पॉवर फंक्शन आणि रूट्स - व्याख्या, गुणधर्म आणि सूत्रे. फंक्शन y = x चे वर्गमूळ, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख

विषयावरील धडा आणि सादरीकरण: "पॉवर फंक्शन्स. क्यूबिक रूट. क्यूबिक रूटचे गुणधर्म"

अतिरिक्त साहित्य
प्रिय वापरकर्ते, आपल्या टिप्पण्या, अभिप्राय, सूचना देण्यास विसरू नका! सर्व सामग्री अँटीव्हायरस प्रोग्रामद्वारे तपासली जाते.

इयत्ता 9 साठी ऑनलाइन स्टोअर "इंटिग्रल" मध्ये शिकवण्याचे साधन आणि सिम्युलेटर
शैक्षणिक कॉम्प्लेक्स 1C: "पॅरामीटर्ससह बीजगणितीय समस्या, ग्रेड 9-11" सॉफ्टवेअर वातावरण "1C: गणितीय रचनाकार 6.0"

पॉवर फंक्शनची व्याख्या - घनमूळ

मित्रांनो, आम्ही अभ्यास सुरू ठेवतो शक्ती कार्ये. आज आपण x फंक्शनच्या क्यूब रूटबद्दल बोलणार आहोत.
घनमूळ म्हणजे काय?
$y^3=x$ सत्य असल्यास y संख्येला x (थर्ड डिग्री रूट) चे घनमूळ म्हणतात.
ते $\sqrt(x)$ म्हणून दर्शविले जातात, जेथे x ही मूळ संख्या आहे, 3 घातांक आहे.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
जसे आपण पाहू शकतो, घनमूळ ऋण संख्यांमधून देखील काढता येते. असे दिसून आले की आपले मूळ सर्व संख्यांसाठी अस्तित्वात आहे.
ऋण संख्येचे तिसरे मूळ आहे ऋण संख्या. विषम पॉवरवर वाढवल्यावर, चिन्ह जतन केले जाते, तिसरी शक्ती विषम असते.

चला समानता तपासू: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
चला $\sqrt((-x))=a$ आणि $\sqrt(x)=b$. चला दोन्ही अभिव्यक्ती तिसऱ्या बळावर वाढवू. $–x=a^3$ आणि $x=b^3$. नंतर $a^3=-b^3$ किंवा $a=-b$. मुळांच्या नोटेशनमध्ये, आपल्याला इच्छित ओळख प्राप्त होते.

घन मुळांचे गुणधर्म

अ) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

चला दुसरा गुणधर्म सिद्ध करूया. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
आम्हाला आढळले की घन मधील $\sqrt(\frac(a)(b))$ ही संख्या $\frac(a)(b)$ सारखी आहे आणि नंतर ती $\sqrt(\frac(a) च्या बरोबरीची आहे. (b))$, जे आणि सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

मित्रांनो, आपला फंक्शन आलेख प्लॉट करू.
1) व्याख्येचे क्षेत्र वास्तविक संख्यांचा संच आहे.
२) फंक्शन विषम आहे कारण $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. पुढे, $x≥0$ साठी आमचे कार्य विचारात घ्या, नंतर मूळच्या सापेक्ष आलेख प्रतिबिंबित करा.
3) फंक्शन $х≥0$ साठी वाढते. आमच्या फंक्शनसाठी, वितर्काचे मोठे मूल्य फंक्शनच्या मोठ्या मूल्याशी संबंधित आहे, म्हणजे वाढणे.
4) फंक्शन वरून मर्यादित नाही. खरं तर, अनियंत्रितपणे मोठ्या संख्येवरून, तुम्ही थर्ड डिग्रीच्या रूटची गणना करू शकता आणि आम्ही वादाची कधीही मोठी मूल्ये शोधून अनंतापर्यंत जाऊ शकतो.
5) $x≥0$ साठी, सर्वात लहान मूल्य 0 आहे. ही मालमत्ता स्पष्ट आहे.
x≥0 च्या बिंदूंनी फंक्शनचा आलेख बनवू.

संपूर्ण परिभाषाच्या डोमेनवर फंक्शनचा आलेख तयार करू. लक्षात ठेवा की आमचे कार्य विषम आहे.

कार्य गुणधर्म:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) विषम कार्य.
3) (-∞;+∞) ने वाढते.
4) अमर्यादित.
5) कोणतेही किमान किंवा कमाल मूल्य नाही.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) उत्तल खाली (-∞;0) ने, उत्तल वरच्या दिशेने (0;+∞).

पॉवर फंक्शन्स सोडवण्याची उदाहरणे

उदाहरणे
1. $\sqrt(x)=x$ हे समीकरण सोडवा.
उपाय. एकाच समन्वय समतल $y=\sqrt(x)$ आणि $y=x$ वर दोन आलेख बनवू.

जसे तुम्ही बघू शकता, आमचे आलेख तीन बिंदूंना छेदतात.
उत्तर: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. फंक्शनचा आलेख तयार करा. $y=\sqrt((x-2))-3$.
उपाय. आमचा आलेख $y=\sqrt(x)$ फंक्शनच्या आलेखावरून, दोन युनिट्स उजवीकडे आणि तीन युनिट्स खाली समांतर हलवून मिळवला जातो.

