गणितातील USE मधील टास्क B14 मध्ये, तुम्हाला एका व्हेरिएबलच्या फंक्शनचे सर्वात लहान किंवा सर्वात मोठे मूल्य शोधणे आवश्यक आहे. गणितीय विश्लेषणातून ही एक क्षुल्लक समस्या आहे आणि म्हणूनच प्रत्येक हायस्कूल पदवीधर हे सामान्यपणे कसे सोडवायचे हे शिकू शकतो आणि शिकला पाहिजे. मॉस्को येथे 7 डिसेंबर 2011 रोजी झालेल्या गणितातील निदान कार्यात शाळेतील मुलांनी सोडवलेल्या काही उदाहरणांचे विश्लेषण करूया.
फंक्शनचे कमाल किंवा किमान मूल्य शोधण्यासाठी आवश्यक असलेल्या मध्यांतरावर अवलंबून, या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी खालीलपैकी एक मानक अल्गोरिदम वापरला जातो.
I. विभागावरील फंक्शनचे सर्वात मोठे किंवा सर्वात लहान मूल्य शोधण्यासाठी अल्गोरिदम:
- फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा.
- दिलेल्या विभागातील आणि फंक्शनच्या डोमेनशी संबंधित असलेल्या एक्स्ट्रीममचा संशय असलेल्या बिंदूंमधून निवडा.
- मूल्यांची गणना करा कार्ये(व्युत्पन्न नाही!) या बिंदूंवर.
- प्राप्त मूल्यांपैकी, सर्वात मोठे किंवा सर्वात लहान निवडा, ते इच्छित असेल.
उदाहरण १फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्य शोधा
y = x 3 – 18x 2 + 81xसेगमेंटवर + 23 .
उपाय:सेगमेंटवरील फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्य शोधण्यासाठी आम्ही अल्गोरिदमनुसार कार्य करतो:
- फंक्शनची व्याप्ती मर्यादित नाही: D(y) = आर.
- फंक्शनचे व्युत्पन्न आहे: तू = 3x 2 – 36x+ ८१. फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची व्याप्ती देखील मर्यादित नाही: D(y') = आर.
- व्युत्पन्नाचे शून्य: तू = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, तर x 2 – 12x+ 27 = 0, कुठून x= 3 आणि x= 9, आमच्या मध्यांतरात फक्त समाविष्ट आहे x= 9 (एखाद्या टोकासाठी एक बिंदू संशयास्पद).
- आम्हाला फंक्शनचे मूल्य एका टोकाच्या संशयास्पद बिंदूवर आणि मध्यांतराच्या किनारी आढळते. गणनेच्या सोयीसाठी, आम्ही फॉर्ममध्ये फंक्शनचे प्रतिनिधित्व करतो: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
- y(८) \u003d ८ (८-९) २ +२३ \u003d ३१;
- y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
- y(१३) = १३ (१३-९) २ +२३ = २३१.
तर, प्राप्त मूल्यांमधून, सर्वात लहान 23 आहे. उत्तर: 23.
II. फंक्शनचे सर्वात मोठे किंवा सर्वात लहान मूल्य शोधण्यासाठी अल्गोरिदम:
- फंक्शनची व्याप्ती शोधा.
- फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा.
- एक्स्ट्रीममबद्दल संशयास्पद असलेले बिंदू निश्चित करा (ते बिंदू ज्यावर फंक्शनचे व्युत्पन्न नाहीसे होते आणि ज्या बिंदूंवर कोणतेही द्वि-बाजूचे मर्यादित व्युत्पन्न नसते).
- हे बिंदू आणि फंक्शनचे डोमेन क्रमांक रेषेवर चिन्हांकित करा आणि चिन्हे निश्चित करा व्युत्पन्न(फंक्शन नाही!) परिणामी मध्यांतरांवर.
