дальности радиолокатора; время безотказной работы микросхемы; погрешность изготовления деталей; концентрация соли в морской воде и т. д.

Случайные величины обычно обозначают буквами ,и т. д., а их возможные значения -,и т. д. Для задания случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появиться те или иные ее значения в результате испытаний при одних и тех же условиях, т. е. нужно задать вероятности их появления. Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.

2. Законы распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит то того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми . Несколько случайных величин называются взаимно независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, в виде функции распределения, в виде плотности распределения. Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания закона распределения случайной величины:

Табличное задание закона распределения может быть использовано только для дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений. Табличная форма задания закона случайной величины называется также рядом распределения.

Для наглядности ряд распределения представляют графически. При графическом изображении в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие вероятности. Затем строят точки и соединяют их прямолинейными отрезками. Полученная фигура называетсямногоугольником распределения (рис. 5). Следует помнить, что соединение вершин ординат делается только в целях наглядности, так как в промежутках между и,и, и т. д. случайная величиназначений принять не может, поэтому вероятности ее появления в этих промежутках равны нулю.

Многоугольник распределения, как и ряд распределения, является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины. Они могут иметь самую различную форму, однако все обладают одним общим свойством: сумма ординат вершин многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице. Это свойство вытекает из того, что все возможные значения случайной величины образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей которых равна единице.

Определение . Случайной величиной называется числовая величина, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений этой случайной величины.

Случайные величины обозначают: X , Y 1 , Z i ; ξ , η 1 , μ i , а их возможные значения - x 3 , y 1k , z ij .

Пример . В опыте с однократным бросанием игральной кости случайной величины является число X выпавших очков. Множество возможных значений случайной величины X имеет вид

{x 1 =1, x 2 =2, …, x 6 =6 }.

Имеем следующее соответствие между элементарными исходами ω и значениями случайной величины X :

То есть каждому элементарному исходу ω i , i=1, …, 6 , ставится в соответствие число i .

Пример . Монету подбрасывают до первого появления «герба». В этом опыте можно ввести, например, такие случайные величины: X - число бросаний до первого появления «герба» с множеством возможных значений {1, 2, 3, … } и Y - число «цифр», выпавших до первого появления «герба», с множеством возможных значений {0, 1, 2, …} (ясно, что X=Y+1 ). В данном опыте пространство элементарных исходов Ω можно отождествить с множеством

{Г, ЦГ, ЦЦГ, …, Ц…ЦГ, … },

причем элементарному исходу {Ц … ЦГ } ставится в соответствие число m+1 или m , где m - число повторений буквы «Ц».

Определение . Скалярную функцию X(ω) , заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого x∈ R {ω:X(ω) < x} является событием.

Функция распределения случайной величины

Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей или распределением случайной величины.

Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.

Определение . Функция распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x) , значение которой в точке x равно вероятности события {X < x} , то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω , для которых X(ω) < x :

F(x) = P{X < x} .

Обычно говорят, что значение функции распределения в точке x равно вероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее x .

Теорема . Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам:

Типичный вид функции распределения.

Дискретные случайные величины

Определение . Случайную величину X называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Определение . Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины X называют таблицу, состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней - вероятности p i =P\{X=x i \} того, что случайная величина примет эти значения.

Для проверки правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать вероятности p i . В силу аксиомы нормированности:

По ряду распределения дискретной случайной величины можно построить ее функцию распределения F(x) . Пусть X - , заданная своим рядом распределения, причем x 1 < x 2 < … < x n . Тогда для всех x ≤ x 1 событие {X < x} является невозможным, следовательно, по определению F(x)=0 . Если x 1 < x≤ x 2 , то событие {X < x} состоит из тех и только тех элементарных исходов, для которых X(ω)=x 1 . Следовательно, F(x)=p 1 . Аналогично, при x 2 < x ≤ x 3 событие {X < x} состоит из элементарных исходов ω , для которых либо X(ω)=x 1 , либо X(ω)=x 2 , то есть {X < x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Следовательно, F(x)=p 1 +p 2 и т.д. При x > x n событие {X < x} достоверно, тогда F(x)=1 .

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать также аналитически в виде некоторой формулы или графически. Например, распределение игральной кости описывается формулой

P{X=i} = 1/6 , i=1, 2, …, 6 .

Некоторые дискретные случайные величины

Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n в соответствии с распределением, заданным формулой Бернулли:

Это распределение является не чем иным, как распределения числа успехов X в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи q=1-p .

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями

где λ > 0 - параметр распределения Пуассона.

Распределение Пуассона также называют законом редких событий, так как оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит «редкое» событий.

В соответствие с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества.

Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть X - число испытаний, которое необходимо провести прежде, чем появится первый успех. Тогда X - дискретная случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2, …, n , … Определим вероятность события {X=n} .

• X=0 , если в первом испытании произойдет успех, следовательно, P{X=0}=p .
• X=1 , если в первом испытании произойдет неудача, а во втором - успех, то P{X=1}=qp .
• X=2 , если в первых двух испытаниях - неудача, а в третьем - успех, то P{X=2}=q 2 p .
• Продолжая процедуру, получим P{X=i}=q i p , i=0, 1, 2, …

  Случайную величину с таким рядом распределения называют распределенной согласно геометрическому закону.