3. फंक्शन आलेख तयार करा आणि तो वाचा. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(केसेस)$.
उपाय. आपल्या अटी लक्षात घेऊन एकाच समन्वय समतलावर फंक्शन्सचे दोन आलेख बनवू. $х≥-1$ साठी आपण क्यूबिक रूटचा आलेख तयार करतो, $х≤-1$ साठी रेखीय फंक्शनचा आलेख.
1) D(y)=(-∞;+∞).
२) कार्य सम किंवा विषम नाही.
3) (-∞;-1) ने कमी होते, (-1;+∞) ने वाढते.
4) वरून अमर्यादित, खालून मर्यादित.
5) सर्वात मोठे मूल्यनाही सर्वात लहान मूल्य वजा एक आहे.
6) फंक्शन संपूर्ण वास्तविक रेषेवर सतत चालू असते.
7) E(y)= (-1;+∞).

स्वतंत्र समाधानासाठी कार्ये

1. $\sqrt(x)=2-x$ हे समीकरण सोडवा.
2. $y=\sqrt((x+1))+1$ फंक्शन प्लॉट करा.
3. फंक्शनचा आलेख तयार करा आणि तो वाचा. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(केसेस)$.

परिचयाऐवजी

धड्यांमध्ये आधुनिक तंत्रज्ञान (CSE) आणि अध्यापन साहाय्यांचा (मल्टीमीडिया बोर्ड) वापर शिक्षकांना धड्यांचे प्रभावी नियोजन आणि आयोजन करण्यास, विद्यार्थ्यांना कौशल्य समजून घेण्यासाठी, लक्षात ठेवण्यासाठी आणि सराव करण्यासाठी परिस्थिती निर्माण करण्यास मदत करते.

धडा दरम्यान आपण शिकण्याचे विविध प्रकार एकत्र केल्यास धडा गतिमान आणि मनोरंजक होईल.

आधुनिक शिक्षणशास्त्रात, शिक्षणाचे चार सामान्य संस्थात्मक प्रकार आहेत:

• वैयक्तिकरित्या मध्यस्थी;
• बाष्प कक्ष;
• गट;

सामूहिक (अदलाबदल करण्यायोग्य रचनेच्या जोड्यांमध्ये). (डायचेन्को व्ही.के. मॉडर्न डिडॅक्टिक्स. - एम.: सार्वजनिक शिक्षण, 2005).

पारंपारिक धड्यात, नियम म्हणून, वर सूचीबद्ध केलेल्या शिक्षणाचे फक्त पहिले तीन संस्थात्मक प्रकार वापरले जातात. शिक्षणाचे सामूहिक स्वरूप (शिफ्टच्या जोडीमध्ये काम) व्यावहारिकपणे शिक्षक वापरत नाही. तथापि, शिक्षणाचे हे संघटनात्मक स्वरूप संघाला प्रत्येकाला प्रशिक्षण देण्यास सक्षम करते आणि इतरांच्या प्रशिक्षणात सक्रियपणे सहभागी होऊ शकते. CSR तंत्रज्ञानामध्ये शिक्षणाचे सामूहिक स्वरूप अग्रगण्य आहे.

सामूहिक शिक्षणाच्या तंत्रज्ञानाच्या सर्वात सामान्य पद्धतींपैकी एक म्हणजे "परस्पर प्रशिक्षण" पद्धत.

हे "जादू" तंत्र कोणत्याही विषयात आणि कोणत्याही धड्यात चांगले आहे. उद्देश प्रशिक्षण आहे.

प्रशिक्षण हे आत्म-नियंत्रणाचे वारस आहे, ते विद्यार्थ्याला अभ्यासाच्या विषयाशी संपर्क स्थापित करण्यास मदत करते, योग्य पायऱ्या-कृती शोधणे सोपे करते. संपादन, एकत्रीकरण, पुनर्गठन, पुनरावृत्ती, ज्ञानाचा वापर या प्रशिक्षणाद्वारे मानवी संज्ञानात्मक क्षमतांचा विकास होतो. (यानोवित्स्काया ई.व्ही. वर्गात कसे शिकवायचे आणि शिकायचे जेणेकरून तुम्हाला शिकायचे आहे. अल्बम-संदर्भ पुस्तक. - सेंट पीटर्सबर्ग: शैक्षणिक प्रकल्प, एम.: प्रकाशक ए.एम. कुशनीर, 2009.-पी.14; 131)

हे आपल्याला कोणत्याही नियमाची त्वरीत पुनरावृत्ती करण्यास, अभ्यासलेल्या प्रश्नांची उत्तरे लक्षात ठेवण्यास आणि आवश्यक कौशल्ये एकत्रित करण्यात मदत करेल. पद्धतीनुसार काम करण्यासाठी इष्टतम वेळ 5-10 मिनिटे आहे. नियमानुसार, प्रशिक्षण कार्ड्सवर काम तोंडी मोजणी दरम्यान केले जाते, म्हणजेच धड्याच्या सुरूवातीस, परंतु शिक्षकाच्या विवेकबुद्धीनुसार, ते धड्याच्या कोणत्याही टप्प्यावर, त्याच्या उद्दीष्टांवर अवलंबून आणि केले जाऊ शकते. रचना प्रशिक्षण कार्डमध्ये 5 ते 10 साधी उदाहरणे (प्रश्न, कार्ये) असू शकतात. वर्गातील प्रत्येक विद्यार्थ्याला एक कार्ड मिळते. कार्ड प्रत्येकासाठी भिन्न आहेत किंवा “एकत्रित पथक” (एकाच रांगेत बसलेली मुले) मधील प्रत्येकासाठी भिन्न आहेत. एकत्रित अलिप्तता (समूह) हे विशिष्ट शैक्षणिक कार्य करण्यासाठी विद्यार्थ्यांचे तात्पुरते सहकार्य आहे. (यालोवेट्स टी.व्ही. शिक्षकांच्या व्यावसायिक विकासामध्ये शिकवण्याच्या सामूहिक पद्धतीचे तंत्रज्ञान: शैक्षणिक आणि पद्धतशीर नियमावली. - नोवोकुझनेत्स्क: पब्लिशिंग हाऊस ऑफ आयपीके, 2005. - पी. 122)

