ओळी एकाच विमानात आहेत हे तपासा. ओळींची परस्पर व्यवस्था. रेषा आणि विमानाचा छेदनबिंदू

या धड्यात, आम्ही सिद्धांताच्या मुख्य तरतुदींची पुनरावृत्ती करू आणि "रेषा आणि विमानांची समांतरता" या विषयावरील अधिक जटिल समस्या सोडवू.
धड्याच्या सुरुवातीला, सरळ रेषेची व्याख्या, समतल समांतर आणि प्रमेय - सरळ रेषा आणि समतल समांतरतेचे चिन्ह आठवू या. आपल्याला समांतर विमानांची व्याख्या आणि समांतर विमानांचे प्रमेय-चिन्ह देखील आठवते. पुढे, आम्हाला स्क्यू रेषांची व्याख्या आणि स्क्यू रेषांसाठी निकष प्रमेय तसेच प्रमेय आठवतो की कोणत्याही स्क्यू रेषांद्वारे दुसर्या रेषेच्या समांतर समतल रेखा काढणे शक्य आहे. या प्रमेयावरून आम्ही एक निष्कर्ष काढतो - दोन तिरकस रेषा समांतर समतलांच्या एका जोडीशी जुळतात असे विधान.
पुढे, आम्ही पुनरावृत्ती सिद्धांत वापरून आणखी अनेक जटिल समस्या सोडवतो.

विषय: रेषा आणि विमानांची समांतरता

धडा: सिद्धांताची पुनरावृत्ती. "रेषा आणि विमानांची समांतरता" या विषयावर अधिक जटिल समस्या सोडवणे

या धड्यात, आम्ही सिद्धांताच्या मुख्य तरतुदींची पुनरावृत्ती करू आणि विषयावरील अधिक जटिल समस्या सोडवू "रेषा आणि विमानांची समांतरता".

व्याख्या.रेषा आणि समतल समांतर असे म्हणतात जर त्यांच्यात समान बिंदू नसतील.

दिलेल्या समतलात नसलेली रेषा या समतलातील काही रेषेच्या समांतर असेल तर ती दिलेल्या समतलाला समांतर असते.

सरळ रेषा द्या aआणि विमान (चित्र 1). विमानात सरळ रेषा आहे b, जे रेषेच्या समांतर आहे a. समांतर रेषा पासून aआणि bसमांतर रेषा खालीलप्रमाणे आहे aआणि विमाने.

1. भूमिती. ग्रेड 10-11: शैक्षणिक संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी पाठ्यपुस्तक (मूलभूत आणि प्रोफाइल स्तर) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5 वी आवृत्ती, दुरुस्त आणि पूरक - एम.: नेमोझिना, 2008. - 288 पी.: आजारी.

असाइनमेंट 9, 10 p. 23

2. तीन रेषा जोड्यांमध्ये छेदतात. या सर्व रेषांना कोणतेही विमान समांतर असू शकते का?

3. बिंदू M द्वारे, फक्त एक सरळ रेषा काढली जाऊ शकते, α आणि β समांतर. ही विमाने समांतर आहेत का?

4. दोन ट्रॅपेझियममध्ये एक समान मध्यरेखा असते. α विमान ट्रॅपेझियमच्या लहान तळांमधून जाते आणि β विमान ट्रॅपेझियमच्या मोठ्या तळांमधून जाते. विमाने α आणि β समांतर आहेत का?

5. अ ब क ड- चतुर्भुज. बिंदू M त्याच्या समतल बाहेर आहे. विभागांचे मध्यबिंदू समान समतल आहेत का? एमए, एमव्ही, एमएस, एमडी?

अंतराळातील दोन सरळ रेषांसाठी, चार प्रकरणे शक्य आहेत:

सरळ रेषा जुळतात;

रेषा समांतर आहेत (परंतु समान नाहीत);

रेषा एकमेकांना छेदतात;

रेषा एकमेकांना छेदतात, म्हणजे. सामान्य बिंदू नाहीत आणि समांतर नाहीत.