- मूल्ये परिभाषित करा कार्ये(व्युत्पन्न नाही!) किमान बिंदूंवर (ते बिंदू ज्यावर व्युत्पन्नाचे चिन्ह वजा ते प्लसमध्ये बदलते), या मूल्यांपैकी सर्वात लहान हे फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्य असेल. कोणतेही किमान गुण नसल्यास, फंक्शनचे किमान मूल्य नसते.
- मूल्ये परिभाषित करा कार्ये(व्युत्पन्न नाही!) जास्तीत जास्त बिंदूंवर (ज्या बिंदूंवर व्युत्पन्नाचे चिन्ह प्लसवरून वजामध्ये बदलते), या मूल्यांपैकी सर्वात मोठे हे फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य असेल. जास्तीत जास्त बिंदू नसल्यास, फंक्शनचे कमाल मूल्य नसते.
उदाहरण २फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य शोधा.
या सेवेसह, आपण हे करू शकता फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य शोधावर्डमधील सोल्यूशनच्या डिझाइनसह एक व्हेरिएबल f(x). फंक्शन f(x,y) दिले असल्यास, दोन व्हेरिएबल्सच्या फंक्शनचा एक्स्ट्रीमम शोधणे आवश्यक आहे. तुम्ही फंक्शनच्या वाढ आणि घटाचे अंतर देखील शोधू शकता.
फंक्शन एंट्री नियम:
एका व्हेरिएबलच्या फंक्शनच्या एक्स्ट्रीममसाठी आवश्यक अट
समीकरण f "0 (x *) \u003d 0 हे एका व्हेरिएबलच्या फंक्शनच्या एक्स्ट्रीममसाठी आवश्यक अट आहे, म्हणजे x * बिंदूवर फंक्शनचे पहिले व्युत्पन्न नाहीसे होणे आवश्यक आहे. ते स्थिर बिंदू x c निवडते ज्यावर फंक्शन वाढत नाही आणि कमी होत नाही.एका व्हेरिएबलच्या फंक्शनच्या एक्स्ट्रीममसाठी पुरेशी स्थिती
f 0 (x) संच D च्या x च्या संदर्भात दोनदा भिन्न असू द्या. x * बिंदूवर अट पूर्ण झाल्यास:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
नंतर बिंदू x * हा फंक्शनच्या स्थानिक (जागतिक) किमान बिंदू आहे.
x * बिंदूवर अट पूर्ण झाल्यास:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
तो बिंदू x * हा स्थानिक (जागतिक) कमाल आहे.
उदाहरण #1. फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये शोधा: खंडावर.
उपाय. 
गंभीर बिंदू एक x 1 = 2 (f'(x)=0) आहे. हा बिंदू विभागाचा आहे. (बिंदू x=0 गंभीर नाही, कारण 0∉).
आम्ही सेगमेंटच्या शेवटी आणि गंभीर बिंदूवर फंक्शनच्या मूल्यांची गणना करतो.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
उत्तर: x=2 साठी f मि = 5/2; f कमाल =9 येथे x=1
उदाहरण # 2. हायर ऑर्डर डेरिव्हेटिव्ह्ज वापरून, फंक्शनचे एक्सट्रॅमम y=x-2sin(x) शोधा.
उपाय.
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा: y’=1-2cos(x) . चला गंभीर बिंदू शोधूया: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. आपल्याला y''=2sin(x) सापडतो, गणना करतो, म्हणून x= π / 3 +2πk, k∈Z हे फंक्शनचे किमान बिंदू आहेत; 
, म्हणून x=- π / 3 +2πk, k∈Z हे फंक्शनचे कमाल बिंदू आहेत.
उदाहरण #3. बिंदू x=0 च्या शेजारच्या एक्स्ट्रीमम फंक्शनची तपासणी करा.
उपाय. येथे फंक्शनचा एक्स्ट्रेमा शोधणे आवश्यक आहे. जर extremum x=0 असेल, तर त्याचा प्रकार शोधा (किमान किंवा कमाल). आढळलेल्या बिंदूंमध्ये x = 0 नसल्यास, फंक्शन f(x=0) च्या मूल्याची गणना करा.