विषयावरील धडा प्रकल्प "फंक्शन y=, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख"

धड्याच्या प्रकल्पात, ज्याचा विषय आहे: “ फंक्शन y=, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख”पारंपारिक आणि मल्टीमीडिया शिकवण्याच्या साधनांच्या वापरासह परस्पर प्रशिक्षण तंत्राचा वापर सादर केला जातो.

धड्याचा विषय: " फंक्शन y=, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख”

ध्येय:

• नियंत्रण कार्यासाठी तयारी;
• फंक्शनच्या सर्व गुणधर्मांचे ज्ञान आणि फंक्शन आलेख प्लॉट करण्याची आणि त्यांचे गुणधर्म वाचण्याची क्षमता तपासणे.

कार्ये: विषय पातळी:

अतिविषय स्तर:

• ग्राफिक माहितीचे विश्लेषण करण्यास शिका;
• संवाद आयोजित करण्याची क्षमता विकसित करा;
• आलेखांसह कार्य करण्याच्या उदाहरणाचा वापर करून परस्पर व्हाईटबोर्डसह कार्य करण्याची क्षमता आणि कौशल्य विकसित करा.

धड्याची रचना	वेळ
1. शिक्षकाची माहिती इनपुट (ITI)	5 मिनिटे.
2. मूलभूत ज्ञानाचे वास्तविकीकरण: कार्यपद्धतीनुसार शिफ्टच्या जोडीमध्ये कार्य करा “परस्पर प्रशिक्षण”	8 मि.
3. "फंक्शन y=, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख" या विषयाशी परिचित: शिक्षक सादरीकरण	8 मि.
4. “कार्य” या विषयावर नव्याने अभ्यास केलेल्या आणि आधीच उत्तीर्ण झालेल्या साहित्याचे एकत्रीकरण: परस्पर व्हाईटबोर्ड वापरून	15 मिनिटे.
5. आत्म-नियंत्रण : चाचणी स्वरूपात	7 मि.
6. सारांश, गृहपाठ रेकॉर्डिंग.	2 मिनिटे.

चला प्रत्येक टप्प्याच्या सामग्रीवर जवळून नजर टाकूया.

1. शिक्षकांच्या माहिती इनपुटमध्ये (ITI) एक संस्थात्मक क्षण समाविष्ट आहे; विषय, उद्देश आणि धड्याची योजना व्यक्त करणे; परस्पर प्रशिक्षणाच्या पद्धतीनुसार जोड्यांमध्ये कामाचा नमुना दर्शवित आहे.

धड्याच्या या टप्प्यावर विद्यार्थ्यांद्वारे जोड्यांमध्ये कामाच्या नमुन्याचे प्रात्यक्षिक, आम्हाला आवश्यक असलेल्या तंत्राच्या कार्याच्या अल्गोरिदमची पुनरावृत्ती करण्याचा सल्ला दिला जातो, कारण. धड्याच्या पुढील टप्प्यावर, संपूर्ण वर्ग संघाचे कार्य त्यावर नियोजित आहे. त्याच वेळी, तुम्ही अल्गोरिदमनुसार (असल्यास) कामातील त्रुटींना नाव देऊ शकता, तसेच या विद्यार्थ्यांच्या कामाचे मूल्यांकन करू शकता.

2. संदर्भ ज्ञानाचे प्रत्यक्षीकरण परस्पर प्रशिक्षणाच्या पद्धतीनुसार शिफ्ट रचनांच्या जोड्यांमध्ये केले जाते.

कार्यपद्धतीच्या अल्गोरिदममध्ये वैयक्तिक, जोडलेले (स्थिर जोड्या) आणि सामूहिक (शिफ्ट कंपोझिशनच्या जोड्या) प्रशिक्षणाचे संघटनात्मक प्रकार समाविष्ट आहेत.

वैयक्तिक: कार्ड प्राप्त करणारा प्रत्येकजण त्याच्या सामग्रीशी परिचित होतो (कार्डच्या मागील बाजूस असलेले प्रश्न आणि उत्तरे वाचतो).

• पहिला(“प्रशिक्षणार्थी” च्या भूमिकेत) कार्य वाचतो आणि भागीदाराच्या कार्डच्या प्रश्नांची उत्तरे देतो;
• दुसरा("कोच" च्या भूमिकेत) - कार्डच्या मागील बाजूस उत्तरांची शुद्धता तपासते;
• त्याचप्रमाणे दुसर्या कार्डवर कार्य करा, भूमिका बदलणे;
• वैयक्तिक शीटमध्ये चिन्ह बनवा आणि कार्ड बदला;
• नवीन जोडीकडे जा.