ओळींचे वर्णन करण्याच्या दोन पद्धतींचा विचार करा: प्रामाणिक समीकरणे आणि सामान्य समीकरणे. L 1 आणि L 2 या ओळी प्रामाणिक समीकरणांद्वारे दिल्या जाऊ द्या:

L 1: (x - x 1) / l 1 = (y - y 1) / m 1 = (z - z 1) / n 1 , L 2: (x - x 2) / l 2 = (y - y 2) / m 2 \u003d (z - z 2) / n 2 (6.9)

प्रत्‍येक सरळ रेषेसाठी त्‍याच्‍या प्रमाणिक समीकरणांमध्‍ये, आम्‍ही ताबडतोब त्यावर M 1 (x 1; y 1; z 1) ∈ L 1 , M 2 (x 2 ; y 2; z 2) ∈ L 2 आणि L 2 साठी L 1 , s 2 = (l 2 ; m 2 ; n 2 ) साठी s 1 = (l 1 ; m 1 ; n 1 ) दिशा वेक्टरचे निर्देशांक.

जर रेषा जुळत असतील किंवा समांतर असतील, तर त्यांचे दिशा वेक्टर s 1 आणि s 2 समरेखीय आहेत, जे या सदिशांच्या निर्देशांकांच्या गुणोत्तरांच्या समानतेच्या समतुल्य आहेत:

l 1 / l 2 \u003d m 1 / m 2 \u003d n 1 / n 2. (६.१०)

जर रेषा जुळत असतील तर दिशा वेक्टर देखील वेक्टर M 1 M 2 सह समरेखित आहेत :

(x 2 - x 1) / l 1 \u003d (y 2 - y 1) / m 1 \u003d (z 2 - z 1) / n 1. (६.११)

या दुहेरी समानतेचा अर्थ असा आहे की बिंदू M 2 हा L 1 रेषेचा आहे. म्हणून, रेषा जुळण्याची अट म्हणजे समानता (6.10) आणि (6.11) एकाच वेळी पूर्ण करणे.

जर रेषा एकमेकांना छेदतात किंवा ओलांडतात, तर त्यांची दिशा वेक्टर अ-समरेखीय असतात, म्हणजे. स्थिती (6.10) चे उल्लंघन केले आहे. छेदणार्‍या रेषा एकाच समतलात असतात आणि म्हणूनच, वेक्टर s 1, s 2 आणि M 1 M 2 आहेत coplanarतिसरा क्रम निर्धारकत्यांच्या समन्वयाने बनलेले (३.२ पहा):

स्थिती (6.12) चारपैकी तीन प्रकरणांमध्ये समाधानी आहे, कारण Δ ≠ 0 साठी रेषा एकाच समतलाशी संबंधित नाहीत आणि म्हणून ते एकमेकांना छेदतात.

चला सर्व अटी एकत्र आणूया:

ओळींची म्युच्युअल व्यवस्था सिस्टमसाठी सोल्यूशनच्या संख्येद्वारे दर्शविली जाते (6.13). जर रेषा जुळत असतील तर, सिस्टममध्ये अमर्यादपणे अनेक उपाय आहेत. जर रेषा एकमेकांना छेदत असतील तर या प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे. समांतर किंवा क्रॉसिंग डायरेक्ट सोल्यूशन्सच्या बाबतीत कोणतेही थेट उपाय नाहीत. शेवटच्या दोन केसेस रेषांच्या दिशा वेक्टर शोधून वेगळे केल्या जाऊ शकतात. हे करण्यासाठी, दोन गणना करणे पुरेसे आहे वेक्टर कार्य करते n 1 × n 2 आणि n 3 × n 4 , जेथे n i = (A i ; B i ; C i ), i = 1, 2, 3.4. परिणामी वेक्टर समरेख असल्यास, दिलेल्या रेषा समांतर असतात. अन्यथा ते आंतरप्रजनन करतात.