हे लक्षात घेतले पाहिजे की जेव्हा दिलेल्या बिंदूच्या प्रत्येक बाजूला व्युत्पन्न त्याचे चिन्ह बदलत नाही, तेव्हा संभाव्य परिस्थिती भिन्न कार्यांसाठी देखील संपत नाही: असे होऊ शकते की बिंदू x 0 किंवा बिंदूच्या एका बाजूला अनियंत्रितपणे लहान अतिपरिचित क्षेत्रासाठी दोन्ही बाजूंना, व्युत्पन्न बदल चिन्ह. या बिंदूंवर, एखाद्याला एक्स्ट्रीममवर फंक्शन्सचा अभ्यास करण्यासाठी इतर पद्धती लागू कराव्या लागतात.
उदाहरण # 4. 49 क्रमांकाला दोन संज्ञांमध्ये विभाजित करा, ज्याचा गुणाकार सर्वात मोठा असेल.
उपाय. x ही पहिली संज्ञा असू द्या. नंतर (49-x) ही दुसरी संज्ञा आहे.
उत्पादन कमाल असेल: x (49-x) → कमाल
व्यावहारिक दृष्टिकोनातून, सर्वात मनोरंजक म्हणजे फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य शोधण्यासाठी व्युत्पन्न वापरणे. ते कशाशी जोडलेले आहे? नफा वाढवणे, खर्च कमी करणे, उपकरणांचा इष्टतम भार निश्चित करणे... दुसऱ्या शब्दांत, जीवनाच्या अनेक क्षेत्रांमध्ये, एखाद्याला काही पॅरामीटर्स ऑप्टिमाइझ करण्याची समस्या सोडवावी लागते. आणि ही फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये शोधण्याची समस्या आहे.
हे लक्षात घेतले पाहिजे की फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य सामान्यतः काही अंतराल X वर शोधले जाते, जे एकतर फंक्शनचे संपूर्ण डोमेन किंवा डोमेनचा भाग आहे. इंटरव्हल X स्वतः एक रेषाखंड, एक ओपन इंटरव्हल असू शकतो 
, अनंत अंतराल.
या लेखात, आपण y=f(x) व्हेरिएबलच्या स्पष्टपणे दिलेल्या फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये शोधण्याबद्दल बोलू.
पृष्ठ नेव्हिगेशन.
फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य - व्याख्या, चित्रे.
मुख्य व्याख्येवर थोडक्यात विचार करूया.
फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य 
, जे कोणत्याहीसाठी 
असमानता सत्य आहे.
फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्यअंतराल X वर y=f(x) असे मूल्य म्हणतात 
, जे कोणत्याहीसाठी असमानता सत्य आहे.
या व्याख्या अंतर्ज्ञानी आहेत: फंक्शनचे सर्वात मोठे (सर्वात लहान) मूल्य हे abscissa सह विचाराधीन अंतरावर स्वीकारलेले सर्वात मोठे (लहान) मूल्य आहे.
स्थिर बिंदूही युक्तिवादाची मूल्ये आहेत ज्यावर फंक्शनचे व्युत्पन्न नाहीसे होते.
सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये शोधताना आपल्याला स्थिर बिंदूंची आवश्यकता का आहे? या प्रश्नाचे उत्तर फर्मॅटच्या प्रमेयाने दिले आहे. या प्रमेयावरून असे दिसून येते की जर एखाद्या विभेदक फंक्शनमध्ये एखाद्या वेळी एक्स्ट्रीमम (स्थानिक किमान किंवा स्थानिक कमाल) असेल तर हा बिंदू स्थिर असतो. अशा प्रकारे, फंक्शन बहुतेक वेळा या मध्यांतरापासून स्थिर बिंदूंपैकी एका बिंदूवर मध्यांतर X वर त्याचे कमाल (सर्वात लहान) मूल्य घेते.
तसेच, फंक्शन बहुतेकदा अशा बिंदूंवर सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये घेऊ शकते जेथे या फंक्शनचे पहिले व्युत्पन्न अस्तित्वात नसते आणि फंक्शन स्वतःच परिभाषित केले जाते.