सामूहिक:

• नवीन जोडीमध्ये ते पहिल्याप्रमाणेच कार्य करतात; नवीन जोडीमध्ये संक्रमण इ.

धड्याच्या या टप्प्यासाठी शिक्षकांनी दिलेल्या वेळेवर, प्रत्येक विद्यार्थ्याच्या परिश्रम आणि समजून घेण्याच्या गतीवर आणि सहयोगी भागीदारांवर संक्रमणांची संख्या अवलंबून असते.

जोड्यांमध्ये काम केल्यानंतर, विद्यार्थी रेकॉर्ड शीटवर गुण तयार करतात, शिक्षक कामाचे परिमाणात्मक आणि गुणात्मक विश्लेषण करतात.

सूची यासारखी दिसू शकते:

इव्हानोव्ह पेट्या 7 "ब" वर्ग

तारीख	कार्ड क्रमांक	चुकांची संख्या	तुम्ही कोणासोबत काम केले
20.12.09	№7	0	सिदोरोव के.
	№3	2	पेट्रोव्हा एम.
	№2	1	सामोइलोवा झेड.

3. "फंक्शन y =, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख" या विषयाची ओळख शिक्षकाने मल्टीमीडिया शिक्षण साधनांचा वापर करून सादरीकरणाच्या स्वरूपात केली आहे (परिशिष्ट 4). एकीकडे, हा एक व्हिज्युअलायझेशन पर्याय आहे जो आधुनिक विद्यार्थ्यांना समजण्यासारखा आहे, तर दुसरीकडे, नवीन सामग्री समजावून सांगण्यात वेळ वाचवतो.

4. “कार्य” या विषयावरील नव्याने अभ्यासलेल्या आणि आधीच उत्तीर्ण झालेल्या साहित्याचे एकत्रीकरण ” पारंपारिक अध्यापन साधन (बोर्ड, पाठ्यपुस्तक) आणि नाविन्यपूर्ण (परस्परसंवादी व्हाईटबोर्ड) वापरून दोन आवृत्त्यांमध्ये आयोजित.

प्रथम, नव्याने अभ्यासलेल्या साहित्याचे एकत्रीकरण करण्यासाठी पाठ्यपुस्तकातील अनेक कार्ये दिली जातात. अध्यापनासाठी पाठ्यपुस्तक वापरले जाते. संपूर्ण वर्गासह एकाच वेळी कार्य केले जाते. या प्रकरणात, एक विद्यार्थी पारंपारिक बोर्डवर "ए" कार्य करतो; दुसरे टास्क “b” चालू आहे परस्पर व्हाईटबोर्ड, उर्वरित विद्यार्थी समान कार्यांचे निराकरण एका वहीत लिहून ठेवतात आणि त्यांच्या समाधानाची तुलना फलकांवर सादर केलेल्या समाधानाशी करतात. पुढे, शिक्षक ब्लॅकबोर्डवर विद्यार्थ्यांच्या कामाचे मूल्यांकन करतात.

त्यानंतर, "फंक्शन" विषयावरील अभ्यास केलेली सामग्री अधिक द्रुतपणे एकत्रित करण्यासाठी, परस्परसंवादी व्हाईटबोर्डसह फ्रंटल वर्क प्रस्तावित आहे, जे खालीलप्रमाणे आयोजित केले जाऊ शकते:

• कार्य आणि वेळापत्रक परस्पर व्हाईटबोर्डवर दिसतात;
• ज्या विद्यार्थ्याला उत्तर द्यायचे आहे तो बोर्डाकडे जातो, आवश्यक बांधकाम करतो आणि उत्तर देतो;
• बोर्डवर एक नवीन कार्य आणि नवीन वेळापत्रक दिसून येते;
• दुसरा विद्यार्थी उत्तर देण्यासाठी बाहेर येतो.

अशा प्रकारे, कमी कालावधीत, विद्यार्थ्यांच्या उत्तरांचे मूल्यमापन करणे, बरीच कामे सोडवणे शक्य आहे. स्वारस्य असलेली काही कार्ये (आगामी परीक्षेतील कार्यांसारखी) नोटबुकमध्ये रेकॉर्ड केली जाऊ शकतात.

5. आत्म-नियंत्रणाच्या टप्प्यावर, विद्यार्थ्यांना एक चाचणी दिली जाते आणि त्यानंतर आत्म-परीक्षण केले जाते (परिशिष्ट 3).

साहित्य

1. डायचेन्को, व्ही.के. आधुनिक शिक्षणशास्त्र [मजकूर] / व्ही.के. डायचेन्को - एम.: सार्वजनिक शिक्षण, 2005.
2. यालोवेट्स, टी.व्ही. शिक्षकाच्या व्यावसायिक विकासामध्ये अध्यापनाच्या सामूहिक पद्धतीचे तंत्रज्ञान: शैक्षणिक आणि पद्धतशीर पुस्तिका [मजकूर] / टी.व्ही. यालोव्हेट्स. - नोवोकुझनेत्स्क: IPC पब्लिशिंग हाऊस, 2005.
3. यानोवित्स्काया, ई.व्ही. वर्गात कसे शिकवायचे आणि शिकायचे जेणेकरून तुम्हाला शिकायचे आहे. संदर्भ पुस्तक [मजकूर] / ई.व्ही. यानोवित्स्काया. - सेंट पीटर्सबर्ग: शैक्षणिक प्रकल्प, एम.: प्रकाशक ए.एम. कुष्णीर, 2009.