उदाहरण 6.4.

या सरळ रेषेच्या विहित समीकरणांद्वारे L 1 च्या सरळ रेषेचा डायरेक्टिंग वेक्टर s 1 आढळतो: s 1 = (1; 3; -2). सरळ रेषेतील L 2 चे डायरेक्टिंग वेक्टर s 2 ची गणना विमानांच्या सामान्य वेक्टरच्या वेक्टर उत्पादनाचा वापर करून केली जाते, ज्याचा छेदनबिंदू आहे:

s 1 \u003d -s 2 असल्याने, रेषा समांतर किंवा एकरूप आहेत. दिलेल्या ओळींसाठी यापैकी कोणती परिस्थिती लक्षात येते ते शोधूया. हे करण्यासाठी, आम्ही बिंदू M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 च्या समन्वयांना L 2 च्या सामान्य समीकरणांमध्ये बदलतो. त्यापैकी पहिल्यासाठी, आम्हाला 1 = 0 मिळतो. म्हणून, बिंदू M 0 हा रेषा L 2 शी संबंधित नाही आणि विचाराधीन रेषा समांतर आहेत.

रेषांमधील कोन. वापरून दोन ओळींमधील कोन शोधता येतो दिशा वेक्टरथेट. रेषांमधला तीव्र कोन त्यांच्या दिशा वेक्टरमधील कोनाइतका असतो (चित्र 6.5) किंवा जर दिशा वेक्टरमधील कोन ओबटस असेल तर तो त्यास पूरक असतो. अशा प्रकारे, जर L 1 आणि L 2 रेषांसाठी त्यांचे दिशा वेक्टर s x आणि s 2 ज्ञात असतील, तर या रेषांमधील तीव्र कोन φ स्केलर उत्पादनाद्वारे निर्धारित केला जातो:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

उदाहरणार्थ, s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. गणना करण्यासाठी (2.9) आणि (2.14) सूत्रे वापरून वेक्टर लांबीआणि निर्देशांकातील स्केलर उत्पादन, आपल्याला मिळते

हा लेख समांतर रेषा आणि समांतर रेषांबद्दल आहे. प्रथम, समांतर रेषांची व्याख्या आणि अंतराळातील समांतर रेषांची व्याख्या दिली आहे, नोटेशन सादर केले आहे, समांतर रेषांची उदाहरणे आणि ग्राफिक चित्रे दिली आहेत. पुढे, सरळ रेषांच्या समांतरतेची चिन्हे आणि अटींचे विश्लेषण केले जाते. सरतेशेवटी, सरळ रेषांची समांतरता सिद्ध करण्याच्या ठराविक समस्यांसाठी उपाय दाखवले जातात, जे एका समतल आणि त्रिमितीय जागेत आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये सरळ रेषेच्या काही समीकरणांद्वारे दिले जातात.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

समांतर रेषा - मूलभूत माहिती.

व्याख्या.

विमानातील दोन ओळी म्हणतात समांतरत्यांच्याकडे सामान्य गुण नसल्यास.

व्याख्या.

तीन आयामातील दोन रेषा म्हणतात समांतरजर ते एकाच विमानात पडलेले असतील आणि त्यांना कोणतेही समान बिंदू नसतील.

लक्षात घ्या की अंतराळातील समांतर रेषांच्या व्याख्येतील "जर ते त्याच विमानात झोपले तर" हे कलम खूप महत्त्वाचे आहे. चला हा मुद्दा स्पष्ट करूया: त्रिमितीय जागेतील दोन सरळ रेषा ज्यात समान बिंदू नाहीत आणि त्या एकाच समतलात नसतात त्या समांतर नसून तिरकस आहेत.