चला या विषयावरील सर्वात सामान्य प्रश्नांपैकी एकाचे लगेच उत्तर देऊ: "फंक्शनचे सर्वात मोठे (सर्वात लहान) मूल्य निर्धारित करणे नेहमीच शक्य आहे का"? नाही नेहमी नाही. काहीवेळा मध्यांतर X च्या सीमा फंक्शनच्या डोमेनच्या सीमांशी जुळतात किंवा X मध्यांतर अनंत असते. आणि काही फंक्शन्स अनंत आणि परिभाषेच्या सीमारेषेवर असीम मोठ्या आणि अमर्यादपणे लहान दोन्ही मूल्ये घेऊ शकतात. या प्रकरणांमध्ये, फंक्शनच्या सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान मूल्याबद्दल काहीही सांगितले जाऊ शकत नाही.
स्पष्टतेसाठी, आम्ही ग्राफिक उदाहरण देतो. चित्रे पहा - आणि बरेच काही स्पष्ट होईल.
विभागावर
पहिल्या आकृतीमध्ये, फंक्शन सेगमेंट [-6;6] मध्ये स्थिर बिंदूंवर सर्वात मोठी (कमाल y) आणि सर्वात लहान (मिनिम y) मूल्ये घेते.
दुसऱ्या आकृतीत दाखवलेल्या केसचा विचार करा. सेगमेंट मध्ये बदला. या उदाहरणात, फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्य स्थिर बिंदूवर आणि सर्वात मोठे - मध्यांतराच्या उजव्या सीमारेषेशी संबंधित abscissa असलेल्या बिंदूवर प्राप्त केले जाते.
आकृती क्र. 3 मध्ये, विभागाचे सीमा बिंदू [-3; 2] हे फंक्शनच्या सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान मूल्याशी संबंधित बिंदूंचे abscissas आहेत.
खुल्या रेंजमध्ये
चौथ्या आकृतीमध्ये, फंक्शन ओपन इंटरव्हल (-6;6) मध्ये स्थिर बिंदूंवर सर्वात मोठे (max y ) आणि सर्वात लहान (min y ) मूल्ये घेते.
मध्यांतरावर, सर्वात मोठ्या मूल्याबद्दल कोणतेही निष्कर्ष काढले जाऊ शकत नाहीत.
अनंतात
सातव्या आकृतीमध्ये दाखवलेल्या उदाहरणामध्ये, फंक्शन x=1 abscissa सह स्थिर बिंदूवर सर्वात मोठे मूल्य (max y ) घेते आणि सर्वात लहान मूल्य (min y ) मध्यांतराच्या उजव्या सीमेवर पोहोचले आहे. वजा अनंतावर, फंक्शनची मूल्ये y=3 कडे अस्पष्टपणे येतात.
मध्यांतरावर, फंक्शन सर्वात लहान किंवा सर्वात मोठ्या मूल्यापर्यंत पोहोचत नाही. x=2 उजवीकडे झुकत असल्याने, फंक्शन व्हॅल्यूज वजा अनंताकडे झुकतात (सरळ रेषा x=2 ही अनुलंब अॅसिम्प्टोट आहे), आणि अॅब्सिसिसा अधिक अनंताकडे झुकत असल्याने, फंक्शन व्हॅल्यूज y=3 कडे अस्पष्टपणे येतात. . या उदाहरणाचे ग्राफिक चित्रण आकृती 8 मध्ये दर्शविले आहे.
सेगमेंटवरील सतत फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये शोधण्यासाठी अल्गोरिदम.
आम्ही एक अल्गोरिदम लिहितो जो आम्हाला सेगमेंटवरील फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य शोधण्याची परवानगी देतो.
- आम्ही फंक्शनचे डोमेन शोधतो आणि त्यात संपूर्ण सेगमेंट आहे का ते तपासतो.