विषय "पदवीचे मूळ पी"ते दोन धड्यांमध्ये मोडणे उचित आहे. पहिल्या धड्यात, घनमूळाचा विचार करा, त्याच्या गुणधर्मांची अंकगणित वर्गमूळाशी तुलना करा आणि या घनमूळ कार्याचा आलेख विचारात घ्या. नंतर दुसऱ्या धड्यात, विद्यार्थ्यांना अधिक चांगल्या प्रकारे समजेल. मुकुटची संकल्पना पी-वी पदवी. दोन प्रकारच्या मुळांची तुलना रूटच्या चिन्हाखाली असलेल्या नकारात्मक अभिव्यक्तींमधील मूल्यांच्या उपस्थितीसाठी "नमुनेदार" त्रुटी टाळण्यास मदत करेल.

दस्तऐवज सामग्री पहा
"क्यूब रूट"

धड्याचा विषय: घनमूळ

झिखारेव सेर्गेई अलेक्सेविच, गणिताचे शिक्षक, एमकेओयू "पोझिलिंस्काया शाळा क्रमांक 13"

धड्याची उद्दिष्टे:

• घनमूळ संकल्पना सादर करा;
• घनमुळांची गणना करण्याचे कौशल्य विकसित करा;
• अंकगणित वर्गमूळाचे ज्ञान पुन्हा करा आणि सामान्यीकरण करा;
• GIA साठी तयारी सुरू ठेवा.

d.z तपासत आहे.

खालीलपैकी एक संख्या समन्वय रेषेवर बिंदूने चिन्हांकित केली आहे परंतु. हा नंबर टाका.

शेवटच्या तीन कामांची संकल्पना काय आहे?

संख्येचे वर्गमूळ काय आहे a ?

संख्येचे अंकगणित वर्गमूळ काय आहे a ?

वर्गमूळ कोणती मूल्ये घेऊ शकतात?

मूळ अभिव्यक्ती ऋण संख्या असू शकते?

या भौमितिक शरीरांपैकी एका घनाचे नाव द्या

घनाचे गुणधर्म काय आहेत?

घनाची मात्रा कशी शोधायची?

घनाची बाजू समान असल्यास त्याचे आकारमान शोधा:

चला समस्या सोडवू

घनाची मात्रा 125 सेमी³ आहे. घनाची बाजू शोधा.

घनाची धार असू द्या एक्ससेमी, तर घनाची मात्रा आहे एक्स³ सेमी³. अटीनुसार एक्स³ = 125.

परिणामी, एक्स= 5 सेमी.

क्रमांक एक्स= 5 हे समीकरणाचे मूळ आहे एक्स³ = 125. या क्रमांकाला म्हणतात घनमूळकिंवा तिसरे मूळ 125 पैकी.

व्याख्या.

संख्येचे तिसरे मूळ aया क्रमांकावर कॉल केला जातो b, ज्याची तिसरी शक्ती समान आहे a .

पदनाम.

घनमूळ संकल्पना सादर करण्याचा आणखी एक दृष्टीकोन

क्यूबिक फंक्शनचे मूल्य दिले आहे a, तुम्ही त्या बिंदूवर क्यूबिक फंक्शन आर्ग्युमेंटचे मूल्य शोधू शकता. ते समान असेल, कारण मूळ काढणे हे शक्ती वाढवण्याच्या विरुद्ध आहे.

चौरस मुळे

व्याख्या. a चे वर्गमूळ ज्या संख्येचा वर्ग समान आहे त्याला नाव द्या a .

व्याख्या. a चे अंकगणित वर्गमूळ एक नॉन-ऋणात्मक संख्या आहे ज्याचा वर्ग समान आहे a .

नोटेशन वापरले जाते:

येथे a

घन मुळे

व्याख्या. घनमूळ एक पासून ज्या संख्येचा घन समान आहे त्याला नाव द्या a .

नोटेशन वापरले जाते:

"चे घनमूळ a", किंवा

"चे तिसरे मूळ a »

अभिव्यक्ती कोणत्याहीसाठी अर्थपूर्ण आहे a .

MyTestStudent प्रोग्राम लाँच करा.

चाचणी "ग्रेड 9 धडा" उघडा.

विश्रांतीचा मिनिट

काय धडे किंवा

तू तुझ्या आयुष्यात भेटलास

मूळ संकल्पनेसह?

"समीकरण"

तू समीकरण सोडवशील तेव्हा मित्रा,

आपण त्याला शोधले पाहिजे पाठीचा कणा.

पत्राचा अर्थ तपासणे सोपे आहे,

समीकरणात काळजीपूर्वक ठेवा.

योग्य समानता मिळाल्यास,

ते मूळ ताबडतोब मूल्य कॉल करा.

कोझमा प्रुत्कोव्हचे म्हणणे कसे समजते "मूळ पहा."

ही अभिव्यक्ती कधी वापरली जाते?

साहित्य आणि तत्त्वज्ञानात "दुष्टाचे मूळ" ही संकल्पना आहे.

तुम्हाला ही अभिव्यक्ती कशी समजते?

ही अभिव्यक्ती कोणत्या अर्थाने वापरली जाते?

क्यूब रूट नेहमी सहज आणि अचूकपणे काढला जातो का याचा विचार करा?