समांतर रेषांची काही उदाहरणे येथे आहेत. नोटबुक शीटच्या विरुद्ध कडा समांतर रेषांवर असतात. घराच्या भिंतीचे समतल ज्या सरळ रेषा छताच्या आणि मजल्याच्या विमानांना छेदतात त्या समांतर आहेत. लेव्हल ग्राउंडवरील रेल्वे ट्रॅक देखील समांतर रेषा म्हणून विचारात घेतले जाऊ शकतात.

"" हे चिन्ह समांतर रेषा दर्शविण्यासाठी वापरले जाते. म्हणजेच, जर a आणि b या रेषा समांतर असतील, तर तुम्ही थोडक्यात b लिहू शकता.

लक्षात घ्या की जर रेषा a आणि b समांतर असतील, तर आपण असे म्हणू शकतो की रेषा a रेषा b ला समांतर आहे आणि ती रेषा b देखील रेषा a ला समांतर आहे.

प्लेनमधील समांतर रेषांच्या अभ्यासात महत्त्वाची भूमिका बजावणारे विधान मांडूया: दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूमधून, दिलेल्या रेषेला समांतर असलेली एकमेव रेषा जाते. हे विधान सत्य म्हणून स्वीकारले जाते (प्लॅनिमेट्रीच्या ज्ञात स्वयंसिद्धांच्या आधारे ते सिद्ध करता येत नाही), आणि त्याला समांतर रेषांचे स्वयंसिद्ध असे म्हणतात.

स्पेसमधील केससाठी, प्रमेय सत्य आहे: दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या अंतराळातील कोणत्याही बिंदूमधून, दिलेल्या रेषेच्या समांतर एकच रेषा जाते. हे प्रमेय समांतर रेषांच्या वरील स्वयंसिद्धतेचा वापर करून सहजपणे सिद्ध केले जाऊ शकते (आपण त्याचा पुरावा 10-11 वर्गाच्या भूमितीच्या पाठ्यपुस्तकात शोधू शकता, जे संदर्भग्रंथातील लेखाच्या शेवटी दिलेले आहे).

स्पेसमधील केससाठी, प्रमेय सत्य आहे: दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या अंतराळातील कोणत्याही बिंदूमधून, दिलेल्या रेषेच्या समांतर एकच रेषा जाते. वर दिलेल्या समांतर रेषांच्या स्वयंसिद्धतेचा वापर करून हे प्रमेय सहज सिद्ध होते.

रेषांची समांतरता - समांतरतेची चिन्हे आणि अटी.

समांतर रेषांचे चिन्हसमांतर रेषांसाठी पुरेशी अट आहे, म्हणजे अशी अट, ज्याची पूर्तता समांतर रेषांची हमी देते. दुसऱ्या शब्दांत, या स्थितीची पूर्तता ही वस्तुस्थिती सांगण्यासाठी पुरेशी आहे की रेषा समांतर आहेत.

विमानात आणि त्रिमितीय जागेत समांतर रेषांसाठी आवश्यक आणि पुरेशी परिस्थिती देखील आहे.

"समांतर रेषांसाठी आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती" या वाक्यांशाचा अर्थ स्पष्ट करूया.

आम्ही आधीच समांतर रेषांसाठी पुरेशी स्थिती हाताळली आहे. आणि "समांतर रेषांसाठी आवश्यक स्थिती" काय आहे? "आवश्यक" नावाने हे स्पष्ट होते की या स्थितीची पूर्तता रेषा समांतर असण्यासाठी आवश्यक आहे. दुसऱ्या शब्दांत, समांतर रेषांसाठी आवश्यक अट पूर्ण न झाल्यास, रेषा समांतर नसतात. अशा प्रकारे, रेषा समांतर असण्यासाठी आवश्यक आणि पुरेशी स्थितीही एक अट आहे, ज्याची पूर्तता समांतर रेषांसाठी आवश्यक आणि पुरेशी आहे. म्हणजेच, एकीकडे, हे समांतर रेषांचे लक्षण आहे आणि दुसरीकडे, हे समांतर रेषांचे गुणधर्म आहे.