- आम्हाला सर्व बिंदू सापडतात ज्यावर प्रथम व्युत्पन्न अस्तित्वात नाही आणि जे विभागामध्ये समाविष्ट आहेत (सामान्यत: असे बिंदू मॉड्यूल चिन्हाखालील युक्तिवाद असलेल्या फंक्शन्समध्ये आणि अंशात्मक-परिमेय घातांकासह पॉवर फंक्शनमध्ये आढळतात). असे कोणतेही मुद्दे नसल्यास, नंतर पुढील बिंदूवर जा.
- आम्ही सेगमेंटमध्ये येणारे सर्व स्थिर बिंदू निर्धारित करतो. हे करण्यासाठी, आम्ही ते शून्यावर समान करतो, परिणामी समीकरण सोडवतो आणि योग्य मुळे निवडतो. जर कोणतेही स्थिर बिंदू नसतील किंवा त्यापैकी एकही विभागामध्ये येत नसेल, तर पुढील चरणावर जा.
- आम्ही निवडलेल्या स्थिर बिंदूंवर (असल्यास) फंक्शनच्या मूल्यांची गणना करतो, जेथे प्रथम व्युत्पन्न अस्तित्वात नाही (असल्यास) आणि x=a आणि x=b येथे देखील.
- फंक्शनच्या प्राप्त मूल्यांमधून, आम्ही सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान निवडतो - ते अनुक्रमे फंक्शनची इच्छित कमाल आणि सर्वात लहान मूल्ये असतील.
सेगमेंटवरील फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये शोधण्यासाठी उदाहरण सोडवताना अल्गोरिदमचे विश्लेषण करूया.
उदाहरण.
फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य शोधा
- विभागावर;
- मध्यांतरावर [-4;-1] .
उपाय.
फंक्शनचे डोमेन म्हणजे शून्य वगळता, वास्तविक संख्यांचा संपूर्ण संच आहे, म्हणजे . दोन्ही विभाग परिभाषाच्या क्षेत्रात येतात.
आम्हाला या संदर्भात फंक्शनचे व्युत्पन्न सापडले: 
स्पष्टपणे, फंक्शनचे व्युत्पन्न हे विभागांच्या सर्व बिंदूंवर अस्तित्वात आहे आणि [-4;-1].
स्थिर बिंदू समीकरणावरून निर्धारित केले जातात. फक्त वास्तविक मूळ x=2 आहे. हा स्थिर बिंदू पहिल्या विभागात येतो.
पहिल्या केससाठी, आम्ही सेगमेंटच्या शेवटी आणि स्थिर बिंदूवर फंक्शनच्या मूल्यांची गणना करतो, म्हणजे, x=1 , x=2 आणि x=4 साठी : 
म्हणून, फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य 
x=1 वर पोहोचले आहे, आणि सर्वात लहान मूल्य 
- x=2 वर.
दुस-या केससाठी, आम्ही फंक्शनच्या मूल्यांची गणना विभागाच्या [-४;-१] शेवटी करतो (कारण त्यात एक स्थिर बिंदू नसतो): 
उपाय.
फंक्शनच्या व्याप्तीपासून सुरुवात करूया. अपूर्णांकाच्या भाजकातील चौरस त्रिपद नाहीसे होऊ नये: 
समस्येच्या स्थितीतील सर्व अंतराल फंक्शनच्या डोमेनशी संबंधित आहेत हे तपासणे सोपे आहे.
चला फंक्शन वेगळे करूया: 
अर्थात, व्युत्पन्न फंक्शनच्या संपूर्ण डोमेनवर अस्तित्वात आहे.
चला स्थिर बिंदू शोधूया. व्युत्पन्न येथे नाहीसे होते. हा स्थिर बिंदू (-3;1] आणि (-3;2) मध्यांतरांमध्ये येतो.
आणि आता तुम्ही प्रत्येक बिंदूवर मिळालेल्या परिणामांची तुलना फंक्शनच्या आलेखाशी करू शकता. निळ्या ठिपके असलेल्या रेषा लक्षणे दर्शवतात.