घनमूळाची अंदाजे मूल्ये शोधण्यासाठी काय वापरले जाऊ शकते?

फंक्शन आलेख वापरणे येथे = एक्स³, तुम्ही काही संख्यांच्या घनमुळांची अंदाजे गणना करू शकता.

फंक्शन आलेख वापरणे

येथे = एक्स³ मौखिकपणे मुळांचे अंदाजे मूल्य शोधा.

काय फंक्शन्स आलेखाशी संबंधित आहेत

गुण: A(8;2); (२१६;–६) मध्ये?

घनमूळाची उपव्यापक अभिव्यक्ती ऋण असू शकते का?

घनमूळ आणि वर्गमूळ यात काय फरक आहे?

घनमूळ ऋण असू शकते का?

तिसरे मूळ परिभाषित करा.

जे समान आहे $a$दुसऱ्या शब्दांत, हे समीकरणाचे समाधान आहे $x^3\; =\; a$(सामान्यतः वास्तविक उपाय निहित असतात).

वास्तविक मूळ

सूचक फॉर्म

जटिल संख्यांचे मूळ खालीलप्रमाणे परिभाषित केले जाऊ शकते:

$x^(1/3)\; =\; \backslash exp\; (\backslash tfrac13\; \backslash ln(x))$

कल्पना केली तर $x$कसे

$x\; =\; r\; \backslash exp(i\; \backslash theta)$

मग घनसंख्येचे सूत्र आहे:

$\backslash sqrt(x)\; =\; \backslash sqrt(r)\backslash exp(\backslash tfrac13\; i\backslash theta).$

याचा अर्थ भूमितीयदृष्ट्या असा होतो की ध्रुवीय निर्देशांकांमध्ये आपण त्रिज्याचे घनमूळ घेतो आणि घनमूळ शोधण्यासाठी ध्रुवीय कोन तीनने विभाजित करतो. तर जर $x$जटिल, नंतर $\backslash sqrt(-8)$याचा अर्थ नाही $-2$, असेल $1\; +\; i\backslash sqrt(3).$

पदार्थाच्या स्थिर घनतेवर, दोन समान शरीरांचे परिमाण त्यांच्या वस्तुमानाचे घनमूळ म्हणून एकमेकांशी संबंधित असतात. तर, जर एका टरबूजाचे वजन दुस-यापेक्षा दुप्पट असेल, तर त्याचा व्यास (तसेच परिघ) पहिल्यापेक्षा एक चतुर्थांश (26%) जास्त असेल; आणि डोळ्यांना असे दिसते की वजनातील फरक इतका लक्षणीय नाही. म्हणून, तराजूच्या अनुपस्थितीत (डोळ्याद्वारे विक्री) सहसा मोठे फळ खरेदी करणे अधिक फायदेशीर असते.

गणना पद्धती

स्तंभ

प्रारंभ करण्यापूर्वी, आपल्याला संख्या तिप्पट (संपूर्ण भाग - उजवीकडून डावीकडे, अंशात्मक भाग - डावीकडून उजवीकडे) विभाजित करणे आवश्यक आहे. जेव्हा तुम्ही दशांश बिंदूवर पोहोचता, तेव्हा तुम्ही निकालाच्या शेवटी दशांश बिंदू ठेवला पाहिजे.

अल्गोरिदम आहे:

1. अशी संख्या शोधा ज्याचा घन पहिल्या अंकांच्या गटापेक्षा कमी आहे, परंतु जेव्हा तो 1 ने वाढवला जातो तेव्हा तो मोठा होतो. दिलेल्या संख्येच्या उजवीकडे सापडलेली संख्या लिहा. त्याखाली क्रमांक 3 लिहा.
2. अंकांच्या पहिल्या गटाखाली सापडलेल्या संख्येचा घन लिहा आणि वजा करा. वजाबाकीनंतर निकाल खाली लिहा. पुढे, संख्यांचा पुढील गट खाली घ्या.
3. पुढे, आम्ही सापडलेले मध्यवर्ती उत्तर अक्षराने बदलतो $a$. सूत्रासह गणना करा $$अशी संख्या $x$की त्याचा परिणाम तळाच्या संख्येपेक्षा कमी आहे, परंतु 1 ने वाढल्यावर तो मोठा होतो. तुम्हाला जे सापडेल ते रेकॉर्ड करा $x$उत्तराच्या उजवीकडे. आवश्यक अचूकता गाठली असल्यास, गणना थांबवा.
4. सूत्र वापरून गणनेचा परिणाम तळाशी असलेल्या संख्येखाली लिहा $300\backslash \; वेळा\; a^2\backslash times\; x+30\backslash times\; a\backslash times\; x^2+x^3$आणि वजाबाकी करा. पॉइंट 3 वर जा.

देखील पहा

"क्यूब रूट" लेखावर पुनरावलोकन लिहा

साहित्य

• कॉर्न जी., कॉर्न टी. 1.3-3. बेरीज, उत्पादन आणि भागफल यांचे प्रतिनिधित्व. पदवी आणि मुळे // गणिताची हँडबुक. - चौथी आवृत्ती. - एम.: नौका, 1978. - एस. 32-33.