रेषा समांतर असण्यासाठी आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती सांगण्यापूर्वी, काही सहाय्यक व्याख्या लक्षात ठेवणे उपयुक्त आहे.

secant ओळही एक रेषा आहे जी दिलेल्या दोन नॉन-संयोगी रेषांपैकी प्रत्येकाला छेदते.

एका सीकंटच्या दोन ओळींच्या छेदनबिंदूवर, आठ नॉन-डिप्लॉयड तयार होतात. तथाकथित आडवे पडलेले, परस्परआणि एकतर्फी कोपरे. चला त्यांना रेखांकनावर दाखवूया.

प्रमेय.

जर समतलावरील दोन रेषा एका सेकंटने छेदत असतील, तर त्यांच्या समांतरतेसाठी हे आवश्यक आणि पुरेसे आहे की आडवा कोन समान आहेत, किंवा संबंधित कोन समान आहेत किंवा एकतर्फी कोनांची बेरीज 180 अंश आहे.

विमानातील समांतर रेषांसाठी या आवश्यक आणि पुरेशा स्थितीचे ग्राफिकल उदाहरण दाखवू.

7-9 इयत्तेसाठी भूमितीच्या पाठ्यपुस्तकांमध्ये तुम्हाला समांतर रेषांसाठी या अटींचे पुरावे मिळू शकतात.

लक्षात घ्या की या अटी त्रि-आयामी जागेत देखील वापरल्या जाऊ शकतात - मुख्य गोष्ट अशी आहे की दोन ओळी आणि सेकंट एकाच विमानात आहेत.

येथे आणखी काही प्रमेये आहेत जी रेषांची समांतरता सिद्ध करण्यासाठी वापरली जातात.

प्रमेय.

जर समतलातील दोन रेषा तिसऱ्या रेषेच्या समांतर असतील तर त्या समांतर असतात. समांतर रेषांच्या स्वयंसिद्धतेवरून या वैशिष्ट्याचा पुरावा मिळतो.

त्रिमितीय जागेत समांतर रेषांसाठी समान स्थिती आहे.

प्रमेय.

जर अवकाशातील दोन रेषा तिसऱ्या रेषेच्या समांतर असतील तर त्या समांतर असतात. या वैशिष्ट्याचा पुरावा इयत्ता 10 मधील भूमितीच्या धड्यांमध्ये विचारात घेतला जातो.

चला स्वरित प्रमेये स्पष्ट करू.

आपण आणखी एक प्रमेय देऊ जे आपल्याला समतल रेषांची समांतरता सिद्ध करण्यास अनुमती देते.

प्रमेय.

जर समतलातील दोन रेषा तिसऱ्या रेषेला लंब असतील तर त्या समांतर असतात.

अंतराळातील रेषांसाठी समान प्रमेय आहे.

प्रमेय.

जर त्रिमितीय जागेतील दोन रेषा एकाच समतलाला लंब असतील तर त्या समांतर असतात.

या प्रमेयांशी सुसंगत चित्रे काढू.

वरील सर्व प्रमेये, चिन्हे आणि आवश्यक आणि पुरेशी परिस्थिती भूमितीच्या पद्धतींद्वारे सरळ रेषांची समांतरता सिद्ध करण्यासाठी पूर्णपणे योग्य आहेत. म्हणजे, दिलेल्या दोन रेषांची समांतरता सिद्ध करण्यासाठी, त्या तिसर्‍या रेषेला समांतर आहेत हे दाखवणे आवश्यक आहे किंवा आडवा कोनांची समानता दाखवणे आवश्यक आहे. यातील अनेक समस्या हायस्कूलमधील भूमितीच्या धड्यांमध्ये सोडवल्या जातात. तथापि, हे लक्षात घ्यावे की अनेक प्रकरणांमध्ये समतल किंवा त्रिमितीय जागेत रेषांची समांतरता सिद्ध करण्यासाठी समन्वय पद्धती वापरणे सोयीचे असते. आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये दिलेल्या रेषांच्या समांतरतेसाठी आवश्यक आणि पुरेशी परिस्थिती तयार करू या.

आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये रेषांची समांतरता.

लेखाच्या या विभागात, आम्ही तयार करू समांतर रेषांसाठी आवश्यक आणि पुरेशी परिस्थितीआयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये, या रेषा निर्धारित करणार्‍या समीकरणांच्या प्रकारानुसार, आणि आम्ही विशिष्ट समस्यांचे तपशीलवार निराकरण देखील देऊ.

आयताकृती समन्वय प्रणाली Oxy मध्ये समतल दोन रेषांच्या समांतरतेच्या स्थितीपासून सुरुवात करूया. त्याचा पुरावा रेषेच्या डायरेक्टिंग वेक्टरची व्याख्या आणि विमानावरील रेषेच्या सामान्य वेक्टरच्या व्याख्येवर आधारित आहे.

प्रमेय.

एका समतल असल्‍यासाठी दोन योगायोग नसल्‍या रेषा समांतर असण्‍यासाठी, या रेषांची दिशा सदिश समरेखीय असल्‍याची, किंवा या रेषांचे सामान्य सदिश समरेखीय असल्‍याची किंवा एका रेषेची दिशा सदिश समरेखीय असल्‍याची आवश्‍यकता आणि पुरेशी आहे. दुसऱ्या ओळीचा वेक्टर.

साहजिकच, समतलातील दोन रेषांच्या समांतरतेची स्थिती (रेषांचे दिशा वेक्टर किंवा रेषांचे सामान्य सदिश) किंवा (एका रेषेचा दिशा वेक्टर आणि दुसऱ्या रेषेचा सामान्य वेक्टर) पर्यंत कमी होते. अशाप्रकारे, जर आणि हे a आणि b, आणि रेषांचे दिशा वेक्टर आहेत आणि रेषा a आणि b चे अनुक्रमे सामान्य वेक्टर आहेत, नंतर समांतर रेषांसाठी आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती a आणि b अशी लिहिता येईल , किंवा , किंवा, जेथे t ही काही वास्तविक संख्या आहे. त्या बदल्यात, सरळ रेषांच्या a आणि b चे डायरेक्टिंग आणि (किंवा) सामान्य वेक्टरचे समन्वय सरळ रेषांच्या ज्ञात समीकरणांवरून आढळतात.

विशेषत:, जर आयताकृती समन्वय प्रणालीतील रेषा a ने फॉर्मच्या रेषेचे सामान्य समीकरण परिभाषित केले तर विमानावरील Oxy , आणि सरळ रेषा b - , तर या रेषांच्या सामान्य सदिशांना अनुक्रमे समन्वयक असतात आणि a आणि b रेषांच्या समांतरतेची स्थिती अशी लिहिली जाईल.

जर सरळ रेषा a फॉर्मच्या उतार गुणांकासह सरळ रेषेच्या समीकरणाशी संबंधित असेल . म्हणून, जर आयताकृती समन्वय प्रणालीमधील विमानावरील सरळ रेषा समांतर असतील आणि उतार गुणांकांसह सरळ रेषांच्या समीकरणांद्वारे दिल्या जाऊ शकतात, तर रेषांचे उतार गुणांक समान असतील. आणि त्याउलट: जर आयताकृती समन्वय प्रणालीतील समतलावरील नॉन-योजकीय सरळ रेषा समान उतार गुणांक असलेल्या सरळ रेषेच्या समीकरणांद्वारे दिल्या जाऊ शकतात, तर अशा सरळ रेषा समांतर असतात.