हे फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य शोधून समाप्त होऊ शकते. या लेखात चर्चा केलेले अल्गोरिदम आपल्याला कमीतकमी क्रियांसह परिणाम प्राप्त करण्यास अनुमती देतात. तथापि, प्रथम फंक्शनच्या वाढ आणि घटाचे अंतर निर्धारित करणे उपयुक्त ठरू शकते आणि त्यानंतरच कोणत्याही मध्यांतरावरील फंक्शनच्या सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान मूल्याबद्दल निष्कर्ष काढणे उपयुक्त ठरू शकते. हे स्पष्ट चित्र आणि निकालांचे कठोर औचित्य देते.
कधीकधी समस्या B15 मध्ये "खराब" कार्ये असतात ज्यासाठी व्युत्पन्न शोधणे कठीण असते. पूर्वी, हे केवळ प्रोबवर होते, परंतु आता ही कार्ये इतकी सामान्य आहेत की या परीक्षेची तयारी करताना त्याकडे दुर्लक्ष केले जाऊ शकत नाही.
या प्रकरणात, इतर युक्त्या कार्य करतात, त्यापैकी एक आहे - मोनोटोन.
या खंडातील x 1 आणि x 2 मधील कोणत्याही बिंदूंसाठी खालील सत्य असल्यास, f (x) या कार्याला विभागावर मोनोटोनिकली वाढ म्हणतात:
x १< x 2 ⇒ f (x १) < f (x2).
या खंडातील x 1 आणि x 2 मधील कोणत्याही बिंदूंसाठी खालील सत्य असल्यास, f (x) या कार्याला खंडावरील मोनोटोनिकली कमी होणे म्हणतात:
x १< x 2 ⇒ f (x १) > f ( x2).
दुसऱ्या शब्दांत, वाढत्या फंक्शनसाठी, मोठा x आहे, मोठा f(x) आहे. कमी होत असलेल्या कार्यासाठी, उलट सत्य आहे: अधिक x , द कमी f(x).
उदाहरणार्थ, बेस a > 1 असल्यास लॉगरिथम नीरसपणे वाढते आणि 0 असल्यास नीरसपणे कमी होते< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f (x) = लॉग a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
अंकगणित वर्ग (आणि केवळ चौरसच नाही) मूळ व्याख्येच्या संपूर्ण डोमेनवर नीरसपणे वाढते:
घातांकीय कार्य लॉगरिदम प्रमाणेच वागते: ते > 1 साठी वाढते आणि 0 साठी कमी होते< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
शेवटी, ऋण घातांकासह अंश. आपण त्यांना अपूर्णांक म्हणून लिहू शकता. त्यांच्याकडे एक ब्रेक पॉइंट आहे जिथे एकरसता तुटलेली आहे.
ही सर्व कार्ये त्यांच्या शुद्ध स्वरूपात कधीही आढळत नाहीत. त्यांच्यामध्ये बहुपद, अपूर्णांक आणि इतर मूर्खपणा जोडला जातो, ज्यामुळे व्युत्पन्न गणना करणे कठीण होते. या प्रकरणात काय होते - आता आम्ही विश्लेषण करू.
पॅराबोला शिरोबिंदू समन्वय
बहुतेकदा, फंक्शन वितर्क सह बदलले जाते चौरस त्रिपद y = ax 2 + bx + c फॉर्मचे . त्याचा आलेख एक मानक पॅराबोला आहे, ज्यामध्ये आम्हाला स्वारस्य आहे:
- पॅराबोला शाखा - वर जाऊ शकतात (a> 0 साठी) किंवा खाली (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- पॅराबोलाचा शिरोबिंदू हा चतुर्भुज फंक्शनचा टोकाचा बिंदू आहे, ज्यावर हे फंक्शन सर्वात लहान (a> 0 साठी) किंवा सर्वात मोठे (a) घेते.< 0) значение.