क्यूब रूटचे वैशिष्ट्य दर्शविणारा उतारा

सकाळी नऊ वाजेपर्यंत, जेव्हा सैन्य आधीच मॉस्कोमधून निघून गेले होते, तेव्हा इतर कोणीही मोजणीचे आदेश विचारण्यास आले नाही. ज्यांना स्वार होऊ शकत होते ते सर्व स्वतःहून स्वार झाले; जे राहिले त्यांनी स्वतःसाठी ठरवले की त्यांनी काय करायचे आहे.
मोजणीने घोड्यांना सोकोलनिकीला जाण्यासाठी आणण्याचे आदेश दिले आणि, भुसभुशीत, पिवळा आणि शांत, तो त्याच्या कार्यालयात हात जोडून बसला.
वादळी नव्हे तर शांत काळात, प्रत्येक प्रशासकाला असे वाटते की केवळ त्याच्या प्रयत्नांमुळेच त्याच्या नियंत्रणाखालील संपूर्ण लोकसंख्या हलत आहे आणि त्याच्या आवश्यकतेच्या जाणीवेनुसार, प्रत्येक प्रशासकाला त्याच्या श्रमांचे आणि प्रयत्नांचे मुख्य प्रतिफळ वाटते. हे स्पष्ट आहे की जोपर्यंत ऐतिहासिक समुद्र शांत आहे, तोपर्यंत शासक-प्रशासकाला असे वाटले पाहिजे की, त्याची नाजूक बोट त्याच्या खांबासह लोकांच्या जहाजासमोर विसावली आहे आणि स्वत: हलवत आहे, ज्या जहाजावर तो विसावला आहे ते जहाज पुढे जात आहे. त्याचे प्रयत्न. पण वादळ उठताच, समुद्र खवळला आणि जहाज स्वतःच पुढे सरकले, मग भ्रम होणे अशक्य आहे. जहाज त्याच्या स्वत: च्या प्रचंड, स्वतंत्र मार्गावर फिरते, पोल चालत्या जहाजापर्यंत पोहोचत नाही आणि शासक अचानक शासकाच्या स्थितीतून, शक्तीचा स्रोत, एका क्षुल्लक, निरुपयोगी आणि कमकुवत व्यक्तीमध्ये जातो.
रोस्टोपचिनला हे जाणवले आणि यामुळे तो चिडला. जमावाने थांबवलेले पोलीस प्रमुख, घोडे तयार असल्याची खबर द्यायला आलेले ऍडज्युटंट गणात घुसले. दोघेही फिकट गुलाबी होते, आणि पोलिस प्रमुखांनी, त्याच्या आदेशाच्या अंमलबजावणीचा अहवाल देताना सांगितले की लोकांचा मोठा जमाव मोजणीच्या अंगणात उभा होता, ज्यांना त्याला पाहायचे होते.
रोस्टोपचिन, एका शब्दाचेही उत्तर न देता, उठला आणि वेगवान पावलांनी त्याच्या आलिशान उज्ज्वल दिवाणखान्यात गेला, बाल्कनीच्या दाराकडे गेला, हँडल धरला, ते सोडले आणि खिडकीकडे गेला, जिथून संपूर्ण गर्दी दिसत होती. समोरच्या रांगेत एक उंच माणूस उभा होता आणि ताठर चेहऱ्याने हात हलवत काहीतरी म्हणाला. रक्ताळलेला लोहार त्याच्या बाजूला उदास नजरेने उभा होता. बंद खिडक्यांमधून आवाजांची कुरकुर ऐकू येत होती.
क्रू तयार आहे का? - रोस्टोपचिन खिडकीपासून दूर जात म्हणाला.
“तयार, महामहिम,” सहायक म्हणाला.
रोस्टोपचिन पुन्हा बाल्कनीच्या दारात गेला.
- त्यांना काय हवे आहे? त्याने पोलीस प्रमुखांना विचारले.
- महामहिम, ते म्हणतात की ते तुमच्या आदेशानुसार फ्रेंचकडे जाणार होते, ते देशद्रोहाबद्दल काहीतरी ओरडत होते. पण जंगली गर्दी, महामहिम. मी जबरदस्तीने निघून गेले. महामहिम, मी सुचवायचे धाडस करतो...
“तू प्लीज गेलास तर तुझ्याशिवाय काय करायचं ते मला माहीत आहे,” रोस्तोपचिन रागाने ओरडला. तो बाल्कनीच्या दारात उभा राहून गर्दीकडे बघत होता. “त्यांनी रशियाशी हेच केले! त्यांनी माझ्याशी हेच केले!" रोस्तोपचिनला वाटले की, घडलेल्या प्रत्येक गोष्टीचे श्रेय ज्याला सांगता येईल अशा एखाद्या व्यक्तीविरुद्ध त्याच्या आत्म्यात अनियंत्रित राग वाढत आहे. बर्‍याचदा हॉट लोकांप्रमाणेच, रागाने त्याला आधीच ताब्यात घेतले होते, परंतु तरीही तो त्याच्यासाठी वस्तू शोधत होता. “ला व्होइला ला पॉप्युलेस, ला लाय डु पीपल,” त्याने गर्दीकडे बघत विचार केला, “ला प्लेबे क्यू” इल्स ऑन सोलवेई पार लेउर सॉटिस. ज्यांना त्यांनी त्यांच्या मूर्खपणाने वाढवले! त्यांना त्यागाची गरज आहे.”] - असे घडले. तो, हात हलवत उंच माणसाकडे बघत होता. आणि त्याच कारणास्तव त्याला असे वाटले की त्याला स्वतःला या बळीची गरज आहे, त्याच्या रागासाठी ही वस्तु.
क्रू तयार आहे का? त्याने पुन्हा विचारले.
“तयार, महामहिम. व्हेरेशचगिनबद्दल तुम्हाला काय हवे आहे? तो पोर्चमध्ये वाट पाहत आहे, सहायकाने उत्तर दिले.
- परंतु! रोस्टोपचिन ओरडला, जणू काही अनपेक्षित आठवणीने आदळला.
आणि, पटकन दार उघडून, तो निर्णायक पावलांनी बाल्कनीत गेला. संभाषण अचानक थांबले, टोपी आणि टोप्या काढल्या गेल्या आणि सर्वांच्या नजरा बाहेर आलेल्या मोजणीकडे गेल्या.
- नमस्कार मित्रांनो! पटकन आणि जोरात मोजणी म्हणाली. - आल्याबद्दल धन्यवाद. मी आता तुमच्याकडे येईन, परंतु सर्वप्रथम आपल्याला खलनायकाशी सामना करणे आवश्यक आहे. मॉस्कोला मारणाऱ्या खलनायकाला आपण शिक्षा करायला हवी. माझ्यासाठी थांब! - आणि गणती तितक्याच लवकर दारावर जोरात आदळत चेंबरमध्ये परतली.
गर्दीतून मंजुरीची कुरकुर सुरू झाली. “तर, तो खलनायकांच्या वापरावर नियंत्रण ठेवेल! आणि तुम्ही फ्रेंच म्हणता ... तो तुमच्यासाठी संपूर्ण अंतर उघडेल! लोक म्हणाले, जणू विश्वास नसल्याबद्दल एकमेकांची निंदा करत आहेत.