आयताकृती समन्वय प्रणालीतील रेषा a आणि रेषा b जर फॉर्मच्या समतल रेषेची विहित समीकरणे परिभाषित करतात आणि , किंवा फॉर्मच्या प्लेनवरील सरळ रेषेची पॅरामेट्रिक समीकरणे आणि अनुक्रमे, नंतर या रेषांच्या दिशा वेक्टरमध्ये समन्वय आणि , आणि a आणि b रेषांसाठी समांतर स्थिती अशी लिहिली जाते.

चला काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण.

रेषा समांतर आहेत का? आणि ?

उपाय.

आम्ही सरळ रेषेच्या सामान्य समीकरणाच्या रूपात विभागांमध्ये सरळ रेषेचे समीकरण पुन्हा लिहितो: . आता आपण पाहू शकतो की तो सरळ रेषेचा सामान्य सदिश आहे , आणि सरळ रेषेचा सामान्य वेक्टर आहे. हे व्हेक्टर समरेखीय नाहीत, कारण कोणतीही वास्तविक संख्या t नाही ज्यासाठी समानता ( ). परिणामी, विमानावरील रेषांच्या समांतरतेसाठी आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती समाधानी नाही, म्हणून, दिलेल्या रेषा समांतर नाहीत.

उत्तर:

नाही, रेषा समांतर नाहीत.

उदाहरण.

रेषा आणि समांतर आहेत का?

उपाय.

आम्ही सरळ रेषेचे प्रमाणिक समीकरण उतार असलेल्या सरळ रेषेच्या समीकरणात आणतो: . स्पष्टपणे, रेषांची समीकरणे आणि समान नाहीत (या प्रकरणात, दिलेल्या रेषा समान असतील) आणि रेषांचे उतार समान आहेत, म्हणून, मूळ रेषा समांतर आहेत.

रेषा त्याच विमानात आहेत. जर ते 1) छेदतात; 2) समांतर असतील.

L 1: आणि L 2: समान समतल  या रेषांच्या संबंधासाठी, जेणेकरून वेक्टर एम 1 एम 2 \u003d (x 2 -x 1; y 2 ​​-y 1; z 2 -z 1), q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) आणि q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) समतल होते. म्हणजे, तीन सदिशांच्या समतुल्यतेच्या स्थितीनुसार, मिश्रित उत्पादन एम 1 एम 2 s 1 s 2 =Δ==0 (8)

कारण दोन रेषांच्या समांतरतेच्या स्थितीचे स्वरूप आहे: , नंतर ओळी L 1 आणि L 2 च्या छेदनासाठी , जेणेकरून ते स्थिती (8) पूर्ण करतील आणि त्यामुळे किमान एक प्रमाणाचे उल्लंघन होईल.

उदाहरण. रेषांची सापेक्ष स्थिती एक्सप्लोर करा:

सरळ रेषेचा दिशा वेक्टर L 1 – q 1 =(1;3;-2). रेषा L 2 ची व्याख्या 2 विमानांचे छेदनबिंदू म्हणून केली जाते α 1: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. कारण रेषा L 2 ही दोन्ही समतलांमध्ये असते, नंतर ती, आणि त्यामुळे त्याची दिशा वेक्टर, नॉर्मलला लंब असते n 1 आणि n 2 . म्हणून, दिशा वेक्टर s 2 वेक्टरचे क्रॉस उत्पादन आहे n 1 आणि n 2 , म्हणजे q 2 =n 1 एक्स n 2 ==-i-3j+2k.

ते. s 1 =-s 2 , म्हणजे रेषा एकतर समांतर किंवा एकरूप आहेत.

रेषा एकरूप होतात की नाही हे तपासण्यासाठी, आम्ही बिंदू M 0 (1;2;-1)L 1 च्या निर्देशांकांना L 2: 1-2+2+1=0 - चुकीची समानता, उदा. बिंदू M 0 L 2,

त्यामुळे रेषा समांतर आहेत.

एका बिंदूपासून रेषेपर्यंतचे अंतर.