सर्वात जास्त स्वारस्य आहे पॅराबोलाचा वरचा भाग, ज्याचा abscissa सूत्रानुसार मोजला जातो:
तर, आम्हाला चतुर्भुज फंक्शनचा टोकाचा बिंदू सापडला आहे. पण जर मूळ फंक्शन मोनोटोनिक असेल तर त्यासाठी बिंदू x 0 हा देखील एक टोकाचा बिंदू असेल. अशा प्रकारे, आम्ही मुख्य नियम तयार करतो:
स्क्वेअर ट्रिनॉमियलचे एक्स्ट्रीमम पॉइंट्स आणि त्यात प्रवेश केलेले जटिल फंक्शन एकरूप होतात. म्हणून, तुम्ही चौरस त्रिपदासाठी x 0 शोधू शकता आणि कार्य विसरू शकता.
वरील तर्कावरून, आपल्याला कोणत्या प्रकारचा बिंदू मिळतो हे स्पष्ट नाही: कमाल किंवा किमान. तथापि, कार्ये विशेषतः डिझाइन केलेली आहेत जेणेकरून काही फरक पडत नाही. स्वत: साठी न्यायाधीश:
- समस्येच्या स्थितीत कोणताही विभाग नाही. म्हणून, f(a) आणि f(b) ची गणना करणे आवश्यक नाही. हे केवळ टोकाच्या बिंदूंचा विचार करणे बाकी आहे;
- परंतु असा एकच बिंदू आहे - हा पॅराबोला x 0 चा सर्वात वरचा भाग आहे, ज्याचे निर्देशांक अक्षरशः तोंडी आणि कोणत्याही डेरिव्हेटिव्हशिवाय मोजले जातात.
अशा प्रकारे, समस्येचे निराकरण मोठ्या प्रमाणात सोपे केले आहे आणि फक्त दोन चरणांवर कमी केले आहे:
- पॅराबोला समीकरण y = ax 2 + bx + c लिहा आणि सूत्र वापरून त्याचा शिरोबिंदू शोधा: x 0 = −b /2a;
- या बिंदूवर मूळ फंक्शनचे मूल्य शोधा: f (x 0). कोणत्याही अतिरिक्त अटी नसल्यास, हे उत्तर असेल.
पहिल्या दृष्टीक्षेपात, हे अल्गोरिदम आणि त्याचे समर्थन क्लिष्ट वाटू शकते. मी मुद्दाम "बेअर" उपाय योजना पोस्ट करत नाही, कारण अशा नियमांचा अविचारी वापर त्रुटींनी भरलेला आहे.
गणितातील चाचणी परीक्षेतील वास्तविक कार्यांचा विचार करा - येथे हे तंत्र सर्वात सामान्य आहे. त्याच वेळी, आम्ही हे सुनिश्चित करू की अशा प्रकारे B15 च्या अनेक समस्या जवळजवळ तोंडी होतात.
रूट अंतर्गत y \u003d x 2 + 6x + 13 एक द्विघाती कार्य आहे. या कार्याचा आलेख हा एक \u003d 1\u003e 0 गुणांक असल्याने, शाखा वर असलेला एक पॅराबोला आहे.
पॅराबोलाचा वरचा भाग:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3
पॅराबोलाच्या फांद्या वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जात असल्याने, x 0 \u003d −3 बिंदूवर, फंक्शन y \u003d x 2 + 6x + 13 सर्वात लहान मूल्य घेते.
रूट नीरसपणे वाढत आहे, म्हणून x 0 हा संपूर्ण फंक्शनचा किमान बिंदू आहे. आमच्याकडे आहे:
एक कार्य. फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्य शोधा:
y = लॉग 2 (x 2 + 2x + 9)
लॉगरिथम अंतर्गत पुन्हा एक चतुर्भुज फंक्शन आहे: y \u003d x 2 + 2x + 9. आलेख हा एक पॅराबोला आहे ज्याच्या फांद्या वर आहेत, कारण a = 1 > 0.
पॅराबोलाचा वरचा भाग:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1
तर, x 0 = −1 बिंदूवर, द्विघाती कार्य सर्वात लहान मूल्य घेते. पण फंक्शन y = log 2 x हे मोनोटोन आहे, म्हणून:
y मि = y (−1) = लॉग 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = लॉग 2 8 = 3
घातांक हे द्विघाती कार्य y = 1 − 4x − x 2 आहे. चला ते सामान्य स्वरूपात पुन्हा लिहू: y = −x 2 − 4x + 1.