मित्रांनो, आम्ही पॉवर फंक्शन्सचा अभ्यास सुरू ठेवतो. आजच्या धड्याचा विषय फंक्शन असेल - x चे घनमूळ. घनमूळ म्हणजे काय? समानता पूर्ण झाल्यास y या संख्येला x चे घनमूळ (तिसऱ्या अंशाचे मूळ) म्हणतात: दर्शवा: जेथे x ही मूलगामी संख्या आहे, 3 हा घातांक आहे.

जसे आपण पाहू शकतो, घनमूळ ऋण संख्यांमधून देखील काढता येते. असे दिसून आले की आपले मूळ सर्व संख्यांसाठी अस्तित्वात आहे. ऋण संख्येचे तिसरे मूळ ऋण संख्येच्या बरोबरीचे असते. विषम पॉवरवर वाढवल्यावर, चिन्ह जतन केले जाते, तिसरी शक्ती विषम असते. चला समानता तपासूया: चला. आपण दोन्ही अभिव्यक्ती तिसऱ्या शक्तीवर वाढवतो मग किंवा मुळांच्या नोटेशनमध्ये आपल्याला इच्छित ओळख प्राप्त होते.

मित्रांनो, आता आपले कार्य प्लॉट करूया. 1) व्याख्येचे क्षेत्र वास्तविक संख्यांचा संच आहे. 2) फंक्शन विषम आहे, कारण पुढे आपण x 0 वर आपले फंक्शन विचारात घेतो, त्यानंतर आपण मूळच्या सापेक्ष आलेख प्रतिबिंबित करतो. 3) फंक्शन x 0 वर वाढते. आमच्या फंक्शनसाठी, वितर्काचे मोठे मूल्य फंक्शनच्या मोठ्या मूल्याशी संबंधित असते, म्हणजे वाढ. 4) फंक्शन वरून मर्यादित नाही. खरं तर, अनियंत्रितपणे मोठ्या संख्येवरून, तुम्ही थर्ड डिग्रीच्या रूटची गणना करू शकता आणि आम्ही वादाची कधीही मोठी मूल्ये शोधून अनंतापर्यंत जाऊ शकतो. 5) x 0 साठी, सर्वात लहान मूल्य 0 आहे. हा गुणधर्म स्पष्ट आहे.

संपूर्ण परिभाषाच्या डोमेनवर फंक्शनचा आलेख तयार करू. लक्षात ठेवा की आमचे कार्य विषम आहे. कार्य गुणधर्म: 1) D(y)=(-;+) 2) विषम कार्य. 3) (-;+) ने वाढते 4) अमर्यादित. 5) कोणतेही किमान किंवा कमाल मूल्य नाही. 6) फंक्शन संपूर्ण वास्तविक रेषेवर सतत चालू असते. ७) E (y) \u003d (-; +). 8) उत्तल (-; 0) ने खाली, उत्तल वर (0; +).

उदाहरण. फंक्शनचा आलेख करा आणि ते वाचा. उपाय. आपल्या अटी लक्षात घेऊन एकाच समन्वय समतलावर फंक्शन्सचे दोन आलेख बनवू. x-1 वर आपण क्यूब रूटचा आलेख तयार करतो, x-1 वर रेखीय कार्याचा आलेख बनवतो. 1) D(y)=(-;+) 2) फंक्शन सम किंवा विषम नाही. 3) (-;-1) ने कमी होते, (-1;+) ने वाढते 4) वरून अमर्यादित, खालून मर्यादित. 5) कमाल मूल्य नाही. सर्वात लहान मूल्य वजा एक आहे. 6) फंक्शन संपूर्ण वास्तविक रेषेवर सतत चालू असते. ७) E(y)= (-1;+)