बिंदू M 1 (x 1; y 1; z 1) पासून विहित समीकरण L: ने दिलेल्या रेषेपर्यंतचे अंतर क्रॉस उत्पादन वापरून काढले जाऊ शकते.

बिंदू M 0 (x 0; y 0; z 0) L, आणि सरळ रेषेचा डायरेक्टिंग वेक्टर हे सरळ रेषेच्या कॅनोनिकल समीकरणावरून पुढे येते. q=(l;m;n)

चला सदिशांवर समांतरभुज चौकोन तयार करू qआणि एम 0 एम 1 . मग बिंदू M 1 पासून रेषा L पर्यंतचे अंतर या समांतरभुज चौकोनाच्या h उंचीइतके आहे. कारण S=| q x एम 0 एम 1 |=h| q|, नंतर

h= (9)

अंतराळातील दोन सरळ रेषांमधील अंतर.

एल 1: आणि एल 2:

1) एल 1  एल 2 .

d=

2) एल 1 आणि एल 2 - क्रॉसिंग

d=

अंतराळात सरळ रेषा आणि विमानाची परस्पर व्यवस्था.

अंतराळात सरळ रेषेचे स्थान आणि विमानासाठी, 3 प्रकरणे शक्य आहेत:

रेषा आणि विमान एका बिंदूवर छेदतात;

रेखा आणि विमान समांतर आहेत;

ओळ विमानात आहे.

सरळ रेषा त्याच्या प्रामाणिक समीकरणाद्वारे आणि समतल - सामान्य द्वारे दिली जाऊ द्या

α: Ax+By+Cz+D=0

सरळ रेषा समीकरणे बिंदू M 0 (x 0; y 0; z 0) L आणि दिशा वेक्टर देतात q=(l;m;n), आणि समतल समीकरण एक सामान्य सदिश आहे n=(A;B;C).

1. एक ओळ आणि एक समतल छेदनबिंदू.

रेषा आणि विमान एकमेकांना छेदत असल्यास, रेषेचा दिशा वेक्टर qसमतल α समांतर नाही आणि त्यामुळे विमानाच्या सामान्य वेक्टरला ऑर्थोगोनल नाही nत्या. त्यांचे डॉट उत्पादन nq≠0 किंवा, त्यांच्या निर्देशांकांच्या दृष्टीने,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

M बिंदूचे निर्देशांक निश्चित करा - L आणि समतल α च्या छेदनबिंदूचे बिंदू.

सरळ रेषेच्या कॅनोनिकल समीकरणावरून पॅरामेट्रिक एकाकडे जाऊ: , tR

आम्ही या संबंधांना विमानाच्या समीकरणात बदलतो

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0,y 0,z 0 ज्ञात आहेत, चला t हे पॅरामीटर शोधूया:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

जर Am+Bn+Cp≠0 असेल, तर समीकरणाला एक अद्वितीय समाधान आहे जे बिंदू M चे समन्वय निर्धारित करते:

t M = -→ (11)

रेषा आणि विमान यांच्यातील कोन. समांतरता आणि लंबकतेच्या अटी.

L रेषेतील कोन φ :

मार्गदर्शक वेक्टर सह q=(l;m;n) आणि विमान

: सामान्य वेक्टरसह Ax+By+Cz+D=0 n=(A;B;C) श्रेणी 0˚ (समांतर रेषा आणि विमानाच्या बाबतीत) ते 90˚ (रेषा आणि समतल लंबाच्या बाबतीत) पर्यंत असते. (वेक्टरमधील कोन qआणि विमानावर त्याचे प्रक्षेपण α).

 – सदिशांमधील कोन qआणि n

कारण L आणि समतल रेषेतील कोन  हा कोन  ला पूरक आहे, नंतर sin φ=sin(-)=cos =- (कोन φ तीव्र sin φ=sin(- असल्यामुळे परिपूर्ण मूल्य मानले जाते) ) किंवा sin φ =sin(+) सरळ रेषेच्या दिशेवर अवलंबून L)