अर्थात, या फंक्शनचा आलेख पॅराबोला आहे, खाली शाखा आहे (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2
मूळ फंक्शन घातांक आहे, ते मोनोटोन आहे, म्हणून सर्वात मोठे मूल्य सापडलेल्या बिंदू x 0 = −2 वर असेल:
लक्ष देणार्‍या वाचकाच्या लक्षात येईल की आम्ही रूट आणि लॉगरिदमच्या अनुमत मूल्यांचे क्षेत्रफळ लिहिले नाही. परंतु हे आवश्यक नव्हते: आत अशी कार्ये आहेत ज्यांची मूल्ये नेहमीच सकारात्मक असतात.
फंक्शनच्या व्याप्तीचे परिणाम
कधीकधी, समस्या B15 सोडवण्यासाठी, पॅराबोलाचा शिरोबिंदू शोधणे पुरेसे नसते. इच्छित मूल्य खोटे असू शकते विभागाच्या शेवटी, परंतु टोकाच्या बिंदूवर नाही. जर कार्याने विभाग निर्दिष्ट केला नसेल तर पहा सहिष्णुता श्रेणीमूळ कार्य. म्हणजे:
पुन्हा लक्ष द्या: शून्य मुळाखाली असू शकते, परंतु अपूर्णांकाच्या लॉगरिथममध्ये किंवा भाजकात कधीही नाही. विशिष्ट उदाहरणांसह ते कसे कार्य करते ते पाहूया:
एक कार्य. फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य शोधा:
रूट अंतर्गत पुन्हा एक चतुर्भुज कार्य आहे: y \u003d 3 - 2x - x 2. त्याचा आलेख पॅराबोला आहे, परंतु a = −1 पासून खाली शाखा करतो< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.
आम्ही परवानगीयोग्य मूल्यांचे क्षेत्र लिहितो (ODZ):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; एक]
आता पॅराबोलाचा शिरोबिंदू शोधा:
x 0 = −b /(2a) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1
बिंदू x 0 = −1 हा ODZ विभागाचा आहे - आणि हे चांगले आहे. आता आपण x 0 बिंदूवर तसेच ODZ च्या शेवटी फंक्शनच्या मूल्याचा विचार करतो:
y(−3) = y(1) = 0
तर, आम्हाला 2 आणि 0 क्रमांक मिळाले. आम्हाला सर्वात मोठा शोधण्यास सांगितले जाते - ही संख्या 2 आहे.
एक कार्य. फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्य शोधा:
y = लॉग 0.5 (6x - x 2 - 5)
लॉगरिथमच्या आत एक चतुर्भुज फंक्शन y \u003d 6x - x 2 - 5 आहे. हा एक पॅराबोला आहे ज्याच्या शाखा खाली आहेत, परंतु लॉगरिथममध्ये ऋण संख्या असू शकत नाही, म्हणून आम्ही ODZ लिहितो:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
कृपया लक्षात ठेवा: असमानता कठोर आहे, म्हणून टोके ODZ च्या मालकीचे नाहीत. अशाप्रकारे, लॉगरिथम रूटपेक्षा भिन्न आहे, जेथे सेगमेंटचे टोक आपल्यासाठी चांगले आहेत.
पॅराबोलाचा शिरोबिंदू शोधत आहे:
x 0 = −b /(2a) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3
पॅराबोलाचा वरचा भाग ODZ च्या बाजूने बसतो: x 0 = 3 ∈ (1; 5). परंतु सेगमेंटचे टोक आपल्याला स्वारस्य नसल्यामुळे, आम्ही फंक्शनचे मूल्य फक्त x 0 बिंदूवर विचारात घेतो:
y मि = y (3) = लॉग 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = लॉग 0.5 (18 − 9 − 5) = लॉग 0.5 4 = −2